TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**********

NGUYỄN THỊ GIANG

CÁCH TIẾP CẬN HÌNH HỌC
CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHANH-CHẬM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**********

NGUYỄN THỊ GIANG

CÁCH TIẾP CẬN HÌNH HỌC
CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHANH-CHẬM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TSKH. ĐOÀN THÁI SƠN

Hà Nội – Năm 2018

LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy, cô trong tổ bộ môn Hình
học cùng toàn thể các thầy cô trong khoa Toán, những người đã tận tình dạy
dỗ, giúp đỡ em trong 4 năm học vừa qua.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết hơn sâu sắc đến PGS.TSKH Đoàn Thái
Sơn, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu
cho em trong quá trình hoàn thành khóa luận này.
Do đây là lần đầu tiền làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn
nữa do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế, mặc dù đã rất cố gắng
nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận được sự
đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện
hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Giang


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan trước Hội đồng khoa học Trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2 và Hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp khoa Toán:
Khóa luận “Cách tiếp cận hình học cho hệ phương trình nhanh-chậm” do
tôi viết. Đó là kết quả của sự tìm tòi, tổng hợp từ các tài liệu tham khảo và
sự hướng dẫn của PGS.TSKH Đoàn Thái Sơn, những trích dẫn trong khóa
luận là trung thực. Khóa luận không trùng với các khóa luận của các tác giả
khác.


Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Giang


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm

3

2 Hệ phương trình vi phân nhanh-chậm

12

2.1

Khái niệm đa tạp chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Đa tạp chậm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


15

2.3

Sự hội tụ về đa tạp chậm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3 Rẽ nhánh động lực

20

3.1

Điểm rẽ nhánh mặt yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.2

Định lí (điểm rẽ nhánh mặt yên ngựa) . . . . . . . . . . . . . .

23

3.2.1

Kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23


3.2.2

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Kết luận

28

Tài liệu tham khảo

28

iii


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học chiếm một vị trí hết sức quan trọng.
Toán học là cơ sở, là nền tảng để nghiên cứu các môn khoa học khác.
Trong quá trình học tập, tôi được nghiên cứu về chuyên ngành hình học,
một bộ phận quan trọng và tương đối khó trong chương trình toán phổ
thông và đại học.
Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu hơn về
các cách tiếp cận hình học, tôi đã chọn đề tài “Cách tiếp cận hình học
cho hệ phương trình nhanh-chậm” làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Khóa luận nhằm mục đích: giúp sinh viên có cái nhìn sâu hơn về hình
học thông qua hệ phương trình nhanh-chậm.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu hệ phương trình vi phân, hệ phương trình nhanh-chậm, đa
tạp chậm, rẽ nhánh động lực . . .
Các tài liệu tham khảo liên quan đến hệ phương trình nhanh-chậm.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày các vấn đề về hệ phương trình nhanh-chậm, hình dáng đồ thị
của các đa tạp chậm và rẽ nhánh động lực.
5. Phương pháp nghiên cứu


Nghiên cứu giáo trình sách tham khảo, tài liệu và các tài liệu liên quan
đến nội dung nghiên cứu.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1

Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm

Chương 2

Hệ phương trình vi phân nhanh-chậm

Chương 3

Rẽ nhánh động lực


Chương 1
Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét hệ phương trình vi phân:


dx


= f (x, y),
dt

(1.1)


 d y = g(x, y),
dt

trong đó f, g : R2 → R là các hàm liên tục. Sau đây chúng ta trình bày kết
quả về định lí tồn tại và duy nhất nghiệm. Chứng minh được dựa theo tài
liệu [1].
Định lí 1.1 (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân).
Giả sử (x0 , y0 ) ∈ R2 bất kì và hàm f, g thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên miền
G = {(x, y) ∈ R2 : |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b}, tức là với mọi (x, y), (ˆ
x, yˆ) ∈ G ta

có:
(i) |f (x, y) − f (ˆ
x, yˆ)| ≤ L(|x − xˆ| + |y − yˆ|),
(ii) |g(x, y) − g(ˆ
x, yˆ)| ≤ L(|x − xˆ| + |y − yˆ|).
Đặt
M := max {|f (x, y)|, |g(x, y)| : (x, y) ∈ G} , h := min

3


a b
,
M M

.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Giang

Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm z(t) = (x(t), y(t)) của hệ (1.1) trên [−h, h]
thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 ; y(0) = y0 .
Chứng minh.
Chứng minh được chia thành 3 bước.
Bước 1. Lập dãy xấp xỉ Picard. Đặt z0 (t) = (x0 (t), y0 (t)) trong đó
x0 (t) = x0 , y0 (t) = y0

∀t ∈ [−h, h].

Tiếp đến, ta xây dựng nghiệm xấp xỉ z1 (t) = (x1 (t), y1 (t)) trong đó:
t

x1 (t) = x0 +

f [(x0 (τ ), y0 (τ ))] dτ,
0
t


(1.2)
g[(x0 (τ ), y0 (τ ))] dτ.

y1 (t) = y0 +
0

Một cách tổng quát, ta xây dựng zk (t) = (xk (t), yk (t)) sau khi đã có
zk−1 (t) = (xk−1 (t), yk−1 (t))

với

t

f [(xk−1 (τ ), yk−1 (τ ))] dτ,

xk (t) = x0 +
0
t

yk (t) = y0 +

(1.3)
g[(xk−1 (τ ), yk−1 (τ ))] dτ.

0

Từ quá trình trên ta xây dựng được dãy nghiệm xấp xỉ zk (t) (k = 1, 2, . . .) có
các tính chất sau đây:
a) zk (0) = z0 = (x0 , y0 ) với k = 1, 2, . . .
b) Khi t biến thiên trên đoạn I = [−h, h] thì zk (t) không vượt ra khỏi miền

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Giang

G, tức là

|xk (t) − x0 | ≤ a, |yk (t) − y0 | ≤ b

với mọi t ∈ [−h; h].

(1.4)

Ta chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nạp. Hiển nhiên
z1 (t) không vượt ra khỏi miền G. Giả sử khi t biến thiên trên [−h, h],
zk (t) không vượt ra khỏi miền G, tức là ta có (1.4). Khi đó từ (1.3) và

định nghĩa của M , ta suy ra
t

|xk+1 (t) − x0 | ≤

|f (xk (τ ), yk (τ ))| dτ ≤ M |t − 0| ≤ M h ≤ a
0
t

|yk+1 (t) − y0 | ≤


|g(xk (τ ), yk (τ ))| dτ ≤ M |t − 0| ≤ M h ≤ b
0

Các bất đẳng thức này chứng tỏ zk+1 (t) không vượt ra khỏi miền G khi
t ∈ [−h; h].

c) Nghiệm xấp xỉ này zk (t) liên tục trên [−h, h] với mọi k = 0, 1, 2, . . .. Điều
này suy ra trực tiếp từ cách xây dựng dãy.
Bước 2. Ta chứng minh rằng dãy nghiệm xấp xỉ {zk (t)} hội tụ đều trên
[−h, h], tức là các hàm zk (t) hội tụ đều trên [−h, h] khi k → ∞.

Ta xét các chuỗi hàm sau đây:
x0 + (x1 (t) − x0 ) + (x2 (t) − x1 (t)) + . . . + (xk (t) − xk−1 (t)) + . . . ,

(1.5)

y0 + (y1 (t) − y0 ) + (y2 (t) − y1 (t)) + . . . + (yk (t) − yk−1 (t)) + . . . .

(1.6)

Ta chỉ xét chuỗi (1.5), còn chuỗi hàm (1.6) tương tự. Ta cần chứng minh chuỗi
(1.5) hội tụ đều trên [−h, h]. Muốn vậy, bằng phương pháp quy nạp, ta cần

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Giang


chứng minh bất đẳng thức sau:
|xk (t) − xk−1 (t)| ≤ M (2L)k−1

|t|k
k!

với mọi t ∈ [−h; h]; k = 1, 2, . . . .

(1.7)

Thật vậy, với k = 1 từ (1.2) ta có:
t

|f [x0 (τ ), y0 (τ )]|dτ ≤ M |t|.

|x1 (t) − x0 (t)| = |x1 (t) − x0 | ≤
0

Giả sử (1.7) đúng với k . Từ (1.3) và từ giả thiết (i), ta có:
t

|xk+1 (t) − xk (t)| ≤

|f [xk (τ ), yk (τ )] − f [xk−1 (τ ), yk−1 (τ )]|dτ
0
t

≤L

[|xk (τ ) − xk−1 (τ )| + |yk (τ ) − yk−1 (τ )|]dτ .

0

Theo giả thiết quy nạp, từ (1.7) và từ bất đẳng thức trên suy ra:
t

M (2L)k
|xk+1 (t) − xk (t)| ≤
k!

|τ |k dτ =

M (2L)k k+1
|t|
(k + 1)!

0

tức là bất đẳng thức (1.7) đúng với k + 1.
Vì |t| ≤ h nên từ (1.7) suy ra
|xk (t) − xk−1 (t)| ≤

với mọi t ∈ [−h; h]; k = 1, 2, . . .

6

M (2L)k−1 k
h ,
k!

(1.8)



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Giang

M (2L)k−1 k
h . Áp dụng tiêu chuẩn D’Alembert ta xét
k!
k=1
+∞

Ta xét chuỗi

uk+1
lim
= lim
k→+∞ uk
k→+∞

M (2L)k hk+1
(k+1)!
M (2L)k−1 hk
(k)!

2Lh
k→+∞ k + 1

= lim


1
=0<1
k→+∞ k + 1

= 2Lh lim
M (2L)k−1 k
h hội tụ.
k!
k=1
+∞

Vậy chuỗi

Do đó theo tiêu chuẩn Weierstrass và từ (1.8) ta suy ra rằng chuỗi hàm
(1.5) hội tụ đều đến hàm x(t) trên [−h, h]. Dễ thấy rằng tổng riêng thứ k của
chuỗi (1.5) là xk (t). Đặt x(t) = lim xk (t); y(t) = lim yk (t) và z(t) = (x(t), y(t)).
y→∞

k→∞

Theo c) các hàm xk (t), yk (t) liên tục trên [−h, h] nên hàm giới hạn x(t), y(t)
của dãy hội tụ đều {xk (t)}, {yk (t)} cũng liên tục trên [−h, h].
Bước 3. Bây giờ ta chứng minh rằng z(t) = (x(t), y(t)) là nghiệm của hệ
(1.1) với điều kiện ban đầu
(1.9)

x(0) = x0 ; y(0) = y0 .

Theo tính chất a) ta có xk (0) = x0 , yk (0) = y0 với mọi k = 1, 2, . . . nên
chuyển qua giới hạn khi k → ∞ ta suy ra x(0) = x0 ; y(0) = y0 , tức là điều kiện

(1.9) thỏa mãn. Vì theo b) các hàm zk (t) không vượt ra khỏi miền G nên hàm
giới hạn z(t) cũng không vượt ra khỏi miền G khi t biến thiên trên [−h, h]. Do
đó, các hàm f (x(t), y(t)), g(x(t), y(t)) được xác định.

t
f [xk (τ ), yk (τ )]dτ
k→∞ 0
t
t
lim 0 g[xk (τ ), yk (τ )]dτ = 0 g[x(τ ), y(τ )]τ.
k→∞

Ta chứng minh lim

7

=

t
f [x(τ ), y(τ )]τ
0

và


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Giang

Thật vậy, với mọi t ∈ [−h; h], ta có:

t

t

f [xk (τ ), yk (τ )]dτ −

f [x(τ ), y(τ )]dτ
0

0
t

≤

|f [xk (τ ), yk (τ )] − f [x(τ ), y(τ )]|dτ
0
t

≤L

[xk (τ ) − x(τ )| + |yk (τ ) − y(τ )|]dτ
0

và

t

t

g[xk (τ ), yk (τ )]dτ −

0

g[x(τ ), y(τ )]dτ
0

t

≤

|g[xk (τ ), yk (τ )] − g[x(τ ), y(τ )]|dτ
0
t

≤L

[xk (τ ) − x(τ )| + |yk (τ ) − y(τ )|]dτ .
0

Do xk (t), yk (t) lần lượt hội tụ đều đến x(t), y(t) trên [−h, h] nên tồn tại
N > 0 sao cho với mọi k > N thì |xk (t) − x(t)| <

ε
ε
; |yk (t) − y(t)| <
,
2Lh
2Lh

t ∈ [−h; h].


Từ (1.7) và bất đẳng thức sau cùng ta suy ra
t

t

f [xk (τ ), yk (τ )]dτ −
0

và

f [x(τ ), y(τ )]dτ < ε,
0

t

t

g[xk (τ ), yk (τ )]dτ −
0

g[x(τ ), y(τ )]dτ < ε
0

với mọi k > N, t ∈ [−h; h]. Đây là điều cần phải chứng minh.

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Nguyễn Thị Giang

Chuyển qua giới hạn khi k → ∞ các đẳng thức (1.3) ta được
t

f [x(τ ), y(τ )]dτ,

x(t) = x0 +
0
t

g[x(τ ), y(τ )]dτ.

y(t) = y0 +
0

Vì hàm dưới dấu tích phân liên tục theo τ nên x(t), y(t) là các hàm khả
vi trên [−h, h]. Lấy đạo hàm hai vế đồng nhất hai đẳng thức trên ta suy ra
z(t) = (x(t), y(t)) là nghiệm của hệ (1.1).

Bước 4. Ta chứng minh rằng z(t) là nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện
ban đầu (1.9). Giả sử ngược lại, tồn tại nghiệm u(t) = (u1 (t), u2 (t)) của hệ
(1.1) xác định trên [−h, h] thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.9). Khi đó, tích
phân hai vế các đồng nhất thức từ 0 đến t
du1
= f [u1 (t), u2 (t)],
dt
du2
= g[u1 (t), u2 (t)].
dt


Ta được
t

u1 (t) = x0 +

f [u1 (τ ), u2 (τ )]dτ
0

(1.10)

t

u2 (t) = y0 +

g[u1 (τ ), u2 (τ )]dτ
0

Bằng phương pháp quy nạp ta kiểm tra được các bất đẳng thức sau:
M (2L)k k+1
|u1 (t) − xk (t)| ≤
|t| ,
(k + 1)!

(1.11)

M (2L)k k+1
|u2 (t) − yk (t)| ≤
|t| .
(k + 1)!


(1.12)

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Giang

Thật vậy, từ (1.10) ta có
t

|f [u1 (τ ), u2 (τ )]|dτ ≤ M |t|

|u1 (t) − x0 | ≤
0

tức là (1.11) và (1.12) đúng với k = 0. Giả sử (1.11) và (1.12) đúng với k > 0.
Từ các đẳng thức (1.2) và (1.10) ta suy ra
t

|u1 (t) − xk+1 (t)| =

t

f [u1 (τ ), u2 (τ )]dτ −
0

f [xk (τ ), yk (τ )]dτ

0

t

≤

|f [u1 (τ ), u2 (τ )] − f [xk (τ ), yk (τ )]|dτ
0
t

≤L

[|u1 (τ ) − xk (τ )] + |u2 (τ ) − yk (τ )|]
0

≤

t

M (2L)k+1
(k + 1)!

|τ |k+1 dτ =
0

M (2L)k+1
τ
(k + 2)!

k+2


.

Tương tự ta cũng có
|u2 (t) − yk+1 (t)| ≤

M (2L)k+1
τ
(k + 2)!

k+2

tức là (1.11) và (1.12) đúng với k + 1.

Từ bất đẳng thức (1.11) và (1.12) ta được các đánh giá sau:
|u1 (t) − xk (t)| ≤

M (2L)k k+1
h ,
(k + 1)!

(1.13)

|u2 (t) − yk (t)| ≤

M (2L)k k+1
h ,
(k + 1)!

(1.14)


với k = 0, 1, 2, . . . , t ∈ [−h; h].

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Giang

Dễ dàng kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số

∞
k=0

M (2L)k k+1
h
và vì thế
(k + 1)!

M (2L)k k+1
h
= 0.
k→∞ (k + 1)!

L = lim

11



Chương 2
Hệ phương trình vi phân
nhanh-chậm
Một hệ nhanh-chậm là một hệ phương trình vi phân bao gồm hai biến có
tốc độ thay đổi khác nhau trong những khoảng thời gian khác nhau. Tỉ lệ
thay đổi giữa biến nhanh và biến chậm được đo bởi một tham số nhỏ ε. Một
phương trình vi phân nhanh-chậm thông thường được viết dưới dạng


x˙ = f (x, y),

(2.1)


y˙ = εg(x, y),
ở đó x ∈ R được gọi là biến nhanh, y được gọi là biến chậm. Thay vì xem xét
ε như là một tham số cố định, ta nghiên cứu hệ động lực (2.1) phụ thuộc vào
ε như thế nào với mọi giá trị của ε trên nửa khoảng (0, ε0 ].

Đặc điểm của phương trình vi phân nhanh-chậm (2.1) đó là, khi ε → 0,
nó trở thành một hệ vi phân đại số. Những phương trình như vậy được gọi
là sự nhiễu kì dị. Tất nhiên, nó luôn có thể chuyển đổi thành bài toán nhiễu
thông thường : đạo hàm x và y của x và y đối với thời gian nhanh s = t/ε

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Giang


thỏa mãn hệ


εx = f (x, y),

(2.2)


y = g(x, y).
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các vấn đề về hệ phương trình
nhanh-chậm.

2.1

Khái niệm đa tạp chậm

Cho hệ phương trình vi phân nhanh chậm


x˙ = f (x, y),

(2.3)


y˙ = εg(x, y),
trong đó các hàm f, g : R2 → R là các hàm liên tục, 0 ≤ ε << 1. Ta giả thiết
các hàm số f, g là các hàm số Lipschitz để có thể áp dụng được định lí tồn
tại và duy nhất nghiệm (Định lí 1.1).
Nhận xét 2.1. Khi ε = 0 ta có hệ (2.3) trở thành



x˙ = f (x, y),

(2.4)


y˙ = 0
hay


x(t)
˙
= f (x(t), y(t)),

(2.5)


y(t)
˙ = 0.
Sau đây chúng ta đưa ra một khái niệm về đa tạp chậm. Đây là một khái
niệm quan trọng của hệ phương trình nhanh-chậm.

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Giang


Định nghĩa 2.1. Giả sử rằng tồn tại một hàm liên tục x∗ : (a, b) → R sao cho
f (x∗ (y), y) = 0 với mọi y ∈ (a, b). Khi đó tập M = {(x, y) : x = x∗ (y), y ∈ (a, b)}

được gọi là một đa tạp chậm của hệ.
Nhận xét 2.2. Với (x, y) bất kì, nghiệm của hệ (2.5) thỏa mãn điều kiện ban
đầu x(0) = x∗ (y), y(0) = y được cho bởi
x(t) = x∗ (y),
y(t) = y.

Nói một cách khác các điểm thuộc đa tạp chậm M là điểm cân bằng của
phương trình xấp xỉ (2.5).
Ví dụ 2.1 (Dao động Van der Pol). Dao động Van der Pol là một mạch điện
bao gồm một điện trở phụ thuộc dòng điện. Phương trình của nó là
x + γ(x2 − 1) · x + x = 0.

(2.6)

Khi γ = 0, nó trở thành một dao động điều hòa, tức là nó có dạng

x¨ + x = 0.

(2.7)

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.7) là x(t) = α sin t + β cos t. Đặt y = x˙ ,
khi đó (2.7) trở thành
x˙ = y,
y˙ = −x.

Với điều kiện ban đầu x(0) = x0 , y(0) = y0 , ta có x(t) = y0 sin t + x0 cos t, y(t) =
y0 cos t − x0 sin t. Tuy nhiên, đối với γ lớn, động lực học của (2.6) trở nên khác


xa so với động lực của (2.7). Cụ thể, nghiệm của (2.6) khác xa so với nghiệm
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Giang

của (2.7).

Ta có thể biến đổi phương trình (2.6)) thành hệ nhanh-chậm như sau:
x =y+x−

x3
,
3

(2.8)

y = −εx,

trong đó ε =

√
1
và t = ε · s. Đa tạp chậm của hệ (2.8) là đồ thị của một
2
γ


đường cong được đưa ra bởi phương trình sau:
x3
− x = y.
3

2.2

(2.9)

Đa tạp chậm ổn định

Giả sử M = {(x, y) : x = x∗ (x, y), y ∈ (a, b)} là một đa tạp chậm của hệ (2.3).
Định nghĩa 2.2. Đa tạp M được gọi là đa tạp chậm ổn định nếu
A∗ (y) := ∂x f (x∗ (y), y) < 0

15

với mọi y ∈ (a, b).


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Giang

Đa tạp M được gọi là đa tạp chậm không ổn định nếu
A∗ (y) := ∂x f (x∗ (y), y) > 0

với mọi y ∈ (a, b).

Ví dụ 2.3. Quay trở lại Ví dụ 2.4, ta xét hệ nhanh-chậm

εx˙ = y + x −

x3
3.

y˙ = −x
x3
. Tính toán trực tiếp, ta thu được ∂x f (x, y) = 1 − x2 .
3
Khi đó ∂x f (x∗ (y), y) = 1 − (x∗ (y))2 . Ta thấy rằng ∂x f (x∗ (y), y) < 0 khi |x∗ (y)| >

Ta có f (x, y) = y + x −

1, tức là nó biểu thị những điểm ổn định trong khi những diểm mà |x∗ (y)| < 1

là không ổn định. Do đó đa tạp chậm được chia thành ba nhánh như sau:
x∗− :

−∞, −

2
3

→ (−∞, −1),

2 2
− ;
→ (−1, 1),
3 3
2

x∗+ :
; +∞ → (1, +∞),
3

x∗0 :

giao nhau tại hai điểm ± 1, −

2
.
3

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học
x

Nguyễn Thị Giang
x

x∗+ (y)

1
x∗0 (y)
−2/3

y

y


2/3
−1

x∗− (y)

2.3

Sự hội tụ về đa tạp chậm ổn định

Trong mục này, chúng ta sẽ chứng minh sự hội tụ về đa tạp chậm của phương
trình vi phân nhanh chậm. Cụ thể, ta xét hệ
εx˙ = f (x, y),

(2.10)
y˙ = g(x, y).

Giả sử M = {(x, y) : x = x∗ (y), y ∈ [a, b]} là đa tạp chậm ổn định của hệ (2.10).
Với δ > 0 cho trước, ta định nghĩa
Nδ = {(x, y) : y ∈ [a, b] : |x − x∗ (y)| ≤ δ}.

Ta sẽ chứng minh rằng, nếu nghiệm của phương trình (2.10) xuất phát đủ
gần với đa tạp chậm thì sẽ hội tụ đến đa tạp chậm với sai số (xem hình vẽ).
Định lí này được chứng minh đầu tiên ở Tihonov [4] và Gradstein [5] Chứng
minh dựa theo [2].

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


Nguyễn Thị Giang

Hình 2.1: Hai quỹ đạo tiến tới tiệm cận ổn định của đa tạp chậm

Định lí 2.1.
Giả sử rằng x∗ (y) là hàm C 1 và tồn tại δ > 0 sao cho các hàm số f và g cùng
các đạo hàm cấp hai của chúng bị chặn đều trong Nδ . Khi đó tồn tại các hằng
số dương ε0 , c0 , c1 , κ = κ(η), M sao cho với 0 < ε ≤ ε0 và bất kì điều kiện ban
đầu (x0 , y0 ) ∈ Nδ thỏa mãn x0 − x∗ (y0 ) ≤ c0 , bất đẳng thức đúng
xt − x∗ (yt ) ≤ M x0 − x∗ (y0 )

.e−κt/ε + c1 ε

khi mà yt ∈ [a, b].
Nhận xét 2.3.
Kết quả này cho thấy sau một khoảng thời gian ε| log ε|, mọi quỹ đạo bắt đầu
trong miền lân cận của khoảng 1 của đa tạp chậm M đều tiến tới giới hạn
của lân cận ε, nơi mà chúng ở lại miễn là động lực học cho phép. Hiện tượng
này đôi khi được gọi là “nguyên tắc lệ thuộc” hay là “sự giảm nhiệt”.
Chứng minh.
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Giang

Với mỗi y ∈ [a, b] bất kì, ta có f (x∗ (y), y) = 0. Do đó x∗ (y) là một điểm cân
bằng của phương trình vi phân


x˙ = f (x, y).

(2.11)

Do ∂x f (x∗ (y), y) < 0 nên x∗ (y) là điểm cân bằng ổn định tiệm cận của (2.11).
Theo phương pháp hàm Lyapunov (xem [3]), sẽ tồn tại một hàm Lyapunov
V (·, y) : R → R, tức là:

i) V (x, y) là hàm liên tục và có đạo hàm liên tục,
ii) V (x, y) ≥ 0 và V (x∗ (y), y) = 0,
iii) ∂x V (x, y) · f (x, y) ≤ 0.
Do đó tồn tại κ > 0 sao cho ∂x V (x, y) · f (x, y) ≤ −2κV (x, y) trong một lân cận
của x∗ (y). Hơn nữa ta cũng có thể chọn V thỏa mãn V (x, y) x − x∗ (y)
chặn trên và bị chặn dưới trong Nδ . Do đó, khi (xt , yt ) ∈ Nδ ta có
ε

d
V (xt , yt ) = ε∂x V (xt , yt ) · x˙t + ε∂y V (xt , yt ) · y˙t
dt

hay
ε

d
V (xt , yt ) = ε∂x V (xt , yt )f (xt , yt ) + ε∂y V (xt , yt )g(xt , yt )
dt
≤ −2κV (xt , yt ) + ε∂y V (xt , yt ) · g(xt , yt )

Khi đó


d
−2κ
V (xt , yt ) ≤
V (xt , yt ) + ∂y V (xt , yt ) · g(xt , yt ).
dt
ε

19

2

là bị


Chương 3
Rẽ nhánh động lực
3.1

Điểm rẽ nhánh mặt yên ngựa

Xét hệ phương trình
x˙ = f (x, y),
y˙ = εg(x, y),

trong đó f thỏa mãn những điều kiện rẽ nhánh

f (0, 0) = 0

và fx (0, 0) = 0.


(3.1)

Ở đây ta sẽ thảo luận về trường hợp của biến chậm 1 chiều y ∈ R, như dao
động Van der Pol ở Ví dụ 2.1. Điểm rẽ nhánh mặt yên ngựa xảy ra nếu

∂xx f (0, 0) = 0

và ∂y f (0, 0) = 0.

(3.2)

Không mất tính tổng quát, giả thiết trên được thay bằng

∂xx f (0, 0) < 0

và ∂y f (0, 0) < 0.

20

(3.3)