TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
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NGUYỄN THỊ THANH HẰNG

PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG
KHÔNG GIAN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

NGUYỄN THỊ THANH HẰNG

PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG
KHÔNG GIAN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

ThS. Đinh Thị Kim Thúy

HÀ NỘI – 2018

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❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ E3 ❝❤♦ ❤❛✐ tù ❞✐➺♥ A1 A2 A3 A4 ✈➔ A1 A2 A3 A4 ❜➡♥❣
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Ai , (i = 1, 4)✳

P❤➙♥ ❧♦↕✐ ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝ü ✿
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❤÷î♥❣ ϕ✳ P❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ❝❤♦ ù♥❣ ✈î✐ ♠é✐ ✤✐➸♠ M ✈➔ ✤✐➸♠ M t❤ä❛

♠➣♥✿

✶✵


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✭✐✮ ❍❛✐ ✤✐➸♠ M, M ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ P ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ d
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✭✐✐✮ OM = OM
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−−→ −−→

❝❤❛✐ t✐➳♥ t❤❡♦ ❝❤✐➲✉ ❞÷ì♥❣ ❝õ❛ trö❝ d t❤➻ (OM , OM ) = ϕ✳
✣÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ q✉❛② tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ q✉❛♥❤ trö❝ d✱ ❣â❝ q✉❛② ϕ✳
❑➼ ❤✐➺✉✿ Q(d, ϕ)✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t✿
• P❤➨♣ q✉❛② Q(d, ϕ) ❧➔ ♣❤➨♣ ❞í✐ ❤➻♥❤✳

◆➳✉ ϕ = 180◦ t❤➻ ♣❤➨♣ q✉❛② ❧➔ ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ q✉❛ d✳
• P❤➨♣ q✉❛② Q(d, ϕ) ❧➔ ♣❤➨♣ ✤è✐ ❤ñ♣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ t❛ ❝â ϕ = k.180◦ ✳
• P❤➨♣ q✉❛② Q(d, ϕ) ❣✐ú ❜➜t ✤ë♥❣ ♠å✐ ✤✐➸♠ ❝õ❛ trö❝ d ✭❤❛② trö❝ q✉❛②
d ❧➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ q✉❛② Q(d, ϕ)✮✮✳

P❤➨♣ ❝❤✉②➸♥ ✈à✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✽✳ P❤➨♣ q✉❛② q✉❛♥❤ trö❝ d ❣â❝ q✉❛② ϕ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

♣❤➨♣ ❝❤✉②➸♥ ✈à✱ trö❝ ❝❤✉②➸♥ ✈à d ♥➳✉ ϕ = (2k + 1).180◦ ✳ ❑➼ ❤✐➺✉✿ Cd ✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t✿
• ◆➳✉ M = Cd (M ) t❤➻ M M ❝➢t d t↕✐ O ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ M M ❤❛②
M ✈➔ M ✤è✐ ①ù♥❣ ♥❤❛✉ q✉❛ trö❝ d✳ Cd ❝á♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣

trö❝ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✳
• P❤➨♣ ❝❤✉②➸♥ ✈à ❧➔ ♣❤➨♣ ✤è✐ ❤ñ♣✳
• ❚➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ Cd ❧➔ trö❝ d✳

✶✶


õ tốt ồ



P ỗ
P tỹ
r ổ E3 O ởt số tỹ
k = 0 P ừ ổ ộ M t


M tọ OM = k OM ữủ ồ tỹ t O t số k
V (O, k) VOk

t
ợ k = 1 tỹ VOk õ t O t ở
P tỹ VOk t ữỡ ừ ữớ tt


ỵ
ừ tỹ ởt tỹ
ừ tỹ t ởt tỹ ởt
t t

P
r ổ E3 t () ởt
số k > 0 P tr ổ M t



M s HM = k HM H ữớ ổ õ tứ M ố

() ữủ ồ () õ ừ tr
tr t () t () ữủ ồ t
ữủ ồ số


C((), k) : M M




❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣

• ◆➳✉ k > 1 t❤➻ C((α), k) ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ❞➣♥✳
• ◆➳✉ k = 1 t❤➻ C((α), k) ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ♥❤➜t✳
• ◆➳✉ k < 1 t❤➻ C((α), k) ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ❝♦✳


✣à♥❤ ❧þ ✶✳✼✳ ❈❤♦ ❜❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ (α1), (α2), (α3) ✤æ✐ ♠ët ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐
♥❤❛✉✱ ✈➔ ♠ët sè k > 0✳
❑❤✐ ✤â t➼❝❤ ❝õ❛ ❜❛ ♣❤➨♣ ❝♦ ❞➣♥ C((α1 ), k), C((α2 ), k), C((α3 ), k) ❧➔
♠ët ♣❤➨♣ ✈à tü✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ ❚❛ ❝❤å♥ ❤➺ trö❝ tå❛ ✤ë Oxyz tr♦♥❣ ✤â✿
Oxy ≡ (α1 )
Oxz ≡ (α2 )
Oyz ≡ (α3 )

❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠é✐ ✤✐➸♠ M (x, y, z) t❤➻✿
C((α1 ), k) : M −→ M ; M (x, y, kz)
C((α2 ), k) : M −→ M ; M (x, ky, kz)
C((α3 ), k) : M −→ M1 ; M1 (kx, ky, kz)

❙✉② r❛ ✿
C((α1 ), k) ◦ C((α2 ), k) ◦ C((α3 ), k) : M −→ M1

❱➟② t➼❝❤ ❝õ❛ ❜❛ ♣❤➨♣ ❝♦ ❞➣♥ ❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ✈à tü t➙♠ O t➾ sè k ✳

✶✸


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

P❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✶✳ P❤➨♣

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣


❜✐➳♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ E3 ❜✐➳♥ ❝➦♣

✤✐➸♠ M, N t❤➔♥❤ ❝➦♣ ✤✐➸♠ M , N t÷ì♥❣ ù♥❣ s❛♦ ❝❤♦ M N = kM N
✭k−❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣ ❝❤♦ tr÷î❝✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ t➾ sè k ✳
❑➼ ❤✐➺✉✿ Zk ✱ k ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➾ sè ✤ç♥❣ ❞↕♥❣✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t✿
• P❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ Zk ❧➔ ♣❤➨♣ ❛❢✐♥✳
• P❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ Zk tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ E3 ❜✐➳♥ ♠➦t ❝➛✉ t❤➔♥❤ ♠➦t

❝➛✉✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽✳ ✭✣à♥❤ ❧þ ①→❝ ✤à♥❤ ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣✮
❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ E3 ♠ët ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❤♦➔♥ t♦➔♥
❜ð✐ ❤❛✐ tù ❞✐➺♥ ❝â ❝→❝ ❝➦♣ ❝↕♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣ t➾ ❧➺✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✷✳ ✭❍❛✐ ❤➻♥❤ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣✮
❍❛✐ ❤➻♥❤ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✈î✐ ♥❤❛✉ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ♣❤➨♣ ✤ç♥❣
❞↕♥❣ ❜✐➳♥ ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ❤➻♥❤ ❝á♥ ❧↕✐✳

P❤➙♥ ❧♦↕✐ ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣
P❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ Zk ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ t❤✉➟♥ ♥➳✉ ♥â ❧➔
♣❤➨♣ ❛❢✐♥ ❧♦↕✐ ✶✱ ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ♥❣❤à❝❤ ♥➳✉ ♥â ❧➔ ♣❤➨♣ ❛❢✐♥ ❧♦↕✐ ✷✳

❈❤ó þ✿

• P❤➨♣ ✈à tü VOk ❧➔ ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ t❤✉➟♥ t➾ sè ⑤❦⑤✳
• ❚➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❞í✐ ❤➻♥❤ ✤➲✉ ❧➔ ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ t❤✉➟♥ t➾ sè ❦❂✶✳
• P❤➨♣ ✈à tü VOk ❧➔ ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ t➾ sè |k| ♠➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥è✐ ✤✐➸♠


❜➜t ❦➻ ✈î✐ ↔♥❤ ❝õ❛ ♥â ❧✉æ♥ ✤✐ q✉❛ O✳

✶✹


õ tốt ồ



sỷ VOk tỹ ừ E3 ớ ụ õ tự
VOk = O VOk .

t ừ ỗ
ỵ r ổ E3 t ừ ởt ớ
tỹ t số k t tự tỹ ữủ ởt ỗ t số

|k| P ỗ t tũ tở k ữỡ
ữủ ồ ỗ t số k tr ổ E3 ổ
õ t t t t ừ ởt ớ ởt tỹ
t tự tỹ ữủ t tỹ tũ ỵ t số tỹ k

k tũ t ỗ t

ự sỷ D ớ V

k
O

= V tỹ


tr E3 õ
VOk : M M
N N
D : M M
N N

r M, N t M , N q V D
M N = M N = |k|.M N V D = Z|k|
k > 0 V ỗ t Zk ụ t
k < 0 V ỗ Zk ụ
ữủ sỷ Zk ỗ ừ E3




õ tốt ồ


1

O tũ ỵ tr ổ t tỹ V = VOk
t V Zk ởt ỹ f
ứ f = V Zk s r Zk = (V )1 f = VOk f
Zk ỗ t k > 0 VOk ụ ỗ t
s r f ớ
Zk ỗ t f õ t
t VOk =O VOk t õ
Zk = VOk O f = VOk (O f )


t O f ớ

ỵ r ổ E3 ởt ỗ Zk ổ
t ữủ ổ số t t ừ ởt tỹ ởt
q q trử ợ t số tỹ k k tũ t Zk ỗ
t

ự t A tr E

3

A = Zk (A)

sỷ O AA t t số k k tũ t Zk
t
t V tỹ t O t số k k tũ t Zk t

õ V (A) = A t õ t t Zk = D V ợ D
ớ
õ Zk (A) = D V (A) A = D(A )
D q q trử

ỵ ởt ỗ ỹ õ t



❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣


✤ë♥❣ ❞✉② ♥❤➜t✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✷✳ ▼ët ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ❦❤→❝ ✤➥♥❣ ❝ü tr♦♥❣ E3 ♥➳✉ ❦❤æ♥❣
❧➔ ♣❤➨♣ ✈à tü ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❞✉② ♥❤➜t t❤➔♥❤ t➼❝❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛
♠ët ♣❤➨♣ q✉❛② q✉❛♥❤ trö❝ ✈➔ ♠ët ♣❤➨♣ ✈à tü✳

✶✼


❈❤÷ì♥❣ ✷
Ù♥❣ ❞ö♥❣ ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐
❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
✷✳✶ P❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
❇➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➾ r❛ ♠➺♥❤ ✤➲ A, B ✤ó♥❣ tr♦♥❣ ✤â
A ❧➔ ❣✐↔ t❤✐➳t✱ B ❧➔ ❦➳t ❧✉➟♥✳

✣➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t❛ ①✉➜t ♣❤→t tø ❣✐↔ t❤✐➳t ❤♦➦❝ ♠➺♥❤ ✤➲
✤ó♥❣ ✤➣ ❜✐➳t✱ ❜➡♥❣ ❧➟♣ ❧✉➟♥ ❝❤➦t ❝❤➩ ✈➔ s✉② ❞✐➵♥ ❧♦❣✐❝ ✤➸ ❞➝♥ ✤➳♥ ❦➳t
q✉↔✳
❙û ❞ö♥❣ ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝➛♥ t❤✐➳t ❧➟♣
♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✤✐➸♠✱ ✤÷í♥❣ tr♦♥❣ ❣✐↔ t❤✐➳t A ✈î✐ ❝→❝ ✤✐➸♠✱
✤÷í♥❣ tr♦♥❣ ❦➳t ❧✉➟♥ B ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ t❤æ♥❣ q✉❛ ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣✱ ♥❤í
t➼♥❤ ❝❤➜t ❦❤æ♥❣ ❧➔♠ t❤❛② ✤ê✐ q✉❛ ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ tø ✤â t❛ ✤✐ ✤➳♥
❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ B

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✉♥❣✿ ●✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sû ❞ö♥❣

♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ t❤÷í♥❣ ❞ò♥❣ ❜❛ ❜÷î❝✳

❇÷î❝ ✶✿ ▲ü❛ ❝❤å♥ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤✳


✶✽


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣

❇÷î❝ ✷✿ ❚❤ü❝ ❤✐➺♥ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤✳
❇÷î❝ ✸✿ ❘ót r❛ ❦➳t ❧✉➟♥✳
❱➼ ❞ö ✷✳✶✳✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➜t ❦➻ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✈➔ ❤➺ sè ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ❜➡♥❣ t➾ sè ❝→❝ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤
●✐↔ sû t❛ ❝â ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ (C) = (O, R) ✈➔ (C1 ) = (O1 , R1 )✳
•

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✶✿ (C) ✈➔ (C1) ❝ò♥❣ ♥➡♠ tr♦♥❣ ♠ët ♠➦t ♣❤➥♥❣✳

−−→
❑❤✐ ✤â✿ ♣❤➨♣ tà♥❤ t✐➳♥ t❤❡♦ ✈❡❝tì OO1
−→ : (C) −→ (C )
T−
OO1

P❤➨♣ ✈à tü
R1
R

VO : (C ) −→ (C1 )


❉♦ ✤â ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣
R1

−→ : (C) −→ (C1 )
Z R1 = VOR ◦ T−
OO1
R

❱➟② (C) ✈➔ (C1 ) ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✈➔ ❤➺ sè ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ❜➡♥❣ t➾ sè ❜→♥ ❦➼♥❤
❝õ❛ ❝❤ó♥❣ k =

R1
R

✶✾


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
•

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤❛♥❤ ❍➡♥❣

❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✷✿ (C) ✈➔ (C1) ♥➡♠ tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠➦t ♣❤➥♥❣ s♦♥❣ s♦♥❣✳

❚❤ü❝ ❤✐➺♥ ♣❤➨♣ tà♥❤ t✐➳♥ T ❜✐➳♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤ù❛ (C) t❤➔♥❤ ♠➦t ♣❤➥♥❣
❝❤ù❛ (C1 ) ✈➔ ↔♥❤ ❝õ❛ (C) ❧➔ (C )
T : (C) −→ (C )

❚r♦♥❣ ❝ò♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤ù❛ (C ) ✈➔(C1 ) ✱ ❦❤✐ ✤â tç♥ t↕✐ ♣❤➨♣ ✈à tü

V : (C ) −→ (C1 )

✈î✐ t➾ sè ✈à tü k =

R1
R

❉♦ ✈➟② t❛ ❝â ♣❤➨♣ ✤ç♥❣ ❞↕♥❣
Z = V ◦ T : (C) −→ (C1 )

✈î✐ t➾ sè ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ k =
❞↕♥❣ k =

R1
R

❱➟② (C) ✈➔ (C1 ) ✤ç♥❣ ❞↕♥❣ ✈➔ t➾ sè ✤ç♥❣

R1
R

✷✵