CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 6
Dạng 1: KHI NÀO THÌ

·
xOy
= 1300
Bài 1: Cho góc

, vẽ tia

· = yOt
·
xOt
a,

Ot

nằm giữa hai tia

· − yOt
· = 300
xOt
.

b,

.

·
·
·

XOY
+ YOZ
= XOZ

Ox

Oy

và
. Tính số đo góc
2·
·
xOt
= .yOt
3
c,
.

·
xOt

biết :

HD :

·
xOy

· + tOy
¶ = xOy

·
xOt

a, Vi Ot nằm trong
, nên
.
· = yOt
· => xOt
· + xOt
· = xOy
·
· = 1300 => xOt
· = 650
xOt
=> 2.xOt
Mà

.

·
xOy

· + tOy
¶ = xOy
·
xOt
= 1300

b, Vì Ot nằm trong góc


Mà

, nên
0
0
· − yOt
· = 300 => xOt
· = 130 + 30 = 800
xOt
2

·
xOy
c, Vì Ot nằm trong góc
2·
·
·
xOt
= .yOt
=> yOt
=
3
Mà

, nên
3·
.xOt
2

.


.

· + tOy
¶ = xOy
·
xOt
= 1300
.

, thay vào (1) ta được:

(1)

· + 3.xOt
·
·
xOt
= 1300 => xOt
= 520
2

.

Bài 2: Trên đường thẳng (d) từ trái sang phải lấy các điểm A, D, C, B và điểm O nằm ngoài đường thẳng (d),
·AOC , COB
·
·
·
·

·
, DOB
AOD
= 300 , DOC
= 400 , AOB
= 900
Biết
. Tính
HD :


Vì các điểm A, D, C, B được lấy theo thứ tự trên nên D nằm giữa A và C
·
·
·
AOD
+ DOC
= AOC
Nên OD nằm giữa hai tia OA và OC. Khi đó ta có:
.
0
0
0
·
=> AOC = 30 + 40 = 70
. Tương tự điểm C nằm giữa A và B
·
·
·
AOC

+ COB
= AOC
Nên OC nằm giữa OA và OB. Khi đó ta có:
.
·
=> COB
= 900 − 700 = 200
. Tương tự điểm D nằm giữa A và B
·
·
·
AOD
+ DOB
= AOB
Nên OD nằm giữa OA và OB. Khi đó ta có:
.
0
0
0
·
=> DOB = 90 − 30 = 60
.
Bài 3: Gọi Ot và Ot’ là hai tia nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy đi qua O,
·yOt , tOt
· '
· = 300 , ·yOt ' = 600
xOt
Biết
. Tính số đó
HD:


Đường thẳng xy đi qua O nên Ox, Oy là hai tia đối nhau.
· + tOy
¶ = xOy
·
¶ = 1800 − 300 = 1500
xOt
=> tOy
Khi đó:

.

(

· ' < yOt
· , 600 < 1500
yOt

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Oy mà:

·AOB

.

· ' + t· 'Ot = yOt
·
yOt

Nên Ot’ nằm giữa hai tia Oy và Ot. Khi đó:
=> t· 'Ot = 1500 − 600 = 900

.

Bài 4: Cho góc
và hai tia OC và OD nằm trong góc đó sao cho
Trong ba tia OA, OC, OD tia nào nằm giữa hai tia còn lại?
HD:

)

.

·AOC + BOD
·
< ·AOB

.


Ta xét 2 TH sau:
TH1: OC nằm giữa 2 tia OA và OD.
·
·
·
·
·
·
=> AOC
< AOD
< AOB
AOC

+ COD
= AOD
và
.
·
·
·
·
·
·
·
=> AOD + DOB = AOB => AOB
= AOC
+ COD
+ DOB
Mà OD nằm giữa OA và OB
·
·
·
·
·
·
·
=> AOB
− COD
= AOC
+ BOD
=> AOC
+ BOD
< AOB


)

(

.

. ( thỏa mãn yêu cầu đầu bài).

TH2: OD nằm giữa OA và OC
·
·
·
=> AOD
< AOC
< AOB

và

·
·
·
AOC
+ AOD
= DOC

.

(1)


.

(2)

·
·
·
=> BOD
= BOC
+ COB

Từ (1) và OC nằm giữa OD và OB
.
(3)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
AOC
+ BOD

= AOD
+ DOC
+ BOC
+ COD
= AOD
+ DOC
+ COB
+ DOC
= AOB
+ DOC
> AOB

)

(

Vô lý vì:

·
·
·
AOC
+ BOD
< AOB

.

.

·

xOy
= 1300

·
xOm
+ ·yOn = 1000

Bài 5: Cho góc
, ở trong góc đó vẽ hai tia Om và On sao cho
a, Trong ba tia Ox, Om, On tia nào nằm giữa hai tia còn lại?
·
mOn
b, Tính
=?
HD:

a, Ta xét hai TH sau:

·
·
·
xOn
< xOm
< xOy

TH1: (H1) Tia On nằm giữa hai tia Ox và Om. Khi đó:
·
·
·
xOn

+ nOm
= xOm
Hay
(1)
·
·
·
xOn
< xOm
< xOy
Vì

,

nên Om nằm giữa hai tia On và Oy, hay

,

·
· Oy = yOn
·
nOm
+m
,

(2)


) (


(

)

·
·
·
·
·
· Oy
xOm
+ yOn
= xOn
+ nOm
+ nOm
+m
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
·
·
· Oy + nOm
·
·
·
·
1000 = xOn
+ nOm
+m
= xOy
+ nOm
= 1300 + nOm


,

)

(

Hay
Vậy Om sẽ nằm giữa hai tia Ox và On.

, (Vô lý)

·
·
·
xOm
= xOy
− yOm
b, Tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy nên:

·
·
·
yOn
= xOy
− xOn

,

(1)


Và tia On nằm giữa hai tia Ox và Oy nên:
,
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
·
·
·
·
·
·
· On + yOn
·
· On = 2.xOy
·
·
· On
xOm
+ yOn
= 2.·xOy − xOn
+ yOm
= 2.xOy
− xOm
+m
+m
− xOy
+m

)


(

)

(

(

·
· On <=> m
· On = 1300 − 1000 = 300
<=> 1000 = xOy
−m
.

·AOB, BOC
·
·
, COD

·AOB = 300 , BOC
·
·
= 600 , COD
= 900

Bài 6: Cho 3 góc
theo thứ tự đó sao cho
a, Chứng minh rằng: hai tia OA và OD đối nhau
·

COB
', ·AOB '
b, Lấy B’ thuộc tia đối của tia OB. Tính
HD:
·
·
·
AOB
, BOC
,COD
a, Vì 3 góc
Được vẽ thứ tự đó nến:
·
·
·
·
AOB
+ BOC
+ COD
= AOD
.
·
300 + 600 + 900 = AOD
= 1800
.

Vậy OA, OD đối nhau.
b, Vì OB và OB’ là hai tia đối nhau nên ta có:
·
·

·
BOC
+ COB
' = BOB
'
,
·
·
600 + COB
' = 1800 => COB
' = 1200

.

Vì OB, OB’ là hai tia đối nhau.
OA và OD là hai tia đối nhau nên
·
· 'OD = 300
AOB
=B
(đối đỉnh)

Và OA, OD là hai tia đối nhau

·
· 'OD = AOD
·
·
=> AOB
'+ B

=> AOB
' = 1500

Bài 7: Cho đường thẳng AOB và tia OC, Tính góc
·AOC − BOC
·
= 900
a,
·
2.·AOC = 3BOC
b,

·AOC , BOC
·
biết:

.

)


HD:

Vì đường thẳng AOB => OC nằm giữa OA và OB và OA và OB là hai tia đối nhau.
·
·
AOC
+ COB
= 1800
(1)


a, Mà

1800 + 900
·
·
·
·
AOC
− BOC
= 900 => AOC
=
= 1350 => BOC
= 450
2

.

3·
·
·
·
2.AOC
= 3.BOC
=> AOC
= .BOC
2

b, Ta có:
thay vào (1) ta được:

3·
·
·
·
.BOC + BOC
= 1800 => BOC
= 720 => AOC
= 1080
2
.
Bài 8: Cho hai tia Ox, Oy đối nhau, trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Oz, Ot
¶ = 400 , ¶yot = 600
xoz
Sao cho
a, Chứng minh rằng Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot
¶
zot
b, Tính
¶ = α , ¶yot = β
¶
xoz
zot
c, Tính
biết
HD:

a, Vì Ox, Oy là hai tia đối nhau
=> Ot nằm giữa hai tia Ox, Oy
· + tOy
¶ = xOy

·
·
=> xOt
=> xOt
= 1800 − 600 = 1200
.
·xOz < xOt
· , 400 < 1200

(

)

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox mà
.
Nên Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot .
·
· = xOt
·
· = 800
xOz
+ zOt
=> zOt
b, Vì Oz nằm giữa Ox và Oy nên
·
·
xOz
= α , yOt
=β


.

c, Nếu
, thì ta có 2 TH sau:
0
α + β < 180
TH1:
=> Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot.
0
·
¶
·
=> xOt + tOy = 180 => xOt
= 1800 − β
.


Vì Oz nằm giữa Ox và Ot.
·
· = xOt
· => zOt
· = 1800 − α + β
xOz
+ zOt
(
)
=>
.

α + β > 1800

TH2:

=> Ot nằm giữa hai tia Ox và Oz
·
·
·
·
·
xOz
+ zOy
= xOy
=> α + zOy
= 1800 => zOy
= 1800 − α

Và Oz nằm giữa Ox và Oy =>
·
·
·
zOy
= 1800 − α < β => yOz
< yOt
Mà

.

=> Oz nằm giữa Oy và Ot.
·yOz + zOt
· = yOt
· => 1800 − α + zOt

· = β => zOt
· = α + β − 1800
(
)

(

)

=>

.

Bài 9: Từ điểm O trên đường thẳng a, lấy hai tia đối nhau, OM và ON, vẽ tia OA sao cho
·
·
·AOB = 900
BON
, ·AOM , MOB
tia OB nằm giữa OA và ON sao cho
, Tính
HD:

Vì OB nằm giữa ON và OA
·
·
·
·
·
=> NOB

+ BOA
= NOA
=> NOB
+ 900 = 1500 => NOB
= 600
Và OM, ON là hai tia đối nhau:
·
·
·
·
·
NOA
+ AOM
= NOM
=> 1500 + AOM
= 1800 => AOM
= 300

·AON = 1500

, Vẽ

.

.

Và OB nằm giữa hai tia OM, ON
·
·
·

·
=> MOB
+ BON
= 1800 => MOB
+ 600 = 1800 => MOB
= 1200

.

Bài 10: Trên tia Ox lấy hai điểm M và N sao cho OM=3cm, ON=7cm, điểm P nằm ngoài đường thẳng Ox,
·
·
·
NPO
= 1200 , NPM
= 700
MPO
vẽ các tia PO, PM, PN biết
. Tính góc
HD:


Ta xét 2 TH sau:
TH1: O nằm giữa M và N, Khi đó: PO nằm giữa PN và PM.
·
·
·
·
NPO
+ OPM

= NPM
=> 1200 + OPM
= 700

=>
. TH này không xảy ra.
TH2: Điểm M nằm giữa hai điểm O và N, Khi đó OM nằm giữa PO và PN
·
·
·
·
·
OPM
+ MPN
= OPN
=> OPM
+ 700 = 1200 => OPM
= 500
=>

.


Bài 11: Trên đường thẳng a lấy các điểm M, N, P, Q Sao cho điểm P nằm giữa 2 điểm M và Q, điểm N nằm
giữa hai điểm M và P, từ điểm O nằm ngoài đường thẳng a kẻ OM, ON, OP, OQ biết
·
·
·
·
·

MON
= 200 , NOP
= 300 , MOQ
= 800
MOP
, POQ
, Tính
HD:
Vì N nằm giữa M và P => ON nằm giữa OM và OP
·
·
·
·
MON
+ NOP
= MOP
=> MOP
= 500

=>
.
Và P nằm giữa M và Q => OP nằm giữa OM và OQ
·
·
·
·
MOP
+ POQ
= MOQ
=> POQ

= 300
=>

.

Bài 12: Cho

·AOB = 1090

vẽ tia OC nằm giữa hai tia OA,OB sao cho

·
·
BOC
= 3.COA

·
·
COA
, BOC
, tính

HD:
Vì OC nằm giữa OA và OB
·
·
·
AOC
+ COB
= AOB

= 1090
=>

Mà
=>

.
·BOC = 3.COA
·
·
·
·
=> AOC + 3.COA
= 1090 => COA
= 27,250

·
BOC
= 3.27,250 = 81,750

.

Bài 13: Trên đường thẳng (d) lấy theo thứ tự các điểm A, B, C, D và điểm O nằm ngoài đường thẳng (d) biết
·AOB = 400 , BOC
·
·AOC , COD
·
= 500 , ·AOD = 1200
, Tính góc
HD:

Vì A, B, C, D được lấy theo thứ tự trên nên
OB nằm giữa OA và OC
·
·
·
AOC
= AOB
+ BOC
= 900
=>
.
Và OC nằm giữa 2 tia OA và OD
·
·
·
·
AOC
+ COD
= AOD
=> COD
= 300
=>

Bài 14: Cho góc

·AOB = 1350

.
·AOB


, C là 1 điểm nằm trong góc
·AOD,
·
BOD
Gọi OD là tia đối của tia OC, So sánh 2 góc
và

·
BOC
= 900 ,
, biết

Tính

·AOC


HD:
Vì C nằm trong
·
=> AOC
= 450

·
·
·
·
AOB
=> AOC
+ COB

= AOB

.
Vì OD là tia đối của tia OC.
·
·
·
·
=> COA
+ AOD
= COD
=> AOD
= 1350

Và OC và OD là hai tia đối nhau
·
·
AOD
> BOD
, 1350 > 900

(

.

.

·
·
·

·
=> COB
+ BOD
= COD
=> BOD
= 900

)

=>

.

.
·ABC = 1250

Bài 15: Cho tam giác ABC có
và BC = 3cm.
a, Trên tia đối của tia BC, xác định điểm M sao cho BM = 2cm, Tính MC.
b, Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia BA, có bờ là đường thẳng BC, vẽ tia BN sao cho góc
·
MBN
=?
Tính
HD:
A, Vì M thuộc tia đối của tia BC
Nên BM và BC là hai tia đối nhau
=> MB + BC = MC = 5cm
.
B, Vì BC, BM là hai tia đối nhau.

·
·
·
·
CBA
+ ABM
= CBM
=> ABM
= 550
=>
Mà BN và BA cùng phía có bờ là BC.
·
·
ABN
> ABM
, 800 > 550

(

Và
=>

·ABN = 800

.

.

)


=> BA nằm giữa BM và BN.
·
·
·
·
MBA
+ ABN
= MBN
=> 550 + 800 = MBN
= 1350
.

Bài 16: Cho hai tia Ox và Oy là hai tía đối nhau, Trên cùng 1 nửa mp bờ chứa tia Ox vẽ các tia Ot, Oz sao
·yOt = 900 , xOz
·
·
= 400
xOm
= 1400
cho
, Trên nửa mp bờ xy, không chứa Oz vẽ tia Om sao cho
a/ Trong ba tia Oz, Ox, Ot tia nào nằm giữa hai tia còn lại?
b/ CMR: hai tia Oz và Om là hai tia đối nhau
c/ Trên hình vẽ có mấy cặp góc phụ nhau ?
HD :
a, Vì Ox, Oy là hai tia đối nhau,
Nên Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy,
· + tOy
¶ = xOy
·

·
xOt
=> xOt
= 900
=>
.
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox có


(

·
· , 400 < 900
xOz
< xOt

)

, Nên Oz nằm giữa 2 tia Ox, Ot.
b, Vì Oz, Om là 2 tia nằm về hai phía đối nhau bờ Ox
·
·
·
·
=> zOx
+ xOm
= zOm
=> zOm
= 1800
=> Ox nằm giữa Oz, Om

·
· = 900
xOz
+ zOt
c, Trên hình có
· Oy = xOz
·
m
Mà

, Nên Oz và Om là hai tia đối nhau.

=> Là hai góc phụ nhau.
·mOy + zOt
· = 900
( đối đỉnh) =>
là hai góc phụ nhau.

Bài 17: Cho tam giác ABC có BC=5cm, Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM=3cm,
a/ Tính độ dài BM,
·
·
·
BAM
= 800 , BAC
= 600
CAM
b/ Biết
, Tính góc
c/ Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK=1cm

HD:
A, Vì CB và CM là hai tia đối nhau,
Nên C nằm giữa 2 điểm B và M.
BC + CM = BM => BM = 8cm
=>
.
B, Vì C nằm giữa 2 điểm B, M
Nên AC nằm giữa AB và AM.
·
·
·
·
BAC
+ CAM
= BAM
=> CAM
= 200
=>
C, Ta xét 2 TH sau:

TH1: K nằm giữa B và C =>

.

BK + KC = BC => BK = 4cm

.
BC + CK ' = BK ' => BK' = 6cm
TH2: K’ nằm giữa C và M =>
.



Dạng 2: TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC

·
xOy
Bài 1: Cho góc bẹt
, trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ xy, vẽ hai tia OM, ON sao cho
·xOm = 600 , ·yOn = 1500
a, Tính

·
mOn
·
xOm

b, Tia On có là tia phân giác của góc

HD:

không?

·
xOy

a, Vì
là góc bẹt => Ox, Oy là hai tia đối nhau.
·xOn + nOy
·
·

·
= xOy
=> xOn
= 300
=>

.

(

·
·
xOn
< xOm
, 300 < 600

Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ Ox có
·
·
·
·
xOn
+ nOm
= xOm
=> nOm
= 300
=>

b, Tia On nằm giữa 2 tia Ox, Om và


)
.

.
·xOn = nOm
·
= 300

Nên On có là tia phân giác

·
xOy
= 900
Bài 2: Cho góc

tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. Tính góc

·
xOz

·
xOm

·yOz
và

biết

.


1·
1
xOz = ·yOz
4
5

HD:
Vì Oz nằm giữa 2 tia Ox, Oy
·
·
·
xOz
+ zOy
= xOy
= 900
=>,

.

(1)

1·
1·
4·
·
.xOz = .yOz
=> xOz
= .yOz
4
5

5

Mà
thay vào (1) ta được:
4·
·
·
·
.yOz + yOz
= 900 => yOz
= 500 => xOz
= 400
5
.

·
xOy
Bài 3: Cho góc tù
trong góc
·
·
yOt
xOz
góc
, hỏi
là góc gì?
HD:
Vẽ Oz’ là tia đối của tia Ox.

·

xOy

·
xOy
+ ·yOz = 1800
vẽ tia Oz sao cho

, Gọi tia Ot là tia phân giác của


·
· ' = 1800 => yOz
· ' = 1800 − xOy
·
xOy
+ yOz
=>

·
·
·
·
xOy
+ yOz
= 1800 => yOz
= 1800 − xOy

Mà

. (2)


·
· '
yOz
= yOz

Từ (1) và (2) =>
Và Oz nằm trong góc

.

·
xOy
· '
zOz

Nên Oy là phân giác
·
xOz

. (1)

=> Oy nằm giữa Oz và Oz’
.
· , zOz
· '
xOz

·
=> yOt

= 900

Mà Ot là phân giác
và
là hai góc kề bù
( Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là góc vuông).

.


·AOB = 300 , ·AOC = 750
Bài 4: Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, vẽ các tia OB và OC sao cho
·
BOC
a, Tính
·
BOC
b, Gọi OD là tia đối của tia OB. Tính số đo của góc kề bù với
HD:
·
·
AOB
< AOC
, 300 < 750

(

)

a, Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ OA có

Nên Ob nằm giữa hai tia OA và OC.
·
·
·
·
AOB
+ BOC
= AOC
=> BOC
= 400

=>
.
b, Vì OB và OD là hai tia đối nhau.
·
·
·
·
BOC
+ COD
= BOD
=> COD
= 1400
=>,

Góc kề bù với gcos

·
BOC
= 400


là

·
COD

.

.
có số đo

1400

.

·AOB = 1400

Bài 5: Cho góc
vẽ tia OC bất kì nằm trong góc đó, Gọi OM,ON theo thứ tự là các tia phân giác
·AOC , BOC
·
·
MON
góc
, Tính
HD:

Vì OC nằm trong góc

·

·
·
·
AOB
=> AOC
+ COB
= AOB
= 1400
·
AOC
·
·
AOC
=> COM
=
2

Mà OM là phân giác
·
AOB

.

·
BOC
·
·
BOC
=> NOC
=

2

. ON là phân giác
.
·AOC, BOC
·
·AOB
nên OC chia góc
thành hai góc
thành 2 góc nằm về hai phí đối

OC nằm trong góc
nhau bờ OC.
=> OM, ON nằm về hai phía có bờ là OC. Hay OC nằm giữa OM và ON
·
AOB
·
·
·
NOM
= NOC
+ COM
=
= 700
2
=>
.
·AOB < ·AOC
Bài 6: Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, vẽ các tia OB, OC sao cho
. Vẽ tia phân giác OM

·AOB
của


a, Trong ba tia OB, OC, OM tia nào nằm giữa hai tia còn lại?
·AOC + BOC
·
·
MOC
=
2
b, CMR:
HD:
·
·
AOB
< AOC

a, Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ OA,
.
Nên OB nằm giữa OA và OC.
·
·
·
·
AOB
=> AOM
< AOB
< AOC
Om là tia phân giác

.
Hay OB nằm giữa OM và OC.
·
·
·
·
·
·
·
AOC
+ BOC
= AOB
+ BOC
+ BOC
= 2.MOB
+ 2.BOC
b, Ta có :

Mà OB nằm giữa OM và OC nên

·
·
·
MOB
+ BOC
= MOC

·AOB = 1000

Bài 7: Cho góc

·
·
AOF
= BOE
= 200
HD:

. (1)

kết hợp với điều trên ta được :

và OC là tia phân giác của góc đó. Trong góc
·
FOE
. CMR: OC là tia phân giác của góc

·
·
·
AOB
=> AOC
= BOC
= 500

Vì OC là phân giác
·
·
·
·
AOB

=> AOE
+ EOB
= AOB
CE nằm trong
.
·
AOE
= 1000 − 200 = 800

(

·
FOC
= 300

OE nằm giữa 2 tia OC và OB =>
Từ (1) và (2) và OC nằm giữa OE và OF
·
EOF
Nên OC là phân giác

.

·AOB

.

, vẽ các tia OF, OE sao cho

.


=>
.
Trên cùng 1 nửa mp bờ OA có :
·
·
·
·
AOF
< AOC
< AOE
< AOB
, 200 < 500 < 800 < 1000

Nên OF nằm giữa 2 tia OA và OC =>
·
COE
= 300

·
(1) = 2.MOC

)
.

. (1)

(2)

.


Bài 8: Trên đường thẳng xx’ lấy O tùy ý , trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xx’ vẽ hai tia
·
·
xOz
= 300 , ·x ' Oy = 4. xOz
Oy,Oz sao cho
a, Trong ba tia Ox, Oy, Oz tia nào nằm giữa hia tia còn lại
·
xOy
b, CMR: Oz là tia phân giác của góc
,
·x ' Oy
· '
zOz
c, Gọi Oz’ là phân giác góc
, Tính
HD:


·
·
xOy
= 4.xOz
= 1200
a, Ta tính được:
.
Vì Ox, Ox’ là hai tia đối nhau
·
· ' = xOx

· ' => xOy
·
xOy
+ yOx
= 600
=>

.
·xOz < xOy
· , 300 < 600

(

Trên cùng 1 nửa mp bờ Ox mà
=> Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy.
·
·
xOz
= zOy
= 300

)
.

b, Vì Oz nằm giữa Ox, Oy mà

, Nên Oz là phân giác.
·x'Oy
· 'Oy => xOz
· '=

x
= 600
2
c, Vì Oz’ là phân giác
.
· 'Oz' < x
· 'Oy < x
· 'Oz
0
· 'Oz = 150
x
x
Tính được
. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox’ mà
.
· 'Oz' + z· 'Oz = x
· 'Oz => z· 'Oz = 900
x
Nên Oz’ nằm giữa Ox’ và Oz =>

.


·AOB

Bài 9: Cho góc
và tia OC nằm trong góc đó, Gọi OE, OD theo thứ tự là tia phân giác của góc
·AOC , BOC
·
,

·
·AOB = 1200
DOE
a, Tính
, biết
·
DOE
= 900
b, Hai tia OA,OB có tính chất gì nếu

HD:
a, Vì OC nằm trong
nhau có bờ là OC.

·
AOB

Mà OD là tia phân giác
·
·
·
=> DOE
= DOC
+ COE

Mà

nên OC chia

·

BOC

·
AOB

thành hai góc

.và OE là phan giác

·
AOC

·
AOC

và

·
BOC

nằm về hai phía đối

. Nên OC nằm giữa OD và OE.

.
·BOC
·
AOC
·
·

DOC
=
,COE
=
2
2

·
·
·
BOC
+ AOC
AOB
1200
·
·
·
=> DOE
= DOC
+ COE
=
=
=
= 600
2
2
2

.
·BOC + AOC

·
·AOB
·
·
·
·
DOE
= 900 => DOC
+ COE
= 900 =
=
=> AOB
= 1800
2
2

b, Nếu
Hay OA và OB là hai tia đối nhau.

Bài 10: Cho

·AOB

gọi OC là tia phân giác của góc
·AOD
Tìm giá trị lớn nhất của góc
.

·AOB


HD:

Vì OC là phân giác

Mà OD là phân giác

·
AOB
·
=>
AOC
=
·
AOB
2

.
·AOC
·
·
AOC
=> AOD
=
2

.

, OD là tia phân giác của góc

.


·AOC

,


·
AOB
·
=> AOD
=
4

Vậy

·
AOD

0

. Mà

180
·
·
AOB
≤ 1800 => AOD
≤
= 450
4


lớn nhất bằng

450

khi

·
AOB
= 1800

.

.

Bài 11: Trên đường thẳng x’Ox , trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ x’Ox, người ta lấy ba tia Oa, Ob, Oc
·
·
·
xOc
= 2.xOb
= 3.xOa
Sao cho
·
xOa
a, Tìm giá trị lớn nhất của góc
·
aOc
b, Gọi Om là phân giác của góc
, trong ba tia Ob, Oc, Om tia nào nằm giữa hai tia còn lại

0
·
·
xOc
= 120
bOm
c, Cho
, tính
, Tia Oa là tia phân giác của góc nào?
HD:

a,

·
·
·
3.xOa
= 2.xOb
= xOc

Ta có :
·
=> xOc

.

là góc lớn nhất.
Vì OC nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xx’
·
· ' => 3.xOa

·
· ' = 1800
=> xOc
≤ xOx
≤ xOx

·
=> xOa
≤ 600

·
xOa

.

600

. Vậy
lớn nhất bằng
Khi Oc trùng với Ox’.
b,
·
·
·
·
·
·
xOc
= 2.xOb
= 3.xOa

=> xOa
< xOb
< xOc
Vì

·
·
·
·
·
·
=> xOa
+ aOb
= xOb
=> aOb
= xOb
− xOa

Mà

.

.
(1)
·xOc − xOa
·
·xOc xOa
·
·
xOa

·
·
·
·
·
aOc
= xOc
− xOa
=> aOm
=
=
−
= xOb
−
2
2
2
2

·
·
·
·
=> aOb
< aOm
aOm
< aOc
Từ (1) và (2)
. Mà
( do Om là phân giác)

·
·
·
=> aOb < aOm< aOc
=> Om nằm giữa Ob và Oc.

.

(2)


c,
Vì
Mà
Và

Vì

·
·
·
xOc
= 1200 => xOa
= 400, xOb
= 600

.
·xOa < xOb
· . 400 < 600 => aOb
·

·
·
= xOb − xOa
= 200

(

)

(

)

·
· . 1200 > 400 => aOc
·
·
·
xOc
> xOa
= xOc
− xOa
= 800

.

.
·
xOc 
·

· . xOb
·
·
·
·
·
xOb
< xOc
=
+ bOc
= xOc
=> bOc
= 600
÷ => xOb

÷
2 


.
·aOc
·
· Oc =
·
aOc
=> m
= 400 = aOm
2
Mà Om là phân giác
,

·
· Oc = bOc
·
·
=> bOm
+m
=> bOm
= 200
Theo câu b, Om nằm giữa Ob và Oc
·
·
aOm
= xOa
= 400

Lại có :
. Om nằm giữa Ob và Oc
·
·
·
·
xOa
< xOb
=> xOa
< xOm
Mà

Vậy Oa là phân giác

·

xOm

.

·
·
·
=> xOb
< xOm
< xOc

=> Oa nằm giữa Ox và Om

.


·
xOy
= 1200
Bài 12: Cho

·yOt
kề bù

·yOt

a, Tính số đo

·
xOy


·
mOt

b, Vẽ phân giác Om của góc

, Tính
=?
¶
·
tOy
mOn
c, Vẽ phân giác On của góc
, Tính
=?
HD:

· , yOt
·
xOy
Vì
b,

·
·
·
·
=> xOy
+ yOt
= xOt

=> yOt
= 1800 − 1200 = 600
kề bù

.
·
xOy
·
·
·
xOy
=> xOm
= yOm
=
= 600
2

Vì Om là phân giác

Và Ox, Ot là hai tia đối nhau
c,

Vì On là phân giác

.

·
· Ot = xOt
· = 1800 => m
· Ot = 1200

=> xOm
+m

.

¶
tOy
¶ => tOn
· = nOy
·
tOy
=
= 300
2

Vì Om, On là hai tia phân giác của 2 góc kề bù

.
· On = 900
=> m

.

·
·
xOy
= 400 , xOz
= 800
Bài 13: Vẽ hai tia Oy và Oz trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, sao cho
·yOz

·
xOz
a, Tính số đo góc
, từ đó suy ra Oy là tia phân giác
·
mOy
b, Vẽ tia Om là tia đối của tia Ox, tính
·
xOp
= 1000
c, Trên nửa mặt phẳng bờ Ox, không chứa tia Oz,vẽ Op sao cho
, CMR Op, Oz đối nhau
HD:
a,
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox
·
· . 400 < 800
xOy
< xOz

(

)

Có
.
Nên Oy nằm giữa Ox và Oz.
·
·
·

·
=> xOy
+ yOz
= xOz
=> xOy
= 400
.

·
xOz

Vậy Oy là phân giác
b,

.


Vì Om, Ox là hai tia đối nhau
·
·
·
=> xOy
+ yOm
= 1800 => yOm
= 1400
.
c,
Vì Op và Oz nằm về hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox
=> Ox nằm giữa Op và Oz.
·

·
·
zOx
+ xOp
= zOp
= 800 + 1000 = 1800
.
=> Oz , Op là hai tia đối nhau.

·
xOy

·
xOm
= 900

Bài 14: Cho
tù , bên trong góc đó vẽ tia Om sao cho
·xOn = ·yOm
a, CMR:
·
·
xOy
mOn
b, Gọi Ot là phân giác của
, CMR Ot là phân giác
HD:
a,
·
·

· Oy = xOy
·
xOy
=> xOm
+m
Vì Om nằm trong
· Oy = xOy
·
·
·
=> m
− xOm
= xOy
− 900

·yOn = 900
, vẽ tia On sao cho

.

.
(1)
·xOy => xOn
·
·
·
+ nOy = xOy
Vì On nằm trong
.
0

·
·
·
·
=> xOn = xOy − nOy = xOy − 90
.

· Oy = nOx
·
=> m
Từ (1) và (2)
b,

.

Vì Ot là phân giác
·
xOy
Mà

tù nên

(2)

·
·
·
¶ = xOy
xOy
=> xOt

= tOy
2

.
·xOy
·
· <
xOy
< 1800 => xOt
= 900
2

.

·
·
·
· + tOm
·
·
· Ot = 900 − xOy
=> xOt
< xOm
=> xOt
= xOm
= 900 => m
2

Tương tự:


·
xOy
·
·
· < yOn
·
yOt
= xOt
<
= 900 => yOt
2

=> Ot nằm giữa Oy và On. (Do Ot, On nằm trong

·
xOy
)

.

(3)


·
xOy
· + tOn
· = yOn
·
· = yOn
·

·
=> yOt
=> tOn
− yOt
= 900 −
2

Từ (3) và (4)

· Ot = nOt
·
=> m

hay Ot là phân giác

·
xOy=
1000
Bài 15. Cho góc
HD:

· On
m

.
.

·
zOy=
350

. Vẽ tia oz sao cho góc

·
xOy
TH1: Oz nằm trong
:
·
·
·
·
=> xOz + zOy = xOy => xOz = 650
.

·
xOy

TH2: Oz nằm ngoài
=> Oy nằm giữa Ox và Oz.
·
·
·
=> xOy + yOz = xOz = 1350
.

(4)

·
xOz

. Tính góc


trong từng trường hợp.


·
xOy

·
AOy
=750

có số đo bằng 1200 . Điểm A nằm trong góc xOy sao cho:
·
BOx
=1350
ngoài góc xOy mà :
. Hỏi 3 điểm A,O,B có thẳng hàng không? Vì sao?
Bài 17. Cho góc

HD:

. Điểm B nằm

·
·
·
·
xOy
=> xOA
+ AOy

= xOy
Vì A nằm trong
·
=> xOA
= 450
.

.

·
xOy

Vì OB nằm ngoài
=> Ox nằm giữa 2 tia OA, OB
·
·
·
·
=> AOx + xOB = AOB => AOB
= 1800
.

Vậy OA, OB là hai tia đối nhau.
Hay A, O, B thẳng hàng.
Bài 18. Trên đường thẳng xx’ lấy một điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xx’ vẽ 3 tia Oy,
Ot, Oz sao cho: Góc x’Oy = 400; xOt = 970; xOz = 540.
a, Chứng minh tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz.
b, Chứng minh tia Ot là tia phân giác của góc zOy.
HD:
a,

Vì Ox và Ox’ là hai tia đối nhau
· + tOx
· ' = 1800 => tOx
· ' = 830
=> xOt
.
·xOz + zOx
· ' = 1800 => zOx
· ' = 1260

Và
.
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xx’
· 'Oy < x
· 'Oy < x
· 'Oz. 400 < 830 < 1260
x

(

Có
Nên Ot nằm giữa Oy và Oz.
b.
· 'Oy < x
· 'Ot
x
Vì
Mà

)

.
· 'Oy + yOt
·
· 'Ot => yOt
·
=> x
=x
= 430

=> Oy nằm giữa Ox’, Ot
·x'Ot < x
· 'Oz => x
· 'Ot + tOz
¶ =x
· 'Oz => tOz
¶ = 430

Từ (1) và (2)

·
¶
yOt
= tOz

·
zOy
Nên OT là phân giác

.
.


.

(1)
(2)


0

Bài 19. Cho góc AMC = 60 . Tia Mx là tia đối của tia MA, My là phân giác của góc
·
xMy
giác của góc
.
·AMy
a, Tính góc
b, Chứng minh rằng MC vuông góc với Mt.

·
CMx

, Mt là tia phân

HD:
a,
Vì MA, Mx là hai tia đối nhau
·
·
·
·

=> AMC
+ CMx
= AMx
=> xMA
= 1200

·
xMC

.

Mà My là phân giác
.
·xMC
·
·
=> xMy
= yMC
=
= 600
2

.
·
·
·
·
=> AMy + yMx = AMx => AMy = 1800 − 600 = 1200
.


b,

(

·
·
AMC
< AMy
. 600 < 1200

)

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ax có
.
0
·AMC + CMy
·
·
·
= AMy => CMy = 60
=> MC nằm giữa MA và My =>
.
·
AMy
MC là phân giác

, Do MT và MC là hai tia phân giác của hai góc kề bù nên

Mt ⊥ MC


.

Bài 20. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vẽ điểm N nằm giữa M và B. Cho biết MN = a (cm); NB =
b (cm).
a, Tính AB.
·
·
·
AOB
= 1000, AOM
= 600, MON
= 200
b, Lấy điểm O nằm ngoài đường thẳng AB. Giả sử
Hỏi tia ON có phải là tia phân giác của góc MOB không ? Vì sao.
HD:
a,
Vì N nằm giữa M và B
=> MB = MN + NB = a + b
.
Mà M là trung điểm AB
=> AM = BM = a + b
.
AB = 2AM = 2( a + b)
Và
.
b,
Vì M là trung điểm của AB
=> OM nằm giữa OA và OB

·

=> MOB
= 400

.

.


Vì N nằm giữa M và B => OM năm giữa OM và OB
·
MOB
Vậy On có là tia phân giác

·
=> NOB
= 200

.

.

·
·
·
·
Bài 21. Cho hai góc xOy và yOz kề bù sao cho xOy = 4 yOz .
a, Tính số đo mỗi góc có trên hình vẽ?
¶
0
·

b, Vẽ tia Ot sao cho xOt =108 . Tính tOy ?
c, Trên mỗi tia Ox, Oy, Oz, Ot vẽ 10 điểm phân biệt khác điểm O. Hỏi trên hình vẽ có tất cả bao nhiêu tia?
HD:
a,

· , yOz
·
xOy

Vì

là hai góc kề bù

·
·
=> xOy
+ yOz
= 1800

.
·xOy = 4.yOz
·
·
·
=> 4.yOz
+ yOz
= 1800
Mà

·

=> yOz
= 360

·
xOy
= 4.360 = 1440

.

và
.
b,
TH1: Ot, Oy nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox
· < xOy
· . 1080 < 1440
=> xOt

(

)

. Nên Ot nằm giữa Ox, Oy
·
¶
·
¶
=> xOt + tOy = xOy => tOy = 360
.
TH2: Ot, Oy nằm về hai phía khác nhau bờ Ox
· + xOy

·
¶ => tOy
¶ = 2520
¶
=> tOx
= tOy
tOy>
1800
, Vì

¶ = 3600 − 2520 = 1080
tOy
Khi đó:
c,

nên ta lấy góc

¶
tOy
về phía bên kia.

.

Bài 22. Trên đoạn thẳng AB = 5cm, lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AM = AN
a, Tính độ dài đoạn thẳng BN khi BM = 2cm .


0
0
·

·
b, Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax, Ay sao cho BAx = 40 , BAy = 110 .
·
Chứng tỏ rằng Ay là tia phân giác của NAx .
c, Hãy xác định vị trí của M trên đoạn AB để BN có độ dài lớn nhất
HD:
a,
M nằm trên đoạn AB
=> AM + MB = AB => AM = 3 = AN
.
Mà AB và AN là hai tia đối nhau
Nên A nằm giữa B và N
=> BN = BA + AN = 5+ 3 = 8cm
.
b,
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB
·
· . 400 < 1100 => xAy
· = 700
BAx
< BAy

(

)

Có
Mà AB, AN là hai tia đối nhau
·
·

·
=> BAy
+ yAN
= 1800 => yAN
= 700
.

·
·
·
BAx
< BAy
< BAN
Vì

(

·
· . = 700
xAy
= yAn

Mà
b,
Ta có:

.

)


=> Ay nằm giữa Ax và An.
=> AN là phân giác

BN = BA + AN

mà

·
xAn

.

AN = AM => BN = BA + AM

.
BN = BA + AM = BA + AB = 2.AB = 10cm
Để BN có GTLN thì AM lớn nhất, khi M trùng B hay
.

·yOz
·
·
xOz
xOm
·
xOy
Bài 23. Cho 2 góc
và
, Om là tia phân giác của góc
. Tính góc

trong các trường hợp
sau :
·
xOy
a, Góc
bằng 1000 ; góc xOz bằng 600.
·
xOy
b, Góc
bằng α ; góc xOz bằng β ( α > β ).

HD:
a,
TH1: Oy và Oz nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ Ox