Câu 45.

[1D2-2.7-3] (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018-BTN) Cho đa giác đều

A1 A2 A3 . A30 nội tiếp trong đường tròn  O  . Tính số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 30 đỉnh của

đa giác đó.
A. 105 .

C. 27406 .

B. 27405 .

D. 106 .

Lời giải
Chọn A
Trong đa giác đều A1 A2 A3 . A30 nội tiếp trong đường tròn  O  cứ mỗi điểm A1 có một điểm Ai đối
xứng với A1 qua O

 A1  Ai 

ta được một đường kính, tương tự với A2 , A3 ,.., A30 . Có tất cả 15

đường kính mà các điểm là đỉnh của đa giác đều A1 A2 A3 . A30 . Cứ hai đường kính đó ta được một
hình chữ nhật mà bốn điểm là các đỉnh của đa giác đều: có C152  105 hình chữ nhật tất cả.
Câu 31: [1D2-2.7-3] (THPT Chuyên Thái Bình - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho tập A gồm n
điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Tìm n sao cho số
tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 điểm thuộc A gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ 2 điểm thuộc A .
A. n  6.
B. n  12.

C. n  8.
D. n  15.
Lời giải
Chọn C
Theo đề bài: Cn3  2Cn2 (1) (với n  3 , n  )
n!
n!
1
1

2
 
 n 8.
3! n  3!
2! n  2 !
6 n2

Câu 1403: [1D2-2.7-3] Cho hai đường thẳng song song d1 , d 2 . Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, trên d 2
lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 vừa nói trên.
1
1
1
1
1
1
A. C102 C15
.
B. C10
C. C102 C15
D. C102 C15

C152 .
 C10
C152 .
.C10
C152 .
Lời giải
Chọn C
Số tam giác lập được thuộc vào một trong hai loại sau:
Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào d1 và một đỉnh thuộc vào d 2 .
Số cách chọn bộ hai điểm trong 10 thuộc d1 : C102 .
Số cách chọn một điểm trong 15 điểm thuộc d 2 : C151 .
1
Loại này có: C102 .C15
 tam giác.

Loại 2: Gồm một đỉnh thuộc vào d1 và hai đỉnh thuộc vào d 2 .
Số cách chọn một điểm trong 10 thuộc d1 : C101 .
Số cách chọn bộ hai điểm trong 15 điểm thuộc d 2 : C152 .
1
Loại này có: C10
.C152  tam giác.

1
1
Vậy có tất cả: C102 C15
 C10
C152 tam giác thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 1408: [1D2-2.7-3] Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:
A. 11 . B. 10 .

C. 9 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn A
Cứ hai đỉnh của đa giác n  n  , n  3 đỉnh tạo thành một đoạn thẳng (bao gồn cả cạnh đa giác và
đường chéo).
n!
 n  44
Khi đó số đường chéo là: Cn2  n  44 
 n  2!.2!


 n  11
 n  n  1  2n  88  
 n  11 (vì n  ).
 n  8

Câu 1409: [1D2-2.7-3] Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
A. 5 .
B. 6 .
C. 7 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn C
Đa giác có n cạnh  n  , n  3 .
Số đường chéo trong đa giác là: Cn2  n .
Ta có: Cn2  n  2n 

n  7
n!

 3n  n  n  1  6n  
n7.
 n  2!.2!
n  0

Câu 1411: [1D2-2.7-3] Cho hai đường thẳng d1 và d 2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d 2
có n điểm phân biệt ( n  2 ). Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm n ?
A. 20.
B. 21.
C. 30.
D. 32.
Lời giải
Chọn A
Tam giác cần lập thuộc hai loại:
Loại 1: Tam giác có một đỉnh thuộc d1 và hai đỉnh thuộc d2. Loại này có C101 .Cn2 tam giác.
Loại 2: Tam giác có một đỉnh thuộc d2 và hai đỉnh thuộc d1. Loại này có C102 .Cn1 tam giác.
1
Theo bài ra ta có: C10
.Cn2  C102 .Cn1  2800
n(n  1)
 10
 45n  2800  n2  8n  560  0  n  20 .
2

Câu 1412: [1D2-2.7-3] Cho đa giác đều A1 A2 ... A2 n nội tiếp trong đường tròn tâm O . Biết rằng số tam giác có đỉnh
là 3 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm
A1 , A2 ,..., A2 n . Tìm n ?
A. 3.
B. 6.
C. 8.

D. 12.
Lời giải
Chọn C
3
Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n là: C2n
.
Ta thấy ứng với hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác A1 A2 ... A2 n cho tương ứng một hình chữ nhật có
4 đỉnh là 4 điểm trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho tương ứng
hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác. Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác là n nên số hình chữ
nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm bằng Cn2 .
2n(2n  1)(2n  2)
n(n  1)
 20
 n 8.
Theo giả thiết: C23n  20Cn2 
3!
2

Câu 3669.
[1D2-2.7-3] Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều 12 cạnh được vẽ thì số đường
chéo là:
A. 121.

B. 66 .

C. 132 .
Lời giải

D. 54 .


Chọn D
Cứ 2 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo).
Khi đó có C122  66 cạnh.
Số đường chéo là: 66 12  54 .
Câu 44: [1D2-2.7-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – 2017 - 2018 - BTN) Cho đa giác đều
2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn 100 ?


3
A. 2018.C897
.

3
B. C1009
.

3
C. 2018.C895
.

3
D. 2018.C896
.

Lời giải
Chọn D
Gọi A1 , A2 ,…, A2018 là các đỉnh của đa giác đều 2018 đỉnh.
Gọi  O  là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều A1 A2 ... A2018 .
Các đỉnh của đa giác đều chia  O  thành 2018 cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo
360

.
2018
Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp
của  O  .

bằng

Suy ra góc lớn hơn 100 sẽ chắn cung có số đo lớn hơn 200 .
Cố định một đỉnh Ai . Có 2018 cách chọn Ai .
Gọi Ai , A j , Ak là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho Ai Ak  160 thì
Ai Aj Ak  100 và tam giác Ai Aj Ak là tam giác cần đếm.



 160 
 896 cung tròn nói trên.
Khi đó Ai Ak là hợp liên tiếp của nhiều nhất 
360 


 2018 
2
cách chọn hai
896 cung tròn này có 897 đỉnh. Trừ đi đỉnh Ai thì còn 896 đỉnh. Do đó có C896

đỉnh A j , Ak .
2
Vậy có tất cả 2018.C896
tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Phân tích sai lầm khi giải bài tập này:
Giả sử Am An Ap  100 thì cung Am Ap (không chứa điểm An ) sẽ có số đo lớn hơn 200 .



 200 
 1  1122
Tức là cung Am Ap (không chứa điểm An ) sẽ là hợp liên tiếp của ít nhất 
360 


 2018 
cung tròn bằng nhau nói trên.
Từ đó ta có cách dựng tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán như sau:
+ Bước 1: Đánh dấu một cung tròn là hợp liên tiếp của 1122 cung tròn bằng nhau nói trên. Có
2017 - 2018 cách đánh dấu.
+ Bước 2: Trong 2018 1121  897 điểm không thuộc cung tròn ở bước 1 (bao gồm cả hai
3
điểm đầu mút của cung), chọn ra 3 điểm bất kì, có C897
cách chọn, 3 điểm này sẽ tạo thành

tam giác có một góc lớn hơn 100 .
3
Vậy có tất cả 2018.C897
tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách lập luận này là không chính xác, vì ta chưa trừ đi các trường hợp trùng nhau!
Câu 3040.

[1D2-2.7-3] Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:


A. 11 .
Chọn A.

B. 10 .

C. 9 .
Lời giải

D. 8 .


Cứ hai đỉnh của đa giác n  n  , n  3 đỉnh tạo thành một đoạn thẳng (bao gồn cả cạnh đa
giác và đường chéo).
n!
 n  44
Khi đó số đường chéo là: Cn2  n  44 
 n  2!.2!

 n  11
 n  n  1  2n  88  
 n  11 (vì n  ).
 n  8
Câu 3047.
[1D2-2.7-3] Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao
nhiêu cạnh?
A. 5 .

B. 6 .

C. 7 .

Lời giải

D. 8 .

Chọn C.
Đa giác có n cạnh  n  , n  3 .
Số đường chéo trong đa giác là: Cn2  n .
Ta có: Cn2  n  2n 

n  7
n!
 3n  n  n  1  6n  
 n7.
 n  2 !.2!
n  0

Câu 678. [1D2-2.7-3] Nếu một đa giác đều có 44 đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:
A. 11 .

B. 10 .

C. 9 .
Lờigiải

D. 8 .

ChọnA.
Cứ hai đỉnh của đa giác n  n  , n  3 đỉnh tạo thành một đoạn thẳng (bao gồn cả cạnh đa
giác và đường chéo).
n!

 n  44
Khi đó số đường chéo là: Cn2  n  44 
 n  2!.2!

 n  11
 n  n  1  2n  88  
 n  11 (vì n  ).
 n  8
Câu 685. [1D2-2.7-3] Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu
cạnh?
A. 5 .

B. 6 .

C. 7 .
Lờigiải

D. 8 .

ChọnC.
Đa giác có n cạnh  n  , n  3 .
Số đường chéo trong đa giác là: Cn2  n .
Ta có: Cn2  n  2n 

n  7
n!
 3n  n  n  1  6n  
n7.
 n  2!.2!
n  0


Câu 597. [1D2-2.7-3] Cho đa giác đều n đỉnh, n 
đường chéo.
A. n  15 .
B. n  27 .

và n  3 . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135
C. n  8 .
Lời giải

D. n  18 .

Chọn D
+ Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi n đỉnh là Cn2 , trong đó có n cạnh,
suy ra số đường chéo là Cn2  n .
+ Đa giác đã cho có 135 đường chéo nên Cn2  n  135 .


+ Giải

n!
 n  135 ,  n  , n  2    n  1 n  2n  270  n2  3n  270  0
 n  2 !2!
 n  18  n 

 n  18 .
 n  15  l 

PT: