Câu 14: [2D2-3.1-3] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho a , b  0 , a  1 , b  1,
1
1
1
1


 ... 
n  * . Một học sinh đã tính giá trị của biểu thức P 
log a b log a2 b log a3 b
log an b
như sau:
Bước 1: P  logb a  logb a 2  logb a3  ...  logb a n .
Bước 2: P  logb  a. a 2 . a3 ... a n  .
Bước 3: P  logb a123...n .
Bước 4: P  n  n  1 logb a .
Hỏi bạn học sinh đó đã giải sai từ bước nào ?
A. Bước 1.
B. Bước 2.
C. Bước 3.
Lời giải
Chọn D
Ta có: 1  2  3  ...  n 

n  n  1
.
2

1 2 3... n

Do đó: P  logb a

D. Bước 4.

 logb a

n n 1
2

 n  n  1 logb a .

Vậy bạn học sinh đó đã giải sai từ bước 4.
Câu 46:

[2D2-3.1-3] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm số nguyên dương n
thỏa mãn
1
1
1
1
log a 2017  2 log a 2017  4 log 4 a 2017  6 log 8 a 2017...  2 n log 2 n a 2017
2
2
2
2
log a 2017
, với 0  a  1 .
 log a 20172 
22018
A. n  2016 .
B. n  2018 .

C. n  2017 .
D. n  2019 .
Lời giải
Chọn D
Gọi vế trái và vế phải của hệ thức đề bài cho lần lượt là A và B .
1
1
2n
Ta có 2 n log 2 n a 2017  2 n log a 2017 2 n  2 n .log a 2017 .
2
2
2
2
4
8
2n
Do đó A  log a 2017  2 log a 2017  4 log a 2017  6 log a 2017  2 n .log a 2017
2
2
2
2
2 4 8
2n 

 1  2  4  6  ...  2 n  log a 2017 .
2 
 2 2 2
2 4 8
2n
2 1

Dãy số 1  2  4  6  ...  2 n lập thành một cấp số nhân với công bội q  2 
2 2 2
2
2
2
n
1
1  
n
2 4 8
2n
1 q
2
2
 1  2  4  6  ...  2 n  u1.
 1.    2  n .
1
2 2 2
2
1 q
2
1
2
log a 2017
2
1


Như vậy A   2  n  log a 2017  B  log a 20172 
 2log a 2017  2018 log a 2017

2018
2 
2
2

2
1
 2  n  2  2018  n  2019 .
2
2


Câu 33:

[2D2-3.1-3] [THPT Đô Lương 4 - Nghệ An - 2018 - BTN] Với a , b thỏa mãn để hàm số
 x2
; khi x  1
f  x  
có đạo hàm tại x0  1 . Khi đó giá trị của biểu thức S  log 2  3a  2b 
ax  b ; khi x  1
bằng?
A. S  1
B. S  2
C. S  3
D. S  4
Lời giải
Chọn B
Hàm số có đạo hàm tại x0  1  hàm số liên tục tại x0  1 .

 lim f  x   lim f  x   f 1  1  a  b  b  1  a .

x 1

x 1

 x2
; khi x  1
Khi b  1  a ta có: f  x   
.
ax  1  a ; khi x  1
f  x   f 1
f  x   f 1
Hàm số có đạo hàm tại x0  1  lim
 lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x2 1
ax  1  a  1
 lim
 lim
 2  a  b  1 .
x 1 x  1
x 1
x 1
Vậy S  log 2  3a  2b   log 2  3.2  2.  1   2 .
Câu 18: [2D2-3.1-3] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Cho x  2018! . Tính
1
1
1

1
.
A

 ... 

log 22018 x log32018 x
log 20172018 x log 20182018 x
A. A 

1
.
2017

B. A  2018 .

C. A 

1
.
2018

D. A  2017 .

Lời giải
Chọn B
1
1
1
1

A

 ... 

log 22018 x log32018 x
log 20172018 x log 20182018 x
 log x 22018  log x 32018  ...  log x 20172018  log x 20182018

 2018.log x 2  2018.log x 3  ...  2018.log x 2017  2018.log x 2018

 2018. log x 2  log x 3  ...  log x 2017  log x 2018  2018.log x  2.3.....2017.2018
 2018.log2018! 2018!  2018 .

Câu 36: [2D2-3.1-3] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho x , y
1  log12 x  log12 y
là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn x 2  6 y 2  xy . Tính M 
.
2log12  x  3 y 
A. M 

1
.
4

B. M  1 .

C. M 
Lời giải

Chọn B


x  3y
Ta có x 2  6 y 2  xy x 2  xy  6 y 2  0  
.
 x  2 y
Do x , y là các số thực dương lớn hơn 1 nên x  3 y (1).
1  log12 x  log12 y
log12 12 xy

Mặt khác M 
(2).
2
2log12  x  3 y 
log12  x  3 y 

1
.
2

1
D. M  .
3


log12 36 y 2
 1.
log12 36 y 2
Câu 50: [2D2-3.1-3] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Cho a và b là các
số nguyên dương khác 1 . Gọi P là tích các nghiệm của phương trình
8  log a x  logb x   7 log a x  6logb x  2018  0 . Khi P là một số nguyên, tìm tổng a  b để

P nhận giá trị nhỏ nhất?
A. a  b  48 .
B. a  b  12 .
C. a  b  24 .
D. a  b  20 .
Lời giải
Chọn B
Ta có 8  log a x  logb x   7 log a x  6logb x  2018  0
Thay (1) vào (2) ta có M 

 8logb a.  log a x   log a x.  7  6logb a   2018  0 . Điều kiện x  0 , suy ra P 
2

*

.

Từ giả thiết a và b là các số nguyên dương khác 1 , suy ra a, b  1  logb a  0 .
Ta suy ra

a
2018

 0 . Nên phương trình trên sẽ có hai nghiệm phân biệt
c
8logb a

t1  loga x1
7  6 logb a
. Suy ra tổng hai nghiệm là t1  t2 

 loga  P  .

8logb a
t2  loga x2

Suy ra 7  6 logb a  8logb P  P8  b7 .a6 , (1).
8

 ab 
Tiếp tục ta được ba    , do giả thiết a, b, P 
 P
2

*

 ab P  ab  c.P với c 

*

,c  1.

Thay vào ta được a2 b  c8 , (2).
Để P nhận giá trị nhỏ nhất, theo (1) ta phải có a và b nhỏ nhất. Từ (2), suy ra c nhỏ nhất, mà
c  1 chọn c  2  a2 b  28  22.64  42.16  82.4 .





Suy ra  a, b    2,64  ;  4,16  ;  8,4   P 64;32;16 .

Vậy Pmin  16 khi a  8 , b  4 .
BẢNG ĐÁP ÁN
1
B

2 3 4 5 6 7
A C D D A A

8
B

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A C C C C C B D D C B B D B C C C

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A D D A D C B D A B A D D B D D B C C A A A B A B
Câu 47: [2D2-3.1-3] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho a , b là các số
a
4b  a
dương thỏa mãn log 4 a  log 25 b  log
. Tính giá trị ?
b
2
a
a
a 3 5
a 3 5
A.  6  2 5 .
B. 
.

C.  6  2 5 .
D. 
.
b
8
b
8
b
b
Lời giải
Chọn A
Đặt log 4 a  log 25 b  log

4b  a
 t , ta có:
2



 a  4t
t
t

 4 
 10 
t
t
t
t
 4.25  4  2.10  4     2.  

b  25
 25 
 25 
 4b  a
t

 10
 2
2t

t

2
2
    2.    4  0
5
5
t
 y  1  5
2
Đặt    y  0 , ta có y 2  2 y  4  0  
 y  1  5 .
5
 y  1  5

t






2
4t
a
2
Từ đó    1  5  t  5  1   6  2 5 .
25
b
5
Câu 46: [2D2-3.1-3]
(Sở Ninh Bình - Lần 1 - 2018 - BTN)

A

log 2017

log 2016

log 2015 log ... log 3 log 2 ...

Cho biểu thức

. Biểu thức A có giá trị

thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. log 2017; log 2018

B. log 2019; log 2020

C. log 2018; log 2019


D. log 2020; log 2021
Lời giải

Chọn D
Ta có 2017

log 2016

log 2015 log ... log 3 log 2 ...

2017

log 2016

 2017  3  2020 .

A

log 2020 .

Câu 27. [2D2-3.1-3] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tổng
S  1  22 log 2 2  32 log 3 2 2  ....  20182 log 2018 2 2 dưới đây.
A. 10082.20182 .

B. 10092.20192 .

Chọn B
Ta có 1  2  3  ...  n
3


3

3

3

 n  n  1 

4

C. 10092.20182 .
Lời giải

D. 20192 .

2

.

Mặt khác
S  1  22 log 2 2  32 log 3 2 2  ....  20182 log 2018 2 2

 1  22 log 1 2  32 log 1 2  ....  20182 log
22

23

1
2 2018


2  1  23 log 2 2  33 log 2 2  ....  20183 log 2 2

 2018  2018  1 
2
2
 1  2  3  ...  2018  
  1009 .2019 .
2


2

3

Câu 35.

3

3

[2D2-3.1-3] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho a , b , c
 1 . Biết rằng biểu thức P  loga  bc   logb  ac   4logc  ab  đạt giá trị nhất m khi logb c  n .

Tính giá trị m  n .
A. m  n  12 .

B. m  n 

25

.
2

C. m  n  14 .
Lời giải

Chọn A

D. m  n  10 .


Ta có P  logab  loga c  logb a  logbc  4logc a  4logcb 


1  
4  
4 
P   log ab 
   log a c 
   logb c 
  2  4  4  10  m  10 .
log a b  
log a c  
logb c 

Dấu đẳng xảy ra khi logab  1 , loga c  2 , logb c  2  n  2 .
Vậy m  n  12 .






Câu 30: [2D2-3.1-3] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Cho f  x   a ln x  x 2  1  b sin x  6
với a , b 

. Biết f  log  log e    2 . Tính f  log  ln10   .

A. 4 .

B. 10 .

C. 8 .

D. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt x0  log  log e 





Có: f  x0   a ln x0  x02  1  b sin x0  6  2


 1 
Ta có f  log  ln10    f  log 
   f   log  log e    f   x0 
 log e  


f   x0   a ln











x02  1  x0  b sin   x0   6  a ln x0  x02  1  b sin x0  6



   a ln x0  x02  1  b sin x0  6  12   f  x0   12  10 .


Câu 35: [2D2-3.1-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho số
1
1
thực a , b thỏa mãn a  b  1 và

 2018 . Giá trị biểu thức
logb a log a b
1
1
bằng:

P

log ab b log ab a
A. P  2020

B. P  2018

C. P  2016
Lời giải

D. P  2014

Chọn D
1
1

 2018  log a b  logb a  2018 1
logb a log a b
1
1
P

 logb  ab   log a  ab    logb a  1   log a b  1  logb a  log a b .
log ab b log ab a

Ta có

 2

Từ 1 suy ra log 2a b  logb2 a  2loga b.logb a  2018  loga2 b  logb2 a  2016 .

Từ  2  suy ra P2  log2a b  logb2 a  2log a b.logb a  2016  2  2014 .
Do a  b  1 nên log a b  1 và logb a  1 nên P  0 .
Vậy P  2014 .

Câu 29.
[2D2-3.1-3] [BTN 174 - 2017] Cho các số thực dương a , b , c cùng khác 1 . Xét các
khẳng định sau:
b
c
1. log 2a  log 2a .
c
b
2. log abc  log a b.logb c.logc a   0 .


3.Nếu a 2  b2  7ab thì log 7
Các khẳng định đúng là:
A. (1), (2) .

ab 1
  log7 a  log7 b  .
3
2

C. 1 ,  2  ,  3 .

B. (1), (3) .

D. (2), (3) .


Lời giải
Chọn B
2

b 
c
c
(1) : VT  log    log a   log 2a  VP  1 đúng.
c 
b
b
1
(2) : Giả sử a  2; b  3; c   abc  1 suy ra không có nghĩa log abc  log a b.logb c.logc a   0 .
6
Suy ra (2) sai.
2
a

(3) : Ta có a  b  7ab   a  b 
2

2

ab 1
 ab 
 9ab  
  log 7 a  log 7 b  .
  ab  log 7
3
2

 3 
2

2

Suy ra (3) đúng.
Câu 6:

[2D2-3.1-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Năm 1992, người ta đã
biết số p  2756839  1 là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó). Hãy
tìm số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân.
A. 227830 chữ số.
B. 227834 chữ số.
C. 227832 chữ số.
D. 227831 chữ số.
Lời giải
Chọn C
+) 2756839 có chữ số tận cùng khác 0 nên 2756839 và p  2756839  1 có số các chữ số bằng nhau.
+) Số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân của p  2756839  1 là:
log 2756839   1  756839log 2  1   227831, 2409  1  227832
Suy ra p  2756839  1 khi viết trong hệ thập phân là số có 227832 chữ số.

Câu 32.





[2D2-3.1-3] [THPT Chuyên Lào Cai] Cho f  x   a ln x  x 2  1  b sin x  6 với a, b  .
Biết rằng f  log  log e    2 . Tính giá trị của f  log  ln10  

A. 10 .

B. 2 .

D. 8 .

C. 4 .
Lời giải

Chọn A
 1 
Đặt t  log  log  e    log 
   log  ln10   log  ln 10    t
 ln10 
Theo giả thiết ta có:









f  t   a ln t  t 2  1  b sin t  6  2  a ln t  t 2  1  b sin t  4






Khi đó f  log  ln10    f  t   a ln t  t 2  1  b sin  t   6  a ln

1
t2 1  t

 b sin t  6



1
   a ln
 b sin t   6  10 .
2
t 1  t


Câu 5.

[2D2-3.1-3] [THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU] Tính giá trị của biểu thức

 a 
2
P  log a2  a10b 2   log a 
  log 3 b b ( với 0  a  1;0  b  1).
 b
A. P  2 .

B. P  1 .

C. P  3 .


D. P  2 .


Lời giải
Chọn B
Sử dụng các quy tắc biến đổi logarit
P  log a2  a10b 2   log

.

Câu 9.

 a 
2

  log 3 b b
 b

a

1
log a a10  log a b 2   2 log a a  log a b   3.  2  log b b .


2
1
 1

 10  2 log a b   2 1  log a b   6  1.

2
 2




[2D2-3.1-3] [THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN] Cho n  1 là một số nguyên
1
1
1
dương. Giá trị của
bằng

 ... 
log 2 n! log3 n!
log n n!
A. 0 .

D. 1.

C. n ! .
Lời giải

B. n .

Chọn D
1
1
1


 ... 
 log n! 2  log n! 3  ...  log n! n  log n! n!  1 .
log 2 n ! log3 n!
log n n!
Câu 12. [2D2-3.1-3] [THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG] Cho a là số thực dương và a  1 . Tính giá
14log

trị của biểu thức a

a2

5

.
B. 514 .

A. 125 5 .

D. 57 .

C. 7 5 .
Lời giải

Chọn A
14log

5

Cách 1: a a  a7loga
Cách 2: Bấm máy

2

14log

Nhập biểu thức: A

A2

loga

 5

7

5

a

5

ấn CALC máy hỏi A ? chọn A  2 .

 125 5 .

Câu 18. [2D2-3.1-3] [THPT CHUYÊN KHTN] Cho n 1 là một số nguyên dương. Giá trị của
1
1
1
bằng
...

log 2 n ! log3 n !
log n n !
A. 0 .

C. n ! .
Lời giải

B. n .

D. 1 .

Chọn D
1
1
1

 ... 
 log n! 2  log n! 3  ...  log n! n  log n! n!  1 .
log 2 n ! log3 n!
log n n!

Câu 868. [2D2-3.1-3] [SGD-BÌNH PHƯỚC] Cho hai số thực dương

log 4 a  log6 b  log9  a  b  . Tính
A.

1
.
2


B.

1  5
.
2

a
.
b
C.
Lời giải

Chọn B

a, b

1  5
.
2

D.

1 5
.
2

thỏa mãn


Đặt t  log 4 a  log6 b  log9  a  b 


 2 t 1  5
 a  4t
  
2t
t

2
3
2
2
t
t
t
t
.
 b  6
 4  6  9       1  0  
 2 t 1  5
3
3


 a  b  9t
  
( L)

2
 3 


a 4t  2  1  5
.
   
b 6t  3 
2
t

Câu 880. [2D2-3.1-3] [CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC TÂN HỒNG PHONG] Biết a  log30 10 ,

b  log30 150 và log 15000  x1a  y1b  z1 với x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 là các số nguyên,
2000
x2 a  y2b  z2
tính S 
A. S 

x1
.
x2

1
.
2

B. S  2 .

C. S 

2
.
3


D. S  1 .

Lời giải
Chọn A
Ta có log 2000 15000 

log30 15000 log30 150  2log30 10
[1 )

log30 2000
log30 2  3log30 10

Ta có a  log30 10  log30 5  log30 2  log30 2  a  log30 5 [ 2 )

b  log30 150  1  log30 5  log30 5  b  1 thay vào [ 2 ]ta được log30 2  a  b  1
b  2a
2a  b

a  b  1  3a 4a  b  1
x
2 1
Suy ra S  1   .
x2 4 2
Ta có log 2000 1500 

Câu 35: [2D2-3.1-3] (THPT Lương Thế Vinh - HN - Lần 1- 2017 - 2018 - BTN) Cho a , b , c  1 .
Biết rằng biểu thức P  loga  bc   logb  ac   4logc  ab  đạt giá trị nhất m khi logb c  n . Tính
giá trị m  n .
A. m  n  12 .


B. m  n 

25
.
2

C. m  n  14 .

D. m  n  10 .

Lời giải
Chọn A
Ta có P  logab  loga c  logb a  logbc  4logc a  4logcb 


1  
4  
4 
P   log ab 
   log a c 
   logb c 
  2  4  4  10  m  10 .
log
b
log
c
log
c
a  

a  
b 

Dấu đẳng xảy ra khi logab  1 , loga c  2 , logb c  2  n  2 .
Vậy m  n  12 .