SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC TÍNH CHẤT NGHIỆM ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ
SỐ THỰC TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC – GIẢI TÍCH 12

Người thực hiện: Nguyễn Hữu Các
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2020


MỤC LỤC

Trang

1. MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài.............................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu....................................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu...............................................................................2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM..................................................3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm........................................................3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm........................3
2.3. Các giải pháp thực hiện..................................................................................4
2.3.1. Một số kiến thức cơ bản về nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số
thực trên tập hợp số phức..................................................................................... 4

2.3.2. Một số ví dụ về việc biện luận phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập
hợp số phức bằng cách khai thác tính chất của nghiệm........................................5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm............................................................14
2.4.1. Trước khi thực hiện sáng kiến kinh ghiệm……..……………………..…14
2.4.2. Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm…………… ………………….14
3. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT..........................................................................14
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................16


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Toán học là một trong những môn đòi hỏi sự tư duy sáng tạo và việc
linh hoạt trong việc vận dụng các kiến thức cơ bản, học sinh muốn học tốt cần
phải hiểu được bản chất của các vấn đề, biết cách khai thác và vận dụng các tính
chất cơ bản để vận dụng giải các bài tập. Mặt khác bài tập toán rất đa dạng và
phong phú, trong phân phối chương trình số tiết ôn tập lại không nhiều so với
nhu cầu luyện tập các dạng bài tập cho học sinh. Chính vì thế, giáo viên khi
giảng dạy cần phải định hướng cho học sinh cách khai thác các tính chất cơ bản
một cách tốt nhất, hiệu quả nhất nhằm giúp các em có định hướng trong việc
giải bài tập. Hướng dẫn cho học sinh định hướng khai thác các tính chất cơ bản
sẽ tạo cho học sinh có cảm giác mình đã giải được bài toán, tạo cho học sinh
niềm say mê, sự hứng thú và yêu thích môn học.
Trong các đề thi trung học phổ thông Quốc gia, đề thi học sinh giỏi
những năm gần đây, các câu hỏi có liên quan tới việc biện luận phương trình
bậc hai và phương trình quy về bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức rất
đa dạng và phong phú, đồng thời nhóm câu hỏi này thường nằm trong các câu
hỏi thuộc nhóm câu hỏi vận dụng hay vận dụng cao. Gặp những câu hỏi liên
quan đến chủ đề này học sinh thường lúng túng trong việc hiểu rõ yêu cầu của
bài toán về điều kiện của nghiệm, chưa phân biệt được khái niệm môđun và
khái niệm giá trị tuyệt đối. Giúp học sinh cách vận dụng các tính chất cơ bản

vào việc giải toán là một trong những phương pháp giảng dạy giúp học sinh tự
tìm tòi và sáng tạo trong việc lĩnh hội tri thức nhanh nhất và hiệu quả nhất
Qua thực tế những năm giảng dạy ở trường trung học phổ thông tôi đã
tìm tòi và nghiên cứu việc khai thác tính chất nghiệm của phương trình bậc
hai với hệ số thực trên tập hợp số phức nhằm giúp học sinh giải được các dạng
bài tập khó về chủ đề này. Vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm để
nghiên cứu là: “Khai thác tính chất nghiệm để giải một số bài toán biện
luận phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức – Giải tích
lớp 12”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
1


Mục đích của đề tài này là giúp các em học sinh hiểu được tính chất
nghiệm, và giải được một số bài toán có liên quan tới việc biện luận phương
trình bậc hai và phương trình quy về bậc hai với hệ số thực thông qua việc
khai thác các công thức nghiệm và tính chất của nghiệm. Từ đó các em có thể
phân loại và đưa ra các phương pháp giải các bài tập liên qua tới phương trình
bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức một cách nhanh nhất, chính xác và
đạt hiệu quả cao nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài “Khai thác tính chất nghiệm để giải một số bài toán biện luận
phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức – Giải tích lớp
12” tập trung nghiên cứu hệ thống các kiến thức trọng tâm về công thức
nghiệm và các tính chất cơ bản của nghiệm phương trình bậc hai trên tập hợp
số phức nhằm tìm ra định hướng giải một số bài toán về biện luận phương
trình bậc hai và phương trình quy về bậc hai với hệ số phức trong chương
trình giải tích lớp 12 THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.4.1 Nghiên cứu lí luận.

- Nghiên cứu cơ sở lí luận để làm sáng tỏ các tính chất về nghiệm để nhằm tìm
ra định hướng giải toán, áp dụng để giải các dạng bài tập liên quan tới phương
trình trên tập số phức nói riêng và bài tập toán nói chung.
1.4.2. Nghiên cứu thực tiễn.
- Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa và tìm hiểu chương trình giả tích lớp 12
THPT, nghiên cứu các tài liệu tham khảo có liên quan để xác định các dạng bài
tập có liên quan tới phương trình bậc hai và quy về bậc hai trên tập hợp số phức.
Từ đó xác định các kiến thức về tính chất nghiệm của phương trình bậc hai, và
các kiến thức liên quan để vận dụng giải các bài tập nhanh và chính xác nhất.
1.4.3. Thực nghiệm sư phạm
- Tiến hành giảng dạy song song với việc tìm hiểu các học sinh lớp 12 trường
THPT Hoằng Hoá 4 – Hoằng Hoá – Thanh Hoá . Trên cơ sở phân tích định tính
2


và định lượng kết quả thu được trong quá trình thực nghiệm sư phạm để đánh
giá tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp do đề tài sáng kiến đưa ra.
- Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm: Từ tháng 08 năm 2019 đến tháng 06
năm 2020.
- Địa điểm: Trường THPT Hoằng Hoá 4 – Hoằng Hoá – Thanh Hoá
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
- Đề tài “Khai thác tính chất nghiệm để giải một số bài toán biện luận
phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức – Giải tích lớp
12” đã đưa ra định hướng giải bài toán biện luận phương trình bậc hai và
phương trình quy về bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức thông qua
việc khai thác tính chất nghiệm.
- Từ cách khai thác này giúp các em học sinh có thể phân loại và đưa ra
phương pháp giải phù hợp để giải một số dạng bài tập thường gặp về biện
luận phương trình trên tập số phức trong các đề thi Tốt nghiệp THPT quốc
gia.

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Việc dạy học toán học trong nhà trường phổ thông không chỉ giúp học sinh hiểu
được sâu sắc và đầy đủ các kiến thức toán học phổ thông mà còn giúp các em vận
dụng các kiến thức đó giải quyết nhiệm vụ của bài tập toán. Để đạt được điều đó, học
sinh phải có những định hướng đúng đắn nhất trong việc giải toán. Kỹ năng khai
thác các tính chất cơ bản để tìm ra định hướng giải toán là thước đo độ sâu sắc và
vững vàng những kiến thức toán mà học sinh đã được học.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua thực tế khảo sát học sinh các lớp trực tiếp giảng dạy và học sinh các
khối lớp trong trường tôi nhận thấy việc định hướng tìm ra lời giải của học sinh
tương đối thụ động, phụ thuộc vào giáo viên giảng dạy, đặc biệt việc giải các bài
toán khó còn rất hạn chế. Khi gặp một dạng bài tập toán học sinh thường lúng
túng trong quá trình phân tích, phân loại dạng bài tập và sử dụng kiến thức liên
3


quan để giải quyết bài toán đó. Các tài liệu tham khảo hiện có thường chỉ giải
một số bài tập cụ thể, vì vậy học sinh không áp dụng được cho các dạng bài tập
ở dạng tương tự. Các năm gần đây, để phân loại học sinh trong các đề thi thường
xuyên xuất hiện một số câu hỏi khó về biện luận phương trình trên tập số phức...
Khi gặp những dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải sử dụng nhiều kiến thức
toán học kết hợp với bản chất về nghiệm của phương trình bậc hai trên tập số
phức mới đưa ra cách giải nhanh và chính xác. Xuất phát từ thực trạng đó tôi đã
viết đề tài “Khai thác tính chất nghiệm để giải một số bài toán biện luận
phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập hợp số phức – Giải tích lớp
12” nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quan về dạng toán này, phân loại và
đưa ra các phương pháp giải phù hợp với từng dạng bài tập, giúp học sinh
khắc sâu kiến thức và vận dụng để giải quyết được các câu hỏi ở mức độ vận
dụng và vận dụng cao trong đề thi THPT quốc gia.

2.3. Các giải pháp thực hiện.
2.3.1. Một số kiến thức cơ bản về nghiệm của phương trình bậc hai với hệ
số thực trên tập hợp số phức.
a.[1]. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực
2
az
ι�
bz c 0  a, b, c �; a 0; z � .
Cho phương trình bậc hai
2
Xét   b  4ac , ta có

x

b
2a .

+)TH1.   0 : phương trình có nghiệm thực
+)TH2.   0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức
b � 
2a .
+)TH3.   0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức
z1,2 

z1,2 

b �i |  |
2a
.


b. [1].Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực
4


2
az
ι�
bz c 0  a, b, c �; a 0; z � có hai nghiệm z1 , z2
Phương trình bậc hai
(nghiệm thực hoặc nghiệm phức).

b
�
S

z

z


�
� 1 2
a
�
�P  z .z  c
1 2
a
Ta có hệ thức Vi–ét �
c.[3]. Một số tính chất nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số
thực

Tính chất 1.

2
�; a
Nếu phương trình bậc hai az  bz  c  0  a, b, c ι�

0; z �

có hai nghiệm z1 , z2 không phải là số thực thì khi đó hai nghiệm này là hai số
phức liên hợp với nhau.
Tính chất 2.

Nếu phương trình bậc hai

az 2 ι�
bz c 0  a, b, c �; a

0; z �

có một nghiệm là z0 thì z0 cũng là một nghiệm của nó.
Lưu ý:
+) Nếu z là số phức thì z gọi là môdun của số phức z
+) Nếu z là số thực thì z gọi là giá trị tuyệt đối của số thực z
2.3.2. Một số ví dụ về việc biện luận phương trình bậc hai và quy về bậc hai
với hệ số thực trên tập hợp số phức bằng cách khai thác tính chất của
nghiệm.
2
z
 b z  c  0, (z ��) . Tìm các số thực b, c để
Ví dụ 1.[9]: Cho phương trình

phương trình trên nhận z  1  i là một nghiệm.

Phân tích bài toán:
+) Bài toán này có thể làm bằng cách thay nghiệm vào phương trình để tìm b, c
+) Tuy nhiên nếu ta sử dụng tích chất 2 và định lý vi-et thì sẽ cho ra kết quả
nhanh hơn, rất phù hợp cho việc thi trắc nghiệm hiện nay.
5


Bài giải:
2
Do phương trình z  b z  c  0, (z ��) có hệ số là số thực và có nghiệm là số

phức không phải là số thực, nên z  1  i là một nghiệm thì z0  z  1  i cũng là
một nghiệm của phương trình.

Áp dụng định lý vi-et ta có

(1  i )  (1  i )  b
b  2
�z  z0  b �
�
��
��
�
(1  i ).(1  i )  c
c2
�
�
�z.z0  c


Vậy b  2; c  2
2
2
Ví dụ 2.[9]: Cho phương trình 4 z  4(m  1)z  m  3m  0, (z ��) . Tìm các số

thực m để phương trình trên có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau) z1 , z2 thỏa
mãn z1  z2  2
Phân tích bài toán:
+) Cái khó của bài toán này là học sinh chưa hiểu rõ được điều kiện z1  z2  2
, vì vậy thường sẽ xét thiếu trường hợp.
+) Đối với bài toán này cần phân biệt cho học sinh ký hiệu z khi nào gọi là
môdun; khi nào gọi là giá trị tuyệt đối.
Bài giải:
2
2
Phương trình 4 z  4(m 1) z  m  3m  0 (1), (z ��) có  '  4m  4

+)TH1:  '  0 � m  1 . Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm z1 , z2 không là
số thực.
2

Do đó z1  z2 � z1  z2 . Khi đó z1  z2  2 � z2  1 � z2  1 � z1 z2  1

6


m 2  3m
z1 z2 
4

Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có
m  1
�
m 2  3m
�
1� �
m4
4
�

(không thỏa mãn điều kiện m  1 )

+)TH2:  '  0 � m  1 . Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm thực

z1  z2  1 , suy ra z1  z2  2 . Vậy m  1 thỏa mãn điều kiện.
+)TH3:  '  0 � m  1 . Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm thực z1 , z2 .
�z1  z2  1  m
�
�
m 2  3m
�z1 z2 
4
Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có �
2

2

2
Khi đó ta có z1  z2  2 � ( z1  z2 )  4 � z1  2 z1 . z2  z2  4


m 2  3m m 2  3m
� (z1  z 2 )  2z1z 2  2 z1z 2  4 � (m  1) 

4
2
2
2

2

�
(m  1) 2  4, khi m 2  3m �0
��
� m3
2
m

3,
khi
m

3
m

0
�
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy giá trị m cần tìm là m  3; m  1
Ví dụ 3.[9]: Giả sử số thực m  a  b 20 ( a, b là các số nguyên khác 0) là một
2

số thực sao cho phương trình 2 z  2(m  1)z  2m 1  0, (z ��) có hai nghiệm

phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  10 . Tìm số nguyên a.
Phân tích bài toán:
+) Đây là bài tập tương tự như Ví dụ 2; thông qua ví dụ này để củng cố và khắc
sau cho học sinh dạng toán trên, cũng như rèn luyện kỹ năng hiểu đề bài trong
các bài toán trắc nghiệm.
7


+) Lưu ý yêu cầu của bài là hai nghiệm phức phân biệt.
Bài giải:
2
2
Phương trình 2 z  2(m  1)z  2m  1  0, (z ��) có  '  m  6m  1

+)TH1:  '  0 � 3  10  m  3  10 . Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm

z1 , z2 không là số thực.
Do đó z1  z2 � z1  z2 . Suy ra z1  z2  10
� z2 

Áp
�

dụng

định

lý


10
5
5
2
� z2  � z1 z2 
2
2
2

vi-et cho

phương

trình

(1)

ta

có

z1 z2 

2m  1
2

2m  1 5
 �m2
2

2
(thỏa mãn điều kiện )

�
m  3  10
'  0 � �
m  3  10
�
+)TH2:
. Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm thực
�z1  z2  1  m
�
�
2m  1
z1 z2 
�
z1 , z2 . Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có �
2
2

2

2
Khi đó ta có z1  z2  10 � ( z1  z2 )  10 � z1  2 z1 . z2  z2  10

� (z1  z 2 )2  2 z1z 2  2 z1z 2  10 � (1  m) 2  (2 m  1)  2m  1  10
�
�
(1  m) 2  10, khi 2m  1 �0
m  1  10

� �2
��
m  6m  11  0, khi 2m  1  0
m  3  20
�
�
Đối chiếu với điều kiện suy ra m  3  20
8


Vậy có hai giá trị m cần tìm là m  2; m  3  20 . Theo yêu cầu của bài toán thì
m  a  b 20 , vậy giá trị a cần tìm là a  3 .
2
2
Ví dụ 4.[9]: Cho phương trình z  3 z  m  2m  0, (z ��) . Tìm các số thực

m để phương trình trên có nghiệm phức z0 thỏa mãn z0  3
Phân tích bài toán:
+) Đây cũng thuộc dạng toán phải chia các trường hợp của  để xét bản chất của
nghiệm (nghiệm thực hay không là nghiệm thực).
+) Để giải bài tập này học sinh phải vận dụng linh hoạt các tính chất nghiệm của
phương trình trên.
Bài giải:
2
2
z

3
z


m
 2m  0, (z ��) (1) có  '  4m 2  8m  3
Phương trình

+)TH1:

2
�
��
' 0 4m��
8m 3 0

trình (1) có nghiệm thực z0 . Khi đó

2 7
2

m

2 7
2 . Khi đó phương

�
z0  3
z0  3 � �
z0   3
�
�

2

+) Với z0  3 , thay vào phương trình (1) ta được m  2m  6  0 (vô nghiệm)

m0
�
m 2  2m  0 � �
m2
�
+) Với z0   3 , thay vào phương trình (1) ta được
� 2 7
m
�
2
2
 '  0 � 4m  8m  3  0 � �
� 2 7
m
�
�
2 .
+)TH2:
9


Khi đó phương trình (1) có nghiệm phức không phải là số thực z0 . Khi đó z0
cũng là nghiệm của phương trình (1).
Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có
m  1
�
2
2

2
�
z

m

2
m
�
m

2
m

3

0
�
0
�
m3
z0 .z0  m2  2m
�
(thỏa mãn)
Vậy các giá trị m cần tìm là m � 1;0;2;3
Ví dụ 5.[9]:
2
Cho phương trình 9 z  6z  1  m  0, (z ��) . Gọi S là tổng các giá trị thực của

m để phương trình trên có nghiệm phức z0 thỏa mãn z0  1. Tính tổng S ?

Phân tích bài toán:
+) Đây là bài tập tương tự như Ví dụ 4; thông qua ví dụ này để củng cố và khắc
sau cho học sinh dạng toán trên, cũng như rèn luyện kỹ năng hiểu đề bài trong
các bài toán trắc nghiệm.
Bài giải:
2
Phương trình 9 z  6 z 1  m  0, (z ��) (1) có  '  9m

' 0
+)TH1: �۳۳

9m 0

m 0 . Khi đó phương trình (1) có nghiệm thực z0 .

z0  1
�
z0  1 � �
z0  1
�
Khi đó
+) Với z0  1 , thay vào phương trình (1) ta được m  16 (thỏa mãn)
+) Với z0  1, thay vào phương trình (1) ta được m  4 (thỏa mãn)
+)TH2:  '  0 � m  0 .

10


Khi đó phương trình (1) có nghiệm phức không phải là số thực z0 . Khi đó z0
cũng là nghiệm của phương trình (1).

Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta có
z0 .z0 

1 m
1 m
1 m
2
� z0 
�
 1 � m  8
9
9
9
(thỏa mãn)

Vậy các giá trị m cần tìm là m � 8;4;16 , suy ra tống các giá trị của m là
S  12
4
2
Ví dụ 6.[9]: Tìm các số thực m để phương trình z  mz  2m  0 , (z ��)
không có nghiệm thực.

Phân tích bài toán:
+) Đây là dạng phương trình bậc 4 trùng phương tuy nhiên xét trên tập hợp số
phức (z ��) vì vậy một số học sinh sẽ lúng túng trong cách xử lý bài toán.
+) Bản chất của vấn đề thì tương tự như việc biện luận phương trình bậc 4 trùng
phương trên tập hợp các số thực
Bài giải
Đặt


z2  t ,

khi

đó

phương

trình

z 4  mz 2  2m  0 (1) trở

thành

t 2  mt  2m  0 (2) . Phương trình (1) không có nghiệm thực khi:
+)TH1: Phương trình (2) không có nghiệm thực, tương đương với

  m 2  8m  0 � 0  m  8
+)TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm thực âm, tương đương với
�
  m 2  8m �0
�
�۳
m 0
�
�
2m  0
�

��

m 8
��
m0
��
�
m0
�

m 8

Vậy giá trị m cần tìm là m  0
11


4
2
Ví dụ 7.[9]: Cho phương trình z  (m  4) z  4m  0 , (z ��) . Tìm tất cả các

số thực m để phương trình có 4 nghiệm phức z1 , z2 , z3 , z4 thỏa mãn điều kiện

z1  z2  z3  z4  6 .
Phân tích bài toán:
+) Đây là bài toán mà học sinh phải xét được bản chất của nghiệm (nghiệm thực
hay không phải là nghiệm thực) để xử lý điều kiện z1  z2  z3  z4  6
Bài giải:
Ta có phương trình

z 4  (m  4) z 2  4m  0 �  z 2  4   z 2  m   0 (1)
z  �2i
�

z2  4  0
�
� �2
� �2
z  m
z m0
�
�

m 0
+) TH1: Nếu �

m 0 , khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm là
z1  2i
�
�
z2  2i
�
� z1  z2  z3  z4  4  2 m
�
z3  m
�
�
z4    m
�

� 4  2 m  6 � m  1 (thỏa mãn)

+) TH2: Nếu m  0 � m  0 , khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm là


z1  2i
�
�
z2  2i
�
� z1  z2  z3  z4  4  2 m
�
z3  m .i
�
�
z4   m .i
�
� 4  2 m  6 � m  1 (thỏa mãn)

Vậy giá trị m cần tìm là m  �1 .
12


3
2
Ví dụ 8.[9]: Cho phương trình z  az  b z  c  0, (z ��) . Tìm các số thực

a, b, c để phương trình nhận z1  1  i, z2  2 làm nghiệm.
Phân tích bài toán:
+) Đối với bài toán này nếu học sinh nắm được định lý vi-et của phương trình
bậc 3 thì việc giải quyết bài toán sẽ nhanh gọn hơn.
+) Đây là bài toán thường chỉ gặp trong các bài thi dạng trắc nghiệm ở mức độ
VD-VDC.
+) Học sinh có thể làm bằng cách thay các nghiệm vào phương trình để tìm các
số thực a, b, c , tuy nhiên sẽ lâu hơn.

Bài giải:
Do phương trình

z 3  az 2  b z  c  0 (1), (z ��) nhận z1  1  i, z2  2 làm

nghiệm suy ra z3  1  i cũng là nghiệm của phương trình.
Áp dụng định lý vi-et cho phương trình (1) ta được
a  4
�z1  z2  z3  a
�
�
�
b6
�z1.z2  z2 .z3  z3 .z1  b � �
�z .z .z  c
�
c  4
�
�1 2 3

Vậy giá trị a, b, c cần tìm là a  4, b  6, c  4
4
3
2
Ví dụ 9.[9]: Cho phương trình z  az  bz  cz  d  0, z ��. (với a, b, c, d là

các số thực). Biết rằng phương trình nhận z1  1  i, z2  1  2i làm nghiệm.
Tính tổng S  a  b  c  d .
Phân tích bài toán:
+) Để giải bài toán này học sinh có thể làm bằng cách thay các nghiệm vào

phương trình để tìm các số thực a, b, c , tuy nhiên sẽ lâu hơn.
13


+) Đối với các bài toán trắc nghiệm dạng này thì ta nên sử dụng cách giải sau sẽ
tiết kiệm được thời gian và tránh được việc tính toán phức tạp. Tuy nhiên học
sinh cần có kiến thức sâu hơn về phương trình đa thức.
Bài giải:
4
3
2
Do phương trình z  az  bz  cz  d  0, z ��(1) với a, b, c, d là các số thực,

có nghiệm z1  1  i, z2  1  2i là số phức không là số thực đồng thời không
là hai số phức liên hợp.
Do đó phương trình (1) nhận z3  z1  1  i, z4  z2  1  2i làm nghiệm
�z1  z3  2 �z2  z4  2
, �
�
z
.
z

2
�z2 .z4  3
Mặt khác ta có �1 3
4
3
2
2

2
Do đó z  az  bz  cz  d  0 � (z  2 z  2)(z  2 z  3)  0
4
3
2
4
2
Hay z  az  bz  cz  d  0 � z  z  2 z  6  0

Suy ra a  0, b  1, c  2, d  6 � S  a  b  c  d  9 .Vậy S  9
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Khi áp dụng đề tài này trong quá trình giảng dạy môn toán ở trường trung
học phổ thông Hoằng Hoá 4, tôi thấy học sinh nắm bắt và vận dụng rất nhanh
các tính chất nghiệm vào việc giải các dạng bài tập vận dụng cao về biện luận
phương trình trên tập số phức.
Kết quả những năm trực tiếp giảng dạy chương trình hình học 12 cụ thể như sau:
2.4.1.Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm.
* Kết quả đạt được trong năm học 2018 - 2019 như sau:
- Kết quả tổng kết cuối năm của lớp giảng dạy.
Lớp

Sĩ số Kết quả học tập môn Toán
14


Giỏi
12A5 41

10


Khá
24%

21

52%

Trung bình

Yếu

10

0

24%

0%

2.4.2.Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm.
* Kết quả đạt được trong năm học 2019-2020 như sau:
- Kết quả tổng kết cuối năm của các lớp giảng dạy.
Lớp

Sĩ số Kết quả học tập môn Toán
Giỏi

12A1 43

32


Khá
76%

11

24%

Trung bình

Yếu

0

0

0%

0%

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Trong đề tài này với khả năng còn hạn chế và thời gian không cho phép, vì
vậy tôi chỉ đưa ra được một số ví dụ điển hình về dạng bài tập, số lượng bài tập
chưa nhiều và phong phú. Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy khi giới thiệu đề tài
này cho học sinh thì các em tự tin hơn trong việc tìm tòi định hướng giải các bài
toán về biện luận phương trình trên tập số phức nhanh và cho kết quả chính xác,
các em đã biết cách phân biệt và hiểu rõ hơn về bản chất nhiệm nghiệm thực và
nghiệm phức, nắm được các tính chất cơ bản của nghiệm để vận dụng giả các
bài tập khó về biện luận các dạng phương trình trên tập hợp số phức.

3.2. Kiến nghị
Đề tài trên có thể phát triển và bổ sung thêm về tính chất nghiệm của
phương trình bậc hai với hệ số phức và các dạng phương trình phức tạp hơn trên
tập hợp số phức, và mở rộng phương pháp nghiên cứ cho các dạng bài tập khác
trong chương trình toán học phổ thông trong những năm tiếp theo.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế nên
tôi tin chắc rằng trong đề tài này sẽ còn có những thiếu sót. Tôi rất mong được
15


sự nhận xét và góp ý chân thành của hội đồng khoa học ngành, các đồng chí
đồng nghiệp và các em học sinh để đề tài được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA

Thanh Hóa, ngày 21 tháng 06 năm 2020

HIỆU TRƯỞNG

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Nguyễn Hữu Các
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa giải tích 12 (Đoàn Quỳnh).
[2]. Sách bài tập giải tích 12 (Nguyễn Huy Đoan).
[3]. Tài liệu chuyên toán giải tích 12 (Đoàn Quỳnh).
[4]. Tài liệu chuyên toán bài tập giải tích 12 (Đoàn Quỳnh).
[5]. Rèn luyện luyện tư duy qua việc giải bài tập toán (Nguyễn Thái Hòe).
[6]. Sáng tạo toán học (G.POLYA).

[7]. Toán học và những suy luận có lý (G.POLYA).
[8]. Giải bài toán như thế nào (G.POLYA).
[9]. Các đề thi thi thử THPT Quốc gia của các trường THPT và các Sở GD&ĐT
[10]. Đề thi THPT Quốc gia năm 2019, đề minh họa thi Tốt nghiệp THPT Quốc
gia năm 2020.

16


DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
CẤP SỞ GD&ĐT ĐÁNH GIÁ
ST
T

TÊN ĐỀ TÀI SKKN

1.

Các biện pháp phát triển khả
năng định hướng giải toán cho
học sinh THPT

SỞ GD&ĐT

C

2015

Xây dựng hệ thống câu hỏi
định hướng để hướng dẫn học

sinh lớp 10 giải các bài toán về
phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng

SỞ GD&ĐT

C

2016

SỞ GD&ĐT

C

2018

2.

3

Định hướng khai thác giả thiết
vị trí tương đối giữa mặt cầu
với mặt phẳng, mặt cầu với
đường thẳng để giải một số bài
toán phương pháp tọa độ trong

HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LOẠ
I

NĂM


17


không gian – Hình học lớp 12

18