TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH LÀO CAI

CHUYÊN ĐỀ:
HIỆU ỨNG COMPTON

Người biên soạn: Phạm Nguyên Hoàng


HIỆU ỨNG COMPTON
TÍNH CHẤT LƯỢNG TỬ ÁNH SÁNG
1. Quan điểm về tính chất lượng tử ánh sáng.
Tiên đề cơ bản để làm căn cứ cho việc giải thích các hiện tượng theo quan điểm lượng tử là:
Bức xạ điện từ được tạo thành từ các hạt mang năng lượng nhỏ và gián đoạn gọi là phôtôn hay
lượng tử. Mỗi phôtôn có năng lượng hoàn toàn xác định và chỉ phụ thuộc vào tần số của bức xạ:





h . f



h .

c



 34

Trong đó: h  6, 625.10 (J.s) là hằng số planck ( được xác định bằng thực nghiệm )
f : là tần số của bức xạ điện từ.
 : là bước sóng của sóng điện từ.
Theo quan điểm lượng tử thì các phôtôn chuyển động với vận tốc bằng vận tốc truyền ánh sáng (
c=3.108m/s). Do đó, theo thuyết tương đối thì khối lượng nghỉ của các phôtôn bằng không, hay nói
cách khác năng lượng của phôtôn chỉ có nguồn gốc động học ( động năng ). Nếu phôtôn tồn tại thì nó
chuyển động với vận tốc ánh sáng, nếu nó không chuyển động với vận tốc đó thì nó cũng không còn
tồn tại.
Theo thuyết tương đối: năng lượng toàn phần của một hạt là:


E  m0c 2  K
 2
2
2 2
 E  ( pc )  ( m 0 c )
Trong đó: K là động năng của hạt, p là động lượng của hạt, E là năng lượng toàn phần của hạt.
Đối với phôtôn thì: mo=0
 E  K
 E  K

 2

2
 E  p .c
 E  ( pc )
Mà: E  h .

c




 p 

E
h

c


2. Hiệu ứng Compton
Mô hình tính chất sóng ánh tiên đoán rằng khi một bức xạ điện từ bị tán xạ trên một hạt tích điện
thì bức xạ điện từ tán xạ về khắp mọi phương phải có cùng tần số với bức xạ tới. Tuy nhiên, năm 1922,
H.Compton đã chứng minh được rằng: tần số của bức xạ sau khi tán xạ phụ thuộc vào góc tán xạ của
nó. Điều này chỉ được giải thích dựa trên các quan điểm lượng tử của ánh sáng.
Trong cơ học lượng tử, Hiệu ứng Compton hay tán xạ Compton xảy ra khi bước sóng tăng lên
(và năng lượng giảm xuống), khi những hạt phôtôn tia X (hay tia gamma) có năng lượng từ khoảng 0,5
MeV đến 3,5 MeV tác động với điện tử trong vật liệu. Độ mà bước sóng tăng lên được gọi là dịch
chuyển Compton.
Theo Compton, hạt lượng tử năng lượng của tia X khi va chạm vào các hạt khác cũng bị tán xạ
giống như hạt electron. Ở đây sự tán xạ của hạt phôtôn là sự thay đổi đường đi của chùm tia phôtôn khi
gặp phải một môi trường có sự không đồng nhất về chiết suất với những khoảng cách mà chiết suất
thay đổi gần bằng độ dài bước sóng photon. Thực ra sự tán xạ là sự lan truyền của sóng trong những
môi trường có hằng số điện và hằng số từ thay đổi hỗn loạn, rất phức tạp nếu sử dụng các hệ phương
trình Maxwell để giải và tìm chiết suất hiệu dụng của môi trường. Sự tán xạ có thể xem đơn giản như


sự va chạm đàn hồi của các quả bóng trong một môi trường. Khi xem xét sự va chạm đó, định luật bảo
toàn năng lượng và xung lượng vẫn được áp dụng.


Ví dụ ta có một lượng tử năng lượng của tia X, va chạm vào một electron đứng yên. Một phần
năng lượng và xung lượng của tia X chuyển vào cho electron và sau khi tán xạ thì lượng tử năng lượng
tán xạ (hạt hình thành sau tán xạ) có năng lượng và xung lượng nhỏ hơn của lượng tử năng lượng ban
đầu (tia X). Vì năng lượng của lượng tử tán xạ nhỏ hơn năng lượng của lượng tử ban đầu nên tần số
của lượng tử tán xạ nhỏ hơn tần số của lượng tử ban đầu và khi đó bước sóng của lượng tử tán xạ lại
lớn hơn bước sóng của lượng tử ban đầu.

3. Giải thích hiệu ứng Compton.
Compton đã nhận ra rằng, hiện tượng này có thể dễ dàng giải thích bằng mô hình hạt của bức xạ
điện từ khi cho rằng các photon của tia Rơnghen va cham đàn hồi với các electron trong trạng thái liên
kết của khối than chì. theo quy luật của va chạm đàn hồi, các photon sẽ truyền một phần năng lượng
cho electron và do đó sau khi va chạm sẽ có một năng lượng nhỏ hơn. Đến đây theo giả thuyết lượng tử
của Planck và lý thuyết Phôtôn của Einstein bức xạ sẽ có tần số nhỏ hơn và do đó có bước sóng lớn
hơn.

Sơ đồ thí nghiệm tán xạ của Compton


Muốn tính sự thay đổi bước sóng của chùm tia Rơnghen tới tán xạ trên những electron gần như tự
do của vật thể ta xem xét góc tán xạ.
Giả thuyết lượng tử của Planck về sự phụ thuộc của năng lượng vào tần số:
E = hf
(1)
Hệ thức Einstein trong thuyết tương đối hẹp:
E=m
(2)
Từ (1)(2) => Khối lượng động m của Phôtôn:

h . f  m .c 2  m 


h. f
c2

(3)

Xung lượng của Photon (p = mv):

p  m .v  m .c 

h. f
h. f
h
.
c


c2
c


(4)

Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng và năng lượng:
+ Bảo toàn xung lượng:
photon + electron = ' photon + ' electron
photon = ' photon + ' electron
' photon = photon - ' electron





Bình phương hai vế của phương trình ta được:



'2
pelectron
 p 2photon  p '2photon  2. p photon . p 'photon .cos

p

'2
electron



h2

2



h2

 2.

 '2

h h
. ' .c os 


 

(5)

+ Bảo toàn năng lượng:
E photon + E electron = E' photon + E' electron
=> E' electron - E electron = E photon - E' photon
Lại có: E p h oto n  h .

c



'
; E ph
oto n  h .

'
 Eelectron
 Eelectron  h

c



h

(6)


c

'

c

'

2
Năng lượng nghỉ của Electron tính theo công thức: E electron  m e c

'
 E electron
h

c



h

c



'

 me .c 2

(7)


2
2
2 2
Công thức quan hệ giữa xung lượng và năng lượng: E  ( pc )  ( m0 c )

Áp dụng cho xung lượng và năng lượng cho electron sau va chạm:


'2
'
Eelectrom
 ( pelectron
.c) 2  ( me .c 2 ) 2

(8)

Thay (5) và (7) vào (8):

 (h

c



h

c

 me .c 2 ) 2  (


'

h2

2



h2

 '2

h h
 2. . ' .cos ).c 2  me2 .c 4

 

Khai triển và rút gọn ta được:
2

m e .c (

 me c 2 (

hc



1




 '   





hc

'

1



'

)

)

h 2c 2

 '

hc

 '


(1  c os  )

(1  c os  )

hc
h
(1 cos)     '   
(1  cos )
2
mec
me c

Ta có     '   là sự thay đổi bước sóng gây ra bởi tán xạ của Phôtôn trên các electron.
Đây gọi là độ dịch chuyển Compton. Vậy bước sóng bức xạ sau khi tán xạ sẽ tăng lên, giá trị tăng lên
của bước sóng tán xạ phụ thuộc vào góc tán xạ.
Công thức xác định độ dịch chuyển Compton còn có thể viết dưới dạng sau:

    '    2
Trong đó:  c 

h

sin 2
me c
2

h
 2 , 4 2 .1 0 12 ( m )
m ec


gọi là là bước sóng Compton. Bước sóng này

khá nhỏ so với bức xạ nhìn thấy, do đó khi làm thí nghiệm với ánh sáng nhìn thấy ta không nhận biết
được sự dịch chuyển Compton. Với bức xạ của tia X hay  có bước sóng cỡ 10-12(m) đến 10-13(m) thì
độ dịch chuyển Compton khá lớn, ta dễ dàng quan sát được độ dịch chuyển Compton.
Hiệu ứng Compton đã thực sự thuyết phục các nhà vật lý rằng sóng điện từ thực sự thể hiện một
tính chất giống như một chùm hạt chuyển động với vận tốc ánh sáng. Hay nói khác đi sóng và hạt là hai
thuộc tính cùng tồn tại trong các quá trình biến đổi năng lượng.

4. Một số ví dụ minh họa:
VD1: Khi chịu tán xạ Compton, một electron bị tán xạ theo một góc  so với phương ban đầu của
photon tới. Hãy xác định động năng của electron sau khi tán xa?
Giải:
Vì sự va chạm của electron và photon được coi là va chạm hoàn toàn đàn hồi xuyên tâm nên động
lượng và năng lượng toàn phần của hệ được bảo toàn:
+ Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng:
'
'
E photon  Eelectron  E ph
oton  Eelectron

 h. f  me c 2  h. f '  K e  me c 2


Đối với phôtôn, có vận tốc bằng vận tốc ánh sáng nên: h . f  Pph oto n .c
( Pphoton : là động lượng của phôtôn )

 Pphoton .c  Pphoton ' .c  K e


(1)

+ Áp dụng định luật bảo toàn động lượng:




'
Pphoton  Pelectron  Pph' oton  Pelectron


'
 Pphoton  Pph' oton  Pelectron
( Vì ban đầu electron đứng yên )
'

'
 Pphoton  Pphoton  Pelectron

Bình phương hai vế ta có:
2
Pph'2oton  Pph2 oton  Pelectron
 2.Pphoton .Pelectron .cos
2

2

(2)

2 2


Theo thuyết tương đối: Eelectron  ( Pelectron. .c)  (me c )

2
Eelectron
 (me c 2 ) 2 1

 2  ( me c 2  K e ) 2  ( me c 2 ) 2 
2
c
c
1
 2 ( K e2  2 K e me c 2 )
(3)
c

2
electron

P

Thay ( 1 ) và ( 3 ) vào ( 2 ):

P

photon

.Pelectron .cos  Ke (me 

Pphoton

c

)

(4)

Bình phương ( 4 ) và kết hợp với ( 3 ) ta được:



Pph2 oton
c

2

( K e2  2 K e me c 2 ).cos 2  K e2 (me 

Rút K e ra và thay: Pphoton  h

Pphoton
c

)2

f
vào biểu thức ta được kết quả:
c

hf
)cos 2

2
me c
K e  h. f
hf
hf 2
(
 1) 2  (
) cos 2
2
2
me c
me c
2(



 Nhận xét: Giá trị động năng của electron đạt giá trị cực đại khi góc   0
10

0
VD2: Một tia X có bước sóng   0,3.10 ( m) tán xạ theo một góc tán xạ   60 do hiệu ứng
Compton. Tìm bước sóng của photon sau tán xạ và động năng của electron?
Giải:

'

+ Độ dịch chuyển Compton:      

 '   


h
(1  cos )
me c

h
(1  cos )
me c


6, 625.1034
 0,3.10 
(1  cos600 )
31
8
9,1.10 .3.10
 0, 312.1010 ( m)
10

+ Động năng của electron: Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng toàn phần:

hc



 me c 2 

 K e  hc (

1




hc





'

 K e  me c 2

1



)  12, 4(
'

1
1

)( keV )
0, 3 0, 32

 1, 59keV
TD3: Xác định độ tăng bước sóng và góc tán xạ trong hiện tượng compton biết bước sóng ban
đầu của photon là:   0,03 A0 và vận tốc của electron bắn ra là: v =  c = 0,6c
Bài giải
0

 0,03 A
Cho
 '  ?  ?
v c0,6c
Động năng của electron bắn ra là:


mec2
1
2
2

E
- mec  mec 
-1
2
 1- 

2


1- v
2
c
Động năng này về trị số bằng độ giảm năng lượng của photon sau khi tán xạ:
h -h ' hc - hc
 


Vậy

do đó:



1 - mec 
 h 


Thay số:   





hc hc
-  mec 2  1 -1 
 
 1- 2 


1
 



-1 
1- 2 

1


1


1
9,1.10 31.3.108 
1

 1

34


0, 03
2
6,62.10
 1  0,6


   0, 0435A0
Góc tán xạ  : sin 2    
2 2
Thay số ta có: sin2   0,225
2
 sin

  0, 474    630 40
2

TD4: Dùng định luật bảo toàn động lượng và công thức Compton Tìm hệ thức liên hệ giữa các
góc tán xạ  và góc  , xác định phương bay ra của electron.

Bài giải:


Gọi P, P’ là động lượng của photon trước và sau khi tán xạ, Pe là động lượng của electron bắn ra
(ban đầu electron đứng yên).
Theo định luật bảo toàn động lượng
P = P’ + Pe

' là 
Góc giữa các véc tơ Pvà P
P và Pe là 
P 'sin
Theo hình vẽ: tg  =
P-P cos
h ;P'  h 
h
mà P 

 '  2 sin 2
c
2
Do đó:
h sin
 2 c sin 2
cot g 
2
tg 
 2
hh cos
c

  2 sin 2 1 
c
2
TD5: Tìm bước sóng của một photon biết rằng trong hiện tượng tán xạ Compton năng lượng
photon và động năng electron bay ra bằng nhau khi góc giữa hai phương chuyển động của chúng bằng
900.
Bài giải
Như ta đã biết: Động năng truyền cho electron bằng độ giảm năng lượng của photon = hc  hc
 '
Theo bài ra, phần động năng đó về trị số bằng năng lượng của photon tán xạ = hc
'
hc
hc
hc
  
'  '

'

Từ đó suy ra:
2
Theo công thức Compton:    '   2 c sin 2  ;   2 c sin 2 
2
2

cot g 
2
Mặt khác sử dụng bài tập thí dụ 7: tg 

1 c




cot g 

2  cot g
Với điều kiện của đề bài:    . Có thể viết:

2
1 c

Hay 1 c  2
 1tg 2
2


2
Đặt sin

  2 phương trình trên sẽ là: 1 1  2
2 2c
2 2 1  2
1 2
Ta tìm được:  2  1
4
34
 1 h
Kết quả:   c  m c
Thay số:   1. 6,62.10
0,012 A0

2 2 e
2 9,1.1031.3.108


V. Các bài toán tham khảo
T1. Một photon X năng lượng 0,3 MeV va chạm trực diện với một electron lúc đầu ở trạng thái nghỉ.
a) Tính vận tốc lùi của electron bằng cách áp dụng các nguyên lý bảo toàn năng lượng và xung
lượng?
b) Chứng minh rằng vận tốc tìm được trong phần (a) cũng phù hợp với giá trị tìm được khi dùng
công thức Compton.
T2. Một tia X bước sóng 0,4Ǻ bị một electron làm tán xạ theo một góc 60o do hiệu ứng Compton. Tìm
bước sóng của photon tán xạ và động năng của electron.
T3. Trong thí nghiệm về hiệu ứng Compton, một electron đã thu được năng lượng 0,100MeV do một
tia X năng lượng 0,500MeV chiếu tới.
a) Tính bước sóng của photon tán xạ biết rằng lúc đầu electron ở trạng thái nghỉ?
b) Tìm góc hợp thành giữa photon tán xạ và photon tới.
T4. Trong tán xạ Compton một photon tới đã truyền cho electron bia một năng lượng cực đại bằng 45
keV. Tìm bước sóng của photon đó?
T5. Xác định góc tán xạ Compton cực đại mà trong đó photon tán xạ có thể sinh ra một cặp pôzitôn –
electron.
T6. Một photon có bước sóng λi va chạm vào một electron tự do đang chuyển động. Sau va chạm
electron dừng lại, còn photon có bước sóng λ0 và có phương lệch một góc θ = 60o so với phương ban
đầu của nó. Photon λ0 lại va chạm vào một electron đứng yên và kết quả của va chạm này là photon có
bước sóng λf = 1,25.10-10 m và có phương lệch góc θ = 60o so với phương của photon λ0. Tính năng
lượng và bước sóng De Broglie của electron đã tương tác với photon ban đầu.
Cho biết: hằng số Plăng h = 6,6.10-34 J.s; khối lượng nghỉ của electron me = 9,1.10-31 kg; vận tốc ánh
sáng c = 3,0.108 m/s.
T7. Trong hiện tượng tán xạ Compton, chùm tia tới có bước sóng λ. Hãy xác định động năng của
electron bắn ra đối với chùm tán xạ theo góc θ. Tính động lượng của electron đó. Tìm giá trị cực đại
của động năng của electron bắn ra.

T8. Photon có năng lượng 250keV bay đến va chạm với một electron đứng yên và tán xạ theo góc
120o (tán xạ Compton). Xác định năng lượng của photon tán xạ.
T9. Một photon trong một chùm tia X hẹp, sau khi va chạm với một electron đứng yên, thì tán xạ theo
một phương làm với phương ban đầu một góc θ. Ký hiệu λ là bước sóng của tia X.
1. Cho λ = 6,2pm và θ = 60o, hãy xác định:
a) Bước sóng λ’ của tia X tán xạ.
b) Phương và độ lớn của vận tốc của electron sau va chạm.
2. Tia X trên được phát ra từ một ống tia X (ống Coolidge) có hai cực được nối vào hai đầu cuộn thứ
cấp của một máy biến thế tăng thế với tỷ số biến thế k = 1000. Hai đầu của cuộn sơ cấp của máy biến
thế này được nối vào một nguồn hiệu điện thế xoay chiều có hiệu điện thế hiệu dụng U có thể biến
thiên liên tục (nhờ dùng một máy biến thế tự ngẫu) từ 0 đến 500V.
a) Hỏi U phải có trị số tối thiểu Um bằng bao nhiêu để có thể tạo được tia X nêu ở câu 1.
b) Với hiệu điện thế Um ấy, vận tốc của electron trong ống tia X khi tới đối catot có trị số bằng bao
nhiêu?
c) Để hướng chuyển động của electron vuông góc với phương của photon tán xạ (có bước sóng λ’)
thì bước sóng λ của photon tới không được vượt quá trị số bao nhiêu?
d) Giả sử sau va chạm electron có vận tốc v = 2.108 m/s vuông góc với tia X tán xạ; hãy tính bước
sóng λ của tia X tới và hiệu điện thế cần đặt vào cuộn sơ cấp của máy biến thế tăng thế nói trên.
T10. Một photon có năng lượng ε = 1,00 MeV, tán xạ lên một electron tự do đứng nghỉ.Sau tán xạ
bước sóng của photon biến thiên 25% giá trị của nó. Tính góc tán xạ và động năng của electron thu
được.


T11. Một photon có năng lượng bằng năng lượng nghỉ của electron tán xạ trên một electron chuyển
động nhanh. Sau tán xạ thì electron dừng lại và photon bị tán xạ dưới góc 60o. Xác định độ dịch chuyển
của bước sóng trong hiệu ứng Compton và động năng của electron trước tán xạ.
T12. Một photon có năng lượng ε tán xạ trên một electron tự do.
a) Xác định độ dịch chuyển bước sóng lớn nhất có thể có trong hiệu ứng Compton.
b) Xác định năng lượng lớn nhất mà electron có thể thu được trong hiện tượng này.
T13. Một ống Rơnghen làm việc ở hiệu điện thế U = 105V. Bỏ qua động năng của electron khi nó bứt

a khỏi catot. Một photon có bước sóng ngắn nhất được phát ra từ ống trên tới tán xạ trên một electron
tự do đang đứng yên. Do kết quả tương tác, electron bị “giật lùi”.
a) Hãy tính góc “giật lùi” của electron (góc giữa hướng bay của electron và hướng của photon tới) và
góc tán xạ của photon. Biết động năng của electron “giật lùi” là
Wđ = 10keV.
b) Tính động năng lớn nhất mà electron có thể thu được trong quá trình tán xạ.
(Đề thi chọn Đội tuyển dự thi IPhO 2006)


V. Hướng dẫn giải
T1. a) Gọi E, p là năng lượng và xung lượng của photon tới, còn E’, p’ là năng lượng và xung lượng
của photon tán xạ.
Gọi m0 là khối lượng nghỉ của electron, V là vận tốc của lùi của electron.
Theo định luật bảo toàn năng lượng:
m0 c 2

E  m0 c 2  E '

0,511

 0,3  0,511  E '

V2
1 2
c

(1)

V2
1 2

c

Photon có xung lượng p = E/c. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng đối với trường hợp: θ = 180o; φ
= 0o, ta có:
E
E'
0  
c
c

mV
2



V
1 2
c

0,3
E'
0,511 V
 
.
c
c
V2 c
1 2
c


(2)

Giải hệ hai phương trình (1, 2) ta được: V = 0,65c.

p
’
θ

h
b) Ta có:  ' 
1  cos    h 1  cos180 o  2h   '    2h
m0 c
m0 c
m0 c
m0 c





Mà ta lại có: E = hc/λ; E’ = hc/λ’ nên ta có:
' 
2
1
1
2
1
hc






hc

m0 c

2



E'



E



m0 c

2



0,3



2

1
 7,24  E ' 
MeV
0,511
7,24

Thay E’ vào phương trình (1) ta có: V = 0,65c.
T2. Ta có:
'   

o
h
1  cos   0,30  0,0243. 1  cos 60 o  0,312 A
m0 c





Theo đinh luật bảo toàn năng lượng, ta có:
hc

 m0 c 2 

hc
12,4keV 12,4keV
 K e  m0 c 2 

 Ke
'

0,3
0,312


Vậy Ke = 1,59 keV.
T3. a) Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:



E  m0 c 2  E ' K e  m0 c 2



 0,500MeV  E '0,100MeV
 E '  0,400MeV
hc 12,4.10 3 MeV . A
 '

 31.10 3 A
E'
0,490MeV

b) Photon tới có bước sóng:


hc 12,4.10 3 MeV . A

 24,8.10 3 A
E
0,500 MeV


Theo phương trình hiệu ứng Compton:
 ' 

h
1  cos  
m0 c

 31.10 3 A  24,8.10 3 A  24,3.10 3 A1  cos  

Từ đó: θ = 42o.

pe
φ
p
Hình 8


T4. Nếu electron có năng lượng cực đại thì photon sẽ tán xạ ngược trở lại so với chiều của photon tới.
Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:
E + m0c2 = E’ + 45 keV + m0c2
Suy ra: E – E’ = 45 keV
(1)
Theo định luật bảo toàn xung lượng ta có:
E
E'
   pe
c
c


(2)

Mà ta lại có hệ thức liên hệ giữa năng lượng và xung lượng:
E e2   pe c   E 02
2

Do đó: (0,511 MeV + 0,045 MeV)2 = (pec)2 + (0,511 MeV)2
Suy ra: pe = 0,219 MeV/c.
Thay vào (2) ta được: E + E’ = 219 keV
Từ (1) và (3) ta thu được: E = 132 keV
 

(3)

hc 12,4keV . A

 9,39.10 2 A
E
132keV

T5. Bước sóng ngưỡng để tạo cặp pôzitôn – electron được xác định theo hệ thức:
hc

 2m 0 c 2  2 S 

h
m0 c

(1)
S

Thế (1) vào công thức Compton ta có:
λ’ = λ + 2λs(1 – cosθ)
Vế phải bằng tổng của hai số hạng dương. Vì vậy nếu: 2 S 1  cos    2 S và λ’ > λs thì không thể tạo
cặp pôzitôn – electron.
Còn khi có: 2 s 1  cos  s   s  cos  s  1 / 2   s  60 o
Chú ý rằng kết quả này không phụ thuộc vào năng lượng của photon tới.
T6. Va chạm thứ hai là hiệu ứng Compton: photon λ0 va chạm vào electron thứ hai đứng yên làm
electron này bật ra (có xung lượng p2), photon tán xạ có bước sóng λf > λ0. Theo công thức Compton:
 f  0 

h
1  cos  
mc

(1)

Va chạm thứ nhất nếu đổi chiều thời gian thì cũng là hiệu ứng Compton: photon λ0 va chạm vào
electron thứ nhất đứng yên, làm electron này bật ra (có xung lượng p1) photon tán xạ có bước sóng λi >
λ0 và
i   0 

h
1  cos  
mc

(2)

Trong thực tế va chạm này gọi là hiệu ứng Compton ngược: Photon λi nhờ va chạm với electron 1 mà
thu được toàn bộ động năng của electron này nên tán xạ với năng lượng E0 lớn hơn (λ0 < λi).
Từ (1) và (2) cho ta λi = λf = 1,25. 10-10 m

Đưa giá trị này vào (1) hoặc (2) ta tính được: λ0 = 1,238.10-10 m.
Động năng của electron 1 là:
 1
1
K 1  E0  Ei  hc    1,56.10 17 J
  0 i 

Động lượng tương đối tính của electron 1 được xác đinh bởi công thức:



p12 c 2  K 1 K 1  2mc 2
p1 



1
K 1 K 1  2mc 2  5,33.10  24 kg.ms 1
c





Bước sóng De Broglie của electron này là:




h

 1,24.10 10 m .
p1

T7. Động năng của electron bắn ra (áp dụng định luật bảo toàn năng lượng):
c2

Eđ  m0

 m0c 2  h  h '

2

v
c2
hc hc hc
hc
 Eđ 



  '    
1

Với công thức tán xạ Compton:   2c sin 2
Suy ra: Eđ 

hc

2c sin



2

2

.

2

   2 sin 2 
c

2

Ta thấy đạt giá trị cực đại khi: sin 2
Eđ max 


2

 1     khi đó:

2c
   2c

hc

.

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta tìm được động lượng pe của electron bắn ra:

2

2

h2
h  h 
p     2
cos
. '
    ' 
2
e

Biết  '    2c sin 2


2

. Tính được pe.

T8. Năng lượng của photon tán xạ là: E ' 
Với  '        2c sin 2
hc

Vậy: E ' 

  2c sin
E' 

1

1 2c


sin 2
E hc
2

2

hc
'


2

, với  

hc
, E là năng lượng của photon tới, do đó:
E

2

 0,144MeV

T9. 1.a) Theo công thức Compton:    ' 

2h

sin 2

m0c
2

(1)

Với θ = 60o; h = 6,625.10-34 Js; m0 = 9,1.10-31kg
Ta có:       1,21.1012 m  1,21 pm
Từ đó:  '      6,2  1,2  7,4 pm
b) Ký hiệu mv;

hf hf '
tương ứng với động lượng của electron, của photon X và photon tán xạ, áp
;
c c

dụng định luật bảo toàn động lượng ta có (Hình 9):
hf
hf '
 mv 
c
c

Từ đó suy ra:

(2)

hf '
c

θ

φ

mv
hf
c


2

2

mv    hf    hf '   2 hf . hf ' .cos
c c
 c   c 
1
f 1 f' 1
Với θ = 60o ( cos  );  ;  ,
2
c  c '
2
h
nên: m 2v 2  2 '2 2   '2  '
2








Thay số và chú ý rằng: m 

m0
2

1

Ta được: v 2 

v
c2

Hình 9

với m0 = 9,1.10-31kg.

0,995 16
.10  v  9,26.107 m / s
1,16

Ngoài ra, nếu chiếu phương trình vecto (2) lên phương vuông góc với phương của photon X tới, ta
được:
h
sin   0,9287    68o14'
 '.mv
hc
2. a) Ta có: eU 2  hf 
sin  




h
U 2m 
 2,003.105 (V )  200kV
e
U
Từ đó tìm được: U  U m  2 m  100 2  141,4V
k 2

b) Ta có:
mc 2  eU  m0c 2 

1

hc



 m0c 2 

m0c 2
1

v2
c2

 m0c 2 

hc




v2
m0c 2
v2


0
,
5161

 0,4839
c 2 m c 2  hc
c2
0



 v  0,696c  2,09.108 m / s

Chú ý: Nếu tính v theo hệ thức:
mv 2 hc
, với m 

2


m0
1


v2
c2

thì ta được v  2,02.108 m / s , không khác nhiều so với trị số vừa tìm được ở trên.
c) Để phương chuyển động của electron vuông góc với phương của tia X tán xạ (Hình 10), theo hình
vẽ ta phải có:
hf '
hf ' hf


cos    ' 
(5)
mv
c
c
c
cos 
Áp dụng công thức Compton ta có:
θ

hf
φ
   ' 
   c 1  cos 
cos 
c
h
 2,42( pm)
m0c
Suy ra:   c . cos


Với c 

(6)

Hình 10


Như vậy, phải có   c  max  c  2,42 pm 
d) Từ (5) và (6) ta suy ra:

h
'
 c 
cos
m0c
Theo hình 16, ta có:
2

2

m02v 2 h 2  1
h  h 

m v     
 2
 1
2
2
v

c  cos  
    ' 
1 2
c
5
Với v = 108 m/s, ta tính được: cos 
3
5
 1,803( pm)
Và   c
3
hc
U
 690.000(V ) ; U  2 m  484(V )
Từ đó: U 2 m 
e
k 2
2 2

T10. Bước sóng của photon trước tán xạ:
  hf 

hc



hc

 1,24.1013 m , với ε = 1,00MeV = 1,6.10-13J




Sau tán xạ thì năng lượng của photon giảm đi. Do đó, bước sóng của nó tăng lên. Độ tăng của
bước sóng là: Δλ = 0,25λ = 3,1.10-13m
Áp dụng công thức về sự dịch chuyển bước sóng trong hiệu ứng Compton:
2h

 
sin 2
m0c
2
 m c.
 6,392.10 2    29,29o  29o17'
Ta có: sin 2  0
2
2h
Bước sóng của photon sau tán xạ:  '      15,5.1013 m .
hc
Năng lượng của photon tán xạ:  '   1,28.1013 J
'

Động năng mà electron thu được sau tán xạ:
Wđ = ε – ε’ = 0,32.10-13J = 0,2MeV
T11. Năng lượng của photon trước khi tán xạ: ε = hf = m0c2; m0 là khối lượng nghỉ của electron.
Năng lượng của photon tán xạ: ε’ = hf’.
Năng lượng toàn phần của electron trước khi tán xạ là mc2 với: m 

m0
v2
1 2

c

, với v là vận tốc của

electron.
Năng lượng của electron sau tán xạ: m0c2.
Theo định luật bảo toàn năng lượng:
m0c 2  mc 2  hf ' m0c 2  hf '  mc 2

Động lượng của photon trước tán xạ: p 

hf
.
c

hf '
Động lượng của photon tán xạ: p' 
c
Động lượng của electron trước tán xạ: mv .

Động lượng của electron sau tán xạ bằng 0.

hf '
c

θ
φ

mv
hf

c


Theo định luật bảo toàn động lượng: p  mv  p'
Định luật này được biểu thị trên hình 11, θ = 60o là góc tán xạ.
Theo hình 10, ta có:
2

2

Hình 11

2

mv    hf    hf '   2 h 2ff ' cos 
c
 c   c 
2 2
2 2
2 2
2
m v  m0 c  m c  mm0 c
2

m02 v 2
m02 c 2
m02 c 2
2 2

m

c


0
v2
v2
v2
1 2
1 2
1 2
c
c
c
2
2
v
c
c
 1 2

2
2
2
c v
c v
c2  v2



c  2 c 2  v 2  4v 2  3c 2  v 


m

m0
v2
1 2
c

m0



3
1
4

3
c
2

 2 m0

Năng lượng của photon tán xạ: ε’ = hf’ = mc2 = 2m0c2 = 2ε
Photon tán xạ đã nhận được thêm năng lượng từ electron.
Bước sóng của photon trước tán xạ:  
Bước sóng của photon tán xạ:  ' 

hc






hc
h

.
2
m0c
m0c

hc
hc



2
 ' 2m0c
2

Độ dịch chuyển của bước sóng trong hiệu ứng Compton:

h
   '    
 1,21.1012 m  1,21.10 2 Å
2

2m0c

Động năng của electron trước tán xạ là hiệu giữa năng lượng toàn phần của electron và năng lượng

nghỉ của nó:
Wđ = mc2 - m0c2 = 2m0c2 – m0c2 = m0c2 = 81,9.10-15J = 0,51 MeV
Chú ý rằng, trong trường hợp này, không được tính động năng theo biểu thức

mv 2
. Biểu thức này chỉ
2

đúng khi v << c.
Có thể tính được ngay Δλ nếu áp dụng công thức:
2h

o
 
sin 2 , với θ = 60 .
m0c

2

T12. a) Theo công thức:  
Như vậy:  max 

2h

o
sin 2 thì Δλ sẽ cực đại khi θ = 180 .
m0c
2

2h

m0c

Lúc đó electron nằm ngay trên quỹ đạo của photon và photon bị bật ngược trở lại.
b) Gọi Wđ là năng lượng cần thiết mà electron thu được sau tán xạ; ε’ là năng lượng của photon tán xạ.
Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có:


Wđ     ' 
Wđ  

hc





hc
 ' hc 

 hc
 .
 .
'
 '
 '
'





   1  


Vì ε và λ không đổi, nên Wđ sẽ lớn nhất khi Δλ lớn nhất: Wđ max 
1



m0c
2h


m0c 2
1
2

T13. a) Theo định lí về động năng: Wđ = eU
Năng lượng của photon tới phải thỏa mãn:
  hf  Wđ  eU  hf max 

hc

min

 eU  min 

hc
eU

- Tính góc giật lùi và góc tán xạ:

Năng lượng của photon có bước sóng ngắn nhất trong chùm photon do ống Rơnghen phát ra:
  eU  min  0,124 Å
 eU
Động lượng của photon tới là: p  
(1)
c

c

* Từ định luật bảo toàn năng lượng, ta có:
pc  me c 2  p' c  Wđe  me c 2  p'  p 

Wđe eU  Wđe

c
c

(2)

(p’ là động lượng của photon tán xạ)
* Từ định luật bảo toàn động lượng, ta có:
p  p '  pe  p'2  p 2  pe2  2 ppe cos 
Với Φ là góc giật lùi của electron.
* Từ hệ thức tương đối tính:





2


E 2  pe2c 2  me2c 4  Wđe  me c 2  p22 

1
Wđe2  2Wđe .mec 2
c2



(3)



(4)

Thay (1), (2) và (4) vào (3) ta được:

e .U 
 E0 


W
m

đe
e
1  
2 
2


c 
c
 

cos  
.
 
2
2
e .U Wđe  2Wđe me c
E
1 2 0
Wđe

(5)

Với E0 = me.c2 = 0,511MeV; ε = e.U = 0,1MeV. Thay số ta được:   53o7'
- Từ định luật bảo toàn động lượng, ta lại có:
pe2  p 2  p'2 2 pp'.cos   cos  

p 2  p'2  pe2
2 pp'

Với α là góc tán xạ photon. Thay p bởi (1), p’ bởi (2), pe bởi (4):
E0
cos  1 



(6)


 


 1
 Wđe


Thay số ta được: α ≈ 64o24’
b) Từ (5) ta thấy (Wđe)max khi (cosφ)max, do đó: φ = 0  Wđe max 

2 E0
2

 E0 
1    1
 


 28keV