Câu 17: [1H3-2.4-2] (THPT Thanh Miện - Hải Dương - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình lập phương
ABCD. ABCD , góc giữa hai đường thẳng AB và BC là
A. 90 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 45 .
Lời giải
Chọn B
B

C
A

D

B'

C'
D'

A'

Ta có BC // AD   AB; BC    AB; AD   DAB .
Xét DAB có AD  AB  BD nên DAB là tam giác đều.
Vậy DAB  60 .
Câu 24: [1H3-2.4-2] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình lập
phương ABCD. ABCD . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng:
A. 45 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 90 .

Lời giải
Chọn A

Có CD//AB   BA, CD    BA, BA  ABA  45 .
Câu 2.

[1H3-2.4-2](THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Cho tứ diện ABCD có AB ,
AC , AD đôi một vuông góc với nhau, biết AB  AC  AD  1 . Số đo góc giữa hai đường
thẳng AB và CD bằng
A. 45 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 90 .
Lời giải
Chọn D
AB  AC 
CÁCH 1. Vì
  AB   ACD   AB  CD .
AB  AD 
CÁCH 2.


D

1
P

A

N


1

C

1
M
B

Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AD .
 MN // AB

Trong ABC , có 
1
1
 MN  2 AB  2
 NP // CD

Trong ACD , có 
1
2
 NP  CD 

2
2
2

2
3
1  2 

Trong AMP , có MP  AP  AM     
.
 
2
2  2 
2

2

 MN // AB
Ta có 
  AB; CD    MN ; NP   MNP
 NP // CD
Áp dụng định lý Cosin cho MNP , có
2

2

 2   1 2  3 

   

NP 2  NM 2  MP 2  2   2   2 
cos MNP 

 0  MNP  90
2 NP.NM
2 1
2.
.

2 2
Hay  AB; CD   90 .

Câu 4.

[1H3-2.4-2](TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình lập phương
ABCD. ABCD . Góc giữa hai đường thẳng AC và AD bằng

A. 45 .
Chọn C

B. 30 .

C. 60 .
Lời giải

D. 90 .


Ta có:  AC, AD    AC, AD   DAC  60 .
Vì AD  AC  CD .
Câu 5.

[1H3-2.4-2](Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp
S. ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a , BC  a 2 . Tính số đo của góc giữa hai đường
thẳng AB và SC ta được kết quả:
A. 90 .
B. 30 .
C. 60 .
D. 45 .

Lời giải
Chọn C
* Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  , theo đầu bài SA  SB  SC và

tam giác ABC vuông cân tại A ta có H là trung điểm của BC . Gọi M , N lần lượt là trung
 MN // AB
điểm của SA , SB ta có: 
 Góc giữa AB và SC là góc giữa MN và HN .
 HN // SC
Xét tam giác MNH ta có: MN 

SC a
AB a
SA a
 ; MH 
 ; HN 

2
2
2 2
2
2

 tam giác MNH là tam giác đều  MNH  60 . Vậy góc cần tìm là 60 .

S

M

N

C

A

H
B

Câu 30: [1H3-2.4-2] (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy
ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của AE và BC . Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng
A. 90 .
B. 60 .
C. 45 .
D. 75 .
Lời giải
Chọn A


Gọi I là trung điểm SA thì IMNC là hình bình hành nên MN // IC .
Ta có BD   SAC   BD  IC mà MN // IC  BD  MN nên góc giữa hai đường thẳng

MN và BD bằng 90 .
Cách khác: có thể dùng hệ trục tọa độ của lớp 12, tính tích vô hướng BD.MN  0 .
Câu 1:

[1H3-2.4-2] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S. ABC có

SA  BC  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , và SC , MN  a 3 . Tính số đo
góc giữa hai đường thẳng SA và BC .
A. 30 .

B. 150 .
C. 60 .
D. 120 .
Lời giải
Chọn C
S

N

P
O

A

Q

C

M
B

Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của SB , AC . Khi đó MP , NQ , MQ , PN lần lượt là đường
trung bình của tam giác SAB , SAC , ABC , SBC nên MP // NQ // SA ; PN // MQ // BC và
1
1
MP  NQ  SA  a ; PN  MQ  BC  a . Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC là
2
2
góc PMQ và tứ giác MPNQ là hình thoi.
Xét hình thoi MPNQ : gọi O giao điểm của hai đường chéo; vì MN  a 3 nên MO 

trong tam giác vuông MOQ thì OQ  a 2 
hay PMQ  60 .

a 3
;
2

3a 2 a
  PQ  a , khi đó tam giác PMQ đều
4
2


Câu 29:

[1H3-2.4-2]
(THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD có
AB  CD  a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Xác định độ dài đoạn
thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng 30 .

A. MN 

a
2

B. MN 

a 3
2


C. MN 

a 3
3

D. MN 

a
4

Lời giải
Chọn B

1
1
Gọi P là trung điểm của AC . Suy ra PM  CD  AB  PN . Do đó tam giác PMN cân tại
2
2
P . Lại có góc giữa AB và MN bằng 30 nên góc giữa MN và PN bằng 30 . Vậy tam giác
PMN là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120 .

Ta có PN . 3  MN nên MN 

a 3
.
2

Câu 18: [1H3-2.4-2](SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh
AB  AC  AD  BC  BD  a và CD  a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng
A. 30 .

B. 90 .
C. 45 .
D. 60 .
Lời giải
Chọn D


A
a
K
I
B

D

M
2a

N
C

Gọi M , N , I , K lần lượt là trung điểm các cạnh BD , DC , AC , AB thì MNIK là hình
2

2

a 3 a 2
a
thoi. KCD cân tại K nên KN  CD  KN  KD  ND  
  

 
2
 2   2 
2



 

2



 NIK là tam giác đều  NIK  60  AD, BC  IN , IK  NIK  60 .

Câu 20: [1H3-2.4-2] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [1H3-2] Cho hình lăng trụ
đều ABC. ABC có cạnh đáy bằng 1 , cạnh bên bằng 2 . Gọi C1 là trung điểm của CC  . Tính
côsin của góc giữa hai đường thẳng BC1 và AB .
A.

2
.
6

B.

2
.
4


2
.
3

C.

D.

2
.
8

Lời giải
Chọn B

A

C

B
C1

A



C

 




B

Ta có AB // AB  BC1 , AB  BC1 , AB  ABC1 .
Tam giác ABC1 có AB  1; AC1  BC1  2 và cos B 

AB 2  BC12  AC12
2
 cos B 
.
2 AB.BC1
4

Câu 20: [1H3-2.4-2] (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tứ diện
đều ABCD số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A. 45 .

B. 30 .

C. 90 .

D. 60 .


Lời giải
Chọn C

A


B

D
H

I

C
Gọi I là trung điểm của CD và H là tâm của tam giác đều BCD .
Vì ABCD là hình tứ diện đều nên AH  ( BCD) .
Ta có AB.CD  AH .CD  HB.CD  0 suy ra AB  CD hay góc giữa AB và CD bằng 90 .
Câu 7.

[1H3-2.4-2] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC. Gọi  là
góc giữa hai đường thẳng AB và DM, khi đó cos  bằng
A.

3
6

2
2

B.

C.

3
2


Lời giải:
Gọi N là trung điểm của AC

 MN là đường trung bình của ABC
 MN / / AB


1
 MN  2 AB
Vì BCD và ACD là các tam giác đều cạnh bằng a
 MD  ND 

a 3
.
2

Vì MN / / AB     AB, DM    MN , DM 
Xét MND , ta có:

cos NMD 

MN 2  MD 2  ND 2
2MN .MD
2

2

2
a a 3 a 3
 


  
2  2   2 
1
3



0
6
a a 3
2 3
2. .
2 2

 NMD  90   MN , DM   NMD

D.

1
2


Vậy cos   cos NMD 

3
.
6

Chọn đáp án A.

Câu 8.

[1H3-2.4-2] Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA
vuông góc với đáy và SA  a 3 . Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng
A.

2
2

B.

2
4

C.

3
2

D.

3
4

Lời giải
Gọi I là trung điểm của SD

 OI là đường trung bình của SBD
OI / / SB



SB
SA2  AB 2
3a 2  a 2
OI



a


2
2
2
Vì OI / / SB   SB, AC    OI , AC   AOI
Ta có: AI 

SD
SA2  AD 2
3a 2  a 2


a
2
2
2

 AI  OI  AOI cân tại I.
Gọi H là trung điểm của OA  IH  OA
Và OH 


OA AC a 2


2
4
4

a 2
OH
2
 4 
Xét OHI , ta có: cos HOI 
OI
a
4
Vậy cos  SB, AC   cos HOI 

2
.
4

Chọn đáp án B.
Chú ý: Để tính cos AOI ta có thể tính cách khác như sau:
2

a 2
2
2


 a a
2
2
2
2 
OA  OI  AI
2
.
cos AOI 


2OA.OI
4
a 2
2.
.a
2

Câu 9.

[1H3-2.4-2] Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh
AB  2a, AD  DC  a ; SA  AB, SA  AD và SA 

2a 3
.
3

a) Góc giữa đường thẳng SB và DC bằng
A. 30°
B. 45°

C. 60°
b) Gọi  là góc giữa SD và BC. Khi đó, cos  bằng
A.

3
14

B.

42
14

C.

42
28

D. 75°

D.

3
28


Lời giải
a) Vì DC / / AB

  SB, DC    SB, AB  SBA .
(vì SAB vuông tại A  SBA  90 ).

Xét SAB vuông tại A, ta có:

2a 3
SA
3
tan SBA 
 3 
 SBA  30
AB
2a
3
Vậy  SB, DC   SBA  30 .

 Chọn đáp án

A.

b) Gọi E là trung điểm của AB.
Khi đó, BCDE là hình bình hành

 DE / / BC   SD, BC    SD, DE   

7
 2
4a 2
7a 2
2
2
2
 a2 

 SE  SD  a
 SE  SD  SA  AD 
Ta có 
3
3 
3
 DE 2  2a 2


 DE  a 2

Áp dụng định lí hàm cosin trong tam giác SDE, ta được:

cos SDE 

SD 2  DE 2  SE 2

2SD.DE

2a 2
3
42


 0  SDE  90
14
14
7
2.a
.a 2

3

Vậy  SD, BC    SD, DE   SDE  
 cos   cos SDE 

42
.
14

Chọn đáp án B.
Câu 37: [1H3-2.4-2] (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - Lân 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện đều
ABCD , M là trung điểm của BC . Khi đó cosin của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị
bằng

3
.
6

A. AB, DM .

B. AD, DM .

C. AM , DM .
Lời giải

Chọn A

D. AB, AM .



A

N

B

D
M

C

Gọi cạnh của tứ diện có độ dài là a . Ta có: AM  DM 

a 3
.
2

Xét tam giác ADM cân tại M có:
2

cos AMD 

AM 2  DM 2  AD 2
2. AM .DM

2

a 3 a 3
2


 
 a
2   2 
1
 .

3
a 3 a 3
2.
.
2
2
2

2

a 3
a 3
2

a





2 
2 
DM 2  AD 2  AM 2
1



.
cos ADM 


2. AD.DM
3
a 3
2.
.a
2
Xét tam giác đều ABC có AM là đường trung tuyến và là đường phân giác nên

 AB, AM   30  cos  AB, AM  

3
.
2

Từ đó loại trừ đáp án B, C, D.
Gọi N là trung điểm của AC . Ta có MN //AB   AB, DM    MN , DM  .
Xét tam giác MND có:
2

cos NMD 

MN 2  DM 2  ND 2
2.MN .DM


Suy ra cos  AB, DM  

2

2
a a 3 a 3
 

  
2  2   2 
3
.


6
a a 3
2. .
2 2

3
.
6

Câu 50: [1H3-2.4-2] Cho hình chóp S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là
trung điểm của SC và BC . Số đo của góc

 IJ , CD 

A. 90 .


C. 30 .
Lời giải

Chọn D

B. 45 .

bằng:
D. 60 .


S

I
A

D

K
O

B

C

J
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD .
Ta có: OJ //CD .
Nên góc giữa IJ và CD bằng góc giữa I J và OJ .
Xét tam giác IOJ có

1
a
1
a
1
a
SB  , OJ  CD  , IO  SA  .
2
2
2
2
2
2
Nên tam giác IOJ đều.
IJ 

Vậy góc giữa IJ và CD bằng góc giữa I J và OJ
bằng góc IJO  600 .
Câu 1710: [1H3-2.4-2] Cho hình hộp ABCD. ABCD . Giả sử tam giác ABC và ADC đều có 3 góc
nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và AD là góc nào sau đây?
A. ABC .

C. BBD .

B. DAC  .

D. BDB .

Lời giải
Chọn B


A'

D'
C'

B'

D

A
B

C

Ta có: AC //AC nên góc giữa hai đường thẳng AC và AD
là góc giữa hai đường thẳng AC  và AD
bằng góc nhọn DAC  (Vì tam giác ADC đều có 3 góc nhọn
Câu 1711:
[1H3-2.4-2] Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:
A. 60 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 45 .
Lời giải
Chọn C


A


D

B
G
C

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .
Vì tứ diện ABCD đều nên AG   BCD  .

CD  AG
 CD   ABG   CD  AB .
Ta có: 
CD  BG
Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 900
Câu 1733:

[1H3-2.4-2] Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 . Góc giữa AC và DA1 là

A. 45 .

D. 120 .

C. 60 .
Lời giải

B. 90 .

Chọn C
C


B
A

D

C1

B1
A1

D1

Vì A ' C ' //AC nên góc giữa AC và DA1 là DA1C1 .
Vì tam giác DA1C1 đều nên DA1C1  600 .
Vậy góc giữa AC và DA1 bằng 600 .
Câu 1737:
[1H3-2.4-2] Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác BCD . Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu ?
A. 0 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 60 .
Lời giải
Chọn C
A

B

D
O


C






Ta có AO.CD  CO  CA CD
 CO.CD  CA.CD  CO.CD.cos 300  CA.CD.cos 600
a 3
3
1 a2 a2

.a.
 a.a. 

 0.
3
2
2 2
2

Suy ra AO  CD .
Câu 1738:

[1H3-2.4-2] Cho tứ diện ABCD có AB  CD . Gọi I , J , E, F lần lượt là trung điểm của
AC, BC, BD, AD . Góc  IE, JF  bằng

A. 30 .


D. 90 .

C. 60 .
Lời giải

B. 45 .

Chọn D
A
F
I
B

E

D

J
C

Tứ giác IJEF là hình bình hành.
1

 IJ  2 AB
Mặt khác 
mà AB  CD nên IJ  JE .
 JE  1 CD

2


Do đó IJEF là hình thoi.
Suy ra  IE, JF   900 .
Câu 1744:

[1H3-2.4-2] Cho tứ diện ABCD với AB  AC, AB  BD . Gọi P, Q lần lượt là trung

điểm của AB và CD . Góc giữa PQ và AB là?
A. 90 .

B. 60 .

C. 30 .
Lời giải

D. 45 .

Chọn A
AB.PQ  AB  PQ

Câu 16: [1H3-2.4-2](THPT HAU LOC 2_THANH HOA_LAN2_2018_BTN_6ID_HDG) Cho hình
hộp chữ nhật ABCD. ABCD (tham khảo hình vẽ bên) có AD  a , BD  2a. Góc giữa hai
đường thẳng AC  và BD là


A. 60 .

B. 120 .

C. 90 .

Lời giải

D. 30 .

Chọn A
Gọi O  AC  BD. Ta có: AO 

1
BD  a. Ta có: AC // AC
2

 AC, BD    AC, BD   AOD  60

(Vì tam giác ADO đều).

Câu 16: [1H3-2.4-2] [SGD NINH BINH _ 2018 _ BTN _ 6ID _ HDG] Cho hình lập phương
ABCD. ABCD . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, CD . Tính cosin của
góc giữa hai đường thẳng MN và CP .
B

C

M
D

A
N
B'

C'

P
A'

A.

3
.
10

B.

10
.
5

D'

C.
Lời giải

Chọn C

1
.
10

D.

15
.

5


Gọi Q là trung điểm BC  . Khi đó PQ // MN .
Ta có  MN , CP    PQ, CP   CPQ vì tam giác CPQ cân tại C do CP  CQ 
Gọi H trung điểm PQ nên CH  PQ ; PQ 

a 5
.
2

a 2
a 2
.
 PH 
2
4

PH a 2 2
1
.

.

CP
4 a 5
10
Câu 35. [1H3-2.4-2] (Sở Giáo dục Gia Lai – 2018-BTN)Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có
cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AA ' và A ' B ' . Tính số đo góc giữa hai
đường thẳng MN và BD .

Vậy cos CPH 

A. 45 .

B. 30 .

D. 90 .

C. 60 .
Lời giải

Chọn C

A

D

B

C

M

N

A

B'

P

D'
C'

Gọi P là trung điềm cạnh AD . Vì ABCD. ABCD là hình lập phương cạnh a nên

AB  BD  DA  a 2 suy ra MN  NP  PM 

a 2
 MN , BD  MN , NP  60 .
2

Câu 25. [1H3-2.4-2](SỞ GD-ĐT HẬU GIANG-2018-BTN) Cho hình lập phương ABCD. ABCD có
cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng AB và AC  bằng
A. 60o .
Chọn C

B. 30o .

C. 90o .
Lời giải

D. 45o .


Cách 1: Có

AB  AB 
  AB   ABC    AB  AC  .
BC   AB 


Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và AC  bằng 90o .
Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , chuẩn hóa a  1 sao cho B  0;0;0  , A 1;0;0  , C  0;1;0  ,

B  0;0;1 , A 1;0;1 , C   0;1;1 .
Ta có đường thẳng AB có vtcp u  1;0;1 , AC  có vtcp k   1;1;1 .
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và AC  thì cos  

u.k

 0.

u.k

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và AC  bằng 90o .
Câu 16.
[1H3-2.4-2] (TT Tân Hồng Phong - 2018 - BTN) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD
có tất cả các cạnh bằng a . Tính góc tạo bởi SA và CD .
A. 30 .
B. 90 .
C. 120 .
D. 60 .
Lời giải
Chọn D

Ta có: CD // AB   SA, CD    SA, AB   SAB  60 (vì tam giác SAB đều).
Câu 14.

[1H3-2.4-2] Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm của đáy là O . Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Biết rằng góc giữa MN và  ABCD  bằng
600 , cosin góc giữa MN và mặt phẳng  SBD  bằng :



A.

3
.
4

B.

2
.
5

5
.
5

C.

D.

10
.
5

Câu 45. [1H3-2.4-2] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018)Cho hình lăng trụ ABC. ABC
có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB  2a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng
 ABC  trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 .
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AC và BB . Tính cos 

1
1
2
A. cos   .
B. cos   .
C. cos   .
4
3
5

D. cos  

2
.
3

Lời giải
Chọn A.

Ta có AH   ABC   AH là hình chiếu của AA lên mặt phẳng  ABC 

  AA;  ABC     AA; AH   AAH  60 .
Ta có : AA // BB   AC; BB   AC; AA   AAC   .
Có AH  a  AH  AH tan 60  a 3 ; AA  AH 2  AH 2  2a ;
CH  a 3  AC  a 6 .

AA2  AC 2  AC 2 4a 2  4a 2  6a 2 1

 .
2 AA. AC

2.2a.2a
4
Câu 34: [1H3-2.4-2] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp
S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
SA  a . Gọi M là trung điểm của SB . Góc giữa AM và BD bằng
A. 45
B. 30
C. 90
D. 60
Lời giải
Chọn D
Xét AAC , ta có: cos AAC 

S

N
M

D
A

B

C


  AM , BD    AM , MN 
Gọi N là trung điểm của SD khi đó ta có MN // BD
.
1

1
1
a 2
a 2
a 2
MN  BD 
AN  SD 
SB 
2
2
2
2 ;
2 ;
2  AMN
Theo giả thiết ta có
 AM , BD   60 .
đều  AMN  60 . Vậy
Câu 28: [1H3-2.4-2] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ
diện đều ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC (tham khảo hình vẽ bên). Côsin của góc
giữa hai đường thẳng AB và DM bằng
1
3
3
3
A.
B.
C.
D.
6
3

2
2
Lời giải
AM 

Chọn A

Kẻ MN //AB , suy ra MN là đường trung bình của ABC . Suy ra MN 

AB
.
2

Suy ra:  AB, DM    MN , DM   DMN   .
Gọi tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a .
a
MN 2  DM 2  DN 2
3
a 3
.
 cos  

MN  , DN  DM 
2.MN .DM
6
2
2

a 3
( I , J lần lượt là trung điểm

2
của BC và AD ). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là
A. 30 .
B. 45 .
C. 60 .
D. 90 .
Lời giải
Chọn C.

Câu 2308.

[1H3-2.4-2] Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a , IJ 

A
J
M
O

B

N
I
C

D


Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC , BC .
Ta có:
1

1
a

 MI  NI  AB  CD 
2
2
2  MINJ là hình thoi.

 MI // AB // CD // NI
Gọi O là giao điểm của MN và IJ .
Ta có: MIN  2MIO .
a 3
IO
3
 4 
 MIO  30  MIN  60 .
Xét MIO vuông tại O , ta có: cos MIO 
a
MI
2
2
Mà:  AB, CD    IM , IN   MIN  60 .
Câu 2310.
[1H3-2.4-2] Cho hình hộp ABCD. ABCD . Giả sử tam giác ABC và ADC đều có 3
góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và AD là góc nào sau đây?
A. BDB .

B. ABC .

D. DAC .


C. DBB .
Lời giải

Chọn D.
A'

D'

B'

C'

A

D

B

Ta có: AC // AC (tính chất của hình hộp)
  AC, AD    AC, AD   DAC (do giả
thiết cho DAC nhọn).

C

Câu 2312.
[1H3-2.4-2] Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc
giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A. 30 .
B. 45 .

C. 60 .
D. 90 .
Lời giải
Chọn D.

A

B

D
H

E

C

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD  AH   BCD  .
Gọi E là trung điểm CD  BE  CD (do BCD đều).
Do AH   BCD   AH  CD .

CD  BE
 CD   ABE   CD  AB   AB, CD   90 .
Ta có: 
CD  AH
Câu 2316.

[1H3-2.4-2] Cho hình chóp S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt

là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc  IJ , CD  bằng
A. 30 .


B. 45 .

C. 60 .

D. 90 .


Lời giải
Chọn C.

S

I
A

B
O

D

J
C

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD  O là tâm đường
tròn ngoại tiếp của hình vuông ABCD (1).
Ta có: SA  SB  SC  SD  S nằm trên trục của đường
tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (2).
Từ (1) và (2)  SO   ABCD  .
Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ là đường trung bình

của SAB ).   IJ , CD    SB, AB  .
Mặt khác, ta lại có SAB đều, do đó SBA  60   SB, AB   60   IJ , CD   60 .
Câu 2317.

[1H3-2.4-2] Cho tứ diện ABCD có AB  CD . Gọi I , J , E , F lần lượt là trung điểm

của AC , BC , BD , AD . Góc giữa  IE , JF  bằng
A. 30 .

C. 60 .

B. 45 .

D. 90 .

Lời giải
Chọn D.
A
F
I
B

E

D

J
C
 IJ // EF // AB
Từ giả thiết ta có: 

(tính chất đường trung bình
 JE // IF // CD
trong tam giác)
Từ đó suy ra tứ giác IJEF là hình bình hành.
1
1
Mặt khác: AB  CD  IJ  AB  JE  CD  ABCD là
2
2
hình thoi  IE  JF (tính chất hai đường chéo của hình thoi)
  IE, JF   90 .
BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Câu 25: [1H3-2.4-2] (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa- Lần 1- 2017 - 2018 - BTN) Cho hình
chóp S. ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau và SA  SB  SC  a . Gọi M là
trung điểm của AB . Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC .
A. 60 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 120 .
Lời giải
Chọn A


C

N

B


S
M
A

Gọi N là trung điểm của AC . Khi đó góc giữa SM và BC bằng góc giữa SM và MN .
Ta có:
AB  BC  CA
1
SM  AB (trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền).
2
1
SN  AC (trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền).
2
1
MN  BC .
2





Suy ra SM  MN  SN hay tam giác SMN đều. Do đó SM ; BC  SMN  60 .
Câu 17. [1H3-2.4-2] (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện
đều ABCD cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
a 2
a
A. a 2 .
B. .
C. a .
D.

.
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn D

A

N

B

D
M
C

Gọi M là trung điểm của CD .
Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt AB tại trung điểm N ( AMN cân tại M )
2

 a 3   a 2 a 2
d
AB
,
CD

MN
Suy ra 
.
 BM  BN  


    
2
 2  2
2

2


Câu 11: [1H3-2.4-2] (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp đều S. ABCD
có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của
góc giữa hai đường thẳng MN và SC là
A. 45 .
B. 60 .
C. 30 .
D. 90 .
Lời giải
Chọn D
S

N

M

A

D
a
P


B

C

a

Gọi P là trung điểm của CD .
Ta có: NP // SC   MN , SC    MN , NP  .
Xét tam giác MNP ta có: MN 

 MN 2  NP 2 

a
a
a 2
, NP  , MP 
2
2
2

a2 a2 a 2


 MP 2  MNP vuông tại N
2
4 4

 MNP  90   MN , SC    MN , NP   90 .

Câu 34: [1H3-2.4-2] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp

S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC .
Số đo của góc

 IJ , CD 

A. 30 .

bằng:
B. 60 .

C. 45 .
Lời giải

D. 90 .

Chọn B
S

I
A

B

D

J

C



Ta có

IJ // SB 
   IJ , CD    SB, AB   SBA  60
CD // AB 

(vì tam giác SAB là tam giác đều cạnh a ).
Câu 32: [1H3-2.4-2](THPT AN LÃO-HẢI PHÒNG-Lần 3-2018-BTN) Cho tứ diện ABCD có AB
vuông góc với mặt phẳng

 BCD 

. Biết tam giác BCD vuông tại C và AB 

AC  a 2 , CD  a . Gọi E là trung điểm của AC (tham khảo hình vẽ bên).

Góc giữa đường thẳng AB và DE bằng
A. 45o .
B. 60o .

C. 30o .

D. 90o .

Lời giải
Chọn B

Gọi H là trung điểm BC . Vì AB / / HE   AB; DE    HE; DE   DEH
Ta có: HE 


AB a 6
3 2a

; DH  HC 2  CD 2 
2
4
4

a 6
,
2


tan DEH 

Câu 4:

DH
 3  DEH  60o .
HE

[1H3-2.4-2](THPT-Chuyên Ngữ Hà Nội_Lần 1-2018-BTN)
ABCD. ABCD . Góc giữa hai đường thẳng AC  và BD bằng.
A. 60 .
B. 30 .
C. 45 .
Lời giải
Chọn D




 

Cho hình lập phương
D. 90 .



Ta có: AC ; BD  AC; BD  90
Câu 1085: [1H3-2.4-2] Cho hình lập phương ABCDEFGH , góc giữa hai đường thẳng EG và BC là:
A. 0 .

B. 45 .

C. 90 .
Lời giải

D. 30

Chọn B

ABCDEFGH là hình lập phương  BC / / EG  góc giữa hai đường thẳng EG và BC là

EGF  45

a 3
( I , J lần lượt là trung điểm của
2
BC và AD ). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là
A. 30 .

B. 45 .
C. 60 .
D. 90 .
Lời giải
Chọn C

Câu 310. [1H3-2.4-2] Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a , IJ 

A
J
M
O

B

N
I

D


Gọi M , N lần lượt là trung điểm AC , BC .
Ta có:
1
1
a

 MI  NI  AB  CD 
2
2

2  MINJ là hình thoi.


 MI // AB // CD // NI
Gọi O là giao điểm của MN và IJ .
Ta có: MIN  2MIO .

a 3
IO
3
Xét MIO vuông tại O , ta có: cos MIO 
 4 
 MIO  30  MIN  60 .
a
MI
2
2
Mà:  AB, CD    IM , IN   MIN  60 .
Câu 312. [1H3-2.4-2] Cho hình hộp ABCD. ABCD . Giả sử tam giác ABC và ADC đều có 3 góc
nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và AD là góc nào sau đây?
A. BDB .

B. ABC .

D. DAC .

C. DBB .
Lời giải

Chọn D

A'

D'

B'

C'

A

D

B

C

Ta có: AC // AC (tính chất của hình hộp)
  AC, AD    AC, AD   DAC (do giả
thiết cho DAC nhọn).

Câu 314. [1H3-2.4-2] Cho tứ diện đều ABCD (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa
hai đường thẳng AB và CD bằng
A. 30 .
B. 45 .
C. 60 .
D. 90 .
Lời giải
Chọn D
A


B

D
H

E

C

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD  AH   BCD  .
Gọi E là trung điểm CD  BE  CD (do BCD đều).
Do AH   BCD   AH  CD .

CD  BE
 CD   ABE   CD  AB   AB, CD   90 .
Ta có: 
CD  AH