D02 đếm số (kết hợp p a c) muc do 4
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (226.22 KB, 3 trang )
Câu 43: [1D2-2.2-4] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018) Một người viết ngẫu nhiên một số có bốn
chữ số. Tính xác suất để các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần (
nghĩa là nếu số được viết dưới dạng abcd thì a b c d hoặc a b c d ).
14
7
7
7
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
125
375
375
250
Lời giải
Chọn D
Viết ngẫu nhiên một số có 4 chữ số nên số phần tử của không gian mẫu là
n 9.10.10.10 9000 .
Gọi A là biến cố các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm dần
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần hoặc giảm
dần có dạng abcd .
Trường hợp 1: số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự giảm dần
Vì a b c d nên các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số a , b , c , d lấy từ tập
X 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 và với 4 chữ số lấy ra từ X thì chỉ lập được duy nhất một số thỏa yêu
cầu bài toán. Do đó số số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng
dần là C94 .
Trường hợp 2: số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự tăng dần
Vì a b c d nên các chữ số đôi một khác nhau và các chữ số a , b , c , d lấy từ tập
Y 0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 và với 4 chữ số lấy ra từ Y thì chỉ lập được duy nhất mọt số thỏa
yêu cầu bài toán. Do đó số số tự nhiên có 4 chữ số mà các chữ số của số được viết ra có thứ tự
giảm dần dần là C104 .
Vậy số phần tử của biến cố A là n A C94 C104 336 .
Xác suất của biến cố A là: P A
n A 336
14
.
n 9000 375
Câu 49: [1D2-2.2-4] Có 8 bì thư được đánh số 1, 2,3, 4,5,6,7,8 và 8 tem thư cũng được đánh số
1, 2,3, 4,5,6,7,8 . Dán 8 tem thư lên 8 bì thư (mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư). Hỏi có thể có bao
nhiêu cách dán tem thư lên bì thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán tem thư có số trùng
với số của bì thư đó.
A. 25489 .
B. 25487 .
C. 25490 .
D. 25488 .
Lời giải
Chọn B
Ta xét bài toán tổng quát n tem thư được dán vào n bì thư sao cho có ít nhất một bì thư
được dán vào tem thư có số trùng với số của bì thư đó.
Đánh số các tem thư là T1 , T2 ,..., Tn và các bì thư là B1 , B2 ,..., Bn . Bài toán được giải quyết
bằng nguyên lý phần bù: Lấy hoán vị n phần tử trừ đi trường hợp xếp mà không có tem thư
nào được dán cùng số với bì thư.
++ Để giải quyết bài toán không có tem thư nào được dán cùng số với bì thư. Ta xây dựng
dãy số f n như sau:
Công việc dán n tem thư vào n bì thư sao cho không có bì thư nào được dán vào tem thư có
số trùng với số của bì thư đó. Công việc này gồm có hai bước sau:
- Bước 1: Dán tem T1 lên một bì thư B j khác B1 , có n 1 cách.
- Bước 2: Dán tem thư T j vào bì thư nào đó, có hai trường hợp xảy ra như sau:
+ TH1: tem thư T j được dán vào bì thư B1 . Khi đó còn lại n 2 tem (khác T1 và T j ) là
T2 ,..., T j 1 , T j 1 ,..., Tn phải dán vào n 2 bì thư (khác B1 và B j ). Quy trình được lập lại giống
như trên. Nên TH này có số cách dán bằng f n 2 .
+ TH2: tem thư T j không được dán vào bì thư B1 .
Khi đó các tem là T2 ,..., T j 1 , T j , T j 1 ,..., Tn sẽ được đem dán vào các bì B1 ,
B2 ,..., B j 1 , B j 1 ,..., Bn (mà tem thư T j không được dán vào bì thư B1 ). Thì T j lúc này bản chất
giống T1 , ta đánh số lại T j T1 . Nghĩa là n 1 tem T2 ,..., T j 1 , T1 , T j 1 ,..., Tn sẽ được đem dán
vào n 1 bì B1 , B2 ,..., B j 1 , B j 1 ,..., Bn với việc đánh số giống nhau. Công việc này lại được lập
lại như từ ban đầu.
Nên TH này có số cách dán bằng f n 1 .
u1 0
++ Ta xét dãy un f n như sau: u2 1
.
u n 1 u u
n1 n2
n
Như vậy kết quả của bài toán: n tem thư được dán vào n bì thư sao cho có ít nhất một bì
thư được dán vào tem thư có số trùng với số của bì thư đó sẽ là: Pn un .
Áp dụng với n 8 , ta được kết quả là: 8!14833 25487 .
Câu 47: [1D2-2.2-4] (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Có bao nhiêu số
tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số tổng các chữ số bằng 5 ?
2
2
2
3
3
4
A. 1 2 A2018
.
2 C2017
A2017
A2017
C2017
C2017
2
3
4
5
B. 1 2C2018
.
2C2018
C2018
C2018
2
3
4
5
2 A2018
A2018
C2017
C. 1 2 A2018
.
1
2
2
3
2
2
4
D. 1 4C2017
.
2 C2017
A2017
A2016
C2016
C2017
C2017
Lời giải
Chọn D
Vì 5 4 1 3 2 2 2 1 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 nên ta có các trường hợp
sau:
Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 số 0 đứng sau : Có 1 số.
Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số 4 , một chữ số 1 và 2016 số 0 .
- Khả năng 1: Nếu số 4 đứng đầu thì số 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có
1
số.
C2017
- Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu thì số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có
1
C2017
số.
Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3 , một chữ số 2 và 2016 số 0
- Khả năng 1: Nếu số 3 đứng đầu thì số 2 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có
1
C2017
số.
- Khả năng 2: Nếu số 2 đứng đầu thì số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có
1
C2017
số.
Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số 2 , một chữ số 1 và 2015 số 0
- Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì số 1 và số 2 còn lại đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại
2
nên ta có A2017
số.
- Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta
2
có C2017
số.
Trường hợp 5: Số tự nhiên có 2 chữ số 1 , một chữ số 3 thì tương tự như trường hợp 4 ta có
2
2
số.
A2017
C2017
Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số 2 , ba chữ số 1 và 2014 số 0 .
- Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có
3
số.
C2017
- Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà không có số 1 nào khác đứng trước
2
nó thì hai số 1 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có C2016
số.
- Khả năng 3: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai số 1 thì hai số
2
số.
1 và 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có A2016
Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số 1 và 2013 số 0 , vì chữ số 1 đứng đầu nên bốn chữ
4
số 1 còn lại đứng ở bốn trong 2017 vị trí còn lại nên ta có C2017
số.
1
2
2
3
2
2
4
Áp dụng quy tắc cộng ta có 1 4C2017
số cần
2 C2017
A2017
A2016
C2016
C2017
C2017
tìm.
