Câu 47. [1H3-2.4-3] (THPT Hồng Quang - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp
S. ABCD có SA  a , SB  2a , SC  3a , ASB  BSC  60 , CSA  90 . Gọi  là góc giữa hai đường
thẳng SA và BC . Tính cos  .

A. cos  

7
.
7

B. cos   

7
.
7

C. cos   0 .

D. cos  

2
.
3

Lời giải
Chọn A

cos   cos( SA, BC ) 


SA.BC

SA.BC



SA.( SC  SB)
SA.BC



SA.SC  SA.SB
SA.BC



SA.S C.cos 90  SA.SB.cos 60
a. 4a 2  9a 2  2.2a.3a.cos 60

7
.
7

Câu 42.

[1H3-2.4-3] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho tứ diện đều ABCD ,

M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos  AB, DM  bằng

A.

3

.
6

B.

2
.
2

C.

3
.
2

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn A

Gọi N là trung điểm của AC và a là độ dài cạnh tứ diện đều.
Ta có MN // AB   AB, DM    MN , DM   DMN .

DM 2  MN 2  DN 2
1
a

a 3
Tam giác DMN có DM  DN 
, MN  AB  và cos DMN 
.
2.DM .MN
2
2
2


2

2

 a 3   a 2  a 3 

   

2
2  2 
3


.
 cos DMN 

6
a 3 a
2.
.

2 2
3
Vậy cos  AB, DM  
.
6

Câu 7. [1H3-2.4-3] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a .
Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI , với I là trung điểm của AD .
A.

3
.
6

B.

1
.
2

C.

3
.
4

D.

3
.

2

Lời giải
Chọn A
A

I

M

D

B

C

Gọi M là trung điểm của BD .
Ta có: IM // AB .
  AB, IC    IM , IC  .





 cos  AB, IC   cos  IM , IC   cos IM , IC  cos MIC .
2

2

2

a a 3 a 3
 

  
MI 2  IC 2  MC 2  2   2   2 
3
Mà: cos MIC 
.


6
2.MI .IC
a a 3
2. .
2 2
3
 cos  AB, IC   cos MIC 
.
6

Câu 39: [1H3-2.4-3] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp
S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường
thẳng SD tạo với mặt phẳng  SAB  một góc 45 . Gọi I là trung điểm của cạnh CD . Góc
giữa hai đường thẳng BI và SD bằng .
A. 48.
B. 51.
C. 42.
Lời giải
Chọn B




D. 39.



Cách 1. Giả sử hình vuông ABCD cạnh a , SD,  SAB   45  SA  AD  a .
Xét trong không gian tọa độ Oxyz trong đó: O  A , Ox  AB, Oy  AD, Oz  AS . Khi đó ta có:


a

B  a;0;0  , I  ; a;0  , D  0; a;0  , S  0;0; a 
2

a

Suy ra IB   ;  a;0  , SD   0;  a; a 
2

a2
2
 IB, SD  51 .
Mặt khác: cos IB, SD 

10
a2
 a2 . a2  a2
4








Cách 2. Gọi K là trung điểm của AB .







Giả sử hình vuông ABCD cạnh a , SD,  SAB   45  SA  AD  a
Gọi K là trung điểm của AB . Vì KD // BI nên góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng góc
giữa hai đường thẳng KD và SD và là góc SDK . Ta có KD  SK 

a 5
, SD  a 2 .
2

a 2
HD
10
Gọi H là trung điểm của SD . Ta có cos SDK 
.
 2 
KD a 5
5

2
Vậy góc giữa hai đường thẳng BI và SD bằng 51.

Câu 42: [1H3-2.4-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy
H , K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH  3HA, AK  3KD . Trên đường thẳng
ABCD 
vuông góc với mặt phẳng 
tại H lấy điểm S sao cho SBH  30 . Gọi E là giao
điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC .
28
18
36
9
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
5 39
5 39
5 39
5 39
Lời giải
Chọn B
Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có ABD  BCH .

 ABD  BCH  HEB  90 .



A

H

I

B
E

K
D

C
S

I

A
H

K

E

D
Ta có:

B


C

cos  SE; BC   cos  SE; EI   cos SEI

, SH  BH .tan30  a 3 .

81a 2 2a 39
HB HE
HB 2 9a
2
2
2
SE  SH  HE  3a 


 HE 

25
5
HC HB
HC
5 ,
.
2

HE HI
HE 2 27a SI  SH 2  HI 2  3a 2   27a   2a 651

 HI 




25 .
 25 
HB HE
HB
25 ,
EI
HI
9
36a


 EI 
BC HB 25
25 .
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SEI ta được:
2

2

 2a 39   36a 2  2a 651 

 

 
SE 2  EI 2  SI 2  5   25   25 
18a
cos SEI 



2.SE.EI
2a 39 36a
5 39
2.
.
5
25
.
Câu 46:

[1H3-2.4-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Một hình trụ tròn xoay
có bán kính đáy R  1 . Trên hai đường tròn đáy  O  và  O  lần lượt lấy hai điểm A và B
sao cho AB  2 và góc giữa AB và trục OO bằng 30 . Xét hai khẳng định:

 I  : Khoảng cách giữa OO

và AB bằng

3
.
2


 II  : Thể tích khối trụ là V   3 .
A. Cả  I  và  II  đều đúng.
C. Chỉ  II  đúng.
D. Cả  I  và  II 


B. Chỉ  I  đúng.
đều sai.
Lời giải

Chọn A
* Gọi C là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng chứa  O  , I là trung điểm của AC ,
Ta có:

 AB; OO   AB; CB   ABC  30  h  OO '  CB  AB.cos30 
* Thể tích khối trụ là: V   R2 h   3 . Vậy khẳng định  II  đúng.

3

* Khoảng cách giữa AB và trục OO là: d  AB; OO   d  OO;  ABC    OI  OA2  AI 2 .
AC  AB.sin 30  1  AI 

I 

1
3
1
3
 OI  1  
. Vậy khẳng định
 d  AB; OO  
4
2
2
2


đúng.

Câu 28: [1H3-2.4-3](THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Cho hình chóp S. ABC
có độ dài các cạnh SA  SB  SC  AB  AC  a và BC  a 2 . Góc giữa hai đường thẳng
AB và SC là ?
A. 45
B. 90
C. 60
D. 30
Lời giải
Chọn C
S

B

A
I
C

Ta có BC  a 2 nên tam giác ABC vuông tại A . Vì SA  SB  SC  a nên hình chiếu vuông
góc của S lên  ABC  trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Tam giác ABC vuông tại A nên I là trung điểm của BC .
AB.SC
Ta có cos  AB, SC   cos AB, SC 
.
AB.SC











1
1
a2
AB.SC  AB SI  IC  AB.SI   BA.BC   BA.BC.cos 45   .
2
2
2
2
a
1
cos  AB, SC   22    AB, SC   60 .
a
2
AB.SC
Cách 2: cos  AB, SC   cos AB, SC 
AB.SC










a2
Ta có AB.SC  SB  SA SC  SB.SC  SA.SC  SB.SC.cos90  SA.SC.cos60   .
2
2
a
2
1
Khi đó cos  AB, SC   2 
a
2
Câu 31: [1H3-2.4-3]

(Toán Học Tuổi Trẻ - Số 5 - 2018 - BTN)

Cho hình chóp S. ABC có

SA  SB  SC  AB  AC  1 , BC  2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB , SC .
A. 45 .
B. 120 .
C. 30 .
D. 60 .
Lời giải
Chọn D
S

B

C


H

A

Tam giác ABC vuông tại A và tam giác SBC vuông tại S vì AB  AC  1, BC  2 và
SB  SC  1, BC  2 .
1
Ta có SC. AB  SC SB  SA  SC.SB  SC.SA  0  SC.SB.cos 60   .
2









Suy ra cos  SC; AB   cos SC; AB 

SC. AB
SC. AB



1
. Vậy góc giữa hai đường thẳng AB ,
2

SC bằng 60 .

Câu 5:

[1H3-2.4-3] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [1H3-3] Cho tứ diện ABCD có

AB  AC  AD  1 ; BAC  60 ; BAD  90 ; DAC  120 . Tính côsin của góc tạo bởi hai đường
thẳng AG và CD , trong đó G là trọng tâm tam giác BCD .

A.

1
.
6

B.

1
.
3

C.
Lời giải

Chọn C

1
.
6

D.


1
.
3


A

D

B
G

I
M
C

* ABC đều  BC  1 .
* ACD cân tại A có CD  AC 2  AD2  2 AC. AD.cos120  3 .
* ABD vuông cân tại A có BD  2 .
* BCD có CD2  BC 2  BD2  BCD vuông tại B .
Dựng đường thẳng d qua G và song song CD , cắt BC tại M .
Ta có MG // CD   AG, CD    AG, MG  .
2

3
1
Gọi I là trung điểm của BC , xét BDI vuông tại B có DI  BD2  BI 2  2     .
2
2


Ta có

IM MG IG 1
1 BC 1
1
1
1
1
3
; IG  .ID  .
 ; MG  .CD 


  IM  .IC  .
3
3
IC CD ID 3
3 2
3
6
3
2
2

 3   1 2
7
Xét AIM vuông tại I có AM  AI  IM  
.
    
3

 2  6
2

2

2

AI 2  ID 2  AD 2
cos AID 
2 AI .ID

 3   3 2 2

    1
2  2
4 3



9
3 3
2. .
2 2
2

 3   1 2
3 1 4 3
3
AG  AI  IG  2 AI .IG.cos AID  
.


     2. . .
2
2
2
2
9
3




Xét AMG có
2

2

2

cos  AG, MG   cos AGM 

AG 2  GM 2  AM 2
2. AG.GM

2

2

 3  3  7


 
 

3   3   3 
1


 .
6
3 3
2. .
3 3

Câu 27: [1H3-2.4-3](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có
AB  a và AA  2 a . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC  bằng


C

A

B

C'

A'

B'

A. 60 .


B. 45 .

C. 90 .
Lời giải

D. 30 .

Chọn A
C

A

B

C'

A'

B'







Ta có AB.BC  AB  BB BC  CC  AB.BC  AB.CC  BB.BC  BB.CC

 AB.BC  AB.CC  BB.BC  BB.CC  


a2
3a 2
 0  0  2a 2 
.
2
2

3a 2
AB.BC 
1
2
Suy ra cos AB, BC  

   AB, BC    60 .
AB . BC  a 3.a 3 2



Câu 21:



[1H3-2.4-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hình lăng trụ đứng tam giác

ABCABC có đáy ABC là tam giác cân AB  AC  a , BAC  120 , cạnh bên AA  a 2 . Tính
góc giữa hai đường thẳng AB và BC .
A. 90 .

C. 45 .

Lời giải

B. 30 .

Chọn D

D. 60 .
C

B
A

C

B
D

A


Trong  ABC  : kẻ AD sao cho ACBD là hình bình hành.
Ta có: BC // AD Nên  AB; BC    AB; AD   BAD .
Ta có AD  BC  a 3 , AB  AB2  AB2  a 3 , DB  BB2  AC 2  a 3 . Vậy tam
giác BAD đều nên BAD  60 .
Câu 33:

[1H3-2.4-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy
ABCD là hình chữ nhật, AB  2a , BC  a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của CD . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BE
và SC.


A.

a 30
.
10

B.

a 3
.
2

a 15
.
5

C.

D. a .

Lời giải
Chọn A

Gọi I là trung điểm của AB ta có: SI  AB mà  SAB    ABCD  nên SI   ABCD  .
Gọi H là giao điểm của IC và BE , kẻ HK  SC tại K . Khi đó :
IBCE là hình vuông nên BE  IC mà BE  SI do đó BE   SIC  .
Suy ra BE  HK mà HK  SC nên d  BE; SC   HK .
Do tam giác CKH và CIS đồng dạng nên
2

a
.a 3
HK CH
CH .IS
2


 HK 
2
IS
CS
CS
a 3  a 2



 



2



a 30
.
10

Cách khác: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O  I , các tia Ox, Oy, Oz lần lượt là IE, IB, IS .
Sau đó tính khoảng cách bằng công thức: d  BE; SC  


BS .  BE; SC 
 BE; SC 



.


Câu 1416. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S. ABCD có SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau và
SA  SB  SC  a . Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC với M là trung điểm của AB .
A. 30 .

C. 90 .

B. 60 .

D. 120 .

Lời giải
Chọn B

Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM.
Và cắt đường thẳng SA tại N.
Do đó  SM , BC    BN , BC   NBC .
Ta có SM / / BN và M là trung điểm của AB
Nên SN  SA  SC  a  NC  a 2 và NB  2SM  a 2 .
Mà BC  SB2  SC 2  a 2  NBC là tam giác đều.
Vậy NBC  60   SM , BC   60 .
Câu 1417. [1H3-2.4-3] Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính góc giữa hai đường thẳng CI và AC ,

với I là trung điểm của AB .
A. 10 .

B. 30 .

C. 150 .
Lời giải

Chọn B

Ta có I là trung điểm của AB nên  CI , CA  ICA .
Xét tam giác AIC vuông tại I, có AI 
Suy ra sin ICA 

AB AC
AI 1


 .
2
2
AC 2

IA 1
  ICA  30   CI , CA  30 .
CA 2

D. 170 .



Câu 1418. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Các tam giác SAB ,
SAD , SAD là các tam giác vuông tại A . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD
biết SA  a 3 , AB  a , AD  3a .
A.

1
.
2

B.

3
.
2

C.

4
.
130

D.

8
.
130

Lời giải
Chọn D


Ta có các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A.
Nên SA  AB, SA  AD  SA   ABCD  .
Gọi O  AC  BD . Và M là trung điểm của SA. Do đó OM / / SC .
Hay SC / /  MBD  nên  SC, BD    OM , BD   MOB .
Có BM  AM 2  AB 2 
BO 

SA2
a 7
SC a 13
 AB 2 
, MO 
.

4
2
2
2

BD a 10
. Áp dụng định lý cosin trong tam giác MOB.

2
2

Ta được BM 2  OM 2  OB2  2OM .OB.cos MOB

 cos MOB 

OM 2  OB 2  BM 2

8

.
2OM .OB
130

Câu 1419. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC biết

AD  DC  a , AB  2a , và SA 
A.

1
.
42

B.

2
.
42

2a 3
.
3

C.
Lời giải

Chọn C


3
.
42

D.

4
.
42


Gọi M là trung điểm của AB. Ta có AM  AD  DC  a .
Mà AB song song với CD nên AMCD là hình vuông cạnh A.
Do đó DM song song với BC. Suy ra  SD, BC    SD, DM   SDM .
Lại có SM  SA2  AM 2 

a 21
.
3

Và DM  a 2, SD  SA2  AD 2 

a 21
3

Áp dụng định lý cosin trong tam giác SDM, ta được

cos SDM 


SD 2  DM 2  SM 2
3

.
2.SD.DM
42

Câu 1420. [1H3-2.4-3] Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và
CI với I là trung điểm của AD .
A.

3
.
2

B.

3
.
4

C.

3
.
6

Lời giải
Chọn C


Gọi H là trung điểm của BD. Ta có IH / / AB  AB / /  HIC  .
Nên  AB, CI    IH , IC   HIC . Mà IH 

a
a 3
.
, CH  CI 
2
2

Áp dụng định lý cosin trong tam giác HIC, ta được:

D.

1
.
2


2

a
 
2
2
2
HI  CI  HC
3
3
2

.
cos HIC 
  

 cos  AB, CI  
2.HI .CI
6
6
a a 3
2. .
2 2

Câu 1421. [1H3-2.4-3] Cho lăng trụ ABC. ABC có tất cả các cạnh đáy bằng a . Biết góc tạo bởi cạnh
bên và mặt đáy là 60 và H là hình chiếu của đỉnh A lên mặt phẳng  ABC   , H trùng với
trung điểm của cạnh BC  . Góc giữa BC và AC  là  . Giá trị của tan  là:
B. 3 .

A. 3 .

C.

1
.
3

D.

1
.
3


Lời giải
Chọn A

Ta có AH là hình chiếu của AA lên mặt phẳng đáy.
Do đó  AA ',  ABC     AA, AH   AAH  60 .
Lại có AH 
nên AB 
Và AA 

a
a a 3
 AH  tan 60. 
 BH
2
2
2

a 6
.
2

AH
 a  AC   a .
cos 60

Mặt khác  BC, AC    AC, BC   ACB   .
Do đó cos  
Suy ra tan  


AC 2  BC 2  AB2 1
 .
2. AC .BC 
4

1
1  3 .
cos 2 

Câu 1422. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD

là hình vuông cạnh a . Cạnh

SA   ABCD  , và SA  a 3 . Gọi M là trung điểm của SC , góc tạo bởi hai đường thẳng
AM và CD là  . Giá trị của biểu thức P  tan  .cos2  bằng:

A. 2 .

B.

5
.
2

C. 5 .
Lời giải

D. 10 .



Chọn D

Gọi N là trung điểm của SD. Khi đó MN / / SD .
Ta có CD   SAD   MN   SAD   MN  AN
 
Do đó  AM , CD    AM , MN   AMN   0; 
 2

Ta có AN 
Và MN 

SD
SA2  AD 2
3a 2  a 2


 a.
2
2
2

AN
CD a
a
 a:  2.
 nên tan  
MN
2
2
2


Khi đó P 

tan 
 tan  1  tan 2    10 .
2
cos 

Câu 1423. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc
với đáy. Biết SA  a , AB  a , BC  a 2 . Gọi I
giữa 2 đường thẳng AI và SC là:
A.

2
.
3

B. 

2
.
3

C.

là trung điểm của BC . Cosin của góc

2
.
3


Lời giải
Chọn A

Gọi H là trung điểm của SB  IH song song với SC.
Do đó SC / /  AHI    AI , SC    AI , HI   AIH .
Ta có AI  AB 2  BI 2 

SC
a 6

và IH 
2
2

SA2  AC 2
a.
2

D.

2
.
8


AH 

AB 2  AS 2 BS 2 a 2
.



2
4
2

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHI , có

cos AIH 

AI 2  HI 2  AH 2
6
2


.
2. AI .HI
3
3

Câu 1424. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD

là hình vuông cạnh 2a ,

SA  a, SB  a 3 và  SAB  vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB , BC . Cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM và DN là:
A.

2

.
5

B.

2
.
5

C. 

1
.
5

D.

1
.
5

Lời giải
Chọn D

Kẻ ME song song với DN với E  AD suy ra AE 

a
.
2


Đặt  là góc giữa hai đường thẳng SM, DN nên  SM , ME    .
Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Ta có SH   ABCD  .
Suy ra SH  AD  AD   SAB   AD  SA .
Do đó SE 2  SA2  AE 2 

5a 2
a 5
a 5
và ME 
.
 SE 
4
2
2

Tam giác SME cân tại E, có cos   cos SME 

5
.
5

Câu 1425. [1H3-2.4-3] Cho hình hộp ABCD. ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc
BAD, DAA , AAB đều bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA, CD . Gọi  là
góc tạo bởi hai đường thẳng MN và BC , giá trị của cos  bằng:
A.

2
.
5


B.

1
.
5

C.
Lời giải

Chọn D

3
.
5

D.

3 5
.
10


 AD / / BC
Ta có 
với P là trung điểm của DC  .
 MN / / AP
Suy ra  MN , BC    AP, AD   DAP .
Vì BAD  DAA '  A ' AB  60 và các cạnh của hình hộp bằng a. Do đó
AD  a, CD  CA  a 3 .
Suy ra AP 


AD 2  AC 2 DC 2
5a
.

 AP 
2
4
2

Áp dụng định lý cos cho tam giác ADP , ta có
cos  

AD 2  AP 2  DP 2 3 5
.

2 AD. AP
10

Câu 1426. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  , đáy ABC là tam giác vuông tại B với

AB  2a , BC  2a 3 , mặt phẳng  SBC  tạo với đáy một góc 60 . Với N là trung điểm của

AC , cosin góc giữa 2 đường thẳng SN và BC là:
A. cos  SN , BC   1.
C. cos  SN , BC  

3
2


B. cos  SN , BC  

3
.
4

D. cos  SN , BC  

3
.
8

Lời giải
Chọn B

Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó MN / / BC


Mặt khác MN 

BC
 a 3; AC  AB 2  BC 2  4a  AN  2a .
2

Lại có

 BC  SA
 BC   SBA  SBA    SBC  ,  ABC    60

 BC  AB

Do vậy SA  AB tan 60  2a 3 .
Do vậy SM  SA2  AM 2  a 13
Do MN / / BC   SAB   SM  MN
Suy ra cos SNM 

MN
a 3
3


 cos  SN , BC  .
SN
4
3a 2  13a 2

Câu 1427. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , SA   ABCD 
và SA  a 3 . Gọi M là trung điểm của SD , cosin góc giữa 2 đường thẳng CM và SB là:
A.

5 2
.
8

B.

2 2
.
7

C.


3 2
.
5

D.

2
.
8

Lời giải
Chọn A

Gọi O là tâm của đáy khi đó OM / / SB
Mặt khác SB  SA2  AB 2  2a  SD  OM  a ;
OC 

AC a 2
. Lại có CD  SA, CD  AD  CD  SD

2
2

Khi đó CM  CD2  DM 2  a 2 .
cos OMC 

OM 2  MC 2  OC 2 5 2

 cos  OM , MC 

2.OM .MC
8

Do đó cos  SB, CM  

5 2
.
8

Câu 1428. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB  2a và
AD  3a . Tam giác SAB vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi  là
góc giữa 2 đường thẳng SC và AB . Khẳng định nào sau đây là đúng.


A. cos  

1
.
5

B. cos  

1
.
11

C. cos  

1
.

11

D. cos  

1
2 2

.

Lời giải
Chọn B

Gọi H là trung điểm của AB khi đó ta có: SH  AB . Mặt khác  SAB    ABCD  nên

SH   ABCD  . Ta có: SH 

AB
 a (do tam giác SAB vuông tại S)
2

Do AB / /CD   SC, AB    SC, CD 
Ta có:

SC  SH 2  HC 2  SH 2  HB2  HC 2  a 11; SD  SH 2  HD2  a 11
Khi đó cos SCD 

SC 2  CD 2  SD 2
1
1


 cos  
.
2SC.CD
11
11

Câu 1429. [1H3-2.4-3] Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông
góc của B lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết khoảng cách giữa
2 đường thẳng AB và BC bằng

a 3
. Gọi  là góc giữa 2 đường thẳng BC và AA .
4

Chọn khẳng định đúng.
A. cos  

1
.
8

B. cos  

7
.
8

C. cos  
Lời giải


Chọn D

Ta có: BH  AB, CH  AB  AB   BHC 
+) Dựng HK  BC  HK  AB  HK 

a 3
4

2
.
2

D. cos  

2
.
4


+) Mặt khác:

1
1
1
a


 BH 
2
2

2
HK
BH
HC
2

Do AA / / BB   BC, AA    BC, BB 
Ta có: BB 

a
, BC  a, BC  a .
2

Khi đó cos  BC, AA   cos CBB


BC 2  BB2  BC 2
2
.

2 BC.BB
4

Câu 1430. [1H3-2.4-3] Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A có

AB  a và AC  a 3 . Biết rằng AC  a 7 và N là trung điểm của AA . Góc giữa 2
đường thẳng AC và BN là  . Khẳng định nào sau đây là đúng.
A. cos  

14

.
7

B. cos  

14
.
28

C. cos  

3
.
14

D. cos  

14
.
14

Lời giải
Chọn A

Ta có BC  AB 2  AC 2  2a
Mặt khác AA '  A ' C 2  AC 2  2a
Gọi M là trung điểm của BB ' . Dễ thấy BN / / A ' M
Khi đó  BN , A ' C    A ' M , A ' C 
Ta có: A ' M  A ' B '2  B ' M 2  a 2; A ' C  a 7


CM  BC 2  BM 2  a 5
Do đó cos MA ' C 
Do vậy cos  

A ' M 2  A ' C 2  MC 2
14

2. A ' M . A ' C
7

14
.
7

Câu 1431. [1H3-2.4-3] Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB  a và AA '  b . Biết rằng
góc giữa hai đường thẳng AB ' và BC ' bằng 60 , giá trị của b tính theo a bằng:


B. a .

A. a 2 .

C. a 3 .

D. 2a .

Lời giải
Chọn A

Dựng đường thẳng BD / / AB ' cắt A ' B ' tại D.

Vì góc giữa AB ' và BC ' bằng 60° nên ta có

 DBC '  60

 AB ', BC '  BD, BC '  

 DBC '  120

Ta có BD  AB '  BC ' nên BD  BC '  a 2  b2
Vì A ' B ' C '  60 nên DB ' C '  120 .
Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác DB ' C ' , có
DC '2  B ' D2  B ' C '2  2B ' D.B ' C '.cos120

Hay DC '  a 3 .
• Nếu DBC '  60  BD  BC '

 a 2  b2  a 3  b2  2a 2  b  a 2
Nếu DBC '  120  b  0 (loại).
Câu 1432. [1H3-2.4-3] Cho tứ diện ABCD , gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD , biết

AB  a , CD  a , MN 

a 3
. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:
2

A. 30 .

B. 45 .


C. 60 .
Lời giải

Chọn C

D. 90 .


Gọi I là trung điểm của AC.

 IM / / AB
Ta có 
  AB, CD    IM , IN 
 IN / /CD
Đặt MIN   . Xét tam giác IMN, có
IM 

AB a
CD a
a 3
 , IN 
 , MN 
2
2
2
2
2

IM 2  IN 2  MN 2
1

Theo định lý Cosin, có cos  
   0.
2.IM .IN
2

 MIN  120   AB, CD   60 .
Câu 1433. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại C , CA  CB  a .
SA vuông góc với đáy, gọi D là trung điểm của AB , góc tạo bởi hai đường thẳng SD , AC
là  . Biết SA  a 3 , giá trị của biểu thức P  tan  bằng:
A.  13 .

C. 14 .

B. 13 .

Lời giải
Chọn B

Gọi M là trung điểm của BC  DM / / AC

 SDM
Do đó  SD, AC    SD, DM   
180  SDM
Ta có DM 

AC a
a 14
 , SD  SA2  AD 2 
2
2

2

Và SM  SC 2  CM 2  4a 2 

a 2 a 17

4
2

D.  14 .


Áp dụng định lý cosin trong SDM , có

cos SDM 

SD 2  DM 2  SM 2
1

2SD.DM
14

Khi đó 180  SDM  





 tan   tan 180  SDM   tan SDM  13 .
Câu 1459. [1H3-2.4-3] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và các cạnh

bên đều bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc
 MN , SC  bằng
A. 30 .

D. 90 .

C. 60 .

B. 45 .

Lời giải
Chọn D

Do MN là đường trung bình trong tam giác SAD
Do đó MN / / SA suy ra  MN , SC    SA, AC  .
Lại có SA  SC  a; AC  a 2  ASC  90   SA, SC 
Do đó  MN , SC   90 .Câu 26.

[1H3-2.4-3] Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng

a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BB ', CD , A ' D ' . Góc giữa MP và C ' N bằng
A. 30 .
B. 45 .
C. 60 .
D. 90 .
Lời giải
Chọn D







Mặt khác B ' P  B ' A '  A ' P  B ' P.CN   B ' A '  A ' P .CN  B ' A '.CN
Ta có MP.C ' N  MB '  B ' P . C ' C  CN  MB '.C ' C  B ' P.CN (1)

(2)

a2 a2
Từ (1), (2) suy ra MP.C ' N  MB '.C ' C  B ' A.CN     0  MP  C ' N .
2 2
Câu 1722:
[1H3-2.4-3] Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm CD ,  là góc
giữa AC và BM . Chọn khẳng định đúng?
A. cos  

3
4

B. cos  

1
3

C. cos  
Lời giải

Chọn C

3

6

D.   600


A

B

D

d

O

N

M
C

Gọi O là trọng tâm của BCD  AO   BCD 
Trên đường thẳng d qua C và song song BM lấy điểm N sao cho BMCN là hình chữ nhật,



 

 




từ đó suy ra: AC, BM  AC, CN  ACN  
Có: CN  BM 

a
3
a và BN  CN 
2
2
2

2
2

AO  AB  BO  AB   BM   a 2
3
3

2

2

2

2

7 2
AC 2  CN 2  AN 2
3
5

2
2

a  cos  
ON  BN  BO  a ; AN  AO  ON 
2 AC.CN
6
2
12
2

2

2

Câu 1735:

[1H3-2.4-3] Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó
cos  AB, DM  bằng

A.

2
.
2

B.

3
.

6

C.

1
.
2

D.

3
.
2

Lời giải
Chọn B
A

D

B
M
C

Giả sử cạnh của tứ diện là a .






Ta có cos AB, DM 

AB.DM
AB . DM



AB.DM
a 3
a.
2

Mặt khác





AB.DM  AB AM  AD  AB. AM  AB. AD  AB. AM .cos 300  AB. AD.cos 600
 a.

a 3 3
1 3a 2 a 2 a 2
.
 a.a. 

 .
2
2
2

4
2
4





Do có cos AB, DM 

3
3
. Suy ra cos  AB, DM  
.
6
6


Câu 1741:

[1H3-2.4-3] Cho tứ diện ABCD với AC 

3
AD, CAB  DAB  600 , CD  AD . Gọi  là
2

góc giữa AB và CD . Chọn khẳng định đúng ?
3
A. cos  .
B.   60 .

C.   30 .
4
Lời giải
Chọn D

D. cos 

1
.
4

A

D

B

C





Ta có cos AB, CD 

AB.CD



AB . CD


AB.CD
AB.CD

Mặt khác





AB.CD  AB AD  AC  AB. AD  AB. AC
 AB. AD.cos 600  AB. AC.cos 600
1
3
1
1
1
 AB. AD.  AB. AD.   AB. AD   AB.CD.
2
2
2
4
4

1
 AB.CD
1
1
  . Suy ra cos   .
Do có cos AB, CD  4

AB.CD
4
4





a 3
( I , J lần lượt là trung điểm
2
của BC và AD ). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là :
A. 30 .
B. 45 .
C. 60 .
D. 90 .
Lời giải
Chọn C

Câu 1743:

[1H3-2.4-3] Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a, IJ=

A

J

M

B


D

I

Gọi M là trung điểm của AC.
Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ.


Tính được: cos IMJ 

IM 2  MJ 2  IJ 2
1

2MI .MJ
2

Từ đó suy ra số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là: 600.
Câu 33: [1H3-2.4-3] [SDG PHU THO_2018_6ID_HDG] Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với

 BCD  . Biết tam giác

a 6
, AC  a 2 , CD  a . Gọi E là trung
2
điểm của AD . Góc giữa hai đường thẳng AB và CE bằng
A. 30o .
B. 60o .
C. 45o .
D. 90o .

Lời giải
Chọn C
BCD vuông tại C và AB 

Ta có BC  AC 2  AB 2 

a 6
a 2
, BD 
.
2
2

Gọi M là trung điểm BD  ME // AB , ME 

BD a 6
1
a 6
, CM 
AB 

2
2
4
4

 CME vuông cân tại M .




 



Ta có AB, CE  EM , CE  CEM  45o .
Câu 28.

(Chuyên Thái Nguyên - 2018 - BTN) Cho hình chóp đều S. ABC có
1
SA  9a , AB  6a . Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho SM  MC . Côsin của góc giữa hai đường
2
thẳng SB và AM bằng
A.

1
.
2

[1H3-2.4-3]

B.

7
.
2 48

C.
Lời giải

Chọn D


19
.
7

D.

14
.
3 48