Câu 43: [1H3-4.4-4] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình hộp
chữ nhật ABCD. ABCD có các cạnh AB  2, AD  3; AA  4 . Góc giữa hai mặt phẳng

 ABD

và  AC D  là  . Tính giá trị gần đúng của góc  ?

A. 45, 2 .

B. 38,1 .

C. 53, 4 .

D. 61, 6 .

Lời giải
Chọn D
Cách 1: Hai mặt phẳng  ABD  và  AC D  có giao tuyến là EF như hình vẽ. Từ A và D
ta kẻ 2 đoạn vuông góc lên giao tuyến EF sẽ là chung một điểm H như hình vẽ. Khi đó, góc
giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng AH và DH .

Tam giác DEF lần lượt có DE 

BA
DA 5
DB
13
, DF 

 5.
 , EF 

2
2
2
2
2

2S
61
305
. Suy ra DH  DEF 
.
4
EF
10
HA2  HD2  AD2
29
Tam giác DAH có: cos AHD 
 .
2 HA.HD
61

Theo hê rông ta có: S DEF 





Do đó AHD  118, 4 hay AH , DH  180  118, 4  61,6 .
Cách 2: Gắn hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD vào hệ trục tọa độ như hình vẽ . Khi đó
A  0;0;0  , B  2;0;0  , D  0;3;0  , C  2;3;0  , A  0;0; 4  , B  2;0; 4  , D  0;3; 4  , C   2;3; 4  .

Gọi n1 là véc tơ pháp tuyến của  ABD  . Có n1   AB; AD   12;  8;6  .
Gọi n2 là véc tơ pháp tuyến của  AC D  . Có n2   AC ; AD    12;8;6  .
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  ABD  và  AC D 

cos  

n1 n2
n1 n2



29
. Vậy giá trị gần đúng của góc  là 61, 6
61

Câu 50: [1H3-4.4-4](Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình
bình hành. Góc tạo bởi mặt bên  SAB  với đáy bằng  . Tỉ số diện tích của tam giác SAB và
hình bình hành ABCD bằng k . Mặt phẳng  P  đi qua AB và chia hình chóp S. ABCD thành
hai phần có thể tích bằng nhau. Gọi  là góc tạo bởi mặt phẳng  P  và mặt đáy. Tính cot 
theo  và k .
A. cot

cot

5 1
.
4k sin

B. cot


tan

5 1
.
k sin


C. cot

cot

5 1
.
k sin

D. cot

5 1
.
k sin

tan

Lời giải
Chọn A
S

M

N

D

C

A

B

Giả sử mặt phẳng  P  cắt SD , SC lần lượt tại M , N . Khi đó: MN //CD .
SM SN

 m 0.
SD SD
VS .MNB SM SN

.
 m2
V
 S .DCB SD SC
Ta có: 
VS . ABM  SM  m *
 VS . ABD
SD

Đặt:



VS . ABNM
V

5 1
(Vì m  0 ).
 m2  m  S . ABNM  m2  m  m2  m  1  m 
VS . ABD
2VS . ABCD
2

Từ * suy ra: VS . ABM  mV
. S . ABD  m. VS . ABM  VM . ABD  

VS . ABM
m
1 5


1 .
VM . ABD 1  m
2

1
S SAB .d  M ; SAB  S .sin   


VS . ABM
3

 SAB
Mặt khác:
VM . ABD 1 S .d M ; ABD
S ABD .sin 



ABD
3
Từ 1 và  2  ta có:



 2 .

1  5 S SAB .sin    
1  5 k .S ABCD sin    
.



1
2
S ABD .sin 
2
S ABCD .sin 
2

1  5 2k sin    
1 5
1 5
.


 sin  .cot   cos   cot   cot  

2
sin 
4k
4k.sin 

Câu 41: [1H3-4.4-4] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Cho hình lăng trụ đều
ABC. ABC có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  ABC   và

 ABC  , tính cos 


A.

1
.
7

B.

21
.
7

C.

7
.
7

D.


4
.
7

Lời giải
Chọn A

Giả sử cạnh của hình lăng trụ đều ABC. ABC có độ dài bằng a .
Gọi M  AB  AB và N  AC  AC .
Khi đó  ABC    ABC   MN .

 I  MN  mà AA  BC , BC //MN  AA  MN . Vậy
Khi đó   ABC  ,  ABC     AI , AI    .
Kẻ AI  MN

AI  MN .

Gọi J là trung điểm BC .
1
a 3
a 7
7
, AJ  AA2  AJ 2 
.
a  AI  AJ 
2
2
2
4

Xét tam giác AIA có:
AI 2  AI 2  AA2 1
1
cos AIA 

 cos   cos  AI , AI   cos 180  AIA  .
2. AI . AI
7
7
AJ 





Câu 42: [1H3-4.4-4] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp
S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , BC  a , cạnh bên SA vuông góc với đáy,
SA  a 3 . Gọi M là trung điểm của AC . Tính côtang góc giữa hai mặt phẳng  SBM  và

 SAB  .
A.

3
.
2

Chọn A

B. 1 .


21
.
7
Hướng dẫn giải
C.

D.

2 7
.
7


S

K
H

M

A

C

B

Kẻ AH  SB và AK  SM .
Vì tam giác ABC vuông cân tại B và BC  a cùng với SA   ABC  nên suy ra BM   SAC 
AC a 2
. Do đó BM  AK .


2
2
Từ BM  AK và AK  SM suy ra AK   SBM   AK  SB .

và BM  AM 

Từ AH  SB và AK  SB ta có

 SAB  bằng hoặc bù với góc

 AHK   SB . Do đó, góc giữa hai mặt phẳng  SBM 

AHK .

Ta có:
AH 

AK 

SA. AB
SA2  AB 2

SA. AM
SA2  AM 2



a.a 3


a 3



2



 a2

a 3
.
2

a 2
.a 3
2

a 3

2

a 2


 2 

2




Từ  AHK   SB ta có HK  SB nên SHK

a 21
.
7

SMB , do đó

Mặt khác

SA2
SK .SM  SA2  SK 

SM

SB  SA2  AB2  2a ;

a 3
a 3

2

2

a 2


 2 


2



3a 14
;
7

HK SK
.

MB SB

và


HK SK 3 14
3 14 a 2 3a 7
3 14
.
 HK 

.


.MB 
MB SB
14
2
14

14
14
Trong tam giác AHK ta có:

Nên

2

2

2

 a 3   3a 7   a 21 

 
 

AH 2  HK 2  AK 2  2   14   7 
21
.
cos AHK 


2. AH .HK
7
a 3 3a 7
2.
.
2
14


Như vậy, góc giữa hai mặt phẳng  SBM  và  SAB  là  với cos  
Bởi vậy: cot  

2 7
21
.
 sin  
7
7

cos 
3
.

sin 
2

Câu 40: [1H3-4.4-4] (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có

AB  2a , AD  3a , AA  4a . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  ABD  và  AC D  . Giá trị
của cos  bằng
A.

29
.
61

B.


27
.
34

C.

2
.
2

D.

Lời giải
Chọn A

Gọi E , E ' lần lượt là tâm của hình chữ nhật ADDA , ABCD .
Khi đó: EE   DAC    ABD  .
Dựng AH , DF lần lượt là đường cao của hai tam giác DAC , ABD .
 AK  EE 
Dễ thấy: AH , DF , EE đồng qui tại K và 
.
 DK  EE 
Hình chữ nhật DDCC có: DC  DD2  DC2  2 5a .
Hình chữ nhật ADDA có: AD  AD2  AA2  5a .
Hình chữ nhật ABCD có: AC  AB2  BC2  13a .

137
.
169



Suy ra: SDAC  61a 2  AH 

2SDAC 
305
305

a  AK 
a.
DC 
5
10

305
a.
10
AK 2  DK 2  AD2
29
 .
Trong tam giác ADK có: cos x 
2. AK .DK
61
29
 cos   cos x 
.
61
Hoàn toàn tương tự ta có: DK 

Câu 50. [1H3-4.4-4] [SGD SOC TRANG_2018_BTN_6ID_HDG] Cho hình chóp S. ABCD có đáy là
hình vuông cạnh a , cạnh bên SA  a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là

trung điểm SB và SD ,  là góc giữa hai mặt phẳng  AMN  và  SBD  . Giá trị sin  bằng
S

M
N
B

A

D

A.

2
.
3

B.

C

2 2
.
3

C.
Lời giải

Chọn B


7
.
3

D.

1
.
3


S

N
K
M
H
A

D

O
B

C

Gọi O  AC  BD , trong mặt phẳng ( SAC ) , gọi K  SO  MN , suy ra K là trung điểm của
SO .

Ta có  AMN    SBD   MN .


 BD  AC
Ngoài ra 
 BD   SAC  mà MN //BD nên MN   SAC  , suy ra MN  AK .
 BD  SA
Mặt khác SO  BD nên SO  MN hay KO  MN .
 chính là góc giữa KA và KO , suy ra sin   sin AKO .
Gọi H là hình chiếu của A lên SO .
Xét tam giác SAO vuông tại A có AH là đường cao nên

2
2  a .
AH 

3
SA2  AO 2
a2
a2 
2
Xét tam giác SAO vuông tại A có AK là đường trung tuyến nên
a.a

SA. AO

AK 

SO

2


a2
2 a 6.
2
4

a2 

a 3
AH
2 2
Xét tam giác AHK vuông tại H ta có sin   sin AKO 
.
 3 
AK
3
6
a
4
Câu 50: [1H3-4.4-4] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC
61
. Hình chiếu của B lên
2
mặt phẳng  ABC  là trung điểm cạnh BC , M là trung điểm cạnh AB . Cosin của góc tạo bởi

có đáy là tam giác ABC vuông tại A , AB  3 , AC  4 , AA 

mặt phẳng  AMC   và mặt phẳng  ABC  bằng
A.

11

3157

B.

13
65

C.

33
3517

D.

33
3157


Hướng dẫn giải
Chọn D

Gọi H là trung điểm BC .
Ta có: BC  AB2  AC 2  5
Xét tam giác BBH vuông tại H : BH 2  BB2  BH 2  3
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A trùng với O như hình vẽ
 3 
 3 
Với A  0;0;0  , B  0;3;0  , C  4;0;0   H  2; ;0  là trung điểm BC  B  2; ;3 
 2 
 2 


3 
3 


Do BB  AA  CC  A  2;  ;3  ; C   6;  ;3   M  2;0;3
2 
2 


3 

AM   2;0;3 ; AC    6;  ;3  nên vectơ pháp tuyến  MAC   là n  MAC   AM , AC 
2 

9

  ;12; 3 
2

9


 3

AB   2; ; 3  ; AC   2; ; 3  nên vectơ pháp tuyến  ABC  là n  ABC    AB, AC 
2


 2



  9; 12; 12 
Gọi  là góc tạo bởi mặt phẳng  AMC   và mặt phẳng  ABC  .

cos  

n  MAC .n  ABC 
n  MAC . n  ABC 



9
.  9   12.  12   3.  12 
2
2

2
9
2
   12   3 .
2

 9    12    12 
2

2

=
2


33
.
3157


----------HẾT----------Câu 47:

[1H3-4.4-4] (Sở Quảng Bình - 2018 - BTN – 6ID – HDG)Cho

hình chóp S. ABC có ABC vuông tại B , AB  1, BC  3 , SAC đều, mặt phẳng  SAC 
vuông với đáy. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SBC  . Giá trị của cos  bằng
A.

2 65
65

B.

65
20

65
10

C.

D.

65

65

Lời giải
Chọn D

Gọi H , M , N lần lượt là trung điểm của AC, AB, BC .

 SAC    ABC   SH   ABC   SH  HM , SH  HN
ABC  B  HM  HN
ABC  B  AC  2  SH  3

HM 

1
1
1
3
; HN  AB 
BC 
2
2
2
2

1 3 

3 
1

Chọn hệ trục tọa độ như sau: H  0;0;0  ; S 0;0; 3 ; M  0;

;0 
;0  ; N  ;0;0  , B  ;
2
2
2
2












3 
BN   0; 
;0 
2 


 1

BM    ;0;0 
 2



;
 1

3


BS    ; 
; 3  BS    1 ;  3 ; 3 


2
2
 2

 2


 3

3 3
3
n1   BM , BS    0;
;
 ; n2   BN , BS     ;0; 

4 
 2
 2 4 






cos   cos n1; n2 



3
16

3 3 9 3
 . 
4 16 4 16



65
65