TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÍ


QUÁCH THỊ LAN HƢƠNG

SỬ DỤNG TIẾNG ANH CHO VẬT LÍ TRONG PHÂN
DẠNG BÀI TẬP PHẦN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lí đại cƣơng

HÀ NỘI, 2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ


QUÁCH THỊ LAN HƢƠNG

SỬ DỤNG TIẾNG ANH CHO VẬT LÍ TRONG PHÂN
DẠNG BÀI TẬP PHẦN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý đại cƣơng
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

ThS. Hoàng Văng Quyết

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành đề tài khoá luận và kết thúc khoá học, với tình cảm chân
thành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội
2, đã tạo điều kiện cho em có môi trƣờng học tập tốt trong suốt thời gian
nghiên cứu, học tập tại trƣờng.
Em xin gửi lời cảm ơn tới Thầy giáo - ThS. Hoàng Văn Quyết ngƣời đã
giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình nghiên cứu và trực tiếp
hƣớng dẫn em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp này. Đồng thời, em xin bày
tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô trong khoa Sƣ phạm Vật lý, bạn bè đã giúp đỡ, tạo
điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận tốt nghiệp
lần này.
“Sử dụng tiếng anh cho vật lý trong phân dạng bài tập phần dao
động điều hoà” là một đề tài hay và hấp dẫn. Tuy nhiên do thời gian có hạn
và đây là những bƣớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nên đề
tài của em không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận đƣợc
sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận của em đƣợc
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Quách Thị Lan Hƣơng


LỜI CAM ĐOAN
Dƣới sự hƣớng dẫn của ThS. Hoàng Văn Quyết khóa luận tốt nghiệp
chuyên ngành Vật lý đại cƣơng với đề tài “Sử dụng tiếng Anh cho Vật Lý
trong phân dạng bài tập phần dao động điều hòa” đƣợc hoàn thành bởi chính

sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ khóa luận nào khác.
Trong khi nghiên cứu khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sụ trân trọng, biết ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Quách Thị Lan Hƣơng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu đề tài ........................................................................... 2
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
5. Khách thể nghiên cứu .................................................................................... 2
6. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................... 2
7. Cấu trúc của khoá luận .................................................................................. 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ TRONG CƠ
HỌC................................................................................................................... 3
1.1. Một số khái niệm mở đầu ........................................................................... 3
1.2. Khái niệm về dao động điều hoà ................................................................ 4
1.3. Các phƣơng pháp biểu diễn dao động tuần hoàn ....................................... 6
1.4. Tổng hợp các dao động điều hòa ............................................................... 8
1.5. Nguyên nhân gây ra dao động điều hoà ................................................... 11
1.6. Năng lƣợng của dao động điều hoà.......................................................... 18
CHƢƠNG 2. PHÂN DẠNG BÀI TẬP DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ TRONG
CƠ HỌC .......................................................................................................... 22
2.1. Demonstrate harmonic oscillator system ................................................. 22

2.2. Find the quantity characteristics of the harmonic oscillator .................... 25
2.3. The energy of harmonic oscillation ......................................................... 30
2.4. Synthetic harmonic oscillator.................................................................. 35
2.5. Exercises on the graph of the harmonic oscillator ................................... 37
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 45


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đất nƣớc ta đang bƣớc vào thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa; bên
cạnh những thời cơ, thuận lợi cũng tạo ra nhiều khó khăn, thách thức đòi hỏi
Ngành Giáo dục – Đào tạo phải có những đổi mới căn bản, mạnh mẽ, đồng bộ
về mọi mặt. Trong đó đặc biệt chú trọng đổi mới phƣơng pháp và phƣơng tiện
dạy học. Nghị quyết TW2 khóa VIII đã chỉ rõ “Đổi mới mạnh mẽ phƣơng
pháp giáo dục – đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành
nếp tƣ duy sáng tạo của ngƣời học, từng bƣớc áp dụng các phƣơng pháp tiên
tiến và phƣơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời
gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh…”.
Trƣớc những yêu cầu đó, những năm gần đây Ngành Giáo dục – Đào
tạo đã liên tục thực hiện nhiều chính sách đổi mới cải cách. Cụ thể từ năm
2010, việc dạy các môn khoa học tự nhiên bằng tiếng Anh đã đƣợc Chính phủ
phê duyệt trong Đề án 959 về phát triển hệ thống trƣờng THPT chuyên giai
đoạn 2010 - 2020 và dự kiến đến năm 2020 sách song ngữ sẽ đƣợc đƣa vào
dạy đại trà.
Trên thực tế giảng dạy ở trƣờng phổ thông, việc sử dụng tiếng Anh
trong các môn khoa học tự nhiên nói chung và môn Vật lý nói riêng là điều
cần thiết và càng trở nên cấp bách hơn bao giờ hết song còn gặp nhiều khó
khăn, trong đó khó khăn lớn nhất chính là rào cản ngôn ngữ khi học sinh học
các kiến thức khoa học với nhiều từ vựng chuyên ngành tiếng Anh. Vậy việc
tìm ra những biện pháp giúp học sinh vƣợt qua những trở ngại khi học môn

Vật lý bằng tiếng Anh là điều cần thiết.
Từ những nhu cầu thực tế đó tôi quyết định chọn “Sử dụng tiếng anh
cho Vật lý trong việc phân dạng bài tập phần dao động điều hòa” làm để tài
khóa luận tốt nghiệp của mình.

1


2. Mục đích nghiên cứu đề tài
Phân dạng bài tập phần dao động điều hòa trong cơ học bằng Tiếng
Anh
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng: Các kiến thức phần dao động điều hòa và tiếng Anh cho
chuyên ngành Vật lý
- Phạm vi: Xét trong Vật lý cổ điển
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng hệ thống từ vựng phần dao động điều hòa.
- Trình bày logic khoa học lý thuyết phần dao động điều hòa
- Phân dạng các bài toán bằng tiếng Anh.
5. Khách thể nghiên cứu
Quá trình sử dụng tiếng Anh cho Vật lý trong phân dạng bài tập phần
dao động điều hoà
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu
- Phƣơng pháp tổng hợp
7. Cấu trúc của khoá luận
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, khoá luận gồm 2
chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận của dao động điều hoà trong cơ học.
Chƣơng 2: Phân dạng bài tập dao động điều hòa trong cơ học.


2


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ
TRONG CƠ HỌC
1.1. Một số khái niệm mở đầu
- Hiện tƣợng tuần hoàn là những hiện tƣợng diễn ra lặp đi lặp lại nhƣ cũ sau
những khoảng thời gian xác định.
- Quá trình tuần hoàn là những quá trình liên tục trong đó sự biến thiên của
một số đại lƣợng nào đó đặc trƣng cho quá trình biến đổi nhƣ vận tốc, gia tốc, áp suất,
nhiệt độ, khoảng cách, ... đƣợc lặp lại nhƣ cũ sau những khoảng thời gian xác định.
- Dao động: Trong một số quá trình tuần hoàn, những đại lƣợng biến thiên đặc
trƣng cho quá trình chỉ thay đổi giá trị xung quanh một giá trị trung bình xác định
đƣợc gọi là một dao động tuần hoàn. Mỗi lần các đại lƣợng biến thiên của quá
trình lặp lại những giá trị nhƣ cũ ta nói rằng nó đã thực hiện đƣợc một dao
động.
- Chu kì dao động: Chu kì dao động đƣợc kí hiệu bằng chữ T là khoảng thời
gian xác định, không đổi để quá trình biến đổi thực hiện đƣợc một dao động.
Nếu ft T   ft  là một đại lƣợng biến đổi tuần hoàn theo thời gian với
chu kì T thì ta luôn luôn có hệ thức:

ft T   ft 
Tuỳ theo bản chất của quá trình lặp lại, ngƣời ta phân biệt các loại dao
động: dao động cơ, dao động điện từ, dao động điện cơ, v.v... ,Ở đây, chúng
ta chỉ nghiên cứu các dao động cơ. Lý thuyết về dao động cơ học có một ý
nghĩa cơ bản nó sẽ đƣợc áp dụng và mở rộng trong các lĩnh vực khác của vật
lý học.
Tùy từng trƣờng hợp mà quá trình dao động có thể đóng vai trò tích cực

cũng có thế đóng vai trò tiêu cực.

3


1.2. Khái niệm về dao động điều hoà
Chúng ta xét thí dụ sau: Một chất
điểm P chuyển động trên một đƣờng tròn
bán kính R với vận tốc góc không đổi
bằng

 . Trên đƣờng tròn chọn điểm C

làm gốc tọa độ và chiều quay dƣơng là
chiều ngƣợc chiều kim đồng hồ. Tại thời
điểm ban đầu t  0 , điểm P ở vị trí Po
đƣợc xác định bởi góc  . Tại thời điểm t
bất kì vị trí của P đƣợc xác định bởi góc

Hình 1.1.

t    . Ta chiếu chuyển động của

điểm P xuống đƣờng kính đi qua C.
Chọn gốc tọa độ trên đƣờng kính đó, là tâm O của đƣờng tròn. Tại
thời điểm t bất kì vết chiếu của P là P‟. Đặt OP '  x , ta có:
x  R cos t   

(1.1)


Đó là phƣơng trình chuyển động của điểm P ' trên đƣờng kính C 'C .
Nếu ta chiếu chuyển động của điểm P xuống đƣờng kính vuông góc với C 'C
ta đƣợc P '' . Phƣơng trình chuyển động của P '' sẽ là:
x  R sin t   

Từ (1.1) ta có:

(1.2)

  2
x  R cos t     R cos   t 

 



  



Căn cứ vào định nghĩa chu kì ta thấy chuyển động của P ' trên đƣờng
kính C 'C là một dao động tuần hoàn với chu kì T 

2



. T cũng chính là

thời gian để P quay đƣợc một vòng trên đƣờng tròn và P ' trở lại vị trí cũ trên

đƣờng kính C 'C .
Từ (1.1) ta có vận tốc và gia tốc của P ' là:
v  x   R sin t   

4


a  x   R 2 x cos t   

Tƣơng tự với (1.2) ta cũng đƣợc kết quả tƣơng tự, tọa độ, vận tốc, gia tốc của
nó đều dƣợc biểu diễn bởi các phƣơng trình dạng sin hoặc cosin. Dao động
tuần hoàn nhƣ vậy đƣợc gọi là dao động điều hoà.
Một dao động tuần hoàn mà các đại lƣợng biến đổi đều đƣợc biểu diễn bởi các
phƣơng trình dạng sin hoặc cosin đƣợc gọi là dao động điều hoà.
- Tọa độ x của P ' đƣợc gọi là li độ của dao động.
- Lƣợng

t   cho phép xác định li độ, vận tốc, gia tốc của P ' tại

mỗi thời điểm t bất kì đƣợc gọi là pha của dao động điều hoà.
- Lƣợng

 cho phép xác định li độ, vận tốc, gia tốc tại thời điểm ban

đầu t = 0 (trạng thái ban đầu của dao động) đƣợc gọi là pha ban đầu của dao
động điều hoà.
- R là giá trị cực đại của li độ ứng với sin t    hoặc

cos t    đƣợc gọi là biên độ của dao động điều hoà. Nhƣ vậy li độ biến
thiên trong khoảng  R  x  R .

- Trong dao động điều hoà, li độ, vận tốc, gia tốc đều biến thiên với
một chu kì chung T 

2



. Ngƣời ta gọi lƣợng T 

2



là chu kì của dao

động điều hoà. Nghịch đảo của chu kì T đƣợc gọi là tần số của dao động điều
hoà.
Thứ nguyên của tần số:

   T 1

Đơn vị của tần số (trong hệ đơn vị SI) là Hec; kí hiệu: Hz .
Hec là tần số bằng một dao động trong thời gian một giây.

1Hz  1s 1
Hai dao động đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình:
x1  A1 cos 1t  1 

5



x2  A2 cos 2t   2 

Nếu 2t   2   1t  1   2k với k = 0, ±1, ±2, ±3,... Tức hai dao
động có pha bằng nhau hoặc khác nhau một bội số chẵn của

 đƣợc gọi là

hai dao động cùng pha. Nếu 2t   2   1t  1    2k  1 với k = 0, ±1,
±2, ±3,... Tức hai dao động có độ lệch pha bằng

 hoặc bội số lẻ của  ,

đƣợc gọi là hai dao động ngƣợc pha.
Hai dao động có pha khác nhau một lƣợng bất kì đƣợc gọi là hai dao
động lệch pha.
* Chú ý: Trong thí dụ mà ta đã xét trên, pha, pha ban đầu, tần số góc là
những góc cụ thể và ta có thể trực tiếp đo đƣợc. Nhƣng trong trƣờng hợp tổng
quát, chúng chỉ là các đại lƣợng trung gian giúp ta xác định li độ, vận tốc, gia
tốc, v.v ... của dao động mà không biểu diễn một góc cụ thể nào cả.
1.3. Các phƣơng pháp biểu diễn dao động tuần hoàn
Để biểu diễn dao động tuần hoàn, tuỳ từng trƣờng hợp cụ thể mà chúng
ta có thể sử dụng một trong ba phƣơng pháp sau: phƣơng pháp lƣợng giác,
phƣơng pháp số phức và phƣơng pháp hình học.
1.3.1. Phương pháp lượng giác
Phƣơng pháp lƣợng giác là phƣơng pháp biểu diễn dao động tuần hoàn
bởi các phƣơng trình lƣợng giác dạng sin hoặc cosin mà trên đây ta đã sử
dụng:
x  Asin t   


Hoặc:
x  A cos t   

6


1.3.2. Phương pháp hình học
Phƣơng pháp hình học (hay còn
đƣợc gọi là phƣơng pháp giản đồ vectơ
quay hay phƣơng pháp Frexnen) áp dụng
tính chất đã đƣợc nghiên cứu ở thí dụ vừa
xét: Khi một chất điểm P chuyển động
đều trên một đƣờng tròn thì chuyển động
của vết chiếu P ' của nó trên một đƣờng

Hình 1.2.
Hình 1.2.
Trên trục x ta chọn điểm O bất kì làm gốc. Từ O
đặt

kính là một dao động điều hoà.

vectơ A tạo với Ox một góc

một

 bằng pha ban đầu, có độ dài tỉ lệ với biên độ

A. A đƣợc gọi là vectơ biên độ. Cho vectơ biên độ quay quanh O theo chiều
dƣơng (ngƣợc chiều kim đồng hồ) với vận tốc góc bằng


 . Vết chiếu của

điểm đầu mút vectơ biên độ A trên trục Ox sẽ dao động xung quanh điểm O
với biên độ bằng độ dài vectơ biên độ, với tần số vòng bằng vận tốc quay của
vectơ biên độ, và với pha ban đầu bằng góc tạo bởi vectơ biên độ với trục Ox
tại thời điểm ban đầu theo phƣơng trình:
x  A cos t   

Nhƣ vậy, một dao động điều hòa có thể đƣợc biểu diễn bằng một vectơ có
độ dài bằng biên độ dao động, tại thời điểm ban đầu hƣớng của vectơ hợp với trục
Ox một góc bằng pha ban đầu của dao động. Chính vì lý do nhƣ vậy mà pha ban
đầu  còn đƣợc gọi là góc pha, và  còn đƣợc gọi là tần số vòng.
1.3.3. Phương pháp số phức
Ta biết một số phức a có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng
a  Aei  A(cos  i sin  )  A cos  iAsin 

Trong đó: A cos  là phần thực của số phức a

7


iAsin  là phần ảo của số phức a
Một dao động điều hòa x  A cos t    có thể đƣợc biểu diễn bởi phần
it  

thực của số phức a  Ae

hoặc số liên hợp phức a là a*  Ae


 it  

. Hay

có thể viết dƣới dạng:
a  A exp i t   

Hoặc
a*  A expi t    .

Phƣơng pháp hình học và phƣơng pháp số phức giúp chúng ta tổng hợp
những dao động điều hòa một cách đơn giản. Nếu ta có một dao động dạng
sin thì ta có thể chuyển sang biểu diễn dƣới dạng cosin bằng cách đổi pha ban
đầu, và có thể áp dụng hai phƣơng pháp trên.
1.4. Tổng hợp các dao động điều hòa
Trong thực tế, nhiều khi có những vật đồng thời tham gia vào hai hoặc
nhiều chuyển động điều hòa, khi đó chuyển động tổng hợp của vật sẽ là
chuyển động tổng hợp của hai hoặc nhiều chuyển động điều hòa thành phần.
1.4.1. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
Xét một vật tham gia đồng thời vào hai dao động điều hòa cùng phƣơng
cùng tần số nhƣng có biên độ và pha ban đầu khác nhau:
x1  A1 cos(t  1 )

(1.3)

x2  A2 cos(t   2 )

(1.4)

Chuyển động của vật sẽ là tổng hợp của hai dao động nói trên.

x  x1  x2  A1 cos t  1   A2 cos t   2 

Chúng ta dùng phƣơng pháp hình học để tổng hợp hai dao động đó.
Tại thời điểm ban đầu t  0 hai vectơ biên độ A1 và A2 tạo với Ox
những góc 1 và  2 . Cả hai vectơ biên độ cùng quay với vận tốc góc

8

 nhƣ


nhau, vì thế tại thời điểm t bất kì góc giữa chúng là không đổi và bằng

 2  1 .
Hình bình hành tạo bởi hai vectơ
cơ sở A1 và A2

không biến dạng theo

thời gian. Do vậy, vectơ tổng A

cũng

quay với vận tốc góc  và có độ lớn
không đổi.
Vì tổng hình chiếu của hai vectơ lên
một trục bằng hình chiếu của vectơ tổng

Hình 1.3


lên trục đó. Nên dao động tổng hợp
x có thể biểu diễn bằng vectơ biên độ A lả tổng hình học của hai vectơ biên
độ A1 và A2
A  A1  A2

Vậy: x  x1  x2  A cos t   

(1.5)

Chúng ta cần xác định A và 
Theo hình vẽ ta có:
A2  A12  A22  2 A1 A2 cos 2  1 

tan  

A1 sin 1  A2 sin  2
A1 cos1  A2 cos 2

(1.6)
(1.7)

Ta thấy A ,  ,  là các hằng số, do vậy tổng hợp của hai dao động điều
hoà trên cũng là một dao động điều hoà cùng tần số, cùng phƣơng biểu diễn
bởi (1.5).
Theo (1.6) thì biên độ của dao động tổng hợp phụ thuộc vào góc lệch
pha  giữa hai dao động thành phần  2  1 .

9



1.4.2. Tổng hợp hai dao động điều hoà có phương vuông góc với nhau
Trong quang học, vật lý vô tuyến, có những trƣờng hợp phải tổng hợp
hai dao động điều hoà có phƣơng vuông góc với nhau. Trƣớc tiên, ta xét
trƣờng hợp một vật đồng thời tham gia vào hai dao động điều hoà cùng tần số
 , theo hai phƣơng vuông góc với nhau Ox và Oy. Để đơn giản, ta chọn thời

điểm ban đầu t = 0 là lúc pha ban đầu của dao động theo phƣơng trục x bằng
không. Khi đó phƣơng trình của hai dao động thành phần:
x  A1 cos  t

y  A2 cos t   

(1.8)
(1.9)

Ở đây,  là pha ban đầu của dao động theo phƣơng trục y và cũng là
độ lệch pha giữa hai dao động.
Các phƣơng trình (1.8) và (1.9) là phƣơng trình quỹ đạo mà theo đó vật
chuyển động tham gia vào cả hai dao động, cho dƣới dạng tham số. Để nhận
đƣợc phƣơng trình quỹ đạo dƣới dạng thông thƣờng cần phải khử t trong hai
phƣơng trình (1.8) và (1.9).
Từ (1.8) và (1.9) ta có :
x
 cos  t
A1
y
 cos t     cos  t cos   sin  t sin 
A2

(1.8a)

(1.9a)

Nhân (1.8a) với cos rồi trừ đi (1.9a) ta đƣợc:
x
y
cos  
 sin  t sin 
A1
A2

Nhân (1.8a) với sin  đƣợc:
x
sin   cos  t sin 
A1

Bình phƣơng hai vế hai phƣơng trình trên rồi cộng vế với vế và giản
ƣớc ta đƣợc:
10


x2 y 2
xy


2
cos   sin 2 
2
2
A1 A2
A1 A2


(1.10)

A1, A2,  là những hằng số, phƣơng trình (1.10), nói chung, là phƣơng
trình của một đƣờng elíp có các trục quay đối với các trục tọa độ Ox và Oy. Sự
định hƣớng của elíp và độ lớn của các bán trục của nó phụ thuộc một cách khá
phức tạp vào các biên độ A1 , A2 và hiệu số pha  .
1.5. Nguyên nhân gây ra dao động điều hoà
Ta xét xem khi một vật dao động điều hoà, nó chịu tác dụng của những
lực nhƣ thế nào? Trƣớc hết chúng ta xét một số thí dụ sau:
1.5.1. Thí dụ 1
Một hòn bi khối lƣợng m có thể
chuyển động không ma sát trên một mặt
phẳng nằm ngang. Nó đƣợc gắn vào
một đầu của lò xo có khối lƣợng không
đáng kể, đầu kia của lò xo đƣợc gắn cố
định. Khi nén lò xo lại rồi buông ra, hòn
bi sẽ thực hiện một dao động. Ta xét dao
động đó.

Hình 1.4.

Khi hòn bi ở vị trí cân bằng, hòn bi đứng tại O. Trọng lực tác dụng lên
nó cân bằng với phản lực của mặt phẳng và tổng hợp lực tác dụng lên nó bằng
không. Chọn O làm gốc toạ độ. Khi ta nén lò xo lại và đƣa nó tới vị trí có tọa
độ x. Tổng hợp lực tác dụng lên hòn bi đúng bằng lực đàn hồi F của lò xo.
Với F = - kx (k là hệ sổ cứng của lò xo), do đó phƣơng trình của định luật
Niutơn thứ hai cho chuyển động của hòn bi có dạng nhƣ sau:
mx  kx


Hay:
x

k
x0
m

11

(1.11)


Đặt

k
 02 , ta viết đƣợc phƣơng trình trên thành:
m

x  02 x  0

(1.11a)

Nghiệm của phƣơng trình trên có thể là:
x  Asin 0t   

Hoặc:
x  A cos 0t   

Trong đó: t là thời gian, A, 0 , là những hằng số.
Nghiệm cùa phƣơng trình (1.11a) biểu diễn một dao động điều hòa.

Vậy chuyển động của hòn bi dƣới tác dụng của lực đàn hồi là một dao động
điều hòa với tần số vòng:

 
0

k
m

(1.12)

Chu kì của dao động:
T

2

0

 2

m
k

(1.13)

Biên độ A và pha ban đầu là  . Giá trị của A và  đƣợc xác định dựa
vào ban đầu của bài toán.
1.5.2. Thí dụ 2: Con lắc lò xo
* Định nghĩa: Một vật nặng
có khối lƣợng m đƣợc treo dƣới

một lò xo đàn hồi có hệ số cứng k
và khối lƣợng không đáng kể
Ở vị trí cân bằng lực đàn hồi

F0 của lò xo cân bằng với trọng
lực P tác dụng lên vật. Gọi l là
Hình 1.5.
12


độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng. Chọn vị trí cân bằng của vật làm
gốc tọa độ O, trục Ox hƣớng từ trên xuống dƣới, tại vị trí cân bằng ta có:
Fo  P  0

Hay:
 F0  P  0
P  F0  k.l

Kéo vật nặng xuống phía dƣới một đoạn rồi buông ra, vật sẽ chuyển
động dƣới tác dụng của lực đàn hồi F và trọng lực P .
Xét chuyển động của vật tại vị trí có li độ x. Khi đó, độ dãn của lò xo là

l  x và lực đàn hồi bằng F  k  l  x  . Hình chiếu của hợp lực tác dụng
lên vật trên phƣơng trục x là:

P  F 

x

 P  F  P  k  l  x   kx


Phƣơng trình định luật Niutơn thứ hai cho chuyển động của vật là:
mx  kx

(1.14)

Phƣơng trình này giống nhƣ phƣơng trình (1.11). Vậy ta có thể kết luận
rằng vật nặng sẽ dao động điều hoà với tần số vòng:

0 

k
m

(1.15)

T  2

m
k

(1.16)

Và chu kì:

Chu kì dao động của con lắc lò xo chỉ phụ thuộc khối lƣợng m của vật
nặng và hệ số cứng k của lò xo mà không phụ thuộc trọng lực P . Tác dụng
lên vật nặng. Do vậy, chu kì dao động của con lắc sẽ không thay đổi nếu ta
dịch chuyển con lắc đến một nơi bất kì trên Trái Đất, hoặc đặt nó trên con tàu


13


vũ trụ ở cách xa trọng trƣờng của Trái đất.
* ứng dụng:
Ngƣời ta có thể dùng con lắc lò xo để so sánh khối lƣợng m1 , m2 của
hai vật khác nhau, bằng cách treo lần lần lƣợt hai vật đó vào cùng một lò xo
và đo các chu kì T1 , T2 tƣơng ứng.
T  2

Từ:

m
k

Ta có:

m1
;T2  2
k

T1  2

m2
k

Do vậy:
m1 T12

m2 T22


- Ngƣời ta cũng dùng con lắc lò xo để đo hệ số cứng của lò xo. Nếu biết
m, bằng thực nghiệm xác định đƣợc chu kỉ dao động T của con lắc lò xo thì
hệ số cứng k của lò xo là:
k

4 2 m
T2

1.5.3. Thí dụ 3: Con lắc toán học
* Định nghĩa: Con lắc toán học là một hệ gồm một vật nặng có kích
thƣớc không đáng kể, treo ở đầu một sợi dây không dãn có khối lƣợng không
đáng kể.
Ở vị trí cân bằng, sức căng T của dây cân
bằng với trọng lực P tác dụng lên vật. Tổng hợp
lực tác dụng lên vật nặng bằng không.
P T  0

Khi kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng rồi
14

Hình 1.6.


buông ra, con lắc sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng.
Xét chuyển động của con lắc.
Chọn hệ tọa độ có gốc O trùng với vị trí cân bằng của con lắc, đƣờng
tọa độ s trùng với đƣờng quỹ đạo, có chiều dƣơng là chiều tăng của s.
Tại vị trí ứng với góc lệch  (vật nặng có độ dời s), lực tác dụng lên
con lắc gồm trọng lực P và sức căng T . Áp dụng định luật Niutơn thứ hai ta

có phƣơng trình chuyển động của con lắc:
P  T  ma

Chiếu lên phƣơng tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động ta đƣợc:

 Pt  mat  ms
Trong đó Pt  P sin   mg.sin 
Khi góc lệch  nhỏ ta có sin     s Thay vào phƣơng trình trên
l
ms  

đƣợc:

Hay:

mg
s
l

s

g
s0
l

(1.17)

Phƣơng trình này có dạng nhƣ phƣơng trình (1.11). Vậy, ta có thể kết
luận chuyển động của con lắc toán học (ứng với góc lệch  nhỏ) là một dao
động điều hòa có tần số vòng là:


0 

g
l

(1.18)

Và chu kì:
T

2

0

 2

l
g

(1.19)

* Khi  <10° các kết quả trên (1.18), (1.19) chính xác tới 0,2%. Ta có
thể nói rằng chu kì của con lắc toán học không phụ thuộc khối lƣợng và biên

15


độ dao động của nó. Chu kì dao động của con lắc toán học phụ thuộc gia tốc
trọng trƣờng g tại vị trí đặt con lắc. Do vậy, ngƣời ta có thể dùng con lắc toán

học để xác định gia tốc trọng trƣờng g tại mỗi điểm.
4 2l
g 2
T

1.5.4. Thí dụ 4: Con lắc vật lý
* Định nghĩa: Con lắc vật lý là một vật
nặng bất kì có thể dao động tự do xung quanh
một trục nằm ngang.
Gọi d là bán kính vectơ từ trục quay O
tới khối tâm G của con lắc (Hình 1.7). Tại vị trí
cân bằng O và G nằm trên cùng một đƣờng
Hình 1.7.

thẳng đứng. Khi kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân

bằng một góc lệch  nhỏ rồi buông ra, con lắc sẽ dao động xung quanh trục
nằm ngang O.
Xét chuyển động của con lắc tại vị trí bất kì ứng với góc lệch  ,
mômen lực tác dụng lên con lắc đối với trục quay O là:

M  d  P  d  mg
Áp dụng phƣơng trình định luật II Niutơn cho chuyển động quay xung
quanh trục cổ định O ta có:

M  md  g  I 

(1.20)

Suy ra:

mgd.sin   I   I

Ở đây:
- Dấu “-” xuất hiện do mômen lực M

luôn hƣớng theo chiều có tác

dụng làm giảm góc lệch 0 (ngƣợc chiều trục quay).
- I: Mômen quán tính của con lắc đối với trục quay đi qua O Khi góc
16


lệch  nhỏ ta có thể lấy sin   
Vậy ta có:



mgd
 0
I

(1.21)

Nghiệm phƣơng trình trên có dạng:

  0 cos 0t   

(1.22)

Trong đó:

mgd
: tần số góc
I

0 

 : Pha ban đầu
 0 : Biên độ của dao động
Do vậy chu kì dao động của con lắc là:

T

2

0

 2

I
mgd

(1.23)

So sánh (1.22), (1.23) với (1.18), (1.19) ta thấy con lắc vật lý dao động
nhƣ một con lắc toán học có chiều dài bằng:
L

I
md


(1.24)

Do vậy, L đƣợc gọi là chiều dài rút gọn của con lắc vật lý và ta có thể
viết:
T  2

L
g

(1.25)

Con lắc thuận nghịch
Trên đƣờng tròn, lấy điểm O‟ sao cho OO‟= L. Vậy ta có thể coi O‟ là
điểm tƣởng tƣợng tại đó tập trung toàn bộ khối lƣợng của con lắc vật lý để nó
dao động giống nhƣ một con lắc toán học có chiều dài L. Ta gọi O‟ là tâm dao
17


động của con lắc vật lý.
Ta sẽ chứng minh rằng, khi con lắc dao động xung quanh trục O‟, chiều
dải rút gọn của nó vẫn là L và do đó chu kì dao động của nó vẫn bằng T nhƣ
khi nó dao động xung quanh trục O.
Theo định lý Stenơ - Huyghen ta có:
I = Ic + md2
Trong đó, Ic: mômen quán tính của vật đối với trục quay đi qua khối
tâm C.
Thay I vào (1.23) đƣợc:

Ld 


Ic
md

(1.25)

từ (1.25) ta thấy L > d do đó O và O‟ nằm ở hai phía đối với khối tâm C.
Cho con lắc dao động xung quanh trục đi qua O‟. Theo (1.25) chiều
dài rút gọn của con lắc sẽ là:

L '  d '

Ic
md '

Theo hình vẽ ta thấy d‟= L – d. Kết hợp với (1.25) ta có:
d' Ld 

Ic
md

Thay vào biểu thức xác định L‟ ta có:

L'  L d 

Ic
 Ld d  L
Ic
m
md


1.6. Năng lƣợng của dao động điều hoà
Chúng ta xét sự biến đổi của năng lƣợng trong dao động điều hoà. Cho
lực F tác dụng lên hòn bi gắn vào lò xo, nhƣ thí dụ 1. Để đƣa hòn bi dần ra
xa vị trí cân bằng của nó, tại từng điểm trên đƣờng đi của hòn bi, ngoại lực

18


F có độ lớn bằng nhƣng ngƣợc chiều với lực hồi phục của lò xo. Do vậy:

F   Fhp  kx
Khi đạt tới li độ x, ngoại lực đã thực hiện 1 công:

A

1 2
kx
2

Công này tạo ra thế năng cùa hòn bi tại li độ x:

U

1 2
kx
2

Nếu ngoại lực đƣa vật tới li độ cực đại x = A rồi ngừng tác dụng, nó đã
cung cấp cho hòn bi năng lƣợng:


E  U max 

1 2
kx
2

Xét chuyển động của hòn bi tại vị trí có li độ x, thế năng của nó lúc đó
là:

U

1 2
kx
2

Vận tốc của nó lúc đó là v  x do đó động năng của viên bi là:

T

1
mx 2
2

Nếu phƣơng trình dao động của viên bi có dạng:

x  A sin t   
Với k  m 2 ta có:

U
T


1 2
kA sin 2 t   
2

1
1
mA2 2 cos 2 (t   )  kA2 cos 2 t   
2
2
19


Do vậy:

E  T U 

1 2
kA
2

(1.26)

Vậy tại mỗi vị trí bất kì của dao động, năng lƣợng toàn phần của dao
động có giá trị không đổi và đúng bằng năng lƣợng mà ngoại lực đã cung cấp
cho vật. Điều đó phù hợp với nguyên lý bảo toàn năng lƣợng.
Khi vật dao động qua vị trí cân bằng: x = 0 do vậy U = 0 và T = Tmax=
E. Khi vật tới li độ cực đại x = A thì U = Umax = E và T = 0
Nhƣ vậy trong một chu kì dao động, năng lƣợng toàn phần hai lần
chuyển hoá thành động năng và hai

lần chuyển hoá hoàn toàn thành thế
năng. Vì vậy, ngƣời ta nói rằng
năng lƣợng cũng “dao động” với
chu kì T ' 

T
. Nếu ta gọi sự dao
2

động của năng lƣợng trong trƣờng
hợp này là sự chuyển hoá lần lƣợt

Hình 1.8.

của nó thành động năng và thế năng.

Ta đã xét dao động điều hoà băng phƣơng pháp động lực học, tức là dựa
trên tính chất của lực tác dụng lên vật, từ đó tìm ra quy luật chuyển động của
vật.
Dƣới đây, chúng ta cũng có thể xét dao động bằng phƣơng pháp năng
lƣợng. Dao động điều hoà của vật đƣợc xem nhƣ chuyển động của vật trong
một hố thế. Đƣờng thế năng ở đây là đƣờng parabol:

1
U  kx 2
2
Và năng lƣợng toàn phần:

1
E  kA2

2

20