CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH CHIA HẾT
Dạng 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT
Bài 1: Chứng minh rằng:
11
a, ab  ba M
b, ab  ba M9 (a > b)
HD:
11
a, Ta có : ab  ba  10a  b  10b  1  11b  11b M

c, abcabcM7,11,13

b, Ta có : ab  ba  (10a  b)  (10b  a)  9a  9b M9
c, Ta có : abcabc  abc.1001  abc.7.11.13M7,11,13
Bài 2: Chứng minh rằng:
a, (n  10)(n  15)M2
b, n(n  1)(n  2)M2,3
HD:

2
c, n  n  1 không M4,2,5

a, Ta có:Nếu n là số lẻ thì n  15M2

 n  10   n  15 M2
Nếu n là số chẵn thì n  10M2 , Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì :
n  n  1  n  2 
b, Ta có:Vì
là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2,1 số chia hết
cho 3

c, Ta có : n(n  1)  1 là 1 số lẻ nên không Mcho 4,2 và có chữ số tận cùng khác 0 và 5
Bài 3: Chứng minh rằng:
2
a, (n  3)(n  6) M2
b, n  n  6 không M5
c, aaabbbM37
HD:

a, Ta có:Nếu n là số chẵn thì n  6M2

 n  3  n  6  M2
Nếu n lẻ thì n  3M2 , Như vậy với mọi n là số tự nhiên thì
n 2  n  6  n  n  1  6
n  n  1
b, Ta có :
, Vì
là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có chữ số
n  n  1  6
tận cùng là : 0, 2, 6, Do đó :
sẽ có tận cùng là 6, 8, 2 nên không M5
c, Ta có : aaabbb  aaa 000  bbb  a.11100  b.111  a.300.37  b.3.37 chia hết cho 37
Bài 4: Chứng minh rằng:
a, aaa Ma ,37
b, ab(a  b)M2
c, abc  cba M99
HD:
a, Ta có : aaa  a.111  a.3.37 chia hết cho a và chia hết cho 37
b, Ta có:Vì a, b là hai số tự nhiên nên a,b có các TH sau:
TH1: a, b cùng tính chẵn lẻ=> (a+b) là 1 số chẵn nhưu vậy a+b chia hết cho 2
TH2: a, b khác tính chẵn lẻ thì 1 trong 2 số phải có 1 số chẵn khi đó số đó chia hết cho 2

abc  cba  100a  10b  c   100c  10b  a   99a  99c  99  a  c  M99
c, Ta có:
Bài 5: CMR : ab  8.ba M9
HD:
ab  8.ba  10a  b  8  10b  a   18a  18b  18  a  b  M9
Ta có:
ab  a  b  M2, a, b �N
Bài 6: Chứng minh rằng:
Bài 7: Chứng minh rằng số có dạng : abcabc luôn chia hết cho 11
HD :
1


Ta có :

abcabc  a.105  b.104  c.103  b.10  c  a.102  103  1  b.10  103  1  c  103  1

  103  1  a.102  b.10  c   1001  a.10 2  b.10  c   11.91.abc M
11

Bài 8: Tìm n là số tự nhiên để:
HD:
Ta có:
Ta có:
Và

A   n  5  n  6 M6n

A  12n  n n  1  30


, Để

AM6n  n n  1  30M6n

n n  1 Mn  30Mn  n�U  30   1;2;3;5;6;10;15;30

n n  1 M6  n n  1 M3  n� 1;3;6;10;15;30

n� 1;3;10;30

Thử vào ta thấy
thỏa mãn yêu cầu đầu bài
Bài 9: CMR : 2x+y M9 thì 5x+7y M9
HD:
2 x  y M9  7  2 x  y  M9  14 x  7 y M9  9 x  5 x  7 y M9  5 x  7 y M9
Ta có :
Bài 10: Chứng minh rằng:
11 thì abcd M
11
a, Nếu ab  cd M
b, Cho abc  deg M7 cmr abc deg M7
HD:
11 hay (a+c) – (b+d) M11
a, Ta có: ab  cd  a.10  b  10c  d  (a  c)10  b  d  (a  c )(b  d ) M
11 vì có (a+c) - ( b+d) M11
Khi đó abcd M
b, Ta có:

Ta có abc deg  1000abc  deg  1001abc  (abc  deg) mà abc  deg M7 nên abc deg M7
Bài 11: Chứng minh rằng:

a, CMR: ab  2.cd � abcd M67
b, Cho abcM27 cmr bcaM27
HD:
a, Ta có:Ta có abcd  100ab  cd  200cd  cd  201cd M67
b, Ta có :Ta có abc M27  abc 0M27  1000a  bc0M27  999a  a  bc0M27  27.37a  bca M27
Nên bcaM27
Bài 12: Chứng minh rằng:
a, abc deg M23, 29 nếu abc  2.deg
HD:

11 thì abc deg M
11
b, Cmr nếu (ab  cd  eg )M

a, Ta có : abc deg  1000abc  deg  1000.2deg  deg  2001deg  deg.23.29.3
11
b, Ta có : abc deg  10000.ab  100cd  eg  9999ab  99cd  (ab  cd  eg ) M
Bài 13: Chứng minh rằng:
a, Cho abc  deg M37 cmr abc deg M37
b, Nếu abcdM99 thì ab  cd M99
HD:

a, Ta có : abc deg  1000abc  deg  999abc  (abc  deg) M37
b, Ta có :





�  99.ab  ab  cd M99  ab  cd M9

abcd  100.ab  cd

101 thì ab  cd M
101
Bài 14: Chứng minh rằng:m, Nếu abcdM
HD :
2






abcd M
101  100.ab  cd  101.ab  ab  cd  101.ab  ab  cd M
101

101
Ta có :
=> ab  cd M
Bài 15: Chứng minh rằng:
a, 2a - 5b+6c M17 nếu a-11b+3c M17 (a,b,c �Z)b, 3a+2b M17 � 10a+b M17 (a,b �Z)
HD:
a, Ta có:a-11b+3c M17 và 17a-34b +51c M17 nên 18a-45b+54c M17 => 9(2a-5b+6c) M17
b, Ta có: 3a+2b M17 và 17a - 34b M17 nên 20a – 32b M17 <=>10a – 16b M17
<=> 10a +17b – 16b M17<=> 10a+b M17

Bài 16: Chứng minh rằng:
a, abcd M29 � a  3b  9c  27 d M29
HD:


b, abc M21 � a  2b  4c M21

a, Ta có : abcd  1000a  100b  10c  d M29 => 2000a+200b+20c+2d M29
=> 2001a – a +203b - 3b +29c - 9c +29d - 27d M29
=> (2001a+203b+29c+29d)- (a+3b+9c+27d) M29 => (a+3b+9c+27d) M29
b, Ta có: abc  100a  10b  c M21 =>100a - 84a +10b – 42b + c +63c M21
=> 16a - 32b +64c M21 => 16(a- 2b +4c) M21
Bài 17: Chứng minh rằng:
16 � d  2c  4b  8a M
16 (c chẵn)
a, abcd M4 � d  2c M4
b, abcd M
HD:
a, Ta có:Vì abcd M4 � cd M4 � 10c  d M4 � 2c  d M4
16  1000a  100b  10c  d M
16  992a  8a  96b  4b  8c  2c  d M16
b, Ta có:Vì abcd M
=> (992a+ 96b+8c) + (8a+4b+2c+d) M16, mà c chẵn nên 8c M16 => (8a+4b+2c+d) M16
Bài 18: Chứng minh rằng:
a, Cho a - b M7 cmr 4a+3b M7 (a,b �Z)
b, Cmr m +4n M13 � 10m+n M13
HD:
a, Ta có:a – b M7 nên 4(a –b) M7 => 4a – 4b +7b M7 => 4a +3b M7
b, Ta có:m+4n M13 => 10(m+4n) M13 => 10m +40n – 39n M13 =>10m+ n M13
Bài 19: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu 6a+11b M31 thì a+7b cũng M31, điều ngược lại có đúng
không?
HD:
Ta có :6a +11b M31 => 6( a+7b) - 31b M31 => a+7b M31
Bài 20: Cho a,b là các số nguyên, CMR 5a+2b M17 khi và chỉ khi 9a+7b M17

HD:
Ta có :5a +2b M17 => 5a – 68a +2b -51b M17 => - 63a – 49b M17 => -7( 9a +7b) M17 =>
9a+7b M17
Bài 21: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu 2a+3b M7 thì 8a + 5b M7
HD:
Ta có:2a+3b M7 => 4(2a+3b) M7 =>8a +12b M7=> 8a+12b -7b M7=>8a+5b M7
Bài 22: Cho a,b là các số nguyên, CMR nếu a - 2b M7 thì a-9b M7, điều ngược lại có đúng không?
HD:
Ta có:a – 2b M7 => a- 2b -7b M7=> a - 9b M7, Điều ngược lại vẫn đúng
Bài 23: Cho a,b là các số nguyên và 5a+8b M3 cmr
3


a, - a +2b M3
b, 10a +b M(-3)
c, a +16b M3
HD:
a, Ta có:5a +8b M3=> 5a- 6a+8b-6b M3=> -a+2b M3
b, Ta có:5a +8b M3 => 2(5a+8b) M3=>10a+16b M3=>10a+16b-15b M3
c, Ta có:5a +8b M3=> 5(a+16b) – 72b M3 =>a+16b M3
Bài 24: Cho biết a-b M6, CMR các biểu thức sau cũng chia hết cho 6
a, a +5b
b, a +17b
c, a - 13b
HD:
a, Ta có:a-b M6 => a-b+6b M6=> a+5b M6
b, Ta có:a-b M6 => a-b +18b M6=> a+17b M6
c, Ta có:a - b M6 => a-b-12b M6=> a-13b M6
Bài 25: CMR : nếu x  2M5 thì 3x  4 y M5 và ngược lại


4


Bài 26: Cho hai số nguyên a và b không chia hết cho 3, nhưng khi chia cho 3 thì có cùng số dư:
CMR: (ab-1) M3
HD:
Ta có:a= 3p+r, b=3q+r (p,q,r �Z, r=1,2) khi đó
�
r  1  r 2  1  0M3
�
r  2  r 2  1  3M3
2
ab-1=(3p+r)(3q+r)-1= 3p(3q+r)+r(3q+r) -1 = 9pq+3pr+3qr+r -1 �

Bài 27: Chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau 1 số tự nhiên có hai chữ số gồm chính hai chữ
số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được 1 số chia hết cho 11.
HD:
Ta có :Gọi số tự nhiên có 2 chữ số là ab theo bài ra ta có
abbaM
11 vì abba  1001a  110b  7.11.13a  11.10b

Bài 28: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của 4 số tự
nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4
HD:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a,a+1,a+2 xét tổng
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a, a+1,a+2,a+3 xét tổng, ta được
4
a   a  1   a  2    a  3  4a  6 M
Bài 29: Chứng minh rằng tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẻ liên
tiếp thì không chia hết cho 10

HD:
Gọi 5 số chẵn liên tiếp là a, a+2, a+4, a+6, a+8 xét tổng, ta được:
a   a  2    a  4    a  6    a  8   5a  20M
10
Vì a là số chẵn
Tương tự với 5 số lẻ liên tiếp : 2a  1, 2a  1, 2a  3, 2a  5, 2a  7, xét tổng ta được :
 10
 2a  1   2a  1   2a  3   2a  5   2a  7   10a  15 M
Bài 30: Khi chi 135 cho 1 số tự nhiên ta được thương là 6 và còn dư, Tìm số chia và thương
HD:
135  6 x  r  0  r  x 
Gọi số chia là x và số dư là r, Khi đó
=> r  135  6 x  0  135  6 x  x
1
2
Từ
135
2
135  6 x  x  x 
 x  19
7
7 , Vậy x  20, 21, 22
Từ
135  6 x  0  6 x  135  x  22

Bài 31: Bạn Thắng học sinh lớp 6A viết 1 số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14 , sau đó
bạn Thắng đem chia số đó cho 8 thì đươc dư là 4 , nhưng khi chia cho 12 thì được dư là 3
a, CMR bạn Thắng làm sai ít nhất 1 phép chia
b, Nếu phép chia thứ nhất đúng, thì phép chia cho 12 dư bao nhiêu?
HD:

Gọi số cần tìm là n= ab
a, n chia 8 dư 4 =>n chẵn và n chia 12 dư 3=> n lẻ => mâu thuẫn
b, Vì a+b=14 nên ab M3 dư 2 khi đó 4 ab chia 12 dư 8
Nếu phép chia thứ nhất đúng thì ab chia 8 dư 4=> ab M4 => 3 ab M12 => n chia 12 dư 8
Bài 32: Chứng minh rằng nếu abc chia hết cho 37 thì bca và cab đều chia hết cho 37
Bài 33: Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao
nhiêu?
5


Bài 34: Tìm 1 số tự nhiên biết nếu chia cho 17 thì được số dư đúng bằng hai lần bình phương của số
thương
Bài 35: Chứng minh rằng không thể tồn tại 1 số tự nhiên khi chia cho 21 dư 7 và khi chia cho 84 lại
dư 3
Bài 36: Cho 4 số nguyên dương khác nhau thỏa mãn : tổng của hai số bất kì chia hết cho 2 và tổng
của ba số bất kì chia hết cho 3, Tính giá trị nhỏ nhất cảu tổng bốn số đó

6


Bài 39: Cho số tự nhiên ab bằng ba lần tích các chữ số của nó, cmr b Ma
HD:
Ta có: ab =3ab=>10a+b=3ab=>10a+b Ma =>b Ma
Bài 45: Cho
a/ 22x  y
HD:

x  y  7  x, y �Z 

, CMR các biểu thức sau chia hết cho 7

c/ 11x  10 y

b/ 8 x  20 y

a, Ta có: x  y  7  x  y M7  x  y  21x M7  22 x  y M7
x  y  7   x  y    7 x  21y  M7  8 x  20 y M7
b, Ta có:

c, Ta có: x  y M7  11x  11 y M7  11x  11 y  21 y M7  11x  10 y M7
Bài 46: Cho A  111...1 Gồm 20 chữ số 1: hỏi A có chia hết cho 111 không?
HD:
111  111...1M3 và chia hết cho 37
Ta có: 111  3.37 , nên để 111...1M
Ta có: 111...1 ( 20 số 1 ) có tổng các chữ số là 1+1+1+...+1=20
 111
không chia hết cho 3 nên 111...1M
Bài 47: CMR: nếu 7x+4y M29 thì 9x+y M29
HD:
7 x  4 y M9  36 x  29 x  4 y M9  36 x  4 y M9  4  9 x  y  M9  9 x  y M9
Ta có:

Bài 48: CMR nếu abcd M29 thì a+3b+9c+27d chia hết cho 29
HD:
Ta có: abcd M29  1000a  100b  10c  d M29
 200a  200b  20c  2d M29   2001a  1   203b  3b    29c  9c    29d  2d  M29
  2001a  203b  29c  29d    a  3b  9c  27 d  M29

  69.29a  7.29b  29c  29d    a  3b  9c  27 d  M29
Khi đó: a  3b  9c  27d M29


 7 x  3 y  M13 thì  5 x  4 y  cũng chia hết
Bài 49: Chứng minh rằng nếu x,y là các số nguyên sao cho
cho 13 và ngược lại
HD:
5x  4 yM
13  4  5 x  4 y  M
13  20 x  16 y M
13  7 x  3 y M
13
Ta có:
. Từ đó ta đi ngược lại là ra
2
Bài 50: Cho A  n  n  2 , CMR A không chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên n
HD:
n 2  n  2  n  n  1  2
n  n  1
, Vì
là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chỉ có chữ số tận cùng
là :
n  n  1  2
0, 2, 6, Do đó :
sẽ có tận cùng là 2, 4, 8 nên không M5, vậy A không chia hết cho
35
 a  1  b  1 M192
Bài 51: Cho a,b là hai số chính phương lẻ liên tiếp, CMR :
HD:
 a  1  b  1 M4
Ta có: Vì a, b là số lẻ nên
2
2

a   2k  1 , b   2k  1   a  1  4k  k  1 ,  b  1  4k  k  1
Đặt
7


a  1  b  1  16k 2  k  1  k  1
k  k  1  k  2  M3

Khi đó :
, Mà
k  k  1 , k  k  1
Và
đều chia hết cho 2
2
k  k  1  k  1 M
12   a  1  b  1  16k 2  k  1  k  1 M
192
Nên
,

Khi a, b là số chính phương lẻ liên tiếp
n : 6  1
n  1  n  1 M24
Bài 55: Chứng minh rằng : 
thì 
HD :
 2, n M
 3  n  2k  1, n  3k  1, n  3k  2
 n;6  1  n M
Vì

n  2k  1  A   2k  1  1  2k  1  1  4k  k  1 M8
Với:
n  3k  1  A  3k  3k  2  M3  AM24
TH1 :
n  3k  2  A   3k  1  3k  3 M3  AM24
TH2:
n 4

Bài 56: CMR: a  a M30, với mọi n là số nguyên dương
Bài 57: Chứng minh rằng 2x+3y chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9x+5y chia hết cho 17
HD:
2 x  3 yM
17  9  2 x  3 y  M
17  18 x  27 y M
17  18 x  10 y M
17  2  8 x  5 y  M
17
Ta có :
n

17 , Chứng minh tương tự điều ngược lại
Khi đó : 8 x  5 y M
M   a  b  a  c  a  d   b  c   b  d   c  d 
Bài 58: CMR:
chia hết cho 12, Với a, b, c, d là các số
nguyên
HD:
M   a  b  a  c  a  d   b  c  b  d   c  d 
Ta có :
Trong 4 số a,b,c,d chắc chắn có hai số chia cho 3 có cùng số dư, Nên hiệu của chúng chia hết

cho 3, Như vậy M đã chia hết cho 3
Lại có trong 4 số nguyên a,b,c,d hoặc có 2 số chẵn hoặc có 2 số lẻ, Giả sử a,b là số chẵn, c,d
 a  b  ,  c  d  M2   a  b   c  d  M4  M M4
là số lẻ Khi đó
Hoặc nếu không phải như trên thì trong 4 số trên tồn tại 2 số chia 4 có cùng số dư nên hiệu
của chúng chia hết cho 4, Khi đó M M4
Như vậy M chia hết cho cả 3 và 4 nên M chia hết cho 12
Bài 59: Một số chia cho 7 dư 3, Chia cho 17 dư 12 chia 23 dư 7, hỏi số đó chia cho 2737 dư bao
nhiêu?
HD:
Gọi số đã cho là A, theo bài ra ta có: A=7a+3=17b+12=23c+7
Mặt khác : a+39=7a+42=17b+51=23c+46=7(a+6)=17(b+3)=23(c+2) vậy a+39 đồng thời chia
hết cho 7,17,23
Mà 7,17,23 đôi 1 nguyên tố nên A+39 chia hết cho 7.17.23=2737, vậy A chia 27737 dư 2698
8
20
Bài 60: CMR: A  8  2 , chia hết cho 17
HD:
88  220  224  220  220  24  1  220.17 M
17
Ta có:A =
Bài 61: Khi chia 1 số tự nhiên gồm 3 chữ số giống nhau cho 1 số tự nhiên gồm 3 chữ số giống nhau
ta được thương là 2 và còn dư, Nếu xóa 1 chữ số ở số bị chia và xóa 1 chữ số ở số bị chia thì thương
của phép chia vẫn bằng 2 nhưng số dư giảm hơn trước là 100, Tìm số chia và số bị chi lúc đầu?
HD:

Gọi số bị chia lúc đầu là aaa và số chia lúc đầu là bbb , số dư lúc đầu là r
8



Ta có: aaa  2.bbb  r và aa  2.bb  r  100 nên





aaa  aa  2 bbb  bb  100  a 00  2.b00  100  a  2b  1

Do a, b là các chữ số nên ta có bảng:
Bài 62: Cho D=1-2+3-4+...+99-100
a, D có chia hết cho 2 không, cho 3, cho 5 không? vì sao?
b, D có bao nhiêu ước số tự nhiên, bao nhiêu ước số nguyên?
HD:
a, Ta tính được D= - 50, nên D có chia hết cho 2, và 5 nhưng không chia hết cho 3
2
b, D=-50  2.5 nên có (1+1)(1+2)=6 ước tự nhiên, và có 12 ước nguyên
2011
Bài 63: CMR : 10  8 chia hết cho 72
HD:
102011  8  1000...008
1 4 2 43

Có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 9, và có chữ số tận cùng là 008
nên chia hết cho 8, Như vậy chia hết cho 8.9 = 72
2010

1999
1997
Bài 64: Cho A  999993  555557 , CMR A chia hết cho 5
HD:

1996 3
1996 1
A   999993
  555557 
 9999931996.9999933  5555571996.555557
Ta có :

A  .....1.......7  ......1......7  ....0M5  AM5
 cho 5, khi chia cho 5 được các số dư khác nhau,
Bài 65: Cho 4 số tự nhiên liên tiếp M
CMR: tổng của chúng M5
*
n
2
Bài 66: Cho a, n �N , biết a M5 , cmr a  150 chia hết cho 25

HD:
Ta có: a M5 mà 5 là số nguyên tố  a M5  a M25  a  150M25
6
Bài 67: Chứng minh rằng nếu a không là bội của 7 thì a  1 chia hết cho 7
5
10
Bài 68: Chứng minh rằng a  a M
5

2

2

2

Bài 69: CMR : p  n  3n  5 , không chia hết cho 121 với mọi số tự nhiên n

13
169 thì abM
Bài 70: Cho a,b là hai số nguyên, CMR : Nếu 3a  11ab  4b M
Bài 71: CMR nếu a, b là các số tự nhiên sao cho 5a  3b,13a  8b cùng chia hết cho 2003, thì a và b
cùng chia hết cho 2013
2

2

7
9
13
Bài 72: Chứng minh rằng: 81  27  9 chia hết cho 405
*

Bài 73: Cho a, b �N , thỏa mãn số
M chia hết cho 361
HD:
Ta có:
Xét

M   9a  11b  5b  11a

M   9a  11b  5b  11a M
19

chia hết cho 19, Hãy giải thích vì sao


19 hoặc 5b  11aM
19
mà 19 là số nguyên tố nên 9a  11bM

M  3 9a  11b   5b  11a  27a  33b  5b  11a  38a  38b  19 2a  2b M
19

+ Nếu

9a  11bM
19  3 9a  11b M
19

19  5b  11aM
19
mà N M

19  3 9a  11b M
19  9a  11bM
19
19 , mà N M
+ Nếu 5b  11aM

(2)

 5b  11a M19  M M19  361
m  16a  17b  17a  16b
Bài 73: Cho hai số tự nhiên a và b thỏa mãn :
là 1 bội số của 11, CMR :
Từ (1) và (2) suy ra :


 9a  11b M19

(1)

2

và

Số m cũng là một bội số của 121
9


HD:
Vì 11 là số nguyên tố: mà

m  16a  17b  17a  16b M
11  16a  17bM
11

11 , ta cần chứng minh
Không mất tính tổng quát: giả sử: 16a  17bM

Thật vậy:
Lại có:

11
hoặc 17a  16bM

 17a  16b M11


16a  17bM
11  2 16a  17b M
11  33 a  b  b  aM
11 b  aM
11 a  bM
11

2 17a  16b  33 a  b  a  bM
11   17a  16b M
11

 16a  17b  17a  16b M11.11 121
 17a  5b  5a  17b
Bài 73: Cho a, b là hai số nguyên thỏa mãn:
 17a  5b  5a  17b M121
Chứng minh rằng :
Vậy

chia hết cho 11,




ab a  b   a  b  M30
Bài 73 : Cho a, b là hai số nguyên. CMR:
Bài 73: Cho a, b là hai số tự nhiên. CMR:

ab a2  b2 4a2  b2 M5
2


2

2

2

a
Bài 74: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho : a  1,b  2007 chia hết cho 6. CMR: 4  a  bM6
HD:

Vì
Mà

a�Z  4a �1 mod3  4a  2 �0 mod3

4a  2 �0 mod2  4a  2M6

a
a
Khi đó ta có: 4  a  b  4  2  a  1 b  2017 2010M6
a
Mà a  1M6,b  2017M6  4  a  bM6
1 1
1
A    ... 
11 12
40 , CMR : A không là số tự nhiên
Bài 75: Cho


HD:
5

Ta quy đồng tổng A, Khi đó mẫu số sẽ là tích của 2 với các thừa số lẻ nhở hơn 40 và lứn
hơn 10
Gọi k11, k12, k13, ..., k40 là các thừa số phụ tương ứng
 k11  k12  ...  k 40 
A
25.11.13.....39
Khi đó tổng A có dạng :
, Trong 30 phân số của tổng A, chỉ có duy
1
5
nhất phân số 32 có mẫu chứa 2 , nên trong các thừa số phụ k11, k12, ... k40 chỉ có k32 là số lẻ,
còn lại các thừa số phụ khác đều chẵn vì có ít nhất 1 thừa số 2, Khi đó phân số A có Mẫu chia hết
cho 2, còn tử không chia hết cho 2 nên A không là số tự nhiên
1 1
1
A  1    ... 
2 3
100 , CMR : A không là số tự nhiên
Bài 76: Cho
HD:
6

Ta quy đồng tổng A, Khi đó mẫu số sẽ là tích của 2 với các thừa số lẻ nhỏ hơn 100
Gọi k1, k2, k3, ..., k100 là các thừa số phụ tương ứng
 k1  k 2  ...  k100 
A
25.3.5.7.....99

Khi đó tổng A có dạng :
,
1
6
Trong 100 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số 64 có mẫu chứa 2 ,
10


nên trong các thừa số phụ k1, k2, ... , k100 chỉ có k62 là số lẻ, còn lại các thừa số phụ khác
đều chẵn vì có ít nhất 1 thừa số 2, Khi đó phân số A có Mẫu chia hết cho 2, còn tử không chia
hết cho 2 nên A không là số tự nhiên
A

1 1
1
  ... 
2 3
50 thì A không là số tự nhiên

Bài 77: CMR:
HD:
5
Ta quy đồng tổng A, Khi đó mẫu số sẽ là tích của 2 với các thừa số lẻ nhỏ hơn 50, lớn hơn 1
Gọi k2, k3, k4, ..., k50 là các thừa số phụ tương ứng
Khi đó tổng A có dạng :

A

 k 2  k 3  ...  k 50 
25.3.5.....50


,

1
5
Trong 49 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số 32 có mẫu chứa 2 ,
nên trong các thừa số phụ k2, k3, ... k50 chỉ có k32 là số lẻ, còn lại các thừa số phụ khác đều
chẵn vì có ít nhất 1 thừa số 2, Khi đó phân số A có Mẫu chia hết cho 2, còn tử không chia hết
cho 2 nên A không là số tự nhiên
49 48
2 1
50 A    ...  
1 2
48 49 , CMR A không là số tự nhiên?
Bài 78: Cho

HD:
� 48 � � 47 �
� 2 �� 1 �
50 A  �
1  � �
1  � ...  �
1  � �
1  � 1
� 2 �� 3 �
� 48 � � 49 �
50 50 50
50 50
1 �
�1 1

50 A     ...    50 �   ...  �
2 3 4
49 50
50 �
�2 3
1 1 1
1
 A     ... 
2 3 4
50 , Theo chứng minh của bài 24 thì A không là số tự nhiên
1 1 1
1 a
A  1     ...  
2 3 4
18 b , Chứng minh rằng bM2431
Bài 79: Cho
HD :
Tách 2431=17.13.11
Quy đồng A ta thấy rằng b=1.2.3.....18 có chứa 17.13.11
Bài 80: Chứng minh rằng:

a. chia hết cho 7, 11 và 13
b. chia hết cho 23 và 29, biết = 2.
c. chia hết cho a
d. Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27
e. chia hết cho 29 <=> a + 3b + 9c + 27d chia hết cho 29
f.

chia hết cho 21 <=> a - 2b + 4c chia hết cho 21


HD :
1. chia hết cho 7, 11 và 13
11


Ta có: = 1000 + = 1001. = 7.11.13. 7; 11; 13 (đpcm)
2. chia hết cho 23 và 29, biết = 2.
Ta có: = 1000 + = 1000.2. +
= (2000 + 1) = .2001 = .23.29.3 23; 29 (đpcm)
3. chia hết cho a
= 100.a + 10.a + a = 111.a a (đpcm)
4. Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27
Gọi A là số gồm 27 chữ số 1, B là số gồm 9 chữ số 1.
Lấy A chia cho B ta được thương là C=10..010..01.
Như vậy : A=B.C , trong đó B chia hết cho 9, C chia hết cho 3
Vậy A chia hết cho 27 (đpcm).
5. chia hết cho 29 <=> a + 3b + 9c + 27d chia hết cho 29
Ta có:

29

 1000.a + 100.b + 10.c + d 29
 2000.a + 200.b + 20.c +2d

29

 2001.a – a + 203.b – 3.b + 29.c – 9.c + 29.d – 27.d

29


 (2001.a + 203.b + 29.c + 29.d) – (a + 3.b + 9.c + 27.d) 29
 (69.29.a + 7.29.b + 29.c + 29.d) - (a + 3.b + 9.c + 27.d) 29
 (a + 3.b + 9.c + 27.d) 29 (đpcm)
6. chia hết cho 21 <=> a - 2b + 4c chia hết cho 21
Ta có:
= 100a + 10b + c
= 100a - 84a +10b - 42b + c + 63c +84a + 42b -63c
= 16a - 32b + 64c + 84a + 42b -63c
= 16( a-2b+4c) + 84a + 42b -63c
chia hết cho 21, 84a + 42b -63c chia hết cho 21 => a-2b+4c (đpcm)
Bài 81: Chứng minh rằng:
a. Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
b. Chứng minh rằng thì 60n + 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30.
c. Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 và chia 9 dư 1.
d. Chứng minh rằng: (1005a + 2100b) chia hết cho 15, .
e. Chứng minh rằng: A = n2 + n + 1 không chia hết cho 2 và 5, .
f. Chứng minh rằng: thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2.
12


HD :
a. Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: a; a + 1; a + 2
Tổng của ba số là: a + a +1 + a +2 = 3.a + 3 3(đpcm) (tính chất chia hết của một tổng)
b. Chứng minh rằng thì 60n + 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30.
Ta có:
60 15 => 60n 15 ; 45 15 => 60n + 45 15 (theo tính chất chia hết của một tổng)
60 30 => 60n 30; 45 không chia hết cho 30 => 60n + 45 không chia hết cho 30 ( theo
tính chất chia hết của một tổng).
c. Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 và chia 9 dư 1.

Giả sử có số a N thỏa mãn cả hai điều kiện trên thì:
=> Mâu thuẫn
Vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn. (đpcm)
d. Chứng minh rằng: (1005a + 2100b) chia hết cho 15, .
Vì 1005 chia hết cho 3 nên 1005.a chia hết cho 3 với mọi a
Vì 2100 chia hết cho 3 nên 2100.b chia hết cho 3 với mọi b
 (1005a + 2100b) chia hết cho 3 với mọi a,b
Vì 1005 chia hết cho 5 nên 1005a chia hết cho 5 với mọi a
Vì 2100 chia hết cho 5 nên 2100b chia hết cho 5 với mọi b
 (1005a + 2100b) chia hết cho 5 với mọi a, b
Mà (3;5) = 1 => (1005a + 2100b) chia hết cho 15 với mọi a,b
e. Chứng minh rằng: A = n2 + n + 1 không chia hết cho 2 và 5, .
Vì n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp, trong 2 số liên tiếp luôn luôn có 1 số chẵn => n.
(n+1) là số chẵn, cộng thêm 1 sẽ là số lẻ => n.(n+1) + 1 là số lẻ, không chia hết cho 2.
Để chứng minh n.(n+1) + 1 không chia hết cho 5 ta thấy hai số n và n+1 có thể có các chữ số
tận cùng sau:
n tận cùng là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; tương ứng số tận cùng của n+ 1 như sau:
n+ 1 tận cùng là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
=> tích của n.(n+1) tận cùng là:
0, 2, 6, 2, 0, 0, 2, 6, 2, 0
Hay là n.(n+1) tận cùng là 0, 2, 6
=> n.(n+1) +1 tận cùng là: 1, 3, 7 không chia hết cho 5
f. Chứng minh rằng: thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2.
13


Ta xét các trường hợp:
(+) Nếu n là số lẻ thì n + 3 là số chẵn ; n + 6 là số lẻ. Mà số chẵn nhân với số lẻ có tận cùng
là số chẵn => (n+3) (n+6) chia hết cho 2.
(+) Nếu n là số chẵn thì n+3 là số lẻ ; n+6 là số chẵn. Mà tích của 1 số lẻ với 1 số chẵn có tận

cùng là số chẵn nên => (n+3)(n+6) chia hết cho 2.
Vậy thì tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2 (đpcm).

14


DẠNG 2: TÌM SỐ TỰ NHIÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ
Bài 1: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 5 và 27, biết rằng hai số giữa của nó là 97
HD:
Gọi số cần tìm là a97b vì a97b M5 nên b = 0 hoặc b = 5 => 2 trường hợp
TH1: Với b  0  a970M27  a  9  7  0  a  16 M9  a  2 , Khi đó số cần tìm là 2970 thỏa
mãn chia hết cho 27
TH2: Với b  5  a975M27  a  9  7  5  a  21M9  a  6 , Khi đó số cần tìm là 6975 không
chia hết cho 27
Bài 2: Tìm 1 số có hai chữ số biết số đó chia hết cho tích các chữ số của nó
HD:
Gọi số cần tìm là ab
ab Ma.b  10a  b Mab  10a  bMa  b Ma  b  k .a  k �N 
=> ab  10a  b Mà
Và 10a  bMb  10a Mb , mà do b chia hết cho a=> 10a  b.q  10a  z.k .q  10  k .q
Do k là số có 1 chữ số nên k= 1;2;5
Với k=1=> a=b, ta có các số 11,22,33,....99, có số 11 thỏa mãn
Với k=2=>b=2a, ta có các số 12, 24, 36, 48, có các số 12, 24, 36 thỏa mãn
Với k=5=> b=5a ta có số 15 thỏa mãn.
Vậy các số cần tìm là 11, 12, 24, 36, 15

Bài 3: Tìm a, b, c biết: 2009abcM315
HD:
(5;7;9)  1  2009abc MBCNN  5;7;9 
Ta có: 315  5.7.9 , Mà

Ta có: 2009abc  2009000  abc  315.6377  245  abc







 245  abc M315  315 �U 245  abc

Mà



100 �abc �999  345 �245  abc �1244  245  abc � 630;945  abc � 385;700

Bài 4: Tìm a,b biết: a-b=3 và (14a3  35b2) M9
HD:
Ta có:Để : 14a3  35b2M9  1  4  a  3  3  5  b  2  a  b  18M9  a  bM9
mà a và b là số chó 1 chữ số nên a  b  0, a  b  9, a  b  18
kết hợp với a - b =3 để tìm a và b
Bài 5: Tìm a,b biết:c, 5a6b 2M3 và a - b=4
HD:
Để 5a6b2M3  5  a  6  b  2  a  b  13M3  a  b  1M3
Do a, b là hai số tự nhiên có 1 chữu số nên:

a  b  2, a  b  5, a  b  8, a  b  11, a  b  14, a  b  17, , Kết hợp với a  b  4 để tìm a,b

 1999  1a6  M29
 1999  19a8 M1997

Bài 7: Tìm a biết rằng:
Bài 6: Tìm a,b biết rằng:

Bài 8: Tìm số nguyên tố tự nhiên n biết 2n+7 chia hết cho n+1 và 12n+1
HD:
2n  7Mn  1  2 x  2  5Mn  1  2  n  1  5Mn  1  n  1 �U  5 
Ta có :
Tương tự :
15


2n  7 M
12n  1  6  2n  7  M
12n  1  12n  42 M
12n  1  12n  1  41M
12n  1  12 n  1 �U  41

Bài 9: Tìm x,y nguyên dương biết (x+1) chia hết cho y và (y+1) chia hết cho x
HD:
Ta có : Vì vai trò của x, y bình đẳng nên giả sử : x �y
y 1
�
x  1  x  1  2My  �
  x; y    1;1 ,  1; 2 
y

2
�
Nếu
�x  1My

x �2  2 �x �y  �
  x  1  y  1   xy  x  y  1 Mxy   x  y  1 Mxy
�y  1Mx
Nếu
x  y 1 1 1 1
  
xy
x y xy là số nguyên dương
1 1 1 1 1 1 5
1 1 1
2 �x �y   
�      
1
x y xy 2 2 4 4
x y xy
Mà


 1 

(1)

1 1 1 1 1 1
5
 
�  

 2 x �5  x  2
x y xy x x 2 x 2 x
, Thay vào (1) ta có :


1 1 1
 
 1  y  3
2 y 2y

Vậy các cặp số (x ; y) phải tìm là : (1 ;1), (1 ;2), (2 ; 1), (2 ; 3), (3 ;2)
Bài 10: Tìm 1 số có ba chữ số biết số đó chia cho 11 được thương bằng tổng các chữ số của số đó
HD :
Ta có : Gọi số cần tìm là : abc
abc  11 a  b  c   100a  10b  c  11a  11b  11c
Theo bài ra ta có :
 89a  b  10c  89a  cb , Vì cb là số có hai chữ số nên 0 < a< 2

=> a = 1, Khi đó ta có : 89  cb  bc  98  abc  198

Bài 11:
a)Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và chia hết cho 9
HD:
a)Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và chia hết cho 9
Vì a – b = 4 => a = b + 4 mà chia hết cho 9 => 15 + a + b chia hết cho 9 => 19 + 2b chia
hết cho 9 => b = 4; a = 8.
b)Cho n = + . Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b
HD:
Cho n = + . Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b
n chia hết cho 9
+ chia hết cho 9
7 + a + 5 + 8 + b + 4 chia hết cho 9
16



24 + a + b chia hết cho 9.
Mà a, b
9
a+b
18
a + b = 3 hoặc a + b = 12.
-a+b=3
a = (3 + 6) : 2 = 9/2 không thuộc N (loại)
- a + b = 12
a = (12 + 6) : 2 = 9 ; b = 9 - 6 = 3 (chọn)
Vậy a = 9 và b = 3.
c)Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng: Tổng của chúng bằng và hiệu của chúng bằng .
HD:
c)Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng: Tổng của chúng bằng và hiệu của chúng bằng .
Vì hai số chia hết cho 9 nên tổng của hai số là: 9  * = 9; và hiệu của chúng bằng 9  *
= 3.
Vậy tổng của hai số là 9657 và hiệu của hai số là 5391.
 Hai số cần tìm là: 7524 và 2133
d)Tìm chữ số a, biết rằng: chia hết cho 7
HD:
d)Tìm chữ số a, biết rằng: chia hết cho 7
Ta có = .1000 +
= (.1000 + ).1000 +
= 1001..1000 +
= 7.143..1000 + 7
Mà 7.143..1000 7 =>
7
= 200 + a = 196 + 4 + a = 196 + (4 + a) 7
Mà 196 7 => 4 + a 7 => a = 3

e)Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì ta được một số chia hết cho
37.
HD:
e)Tìm số tự nhiên có hai chữ số, sao cho nếu viết nó tiếp sau số 1999 thì ta được một số chia hết cho
37.
Gọi số phải tìm là . Ta có:
37 => 199900 + 37
 + 26 + 37
 26 + 37
17


Vậy = {11; 48; 85}
f)Tìm các số tự nhiên chia cho 4 dư 1, còn chia cho 25 thì dư 3
HD:
f)Tìm các số tự nhiên chia cho 4 dư 1, còn chia cho 25 thì dư 3
Gọi thương của số tự nhiên x cần tìm tuần tự là a và b
Theo đề, ta có:
x = 4a + 1
x = 25b + 3
<=> 4a + 1 = 25b + 3
4a = 25b + 2
a = (25b + 2)/4
b = 2 ; a = 13 <=> x = 53
b = 6 ; a = 38 <=> x = 153
b = 10 ; a = 63 <=> x = 253
b = 14 ; a = 88 <=> x = 353
b = 18 ; a = 113 <=> x = 453
...
Đáp số:

Tất cả các số tự nhiên, tận cùng là 53 đều thoả mãn điều kiện.
g)Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng số đó bằng 45 lần tích các chữ số của nó.
HD:
g)Tìm số tự nhiên có 5 chữ số, biết rằng số đó bằng 45 lần tích các chữ số của nó.
Goi số đó là (a, b, c,d, e là các chữ số và a khác 0). Theo đề bài ta có:
= 45*a*b*c*d*e
= 5*9*a*b*c*d*e
chia hết cho 5 nên e = 0 (loại) hoăc e = 5. Dễ thấy e = 5. Số abcd5 là số lẻ nên a, b,c, d, e
đầu là các chữ số lẻ.
= 5*9*a*b*c*d*5
= 25*9*a*b*c*d
Do đó, chia hết cho 25. Mà = abc*100 + d5. d5 chia hết cho 25 và d lẻ => d = 7.
Ta có = chia hết cho 9 nên a + b + c + 7 + 5 = a + b + c + 12 chia hết cho 9. Mà 2 < a +
b + c < 28.
Do đó: a + b + c = 6; 15 hoặc 24
Vì a, b, c lẻ nên a + b + c lẻ = > a + b + c = 15
Mà 15 = 1 + 5 + 9 = 1 + 7 + 7 = 3 + 3 + 9 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5
Vì ta có 45*a*b*c*7*5 < 100000
nên a*b*c < 64. Do đó ta chỉ còn xét hai trường hợp, ba chữ số a, b, c có tổng là 1 + 5 + 9
và 1 + 7 + 7.
18


Thử chọn thấy 77175 là thích hợp.
Đ/S: 77175.
h)Tìm số , biết rằng số đó chia hết cho tích các số và .
HD:
h)Tìm số , biết rằng số đó chia hết cho tích các số và .

Ta có: = + = 100. + chia hết cho .

=> chia hết cho . Đặt = k. (1 ≤ k ≤ 9)
có .100 + k. chia hết cho . = .k.
=> 100 + k chia hết cho k. (1) => 100 chia hết cho k
=> k = {1, 2, 4, 5}
+ k = 1; = ; từ (1) => 101 chia hết cho vô lí vì 101 nguyên tố
+ k = 2; = 2., từ (1) => 102 chia hết cho 2. => 51 chia hết cho
không thể là 51 (vì nếu thế thì = 102 vô lí) => = 17 => = 34
Số cần tìm là 1734 (dễ kiểm tra 1734 : (17.34) = 3)
+ k = 4; = 4. => 104 chia hết cho 4. => 26 chia hết cho => = 13, = 52 (nhận) hoặc =
26, = 104 (loại)
+ k = 5; = 5., từ (1) => 105 chia hết cho 5. => 21 chia hết cho
=> = 21 => = 105 vô lí
Vậy có hai cặp số thỏa mãn yêu cầu là: 1734 và 1352
i) chia hết cho cả 2,3,5,9
HD:
i) chia hết cho cả 2,3,5,9
chia hết cho 2 và 5 => = .
Vì chia hết cho 9 nên tổng các số phải chia hết cho 9
 * + 6 + 3 + 0 = * + 9 chia hết cho 9
 * = 0 (loại) hoặc * = 9.
Số chia hết cho 9 thì sẽ chia hết cho 3. Vậy số cần tìm là: 9630

j) Tìm tất cả các số có 5 chữ số dạng: mà chia hết cho 36.
HD:
j) Tìm tất cả các số có 5 chữ số dạng: mà chia hết cho 36.
Ta có: 36 = 9.4 mà ƯC(4;9) = 1
Vậy để chia hết cho 36 thì chia hết cho 4 và 9
19



chia hết cho 9  3+4+x+5+y 9  12 + x + y (1)
chia hết cho 4  chia hết cho 4 => y = 2 hoặc y = 6
Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x => x = 4
Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x => x = 0 hoặc x = 9
Vậy các cặp (x, y) cần tìm là: (4; 2), (0; 6), (9; 6).

DẠNG 3 : CHỮ SỐ TẬN CÙNG VÀ ĐỒNG DƯ THỨC
A. Lý thuyết:
+ 1. Một số có chữ số tận cùng là : 0; 1; 5; 6 khi nâng lên lũy thừa n �0 thì được số có chữ số tận
cùng là chính nó (0; 1; 5; 6)
+ 2. Số có chữ số tận cùng là 2; 4; 6 khi nâng lên lũy thừa 4 được số có chữ số tận cùng là 6
+ 3. Số có chữ số tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên lũy thừa 4 được số có chữ số tận cùng là 1
Chú ý 1:
+ 1 số tự nhiên bất kỳ nâng lên lũy thừa 4k+1 thì chữ số tận cùng không thay đổi
+ Số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa 4n  3 được số có chữ số tận cùng là 7
+ Số có tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa 4n  3 được số có chữ số tận cùng là 3
+ Số có tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa 4n  3 được số có chữ số tận cùng là 8
+ Số có tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa 4n  3 được số có chữ số tận cùng là 2
+ Còn lại chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 khi nâng lên lũy thừa 4n  3 được tận cùng là
chính nó
+ 4. Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho m thì a được gọi là đồng dư với b theo modum m
a �b  mod m 
KH:
3 �1  mod 4 
5 �11 mod 6 
18 �0  mod 6 
Ví dụ:
+ 5. Một số tính chất về đồng dư:
�
�a �b  mod m 

 a �c  mod m 
�
b �c  mod m 
�
+ Nếu:
�
a �b  mod m 
�
 a  c �b  d  mod m 
�
c �d  mod m 
�
+ Nếu:
�
a �b  mod m 
�
 a.c �b.d  mod m 
�
c �d  mod m 
�
+ Nếu:
a �b  mod m   a n �bn  mod m 

+ Nếu:
+ Nếu

a �b  mod m 

và d là UC(a; b) thỏa mãn: ( d; m) = 1 thì
d �UC  a; b; d  


a �b  mod m  , d �Z ,
+ Nếu
thỏa mãn :
Chú ý : Không được chia 2 vế của dồng dư thức :
2 �12  mod10   1 �6  mod10 
Ví dụ :
, điều này là sai.

a : d �b : d  mod m 

a b� m�
� �
mod �
d d�
d�

B. Bài tập áp dụng :
20


2004

Bài 1:Tìm số dư trong phép chia 2004
khi chia cho 11
HD:
Dấu hiệu chia hết cho 11 là hiệu chữ số hàng lẻ với chữ số hàng chẵn tính từ bên trái chia hết
cho 11
2002M
11  2004 �2  mod11  20042004 �22004  mod11

Ta có:
210 �1  mod11  20042004  24.22000 �24.  210 

Mà
2004
Vậy 2004
chi cho 11 dư 5
2005
Bài 2: Tìm số dư khi chia A  1944
cho 7
HD:
Ta có:

1944 �2  mod 7   19442005 � 2 

 2 
Mà
Vậy

3

�1 mod  7  19442004 � 23 

19442005 �1.  2   mod 7 

2005

668

200


 mod11 �24  mod11 �5  mod11 

 mod 7 

 mod 7  � 1  mod 7  �1  mod 7 
668

hay A chia cho 7 dư 5

Bài 3: Chứng minh rằng: A  6  1, B  6  1 đều là bội số của 7
HD:
6 � 1  mod 7   61000 �1  mod 7   A �0  mod 7   AM7
Ta có:
Chứng minh tương tự với B
5
Bài 4: Tìm số dư trong phép chia: 1532  1 khi chia cho 9
HD:
15325  1 �4  mod 9 
1532 �2  mod 9   15325 �25  mod 9  �5  mod 9 
Ta có:
, Nên
2n
n
19
Bài 5: Chứng minh rằng: A  7.5  12.6 M
HD:
n
n
25n �6n  mod19   7.25n �7.6n  mod19 

A

7.25

12.6
Ta có:
,Vì
1000

1001

 A  7.6n  12.6n  mod19   6n.19  mod19  �0  mod19   AM
19

2003
Bài 6: Tìm dư trong phép chia: 3
chia cho 13
HD:

33 �1  mod 13   33 

667

.32 �32  mod13

Ta có:
2002
Bài 7: Chứng minh rằng : 2  4M31
HD :


25  32 �1  mod 31   2 5 

400

, Vậy số dư là 9

.2 2 �4  mod  31  A  2 2002  4 �0  mod 31

Ta có :
5555
2222
Bài 8: Chứng minh rằng : 2222  5555 M7
HD :

 

  

Ta có :
5555 �4  mod 7   55552222 �42222  mod 7 
Và
, Khi đó :
2222 � 4 mod 7  22225555 � 4

A � 4 

5555

 4 
Mà :


5555

mod 7

 4 2222  mod 7 

5555

  4 

3333

.4 2222  A �4 2222  33333  1  mod 7 

43333  1 ,
43 �1  mod 7   4 3333 �1  mod 7   4 3333  1 �0  mod 7 
Xét 
có
, hay AM7
70
50
Bài 9: Tìm dư trong phép chia : 5  7 khichia cho 12

21


HD:

52 �1  mod  12  570 �1  mod  12

Ta có:
7 2 �1 mod  12  750 �1  mod12 
Và
, Khi đó số dư là 2
776
777
778
Bài 10: Tìm số dư của A  776  777  778 , khi chia cho 3 và chi cho 5
HD :
776 � 1  mod 3  776776 �1  mod 3
Ta có :
777 �0  mod 3  777777 �0  mod 3
778 �1 mod 3  778778 �1 mod 3

, Khi đó A chia 3 có dư là 2
776 �1  mod 5  776 �1  mod 5 
776

Mặt khác :

777 �3  mod 5  777777 � 3

777

 mod 5

778 �3  mod 5  778778 �3778  mod 5

Khi đó
A �1  3777  3778  mod 5  �1  3.3777  3777  mod 5   1  3777  3  1  mod 5  �1  2.3777  mod 5 

33 �1  mod 5  3777 � 32 

Mà
Vậy

388

.3  mod 5 �3  mod 5

A �1  2.3  mod 5 �2  mod 5

hay A chia 5 dư 2

2005
2005
Bài 11: Tìm số dư của A  3  4
khi chia A cho 11 và khi chia cho 13
HD:

Ta có:
Và

35 �1  mod11   35 

45 �1 mod11   45 

401

�1  mod11


3 �1  mod13   3



3 668

3

Mặt khác:

�1  mod11

401

43 �1  mod13   43 

668

, Khi đó A chia cho 11 dư 2

.3 �3  mod13

.4 �4  mod13

Và
Bài 12: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

, Khi đó A chia cho13 dư 7

20002008 ;11112019 ;20072017 ;13582018 ;234567 ;5235 ;204402 ;20133102 ;10201040


Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của:
9
a, 9

HD:

9

67

5
b, 4

4k  1
�
�
9
a, Ta có: 9 là 1 số lẻ nên chi 4 có 2 TH là �4k  3
4 k 1
4k
TH1 : 9  9 .9  ....1.9  ....9
4 k 3
 94 k.93  ....1.93  ....9
TH2 : 9

7

6


4k  1
�
�
là 1 số lẻ nên chia 4 có 2 TH là : �4k  3

b, Ta thấy : 5
2008
2008
2008
Bài 14 : Cho A  17  11  3 , Tìm chữ số tận cùng của A
HD :
Ta có : A  ....1  ....1  ....1  ....0  ....1  ....9
22


25
4
21
10
Bài 15 : Cho M  17  24  13 , Chứng minh rằng: M M
HD:

10
Ta có: M  ...7  ...6  ...3  ...0  M M

C  9 2  3M2  n  N , n 1
n

Bài 16: Chứng minh rằng:
HD:

n

n 1

n 1

2
2.2
 812  ...1  C  ...1  3  ....4 M2
Ta có: C  9  9
102
102
10
Bài 17: Chứng minh rằng: A  8  2 M

Bài 18: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 2222
Bài 19: Chứng minh rằng:
4 n1
2 n1
10
a, 2  3M5
b, 9  1M
4 n 2
Bài 20: Chứng minh rằng: 2  1M5

2003

; 20182024 ;20052005
4n
c, 7  1M5


A  24  1  n  N , n 1
n

Bài 21: Chứng minh rằng số có dạng:
HD:

n

Ta có:

4 n  41n 1  4.4 n 1  A  2 4  1  2 4.4

n 1

 1   16 

có chữ số tận cùng là 7
4n 1

B  32  4M
5  n  N , n
n

Bài 22: Chứng minh rằng số có dạng:
HD:

 1  ....7

2


n 1

n

n
2  n 2
 4.2n 1  B  32  4  34.2  4  ....1  4  ....5M5
Ta có: 2  2

C  34  1M
10  n  N , n 1
n

Bài 23: Chứng minh rằng số có dạng
HD:

4n  41n 1  4.4n 1  C  34  1   34 
n

Ta có:

4n 1

 1   81

4n 1

 1  ....1  1  ...0M
10


Bài 24: Tìm chữ số hàng đơn vị của:
1111
1111
5555
a, 6666  1111  66
10n  555n  666n ,  n  N , n 1
b,
c,

99992 n  9992 n 1  10n ,  n �N * 

20184 n  2019 4 n  20074 n ,  n �N * 

d,
Bài 25: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a, A= 24n - 5 (n > 0, n �N)
b, B= 24n+2 + 1 (n �N)
HD:

 

c, C= 74n – 1 (n �N )

24 n  5   24   5  16  5  ....6  5  .....1
n

n

a, Ta có :A=

4 n2
4n
b, Ta có : B  2  1  2 .4  1  ....6.4  1  .....5

4n
c, Ta có : C  7  1  ....1  1  ....0
Bài 26: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
2n
4n
a, D= 2  1
b, E= 2  1
HD:
2n
4.2n2
4 2n2
2

2

(2
)  ...6
n
2+n-2
2 n-2
n-2
a, Ta có :2 =2
=2 .2 =4.2 =>

23



n 1

n

n1

n
1 n 1
 4.4 n1  24  24.4  (24 ) 4  ...6
b, Ta có : 4  4
Bài 27: Chứng minh rằng:
2

n

2
a, A = 2  1M5
HD:

n

4
10
b, B= 2  4M

2
10
c, C= 9  1M


2

2
4
a, Ta có : 2  1  2  1  15M5

4n

b, Ta có : Ta có 2 có tận cùng là 6
n
1 n 1
n 1
2n
2.2n1
2 2n1
2

2

2.2

9

1

9

1

(9

)  1  ...1  1  ...0M
10
c, Ta có :
Bài 28: Chứng minh rằng:
4 n1
2 n1
10
a, E= 2  3M5
b, F= 9  1M
HD:
a, Ta có : 2

4 n 1

4n
c, H= 7  1M5

 3  24 n.2  3  ...6.2  3  ...5

2 n 1
2n
b, Ta có : 9  1  9 .9  1  ...1.9  1  ...0

c, Ta có : 7  1  ...1  1  ...0
Bài 29: Chứng minh rằng:
2n
4 n 2
3
2


1
M
5
a, I=
b, K=  4M5(n �2)
4n

n

4
10(n �1)
c, M= 3  1M

HD:
a, Ta có : 2

4n2

 1  2 4 n.22  1  ...6.4  1  ...0
n 2

n

n
2 n  2
 22.2n 2  4.2n  2  32  4  34.2  4  ...1  4  ...5
b, Ta có : 2  2
n 1

n


n
1 n 1
 4.4n 1  34  1  34.4  1  ...1  1  ...0
c, Ta có : 4  4
Bài 30: Chứng minh rằng:
4 n1
2n
a, D= 3  2M5
b, G= 9  1Mcả 2 và 5
HD:

4 n 1

a, Ta có : 3

 2  34 n.3  2  ...1.3  2  ...5M5

b, Ta có : 9  1  ...1  1  ...0
Bài 31: Trong các số sau số nào chia hết cho 2,5 10
2n

4 n 1

a, 3
HD:

4 n 1
b, 2  2(n �N )


 1(n �N )
4 n 1

a, Ta có : 3

 1  34 n.3  1  ...1.3  1  ...4

4 n 1

b, Ta có : 2  2  2 .2  2  ...6.2  2  ...0
Bài 32: Trong các số sau số nào chia hết cho 2,5 10
2n
4n
a, 2  4(n  N, n 2)
b, 9  6(n  N , n 1)
4n

HD:
n 2

n

n
2 n  2
 22.2n  2  4.2n 2  22  4  24.2  4  ...6  4  ...0
a, Ta có : 2  2
1 n 1

 4.4
b, Ta có : 4  4

Bài 33: Chứng minh rằng:
a, 94260 - 35137M5
HD:
n

942 
a, Ta có : 

4 15

  351

n 1

37

n1

n

 94  6  94.4  6  ...1  6  ...5

b, 995 – 984 +973 – 962 M2 và 5
 ....6  .....1  .....5M5

b, Ta có : 99  98  97  96  99 .99  98  97  96
 ...1.99  ...6  ....3  ....6  .....0 Hiển nhiên chia hết cho cả 2 và 5
5

4


3

2

4

4

3

2

24


Bài 34: Chứng minh rằng:
25
4
21
102
102
10
10
a, 17  24  13 M
b, 8  2 M
HD:
25
4
21

24
4
20
a, Ta có: 17  24  13  17 .17  24  13 .13  ....1.17  ....6  ....1.13  ....0 thì chia hết cho 10
102
102
100 2
100 2
b, Ta có: 8  2  8 .8  2 .2  ....6.64  ....6.4  .....4  ....4  ....0 nên chia hết cho 10
Bài 35: Chứng minh rằng:
36
10
28
a, 36  9 M45
b, 10  8M72
HD:
36
10
8 2
a, Ta có: 36  9  ....6  9 .9  ....6  .....1.81  ...6  ....1  ...5
Chia hết cho 5, và ta thấy 36M9  36 M9,9 M9  đpcm
28
b, Ta có : 10  8  10....00  8  1000...008M8 và có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 9
Khi đó chia hết cho 72
Bài 36: Chứng minh rằng:
8
20
5
15
17

a, 8  2 M
b, 16  2 M33
HD:
36

10

88  220   23   2 20  2 24  220  2 20  2 4  1  2 20.17 M
17
8

a, Ta có:

165  215   24   215  220  215  215  25  1  215.33M33
5

b, Ta có:
Bài 37: Chứng minh rằng:
6
7
7
9
13
a, 10  5 M59
b, 81  27  9 M45
HD:
6
106  57   2.5   57  26.56  57  56  26  5   56.59M59
a, Ta có:


817  279  913   34    33    32   328  327  326  326  32  3  1  326.5  324.45M45
7

9

13

b, Ta có:
Bài 38: CMR:
100
99
678
677
12344
a, 2008  2008 M2009
b,12345  12345 M
HD:
2008100  200899  200899  2008  1  200899.2009M2009
a, Ta có:
12345678  12345677  12345677  12345  1  12345677.12344M
12344
b, Ta có:
Bài 39: Cho n là số tự nhiên, CMR : A=17n+111...1 (n chữ số 1) M9
HD:
Ta có : A  18n  n  111....1
Số 1111....1 có tổng các chữ số là 1+1+1+1+....+1 có n số 1 nên bằng n
Khi đó A  18n  n  1111....1 có 18nM9 nên cần 1111....1-n chia hết cho 9
mà 1111.....1 - n có tổng các chữ số là 0 nên chia hết cho 9
Vậy A chia hết cho 9


Bài 40: Tìm chữ số tận cùng của tổng sau: S  2  3  4  ....2004
HD:
Ta thấy mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1
Nên tổng S có chữ số tận cùng là: 2  3  4  ...  2004  9009  S có chữ số tận cùng là 9
3
7
11
8011
Bài 41: Tìm chữ số tận cùng của: T  2  3  4  ....  2004
HD:
Ta thấy mọi lũy thừa trong T đều có dạng chia 4 dư 3,
1

5

9

8009

25