Câu 4. [1H3-4.4-2] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho hình chóp S. ABC có đáy
ABC là tam giác vuông tại đỉnh A , cạnh BC  a , AC 

a 6
a 3
các cạnh bên SA  SB  SC 
. Tính
2
3

góc tạo bởi mặt bên  SAB  và mặt phẳng đáy  ABC  .
A.


.
6

B.


.
3

C.


.
4

D. arctan 3 .

Lời giải
Chọn B
a 3
nên hình chiếu của S trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABC .
2
Nhận xét H là trung điểm BC .

Vì SA  SB  SC 

S

C

A
H

M
B

Gọi M là trung điểm AB , nhận xét AB   SMH  nên góc tạo bởi mặt bên  SAB  và mặt phẳng đáy

 ABC  là góc

SMH .

Xét tam giác SBH có SH  SB 2  BH 2 

a 2
.
2


a 2
SH
Xét tam giác SMH có tan M 
 2  3  M  60o .
MH a 6
6

Câu 25: [1H3-4.4-2] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho hình chóp S. ABC có tam
giác ABC vuông cân tại B , AB  BC  a , SA  a 3 , SA   ABC  . Góc giữa hai mặt phẳng

 SBC  và  ABC  là
A. 45o .
Chọn B

B. 60o .

C. 90o .
Lời giải

D. 30o .


Ta có BC   SAB   BC  SA . Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  là góc SBA .
tan SBA 

Câu 2:

SA a 3
 3  SBA  60o .


a
AB

[1H3-4.4-2] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tứ
giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.
1
1
1
1
A. .
B.
.
C. .
D.
.
3
2
3
2
Lời giải
Chọn B
S

B

A
H

O

D

C

Gọi O là trung điểm của AC . Vì S. ABCD là hình chóp đều nên SO   ABCD  .
Gọi H là trung điểm của BC và góc giữa mặt bên  SBC  và mặt đáy  ABCD  là  .
Ta có  SBC    ABCD   BC mà BC  SH và BC  OH nên SHO   .
SH là đường cao của tam giác đều SBC cạnh a nên SH 

a 3
,
2

a
1
OH
Xét tam giác SOH vuông tại O có: cos  
.
 2 
SH
a 3
3
2
Câu 43. [1H3-4.4-2] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp
S. ABC có SA  ( ABC ), SA  2a. Tam giác ABC vuông tại B AB  a , BC  a 3 . Tính cosin
của góc  tạo bởi hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBC ).

A. cos  
Chọn A


3
.
5

B. cos  

1
2
.
C. cos  
.
5
3
Lời giải

D. cos  

1
.
3


S

H

C

A


B

Kẻ BH  AC  BH  (SAC ) . Áp dụng công thức S '  S cos  trong đó S '  dt SHC  ,
S  dt SBC  ,  là góc hợp bởi hai mặt phẳng SBC  và SAC 
Dễ thấy tam giác SBC vuông tại B và SB  a 5 . dt SBC  

a 2 15
2

BC2 3
15
3
CH 
 a , dt SHC   a 2 . Vậy cos  
AC 2
5
2
Câu 13: [1H3-4.4-2] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Hình chóp S. ABC
có đáy là tam giác vuông tại B có AB  a , AC  2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA  2a. Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng  SAC  ,  SBC  . Tính cos   ?

A.

3
.
2

B.

1

.
2

C.

15
.
5

D.

3
.
5

Lời giải
Chọn C
S

K

H
C

A

B

Ta có SA   ABC   SA  BC
Mặt khác BC  AB  BC   SAB   BC  AH (1).

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB , SC khi đó ta có.
AH  SC (2).


Từ (1) và (2) ta có AH   SBC   AH  SC (3).
Mặt khác ta lại có AK  SC (4).
Từ (3) và (4) ta có SC   AHK   SC  HK .
Vậy

 SAC  ,  SBC    AK , HK   AKH .

Do AH   SBC   AH  HK hay tam giác AHK vuông tại H .
Ta có AH 

AB.SA
AB  SA

Vậy cos AKH 

2

2



2a 5
; AK 
5

AC.SA

AC  SA
2

2

 a 2  HK 

a 30
.
5

HK
15
.

AK
5

Câu 13. [1H3-4.4-2] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao hình chóp bằng
a 3
. Góc giữa mặt bên và mặt đáy là
2
A. 30°
B. 45°

C. 60°

D. 75°

Lời giải

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và E là trung điểm của CD.

 OE là đường trung bình của ACD
OE / / AD


1
a
OE  2 AD  2
Vì OE / / AD  OE  CD

CD  OE
 CD   SOE   CD  SE
VÌ 
CD  SO
Vì

 ABCD    SCD   CD

   ABCD  ,  SCD    SE , OE  SEO
 SE  CD
OE  CD


a 3
SO
 2  3  SEO  60
Xét SEO vuông tại O, ta có: tan SEO 
a
OE

2
Vậy

 ABCD  ,  SCD   SEO  60 .

Chọn đáp án C.
Câu 33. [1H3-4.4-2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Đường thẳng
SO vuông góc với mặt phẳng đáy

 SBC  và  ABCD 

 ABCD 

và SO 

a 3
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
2


A. 30°
B. 45°
Lời giải: Chọn đáp án C

C. 60°

D. 90°

Gọi M là trung điểm của BC  OM  BC


 BC  OM
 BC   SOM 
 BC  SO

Ta có 

   SBC  ,  ABCD    SMO
Ta có tan SMO 

SO
 3  SMO  60
OM

Câu 34. [1H3-4.4-2] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  2, BC  2 3 ,

3
và vuông góc với mặt đáy  ABC  . Gọi M là trung điểm AB, tính tan của
2
góc giữa hai mặt phẳng  SMC  và mặt đáy  ABC  .
cạnh bên SA 

A.

4
13

Lời giải: Chọn đáp án B

B.


13
4

C. 1

D.

2
2


CM  AH
 CM   SAH 
CM  SA

Kẻ AH  CM ta có 

 SMC  ,  ABC    AH , SH   SHA
Ta có AH 

S ABC 2 39
SA
13

 tan SHA 

CM
13
AH
4


Câu 35. [1H3-4.4-2] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng

 BDA ' và  ABCD  .

A.

3
3

B.

3
2

C.

6
3

D.

2
2

Lời giải: Chọn đáp án A

 BD  AC
 BD   A ' AC 
 BD  A ' A


Ta có 

   BDA ' ,  ABCD    A ' OA
Ta có AO 

a 2
a 6
, A ' A  a  A ' O  AO 2  A ' A2 
2
2

 cos A ' OA 

AO
3

A'O
3

Câu 36. [1H3-4.4-2] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  AC  a ; cạnh
bên SA  a và vuông góc với đáy. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  SBC  .
A.

6
3

Lời giải: Chọn đáp án C

B.


2
2

C.

3
3

D.

3
2


 AB  AC
 AB   SAC 
 AB  SA

Kẻ AH  SC ta có 

 AB  SC mà SC  AH  SC   SHB 
   SAC  ,  SBC     AH , HB   AHB
Ta có

1
1
1
2
a 2



 2  AH 
2
2
2
AH
AS
AC
a
2

 HB  AB 2  AH 2 

a 6
AH
3
 cos AHB 

2
BH
3

Câu 41. [1H3-4.4-2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SAB cân tại S và
thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết đường thẳng SC tạo với đáy một góc 60°. Tính tan
góc giữa 2 mặt phẳng  SCD  và  ABCD  .
A.

15


B.

15
2

C.

15
5

Lời giải: Chọn đáp án B

Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH  AB
Mặt khác  SAB    ABCD  suy ra SH   ABCD  .

D.

15
15






Khi đó SC ,  ABCD   SCH  60
Lại có HC  HB2  BC 2  a 5  SH  a 5.tan 60  a 15
Dựng HK  CD lại có SH  CD  CD   SKH 

 SKH    SCD  ,  ABC  

Khi đó tan SKH 

SH SH a 15
15



HK BC
2a
2

Câu 43. [1H3-4.4-2] Cho hình lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a. Tính cosin góc
giữa 2 mặt phẳng  A ' BC  và mặt đáy  ABC  .
A.

3
2

B.

2
3

C.

21
7

D.


21
21

Chọn đáp án C

Gọi M là trung điểm của BC khi đó AM  BC
Lại có AA '  BC suy ra  A ' MA  BC   A ' BC , ABC   A ' MA
Mặt khác AM 

a 3
MA '
do đó cos A ' MA 

2
A' M

MA '
AA '2  AM 2

a 3
21
2


2
7
3a
a2 
4
Câu 47. [1H3-4.4-2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có


AB  2a , AD  DC  a , SA  a và SA   ABCD  . Tan của góc giữa 2 mặt phẳng

 SBC  và  ABCD  là:


A.

1
3

B.

3

C.

2

D.

1
2

Lời giải: Chọn đáp án D

Ta có

 SBC  ,  ABCD   ACS


Ta có AC 

AD2  DC 2  a 2

 tan ACS 

SA
1

AC
2

Câu 48. [1H3-4.4-2] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA   ABC  ,

SA  a 3 . Cosin của góc giữa 2 mặt phẳng  SAB  và  SBC  là:
A.

2
5

B.

2
5

C. 

Lời giải: Chọn đáp án D

Gọi M là trung điểm AB


CM  AB
 CM   SAB   CM  SB
CM

SA


Ta có 

1
5

D.

1
5


 SB  MN
 SB   CMN 
 SB  CM

Kẻ MN  SB ta có 

   SAB  ,  SBC     MN , NC   MNC

Câu 13.

Ta có tan SBA 


SA
 3  SBA  60
AB

Ta có sin SBA 

MN
a 3
1
 MN 
 cos MNC 
MB
4
5

[1H3-4.4-2] Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' . Xét mặt phẳng  A ' BD  . Trong các
mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Góc giữa mặt phẳng  A ' BD  và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng
nhau.
B. Góc giữa mặt phẳng  A ' BD  và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng
nhau và phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương.
C. Góc giữa mặt phẳng  A ' BD  và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng 

1
.
2
D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.
mà tan  


Lời giải
Chọn A

Gọi M  A ' B  AB '  AM  A ' B

     A ' BD  ,  ABB ' A '   DMA  tan  
Gọi N  A ' D  AD '  AN  A ' D

     A ' BD  ,  ADD ' A '    BNA  tan  
Do đó    .

AD AD

 2.
AM AB
2
AB AB

 2.
AN AD
2

Hơn nữa  CDC ' D ' / /  ABB ' A '      A ' BD  ,  ABB ' A '      A ' BD  ,  CDC ' D '  

 BCC ' B ' / /  ADD ' A '     A ' BD  ,  ADD ' A '     A ' BD  ,  BCC ' B ' 
Từ đó A đúng và B, C, D sai.


Câu 14.


[1H3-4.4-2] Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  và đáy ABC là tam giác vuông tại A .
Khẳng định nào sau đây sai?
A.  SAB    ABC 
B.  SAB    SAC  .
C. Vẽ AH  BC,  H  BC   góc AHS là góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  .
D. Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SAC  là góc ACB .
Lời giải
Chọn D

Từ SA   ABC    SAB    ABC   A đúng

 BA  AC
Ta có 
 BA   SAC    SAB    SAC   B đúng
 BA  SA
Rõ ràng C đúng.
Nếu D đúng thì SC  BC và SC  AC mà điều này không xảy ra nên D sai.
Câu 15. [1H3-4.4-2] Cho tứ diện ABCD có AC  AD và BC  BD . Gọi I là trung điểm của CD .
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng  ACD  và  BCD  là góc AIB .
B.  BCD    AIB  .
C. Góc giữa mặt phẳng  ABC  và  ABD  là góc CBD .
D.  ACD    AIB  .
Lời giải
Chọn C

Tam giác ACD cân tại A và tam giác BCD cân tại B.
CD  IA
 CD   IAB  .
Mà I là trung điểm của cạnh CD  

CD  IB
Từ đó ta có ngay A, B, D đúng.
Nếu C đúng thì AB  BC và AB  BD mà ta không thể có điều này nên C sai.
Câu 17. [1H3-4.4-2] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây sai?


A. Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  là góc ABS .
B. Góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  là góc SOA (với O là tâm của hình vuông
ABCD).
C. Góc giữa hai mặt phẳng  SAD  và  ABCD  là góc SDA .
D.  SAC    SBD  .
Lời giải
Chọn C
Ta có AB  BC    SBC  ,  ABCD    SBA  A đúng
+) AO  BD    SBC  ,  ABCD    SOA  B đúng
+)  SAD    ABCD   C sai

 BD  AC
+) 
 BD   SAC    SBD    SAC   D đúng.
 BD  SA
Câu 18. [1H3-4.4-2] Cosin của góc giữa hai mặt phẳng của tứ diện đều bằng
1
2
3
A.
.
B.
.

C.
.
2
2
2
Lời giải
Chọn D

D.

1
.
3

Kẻ SH   ABC  tại H và gọi I  BH  AC .
Ta có cos   SAC  ,  ABC    cos SIH 

Câu 20.

IH
.
IS

Tam giác ABC đều  IH 

AC
.
2 3

Tam giác SAC đều  IS 


AC 3
1
 cos   SAC  ,  ABC    .
2
3

[1H3-4.4-2] Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 2 và chiều cao bằng
của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
A. 30 .
B. 45 .
Lời giải
Chọn B

C. 60 .

D. 75 .

a 2
. Số đo
2


Ta có SO   ABCD  và tứ giác ABCD là hình vuông.
Kẻ OP  CD  P  CD     SCD  ,  ABCD    SPO .
a 2
SO
Lại có tan SPO 
 2  1  SPO  45 .
OP a 2

2
Câu 21. [1H3-4.4-2] Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Cosin của góc giữa
một mặt bên và một mặt đáy bằng
1
1
1
1
A. .
B.
.
C. .
D.
.
3
2
3
2
Lời giải
Chọn B

Ta có SO   ABCD  và tứ giác ABCD là hình vuông.
Kẻ OP  CD  P  CD     SCD  ,  ABCD    SPO .
2

a
 a 
Cạnh SO  SC  OC  a  
  SO 
2
 2

2

2

2

2

2

a2  a 
a 3
.
    SP 
2 2
2
a
OP
1
.
 cos SPO 
 2 
SP a 3
3
2
Câu 24. [1H3-4.4-2] Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có AB  AA '  a, BC  2a, CA  a 5 .
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Đáy ABC là tam giác vuông.
B. Hai mặt phẳng  AA ' B ' B  và  BB ' C ' vuông góc với nhau
 SP 2  SO 2  OP 2 


C. Góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  A ' BC  có số đo bằng 45 .


D. AC '  2a 2 .
Lời giải
Chọn C
Dễ thấy AC '  AC 2  C ' C 2  5a 2  a 2  a 6 .
Câu 25.


Câu 28. [1H3-4.4-2] Cho tứ diện ABCD có
AB  72cm, CA  58cm, BC  50cm, CD  40cm và CD   ABC  . Khi đó, góc giữa hai mặt
phẳng  ABC  và  ABD  bằng
A. 45 .

B. 30 .

C. 60 .

D. Đáp án khác.

Lời giải
Chọn A

Kẻ CH  AB  H  AB   AB   CDH  .

   ABD  ,  ABC     DH , CH   DHC   0;90  .
17
144

 sin ACB 
 SABC  1440 .
145
145
1
2.1440
Mà SABC  CH . AB  CH 
 40  CD  DHC  45 .
2
72
Câu 32. [1H3-4.4-2] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O . Biết
SO   ABCD  , SO  a 3 và đường tròn nội tiếp đáy ABCD có bán kính bằng a . Góc hợp
bởi mỗi mặt bên với đáy bằng
A. 30 .
B. 45 .
C. 60 .
D. 75 .
Lời giải
Chọn C

Xét ABC có cos ACB 

Dựng OH  CD , lại có SO  CD  CD  SHO
Mặt khác OH  r  a
SO
 3  SHO  60
và tan SHO 
OH
Do đó
Câu 1847.


 SCD  ,  ABCD   60 .

[1H3-4.4-2] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Góc giữa mặt phẳng  P  và mặt phẳng  Q  bằng góc nhọn giữa mặt phẳng  P  và mặt
phẳng  R  khi và chỉ khi mặt phẳng  Q  song song với mặt phẳng  R 


B. Góc giữa mặt phẳng  P  và mặt phẳng  Q  bằng góc nhọn giữa mặt phẳng  P  và mặt
phẳng  R  khi và chỉ khi mặt phẳng  Q  song song với mặt phẳng  R  (hoặc  Q    R  ).
C. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn
D. Cả ba mệnh đề trên đều đúng
Lời giải
Chọn B

A sai vì đúng trong trường hợp  Q    R  , C sai vì góc giữa 2 mặt phẳng có thể bằng 0 hoặc
90°.
Câu 23: [1H3-4.4-2] [SGD NINH BINH _ 2018 _ BTN _ 6ID _ HDG] Cho hình chóp tứ giác đều
S. ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng  SAB 
và  SAD  .
S

D

C

A.

1

.
3

A

B

1
B.  .
3

C. 

2 2
.
3

D.

2 2
.
3

Lời giải
Chọn A
S

I

A


D

C

B

Gọi I là trung điểm SA .
Vì các tam giác SAB và SAD là tam giác đều nên ta có BI và DI cùng vuông góc với SA
 góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  là  BI , DI  .
Trong tam giác BID ta có: cos  BI , DI   cos BID 

DI 2  BI 2  BD 2 1
 .
2 BI .DI
3

Vậy cosin của góc giữa mặt phẳng  SAB  và  SAD  bằng

1
.
3

Câu 749. [1H3-4.4-2] (THPT NGÔ GIA TỰ) Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh 2a 3, SA  SB  SC  3a. Gọi  là góc giữa mặt bên và mặt đáy ta có giá trị của

cos  là:


A.


6
.
6

B.

30
.
6

1
.
3

C.

D.

5
.
5

Lời giải
Chọn A
S

A

C


O

M

B

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC , M là trung điểm của BC
Ta có SM  BC; OM  BC . Nên góc giữa  SBC  và  ABC  bằng góc SMO ( Vì tam giác

SMO vuông tại O)
1
AM
OM
a
1
6
3
.Câu 32:
cos  




2
2
2
2
SM
6

6
SB  BM
9a  3a

[1H3-4.4-2] (THPT Chu Văn An -

Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD có BAC  CAD  DAB  90 ,
AB  1, AC  2 , AD  3 . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  BCD  bằng
A.

2 13
13

B.

3 5
7

C.

1
3

D.

2
7

Lời giải
Chọn D

D

C

A
H
B

Gọi H là hình chiếu của A trên BC . Do DA  AB , DA  AC  DA  BC .
Mà AH  BC  BC   AHD  .
Do đó góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  BCD  là DHA .
1
1
1
2 5
.


 AH 
2
2
2
AH
AB
AC
5
AH
AH
2
Xét SAH vuông tại A : cos DHA 


 .
2
2
DH
7
DA  AH

Xét ABC vuông tại A :

Câu 25:

[1H3-4.4-2] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình
chóp S. ABC có SA   ABC  , tam giác ABC đều cạnh a và SA  a . Tang của góc giữa
đường thẳng SC và mặt phẳng  SAB  bằng


A.

3
5

B.

3
2 2

C. 1

D.


1
2

Lời giải
Chọn A

Gọi M là trung điểm AB thì CM  AB  CM   SAB  .

 





Ta có SM là hình chiếu của SC trên  SAB   SC ,  SAC   SC , SM  MSC .
Ta có MC 
Câu 2365.

3
MC
a 5
a 3
, SM  SA2  AM 2 
. Vậy tan MSC 
.

2
2
SM

5

[1H3-4.4-2] Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  và AB  BC , gọi I là trung điểm

BC . Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  là góc nào sau đây?
A. Góc SBA .

B. Góc SCA .

C. Góc SCB .
Lời giải

D. Góc SIA .

Chọn A
S

A

C
I
B

Ta có: BC  SA, BC  AB  BC  SB
  SBC    ABC   BC

  AB  BC , AB   ABC     SBC  ,  ABC    SBA .
 SB  BC , SB   SBC 



Câu 2366.

[1H3-4.4-2] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA   ABCD  , gọi

O là tâm hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây sai?


A. Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  là góc ABS .
B. Góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  là góc SOA .
C. Góc giữa hai mặt phẳng  SAD  và  ABCD  là góc SDA .
D.  SAC    SBD  .
Lời giải
Chọn C
S

A

D

O
B

C

  SAD    ABCD   AD

Ta có:  AB  AD, AB   ABCD     SAD  ,  ABCD    SAB .
 SA  AD, SA   SAD 



Nên đáp án C sai.
Câu 2388.

[1H3-4.4-2] Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 2 và chiều cao bằng

Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy.
A. 30 .
B. 45 .
C. 60 .
Lời giải.
Chọn B

D. 75 .

S

a 2
2

B

C
?

M

H
A

a 2


a 2

D

Giả sử hình chóp đã cho là S. ABCD có đường cao SH .
Ta có:  ABCD    SCD   CD .
Gọi M là trung điểm của CD  dễ chứng minh được SM  CD và HM  CD .

a 2
.
2


   ABCD  ,  SCD     HM , SM   SMH .
1
a 2
AD 
2
2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H , ta có :

Mặt khác: HM 

tan SMH 
Câu 2389.
A.

SH a 2 2


.
 1  SMH  45 .
HM
2 a 2

[1H3-4.4-2] Tính cosin của góc giữa hai mặt của một tứ diện đều.
3
.
2

B.

2
.
3

1
.
2
Lời giải.

C.

D.

1
.
3

Chọn D

A

a
a

a

D

B
a
a

E
C

Giả sử tứ diện đều đã cho là ABCD có cạnh a .
Ta có:  ABC    BCD   BC .
Gọi E là trung điểm BC . Khi đó dễ dàng chứng minh được AE  BC và DE  BC .
   ABC  ,  BCD     AE, DE   AED .

a 3
.
2
Áp dụng hệ quả của định lý cô sin trong tam giác
3a 2 3a 2

 a2
AE 2  DE 2  AD 2
4

cos AED 
 4

2. AE.DE
a 3 a 3
2.
.
2
2

Ta dễ tính được: AE  DE 

AED ta có:

a2
2 1.
3a 2 3
2

Câu 2391.
[1H3-4.4-2] Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc
giữa một mặt bên và một mặt đáy.
1
1
1
1
A. .
B. .
C.
.

D.
.
3
2
3
2
Lời giải.
Chọn C


S

a
a

a
B

C
?

M

H
a

a
A

D


Giả sử gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là S. ABCD có đường cao SH .
Ta có:  SCD    ABCD   CD . Gọi M là trung điểm CD .
Dễ chứng minh được SM  CD và

HM  CD    SCD  ,  ABCD     SM , HM   SMH   .
Từ giả thiết suy ra SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến  SM 

a 3
.
2

a
HM
1
 cos  
 2 
.
SM
a 3
3
2
Câu 25: [1H3-4.4-2] (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) Cho hình chóp S. ABC có
đáy là tam giác vuông cân tại B , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB  BC  a và
SA  a . Góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  SBC  bằng
A. 60 .

B. 90 .

C. 30 .


D. 45 .

Lời giải
Chọn A

S

K


A

H

C

B
Gọi H là trung điểm cạnh AC
Ta có  SAC    ABC  (vì SA   ABC  ) và BH  AC  BH   SAC  .


Trong mặt phẳng  SAC  , kẻ HK  SC thì SC   BHK   SC  BK .





  SAC  ,  SBC   SKH   .


Mặt khác
Tam giác ABC vuông cân tại B có AB  BC  a nên AC  a 2 và BH 
Hai tam giác CKH và CAS đồng dạng nên HK 
Tam giác BHK vuông tại H có tan  
Vậy

a 2
.
2

HC.SA
HC.SA
a 2
.
 HK 

2
2
SC
3
SA  AC

BH
 3    60 .
BK

 SAC  ,  SBC   60 .

Câu 22: [1H3-4.4-2] (SGD - Quảng Nam - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S. ABCD có
đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt đáy (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai

mặt phẳng  SCD  và  ABCD  bằng
S

A

D

B

A. Góc SDA .

B. Góc SCA .

C

C. Góc SCB .
Lời giải

D. Góc ASD .

Chọn A


CD   SAD 
Ta có 
   ABCD  ,  SCD    SDA .
ABCD

SCD


CD






Câu 30: [1H3-4.4-2] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp
tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 2 và chiều cao bằng

a 2
. Tang của góc giữa mặt bên và mặt
2

đáy bằng:
A. 1 .

B.

1
.
3

C.
Lời giải

Chọn A

3.


D.

3
.
4


S

B
E

C
O

A

D

Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng SEO ; EO 
Xét SEO vuông tại O , ta có tan SEO 

a 2
2

SO
 1.
EO

Câu 28: [1H3-4.4-2](THPT AN LÃO-HẢI PHÒNG-Lần 3-2018-BTN) Cho hình hộp chữ nhật


ABCD. A B C D có AB

a ; BC

a 3 . Gọi

a 2 ; AA

là góc giữa hai mặt phẳng

ACD và ABCD (tham khảo hình vẽ).
A'

D'

B'

C'
A

D

B

Giá trị tan

C

bằng:


A. 2 .

B.

2 6
.
3

C.

3 2
.
2

D.

2
.
3

Lời giải
Chọn C
+ Kẻ DH

AC ( H

và ABCD là góc D HD .

AC ). Khi đó ta có D H


AC . Vì thế góc giữa hai mặt phẳng ACD


A'

D'

C'

B'
A

D

H
B

C

+ Xét tam giác ADC vuông tại D ta có:
1
DH 2

1
DA2

1
DC 2


1
2a 2

3
2a 2

1
a2

DH

2

2a 2
3

DH

a 6
.
3

+ Trong tam giác DHD vuông tại D ta có:
tan D HD

Câu 5:

DD
DH


a 3.

3
a 6

3 2
.
2

[1H3-4.4-2] Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  và đáy ABC vuông ở A . Khẳng định nào
sau đây sai?
A.  SAB    ABC  .
B.  SAB    SAC  .
C. Vẽ AH  BC, H  BC  góc AHS là góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  .
D. Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SAC  là góc SCB .
Lời giải
Chọn D
S
K

A

C
H
B

Kẻ AK  SC, K  SC . (1)
Mặt khác AB   SAC   AB  SC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BK  SC .
Ta có



 SBC    SAC   SC

 AK  SC , AK   SAC 

 BK  BC , BK   SBC 

   SBC  ,  SAC     BK , AK   AKB .
Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SAC  là góc AKB .
Câu 6:

[1H3-4.4-2] Cho tứ diện ABCD có AC  AD và BC  BD . Gọi I là trung điểm của CD .
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng  ACD  và  BCD  là góc AIB .
B.  BCD    AIB  .
C. Góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABD  là góc CBD .
D.  ACD    AIB  .
Lời giải
Chọn C

A

K

B

D
I
C


Xét hai tam giác ABC và ABD có AB là cạnh chung, AC  AD, BC  BD .
Kẻ CK  AB ,  K  AB   DK  AB .
Ta có
 ABC    ABD   AB

CK  AB, CK   ABC 

 DK  AB, DK   ABD 

   ABC  ,  ABD     CK , DK   CKD
Góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABD  là góc CKD .
Nếu góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABD  là góc CBD thì CKD  CBD  K  B .
Khi đó CB  AB, DB  AB  AB   BCD  . Giả thuyết đề bài không cho. Nên đáp án C là
sai.
Câu 7:

[1H3-4.4-2] Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  và AB  BC . Góc giữa hai mặt phẳng

 SBC  và  ABC  là góc nào sau đây?
A. Góc SBA .
C. Góc SCB .

B. Góc SCA .
D. Góc SIA ( I là trung điểm BC ).
Lời giải