Câu 469: [2D1-3.14-3] Anh Phong có một cái ao với diện tích 50m 2 để nuôi cá diêu hồng. Vụ vừa qua,
anh nuôi với mật độ 20con / m 2 và thu được 1, 5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá
của mình anh thấy cứ thả giảm đi 8 con / m 2 thì mỗi con cá thành phầm thu được tăng thêm

0,5kg . Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới anh nên mua bao nhiêu cá giống để thả? (giả sử
không có hao hụt trong quá trình nuôi)
A. 488 con.
B. 658 con.
C. 342 con.
D. 512 con.
Lời giải
Chọn D
Số cá anh Phong thả trong vụ vừa qua là 50.20
Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phần là

1000 (con)

1500
1000

1, 5kg / con

0 là số cá anh cần thả ít đi cho vụ tới nên sẽ tăng 0, 0625x kg/con

Gọi x

Ta có phương trình tổng khối lượng cá thu được T

f x

0,125x

f

0,125

x

61

Vậy ở vụ sau anh chỉ cần thả 1000

x

0

488

488

f x

1000

max f x

x 1, 5

16384

0, 0625x


x

488

512 con cá giống.

Câu 482: [2D1-3.14-3] Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn
hộ với giá 2000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá
cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thể  2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu
nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu?
A. 2.250.000.
B. 2.350.000.
C. 2.450.000.
D. 2.550.000.
Lời giải
Chọn A
Gọi x là giá cho thuê thực tế của mỗi căn hộ, ( x – đồng; x

2000.000 đồng ).

Số căn hộ cho thuê được ứng với giá cho thuê:

1
x
50000

50

2000000


1
x
50.000

90, 1

Gọi F x là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, ( F x : đồng).

1
x
50.000

Ta có F x

90 x

1
x2
50.000

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của F x

x

2000.000

F' x

1

x
25.000

90

90x
1
x2
50.000

90x với điều kiện


F' x

1
x
25.000

0

90

x

0

2.250.000

Ta lập bảng biến thiên:

Suy ra F x đạt giá trị lớn nhất khi x

2.250.000

Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất.
Nhận xét: Làm sao ta có thể tìm được hệ số

1
trong biểu thức 1 ?
50000

Ta có thể hiểu đơn giản như sau: Số căn hộ cho thuê mỗi tháng ứng với số tiền cho thuê;
50

m x

lên là x

50

2.000.000 thì số căn hộ được thuê là 50 . Nếu số tiền cho thuê tăng

2000.000 x

2.100.000 thì có 2 căn hộ để trống, nghĩa là có 48 người thuê. Ta có:

m 2.100.000

2.000.000


48

1
.
50000

m

Câu 483: [2D1-3.14-3] Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ
nhật, có chu vi là a(m) ( a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi
độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt). Hãy xác định các kích thước của
nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?
A. chiều rộng bằng
B. chiều rộng bằng

2a
4
a
4

, chiều cao bằng
, chiều cao bằng

a
4
2a
4

C. chiều rộng bằng a(4


) , chiều cao bằng 2a(4

)

D. chiều rộng bằng a(4

) , chiều cao bằng 2a(4

)

Lời giải
Chọn A

x , tổng ba cạnh

Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán nguyệt là
của hình chữ nhật là a

S

S1

S2

x2
2

x . Diện tích cửa sổ là:

2x


a

x

2x

2

ax

(

2)x 2

2

(

2

a

2)x (
2

a

Dễ thấy S lớn nhất khi x
2


x hay x
2

a
4

x).
2

.(Có thể dùng đạo hàm hoặc đỉnh

Parabol)
Vậy để S

max

thì các kích thước của nó là: chiều cao bằng

a
4

; chiều rộng bằng

2a
4

Câu 484: [2D1-3.14-3] Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ
động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, là độ dài đường biên giới hạn



của tiết diện này, - đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng
thuỷ động học nếu với S xác định, là nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của mương dẫn
nước như thế nào để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình
chữ nhật)
A. x

4S , y

S
4

B. x

4S , y

S
2

C. x

2S , y

S
4

D. x

2S , y


S
2

Lời giải
Chọn D
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy;

2y
'

2S
x

x
x2

(x ) = 0

2S

x . Xét hàm số (x )
0

x

2S
x

2S , khi đó y =


x . Ta có

S
=
x

'

x 2 2S
2S
.
(x ) = 2 + 1 =
x2
x

S
.
2

Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của mương là

x

2S , y =

S
thì mương có dạng thuỷ động học.
2

Câu 489: [2D1-3.14-3] Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ

được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800(m) . Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước
của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất?
A. 200m 200m
B. 300m 100m
C. 250m 150m

D. Đáp án khác

Lời giải
Chọn A
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: và
Diện tích miếng đất:
Theo đề bài thì: hay. Do đó: với
Đạo hàm:. Cho.
Lập bảng biến thiên ta được: khi.
Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật là (là hình vuông).
Lưu ý: Có thể đánh giá bằng BĐT Cô-Sy.
Câu 490: [2D1-3.14-3] Một trang chữ của một tạp chí cần diện tích là 384cm 2 . Lề trên, lề dưới là 3cm;
lề phải, lề trái là 2cm. Khi đó chiều ngang và chiều dọc tối ưu của trang giấy lần lượt là:
A. 24cm, 25cm.
B. 15cm, 40cm.
C. 20cm, 30cm.
D. 22,2cm, 27cm.
Lời giải
Chọn C
Gọi a,b cm a

a

6,b


0,b

4

0 là độ dài chìu dọc và chìu ngang của trang chữ suy ra kích thước trang giấy là


Ta có: a.b

384

384
1
a

b

Diện tích trang sách là: S

a

6 b

Theo bất đẳng thức CAUCHY ta có:
Suy ra MinS

2304
a


4a

600

4

S
a

S

4a

2 4a.

2304
a

2304
a

408

408

600

24 , suy ra chiều dọc và chiều ngang tối ưu là: 30cm,20cm

Câu 492: [2D1-3.14-3] Trên cánh đồng cỏ có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng

cách giữa 2 cọc là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt
cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất).
A. 1, 034 m2
B. 1, 574 m2
C. 1, 989 m2
D. 2, 824 m2
Lời giải
Chọn C
Diện tích mặt cỏ ăn chung sẽ lớn nhất khi 2 sợi dây được kéo căng và là phần giao của 2 đường
tròn.
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi O, M là vị trí của cọc. Bài toán đưa về tìm diện tích phần
được tô màu.
Ta có phương trình đường tròn tâm O : x 2

M : x

4

2

y2

y2

32 và phương trình đường tròn tâm

22

Phương trình các đường cong của đường tròn nằm phía trên trục Ox là: y
y


4

x

4

9

x 2 và

2

Phương trình hoành độ giao điểm:

x

4

4

2

21
8

Diện tích phần được tô màu là: S

2


4

x

2

9
2

x2

4

8x

9

x 2dx

16

9

x

21
8

3


4 dx

1, 989 . Ta có thể

21
8

giải tích phân này bằng phép thế lượng giác, tuy nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy.
Câu 493: [2D1-3.14-3] Bên trong một căn nhà bỏ hoang hình lập phương thể tích 1000 m3 có 3 chú
nhện con rất hay cãi vã nên phải sống riêng. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành quyết
định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh lưới
hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kì (có thể mép giữa 2 bức
tường, giữa tường với trần, hoặc giữa tường với nền) rồi phóng những sợi tơ làm khung đến vị
trí cũng 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ dính đan phần lưới bên trong. Nhưng vì vốn
đã có hiềm khích từ lâu, nên trước khi bắt đầu, chúng quy định để tránh xô xát, không có bất kì
2 con nhện nào cùng nằm trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Tính chu vi nhỏ nhất của
mảnh lưới được giăng (biết các sợi tơ khung căng và không nhùn).
A. 15 6 mét

B. 2 30 mét

C. 12 10 mét
Lời giải

D. 10 2 mét


Chọn A
Bài toán này ta sẽ giải quyết bằng cách ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian.
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Không mất tính tổng quát, và dựa vào yêu cầu về vị trí 3 con

nhện ta xác định là các điểm M , N , P nằm trên các cạnh A ' B ',CC ', AD như hình vẽ.
Yêu cầu bài toán là cần tìm tọa độ của 3 điểm M , N , P để chu vi tam giác MNP nhỏ nhất.
Đặt M x ;10; 0 , P 0; 0; z , N 10; y;10 . Chu vi tam giác MNP là:
MN

NP
10

x

PQ
2

x

y

10

2

10

2

y

102

10


y2

2

102

z

102

2

10

y2

102

z

z2

10
x

2

2


x2

102

z2

102

Áp dụng bất đẳng thức vecto :
MN

NP

PM

10

x

y

z

2 y

z

x

5


2

y

2

z

x
z

10

y
x

10

10

z

20

2

2

10


2

202

z2

10

10

y

z

2y

x

x

2

102

2

15 6

5

y
z
y

y

2

10

10
x

x

10

y
z

10

450

y

Dấu bằng xảy ra khi

x


10

10 10
10 10
y z 20
x

x

20
10

y

5

x

y

z

5

10

Vậy giá trị cần tìm là 15 6 .
Câu 494: [2D1-3.14-3] Một ngôi nhà có nền dạng tam giác đều ABC cạnh dài 10  m  được đặt song
song và cách mặt đất h m . Nhà có 3 trụ tại A, B, C vuông góc với  ABC  . Trên trụ A người
ta lấy hai điểm M , N sao cho AM


y và góc giữa  MBC  và NBC bằng 90 để

x, AN

là mái và phần chứa đồ bên dưới. Xác định chiều cao thấp nhất của ngôi nhà.
A. 5 3 .
C. 10 .

B. 10 3 .
D. 12 .
Lời giải

Chọn A
Để nhà có chiều cao thấp nhất ta phải chọn N nằm trên mặt đất. Chiều cao của nhà là NM
Gọi I là trung điểm của BC . Ta có
đó suy ra

BC

ABC đều

MNI

MI

BC

NI


BC

IMN vuông tại I nhận AI là đường cao nên
Theo bất đẳng thức Côsi: x

y

2 xy

2. 75

BC , vì MN

AI

MN

900

MIN

AI 2

AM .AN

10 3

ABC

x


y

xy

5 3

10 3
2

2

75

x

y.

BC , từ


Do đó chiều cao thấp nhất của nhà là 10 3.
Câu 495: [2D1-3.14-3] (NHO QUAN A) Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến
một hòn đảo ở
C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là
4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi
diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.
A.

15

km
4

B.

13
km
4

C.

10
4

D.

19
4

Lời giải
Chọn B
Trước tiên, ta xây dựng hàm số f  x  là hàm số tính tổng chi phí sử dụng.
Đặt BS  x thì ta được: SA  4  x, CS 

x 2  1 . Theo đề bài, mỗi km dây điện đặt dưới

nước mất 5000USD, còn đặt dưới đất mất 3000USD, như vậy ta có hàm số f  x  được xác
định như sau:

f  x   3000. 4  x   5000. x 2  1 với x  0;4

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f  x  để có được số tiền ít nhất cần sử dụng và từ đó xác định
được vị trí điểm S.

f '  x   3000  5000.

x
x 1
2

f '  x   0  3000  5000.

.

x
x 1
2

 0  3000 x 2  1  5000 x  0
 3 x2  1  5x
3

16 x 2  9
3
x  


4x .
4
x  0
 x  0


Hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;4.

3
4

Ta có: f  0   17000, f    16000, f  4   20615,52813.
Vậy giá trị nhỏ nhất của f  x  là 16000 và tại x 
nằm cách A một đoạn SA  4  x  4 

3
. Khi đó chi phí là thấp nhất và điểm S
4

3 13
 .
4 4

Câu 496: [2D1-3.14-3] (THTT SỐ 673) Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai vị trí

A, B. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24 m . Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên


mặt đất nằm giữa hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ).
Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?
A. AM
B. AM
6 m, BM 18 m.
7 m, BM 17 m.
C. AM


4 m, BM

D. AM

20 m.

12 m, BM

12 m.

Lời giải
Chọn A
Đặt AM

MD
CM

x(0
MB 2

x

24)

BD 2

MD

24


BM
24

x

Khảo sát hàm ta được: x

2

x

24
2

6 m

AM 2

x2

100

900 .Suy ra tổng độ dài hai sợi dây là:
x2

900

CA2


x . Ta có CM

f (x ),(0

100

x

24)

BM =18 m .

Câu 497: [2D1-3.14-3] (HÀ NỘI – AMSTERDAM) Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m , cùng nằm về
một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m
và 487m . Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà
người đó có thể đi là:
A. 569, 5m
B. 671, 4m
C. 779, 8m
D. 741, 2m
Lời giải
Chọn C
Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về
dễ dàng tính được BD

MF

492

369, EF


492. Ta đặt EM
x2

x, AM

B.

x, khi đó ta được:

1182 , BM

492

x

2

4872 .

Như vậy ta có hàm số f x được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB:

f x

x2

1182

x


492

2

4872 với x

0; 492

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định
được vị trí điểm M.

f' x

x
x2

x

492
1182

492

x

2

.
487


2


f' x

x

0

x2

1182

x

1182
x

x 2 492
x

487x
0 x
x
0

492
2

x


4872
2

0
487

2

x

492

492

0

2

x

492

x
x2

x

492


2

x

4872

492

4872

x2

x

492

2

x

x2

1182
1182

492
2

58056
492


58056
hay x
605
x 492

118x

2

58056
369

x

58056
605

Hàm số f x liên tục trên đoạn 0; 492 . So sánh các giá trị của f (0) , f
ta có giá trị nhỏ nhất là f

58056
605

58056
, f 492
605

779, 8m


Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m.
Câu 502: [2D1-3.14-3] (NGÔ QUYỀN – HP) Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với
giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở
sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường,
người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi
tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 18.000 . Hỏi
cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất.
A. 42.000 đồng.
B. 40.000 đồng.
C. 43.000 đồng.
D. 39.000 đồng.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là x (nghìn đồng).
Vì cứ tăng giá thêm 1 (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm 100 chiếc nên tăng x (nghìn đồng)
thì số xe khăn bán ra giảm 100x chiếc. Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: 3000 100x
chiếc.
Lúc đầu bán với giá 30 (nghìn đồng), mỗi chiếc khăn có lãi 12 (nghìn đồng). Sau khi tăng giá,
mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: 12  x (nghìn đồng). Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu
được sau khi tăng giá là: f  x    3000  100 x 12  x  (nghìn đồng).
Xét hàm số f  x    3000  100 x 12  x  trên  0;   .
Ta có: f  x   100 x 2  1800 x  36000  100  x  9  44100  44100 .
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  9 .


Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là
9.000 đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là 39.000 đồng.
Câu 469: [DS12.C1.3.D14.c] Anh Phong có một cái ao với diện tích 50m 2 để nuôi cá diêu hồng. Vụ

vừa qua, anh nuôi với mật độ 20con / m 2 và thu được 1, 5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh
nghiệm nuôi cá của mình anh thấy cứ thả giảm đi 8 con / m 2 thì mỗi con cá thành phầm thu
được tăng thêm 0,5kg . Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới anh nên mua bao nhiêu cá giống
để thả? (giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi)
A. 488 con.
B. 658 con.
C. 342 con.
D. 512 con.
Lời giải
Chọn D
Số cá anh Phong thả trong vụ vừa qua là 50.20
Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phần là

1000 (con)

1500
1000

1, 5kg / con

0 là số cá anh cần thả ít đi cho vụ tới nên sẽ tăng 0, 0625x kg/con

Gọi x

Ta có phương trình tổng khối lượng cá thu được T

f x

0,125x


f

0,125

x

61

Vậy ở vụ sau anh chỉ cần thả 1000

x

0

488

488

f x

1000

max f x

x 1, 5

16384

0, 0625x


x

488

512 con cá giống.

Câu 482: [DS12.C1.3.D14.c] Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê
mỗi căn hộ với giá 2000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần
tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thể  2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có
thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu?
A. 2.250.000.
B. 2.350.000.
C. 2.450.000.
D. 2.550.000.
Lời giải
Chọn A
Gọi x là giá cho thuê thực tế của mỗi căn hộ, ( x – đồng; x

2000.000 đồng ).

Số căn hộ cho thuê được ứng với giá cho thuê:

50

1
x
50000

2000000


1
x
50.000

90, 1

Gọi F x là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, ( F x : đồng).
Ta có F x

1
x
50.000

90 x

1
x2
50.000

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của F x

x

2000.000

90x
1
x2
50.000


90x với điều kiện


1
x
25.000

F' x
F' x

90

1
x
25.000

0

90

x

0

2.250.000

Ta lập bảng biến thiên:
Suy ra F x đạt giá trị lớn nhất khi x

2.250.000


Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250.000 đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất.
Nhận xét: Làm sao ta có thể tìm được hệ số

1
trong biểu thức 1 ?
50000

Ta có thể hiểu đơn giản như sau: Số căn hộ cho thuê mỗi tháng ứng với số tiền cho thuê;
50

m x

lên là x

50

2.000.000 thì số căn hộ được thuê là 50 . Nếu số tiền cho thuê tăng

2000.000 x

2.100.000 thì có 2 căn hộ để trống, nghĩa là có 48 người thuê. Ta có:

m 2.100.000

2.000.000

48

1

.
50000

m

Câu 483: [DS12.C1.3.D14.c] Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình
chữ nhật, có chu vi là a(m) ( a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật
trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán nguyệt). Hãy xác định các kích thước
của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?
A. chiều rộng bằng
B. chiều rộng bằng

2a
4
a
4

, chiều cao bằng
, chiều cao bằng

a
4
2a
4

C. chiều rộng bằng a(4

) , chiều cao bằng 2a(4

)


D. chiều rộng bằng a(4

) , chiều cao bằng 2a(4

)

Lời giải
Chọn A

x , tổng ba cạnh

Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán nguyệt là
của hình chữ nhật là a

S

S1

S2

x2
2

x . Diện tích cửa sổ là:

2x

a


x

2x

2

ax

(

2)x 2

2

(

2

a

2)x (
2

a

Dễ thấy S lớn nhất khi x
2

x hay x
2


a
4

x).
2

.(Có thể dùng đạo hàm hoặc đỉnh

Parabol)
Vậy để S

max

thì các kích thước của nó là: chiều cao bằng

a
4

; chiều rộng bằng

2a
4


Câu 484: [DS12.C1.3.D14.c] Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng
"Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, là độ dài đường biên
giới hạn của tiết diện này, - đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc gọi
là có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, là nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của
mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện

ngang là hình chữ nhật)
A. x

4S , y

S
4

B. x

4S , y

S
2

C. x

2S , y

S
4

D. x

2S , y

S
2

Lời giải

Chọn D
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy;

2y
'

2S
x

x
x2

(x ) = 0

2S

x . Xét hàm số (x )
0

x

2S
x

2S , khi đó y =

x . Ta có

S
=

x

'

x 2 2S
2S
.
(x ) = 2 + 1 =
x2
x

S
.
2

Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của mương là

x

2S , y =

S
thì mương có dạng thuỷ động học.
2

Câu 489: [DS12.C1.3.D14.c] Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người
con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800(m) . Hỏi anh ta chọn mỗi kích
thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất?
A. 200m 200m
B. 300m 100m

C. 250m 150m

D. Đáp án khác

Lời giải
Chọn A
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: và
Diện tích miếng đất:
Theo đề bài thì: hay. Do đó: với
Đạo hàm:. Cho.
Lập bảng biến thiên ta được: khi.
Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật là (là hình vuông).
Lưu ý: Có thể đánh giá bằng BĐT Cô-Sy.
Câu 490: [DS12.C1.3.D14.c] Một trang chữ của một tạp chí cần diện tích là 384cm 2 . Lề trên, lề dưới là
3cm; lề phải, lề trái là 2cm. Khi đó chiều ngang và chiều dọc tối ưu của trang giấy lần lượt là:
A. 24cm, 25cm.
B. 15cm, 40cm.
C. 20cm, 30cm.
D. 22,2cm, 27cm.
Lời giải
Chọn C
Gọi a,b cm a

a

6,b

0,b

4


0 là độ dài chìu dọc và chìu ngang của trang chữ suy ra kích thước trang giấy là


Ta có: a.b

384

384
1
a

b

Diện tích trang sách là: S

a

6 b

Theo bất đẳng thức CAUCHY ta có:
Suy ra MinS

2304
a

4a

600


4

S
a

S

4a

2 4a.

2304
a

2304
a

408

408

600

24 , suy ra chiều dọc và chiều ngang tối ưu là: 30cm,20cm

Câu 492: [DS12.C1.3.D14.c] Trên cánh đồng cỏ có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết
khoảng cách giữa 2 cọc là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện
tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất).
A. 1, 034 m2
B. 1, 574 m2

C. 1, 989 m2
D. 2, 824 m2
Lời giải
Chọn C
Diện tích mặt cỏ ăn chung sẽ lớn nhất khi 2 sợi dây được kéo căng và là phần giao của 2 đường
tròn.
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi O, M là vị trí của cọc. Bài toán đưa về tìm diện tích phần
được tô màu.
Ta có phương trình đường tròn tâm O : x 2

M : x

4

2

y2

y2

32 và phương trình đường tròn tâm

22

Phương trình các đường cong của đường tròn nằm phía trên trục Ox là: y
y

4

x


4

9

x 2 và

2

Phương trình hoành độ giao điểm:

x

4

4

2

21
8

Diện tích phần được tô màu là: S

2

4

x


2

9
2

x2

4

8x

9

x 2dx

16

9

x

21
8

3

4 dx

1, 989 . Ta có thể


21
8

giải tích phân này bằng phép thế lượng giác, tuy nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy.
Câu 493: [DS12.C1.3.D14.c] Bên trong một căn nhà bỏ hoang hình lập phương thể tích 1000 m3 có 3
chú nhện con rất hay cãi vã nên phải sống riêng. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành
quyết định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh
lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kì (có thể mép giữa 2
bức tường, giữa tường với trần, hoặc giữa tường với nền) rồi phóng những sợi tơ làm khung
đến vị trí cũng 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ dính đan phần lưới bên trong. Nhưng
vì vốn đã có hiềm khích từ lâu, nên trước khi bắt đầu, chúng quy định để tránh xô xát, không có
bất kì 2 con nhện nào cùng nằm trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Tính chu vi nhỏ nhất
của mảnh lưới được giăng (biết các sợi tơ khung căng và không nhùn).
A. 15 6 mét

B. 2 30 mét

C. 12 10 mét
Lời giải

D. 10 2 mét


Chọn A
Bài toán này ta sẽ giải quyết bằng cách ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian.
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Không mất tính tổng quát, và dựa vào yêu cầu về vị trí 3 con
nhện ta xác định là các điểm M , N , P nằm trên các cạnh A ' B ',CC ', AD như hình vẽ.
Yêu cầu bài toán là cần tìm tọa độ của 3 điểm M , N , P để chu vi tam giác MNP nhỏ nhất.
Đặt M x ;10; 0 , P 0; 0; z , N 10; y;10 . Chu vi tam giác MNP là:
MN


NP
10

x

PQ
2

x

y

10

2

10

2

y

102

10

y2

2


102

z

102

2

10

y2

102

z

z2

10
x

2

2

x2

102


z2

102

Áp dụng bất đẳng thức vecto :
MN

NP

PM

10

x

y

z

2 y

z

x

5

2

y


2

z

x
z

10

y

z
2

x

10

20

10

2

202

10

2


z2

10

10

y

z

2y

x

x

2

102

2

15 6

5
y
z
y


y

2

10

10
x

x

10

y
z

10

450

y

Dấu bằng xảy ra khi

x

10

10 10
10 10

y z 20
x

x

20
10

y

5

x

y

z

5

10

Vậy giá trị cần tìm là 15 6 .
Câu 494: [DS12.C1.3.D14.c] Một ngôi nhà có nền dạng tam giác đều ABC cạnh dài 10  m  được đặt
song song và cách mặt đất h m . Nhà có 3 trụ tại A, B, C vuông góc với  ABC  . Trên trụ A
người ta lấy hai điểm M , N sao cho AM

y và góc giữa  MBC  và NBC bằng

x, AN


90 để là mái và phần chứa đồ bên dưới. Xác định chiều cao thấp nhất của ngôi nhà.

A. 5 3 .
C. 10 .

B. 10 3 .
D. 12 .
Lời giải

Chọn A
Để nhà có chiều cao thấp nhất ta phải chọn N nằm trên mặt đất. Chiều cao của nhà là NM
Gọi I là trung điểm của BC . Ta có
đó suy ra

BC

ABC đều

MNI

MI

BC

NI

BC

IMN vuông tại I nhận AI là đường cao nên

Theo bất đẳng thức Côsi: x

y

2 xy

2. 75

BC , vì MN

AI

MN

900

MIN

AM .AN

10 3

ABC

2

xy

y


5 3

AI

x

10 3
2

2

75

x

y.

BC , từ


Do đó chiều cao thấp nhất của nhà là 10 3.
Câu 495: [DS12.C1.3.D14.c] (NHO QUAN A) Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A
đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là
4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi
diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.
A.

15
km
4


B.

13
km
4

C.

10
4

D.

19
4

Lời giải
Chọn B
Trước tiên, ta xây dựng hàm số f  x  là hàm số tính tổng chi phí sử dụng.
Đặt BS  x thì ta được: SA  4  x, CS 

x 2  1 . Theo đề bài, mỗi km dây điện đặt dưới

nước mất 5000USD, còn đặt dưới đất mất 3000USD, như vậy ta có hàm số f  x  được xác
định như sau:

f  x   3000. 4  x   5000. x 2  1 với x  0;4
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f  x  để có được số tiền ít nhất cần sử dụng và từ đó xác định
được vị trí điểm S.


f '  x   3000  5000.

x
x 1
2

f '  x   0  3000  5000.

.

x
x 1
2

 0  3000 x 2  1  5000 x  0
 3 x2  1  5x
3

16 x 2  9
3
x  


4x .
4
x  0
 x  0

Hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;4.


3
4

Ta có: f  0   17000, f    16000, f  4   20615,52813.
Vậy giá trị nhỏ nhất của f  x  là 16000 và tại x 
nằm cách A một đoạn SA  4  x  4 

3
. Khi đó chi phí là thấp nhất và điểm S
4

3 13
 .
4 4

Câu 496: [DS12.C1.3.D14.c] (THTT SỐ 673) Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai
vị trí A, B. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24 m . Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M


trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình
vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?
A. AM
B. AM
6 m, BM 18 m.
7 m, BM 17 m.
C. AM

4 m, BM


D. AM

20 m.

12 m, BM

12 m.

Lời giải
Chọn A
Đặt AM

MD
CM

x(0
MB 2

x

24)

BD 2

MD

24

BM
24


x

Khảo sát hàm ta được: x

2

x

24
2

6 m

AM 2

x2

100

900 .Suy ra tổng độ dài hai sợi dây là:
x2

900

CA2

x . Ta có CM

f (x ),(0


100

x

24)

BM =18 m .

Câu 497: [DS12.C1.3.D14.c] (HÀ NỘI – AMSTERDAM) Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m , cùng
nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m
và 487m . Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà
người đó có thể đi là:
A. 569, 5m
B. 671, 4m
C. 779, 8m
D. 741, 2m
Lời giải
Chọn C
Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về
dễ dàng tính được BD

MF

492

369, EF

492. Ta đặt EM
x2


x, AM

B.

x, khi đó ta được:

1182 , BM

492

x

2

4872 .

Như vậy ta có hàm số f x được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB:

f x

x2

1182

x

492

2


4872 với x

0; 492

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định
được vị trí điểm M.

f' x

x
x2

x

492
1182

492

x

2

.
487

2



f' x

x

0

x2

1182

x

1182
x

x 2 492
x

487x
0 x
x
0

492
2

x

4872
2


0
487

2

x

492

492

0

2

x

492

x
x2

x

492

2

x


4872

492

4872

x2

x

492

2

x

x2

1182
1182

492
2

58056
492

58056
hay x

605
x 492

118x

2

58056
369

x

58056
605

Hàm số f x liên tục trên đoạn 0; 492 . So sánh các giá trị của f (0) , f
ta có giá trị nhỏ nhất là f

58056
605

58056
, f 492
605

779, 8m

Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m.
Câu 502: [DS12.C1.3.D14.c] (NGÔ QUYỀN – HP) Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc
khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn.

Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị
trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng
thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là
18.000 . Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất.
A. 42.000 đồng.
B. 40.000 đồng.
C. 43.000 đồng.
D. 39.000 đồng.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là x (nghìn đồng).
Vì cứ tăng giá thêm 1 (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm 100 chiếc nên tăng x (nghìn đồng)
thì số xe khăn bán ra giảm 100x chiếc. Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: 3000 100x
chiếc.
Lúc đầu bán với giá 30 (nghìn đồng), mỗi chiếc khăn có lãi 12 (nghìn đồng). Sau khi tăng giá,
mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: 12  x (nghìn đồng). Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu
được sau khi tăng giá là: f  x    3000  100 x 12  x  (nghìn đồng).
Xét hàm số f  x    3000  100 x 12  x  trên  0;   .
Ta có: f  x   100 x 2  1800 x  36000  100  x  9  44100  44100 .
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  9 .


Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là
9.000 đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là 39.000 đồng.
Câu 37. [2D1-3.14-3] (THPT Hồ ng Quang - Hả i Dư ơ ng - Lầ n 1 - 2018 - BTN) Thành phố Hả i
Đ ông dự đị nh xây dự ng mộ t trạ m nư ớ c sạ ch để cung cấ p cho hai khu dân cư A và B .
Trạ m nư ớ c sạ ch đặ t tạ i vị


trí C trên bờ sông. Biế t AB  3 17 km , khoả ng cách từ

A và B

đế n bờ sông lầ n lư ợ t là AM  3km , BN  6 km (hình vẽ ). Gọ i T là tổ ng độ dài đư ờ ng ố ng
từ trạ m nư ớ c đế n A và B . Tìm giá trị

A. 15km .

nhỏ nhấ t củ a T .

B. 14,32 km .

C. 15,56 km .

D. 16 km .

Lời giải
Chọn C

Gọi A đối xứng với A qua MN , D là trung điểm của NB .
Do A cố định nên A cũng cố định.
Ta có: T  CA  CB  CA  CB  AB (không đổi).
Đẳng thức xảy ra khi C  MN  AB .
MC MA MA 1
Khi đó:


 (1)
NC NB NB 2

Mặt khác, MN  AD  AD2  DB 2  153  9  9 2 km (2)
Từ (1) và (2) suy ra MC  3 2 km , NC  6 2 km .
Vậy T  CA  CB  AM 2  MC 2  BN 2  NC 2  9  18  36  72  9 3 15,56 km .
Câu 24: [2D1-3.14-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Độ giảm huyết áp của
một bệnh nhân được cho bởi công thức G  x   0,035x 2 15  x  , trong đó x là liều lượng
thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm
(đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.
A. x  8 .
B. x  10 .
C. x  15 .
D. x  7 .
Lời giải
Chọn B
Đk: x   0;15 . (vì độ giảm huyết áp không thể là số âm)

x  0
Có G  x   0, 035  2 x 15  x   x 2   0,105 x 10  x   0  
.
 x  10


G  0   0 ; G 10  

35
; G 15  0 .
2

Bảng biến thiên:

x

G  x 

0



G  x

10
0
35
2

0

15



0

Vậy huyết áp bệnh nhân giảm nhiều nhất khi tiêm cho bệnh nhân liều x  10 miligam.

Câu 25. [2D1-3.14-3] (THPT Kinh Môn - Hả i Dư ơ ng - 2018 - BTN) Mộ t tạ p chí bán
đư ợ c 25 nghìn đồ ng mộ t cuố n. Chi phí xuấ t bả n x cuố n tạ p chí đư ợ c cho
bở i công thứ c C  x   0,0001x2  0, 2 x  11000 , C  x  đư ợ c tính theo đơ n vị vạ n
đồ ng. Chi phí phát hành cho mỗ i cuố n là 6 nghìn đồ ng. Các khoả n thu khi bán tạ p
chí bao gồ m tiề n bán tạ p chí và 100 triệ u đồ ng nhậ n đư ợ c từ quả ng cáo.
Giả sử số cuố n in ra đề u đư ợ c bán hế t. Tính số tiề n lãi lớ n nhấ t có thể có
đư ợ c khi bán tạ p chí.

A. 100.250.000 đồ ng. B. 100.000.000 đồ ng.
C. 100.500.000
đồ ng.
D. 71.000.000 đồ ng.
Lờ i giả i
Chọ n A
Tổ ng thu khi bán hế t x cuố n tạ p chí là T  x   25x  100000 nghìn đồ ng.
Tổ ng chi phí cho x cuố n tạ p chí là
f  x   0,001x2  2 x  110000  6 x  0,001x 2  4 x  110000 nghìn đồ ng.

Số tiề n lãi thu đư ợ c là
25x  100000  0,001x2  4 x  110000  0,001x2  21x  10000  g  x  nghìn đồ ng.

Dễ thấ y g  x  là hàm số bậ c hai, hệ số a  0,001  0 nên g  x  đạ t GTLN khi
x

21
 10500 và max g  x   100250 nghìn đồ ng.
2.0, 001

Câu 27: [2D1-3.14-3] (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 - BTN) Một tấm bìa carton dạng tam
giác ABC diện tích là S . Tại một điểm D thuộc cạnh BC người ta cắt theo hai đường thẳng
lần lượt song song với hai canh AB và AC để phần bìa còn lại là một hình bình hành có một
đỉnh là A diện tích hình bình hành lớn nhất bằng
S
S
2S
S
A. .
B. .

C. .
D.
.
4
2
3
3
Lời giải
Chọn C


Giả sử độ dài đoạn thẳng BC là a và độ dài đoạn thẳng CD là x với 0  x  a

SCDE x 2
x2
CE CD x

 SCDE  2 SCBA
CBA 

 
SCBA a 2
CA CB a
a

Vì DE / / AB  CDE
Vì
DF / / AB  BDF

BCA 


BD BF a  x


BC BA
a

a  x  S  a  x S
S
 BDF 
BDF
BCA
S BCA
a2
a2
2

2

Vậy  S AEDF  S ABC  S BDF  SCDE

Để S AEDF lớn nhất thì

Xét f  x  

 f  x 
Với x 

x2
a2


x2
a

2

x2
a2

2
a  x



a2

2
a  x



a

2



 a  x 2
a2


 x 2  a  x 2 

 S ABC 1  2 
2
 a

a



nhỏ nhất

2
2
a  a 2  a 

2 x   
 
a 2  2ax  2 x 2
2
2  2  1





2
a2
a2
a2


đạt giá trị nhỏ nhất là

1
a
khi x 
2
2

a
1
S
 S AEDF  S ABC  .
2
2
2

Câu 17: [2D1-3.14-3] (THPT Kiế n An - HP - Lầ n 1 - 2017 - 2018 - BTN) Ngư ờ i ta
muố n thiế t kế

mộ t bể cá theo dạ ng khố i lă ng trụ tứ giác đề u, không có

nắ p trên, làm bằ ng kính, thể tích 8 m3 . Giá mỗ i m 2 kính là 600.000 đồ ng/ m 2 . Gọ i
t là số tiề n tố i thiể u phả i trả . Giá trị t xấ p xỉ vớ i giá trị nào sau đây ?
A. 11.400.000 đồng.
B. 6.790.000 đồng.
C. 4.800.000 đồng. D. 14.400.000 đồng.
Lời giải
Chọn A



A'

D'
C'

B'

A

D

B

C

8
.
x2

Gọi AB  x  0 , ta có V  hx2  8  h 
Diện tích xung quanh của bể cá :
8
32
S xq  4 xh  x 2  4x 2  x 2  x 2 
x
x

16 16
16 16

  3 3 x 2 . .  3 3 256 .
x x
x x
16
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : x 2   x  3 16 .
x
 x2 

 


Số tiền tối thiểu để làm tủ kính là :  3 16


2



32 
 .600.000  11429287,57 đồng.
16 

3

Câu 32. [2D1-3.14-3]
(Chuyên Quang Trung - Bình
Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Một công ty muốn
làm một đường ống dẫn dầu từ một kho A ở trên bờ
biển đến một vị trí B trên một hòn đảo. Hòn đảo
cách bờ biển 6 km . Gọi C là điểm trên bờ sao cho

BC vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến
C là 9 km . Người ta cần xác định một ví trí D trên
AC để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ADB .
Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí thấp nhất,
biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100.000.000 đồng và dưới nước là
260.000.000 đồng.
A. 7 km .
B. 6 km .
C. 7.5 km .
D. 6.5 km .

Lờ i giả i
Chọ n D
Đ ặ t AD  x km, x  0 . CD  9  x ; BD  36   9  x 

2

2
2
Giá thành lắ p đặ t là: 100.106 x  36   9  x  .260.106  107 10 x  26 36   9  x  



Xét hàm số

f  x   10 x  36   9  x  .26  0 < x < 9 

f   x   10  26.

2


9 x
36   9  x 

2

0

x  9
13
2
x .
 10 36   9  x   26  9  x   0  
2
2
576 x  10368 x  43056  0




Lậ p bả ng biế n thiên củ a hàm số
nhỏ nhấ t khi x 
Vậ y AD  6.5 km .

f  x  trên  0;9  ta thấ y hàm số đạ y giá trị

13
.
2


Câu 33. [2D1-3.14-3]
(Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Người ta
muốn xây một chiếc bể chứa nước có hình dạng là một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích
500 3
bằng
m . Biết đáy hồ là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng và giá thuê thợ
3
xây là 100.000 đồng/ m 2 . Tìm kích thước của hồ để chi phí thuê nhân công ít nhất. Khi đó chi
phí thuê nhân công là
A. 15 triệu đồng.
B. 11 triệu đồng.
C. 13 triệu đồng.
D. 17 triệu đồng.

Lờ i giả i
Chọ n A
Gọ i x  x  0  là chiề u rộ ng củ a đáy suy ra thể tích bể nư ớ c bằ ng
V  2 x 2 .h 

500
250
h 2
3
3x

Diệ n tích xung quanh hồ và đáy bể là S  6 x.h  2 x 2 
Xét hàm số
f  x  

f  x 


500
 2x2  x  0
x

500
 2 x 2 vớ i x  0.
x

500
 4x  0  x  5
x2

Lậ p bả ng biế n thiên củ a hàm số

f  x  trên  0;    ta thấ y hàm số đạ y giá trị

nhỏ nhấ t khi
x5

Vậ y chi phí thuê nhân công là: 150*100.000  15.106 .
Câu 10. [2D1-3.14-3]
(Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Giám đốc một nhà
hát A đang phân vân trong việc xác định mức giá vé xem các chương trình được trình chiếu
trong nhà hát. Việc này rất quan trọng nó sẽ quyết định nhà hát thu được bao nhiêu lợi nhuận từ
các buổi trình chiếu. Theo những cuốn sổ ghi chép của mình, ông ta xác định được rằng: nếu
giá vé vào cửa là 20 USD/người thì trung bình có 1000 người đến xem. Nhưng nếu tăng thêm
1 USD/người thì sẽ mất 100 khách hàng hoặc giảm đi 1 USD/người thì sẽ có thêm 100 khách
hàng trong số trung bình.Biết rằng, trung bình, mỗi khách hàng còn đem lại 2 USD lợi nhuận
cho nhà hát trong các dịch vụ đi kèm. Hãy giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần tính giá

vé vào cửa là bao nhiêu để thu nhập là lớn nhất.
A. 18 USD/người. B. 19 USD/người. C. 14 USD/người.
D. 25 USD/người.
Lời giải
Chọn C
Gọi giá vé sau khi điều chỉnh là 20  x  x  20  0 
Số khách là: 1000 100x
Tổng thu nhập
f  x    20  x.1  2 1000  100 x    22  x 1000  100 x   100 x 2  1200x  22000
Bảng biến thiên


max f  x   f  6  .Suy ra giá vé là: x  20  20  6  14 USD

 20; 

Câu 45: [2D1-3.14-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Bạn A có một đoạn dây
mềm và dẻo không đàn hồi 20 m , bạn chia đoạn dây thành hai phần, phần đầu gấp thành một
tam giác đều. Phần còn lại gập thành một hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu  m 
để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất?
120
180
60
40
m.
m.
m.
m.
A.
B.

C.
D.
94 3
94 3
94 3
94 3
Lời giải
Chọn D

20 

Gọi x  m  là cạnh của tam giác đều,  0  x   .
3 

20  3x
Suy ra cạnh hình vuông là
 m .
4
Gọi S là tổng diện tích của hai hình.

S  x   x2 .

2

3  20  3x 

 .
4  4 

Ta có : S '  x  


3
20  3x  3 
x2
.   .
2
4
 4

60
3
20  3x  3 
.
x2
.    0  x 
2
4
94 3
 4
Bảng biến thiên

S ' x  0 

Dựa vào bảng biến thiên, S đạt giá trị nhỏ nhất tại x 

60
m.
94 3



Câu 14: [2D1-3.14-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)
Xét các hình chóp S. ABC có SA  SB  SC  AB  BC  a . Giá trị lớn nhất của khối chóp
S. ABC bằng
A.

3 3a 3
.
4

B.

a3
.
4

a3
.
4

C.

D.

a3
.
8

Lời giải
Chọn D
S


a

H

a
a

a

A

C

x
a

D
B

 SD  AB
 AB   SCD  .
CD  AB

Gọi D là trung điểm của cạnh AB . Theo giải thiết  
Gọi H là trung điểm của cạnh SC thì DH  SC .
1
3

1

3

Ta có VS . ABC  2VS . ADC  2. SSDC . AD  SC.DH . AD .
Đặt B  SD2  a2  x2 .
3a 2
3a 2
 x2 .
 x 2  HD 
4
4
2
3a
x2 
 x2
2
3a 2
a3
1
1
4
 x 2  a.
 .
Ta có VS . ABC  AD.SC.DH  a.x
3
4
8
3
2
3
3

Dấu "  " xảy ra khi ABCD  x  a
8
a3
Vậy giá trị lớn nhất của khối chóp S. ABC là
.
8

Xét tam giác vuông SHD có HD2  SD2  SH 2 

Câu 27: [2D1-3.14-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Để làm
một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc dày 1,5 cm , thành xung quanh cốc dày
0, 2 cm và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là 480 cm3 thì người ta cần ít nhất bao

nhiêu cm3 thủy tinh ?


A. 75,66 cm3 .

B. 80,16 cm3 . C. 85,66 cm3 .

D. 70,16 cm3 .

Lời giải
Chọn A
Gọi bán kính và chiều cao hình trụ bên trong lần lượt là  , h ta có: y  h 

480
.
r2


2
2  480

Thể tích hình trụ bên ngoài là: V    r  0, 2  .  h  1,5    r  0, 2  .  2  1,5  .
 r

2  480

Thể tích thủy tinh là:   r  0, 2  .  2  1,5   480 .
 r

2  480

Xét f  r     r  0, 2  .  2  1,5  , r  0 .
 r

2  960 
 480

 f   r   2  r  0, 2   2  1,5     r  0, 2  .   3 
 r

 r 

192
960
 480

f   r   0  2  2  1,5    r  0, 2  . 3  3  3  r  4 .
r

r
 r


Vậy thể tích thủy tinh người ta cần ít nhất là

27783
  480  75,66  cm3  .
50

Câu 45: [2D1-3.14-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Người ta
làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là 2 m3 . Hỏi bán kính
đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất ?
1
1
1
A. R  2 m, h  m. B. R  4 m, h  m. C. R  m, h  8 m. D. R  1 m, h  2 m.
2
2
5
Lời giải
Chọn D
2
Từ giả thiết ta có: V   R 2 h  2  h  2 .
R


Diện tích toàn phần của thùng phi là:
2


Stp  2 Rh  2 R 2  2  R 2   .
R

2
Xét hàm số f  R   R 2  với R   0;   . Ta có:
R
3
2 2  R  1
f   R   2R  2 
R
R2
f  R  0  R  1

Bảng biến thiên

Suy ra diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi R  1  h  2 .
Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất khi làm thùng phi thì R  1m, h  2m .
Câu 5:

[2D1-3.14-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN) Một sợi dây kim loại dài a

 cm  .

Người ta cắt đoạn dây đó thành hai đoạn có độ dài x  cm  được uốn thành đường tròn và đoạn
còn lại được uốn thánh hình vuông  a  x  0  . Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng
có tổng diện tích nhỏ nhất.
a
2a
4a
a

A. x 
B. x 
 cm  .
 cm  . C. x 
 cm  . D. x 
 cm  .
 4
 4
 4
 4
Lời giải
Chọn C

Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn  0  x  a  .
Suy ra chiều dài đoạn còn lại là a  x .
x
Chu vi đường tròn: 2 r  x  r 
.
2
Diện tích hình tròn: S1   .r 2 

x2
.
4

ax
Diện tích hình vuông: S2  
 .
 4 
2


2
2
x 2  a  x   4    .x  2a x   a
Tổng diện tích hai hình: S 
.

 
16
4  4 
 4    .x  a ; S   0  x  a .
Đạo hàm: S  
8
4
2