TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÍ
--------------------------

VŨ THỊ NGỌC BÍCH

CÁC PHÂN BỐ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN
Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÍ
--------------------------

VŨ THỊ NGỌC BÍCH

CÁC PHÂN BỐ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN
Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này, em đã nhận được
nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên. Em xin chân
thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lí – trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, các thầy cô đã dạy em trong suốt bốn năm học, qua đó đã giúp em hoàn
thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Lưu Thị Kim
Thanh, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận này.
Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên khóa luận vẫn còn
nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý, nhận xét của các
thầy cô và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Vũ Thị Ngọc Bích


LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu trên cơ sở những kiến thức đã học. Đặc biệt là sự hướng dẫn tận
tình của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh
Trong khi nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em có tham khảo các
tài liệu có liên quan ghi trong mục tài liệu tham khảo.
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu của đề tài “Các phân bố
thống kê cổ điển ” không trùng lặp với kết quả của bất cứ đề tài nào khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2018

Sinh viên

Vũ Thị Ngọc Bích


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài. ............................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu. ..................................................................................... 2
3. Đối tượng nghiên cứu..................................................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu................................................................................ 2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu. .................................................................................... 2
6. Cấu trúc của khóa luận: .................................................................................. 2
NỘI DUNG....................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: LUẬN ĐỀ CƠ BẢN CỦA VẬT LÝ THỐNG KÊ. ............... 3
1.1. Các khái niệm cơ bản của vật lý thống kê .................................................. 3
1.1.1. Quy luật tính thống kê ....................................................................... 3
1.1.2. Trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô. Xác suất nhiệt động ............... 3
1.1.3 Không gian pha ................................................................................... 4
1.1.4. Cách mô tả thống kê nhiều hạt. Xác suất trạng thái .......................... 5
1.2. Phương pháp Gipxơ .................................................................................... 6
1.3. Định lý Liuvin (Liouville)........................................................................... 8
Kết luận chương 1 ............................................................................................ 14
CHƯƠNG 2: HÀM PHÂN BỐ GIPXƠ ...................................................... 15
2.1. Phân bố vi chính tắc .................................................................................. 15
2.3. Phân bố chính tắc lớn ................................................................................ 19
2.4. Phân bố Macxoen – Bonxoman. ............................................................... 21
2.5. Định lí về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do. ........................ 23
2.5.1. Biểu thức của động năng theo các bậc tự do. .................................. 23
2.5.2. Nội dung định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do.23

2.5.3. Định lý Virian .................................................................................. 25
Kết luận chương 2 ............................................................................................ 26


CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG PHÂN BỐ GIPXƠ.............................................. 27
3.1 Xác định thăng giáng bằng phương pháp Gipxơ. ...................................... 27
3.2. Áp dụng định lý phân bố đều động năng tính nhiệt dung của vật rắn ...... 32
3.3. Một số bài tập ứng dụng........................................................................... 33
Kết luận chương 3 ............................................................................................ 36
KẾT LUẬN .................................................................................................... 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 38


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Cùng với sự phát triển của xã hội loài người, vật lí học đã trải qua nhiều
giai đoạn phát triển và đạt nhiều thành tựu đáng kể. Thế kỷ XVIII cơ học cổ
điển của Newton đã trở thành môn khoa học cơ bản. Thế kỷ XIX lý thuyết
điện từ trường của Macxoen và Faraday ra đời. Đến thế kỷ XX là thế kỷ của
vật lí học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập vào cấu trúc vi mô của vật
chất và người ta nhận thấy rằng các quy luật xảy ra trong thế giới vi mô này
mâu thuẫn với các quy luật đã tìm thấy trong vật lí cổ điển.
Vật lí thống kê là một bộ môn vật lí hiện đại, nó nghiên cứu các hệ nhiều
hạt bằng phương pháp thống kê. Vật lí thống kê có quan hệ chặt chẽ với nhiệt
động lực học và người ta thấy rằng trong trường hợp hệ vĩ mô nằm trong trạng
thái cân bằng thì định luật mà ta thu được trong vật lí thống kê đối với các đại
lượng trung bình là trùng với các định luật của nhiệt động lực học. Vật lí
thống kê có vai trò quan trọng trong vật lí lý thuyết cũng như trong vật lí thực
nghiệm.
Hiện nay, các phương pháp của vật lí thống kê được áp dụng rộng rãi

trong các lĩnh vực khác của vật lí hiện đại, như vật lí học các trạng thái ngưng
tụ, lý thuyết các hạt cơ bản, vũ trụ và thiên văn học. Các định luật cơ bản của
vật lí thống kê cho phép ta xác định được các thông số nhiệt động như nhiệt
độ, entropi, năng lượng tự do, nhiệt dung của hệ nhiều hạt, từ đó xây dựng
được các phân bố Gipxơ cho các hệ. Vật lí thống kê cho ta khả năng thiết lập
các phương trình các hàm nhiệt động của nhiệt động lực học căn cứ vào cấu
trúc của hệ. Hơn thế nữa nó còn cho ta hiểu được ý nghĩa vật lí thống kê của
các vấn đề quan trọng trong Nhiệt động lực học, như nguyên lý hai nhiệt động
lực học, tính thuận nghịch và không thuận nghịch. Khi ta coi chuyển động của

1


từng hạt tạo hệ nhiều hạt tuân theo quy luật của cơ học cổ điển chúng ta có vật
lí thống kê cổ điển. Nội dung chính của vật lí thống kê cổ điển là việc xác định
các hàm phân bố và áp dụng các phân bố đó cho một số hệ vật lí. Có thể nói
đây là một vấn đề cơ bản của vật lí thống kê. Vì vậy tôi chọn đề tài này làm
nội dung nghiên cứu của mình: “Các phân bố thống kê cổ điển”.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Tìm hiểu sâu sắc hơn về các phân bố thống kê trong vật lí lý thuyết cổ
điển.
3. Đối tượng nghiên cứu.
- Các phân bố thống kê cổ điển.
4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp vật lí lý thuyết và phương pháp toán học.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Xây dựng hàm phân bố thống kê trong vật lí thống kê cổ điển.
- Nghiên cứu ứng dụng các hàm phân bố thống kê.
6. Cấu trúc của khóa luận:
Chương 1: Luận đề cơ bản của vật lí thống kê.

Chương 2: Hàm phân bố Gíp xơ.
Chương 3: Áp dụng phân bố Gipxơ.

2


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: LUẬN ĐỀ CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ.
1.1. Các khái niệm cơ bản của vật lí thống kê
1.1.1. Quy luật tính thống kê
Vật lí thống kê nghiên cứu những hệ bao gồm một số rất lớn các hạt như
nguyên tử, phân tử, ion và các hạt khác mà người ta gọi là hệ vi mô hay hệ
nhiều hạt, nhưng bằng các phương pháp khác nhau. Cụ thể là vật lí thống kê
nghiên cứu mối liên hệ giữa đặc tính vĩ mô của hệ mà ta khảo sát với các đặc
tính và các định luật chuyển động của các hạt vi mô cấu thành hệ. Do sự phức
tạp và chuyển động không ngừng của trạng thái vi mô mà ta phải sử dụng
phương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất. [2][3]
Trong hệ nhiều hạt xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luật thống kê.
Quy luật tính thống kê: là quy luật khách quan của hệ nhiều hạt, vì tính cách
của hệ nhiều hạt tại thời điểm xét hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái
lúc trước. Ví dụ như hệ khí (bao gồm một số lớn phân tử), hoặc một thanh
kim loại (bao gồm một số rất lớn các electron).
1.1.2. Trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô. Xác suất nhiệt động
- Trạng thái vi mô: là trạng thái xác định bằng các thông số vi mô tức là
các toạ độ và xung lượng của các hạt cấu thành hệ và chúng chỉ có ý nghĩa
đối với thế giới vi mô ở đó ta xét các phân tử (các hạt) riêng lẻ. [3][6]
- Trạng thái vĩ mô: là trạng thái được xác định bởi các thông số đo được
trong các thí nghiệm vĩ mô thông thường. Ví dụ như T,p,V của khối khí là
những thông số vĩ mô. Mỗi trạng thái vĩ mô của hệ đều tương ứng với một số
rất lớn các trạng thái vi mô. Các trạng thái vi mô này biến đổi liên tục theo

thời gian.[1]

3


- Xác suất nhiệt động
Xác suất nhiệt động WT : các trạng thái vĩ mô khác nhau tương ứng với
các số lượng khác nhau các trạng thái vi mô, một trạng thái vĩ mô sẽ là càng
bền nếu như số trạng thái vi mô tương ứng với nó mà hệ có thể thực hiện
được là càng lớn. Xác suất nhiệt động WT của một trạng thái vĩ mô nhất định
của hệ là số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô đó.[3]

WT

1.

1.1.3 Không gian pha
Không gian pha: Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều
hạt với thời gian người ta đưa vào một không gian quy ước gọi là không gian
pha, đồng thời các tọa độ của không gian đó chính là các thông số độc lập xác
định trạng thái vi mô của hệ (tức là các tọa độ và xung lượng suy rộng của tất
cả các hạt cấu thành hệ) [3]. Phương pháp đó phải coi là rất thuận tiện về mặt
nguyên tắc vì rằng, việc mô tả tính chất của hệ nhiều hạt trong không gian
thực ba chiều gặp phải những khó khăn rất lớn. Mặt khác, đối với tất cả các hệ
vật lí thực, không gian pha là không gian nhiều chiều. Chẳng hạn như, không
gian pha của một phân tử khí lí tưởng đơn giản nhất là không gian 6 chiều;
đối với phân tử hai nguyên tử có 5 bậc tự do không gian pha là mười chiều;
còn đối với một hệ phức tạp nói chung là 2fN chiều với f là số hạt tự do của
một hạt trong hệ, N là số hạt trong hệ.
- Trong vật lí thống kê người ta thường xét hai loại không gian pha:

Không gian µ và không gian K. Không gian µ là không gian của hệ 1 hạt.
Không gian K là không gian của hệ nhiều hạt.
- Các yếu tố cơ bản của không gian pha.
+ Không gian pha là tập hợp tất cả các trạng thái của hệ. Mỗi trạng thái
là một điểm pha. Trạng thái của hệ được xác định bởi tất cả các giá trị của tất
cả các tọa độ và xung lượng suy rộng của các hạt cấu thành.

4


+ Quỹ đạo pha: Khi trạng thái của hệ biến đổi với thời gian, điểm pha sẽ
chuyển động và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha.
+ Bởi vì các phương trình Hamintơn luôn luôn xác định một các đơn trị
tính chất của hệ, nên từ đó suy ra rằng, các quỹ đạo pha của hệ không thể cắt
nhau trong không gian pha.
+ Nếu hệ cô lập thì năng lượng toàn phần là không đổi, nghĩa là:
E = E (𝑞1 , 𝑞2 ,….𝑝1 , 𝑝2 …) = const.
Điều đó có thể xem như một phương trình liên hệ tất cả các thông số vi
mô của trạng thái, và trong không gian pha nó là phương trình của một mặt
nào đó. Mặt đó được gọi là siêu diện năng lượng, hay, vắn tắt hơn là mặt
năng lượng trong không gian pha.
+ Thể tích pha
Sau này ta sẽ xét không phải là 1 hệ mà là một tập hợp hệ và sự phân bố
của các điểm pha của chúng trong không gian pha vì vậy người ta đưa vào
quan niệm thể tích pha.
dV = dx.dy.dz
Để thuận tiện cho việc nghiên cứu sự phân bố của các hệ ta chia không
gian pha ra thành các thể tích nguyên tố đồng thời tương tự như thể tích của
hình hộp 3 chiều độ lớn của mỗi thể tích đó được biểu thị như sau
dX  dq1, dq2 ,..., dq fN , dp1, dp2 ...dp fN


trong đó tất cả các dqk và dpk biểu thị các khoảng đủ nhỏ của các thông số
trạng thái của hệ trong không gian pha để đưa vào mật độ xác suất.
1.1.4. Cách mô tả thống kê nhiều hạt. Xác suất trạng thái
- Cách mô tả thống kê nhiều hạt:
Trong không gian pha K, trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê
được biểu diễn bằng một điểm pha, điểm pha này gọi là điểm biểu diễn pha
của hệ đó, và trạng thái của cả tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một tập

5


hợp các điểm biểu diễn pha riêng biệt, gọi là tập hợp pha thống kê hay gọi tắt
là tập hợp pha. [3][6]
- Xác suất trạng thái:
+ Giả sử có n hệ trong tập hợp thống kê, các hệ này đều bình đẳng như
nhau.
Gọi   f  q1, q2 ... p1, p2 ...t 
dX là một yếu tố thể tích bao quanh một điểm pha ở thời điểm t
Trong tập hợp thống kê, tại thời điểm t cũng có một số hệ có điểm biểu
diễn pha dX. Gọi dn là số lượng các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu
diễn pha dX:

dn   dX ,
+ Xác suất để một hệ nào đó trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn
pha rơi vào trong thể tích nguyên tố dX sẽ là

dW

dn 

 dX   ( X , t )dX ,
n n

Trong đó   X , t  được gọi là mật độ xác suất pha hay hàm phân bố
thống kê và nó thoả mãn điều kiện chuẩn hoá

 d W    ( X , t )dX  1
(X )

+ Ý nghĩa của hàm phân bố thống kê: biết hàm phân bố   X , t  ta có
thể tìm được trung bình thống kê của một đại lượng vật lí bất kì F(X) theo
công thức
F   F ( X )dW   F ( X ) ( X , t )dX .
X

X

1.2. Phương pháp Gipxơ
Ta đã biết rằng, mọi thông số vĩ mô bất kỳ F đều là hàm của các thông số
vi mô, vì vậy, trong trường hợp tổng quát, nó biến thiên liên tục với thời gian.

6


Tuy nhiên, trong bất kỳ một thí nghiệm vật lí nào, ta cũng đều đo không phải
là giá trị tức thời của các đại lượng vật lí mà là đo các trị trung bình theo thời
gian. [2][3] Thực vậy để tiến hành đo đạc một đại lượng nào đó như áp suất
chẳng hạn ta cần một khoảng thời gian t nào đó và trị số đo được là trị trung
bình của F theo thời gian t
t


1
F   F (q1 ,...q3 N , p1... p3 N , t )dt ,
t0
t

Tức là trị trung bình của F được lấy theo các trạng thái vi mô khả hữu
của hệ. Nhưng việc tìm trị trung bình theo thời gian như biểu thức trên trong
trường hợp tổng quát không thể tiến hành được bởi vì ta không biết được sự
phụ thuộc của 6N thông số vi mô vào thời gian tức là ta không thể theo dõi
được tất cả các biến đổi của trạng thái vi mô với thời gian.
- Để giải quyết khó khăn đó Gipxơ (Gibbs) đã đề xuất ra phương pháp
nổi tiếng gọi là phương pháp Gipxơ.
Cơ sở của phương pháp Gipxơ: thay việc khảo sát sự biến đổi (vĩ mô)
của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự
với hệ đã cho gọi là tập hợp thống kê.
Tập hợp thống kê: là một tập hợp các hệ, tương tự với nhau có số lượng
và loại hạt như nhau và ở trong các điều kiện vĩ mô giống nhau và ở trong các
trạng thái vi mô khả hữu khác nhau. Đồng thời, phải đảm bảo rằng mỗi một
hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi
dành cho các hệ tương tự khác, tức là sẽ lần lượt ở trong các trạng thái vi mô
dành cho mọi hệ tương tự trong tập hợp, đó là nội dung của cái gọi là giả thiết
écgôđíc. Tuy nhiên có thể thừa nhận một cách gần đúng rằng mọi hệ trong tập
hợp thống kê sẽ lần lượt ở trong những trạng thái vi mô rất gần giống với
những trạng thái vi mô của các hệ khác; đó là giả thiết chuẩn écgôđíc và các
hệ đó được gọi là các hệ chuẩn écgôđíc.

7



Giả thiết chuẩn écgôđíc: trị trung bình theo thời gian của một đại lượng
bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê. Như vậy trong phương pháp cơ bản
của vật lí thống kê một vấn đề được đặt ra là làm sao tìm được trị trung bình
theo tập hợp; muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác suất hay hàm phân bố
thống kê của hệ. Để giải quyết vấn đề này Gipxơ đã dựa vào cách biểu diễn
hệ trong không gian pha để đưa vào mật độ xác suất.
1.3. Định lý Liuvin (Liouville)
Trong không gian pha, với thời gian, tập hợp các điểm biểu diễn pha
chuyển từ một thể tích này sang một thể tích khác. [3] Giả sử, ở một điểm nào
đó, ta tách ra một thể tích dX1 trong đó có chứa dn = ρ1.dX1 điểm biểu diễn
pha của hệ trong tập hợp thống kê. Sau một khoảng thời gian nào đó, số các
điểm biểu diễn pha đó sẽ chuyển sang thể tích dX2 ở đó có mật độ phân bố là

 2 . Khi đó, hiển nhiên là
dn  1dX1  2dX 2

(1.1)

Đẳng thức (1.1) đưa ta đến ý nghĩ rằng, sự chuyển động của các điểm
biểu diễn pha của các hệ trong không gian pha cũng có thể coi tương tự như
chuyển động của chất lỏng. Vì vậy, ta hãy tạm thời quên không gian pha và
xét phương trình liên tục (phương trình Ơle) của chất lỏng thông thường.
Ta tưởng tượng tách ra trong chất lỏng chuyển động một nguyên tố thể
tích cố định có dạng hình hộp, với các cạnh là dx, dy, dz. Giả sử chất lỏng
chảy vào thể tích này qua bề mặt gần gốc tọa độ và sau đó chảy qua bề mặt
khác. Khi đó khối lượng chất lỏng chảy vào nguyên tố thể tích theo hướng
của trục y theo thời gian dt bằng ρvydtdxdz, trong đó:  là khối lượng riêng
của chất lỏng và nói chung nó là hàm của tọa độ và thời gian; vy là hình chiếu
của vận tốc trên trục Oy. Cũng trong thời gian trên khối lượng chất lỏng chảy
ra qua bề mặt song song với bề mặt trước và theo hướng trục y là


8



  vy  
 vy 
dy  dtdzdx;


y


z

dz
y
dx
dy

x

Ở đây ta có thể coi rằng các giá trị của ρ và vy đều thay đổi trên đoạn dy.
Kết quả là còn dư một khối lượng chất lỏng bằng hiệu hai khối lượng nói trên


  vy 
y

dxdydzdt


Lý luận tương tự đối với các trục khác, ta tìm được khối lượng chất lỏng
dư ra tổng cộng, khi nó chảy vào chảy ra khỏi nguyên tố thể tích cả ba trục

  (  vx )    v y   (  vz ) 




 dxdydzdt

x

y

z





Nhưng khối lượng chất lỏng dư đó đúng bằng độ biến thiên của khối
lượng chất lỏng của nguyên tố thể tích trong khoảng thời gian dt, nghĩa là
bằng


dt.dxdydz
t
So sánh 2 biểu thức đó ta rút ra phương trình liên tục đối với chất lỏng


     vx     vy     vz  



0
t  x
y
z 



9


Trở lại không gian pha, ta có thể viết được một phương trình tương tự,
bởi vì có một sự tương tự hình thức giữa chuyển động của các điểm biểu diễn
pha với các chuyển động của chất lỏng thực. Có nghĩa là, đối với không gian
pha K, ta có thể lặp lại các lập luận giống như trên. Muốn vậy, trong không
gian pha ta đưa vào khái niệm vận tốc pha, đó là một vectơ có các thành phần
là q1, q2...p1, p2... và nó chính là vận tốc của các điểm biểu diễn pha (bởi vì
“tọa độ” của các điểm biểu diễn pha là q1, q2…p1, p2... Đối với hệ có fN bậc
tự do, ta được phương trình liên tục tổng quát sau đây
 fN 
    qk     pk  

 

0
t k 1 


q

p





k
k



Trong đó 𝜌 là mật độ phân bố các điểm biểu diễn pha . Thực hiện phép
tính vi phân của tích trong dấu ngoặc ta được

 


   qk
 pk
t
qk
pk
k 


 qk pk




k  q  p
k

 k


0


Tổng của hai số hạng đầu tiên là đạo hàm toàn phần của hàm theo thời
gian

 
d  
 

   qk
 pk

dt t
qk
pk 
k 
và vì vậy ta có phương trình.

 q p 
d
   k  k   0
dt

pk 
k  qk
Nếu hệ thực mà ta xét là hệ bảo toàn, áp dụng phương trình Hamiton

pk  

H
H
qk 
qk
pk

Ta có

10


 qk

  q
k



k



pk
pk



0


Và do đó ta tìm được phương trình sau đây

d
 0.
dt
Hệ thức trên có ý nghĩa vật lí: “sự phân bố của các hệ trên những trạng
thái là không đổi theo thời gian”
Tóm tắt định lý Liouville cho biết rằng tập hợp thống kê tương ứng với
các trạng thái cân bằng là tập hợp   const trong không gian pha tức là các
trạng thái khả dĩ là đồng xác suất. Điều này hoàn phù hợp với tiên đề cơ bản
của vật lí thống kê. Kết quả cuối cùng này có thể phát biểu như là nguyên lý
của sự bảo toàn thể tích nguyên tố pha, cụ thể là: khi các hệ (tức là các điểm
biểu diễn pha của các hệ) chuyển động trong không gian pha có thể tích
nguyên tố giữ không đổi về độ lớn và chỉ có thể thay đổi về dạng. Đó là định
lí Liouville.
Suy rộng các kết quả thu được, ta có thể nói rằng tập hợp pha chuyển
động trong không gian pha với mật độ phân bố không đổi nhưng có thể bị
biến dạng. Giá trị căn bản của định lí Liouville là: nhờ nó ta đã chứng minh
được giả thiết nói rằng số lượng dn của các hệ có điểm biểu diễn pha nằm
trong thể tích nguyên tố dX là tỉ lệ với dX.
Phương trình

d

 0 ta có thể viết dưới một dạng khác. Ta có W 

dt
n

do đó ta tìm được

 
d  
 

   qk
 pk

dt
t
qk
pk 
k 



 H  H   

 

  H ,   0

t
qk pk  t
k  pk qk


11


Hay


   H , ,
t

(1.2)

Với  H ,   là dấu ngoặc Poátxông. Phương trình (1.2) thường được gọi
là phương trình chuyển động của tập hợp pha thống kê, nó đóng vai trò chủ
đạo trong việc giải quyết các vấn đề của lý thuyết thống kê và các quá trình
không cân bằng (hay vật lí thống kê không cân bằng). Người ta gọi phương
trình (1.2) là phương trình Liouville.
Trong trạng thái cân bằng nhiệt động, mật độ xác suất pha hay hàm phân bố
thống kê  cần phải không phụ thuộc tường minh vào thời gian. Nói một cách
khác, đối với hệ cân bằng nhiệt động ta có

  X , t 
 0,
t

(1.3)

Điều kiện (1.3) tương ứng với chuyển động dừng của tập hợp pha, bởi vì
theo phương trình đó ta có



 0 , tức là mật độ phân bố của các điểm biểu
t

diễn pha của các hệ tại một chỗ đã cho trong không gian pha giữ nguyên
không đổi với thời gian, có nghĩa là có bao nhiêu điểm biểu diễn pha “chảy”
vào trong một thể tích nào đó sau một đơn vị thời gian thì cũng có bấy nhiêu
điểm pha “chảy” ra khỏi thể tích đó sau cùng khoảng thời gian. Vì vậy điểu
kiện (1.3) còn được gọi là điều kiện cân bằng thống kê.
Theo phương trình (1.2) và từ điều kiện (1.3) ta rút ra

 H ,   0

(1.4)

Trong cơ học lý thuyết ta biết rằng, mọi đại lượng thỏa mãn phương trình
(1.4) phải là tích phân chuyển động của các phương trình Haminton hoặc là
hàm của các tích phân chuyển động. Đối với các hệ bảo toàn, nếu bỏ qua
chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của toàn bộ hệ thì trong các tích

12


phân chuyển động ta chỉ cần chú ý đến năng lượng. Do đó đối với hệ cân bằng
nhiệt động ta có:

  X   f H  X 

(1.5)

Dễ dàng kiểm nghiệm lại rằng nếu thay (1.5) vào vế trái của (1.4) ta sẽ

thu được giá trị bằng không, tức là phương trình (1.4) được nghiệm đúng.
Thực vậy ta có

H df H H df H






pk dH qk qk dH pk
Trong trường hợp đang xét, chúng ta có thể lập luận rằng thí nghiệm
chứng tỏ rằng tính chất vĩ mô của hệ tuân theo các định luật của nhiệt động
lực học. Mặt khác, một tiên đề cơ bản của động lực học nói rằng: “Khi có cân
bằng nhiệt động tất cả các thông số nội của hệ là hàm các thông số ngoại a1,
a2,… và năng lượng”. Nhưng điều đó chỉ thỏa mãn trong vật lí thống kê, trong
trường hợp nếu như mật độ xác suất pha  chỉ phụ thuộc vào năng lượng và
không phụ thuộc vào các tích phân chuyển động khác. Như vậy việc chấp
nhận giả thiết (1.5) là hoàn toàn hợp lí. Hơn nữa lẽ dĩ nhiên hàm Haminton
trong (1.5) phải phụ thuộc cả vào các thông số ngoại a1, a2,… mà ta viết tắt là
a: H  H  X , a  .
Tóm lại, ta có thể kết luận rằng đối với các hệ cân bằng nhiệt động, hàm
phân bố thống kê có dạng

  X   f H  X , a .

13


Kết luận chương 1

Nội dung chương 1 chúng tôi đã trình bày về các khái niệm cơ bản của
vật lí thống kê như: Xác suất nhiệt động, phương pháp Gipxơ, không gian
pha, xác suất trạng thái và định lý về sự bảo toàn thể tích pha, đây là cơ sở để
xây dựng lý thuyết thống kê nói chung.

14


CHƯƠNG 2: HÀM PHÂN BỐ GIPXƠ
2.1. Phân bố vi chính tắc
* Xây dựng hàm phân bố chính tắc
Ta xét một hệ đoạn nhiệt, tức là một hệ không thể trao đổi năng lượng
với các vật bên ngoài khi các thông số ngoại không thay đổi. Đối với một hệ
như vậy, hiển nhiên ta có [3]
H(X,a) = E = const,

(2.1)

Và hàm phân bố f(ε) phải có dạng cực
đại nhọn, bởi vì năng lượng của hệ phải có
giá trị hoàn toàn xác định và sẽ không thay
đổi với thời gian. Nói khác đi năng lượng
của hệ không thể sai lệch một cách đáng kể
với giá trị hoàn toàn xác định E, tức là

∆E
→0
E
∆E


E
0
E

Ta thấy hàm có đồ thị biểu diễn như hình trên chính là hàm đenta 
Đối với hệ cô lập đoạn nhiệt ta có thể đặt

 X  

1
 E  H  X , a ;
( E, t )

(2.2)

trong đó 1 /   E, a  là thừa số chuẩn hóa được xác định từ điều kiện chuẩn
hóa, nghĩa là
  E, a  

  E  H  X , a dX .

(2.3)

( x)

Biểu thức (2.2) được gọi là phân bố vi chính tắc Gipxơ.
Tuy nhiên, do dạng đặc biệt của phân bố chính tắc nên việc sử dụng
chúng gặp hàng loạt các khó khăn. Vì vậy người ta thường sử dụng phân bố
đối với hệ đẳng nhiệt.


15


2.2. Phân bố chính tắc Gipxơ.
Xét với hệ đẳng nhiệt (là hệ tương tác với hệ điều nhiệt và có một nhiệt
độ cho trước hoàn toàn xác định). [1][3]
*Xây dựng phân bố chính tắc.
Ta xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt
(tecmôxta). Theo quan điểm vi mô, hệ điều nhiệt hay tecmôxta cũng là một hệ
cơ học nhưng có số bậc tự do rất lớn, lớn hơn số bậc tự do của hệ mà ta muốn
khảo sát rất nhiều. Giả sử hệ mà ta muốn khảo sát C1 và hệ điều nhiệt C2 có
các số hạt tương ứng là N1, N2 và được diễn tả bằng các biến số chính tắc X1
và X2, đồng thời

N2

N1

Ta có thể coi hệ chung, bao gồm hai hệ đó, là một hệ cô lập đoạn nhiệt,
và vì vậy, đối với hệ chung đó ta có phân bố vi chính tắc

  X1, X 2  

1
 E  H  X 1 , X 2 ,
  E, a 

trong đó hàm Hamiton của hệ chung bao gồm các hàm Hamiton của cả hai hệ
con cộng với năng lượng tương tác U12:
H  X1, X 2   H  X1   H  X 2   U12  X1, X 2 


Hiển nhiên là hàm phân bố của hệ mà ta xét C1 sẽ bằng

  X1  

   X , X dX

 X2 

1

2

2

Để tìm   X 1  trong trường hợp tổng quát, người ta thường dựa vào ba
giả thiết sau đây:
+ Một là coi rằng năng lượng của các hệ C1 và C2 luôn luôn lớn hơn
năng lượng tương tác U12 rất nhiều. Giả thiết đó nó rất hợp lí đối với các hệ
nhiệt động thông thường nếu như các số hạt N1 và N2 là đủ lớn. Thực vậy,
năng lượng của các hệ C1 và C2 tỉ lệ với thể tích, còn năng lượng tương tác thì

16


chỉ tỉ lệ với cộng tính. Do đó, đối với các hệ có năng lượng cộng tính, thì khi
N lớn ta có thể bỏ qua năng lượng tương tác, có nghĩa là: U12  X1, X 2   0.
+ Hai là, ta giả thiết rằng khi N1  N2  N   thì có tồn tại một giới
hạn


E 3
   const.
N 2
Coi rằng N1

N2 thì

E 3
 ,
N 2

Tức là coi rằng đại lượng 𝜃/2 là bằng trung bình số học của năng lượng
của hệ ứng với một bậc tự do của hệ điều nhiệt
+ Ba là, khi tìm công thức cho   X 1  ta sẽ coi rằng
H1  X1 

E,

Tức ta chỉ xét những trạng thái của hệ mà ở đó năng lượng của hệ là rất
nhỏ so với năng lượng toàn phần của hệ điều nhiệt. Nói khác đi, biểu thức mà
ta đã tìm được cho   X 1  sẽ chỉ đúng khi điều kiện trên được thỏa mãn.
Để có thể tìm được   X 1  một cách đơn giản, ta tiến hành như sau. Ta
hãy chia hệ mà ta muốn khảo sát C1 ra làm hai phần C1' và C1" . Các hàm phân

 

 

bố  X 1' và  X 2'' đối với hai hệ đó sẽ phụ thuộc vào năng lượng toàn phần
của từng hệ con




  X   f H  X 
  X1'   f H1'  X1' 
''
1

''
1

''
1

Năng lượng toàn phần của hệ đẳng nhiệt mà ta khảo sát bằng tổng của
các năng lượng toàn phần của cả hai hệ con và năng lượng tương tác giữa
chúng

17


H1  X1   H1'  X1'   H1''  X1''   U12' 
Nếu như các hệ con C1' và C1" là đủ lớn thì, tương tự như giả thiết thứ
nhất ở trên, ta có thể coi năng lượng tương tác U12' giữa hai hệ con là rất nhỏ
so với năng lượng toàn phần của các hệ con H1' và H1" nghĩa là, ta có

f H1'  H1" dx1dx1"  f  H1'  dx1  H1'  dx1" ,
f H1'  H1"  f  H1'  f  H1" .
'


hay là

Từ đó, bằng cách lấy logarit và sau đó lấy vi phân, ta được

d ln f  H1'  H1"   d ln f  H1'   d ln f  H1" 
ln f  H1'  H1"   dH1'  dH1"  


'

hay

 ln f  H1'  dH1'  ln f  H1"  dH1". .
'

'

Coi rằng dH1' và dH1" có thể tiến đến không một cách độc lập, ta tìm
được

ln f  H1'  H1"   ln f  H1'   ln f  H1"    

 
 

'

'

'


Trong đó 𝛽 là một hằng số nào đó, bởi vì các đạo hàm của một hàm số
với các đối số khác nhau chỉ có thể bằng nhau khi chúng bằng hằng số.
Lấy tích phân đẳng thức đó ta có
f  H   D exp H 

Hiển nhiên rằng, từ điều kiện vật lí khi chuẩn hóa, 𝛽 phải là số dương.
Đặt  

1



, D  exp /   , với  > 0

ta có

  H 
f  H   exp 

  

18


  H 
Do đó   X 1   exp 
 , với  và 𝜃 là các hằng số.
  
Ta không xét hệ C2 mà ta chỉ xét hệ C1 nên ta có thể viết đầy đủ:


  ,a   H  X , a  
  X 1   exp 





(2.4)

Biếu thức (2.4) là biểu thức của hàm phân bố chính tắc.
Trong đó: + 𝜃 là mô đun của phân bố chính tắc (nhiệt độ thống kê)

  kT
(k là hằng số Bônxơman, T là nhiệt độ tuyệt đối)

   X dX 

X 

  , a   H  X , a  
exp
dX  1,
X 


 

+  được xác định từ điều kiện chuẩn hóa của hàm phân bố:


   ln

 H  X , a  
dX   lnZ  , a 



 exp 

X

Z   ,a  

 H  X , a  
exp
X   dX   lnZ  ,a  gọi là tích phân trạng
 

thái
+ X: gọi là tập hợp các biến số chính tắc (biến số pha).
Đối với hệ N hạt đồng nhất khi hoán vị các hạt cho nhau thì các điểm
biểu diễn pha của hệ sẽ thay đổi nhưng không dẫn đến một trạng thái vi mô
mới nào. Hệ có N hạt sẽ có N! phép toán hoán vị các hạt. Vì vậy xác suất
trạng thái của hệ giảm đi N! lần. Khi đó hàm phân bố chính tắc có dạng:

 X  

  , a   H  X , a  
1
exp 

.
N!




2.3. Phân bố chính tắc lớn
(xét đối với các hệ có số hạt thay đổi )

19

(2.5)