Câu 32: [1D2-3.3-3](Sở

GD

và

ĐT

Cần

Thơ

-

2017-2018

-

P  x    x  2   an x n  an1 x n1  ...  ak x k  ...  a1x  a0 , n  * .
n

BTN)

Cho

Biết

biểu

thức

an9  an8

và

an9  an10 . Giá trị của n bằng:

A. 13 .

B. 14 .

C. 12 .

D. 15 .

Lời giải
Chọn A.
* Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
P  x    x  2   Cn0 x n 20  Cn1 x n1 21  ...  Cnnk x k 2nk  ...  Cnn1 x1 2n1  Cnn x0 2n , n  *
n

mà P  x    x  2   an x n  an1 x n1  ...  ak x k  ...  a1x  a0 , n  *
n

Ta có: ak  2nk Cnnk  2nk Cnk , 0  k  n  an8  28 Cnn8  28 Cn8 , an9  29 Cn9 , an10  210 Cn10
* Theo đề bài với n  10, n  * :

an 9  an 8

an 9  an 10


n!
n!
 9
8
1
2
25


2 9! n  9 !  2 8! n  8 !


9 n  8
n 



2  n  13.
n
!
n
!
1
1
9
10
2

2


n  14
 9! n  9 !
10! n  10 !
 n  9 5

Câu 938. [1D2-3.3-3] Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển 1  x  có hai hệ số liên
n

tiếp có tỉ số là

7
.
15

C. 22 .

B. 21 .

A. 20 .

D. 23 .

Lời giải.
Chọn B
n

(1  x) n   Cnk x k .
k 0

Vì hai hệ số liên tiếp tỉ lệ là


Ck
7
(k  1)!(n  k  1)! 7
k 1 7
7
 
 .
nên kn1  
15
k !(n  k )!
15
n  k 15
15
Cn

Vì n là số nguyên dương bé nhất nên n  7  15 1  21.
Câu 1515.

1 2
[1D2-3.3-3] Trong khai triển của (  x)10 thành đa thức
3 3
2
9
10
a0  a1 x  a2 x  ...  a9 x  a10 x , hãy tìm hệ số ak lớn nhất ( 0  k  10 ).

A. a10  3003

210

.
315

B. a5  3003

210
210
a

3003
.
C.
.
4
315
315
Hướng dẫn giải:

Chọn A.
15

15 k

15
1 2 
1
Ta có:   x    C15k  
3 3 
 3
k 0


k

k
15
2 
k 2
k
 x    C15 15 x
3
3 
k 0
1
Hệ số của x k trong khai triển ak  15 C15k 2k
3
Ta có: ak 1  ak  C15k 1 2k 1  C15k 2k  C15k 1  2C15k

D. a9  3003

210
315


32
 k  10. Từ đó: a0  a1  ...  a10
3
Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được:
32
ak 1  ak  k 
 a10  a11  ...  a15

3
210
210
Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10  15 C1510  3003 15 .
3
3
k

Câu 1516.
[1D2-3.3-3] Giả sử (1  2 x)n  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n , biết rằng a0  a1  ...  an  729 .
Tìm n và số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., an .
A. n=6, max ak   a4  240 .

B. n=6, max ak   a6  240 .

C. n=4, max ak   a4  240 .

D. n=4, max ak   a6  240

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: a0  a1  ...  an  (1  2.1)n  3n  729  n  6
ak  C6k 2k suy ra max ak   a4  240 .

[1D2-3.3-3] Cho khai triển (1  2 x)n  a0  a1 x  ...  an x n , trong đó n  * . Tìm số lớn

Câu 1517.

nhất trong các số a0 , a1 ,..., an , biết các hệ số a0 , a1 ,..., an thỏa mãn hệ thức:
a

a
a0  1  ...  nn  4096 .
2
2
A. 126720.
B. 213013.
C. 130272.
D. 130127
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đặt f ( x)  (1  2 x)n  a0  a1 x  ...  an x n
a
a1
1
 ...  nn  f    2n  2n  4096  n  12
2
2
2
Với mọi k 0,1, 2,...,11 ta có: ak  2k C12k , ak 1  2k 1 C12k 1
 a0 

ak
2k C k
k 1
23
 1  k 1 12k 1  1 
1 k 
ak 1
2 C12
2(12  k )

3
Mà k  Z  k  7 . Do đó a0  a1  ...  a8
a
Tương tự: k  1  k  7  a8  a9  ...  a12
ak 1


Số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., a12 là a8  28 C128  126720 .
Câu 17: [1D2-3.3-3] (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Hệ 2018 có giá trị lớn nhất khi khai
triển P  x   1  2 x 2  thành đa thức là
12

B. 162720 .

A. 162270 .

C. 126270 .
Lời giải

Chọn C
12

12

k 0

k 0

Khai triển: P  x    C12k 2k x 2 k   ak x 2 k với ak  C12k 2k .


ak 1  ak  C12k 1 2k 1  C12k 2k 

2
1
23

k
 k  7.
k  1 12  k
3

D. 126720 .


Như vậy a0  a1  a2  ...  a8 .

ak 1  ak  C12k 1 2k 1  C12k 2k 

2
1
23

k
 k 8.
k  1 12  k
3

Như vậy a8  a9  a10  ...  a12 .
Vậy hệ 2018 có giá trị lớn nhất là a8  C128 28  126720 .
Câu 448. [1D2-3.3-3] Cho khai triển 1  2 x   a0  a1x  a2 x 2  ...  an x n , trong đó n 

n

thỏa mãn hệ thức a0 
A. 1293600 .

a1
a
 ...  nn  4096 . Tìm hệ số lớn nhất ?
2
2
B. 126720 .
C. 924 .

*

và các hệ số

D. 792 .

Lời giải
Chọn B
Số hạng tổng quát trong khai triển 1  2 x  là Cnk .2k.xk ,0  k  n, k  . Vậy hệ số của số hạng
n

chứa x k là Cnk .2k  ak  Cnk .2k .
Khi đó, ta có
a
a
n
a0  1  ...  nn  4096  Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  4096  1  1  4096  n  12

2
2
Dễ thấy a0 và an không phải hệ số lớn nhất. Giả sử ak  0  k  n  là hệ số lớn nhất trong các
hệ số a0 , a1, a2 ,..., an .
Khi đó ta có

12!
12!.2




ak  ak 1
 k !.12  k !  k  1!.12  k  1!
C .2  C .2

 k k


k 1 k 1
12!
12!
1

ak  ak 1

C12 .2  C12 .2

.
 k !.12  k !  k  1!. 12  k  1! 2

2
23
 1

k
12  k  k  1

23
26
k  1  2 12  k   0

3
.




k
3
3
26  3k  0
2  1
k  26
 k 13  k

3
Do k   k  8 .
Vậy hệ số lớn nhất là a8  C128 .28  126720 .
k
12


Câu 8:

k

k 1
12

k 1

[1D2-3.3-3] (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho khai triển

 x  3

n

 a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3  ...  an x n , trong đó n 



và a0 , a1 , a2 , …, an là các số thực.

Gọi S là tập hợp chứa các số tự nhiên n để a10 là số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 , …, an .
Tổng giá trị các phần tử của S bằng:
A. 205 .
B. 123 .

C. 81 .

D. 83 .


Lời giải
Chọn A
n

Ta có:  x  3   Cnk 3n k x k .
n

k 0

Số hạng tổng quát của khai triển là: Tk  Cnk 3nk x k . Suy ra hệ số của Tk là ak  Cnk 3nk .


Để a10 là số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 , …, an thì:
10 n 10
9 n 9
10
9


a10  a9
n  39
Cn .3  Cn .3
Cn  3Cn
  10 n 10
  10

 39  n  43 .

11 n 11

11
n  43


a10  a11
Cn .3  Cn .3
3Cn  Cn

Vậy S  39;40;41;42;43 .
Tổng các phần tử của S là: T  39  40  41  42  43  205 .
2
n
[1D2-3.3-3] Cho khai triển 1  2 x   a0  a1 x  a2 x  ...  an x , trong đó n 
n

Câu 3233.

thỏa mãn hệ thức a0 
A. 1293600 .

a
a1
 ...  nn  4096. Tìm hệ số lớn nhất ?
2
2
B. 126720 .
C. 924 .

*


và các hệ số

D. 792 .

Lời giải
Chọn B

Số hạng tổng quát trong khai triển 1  2 x  là Cnk .2k.x k , 0  k  n, k  . Vậy hệ số của số hạng chứa
n

x k là Cnk .2k  ak  Cnk .2k.
Khi đó, ta có

a1
a
 ...  nn  4096  Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  4096
2
2
n
 1  1  4096  n  12
a0 

Dễ thấy a0 và an không phải hệ số lớn nhất. Giả sử ak  0  k  n  là hệ số lớn nhất trong các hệ số

a0 , a1 , a2 ,..., an .
Khi đó ta có

12!
12!.2




C .2  C .2
ak  ak 1
 k !. 12  k !  k  1!. 12  k  1!
 k k



k 1 k 1
12!
12!
1
C12 .2  C12 .2
ak  ak 1


.
 k !. 12  k !  k  1!. 12  k  1! 2
2
23
 1

k
12  k  k  1

23
26
k  1  2 12  k   0


3




k .
3
3
26  3k  0
2  1
k  26
3
 k 13  k

Do k   k  8.
Vậy hệ số lớn nhất là a8  C128 .28  126720.
k
12

k 1
12

k

k 1

Câu 27: [1D2-3.3-3] (SGD VĨNH PHÚC - 2018 - BTN) Cho 1  2 x   a0  a1 x1  ...  an x n , n 
n

*


.

a
a1 a2
 2  ...  nn  4096 . Số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 ,..., an có giá trị bằng
2 2
2
A. 126720
B. 924
C. 972
D. 1293600
Lời giải
Chọn A

Biết a0 

n

1  2 x    Cnk .2k.x k  Cn0 .20 x0  Cn1 .21 x1  Cn2 .22 x2  ...  Cnn .2n xn  a0  a1x1  ...  an xn .
n

k 0

a
a1 a2
 2  ...  nn  4096  Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  4096  2n  4096  n  12 .
2 2
2
k

Ta có: ak  ak 1  C12 .2k  C12k 1.2k 1  C12k  2C12k 1 . Suy ra: a0  a1  a2  ...  a8 .
Ta có: a0 


Mặt khác: ak  ak 1  C12k .2k  C12k 1.2k 1  C12k  2C12k 1 . Suy ra: a8  a9  a10  ...  a12 .
Vậy số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 ,..., an là a8  C128 .28  126720 .