CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC LỚP 7
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (267.05 KB, 48 trang )
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC (LỚP 7)
Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA
Phương pháp:
So sánh các số hạng trong tổng với các số hạng trong tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn
chứng minh lớn hơn 1 giá trị k nào đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, và ngược lại
A=
1 1 1
1
+ 2 + 2 + ... +
<1
2
2 3 4
1002
Bài 1: Chứng minh rằng:
HD:
Ta thấy bài toán có dạng tổng các lũy thừa bậc hai, nên ta sẽ phân tích tổng A như sau:
1
1
1
1
1
A=
+
+
+ ... +
+
2.2 3.3 4.4
99.99 100.100
Đến đây ta sẽ so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, vì yêu cầu bài toán là chứng minh nhỏ hơn.
1 1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
= − ÷+ − ÷+ − ÷+ ... + − ÷+ −
A<
+
+
+ ... +
+
÷
98 99 99 100
1.2 2.3 3.4
98.99 99.100 1 2 2 3 3 4
1 1
A< −
<1
1 100
1 1 1
1
1
1
< 2 + 2 + 2 + ... +
<
2
6 5 6 7
100
4
Bài 2: Chứng minh rằng:
HD:
Ở bài toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ nhất ta cần chứng minh:
1 1
1
1
1
1
A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 +
A>
2
5 6 7
99 100
6
và Chứng minh
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A=
+
+
+ ... +
+
>
+
+
+ ... +
+
5.5 6.6 7.7
99.99 100.100 5.6 6.7 7.8
99.100 100.101
Ta có:
1 1
96
96
1
A> −
=
5 101 505
505
6
đến đây, ta sẽ so sánh
với
như sau:
96
96 1
1
>
=
505 576 6
6
Ta có:
bằng cách ta nhân cả tử và mẫu của phân số
với 96 để được hai phân số
96
96 1
A>
>
=
505 567 6
cùng tử rồi so sánh khi đó ta có:
(1)
1 1 1
1
1
1
A = 2 + 2 + 2 + ... + 2 +
<
2
5 6 7
99 100
4
Chiều thứ hai, ta cần chứng minh:
Ta làm tương tự như sau :
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A=
+
+
+ ... +
+
<
+
+
+ ... +
+
5.5 6.6 7.7
99.99 100.100 4.5 5.6 6.7
98.99 99.100
A<
=>
1
1
1
−
<
4 100 4
(2)
Page 1
1
1
< A<
6
4
Từ (1) và (2) ta có :
1 1 1
1
3
+ 2 + 2 + ... +
<
2
2
2 3 4
100
4
Bài 3: Chứng minh rằng:
HD :
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1
A= +
+
+ ... +
+
< +
+
+
+ ... +
4 3.3 4.4
99.99 100.100 4 2.3 3.4 4.5
99.100
Ta biến đổi:
1 1
1
3 1
3
A< + −
= −
<
4 2 100 4 100 4
Page 2
A=
1
1 1
1
1
+ 2 + 2 + ... +
<
2
2
2
4 6
100
2
Bài 4: Chứng minh rằng:
HD :
Nhận thấy bài này là tổng cùng lũy thừa nhưng cơ số lại chẵn, nên ta sẽ đưa về tổng lũy thừa hai liên
tiếp như sau :
1
1 1 1
1 1
1
1
1
1
A = 2 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 ÷ < 1 +
+
+
+ ... +
÷
2 2 3 4
50 4 1.2 2.3 3.4
49.50
A<
=>
1
1 1
1
1
<
1 + 1 − ÷ = −
4
50 2 200 2
A=
1 2 3
100
+ 2 + 3 + ... + 100 < 2
2 2 2
2
Bài 5: Chứng minh rằng:
HD :
Nhận thấy bài này có dạng tổng lũy thừa cùng cơ số, nên ta sẽ thực hiện phép tính tổng A
Việc tính chính xác được tổng A sẽ giảm bớt sự sai số, tuy nhiên không phải tổng nào cũng có thể
tính được,
2 3 4
99 100
2 A = 1 + + 2 + 3 + ... + 98 + 99
2 2
2
2
2
Ta tính tổng A như sau:
Sau đó lấy 2A trừ A theo vế và nhóm các phân số có cùng mẫu ta được :
3 1 1
1 100
1
1 1
1
A = + 2 + 3 + ... + 99 − 100
B = 2 + 3 + 4 + ... + 99
2 2
2
2
2
2
2 2
2
, đặt
và tính tổng B theo cách như trên ta
1 1
3 1 1 100
B = − 99
A = + − 99 − 100 < 2
2 2
2 2 2
2
được :
, thay vào A ta được :
1 2 3
100 3
A = + 2 + 3 + ... + 100 <
3 3 3
3
4
Bài 6: Chứng minh rằng:
HD :
1 1 1
1 100
2 A = 1 + + 2 + 3 + ... + 99 − 100
3 3 3
9
3
Tính tượng tự như bài 5, ta có:
,
1 1 1
1
B = + 2 + 3 + ... + 99
3 3 3
3
Đặt
, và tính B rồi thay vào tổng A ta được
1
1
1
1
100
1 3
3
B= −
=> 2 A = 1 + − 99 − 100 => 2 A < 1 + = => A <
99
2 2.3
2 2.3
3
2 2
4
A=
1 1 1
1
+ 2 + 2 + ... + 2 < 1
2
2 3 4
n
Bài 7: Chứng minh rằng:
HD :
1
1
1
1
1
1
1
1
1
A=
+
+
+ .... +
<
+
+
+ ... +
= 1− < 1
2.2 3.3 4.4
n.n 1.2 2.3 3.4
n
( n − 1) n
Ta có :
1 1 1
1
1
A = 2 + 2 + 2 + ... +
<
2
4 6 8
(2n)
4
Bài 8: Chứng minh rằng:
HD :
Page 3
A=
1 1
1 1 1 1
1 1 1
1
1
+ 2 + 2 + ... + 2 ÷ <
+
+ ... +
= 1 − ÷ = 1 − 1 < 1
÷
2 2
÷
2 2 3 4
n 4 1.2 2.3
n
−
1
n
(
) 4 n 4 4n 4
A=
1 1 1
1
+ 2 + 2 + ... +
2
2 4 6
(2n) 2
Ta có :
1
2
Bài 9: So sánh
với
HD :
1
1
1
1 1
1 1 1 1
A = 2 1 + 2 + 3 + ... + 2 ÷ < 1 + 1 − ÷ = −
<
2 2
2
n 4
n 2 4n 2
Page 4
A=
1 1 1 1
1
+ 2 + 2 + 2 + ... + 2
2
1 2 3 4
n
Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên n>2 thì
không là số tự nhiên
HD :
1
1
1
A < 1+
+
+ ... +
<2
1.2 2.3
( n − 1) n
Ta có :
mặt khác ta thấy A>1 vậy ta có : 1
1
2004
A = 2 + 2 + 2 + ... +
<
2
2 3 4
2005
2005
Bài 11: Chứng minh rằng:
HD :
1
1
1
1
1
2004
A<
+
+
+ ... +
= 1−
=
1.2 2.3 3.4
2004.2005
2005 2005
A=
Bài 12: Chứng minh rằng:
HD :
100
A >1>
101
1 1 1
1
100
+ 2 + 2 + ... +
>
2
2
1 2 3
100
101
1 1 2 3
2016 1
< + 2 + 3 + ... + 2016 <
4 5 5 5
5
3
Bài 13: Chứng minh rằng:
HD :
1 2016
1 1
4 A = 1 + + 2 + ... + 2005 ÷− 2016
5
5 5
5
4B = 1 −
1
52015
, Đặt tổng trong ngoặc bằng B rồi tính B ta có :
1
1
=> B = −
4 4.52015
, thay vào A ta được :
1
1
2016 5
5
5 1
4 A = 1 + − 2015 − 2016 < => A <
>
=
4 5
5
4
16 15 3
1 2
2016 1 2
7
7 1
A = + 2 + ... + 2016 > +
=
>
=
5 5
5
5 25 25 28 4
(1)
Mặt khác :
(2)
Từ (1) và (2) ta được ĐPCM
1 2 3 4
99 100 3
A = − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 <
3 3 3 3
3
3
16
Bài 14: Chứng minh rằng:
HD :
1 1 1
1
100
4 A = (1 − + 2 − 3 + .... − 99 ) − 100
3 3 3
3
3
Tính tổng A , ta được :
, Đặt tổng trong ngoặc bằng B
3
1
3
1
100 3
3
B= −
=> 4 A = − 99 − 100 < => A <
4 4.399
4 3 .4 3
4
16
A=
Bài 15: Chứng minh rằng:
HD :
3
5
7
19
+ 2 2 + 2 2 + ... + 2 2 < 1
2
1 .2
2 .3 3 .4
9 .10
2
Page 5
Ta có :
A = 1−
22 − 12 32 − 22
102 − 92 1 1 1 1
1
1
A = 2 2 + 2 2 + ... + 2 2 = 2 − 2 ÷+ 2 − 2 ÷+ ... + 2 − 2 ÷
1 .2
2 .3
9 .10
1 2 2 3
9 10
1
<1
10 2
3
5
7
4019
+ 2 2 + 2 2 + ... +
<1
2
1 .2
2 .3 3 .4
2009 2.2010 2
2
Bài 16: CMR :
HD :
A=
22 − 12 32 − 22 42 − 32
20102 − 2009 2
+
+
+
...
+
12.22
2 2.32
32.4 2
20092.2010 2
Ta có :
1 1
1 1
1
1
1
A = 2 − 2 + 2 − 2 + ... +
−
= 1−
<1
2
2
1 2
2 3
2009 2010
2010 2
Page 6
S=
1 1
1 1
1
1
1
− 4 + 6 − 8 + ... + 2002 − 2004 <
2
2
2
2 2
2
2
5
Bài 17: Chứng minh rằng:
HD :
1
1 1 1
1
1
1
S = 4 − 6 + 8 − 10 + ... + 2004 − 2006
2
2
2 2 2 2
2
2
B=
S+
=>
S 5S 1
1
1
1
=
= 2 − 2006 < => S <
4
4 2
2
4
5
1 1 1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 2005 <
3 3 3
3
2
Bài 18: Chứng minh rằng:
HD :
1
1 1 1
1
1
2B 1
1
1
B = 2 + 3 + 4 + ... + 2006 => B − B =
= − 2006 <
3
3 3 3
3
3
3
3 3
3
M=
B<
=>
1
2
1 2 3
2015
+ 2 + 3 + ... + 2015
3 3 3
3
Bài 19: Chứng minh rằng:
có giá trị không nguyên
HD :
3
M => M <
4
Tính
nên M < 1 và M > 0 vậy M không có giá trị nguyên
2 2 2
2
1003
A = 2 + 2 + 2 + ... +
<
2
3 5 7
2007
2008
: Chứng minh rằng:
Bài 20
HD :
2
2
2
2
1
1
1003
A<
+
+
+ .. +
= −
=
2.4 4.6 6.8
2006.2008 2 2008 2008
S=
3
3
3
+
+ ... +
<1
1.4 4.7
n(n + 3)
Bài 21: Chứng minh rằng:
HD :
1
1
1 1 1
1
S = 1 − ÷+ − ÷+ ... + −
<1
÷= 1 −
n+3
4 4 7
n n+3
A
1 1 1
1
1
B = 1 − 2 − 2 − 2 − ... −
>
2
2 3 4
2004
2004
Bài 22: Chứng minh rằng:
HD:
1
1 1 1
B = 1 − 2 + 2 + 2 + ... +
÷
2004 2
2 3 4
, Đặt tổng trong ngặc bằng B ta có:
1
1
1
1
1
1
A<
+
+
+ ... +
<1−
=> − A > −1 +
1.2 2.3 3.4
2003.2004
2004
2004
B > 1 − A = 1−1 +
1
1
=> B >
2004
2004
Bài 23: Chứng minh rằng:
HD:
1 1
1
1
1
− 4 + 6 − ... + 2002 − 2004 < 0, 2
2
2 2 2
2
2
Page 7
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
A = 4 − 6 + 8 − ... + 2004 − 2006 => A + A = 2 − 2006 <
4
2 2
2
2
2
4
2 2
4
Ta có:
5A 1
1
< => A <
4
4
5
=0.2
A=
1 1
1
+ 2 + ... + 2
2
3 4
50
1
4
< A<
4
9
Bài 24: Chứng minh rằng:
thì
HD:
1
1
1
1
1
1
1
1 1
48
48 1
A=
+
+
+ ... +
>
+
+ ... +
= − =
>
=
3.3 4.4 5.5
50.50 3.4 4.5
50.51 3 51 153 192 4
Ta có :
Mặt khác :
1
1
1
1
1 1
1
1
1 1 1 191 200 4
A=
+
+
+ ... +
< +
+
+ ... +
= + −
=
<
=
3.3 4.4 5.5
50.50 9 3.4 4.5
49.50 9 3 50 450 450 9
Vậy
1
4
< A<
4
9
A=
Bài 25: Cho
HD:
1
1
1
+
+ ... +
1.2 3.4
99.100
A=
CMR:
TH1:
Bài 26: Cho
HD:
1
1
1
+
+ ... +
51 52
100
, CMR:
7
5
< A<
12
6
1
1 1
1
1
1
A = + + ... + ÷+ +
+ ... +
÷
75 76 77
100
51 52
=>
1
1
1 1 7
A > .25 +
.25 = + =
75
100
3 4 12
1 1
1
A = 2 + 2 + ... + 2
1 2
50
A<
TH2:
1
1
1 1 5
.25 + .25 = + =
50
75
2 3 6
, CMR: A < 2
1 1
1
1
1
1
1
1
1
A= +
+
+ ... +
< 1+
+
+
+ ... +
= 2−
<2
1 2.2 3.3
50.50
1.2 2.3 3.4
49.50
50
Ta có:
Bài 27: CMR:
1 1 1 1
1
1 1
1 2 3 4
99 100 3
− + − +
−
<
− 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 <
2 4 8 16 32 64 3
3 3 3 3
3
3
16
a,
b,
HD:
1 1 1 1
1
1
1 1 1 1
1
A= − + − +
−
=> 2 A = 1 − + − + −
2 4 8 16 32 64
2 4 8 16 32
a, Ta có:
1
1
2 A + A = 3A = 1 −
< 1 => A <
64
3
Nên
1 1 1 1
1 100
3 A + A = 4 A = 1 − + 2 − 3 + 4 − ... − 99 − 100
3 3 3 3
3
3
b, Ta có:
Page 8
Đặt
1 1 1 1
1
3
1
B = 1 − + 2 − 3 + 4 − ... − 99 => B = − 99
3 3 3 3
3
4 3.3
4A =
, Thay vào A ta được:
3
1
100 3
3
− 99 − 100 < => A <
4 3 .4 3
4
16
1
1
1
1
1
− 4 + ... + 98 − 100 <
2
7
7
7
7
50
Bài 28: CMR :
HD:
A=
Đặt
1 1
1
1
− 4 + ... + 98 − 100
2
7 7
7
7
A=
Bài 29: Cho
Bài 30: CMR :
Nhân 49 A =>
1 1 1 1
1
1
− 4 + 6 − 8 + ... + 98 − 100
2
7 7 7 7
7
7
A<
, CMR:
1
1
< 1 => A <
100
7
50
1
50
3
5
7
4019
+ 2 2 + 2 2 + ... +
<1
2 2
1 .2 2 .3 3 .4
20092.20102
A=
Bài 31: CMR:
1<
Bài 32: CMR:
HD:
50 A = 1 −
1 1 1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 99 <
5 5 5
5
4
2012
2012
2012
2012
+
+
+ ... +
<2
2
2
2
2011 + 1 2011 + 2 2011 + 3
20112 + 2011
2012
2012
<
2
2011 + 1 20112
2012
2012
<
2
2011 + 2 20112
Ta có:
,
, tương tự như vậy :
2012 2012
2012 2012.2011 2012
A<
+
+ ... +
=
=
< 2 => A < 2
2
2
2011
2011 2011
20112
20112
2012
2012
>
2
2011 + 1 20112 + 2011
2012
2012
=
2
2011 + 2 20112 + 2011
Mặt khác:
,
,
Tương tự như vậy:
2012
2012
2012
2012.2011
2012.2011
A>
+
+ ... +
=
=
=1
2
2
2
2
2011 + 2011 2011 + 2011
2011 + 2011 2011 + 2011 2011( 2011+ 1)
1
1
1
1
+
+
+ ... +
> 10
1
2
3
100
Bài 33: CMR: CMR :
HD:
1
1 1
1
1
1
> ;
> ;...;
=
1 10 2 10
100 10
Ta có :
vậy
1
1
1
1
1 1
1 100
+
+
+ ... +
> + + ... + =
= 10
10 10
1
2
3
100 10 10
E=
Bài 34: CMR:
3 8 15
2499
+ + + ... +
4 9 16
2500
> 48
Page 9
HD:
1 1
1
1
E = 1 − ÷ + 1 − ÷ + 1 − ÷+ ... + 1 −
÷
4
9 16
2500
1
1
1
1
= 49 − 2 + 2 + 2 + ... + 2 ÷ > 48
3 4
50
2
A=
Bài 35: Cho
HD:
1
1
1
+
+ ... +
1.2 3.4
99.100
A=
CMR:
A>
TH1:
1 1
1
+ + ... +
51 52
100
, CMR:
=>
7
5
< A<
12
6
1
1 1
1
1
1
A = + + ... + ÷+ +
+ ... +
÷
75 76 77
100
51 52
1
1
1 1 7
.25 +
.25 = + =
75
100
3 4 12
1+
A<
TH2:
1
1
1 1 5
.25 + .25 = + =
50
75
2 3 6
1
1
1
+
+ ... +
> 45
2
3
2025
Bài 36: CMR :
1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ... +
1
2500
< 100
Bài 37: CMR:
HD:
1
n
=
2
n+ n
<
2
n + n− 1
(
=2
)
n − n − 1 ,( n ≥ 1)
Xét số hạng tổng quát:
1
1
1
1+
+
+ .... +
< 2 n − n − 1 + ... + 2 − 1 + 1 − 0
2
3
n
Do đó:
1
1
1
A = 1+
+
+ ... +
< 2. 2500 = 100
2
3
2500
Với n=2500 ta có:
1
1
1
1
1
A=
+
+
+ ... +
<
1.2.3 2.3.4 3.4.5
18.19.20 4
Bài 38: Chứng minh rằng:
HD:
1
1
1
1
1
2A =
−
<
÷ => C = −
4 19.40 4
1.2 19.20
(
D=
)
36
36
36
36
+
+
+ ... +
<3
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29
Bài 39: Chứng minh rằng:
HD:
4
4
4
1
1
4
1
D = 9
+
+
+ ... +
−
<3
÷ = 9
÷= 3 −
25.27.29
3.29
1.3.5 3.5.7 5.7.9
1.3 27.29
Bài 40: CMR:
1 1 1
1
3
+ 2 + 2 + ... +
<
2
2
2 3 4
1990 4
Page 10
: CMR:
99 1 1 1
1
1
99
< 2 + 2 + 2 + ... + 2 +
<
2
202 2 3 4
99 100 100
Bài 41
Bài 42: Chứng minh rằng: A =
1 1 1
1
1
+ 2 + 3 + ... + 99 <
3 3
3
3
2
HD:
Dùng công thức tính tổng theo quy luật S = 1 + a + a2 + a3 + ….+ an để tính tổng rồi so sánh.
Ta có: 3A =
1 1 1
1
1 + + 2 + 3 + ... + 98
3 3 3
3
Nên 3A - A = 1 -
Hay 2A = 1 -
Vậy A <
1
399
1
399
⇒ A=
1
1
1
−
<
99
2 2 .3
2
.
1
2
1 2
3
4
99 100 3
− 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 <
3 3
16
3
3
3
3
Bài 43: Chứng minh rằng:
HD:
1 2
3
4
99 100
− 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100
3 3
3
3
3
3
Đặt A =
2 3 4
99 100
+ 2 − 3 + ... + 98 − 99
3 3 3
3
3
⇒3A= 1 1 1
1
1
1 100
+ 2 − 3 + ... + 98 − 99 − 100
3 3
3
3
3
3
⇒ 4A = 3A + A = 11 1
1
1
1
+ 2 − 3 + ... + 98 − 99
3 3
3
3
3
⇒ 4A < 1(1)
1 1
1
1
1
+ 2 − 3 + ... + 98 − 99
3 3
3
3
3
Đặt B = 11 1
1
1
− 2 + ... + 97 − 98
3 3
3
3
⇒ 3B = 2+
1
3
99
4
3
4B = B + 3B = 3 <3⇒B<
(2)
3
3
4
16
Từ (1) và (2) ⇒ 4A < B <
⇒A<
Page 11
Bài 44: Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 499,
HD:
B = 4100. Chứng minh rằng A <
B
3
Ta có: 4A = 4 + 42 + 43 + .... + 4100
; B = 4100
100
=> 4A – A = 4 - 1 < B
B
3
=> 3A < B => A <
Bài 45: Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201272
B = 201273 - 1.
So sánh A và B.
HD:
Ta có 2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201273
Lấy 2012A – A = 201273 – 1
Vậy A = (201273 – 1) : 2011 < B = 201273 - 1.
1 2 3 4 5
99 16
− 2 + 3 − 4 + 5 − .... + 99 <
3 3 3 3 3
3
9
Bài 46: Chứng minh
HD:
1 3 5
99
2 4
98
− 2 − 4 − .... − 98
+ 3 + 5 + .... + 99
3 3 3
3
3 3
3
Đặt A =
;B=
1
1 99
1 1
5
99
− + 2 3 + 5 + ... + 97 ÷− 99
3 + 1 + 3 + .... + 97
3
3 3
3 3
3
3
2
2
3 A=
=> 3 A – A = 8A = 4
1 1
1
1 1
+ 5 + ... + 97
−
3
3 3
3
3 397
Đặt C =
=> 32C – C =
1
1
<
3
24
=> 8C < => C
1
49
24
12
=> 8A < 4 + 2.
=
Làm tương tự với biểu thức B, ta có 8B < 4
1 16
16
<
=> A − B <
12 9
9
=> 8A – 8B =
1
1
1
1
1
1
− 4
2
4n−2
4n
98
100
3
3
3
3
3
3
Bài 47: Chứng minh rằng: A =
+ ... +
+ ... +
< 0,1
HD:
1
1
1
1
1
1
− 4
2
4n−2
4n
98
100
3
3
3
3
3
3
A=
+ ... +
+ ... +
1
1
1
1
1
2
4 n −4
4 n−2
96
3
3
3
3
398
=> 9A + A = 1 + ... +
+ ... +
1
3100
=> 9A + A = 1 < 1 => 10A < 1 => A < 0,1
Page 12
2
21
3
22
4
23
.......... ....
2016
2 2015
2017
2 2016
Bài 48: Cho tổng T =
+
+ +
+
+
. So sánh T với 3
HD:
2016 2017
2
3
4
1
2
3
2
2
2 .......... .... 2 2015 2 2016
T=
+
+ +
+
+
3 4
2016 2017
21 2 2 .......... .... 2 2014 2 2015
2T = 2 +
+
+
+
+
3 2 4 3
2016 2015 2017 2016 2017
1
1
2
2
2 2 2 2
2 2014 2 2014 2 2015 2 2015 2 2016
2T –T= 2 +
+ +…….+
+
1 1
1
2017
21 2 2
2 2015 2 2016
T= 2+ +
+………+
1
1 1
1
2
2015
2 2
2
Đặt N =
+
+………+
1 1
1
1
2
2014
2 2
2
Ta có 2N = 1+
+
+………+
1
2015
2
2N - N= 1Vậy N < 1
2017
2017
2016
2
2 2016
Nên T < 2+1=3Vậy T < 3
1 2 3
n
2007
+ 2 + 3 + ... + n + ... + 2007
2 2 2
2
2
∈
Bài 49: So sánh tổng S =
với 2. ( n N*)
HD:
1 2 3
n
2007
+ 2 + 3 + ... + n + ... + 2007
2 2
2
2
2
∈
(1)
So sánh tổng S =
với 2. ( n N*):
1 2 3
n
2006 2007
+ + 2 + ... + n −1 + ... + 2005 + 2006
1 2 2
2
2
2
Ta có 2S=
(2) .
Trừ từng vế của (2) cho (1) được
1 1
1 2007
2007
2
2006
2007
2 2
2
2
22007
S=1+ + +……….+
=1+B(3),
1 1
1
2 22
22006
với B= + +……….+
.
Ta lại có
1 1
1
1
2
2005
2006
⇒
2 2
2
2
2B= 1+ + +……….+
B=1.
Page 13
1
2
2006
2007
22007
Thay vào (3) ta có: S=2<2
98
4 10 28
3 +1
+ +
+ ... + 98
3 9 27
3
Bài 50: Cho B =
. Chứng minh B < 100
HD:
4 10 28
398 + 1 4 10 28
398 + 1
+ +
+ ... + 98 = + 2 + 3 + ... + 98
3 9 27
3
3 3
3
3
B=
4
10
28
398 + 1
4 10 28
398 + 1
− 1 + 2 − 1 + 3 − 1 + ... + 98 − 1 = + +
+ ... + 98
3
3
3
3
3 9 27
3
=> B – 98 =
1 1 1
1
= + 2 + 3 + ... + 98
3 3 3
3
(Dạng tổng quen thuộc)
1 1 1
1
+ + 2 + 3 + ... + 97
3 3 3
3
=> 3(B – 98) = 1
1
98
=> 3(B – 98) – (B – 98) = 1 97
97
97
=> B − 98 =
=> B = 98 +
< 100
98
196
196
=> 2(B – 98) =
2
22
23
2 n +1
2 2006
S=
+
+
+ ... +
+ ... +
2
n
2005
2005 + 1 2005 2 + 1 2005 2 + 1
2005 2 + 1
2005 2 + 1
Bài 51: Cho
1
1002
So sánh S với
HD:
m
m
mk + m − mk + m
2m
m
m
2m
−
=
=
⇒
=
−
k −1 k +1
(k − 1)(k + 1)
k2 −1 k + 1 k −1 k2 −1
Áp dụng vào bài toán với m ∈ {2; 2 , …., 2 } và
k ∈ { 2005, 2005 , …
20052
2006
} ta có:
2
2
22
=
−
2005 + 1 2005 − 1 20052 − 1
22
20052 + 1
=
22
20052 − 1
−
23
2
20052 − 1
Tương tự với các số hạng tiếp theo, sau đó thực hiện tính tổng
5 5 5
5
5
+ 2 + 3 + ... + 99
B<
4 4
4
4
3
Bài 52: Cho B =
. Chứng minh
HD:
Page 14
B=
5 5 5
5
+ 2 + 3 + ... + 99
4 4
4
4
5+
4B =
5 5 5
5
+ 2 + 3 ... + 98
4 4 4
4
5−
5
499
=> 4B – B = 3B =
5
5
5
− 99 <
3 3.4
3
=> B =
5 8 11
302
5
1
G = + 2 + 3 + ... + 100
2
3
9
2
Bài 53: Cho
. Chứng minh
HD:
5 8 11
296 299 302
G = + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
3 3 3
3
3
3
8 11 14
299 302
3G = 5 + + 2 + 3 + ... + 98 + 99
3 3 3
3
3
8 11 14
299 302 5 8 11
296 299 302
5 + + 2 + 3 + ... + 98 + 99 ÷− + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 ÷
3 3 3
3
3 3 3 3
3
3
3
=> 3G – G = 2G =
8 5 11 8 14 11
299 296 302 299 302
= 5 + − ÷+ 2 − 2 ÷+ 3 − 3 ÷+ ... + 98 − 98 ÷+ 99 − 99 ÷− 100
3 3
3 3
3 3 3 3 3 3
3
1 1
1
1 302
= 5 + 1 + + 2 + .... + 97 + 98 − 100
3 3
3
3
3
Đặt B =
1 1
1
1
+ 2 + .... + 97 + 98
3 3
3
3
1
398
1
1
1 − 98 ÷
2 3
=> 3B – B = 2B = 1 => B =
1
1 302
1 1 302
1 305
= 5 + 1 + 1 − 98 ÷− 100 = 6 + − 99 − 100 = 6 + − 100
2 3 3
2 3
3
2 3
=> 2G
1 305
3 + − 100
4 2.3
=> G =
1
1
1
3+ < 3+ = 3
4
2
2
Ta có G <
5
1 23 305
25 305
25 1
5
3 + − − 100 =
− 100 >
− >0
2
2
9
4 9 2.3
36 2.3
36 2
9
Xét G =
=> G >
1
1
1
1 1
A = 3 + 3 + 3 + ... + 3 <
4
2
3
4
n
∈
Bài 53: Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có:
HD:
Page 15
1
1
<
3
n
(n − 1).n.(n + 1)
Dùng đánh giá:
1
1
<
3
2 1.2.3
1
1
<
3
3 2.3.4
1
1
<
3
4 3.4.5
.....
1
1
<
3
n
(n − 1).n.(n + 1)
1
1
1
1
+
+
+ ..... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
(n − 1).n.(n + 1)
=> A <
1
1
1
1
1 2
2
2
2
+
+
+ ..... +
=
+
+
+ ..... +
÷
1.2.3 2.3.4 3.4.5
(n − 1).n.(n + 1) 2 1.2.3 2.3.4 3.4.5
(n − 1).n.(n + 1)
1 1
1
1
1
1
1
1
1
=
−
+
−
+
−
+ ..... +
−
÷
2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5
(n − 1).n. n.(n + 1)
1 1
1 1
= . −
÷<
2 2 n(n + 1) 4
Vậy A <
1
4
1 1 1
1
+ 2 + 2 + ... +
2
2 3 4
100 2
3
4
Bài 54: Cho E =
. Chứng minh E <
HD:
1 1 1
1
1
1
1
1
1
99
+ 2 + 2 + ... +
<
+
+
+ .... +
= 1−
=
2
2
2 3 4
100 1.2 2.3 3.4
99.100
100 100
E=
.
3 75
=
4 100
Mà
3
4
Vậy E <
2
2
2
2
2006
A = 2 + 2 + 2 + ... +
A<
2
2007
3
5
7
2007
Bài 55: Cho
. Chứng minh:
HD:
1
1
<
2
(2a + 1)
(2a − 1)(2a + 1)
Áp dụng
2 2 2
2
2
2
1
2
1
2006
A = 2 + 2 + 2 + ... +
<
+
+
+ .... +
= 1−
=
2
3 5 7
2007 1.3 3.5 5.7
2005.2007
2007 2007
Page 16
A=
Bài 56: Cho
HD:
A=
Xét
2
2
2
2
+ 2 + 2 + ... +
2
3
5
7
2007 2
2 2 2
2
+ 2 + 2 + ... +
2
3 5 7
2007 2
A>
. Chứng minh:
B=
và
1003
2008
2 2 2
2
+ 2 + 2 + ... +
2
4 6 8
20082
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
A + B = 2 2 + 2 + 2 + ... +
+
< 2.
+
+
+ ... +
+
÷
2
2 ÷
2007 2008
2006.2007 2007.2008
3 4 5
2.3 3.4 4.5
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
= − + − + − + ... +
−
+
−
2.3 3.4 4.5
2006.2007 2007.2008 2 3 3 4 4 5
2006 2007 2007 2008
1
1
1
1
1
1
1
1003
+
+
+ ... +
+
= −
=
2.3 3.4 4.5
2006.2007 2007.2008 2 2008 2008
=> A + B > 2.
1003
2008
2.
1003
2008
A>
1003
2008
Mà A < B => A + A > A + B >
=>
1
1
1
1
S = 2 + 2 + ... +
S<
2
8
5
9
409
Bài 57: Cho
. Chứng minh:
HD:
1
1
1
1 1
1
S = 2 + 2 + ... +
A = 2 + 2 + ... +
>S
2
3 7
407 2
5
9
409
và
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... +
+
>
+
+
+ ... +
+
2
2
2
3 5 7
407
409
2.4 4.6 6.8
406.408 408.410
S+A=
1
1
1
1
1
11
1
+
+
+ ... +
+
= −
÷
2.4 4.6 6.8
406.408 408.410 2 2 410
=> S + A <
11
1
−
÷
2 2 410
11
1
−
÷
2 2 410
Mà S < A => 2S < S + A <
11
1 1
1
1
S< −
<
÷= −
4 2 410 8 1640 8
=>
1
1
1
1
334
B = 2 + 2 + 2 + ... +
B<
2
2007
4
6
8
2006
Bài 58: Cho
. Chứng minh:
HD:
2 2 2
2
B = 2 + 2 + 2 + ... +
4 6 8
20062
Xét 2
Page 17
1
1
<
2
a
(a − 1).(a + 1)
Áp dụng
2 2 2
2
2
2
2
2
2B = 2 + 2 + 2 + ... +
<
+
+
+ ... +
2
4 6 8
2006
3.5 5.7 7.8
2005.2007
2
2
2
2
1 1 1 1 1 1
1
1
+
+
+ ... +
= − + − + − + ... +
−
3.5 5.7 7.8
2005.2007 3 5 5 7 7 8
2005 2007
2
2
2
2
1
1
668
+
+
+ ... +
= −
=
3.5 5.7 7.8
2005.2007 3 2007 2007
=> 2B <
668
2007
B<
334
2007
=>
9
9
9
9
A = 2 + 2 + 2 + ... +
5
11
17
3052
A<
3
4
Bài 59: Cho
. Chứng minh:
HD:
9
9
9
9
9
9
9
9
A = 2 + 2 + 2 + ... +
<
+
+
+ ... +
2
5 11 17
305
2.8 8.14 14.20
302.308
9
9
9
9
91
1 3
3
3
+
+
+ ... +
= −
<
÷= −
2.8 8.14 14.20
302.308 6 2 308 4 616 4
=> A <
3
4
B=
8 24 48
200.202
+
+
+ ... +
9 25 49
2012
B < 99, 75
Bài 60: Cho
. Chứng minh:
HD:
8 24 48
200.202
8
24 48
200.202
B= +
+
+ ... +
<
+
+
+ .... +
= 99 < 99, 75
2
9 25 49
201
2.4 4.6 6.8
200.202
Dạng 2: TỔNG PHÂN SỐ TỰ NHIÊN
Phương pháp:
Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp 6 -7 ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu
cuối và so sánh giữa các nhóm với nhau, để tạo ra các ngoặc có cùng tử, rồi so sánh bình thường
1 1 1 1
1
1
1 1
+ + +
+
+
+
<
4 16 36 64 100 144 196 2
Bài 1: CMR:
HD:
1 1 1
1 1
= 2 + 2 + 2 + ... + 2 <
2 4 6
14 2
Bài 2: CMR:
HD:
1 1 1 1 1 1
1 1
+ +
+ + + +
<
5 13 25 41 61 85 113 2
Page 18
<
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + +
+
+
= + +
=
5 12 12 12 60 60 60 5 4 20 2
11 1 1 1
1 1 3
< +
+ + ... + +
<
15 21 22 23
59 60 2
Bài 3: CMR:
HD:
1 1
1
<
+
+ ... +
20 20
20
Bài 4: CMR:
HD:
>
hoặc
1 1
1
+
+ ... +
60 60
60
1 1 1
1 1 7
+
+ + ... + +
>
41 42 43
79 80 12
1 1 1
1 1 1 1
1
VT = +
+
+ ... + ÷+ +
+
+ ... + ÷
60 61 62 63
80
41 42 43
Nhóm thành 2 ngoặc: Khi đó ta có:
1 1
1 1 1
1 20 20 1 1 7
=> VT > +
+ ... + ÷+ +
+ ... + ÷ =
+
= + =
60 80 80
80 60 80 3 4 12
60 60
A=
2010 2011 2012
+
+
2011 2012 2010
B=
1 1 1
1
+ + + ... +
3 4 5
17
Bài 5: So sánh A và B biết :
và
HD:
1
1
1
2
1 1
1
A = 1−
+ 1−
+ 1+
= 3+
−
+
−
÷
÷
÷
÷
÷> 3
2011 2012 2010
2010 2011 2010 2012
1
1 1
1 1
1 5 5 5
B = + ... + ÷+ + ... + ÷+ + ... + ÷ < + +
7 8
12 13
17 3 8 10
3
M=
Bài 6: Cho
HD:
Ta có:
, CMR: M<2
1 1 1 1 1 1
+ + + + < .5 = 1
5 6 7 8 9 5
S=
Bài 7: Cho
HD:
1 1 1
1
+ + + ... +
5 6 7
17
Tổng B có 15 số
3 3 3 3 3
+ + + +
10 11 12 13 14
và
1 1
1 1
+ + ... + < .8 = 1
10 11
17 8
, CMR:
Tổng M có 13 số
1< S < 2
S=
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15
+ + + + > + + + + = = 1 => S > 1
10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15
S=
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15
+ + + + < + + + + =
= 1,5< 2 => S < 2
10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10
Page 19
S=
5 5 5
5
+ +
+ ... +
20 21 22
49
Bài 8: Cho
, CMR: 3
Tổng trên có 30 số hạng:
5 5
5
5
S>
+
+ ... +
= 30. = 3 => S > 3
50 50
50
50
Ta có:
5 5 5
5
5
S<
+
+
+ ... +
= 30. => S < 8
20 20 20
20
20
Ngược lại:
1
1
1
1
5
3
A=
+
+
+ .. +
< A<
101 102 103
200
8
4
Bài 9: Chứng minh rằng:
thì
HD:
Ta thấy tổng A có 100 số, như vậy ta sẽ nhóm thành 50 ngoặc, mỗi ngoặc sẽ có hai phân số,
gốm 1 phân số đứng đầu và 1 phân số đứng cuối, cứ như vậy dồn sâu vào trong tổng
1 1
1
1
301
301
301
1
1
A=
+
+
+
+
+ ... +
÷+
÷+ ... +
÷=
150.151
101 200 102 199
150 151 101.200 102.199
( 50 ngoặc)
1
1
1
A = 301
+
+ ... +
÷
150.151
101.200 102.199
, lúc này ta sẽ so sánh tất cả với chung 1 phân số đầu
hoặc cuối,
A>
TH1: Ta chứng minh
5
8
thì ta có:
1
1
50
301 300 300 5
1
A > 301.
+
+ ... +
=
>
>
=
÷ = 301.
150.151
150.151 453 453 480 8
150.151 150.151
A<
TH2: Ta chứng minh
3
4
(1)
ta có:
1
1
50
301 303 3
1
A < 301.
+
+ ... +
=
<
=
÷ = 301.
101.200
101.200 404 404 4
101.200 101.200
Từ (1) và (2) => ĐPCM
7
1
1
1
1
<
+
+
+ ... +
12 101 102 103
200
Bài 10: Chứng minh rằng:
HD:
1
1
1
A=
+
+ ... +
101 102
200
Nhận thấy tổng
chính là tổng bài 1
5
5 7
7
A>
>
=> A >
8
8 12
12
Nên ta chứng minh được
, mà
1 1 1
1
4
5
A = + + + ... +
< A<
11 12 13
70
3
2
Bài 11: Cho
Chứng minh rằng:
HD :
Page 20
(2)
Thấy rằng tổng A có 60 số hạng
4
A>
3
TH1: Ta chứng minh
bằng cách nhóm 2 số một ngoặc thông thường
Ta có:
81
81
81
1 1 1 1
1 1
A = + ÷+ + ÷+ ... + + ÷ =
+
+ ... +
40.41
11 70 12 69
40 41 11.70 12.69
(30 ngoặc)
81
81
81
81.30 243 240 240 4
A>
+
+ ... +
=
=
>
>
=
40.41 40.41
40.41 40.41 164 164 180 3
A<
5
2
TH2: Tuy nhiên để chứng minh
, nếu chúng ta làm như trên thì sẽ không chứng minh được
Lý do: vì việc chứng minh nhỏ hơn mà chúng ta so sánh lớn hơn lượng dư thừa, dẫn đến tổng A lớn
5
2
hơn
, do đó để giảm bớt lượng dư, tùy vào bài toán, chúng ta nên nhóm thành 6 ngoặc
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
A = + + ... + ÷+ + ... + ÷+ + ... + ÷+ + ... + ÷+ + ... + ÷+ + ... + ÷
20 21
30 31
40 41
50 51
60 61
70
11 12
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
A < + + ... ÷+ + ... + ÷+ + ... + ÷+ + ... + ÷+ + ... + ÷+ + ... + ÷
11 21
21 31
31 41
41 51
51 61
61
11 11
10 10 10 10 10 10
1 1 1 1 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
5
+ + + + + < 1+ + + + +
÷
÷ 2 + 0,5 =
2
3
6
4
5
11 21 31 41 51 61
2 3 4 5 6
2
=
=
1
1
1
1
3
4
S = + + + ... +
60
5
5
Bài 12: Cho
, Chứng minh rằng:
HD:
Nhóm tổng S thành 3 ngoặc
A<
1 1
1 1
1 10 10 10
1
10 10 10 1 1 1 4
S = + ... + ÷+ + ... + ÷+ + ... + ÷ < + +
<
+
+
= + + <
40 41
50 51
60 31 41 51
31
30 40 50 3 4 5 5
S>
10 10 10 1 1 1 3
+
+
= + + >
40 50 60 4 5 6 5
Mặt khác:
1 1 1 1
1
1
A = − + − + ... +
−
2 3 4 5
98 99
Bài 13: Cho
, Chứng minh rằng: 0,2
Tách tổng A thành:
1 1 13
12 1
1 1 1 1 1 1
A = − + − ÷+ − + ... + − ÷ = + ... >
= = 0, 2
98 99 60
60 5
2 3 4 5 6 7
Và:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
A = − + − + ÷− − ÷− − ÷− ... − − ÷− < 2 = 0, 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10
97 98 99 5
Bài 14: Chứng minh rằng:
3
1
1
1
3
<
+
+ ... +
<
5 2004 2005
4006 4
Page 21
HD:
Thấy rằng tổng A có 2003 số hạng, số hạng ở giữa là
TH1:
1
3005
1 1
1
1
1
1
1
A=
+
+
+
÷+
÷+ ... +
÷+
2004 4006 2005 4005
3004 3006 3005
1
1
1
1
= 6010
+
+ ... +
÷+
3004.3006 3005
2004.4006 2005.4005
A > 6010.
1
1
6010.1001
1
2002 1803 3
.1001 +
>
+
>
>
=
3004.3006
3005 3005.3005 3005 3005 3005 5
A < 6010.
TH2:
A=
1
1
6012.1001 3003 3003
.1001 +
=
=
<
2004.4006
3005 2004.4006 4006 4004
1
1
1
1
+
+ + ... +
51 52 53
100
Bài 15: Cho
HD:
Tổng A có 50 số hạng
, Chứng minh rằng
=
3
4
3
31
< A<
5
40
1 1 1
1
1
1
1 1
1
A= +
+
+ ... +
÷+ + ÷+ ... + + ÷ = 151
÷
75.76
51 100 52 99
75 76
51.100 52.99
Ta có:
151.25 151 155 155 31
A<
=
<
<
=
51.100 204 204 200 40
A > 151.
(25 ngoặc)
(1)
25
151 150 150 3
=
>
>
=
75.76 228 228 250 5
Mặt khác:
(2)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
1
1
1
1
A=
+
+
+ ... +
21 22 23
80
Bài 16: Cho
, Chứng minh rằng: 1< A <2
HD:
Tổng A có 60 số hạng:
1 1 1 1
1 1
A = + ÷+ + ÷+ ... + + ÷
21 80 22 79
50 51
(30 ngoặc)
1
1
1
30
303 101 112
A = 101
+
+ ... +
=
=
<
=2
÷ < 101.
21.80
22.79
50.51
21.80 168 56
56
A > 101.
Mặt khác:
30
303
=
>1
50.51 255
A=
3 8 15
2499
+ + + ... +
> 48
4 9 16
2500
Bài 17: Chứng minh rằng:
HD:
Nhận thấy các mẫu của tổng A là bình phương cảu các số tự nhiên liên tiếp, còn tử số kém mẫu số là
1
nên ta tách A như sau:
Page 22
1
1
1 1
1 1 1
A = 1 − ÷+ 1 − ÷+ ... + 1 −
÷ = 49 − 2 + 2 + 2 + ... + 2 ÷
50
4 9
2500
2 3 4
Mà
1
1 1
B = 2 + 2 + ... + 2 ÷ < 1 => − B > −1 => A = 49 − B > 49 − 1 = 48
50
2 3
A = 1+
Bài 18: Chứng minh rằng:
HD :
1 1 1
1
2016
+ + + ... + 2016
>
2 3 4
2 −1
2
Nhận thấy tổng A có phân số cuối có dạng
1
2n
sao cho phân số có dạng
ở cuối ngoặc :
1
2n
, nên muốn Chứng minh tổng A lớn hơn 1 số ta nhóm
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
A = 1 + + + ÷+ + + + ÷+ ... + 2005 + ... + 2006 ÷− 2006
2 3 4 5 6 7 8
2 2
2 +1
Ta có :
1 1 1 1 1 1 1
1
1
A > 1 + + 2 + 2 ÷+ 3 + 3 + 3 + 3 ÷+ ... + 2006 + ... + 2006 ÷ − 1
2 2 2 2 2 2 2
2 22006
2
A > 1+
1
1
1
1
1
+ 2. 2 + 22. 3 + ... + 22005. 2006 − 2006
2
2
2
2
2
1 1
1
1
1
1
2016
1 2016
A > 1 + + + ... + − 2006 = 1 + 2016. − 2016 =
+ 1 − 2016 ÷ >
2 2
2 2
2 2
2
2
2
A = 1+
Bài 19: Cho :
HD :
1 1 1
1
+ + + ... + 100
2 3 4
2 −1
, chứng minh rằng A>50 và A<100
Nhận thấy tổng A giống với bài 10, muốn chứng minh lớn hơn ta để phân số dạng
1
2n
ở cuối ngoặc :
1 1 1 1 1 1 1
1 1
1
A = 1 + + + ÷+ + + + ÷+ ... + 99 + ... + 100 ÷− 100
2 3 4 5 6 7 8
2 2
2 +1
A > 1+
1
1
1
1
1
+ 2. 2 + 22. 3 + ... + 299. 100 − 100
2
2
2
2
2
1 1
1 1 100
1
= 1 + + + ... + − 100 =
+ 1 − 100 ÷ > 50
2 2
2 2
2 2
Mặt khác muốn chứng minh A <100, ta nhóm sao cho phân số có dạng
1
2n
1
1
1 1 1 1 1 1 1
1
A = 1 + + ÷+ + + + ÷+ + ... + ÷+ ... + 99 + 100 ÷
15
2 −1
2 3 4 5 6 7 8
2
1
1
1
1
A < 1 + 2. + 2 2. 2 + 23. 3 + ... + 299. 99 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 100
2
2
2
2
Page 23
vậy A<100
nằm ở đầu ngoặc :
1+
Bài 20: Chứng minh rằng:
HD :
1 1 1
1
+ + + ... +
>4
2 3 4
64
1 1 1 1 1 1 1
1
1
A = 1 + + + ÷+ + + + ÷+ ... + 5 + ... + 6 ÷
2 3 4 5 6 7 8
2
2 +1
> 1+
1
1
1
1
1 1
1
+ 2. 2 + 2 2. 3 + ... + 25. 6 = 1 + + + ... + = 4
2
2
2
2
2 2
2
A=
Bài 21: Cho
HD:
455 454 453
2
1
+
+
+ ... +
+
1
2
3
454 455
, So sánh A với 2007
454 453
1
A=
+ 1÷+
+ 1÷+ ... +
+ 1÷+ 1
2
3
455
Ta có:
1 1
456 456
456 456
1
=
+
+ ... +
+
= 456 + + ... +
= 456.B
2
3
455 456
456 ÷
2 3
Xét
B=
1
1 1
1
1 1 1 1 1 1 1
1 1
1
1
+ + .... +
= + + ÷+ + + + ÷+ ... + 7
+ ... + 8 ÷+
+
+ ... +
2 3
456 2 3 4 5 6 7 8
456 ÷
2 257 258
2 +1
>
1
1 1 1 1 1 1 1
1 1
1
+ + ÷ + 3 + 3 + 3 + 3 ÷+ ... + 8 + ... + 8 ÷+
+ ... +
2 4 4 2 2 2 2
456 ÷
2 456
2
=
1 2 22
27 200 1 1
1 200
200 2024
+ 2 + 3 + ... + 8 +
= + + ... + ÷+
= 4+
=
2 2 2
2 456
456 456
2 456 2 2
A > 456.
Khi đó:
2024
= 2024 > 2007
456
1+
1 1
1
+ + ... + > 1000
2 3
n
Bài 22: Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên n để:
HD :
1 1
1
2000
A = 1 + + + ... + 2000 >
= 1000
2000
n=2
2 3
2
2
Chọn
Khi đó :
1 1 1
1
B = 1 + + + + ... + 99
2 3 4
2
Bài 23: Cho
, So sánh B với 50
HD :
1 1 1
1
1
1
1
1
B = 1 + + + ÷+ ... + 98
+ ... + 99 ÷ > 1 + + 2. 2 + .... + 298. 99
2 3 4
2
2
2
2
2 +1
= 1+
1 1
1
99
+ + ... + = 1 +
> 50
2 2
2
2
Page 24
A=
Bài 24: Chứng minh rằng:
1
1
1
1
+
+
+ ... + 2 > 1
n n +1 n + 2
n
HD :
A=
1 1
1
1
+
+
+ ... + 2 ÷
n n +1 n + 2
n
n 2 − ( n + 1) + 1 = n 2 − n
, có
1 1
1 1 n −n 1
n
A > + 2 + ... + 2 = + 2 = + 1 − 2 = 1
n n
n
n
n
n
n
số hạng
2
A=
vậy A>1
1 1 1
1
+ + + ...
>1
12 13 14
144
Bài 25: Chứng minh rằng:
HD:
Tổng này là 1 trường hợp của bài 15: Áp dụng cách làm bài 15 ta có:
1 1 1
1 1
1
1
1
1 12 2 − 12
A = + + + ... + 2 ÷ > + 2 + 2 + ... + 2 = +
=1
12 13 14
12 12 12 12
12 12
12 2
1 1 1
1
+ + + ... +
>1
6 7 8
36
Bài 26: Chứng minh rằng:
HD:
Tương tự tổng này có dạng của bài 15, nên ta có:
1 1 1
1 1 62 − 6
A = + + + ... + 2 ÷ > + 2 = 1 => A > 1
6 7 8
6 6
6
1+
: Chứng minh rằng:
1 1 1
1
+ + + ... + 2016 < 2016
2 3 4
2
Bài 27
HD:
1
1
1 1 1 1 1 1
1
A = 1 + + ÷+ + + + ÷+ ... + 2015 + ... + 2016 ÷+ 2016
2 −1 2
2 3 4 5 6 7
2
Ta có:
1
1
1
1
1
1
1
A < 1 + 2. + 2 2. 2 + 23. 3 + ... + 22015. 2015 + 2016 < 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 2016 = 2015 + 2016 < 2016
2
2
2
2
2
2
2
Bài 28: CMR luôn tồn tại số tự nhiên n để
HD:
Chọn
1 1 1
1
1 + + + + ... + > 1000
2 3 4
n
n = 21999
1+
Bài 29: CMR:
HD:
VT = 1+
1 1
1
+ + ... + 1999 > 1000
2 3
2
1
1 1 1 1 1 1 1
1
+ + ÷+ + + + ÷+ ... + 1998
+ ... + 1999 ÷
2 3 4 5 6 7 8
2
2 +1
Page 25
