Câu 46. [1H3-3.9-3](TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp
S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB  2a , BC  a , ABC  120 . Cạnh bên

SD  a 3 và SD vuông góc với mặt phẳng đáy . Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng

 SAC 
S

C

D
A

A.

3
.
4

B.

B

3
.
4

C.

1
.

4

D.

Lời giải
Chọn C

Ta có sin  SB;  SAC   

d  B;  SAC  
SB



d  D; SAC 
.
SB

Xét tam giác ABC ta có AC  BA2  BC 2  2BA.BC.cos BAC  a 7 .

BO 

BA2  BC 2 AC 2
4a 2  a 2 7 a 2 a 3




2
4

2
4
2

3
.
7


 BD  a 3 và SB  SD2  BD2  3a 2  3a 2  a 6 .

AD.sin D a.sin120
21
.


AC
14
a 7
sin C sin D
Gọi K là hình chiếu của D lên AC , và I là hình chiếu của D lên SK . Ta có
 AC  DK
 DI  SK
 d  D;  SAC    DI .
 AC  DI . Do đó 

 AC  SD
 DI  AC
Xét tam giác ADC ta có


AD



AC

 sin C 

DK
21 a 21
.
 DK  DC.sin C  2a.

7
14
DC
a 21
a 3.
SD.DK
6
7
Xét tam giác SDK ta có DI 


a.
4
21 2
SD 2  DK 2
2
3a  a

49
6
a
d  D; SAC  DI
1
Vậy sin  SB;  SAC   

 .
 4
SB
SB a 6 4
Trong mặt phẳng  SDK  kẻ DI  SK suy ra d  D;  SAC    DI .

Mặt khác sin C 

(THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ

Câu 31. [1H3-3.9-3]
nhật, AB
bằng:

A.

2a , AD

a . SA vuông góc với mặt phẳng đáy. SA  a 3 . Cosin của góc giữa SC và mặt đáy

5
.
4


B.

7
.
4

C.

6
.
4

D.

10
.
4

Lời giải
Chọn D

Hình chiếu của SC lên ABCD là AC
Do đó SC , ABCD

AC

AB2

AD2


SCA

4a2

a2

Trong tam giác vuông SAC : cos SCA

a 5
AC
SC

SC
a 5
2a 2

2a 2
10
.
4

Câu 34: [1H3-3.9-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy
là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng


tâm G của tam giác ABC . Cạnh bên hợp với  ABC  góc 60 . Sin của góc giữa AB và mặt
phẳng  BCC B  .
A.


3
.
13

B.

3
.
2 13

C.

1
.
13

D.

2
.
13

Lời giải
Chọn A
C'

A'

B'


H
A

C

G
M
B

Ta có BG   ABC  nên BG là hình chiếu của BB lên mặt phẳng  ABC  .

  BB,  ABC     BB, BG   BBG  60 .
Gọi M là trung điểm BC và H là hình chiếu của A lên BM , ta có
 BC  AM
 BC   ABM   BC  AH .


BC

B
G

Mà AH  BM nên AH   BCCB  .

Do đó HB là hình chiếu của AB lên mặt phẳng  BCC B  .

  AB,  BCCB     AB, HB   ABH .
Xét tam giác ABH vuông tại H có sin ABH 

BG  BG.tan 60  a


AH
.
AB

3 2
. . 3  a.
2 3
2

 a 3 1
a 39
.  
BM  BG  GM  a  
.
2
3
6


2

2

2

a 3
a.

AM .B G

2  3a .

Ta có AHM BGM  AH 
BM
a 39
13
6
3a
3
Vậy sin ABH  13 
.
a
13
Câu 35:

[1H3-3.9-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD
với tất cả các cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD (tham khảo hình vẽ bên). Tan góc giữa

AG và  ABCD  bằng .


17
7

A.

B.

5
3


C. 17

D.

5
5

Lời giải

Chọn A
S

G

D

A
Q

O
B

I

C

Kẻ GQ song song với SO . Suy ra GQ   ABCD  .
Suy ra AQ là hình chiếu vuông góc của AG trên mặt phẳng  ABCD  .
Xét tam giác vuông SOC vuông tại O , theo đị nh lý Pytago, ta có

2

a 2
 AC 
.
SO  OC  SC  SO  SC  OC  SC  
 
2
 2 
Xét tam giác SOI có GQ song song với SO , theo đị nh lý Talet và do G là trọng tâm tam giác SCD
2

2

2

nên suy ra GQ 

1
3

2

2

1
a 2
.
SO 
3

6

Tính được IQ  OI 

a
5a
a
a 34
.
, HQ  , AH   AQ 
6
6
2
6





Do đó tan AQ,  ABCD  
Câu 35:

2

GQ
17

AQ 17

[1H3-3.9-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD với

tất cả các cạnh bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD (tham khảo hình vẽ bên). Tan góc giữa

AG và  ABCD  bằng .
A.

17
7

B.

5
3

C. 17
Lời giải

Chọn A

D.

5
5


S

G

D


A
Q

O
B

I

C

Kẻ GQ song song với SO . Suy ra GQ   ABCD  .
Suy ra AQ là hình chiếu vuông góc của AG trên mặt phẳng  ABCD  .
Xét tam giác vuông SOC vuông tại O , theo đị nh lý Pytago, ta có
2

a 2
 AC 
.
SO 2  OC 2  SC 2  SO  SC 2  OC 2  SC 2  
 
2
 2 
Xét tam giác SOI có GQ song song với SO , theo đị nh lý Talet và do G là trọng tâm tam giác SCD

1
a 2
.
SO 
3
6


nên suy ra GQ 

1
3

Tính được IQ  OI 



a
5a
a
a 34
.
, HQ  , AH   AQ 
6
6
2
6



GQ
17

AQ 17
Câu 25: [1H3-3.9-3](THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Cho hình chóp S. ABCD
Do đó tan AQ,  ABCD  


có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  a 2 .
Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB , SD . Góc giữa mặt
phẳng  AMN  và đường thẳng SB bằng
A. 45o

B. 90o

C. 120o
Lời giải

D. 60o

Chọn D
Ta có BC   SAB   BC  AM  AM   SBC   AM  SC . Tương tự ta cũng có
AN  SC   AMN   SC . Gọi  là góc giữa đường thẳng SB và  AMN  .





Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho A  0;0;0  , B  0;1;0  , D 1;0;0  , S 0;0; 2 ,










C 1;1;0  , SC  1;1;  2 , SB  0;1;  2 . Do  AMN   SC nên  AMN  có vtpt SC
sin  

3
2 3



3
   60o .
2

Câu 11: [1H3-3.9-3](SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình
vuông có cạnh bằng a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Gọi H , K lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB , SD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc tạo
bởi đường thẳng SD và mặt phẳng ( AHK ) bằng


3
A.
.
2

B.

1
C. 3 .

3.


D.

2.

Lời giải
Chọn D

Ta chứng minh được AH  ( SBC ) và AK  ( SCD) suy ra SC  ( AHK ) .
Gọi I  SO  HK và J  AI  SC suy ra JK là hình chiến vuông góc của SD trên ( AHK ) .
Khi đó  SD,( AHK )  ( JK , SK )  SKJ .
Mà tam giác SKJ

SCD nên SKJ  SCD .

Vậy tan SKJ  tan SCD 

SD a 2

 2.
CD
a

Câu 30: [1H3-3.9-3] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Cho hình lập phương
ABCD. ABCD (hình bên). Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng  BDDB  .
A. 60 .

B. 90 .

C. 45 .
Lời giải


D. 30 .

Chọn D
C'

B'

D'

A'

C

B
O
A

D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó ta có AO  BD (1).


Mặt khác ta lại có ABCD. ABCD là hình lập phương nên BB   ABCD   BB  AO (2).
Từ (1) và (2) ta có AO   BDDB    AB,  ABCD     AB, BO   ABO .
Xét tam giác vuông ABO có sin ABO 
Vậy  AB,  ABCD    30 .

AO 1
  ABO  30 .

AB 2

Câu 41: [1H3-3.9-3](THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Cho hình chóp S. ABC có
tam giác ABC vuông tại B ,  SAC  vuông góc với  ABC  , biết AB  SC  a, SA  BC  a 3.
Gọi  là góc tạo bởi SA và  SBC  . Tính sin  .
A.

1
.
2 13

B.

1
.
3 13

3
. D.
13

C.

2
.
13

Lời giải
Chọn D


Kẻ SH vuông góc với AC  SH vuông góc với  ABC  .





Vì SA   SBC   S nên sin   sin SA, (SBC) 
Lại có: AH   SBC   C nên

d  A,  SBC  

d  A, ( SBC )  AC

.
d  H , ( SBC )  HC

SA

.

Kẻ HI  BC và HK  SI . Ta chứng minh HK   SBC  . Từ đó, suy ra d  H ,(SBC )   HK .
Ta có: AC  AB 2  BC 2  2a.
Vì SAC  ABC  c.c.c  nên SAC vuông tại S


1
1
1
1
1

4
a 3
 2
 2  2  2  SH 
.
2
2
SH
SA SC
3a a
3a
2

Xét tam giác AHC có: HC  SC 2  SH 2  a 2 

3a 2 a
 .
4
2

a
a.
HI HC
AB.HC
a
Vì HI // AB nên

 HI 
 2 .
AB AC

AC
2a 4
1
1
1
4 16 52
a 3

 2  2  2  2  HK 
.
Xét tam giác vuông SHI có:
2
2
HK
SH
HI
3a a
3a
52


AC
a 3 2 3a
.HK  4.

.
HC
52
13
d  A,  SBC  

2 3a
2
Vậy sin   sin SA, (SBC) 


.
SA
13. 3a
13
Từ đó, d  A, ( SBC )  





Câu 46: [1H3-3.9-3] (THPT Chuyên Tiền Giang - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp
S. ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB  BC  a , AD  2a, SA vuông góc với
mặt đáy  ABCD  , SA  a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB,CD . Tính cosin của góc
giữa MN và ( SAC ) .
A.

2
.
5

B.

55
.
10


C.

3 5
.
10

D.

2a

y

1
.
5

Lời giải
Chọn B
z
S
a
M
A

D

a
N
B


a

C

x

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với O  A .
Khi đó ta có: A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a; a;0  , D  0; 2a;0  , S  0;0; a  .
 a 3a 
a a
Khi đó: M  ;0;  , N  ; ;0  .
2 2 
2 2
1
1
Ta có:  SA   0;0;1  u ; SC  1;1; 1  v .
a
a
Gọi n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  SAC  ta có n  u , v    1; 1;0  .

Lại có:

2
MN   0;3; 1  w .
a

Gọi  là góc giữa MN và  SAC  ta có: sin  
Câu 21:


n.w
n.w



3
2 5

 cos  

55
.
10

[1H3-3.9-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho hình chóp tam
giác đều có cạnh đáy bằng a . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 ( tham khảo hình vẽ
bên). Cosin của góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp là.
A.

1
.
3

B.

1
.
13

C.


1
2 3

.

D.

2 3
.
13


Lời giải

Chọn C
Gọi M là trung điểm cạnh BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy  ABC  là 600
SAO  600

SO  OA.tan 600 

a 3
. 3 a.
3

Góc giữa mặt bên  SBC  và mặt đáy  ABC  là SMO .

OM
OM


Ta có cos SMO 

SM
SO 2  OM 2

Câu 22:

a 3
6
a 3
a 

 6 

2



1
.
13

2

[1H3-3.9-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a có SA   ABCD  và SA  a 2 . Gọi M là trung điểm SB . Tính tan
góc giữa đường thẳng DM và  ABCD  .


A.

5
.
5

B.

2
.
5

C.
Lời giải

Chọn D

2
.
5

D.

10
.
5


S


M
A

D

N
B

C

Gọi N là trung điểm AB .
Ta có: MN là đường trung bình của SAB nên MN //SA và MN 
Lại có: SA   ABCD  .

1
a 2
.
SA 
2
2

Do đó MN   ABCD  1 .
Suy ra MN  DN .
Ta có: N là hình chiếu vuông góc của M lên  ABCD  (do 1 ) và D là hình chiếu vuông
góc của D lên  ABCD  .
Suy ra  DM ;  ABCD     DM ; ND   MDN ( MDN nhọn vì MND vuông tại N ).
Ta có: DN  AD2  AN 2 

a 5
.

2

Xét MND vuông tại N , có:
MN
10
.
tan MDN 

DN
5
10
Vậy tan  DM ;  ABCD   
.
5

Câu 1434. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông
góc của S lên  ABC  trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác
đều. Tính số đo của góc giữa SA và  ABC  .
A. 60 .

B. 75 .

C. 45 .
Lời giải

Chọn C

D. 30 .



Ta có tam giác ABC đều nên AH  BC; AH 
Mặt khác tam giác SBC đều cạnh a nên SH 

a 3
2

a 3
2

Do SH   ABC   SH  AH  SHA vuông cân tại H.
Khi đó SAH  45 suy ra  SA,  ABC    45 .
Câu 1435. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD

là hình vuông cạnh a ,

SA   ABCD  , SA  a 6 . Gọi  là góc giữa SC và mp  ABCD  . Chọn khẳng định đúng
trong các khẳng định sau?
A.   30 .

B. cos  

3
.
3

C.   45 .

D.   60 .

Lời giải

Chọn D

Ta có: AC  a 2 suy ra tan SCA 

SA a 6

 3
AC a 2

Do đó   SCA  60 .
Câu 1436. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD

SA   ABCD  . Biết SA 
A. 30 .

a 6
. Tính góc giữa SC và  ABCD  .
3

B. 60 .

C. 75 .
Lời giải

Chọn A

là hình vuông cạnh bằng a

D. 45 .


và


Ta có: AC  a 2 suy ra tan SCA 

SA
a 6
1


AC 3a 2
3

Do đó   SCA  30 .
Câu 1437. [1H3-3.9-3] Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 . Gọi  là góc giữa AC1 và mp  A1BCD1  .
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A.   30 .

B. tan  

2
.
3

C.   45 .

D. tan   2 .

Lời giải
Chọn D


Gọi O là tâm hình lập phương và I là tâm hình chữ nhật ABB1 A1 ta

 AI  A1 B
 AI   BCD1 A1 
có: 
 AI  BC
Khi đó  AC1 ,  A1BCD1    AOI .

AI

Mặt khác tan AOI 
OI

a 2
2  2.
a
2

Câu 1438. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC  a .
Hình chiếu vuông góc của S lên  ABC  trùng với trung điểm BC . Biết SB  a . Tính số đo
góc giữa SA và  ABC  .
A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .
Lời giải

D. 75 .



Chọn C

Tam giác ABC vuông tại A nên AH 
Lại có SH  SB 2  BH 2 
Khi đó tan SAH 

BC a

2
2

a 3
.
2

SH
 3   SA,  ABC    SAH  60 .
AH

Câu 1439. [1H3-3.9-3] Cho tứ diện ABCD đều. Gọi  là góc giữa AB và mp  BCD  . Chọn khẳng
định đúng trong các khẳng định sau?
A. cos  

3
.
3

B. cos  


3
.
4

C. cos   0 .
Lời giải

Chọn A

Gọi M là trung điểm của CD và H là trọng tâm tam giác BCD.
Khi đó AH   BCD  . Mặt khác BH 
Do đó cos SBH 

2
2 a 3 a 3
.
BM  .

3
3 2
2

BH
3
3
.

 cos  
AB

3
3

D. cos  

3
.
2


Câu 1441. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD

có đáy là hình chữ nhật

ABCD

có

AB  2a; AD  2a 3 và SA   ABCD  . Gọi M là trung điểm của CD , biết SC tạo với đáy

góc 45 . Cosin góc tạo bởi đường thẳng SM và mặt phẳng  ABCD  là:
A.

3
.
13

B.

13

.
29

C.

377
.
29

D.

277
.
29

Lời giải
Chọn C

Do SA   ABCD  nên  SC,  ABCD    SCA  45
Khi đó SA  AC  AB2  AD2  4a
Lại có MD 

CD AB

 a  AM  AD 2  DM 2  a 13
2
2

Khi đó cos SMA 


AM
AM
377


0
2
2
SM
29
SA  AM

Do đó cos  SM ,  ABCD   

377
.
29

Câu 1442. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B
có
AB  BC  a; SA   ABC  . Biết mặt phẳng  SBC  tạo với đáy một góc 60 . Cosin góc tạo
bởi đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC  là:
A.

10
.
15

B.


10
.
10

C.
Lời giải

Chọn D

10
.
20

D.

10
.
5


Do SA   ABC  lại có BC  AB  BC   SBA
Khi đó

 SBC  ,  ABC   SBA  60

Ta có SA  AB tan 60  a 3; AC  AB 2  BC 2  a 2
Khi đó cos SCA 

AC
AC

10


2
2
SC
5
SA  AC

Do đó cos  SC ,  ABC   

10
.
5

Câu 1443. [1H3-3.9-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông tại B có
AB  a 3; BC  a . Biết A ' C  3a . Cosin góc tạo bởi đường thẳng A ' B và mặt đáy  ABC 

là:
A.

10
.
4

B.

10
.
6


C.

6
.
4

D.

Lời giải
Chọn C

Ta có: AC  AB2  BC 2  2a; AA '  A ' C 2  AC 2  a 5
Do AA '   ABC  nên  A ' B,  ABC    A ' BA
Lại có cos A ' BA 

AB

A' B

AB
AB  AA '
2

2



a 3
3a  5a

2

2



6
.
4

15
.
5


Câu 1444. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ABC  60 , tam
giác SBC là tam giác đều và có cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy  ABC  .
A. 30 .

C. 60 .

B. 45 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn C

Gọi H là trung điểm của BC ta có: SH  BC

Mặt khác  SBC    ABC  nên giao tuyến SH   ABC 
Lại có: SH 

BC 3
BC a 3
 a 3; AH 

2
2
2

Do đó tan SAH 

SH
 3  SAH  60   SA,  ABC   .
AH

Câu 1445. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAD
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính tan của góc giữa đường thẳng SB và
mặt phẳng  ABCD  .
A.

3.

B.

15
.
5


C.

1
.
3

Lời giải
Chọn B

Gọi H là trung điểm của AD ta có: SH  AD
Mặt khác  SAD    ABC  nên giao tuyến SH   ABCD 

D.

5.


Lại có: SH 

AD 3 a 3
a 5

; HB  HA2  AB 2 
2
2
2

Do đó tan SBH 

SH

3
15


 tan  SB,  ABCD   .
HB
5
5

Câu 1446. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB
đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy  ABCD  . Tính cot của góc giữa SD
và  ABCD  .
A.

5
.
15

B.

15
.
5

C.

3.

D.


3
.
2

Lời giải
Chọn A

Gọi H là trung điểm của AB ta có: SH  AB
Mặt khác  SAB    ABC  nên giao tuyến SH   ABCD 
Lại có: SH 

AB 3 a 3
a 5

; HD  HA2  AD 2 
2
2
2

Do đó cot SDH 

HD
5
5


 cot  SD,  ABCD   .
SH
3
15


Câu 1447. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng
 SAB  và  SAC  cùng vuông góc với đáy  ABCD  và SA  2a . Tính cosin của góc giữa
đường thẳng SB và mặt phẳng  SAD  .
A.

5
.
5

B.

2 5
.
5

C.
Lời giải

Chọn B

1
.
2

D. 1 .



 SAB    ABCD 

Do 
 SA   ABCD 
SAC

ABCD







 AB  AD
Lại có: 
 AB   SAD 
 AB  SA
Ta có:
cos BSA 

SA
SA
2
2 5



 cos  SB,  SAD   .
SB
5
5

SA2  AB 2

Câu 1448. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB và AD . Tính tan của góc tạo bởi giữa đường thẳng SA và mặt phẳng  SHK  .
A.

7.

B.

2
.
4

C.

7
.
7

Lời giải
Chọn C

Ta có sin  SA,  SHK   

d  A,  SHK  
SA




d
.
a

1
a2
a2
a2
a
d 


Lại có d .HK  S AHK 
a
2
8
4 HK 4.
2 2 2
2
 sin  SA,  SHK   

1
2 2

D.

14
.
4



1
1
 tan  SA,  SHK    2 2 
.
1
7
1
8
Câu 1449. [1H3-3.9-3] Cho hình lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,
BAD  60 . Hình chiếu vuông góc của B ' xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo
của đáy và cạnh bên BB '  a . Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn B

Ta có OB 

BD AB a


2

2
2

 cos OBB ' 

OB 1
  OBB '  60 .
BB ' 2

Câu 1450. [1H3-3.9-3] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh
bằng 2 2 , AA '  4 . Tính góc giữa đường thẳng A ' C với mặt phẳng  AA ' B ' B  .
A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .
Lời giải

Chọn A

Góc cần tính là CA ' B .
Ta có tan CA ' B 

BC
2 2
1


 CA ' B  30 .
2

A' B
3
4 8

D. 90 .


Câu 1451. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, BC  2a .
Hai mặt bên  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  , SA  a 15 . Tính
góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng  ABD  ?
A. 30 .

C. 60 .

B. 45 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn C

Ta có SA   ABCD    SC ,  ABD    SCA .
Lại có tan SCA 

SA
a 15

 3  SCA  60 .
AC
a 2  4a 2


Câu 1452. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Cạnh
bên SA  2a và vuông góc với mặt đáy  ABCD  . Tính tan của góc giữa đường thẳng SO và
mặt phẳng đáy  ABCD  .
A. 2 2 .

B.

3.

C. 2 .
Lời giải

Chọn A

Ta có tan  SO,  ABCD    tan SOA 

SA 2a

2 2.
a
OA
2

D. 1 .


Câu 1453. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết rằng
a 15
. Gọi M là trung điểm của BC . Tính góc giữa đường thẳng SM

2
và mặt phẳng  ABCD  .

SA   ABCD  , SA 

A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn C

a 15
SA
2
Ta có tan  SM ,  ABCD    tan SMA 

 3
AM
a2
2
a 
4

  SM ,  ABCD    60 .
Câu 1454. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA  2a

và vuông góc với đáy. Tính sin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  SAB  .
A.

85
.
10

B.

51
.
17

C.

3
.
2

Lời giải
Chọn D

Gọi M là trung điểm của AB  CM  AB

CM  AB
 CM   SAB  mà SC   ABC   S
Ta có 
CM  SA

D.


15
.
10


  SC,  SAB     SC, SM   MSC
Ta có CM 

a 3
a 17
, SM  SA2  AM 2 
2
2

 SC  SM 2  MC 2  a 5
 sin MSC 

MC
15
.

SC
10

Câu 1455. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng 4a ,
cạnh bên SA  2a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm
H của đoạn thẳng AO . Tính tan góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng  ABCD  .

A.


5.

B. 1 .

C.

10
.
5

D.

3.

Lời giải
Chọn C

Ta có SD   ABCD   D và SH   ABCD 

  SD,  ABCD     SD, HD   SDH
Ta có AH 

1
1
AC 
4
4

 4a    4a 

2

2

a 2

 HD  AH 2  AD2  2 AH . AD.cos 45  a 10
 tan SDH 

SA
2a
10
.


AH a 10
5

Câu 1456. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD

là hình chữ nhật với AB  a ,

AD  a 3 . Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác
a
ABC và SH  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , SC . Tính tan của
2
góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng  ABCD  .

A.


4
.
5

B.

3
.
4

C.
Lời giải

2
.
3

D. 1 .


Chọn B

Qua N kẻ đường thẳng song song với SH cắt CH tại K

 NK   ABCD  .
Ta có MN   ABCD   M  và NK   ABCD 

  MN ,  ABCD    MN , MK  KMN
Ta có NK 


1
1
2a
a
SH  . Ta có BH  BH 
3
2
3
4

 SB  SH 2  HB 2 

5a
1
5a
 MN  SB 
6
2
12

 MK  MN 2  NK 2 

a
NK 3
 tan KMN 
 .
3
MK 4

Câu 1457. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng a ,

SO vuông góc với mặt đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Tính góc
giữa đường thẳng MN và mặt phẳng  ABCD  , biết MN 
A. 30 .

B. 45 .

C. 60 .
Lời giải

Chọn C

Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt AC tại H

 MH   ABCD  .
Ta có MN   ABCD    N và MH   ABCD  .

a 10
.
2

D. 90 .


  MN ,  ABCD     MH , HN   MNH
Ta có CH 

3
3 2
3a 2
AC 

a  a2 
4
4
4

 HN  CH 2  CN 2  2CH .CN .cos 45 
 MH  MN 2  NH 2 

a 10
4

a 30
MH
 tan MNH 
 3
4
HN

 MNH  60 .

Câu 1458. [1H3-3.9-3] Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và B , biết rằng AB  BC  a , AD  2a, SA  a 2, SA   ABCD  . Tính góc giữa đường thẳng

SC và mặt phẳng  SAD  .
A. 30 .

C. 60 .

B. 45 .


D. 90 .

Lời giải
Chọn C

Gọi M là trung điểm của AD  CM  AD

CM  AD
Ta có 
 CM   SAD 
CM  SA
mà SC   SAC   S

  SC,  SAD     SC, SM   MSC .
Ta có CM  a, SC  SA2  AC 2  2a

 SM  SC 2  CM 2  a 3 .
SM
 3  MSC  60 .
CM
[1H3-3.9-3] Cho điểm S không phụ thuộc mặt phẳng  P  , đoạn vuông góc SH  1 và các

 tan MSC 

Câu 5.

đoạn xiên SA  2, SB  3 và SC  4 . Gọi  ,  ,  lần lượt là góc tạo bởi SA, SB, SC và mặt
phẳng  P  . Khẳng định nào sau đây đúng?
A.   45 .


B.   45 .

C.    .
Lời giải

Chọn A

D.   60 .


SH 1
1
1
    30;sin   ;sin    45       .
SA 2
3
4
[1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a ; SA
vuông góc với đáy và SA  a 6 . Góc giữa SB và  SAC  thỏa mãn hệ thức nào sau đây?

Ta có: sin  
Câu 23.

A. cos  

14
.
14

B. sin  


14
.
14

C. cos  

2
.
14

D. sin  

2
.
14

Lời giải
Chọn B

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Ta có AC  BO và SA  BO  BO   SAC  .
 SO là hình chiếu của SB trên mặt phẳng  SAC  .

  SB,  SAC     SB, SO   BSO  sin BSO 

BO
.
SB


a 2
14
và SB  SA2  AB 2  a 7  sin BSO 
.
2
14
[1H3-3.9-3] Cho hình chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a ; SA
vuông góc với đáy và SA  a 6 . Góc  giữa AC và  SBC  thỏa mãn hệ thức nào sau đây?

Mà BO 
Câu 33.

A. cos  

21
.
7

B. sin  

3
3
.
C. cos  
.
7
7
Lời giải

Chọn D


 BC  AB
 BC   SAB 
Dựng AH  SB . Ta có: 
 BC  SA
SA. AB
a 6

Khi đó AH   SBC  . Mặt khác AH 
7
SA2  AB 2
AH
6
21

: 2
Suy ra sin   sin ACH 
.
AC
7
7

D. sin  

21
.
7