CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số (do Thường trực Hội đồng ghi): …….
1. Tên sáng kiến: Một số dạng bài tập trắc nghiệm phương trình đường
tròn.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy
3. Mô tả bản chất của sáng kiến:
3.1. Tình trạng giải pháp đã biết
Hiện trạng trước khi áp dụng giải pháp mới
Học sinh trường THPT An Minh học các lớp ban cơ bản đa số còn nhận
thức chậm, chưa hệ thống được kiến thức toán học. Chưa phân loại và định hình
được cách giải một số dạng Toán cơ bản, bên cạnh đó khi gặp các bài toán về
Hình học các em còn có nhiều lúng túng, đặc biệt là các dạng Toán về phương
trình đường tròn, trong khi đó phương trình đường tròn lại có rất nhiều dạng bài
tập. Nhưng chương trình Hình học lớp 10 không nêu cách giải tổng quát cho
từng dạng, thời lượng dành cho phần này là rất ít.
Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày
của học sinh tôi nhận thấy thường có rất ít học sinh giải đúng trọn vẹn dạng toán
này.
Bên cạnh đó do việc thay đổi cách thức thi tốt nghiệp của Bộ Giáo Dục và
Đào Tạo trong những năm gần đây theo hướng trắc nghiệm khách quan làm cho
học sinh và giáo viên gặp không ít khó khăn. Một phần vì học sinh chưa quen
với việc giải các dạng Toán trắc nghiệm. Mặt khác sách giáo khoa cũng chưa
được chỉnh lí thích hợp cho việc đổi mới này.
3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
Mục đích của giải pháp
Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo
dục, giúp học sinh hình thành tư duy lôgic, kỹ năng phân tích, để đi đến một

hướng giải đúng và thích hợp khi gặp các dạng toán của phương trình đường
tròn, từ phức tạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và giải được một cách dễ dàng.
1


Muốn vậy người giáo viên phải hướng cho học sinh biết các dạng toán và phân
biệt được cách giải của từng dạng, từ đó giúp học sinh hình thành kiến thức kĩ
năng trong việc giải Toán hình học.
Yêu cầu của sáng kiến kinh nghiệm: Hệ thống lại một số dạng bài tập trắc
nghiệm của phương trình đường tròn có nêu ra hướng giải quyết và cách giải các
dạng đó. Nội dung giải phải rõ ràng lôgic, không rườm rà phù hợp với trường
THPT vùng sâu, vùng xa, có sáng tạo đổi mới.
Nội dung giải pháp
Qua nghiên cứu trao đổi đúc kết và rút kinh nghiệm từ thực tế cùng với
nhiều ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra các dạng bài tập cơ bản của
phương trình đường tròn như sau:
Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn.
Phương pháp:
Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với điều kiện a2 + b2 - c > 0, là
phương trình đường tròn tâm I ( a;b) bán kính R = a2 + b2 - c
+Ví dụ 1: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
A. x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 20 = 0
B. 4 x 2 + y 2 − 10 x − 6 y − 2 = 0
C. x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0
D. x 2 + 2 y 2 − 4 x − 8 y + 1 = 0
Lời giải
Chọn C.
Phương trình ở đáp án A: x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 20 = 0 có a = 1, b = 4, c = 20 nên
a 2 + b 2 − c = 12 + 42 − 20 < 0 do đó phương trình ở đáp án A không phải là phương


trình của đường tròn.
Mặt khác do hệ số đứng trước x 2 và y 2 của phương trình ở các đáp án B
và D không bằng nhau nên phương trình ở các đáp án này cũng không phải là
phương trình đường tròn.
Suy ra C đúng.
Chú ý học sinh rằng: Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với hệ số
c < 0 luôn là một phương trình đường tròn.
+Ví dụ 2: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường
tròn ?
A. x 2 + y 2 − x + y + 4 = 0
B. x 2 + y 2 − y = 0
C. x 2 + y 2 − 2 = 0
D. x 2 + y 2 − 100 y + 1 = 0
Lời giải
2


Chọn A.
Cách 1
2

2

1 
1
7

Ta có x + y − x + y + 4 = 0 ⇔  x − ÷ +  y + ÷ = − < 0.
2 
2

2

2

2

Do đó không phải là phương trình đường tròn
Cách 2
Phương trình ở đáp án A x 2 + y 2 − x + y + 4 = 0 có a = 1 , b = − 1 , c = 4 nên
2

2

1
1
−7
a 2 + b 2 − c = ( ) 2 + (− )2 − 4 =
< 0 do đó phương trình ở đáp án A không phải là
2
2
2

phương trình của đường tròn.
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn
Phương pháp: Muốn lập được phương trình đường tròn ta cần có hai yếu
tố đó là tâm và bán kính của đường tròn.
+Phương trình đường tròn (C) tâm I ( a;b) , bán kính R là :
(x - a)2 + (y - b)2 = R 2

+Dạng khai triển của (C) là : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với

c = a2 + b2 - R 2

+Ví dụ 1: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn có tâm
I(3 ; 4) và bán kính R=5 ?
A. ( x − 3) 2 − ( y − 4)2 = 25
B. ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 5
C. ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 25
D. ( x + 3)2 + ( y + 4) 2 = 25
Lời giải
Chọn C
Đường tròn có tâm I(3 ; 4) và bán kính R=5 có phương trình là
( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 25

+Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1;3), B(- 3;5) . Phương trình nào sau đây là
phương trình đường tròn đường kính AB ?
A. ( x + 1)2 + ( y − 4)2 = 20
B. ( x − 1) 2 + ( y + 4) 2 = 5
D. ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 = 5

C. ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 = 5
Lời giải

Chọn D.
Đường tròn đường kính AB có tâm I( -1; 4) là trung điểm của AB và bán
kính R =

AB
=
2


5 có phương trình là: ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 = 5

3


+Ví dụ 3: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn tâm
I (- 2;3) và đi qua điểm M (1;5) ?
A. x 2 + y 2 − 4 x + 6 y = 0
B. ( x + 2)2 + ( y − 3) 2 = 13
C. x 2 + y 2 + 4 x − 6 y = 0
D. ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 13
Lời giải
Chọn C.
Đường tròn tâm I (- 2;3) và đi qua điểm M (1;5) có bán kính R = IM = 13
có phương trình là:
( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 = 13
⇔ x2 + y 2 + 4x − 6 y = 0

+Ví dụ 4: Đường tròn tâm I (0;0) tiếp xúc đường thẳng ∆ : 3x − 4 y + 5 = 0 có
phương trình là:
A. x 2 + y 2 − 1 = 0
B. ( x − 3) 2 + ( y + 4)2 = 25
C. x 2 + y 2 + 1 = 0
D. x 2 + y 2 = 25
Lời giải
Chọn A.
Đường tròn tâm I (0;0) tiếp xúc đường thẳng 3 x − 4 y + 5 = 0 nên có bán
kính R = d(I , D) = 1 có phương trình là :
x2 + y 2 = 1
⇔ x2 + y 2 −1 = 0


+Ví dụ 5: Đường tròn nào dưới đây đi qua 3 điểm A ( 2; 0 ) , B ( 0;6 ) ,
O ( 0;0 ) ?
A. x 2 + y 2 − 3 y − 8 = 0
B. x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 1 = 0
C. x 2 + y 2 − 2 x + 3 y = 0
D. x 2 + y 2 − 2 x − 6 y = 0
Lời giải
Chọn D.
Cách 1
2
2
Gọi phương trình cần tìm có dạng ( C ) : x + y − 2ax − 2by + c = 0 .
Do A, B, O ∈ ( C ) nên ta có hệ
−4a + c = −4
a = 1


−12b + c = −36 ⇔ b = 3 .
c = 0
c = 0



Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x 2 + y 2 − 2 x − 6 y = 0 .
Cách 2
Loại ngay hai đáp án A và B vì không thỏa mãn tọa độ điểm O(0;0).
Còn lại hai đáp án C và D chỉ có đáp án D thỏa mãn tọa độ ba điểm
O(0;0), A ( 2; 0 ) , B ( 0; 6 )
4



Cách 3 Sử dụng máy tính bỏ túi.
Bước 1 Nhập phương trình đường tròn vào trong máy tính.
Bước 2 CALC các đáp án.
Bước 3 Kết luận
Đáp án nào thỏa mãn cả ba điểm A ( 2;0 ) , B ( 0;6 ) , O ( 0;0 ) là đáp án đúng.
Dạng 3: Tìm các yếu tố của đường tròn
Phương pháp: Dạng này thường đề bài yêu cầu tìm tâm hoặc bán kính.
Do đó ta có thể vận dụng lý thuyết chung để giải.
+Ví dụ 1: Đường tròn x 2 + y 2 − 10 x − 11 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu?
A. 6
B. 2
C. 36
D. 6
Lời giải
Chọn A.
Cách 1
Ta có x 2 + y 2 − 10 x − 11 = 0 ⇔ ( x − 5 ) + y 2 = 62
Vậy bán kính đường tròn R = 6 .
Cách 2
Phương trình x 2 + y 2 − 10 x − 11 = 0 có a = 5, b = 0, c = −11 nên bán kính
2

R = a 2 + b 2 − c = 52 + 02 + 11 = 6 do đó đáp án A đúng.

+Ví dụ 2: Một đường tròn có tâm I ( 3 ; −2 ) và tiếp xúc với đường thẳng
∆ : x − 5 y + 1 = 0 . Hỏi bán kính đường tròn đó bằng bao nhiêu ?
A. 6


B. 26

C.

14
26

D.

7
13

Lời giải
Chọn C.
Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên bán kính đường tròn là:
R = d ( I , ∆) =

3 − 5. ( −2 ) + 1
1 + ( −5 )
2

2

=

14
.
26

+Ví dụ 3: Đường tròn có phương trình x 2 + y 2 − 5 y = 0 có bán kính bằng

bao nhiêu ?
A. 5

B. 25

C.

5
2

D.

Lời giải
Chọn C.
Cách 1
2

Ta có : x 2 + y 2 − 5 y = 0 ⇔  x − 5 ÷ + y 2 = 25 có bán kính R = 5 .


2

4

5

2

25
2



Cách 2
5
x 2 + y 2 − 5 y = 0 có a = 0, b = , c = 0 nên bán
2

Phương trình đường tròn

5
2

kính của đường tròn R = a 2 + b 2 − c = 02 + ( ) 2 − 0 =

5
2

Do đó đáp án C đúng.
+Ví dụ 3: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A ( 0; 4 ) , B ( 3; 4 ) , C ( 3;0 ) .
A. 5 .

B. 3 .

C.

5
2

10
.

2

D. .

Lời giải
Chọn D.
Cách 1
Gọi I ( a; b ) để I là tâm đường tròn đi qua ba điểm A ( 0; 4 ) , B ( 3; 4 ) , C ( 3;0 )
thì
3

 a 2 + ( 4 − b ) 2 = ( 3 − a ) 2 + ( 4 − b ) 2
 IA = IB
a =
IA = IB = IC = R ⇔ 
⇔
⇔
2
2
2
2
2
 IA = IC
 a + ( 4 − b ) = ( 3 − a ) + b
b = 2
3 
3
5
2
Vậy tâm I  ; 2 ÷ , bán kính R = IA =  ÷ + ( 4 − 2 ) =

2 
2
2
2

Cách 2
Giả sử phương trình đường tròn có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 .
Do đường tròn đi qua ba điểm A ( 0; 4 ) , B ( 3; 4 ) , C ( 3;0 ) ta có hệ
3

a
=

−8b + c = −16
2


−6a − 8b + c = −25 ⇔ b = 2
−6a + c = −9
c = 0



2

3
5
Vậy bán kính R = a + b − c =  ÷ + 22 − 0 =
2
2

2

2

Do đó đáp án D đúng
2
2
+Ví dụ 4: Đường tròn có phương trình x + y +

x
− 3 = 0 có tọa độ tâm
2

I là đáp án nào sau đây?
A. I ( − 2; 3 )



B. I  −


2 
;0 ÷
4 ÷


 1

;0 ÷
2 2 


C. I 
6



D. I  0;


3
÷
2 ÷



Lời giải
Chọn B.
x
1
2
− 3 = 0 có a = −
=−
, b = 0 nên
2
4
2 2

2
2
Phương trình đường tròn x + y +




2



tâm I  − ;0 ÷÷
 4 
+Ví dụ 5: Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đi qua 3 điểm A ( 0; 4 ) , B ( 2; 4 ) ,
C ( 4;0 ) .
A. I ( 0;0 )
B. I ( 1; 0 )
C. I ( 3; 2 )
D. I ( 1;1)
Lời giải
Chọn D.
Cách 1
Gọi I ( a; b ) . Nếu I là tâm đường tròn đi qua ba điểm A ( 0; 4 ) , B ( 2; 4 ) ,
C ( 4;0 ) thì ta có:
 a 2 + ( 4 − b ) 2 = ( 2 − a ) 2 + ( 4 − b ) 2
 IA = IB
a = 1
⇔
⇔


2
2
2

2
 IA = IC
b = 1
 a + ( 4 − b ) = ( 4 − a ) + b
Vậy tâm I ( 1;1)

Cách 2
Giả sử đường tròn có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 .
Do đường tròn đi qua ba điểm A ( 0; 4 ) , B ( 2; 4 ) , C ( 4;0 ) .
−8b + c = −16
a = 1


Ta có hệ −4a − 8b + c = −20 ⇔ b = 1
−8a + c = −16
 c = −8



Vậy đường tròn có tâm I(1;1)

Do đó đáp án D đúng
Dạng 4: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Phương pháp:
+Cho đường tròn (C) : (x - a)2 + (y - b)2 = R 2
+Tiếp tuyến D của (C) tại điểm M ( x0 ;y0 ) nằm trên đường tròn là đường
thẳng đi qua M và vuông góc với IM nên phương trình :
D : (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0
D : ax + by + c = 0 là tiếp tuyến của (C) Û d(I , D) = R


+Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
(C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 3 = 0 tại M (3;4) là :

7


A. x + y − 7 = 0

B. x + y + 7 = 0
C. x − y + 1 = 0
Lời giải

D. x + y − 3 = 0

Chọn A.
Cách 1
Đường tròn (C) có tâm I ( 1; 2 ) , tiếp tuyến của
(C) tại M(3 ;4) là :
(3 − 1)( x − 3) + (4 − 2)( y − 4) = 0
⇔ 2 x + 2 y − 14 = 0
⇔ x+ y −7 = 0

Cách 2
Thay tọa độ điểm M (3;4) vào các phương trình đường thẳng ở các đáp án
A, B, C, D. Ta loại được hai đáp án B, D vì không thỏa tọa độ M (3;4)
Mặt khác ta tính khoảng cách từ tâm đường tròn đến hai đường thẳng ở
đáp án A và C, đáp án nào có khoảng cách bằng bán kính là đáp án đúng.
Cụ thể :
Đường tròn (C) có tâm I ( 1;2 ) , bán kính R = 2 2
Khoảng cách từ tâm I ( 1; 2 ) đến đường thẳng ở đáp án A ∆ : x + y − 7 = 0 là

d ( I , ∆) =

1+ 2 − 7
12 + 12

=2 2=R

Suy ra đáp A đúng.
3
2

+Ví dụ 2: Biết tiếp tuyến của đường tròn (C ) : ( x − 2)2 + ( y − ) 2 =
M (- 3;- 1) . Tìm các phương trình tiếp tuyến đó.
A. x − 3 y = 0, 4 x − 3 y + 9 = 0

C. x − 3 y = 0, 2 x − 3 y + 3 = 0

B. y + 1 = 0, 4 x − 3 y + 9 = 0
D. y + 1 = 0, 4 x + 3 y + 9 = 0

Lời giải
Chọn B.
Cách 1
3
2

Đường tròn (C ) : ( x − 2) 2 + ( y − )2 =

25
có tâm

4

 3
5
I  2; ÷, bán kính R =
 2
2
M
(
3
;
1
)
Điểm
không thuộc đường tròn (C)
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M (- 3;- 1) có

dạng

y = m( x + 3) − 1 ⇔ mx − y + 3m − 1 = 0 (*)
Để ∆ là tiếp tuyến của (C) khi

8

25
đi qua
4


d ( I, ∆) = R


5m −
⇔

5
2

m +1
m = 0
⇔
m = 4
3

2

2

=

5
2

Thay m vào phương trình (*) ta được hai tiếp tuyến là:
∆1 : y + 1 = 0, ∆ 2 :4 x − 3 y + 9 = 0

Cách 2
3
2

Đường tròn (C ) : ( x − 2)2 + ( y − ) 2 =


25
 3
5
có tâm I  2; ÷, bán kính R =
4
 2
2



Khoảng cách từ tâm I  2; ÷ đến đường thẳng ∆1 : y + 1 = 0
 2
3

d ( I , ∆1 ) =

3
+1
2
02 + 12

=

5
=R
2




Khoảng cách từ tâm I  2; ÷ đến đường thẳng ∆ 2 : 4 x − 3 y + 9 = 0
 2
3

d ( I , ∆2 ) =

3
4.2 − 3 + 9
2
42 + ( −3) 2

=

5
=R
2

Suy ra đáp án B đúng.
Chú ý: Ta có thể tính khoảng cách giống như trên ở các đáp án A, C, D
thấy không thỏa nên loại các đáp án này.
+Ví dụ 3: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 5 = 0 . Tìm các tiếp tuyến
của (C) biết các tiếp tuyến đó có hệ số góc là -2
A. 2 x + y = 0, 2 x + y − 10 = 0
C. 2 x − y = 0, 2 x − y − 10 = 0

B. 2 x + y + 1 = 0, 2 x + y + 10 = 0
D. 2 x + y = 0, 2 x − y + 10 = 0
Lời giải

Chọn A.

Cách 1
Đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 5 = 0 có tâm I ( 3; −1) , bán kính R = 5
Phương trình đường thẳng ∆ có hệ số góc bằng -2 có dạng
y = −2 x + m
⇔ 2 x + y − m = 0 (*)
Để ∆ là tiếp tuyến của (C) khi

9


d ( I , ∆) = R ⇔

5−m

= 5
5
m = 0
⇔
 m = 10

Thay m vào phương trình (*) ta được hai tiếp tuyến là:

∆1 :2 x + y = 0, ∆ 2 :2 x + y − 10 = 0

Cách 2
Đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 5 = 0 có tâm I ( 3; −1) , bán kính R = 5
Khoảng cách từ tâm I ( 3; −1) đến đường thẳng ∆1 : 2 x + y = 0
d ( I , ∆1 ) =

2.3 + ( −1)

22 + 12

= 5=R

Khoảng cách từ tâm I ( 3; −1) đến đường thẳng ∆ 2 : 2 x + y − 10 = 0
d ( I , ∆2 ) =

2.3 + (−1) − 10
22 + 12

= 5=R

Suy ra đáp án A đúng.
Chú ý: Ta cũng có thể tính khoảng cách giống như trên ở các đáp án B, C,
D thấy không thỏa nên loại các đáp án này.
+Ví dụ 4: Tìm các phương trình tiếp tuyến của đường tròn
2
(C ) : x + y 2 − 4 x − 6 y − 12 = 0 . Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d):
3x + 4 y − 6 = 0
A. 3x + 4 y + 7 = 0, 3 x + 4 y − 43 = 0

B. 3x + 4 y − 7 = 0, 3 x + 4 y + 43 = 0
D. 4 x − 3 y − 26 = 0, 4 x − 3 y + 24 = 0

C. 4 x − 3 y + 26 = 0, 4 x − 3 y − 24 = 0
Lời giải
Chọn A.
Đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 6 y − 12 = 0 có tâm I ( 2;3) , bán kính R = 5
Do tiếp tuyến D //(d) nên D có phương trình dạng 3 x + 4 y + c = 0 . D tiếp
xúc (C) nên ta có:

d ( I, ∆) = R ⇔

3.2 + 4.3 + c
32 + 42

=5

⇔ c + 18 = 25
c = 7
⇔
c = −43

Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là
∆1 : 3 x + 4 y + 7 = 0, ∆ 2 : 3 x + 4 y − 43 = 0

10


+Ví dụ 5: Tìm các phương trình tiếp tuyến của đường tròn
(C ) : x + y 2 + 10 x − 4 y + 4 = 0 . Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d):
2

4 x + 3 y + 12 = 0
A. 4 x + 3 y + 39 = 0, 4 x + 3 y − 11 = 0

B. 3x − 4 y + 48 = 0, 3 x − 4 y − 2 = 0
D. 3x − 4 y − 48 = 0, 3x − 4 y + 2 = 0

C. 4 x + 3 y − 39 = 0, 4 x + 3 y + 11 = 0
Lời giải

Chọn B.
Đường tròn (C ) : x 2 + y 2 + 10 x − 4 y + 4 = 0 có tâm I ( −5; 2 ) , bán kính R = 5
Do tiếp tuyến D ⊥ (d) nên D có phương trình dạng 3 x − 4 y + c = 0 . D tiếp
xúc (C) nên
d ( I, ∆) = R ⇔

3.(−5) − 4.2 + c
32 + (−4) 2

=5

⇔ c − 23 = 25
c = 48
⇔
 c = −2

Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm
là : ∆1 : 3x − 4 y + 48 = 0, ∆ 2 : 3x − 4 y − 2 = 0
+Ví dụ 6: Với những giá trị nào của m thì đường thẳng ∆ : 4 x + 3 y + m = 0
2
2
là tiếp tuyến của đường tròn ( C ) : x + y − 9 = 0 .
A. m = −3
B. m = 3 và m = −3
C. m = 3
D. m = 15 và m = −15
Lời giải
Chọn D.
Cách 1
Đường tròn (C) có tâm I(0;0), bán kính R=3

Để ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) khi
d ( I, ∆) = R ⇔

4.0 + 3.0 + m

42 + 32
⇔ m = ±15

=3

Cách 2
Thay giá trị m ở các đáp án A, B, C và D vào phương trình đường thẳng
∆ , rồi tính khoảng cách từ tâm đường tròn đến ∆ . Đáp án nào bằng bán kính
(R=3) là đáp án đúng.
+Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy . Cho đường thẳng
d : x + y + 1 = 0 và đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 1 = 0 . Tìm những điểm M
thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến ( C ) hai tiếp tuyến hợp
với nhau một góc bằng 900 .
11


A. M 1 ( − 2; 2 − 1) hoặc M 2 ( 2; − 2 − 1)
B. M 1 ( − 2; 2 + 1) hoặc M 2 ( 2; − 2 + 1)
C. M 1 ( 2; 2 − 1) hoặc M 2 ( 2; − 2 − 1)

D. M 1 ( − 2; 2 − 1) hoặc M 2 ( 2; 2 + 1)
Lời giải
Chọn A.
Đường tròn (C) có tâm tâm I ( 2;1) , bán kính R = 6
M thuộc d suy ra M (t ; −1 − t ) . Nếu 2 tiếp tuyến

vuông góc với nhau thì tứ giác MAIB là hình vuông
với A , B là 2 tiếp điểm. (Xem hình vẽ)
Do đó AB = MI = IA 2 = R 2 = 6. 2 = 2 3
Ta có : MI = ( 2 − t ) + ( 2 + t ) = 2t 2 + 8 = 2 3
Do đó: 2t 2 + 8 = 12 ⇔ t 2 = 2
2

(

2

)

t = − 2 → M 1 − 2; 2 − 1
⇔
.
t = 2 → M
2;
−
2
−
1
2


(

)

Dạng 5: Sự tương giao của đường thẳng và đường tròn.

Phương pháp:
Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 có tâm I bán kính R và
đường thẳng ∆ : mx + ny + p = 0
+Nếu d ( I , ∆ ) < R suy ra đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C).
+Nếu d ( I , ∆ ) = R suy ra đường thẳng ∆ tiếp xúc đường tròn (C).
+Nếu d ( I , ∆ ) > R suy ra đường thẳng ∆ không cắt đường tròn (C).
Trong thực hành để xét sự tương giao của đường thẳng ∆ và đường tròn
(C) ta thường xét hệ
ìï x2 + y2 - 2a1x - 2by
+ c1 = 0 (1)
1
ïí
(*)
ïï mx + ny + p = 0
(2)
î

+Nếu hê (*) có hai nghiệm thì đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C).
+Nếu hệ (*) có một nghiệm thì đường thẳng ∆ tiếp xúc đường tròn (C).
+Nếu hệ (*) vô nghiệm thì đường thẳng ∆ không cắt đường tròn (C)
Chú ý học sinh rằng: Tọa độ giao điểm của ∆ và (C) là nghiệm của hệ
(*)
+Ví dụ 1: Đường tròn có phương trình x 2 + y 2 − 1 = 0 tiếp xúc đường thẳng
nào trong các đường thẳng sau đây ?
12


A. x + y = 0
C. 3 x − 4 y + 5 = 0


B. 3x + 4 y − 1 = 0
D. x + y − 1 = 0
Lời giải

Chọn C.
Đường tròn x 2 + y 2 − 1 = 0 có tâm I ( 0; 0 ) , bán kính R = 1
Khoảng cách từ tâm đến các đường thẳng ở các đáp án A, B, C, D lần lượt
là:
d A = 0; d B =

1
1
< R; d C = 1 = R; d D =
5
2

+Ví dụ 2: Với những giá trị nào của m thì đường thẳng ∆: 3x + 4 y + 3 = 0
tiếp xúc với đường tròn (C): ( x − m)2 + y 2 = 9
A. m = 0 và m = 1 .
B. m = 4 và m = −6 . C. m = 2 .
D. m = 6 .
Lời giải
Chọn B.
Đường tròn (C) có tâm I ( m; 0 ) và bán kính R = 3 .
Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C) khi và chỉ khi
d ( I ;△ ) = R = 3 ⇔

3m + 3
m = 4

=3⇔ 
5
 m = −6

+Ví dụ 3: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ : x − 2 y + 3 = 0 và
đường tròn ( C ) x 2 + y 2 − 2 x − 4 y = 0 .
A. ( 3;3) và (−1;1) .
B. (−1;1) và (3; − 3)
C. ( 3;3) và ( 1;1)
D.Không có giao điểm
Lời giải
Chọn A.
 x2 + y2 − 2x − 4 y = 0
Xét hệ 
x − 2y + 3 = 0
5 y 2 − 20 y + 15 = 0
⇔
x = 2y − 3

 y = 3

⇔   y = 1
x = 2y − 3

x = 3
 x = −1
và 
. Nên đường thẳng ∆ cắt đường
y = 3
y =1

Hệ trên có hai nghiệm 

tròn (C) tại hai điểm có tọa độ là ( 3;3) , (−1;1)
+Ví dụ 4: Tìm tất cả các tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ : x + y − 7 = 0
2
2
và đường tròn ( C ) : x + y − 25 = 0 .

13


A. ( 3; 4 ) và ( −4; 3)
C. ( 3; 4 )

B. ( 4; 3)
D. ( 3; 4 ) và ( 4; 3)
Lời giải

Chọn D.
∆ : x + y − 7 = 0 ⇔ y = 7 − x thay vào phương trình ( C ) ta được:
x = 3 ⇒ y = 4
2
x 2 + ( 7 − x ) − 25 = 0 ⇔ x 2 − 7 x + 12 = 0 ⇔ 
.
x = 4 ⇒ y = 3
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là ( 3; 4 ) và ( 4; 3) .

+Ví dụ 5: Đường tròn có phương trình (C) x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 23 = 0 cắt
đường thẳng ∆ : x − y + 2 = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu ?

A. 5 .
B. 2 23.
C.10 .
D. 5 2.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 23 = 0 ⇔ ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = 25
Đương tròn (C) có tâm I ( 1; 1) và bán kính R = 5.
Gọi d ( I , ∆ ) =

1−1+ 2
2

= 2
Suy ra đường thẳng ∆ cắt đường tròn theo dây cung AB và
AB = 2 R 2 − d 2 = 2 52 − ( 2) 2 = 2 23.

Dạng 6: Sự tương giao của hai đường tròn.
Phương pháp:
+ c1 = 0 có tâm I1 và bán kính R1 .
Đường tròn (C1 ) : x2 + y2 - 2a1x - 2by
1
+ c2 = 0 có tâm I 2 và bán kính R2 .
Đường tròn (C2 ) x2 + y2 - 2a2x - 2by
2

+Nếu R1 − R2 < I1 I 2 < R1 + R2 thì (C1 ) cắt (C2 ) .
+Nếu I1 I 2 = R1 + R2 thì (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc ngoài.
+Nếu R1 − R2 = I1I 2 thì (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc trong.

+Nếu I1 I 2 > R1 + R2 thì (C1 ) và (C2 ) ở ngoài nhau (hay rời nhau).
+Nếu I1 I 2 < R1 − R2 thì (C1 ) và (C2 ) đựng nhau ( (C1 ) nằm trong (C2 ) hoặc
(C2 ) nằm trong (C1 ) ).

+Nếu I1 I 2 = 0 Suy ra (C1 ) và (C2 ) là hai đường tròn đồng tâm.
Trong thực hành để xét sự tương giao của hai đường tròn (C1 ) và (C2 ) ta
ìï x2 + y2 - 2a1x - 2by
+ c1 = 0 (1)
1
thường xét hệ ïíï x2 + y2 - 2a x - 2by + c = 0 (2)
2
2
2
ïî

(**)

Để giải hệ (**) ta lấy phương trình (1) và (2) trừ cho nhau (vế theo vế) ta
được phương trình bậc nhất hai ẩn x và y. Từ phương trình bậc nhất này ta rút y
14


theo x (hoặc rút x theo y) rồi thay vào (1) hoặc (2) ta được phương trình hoành
độ giao điểm (hoặc phương trình tung độ giao điểm). Giải phương trình này ta
được x hay y tương ứng.
Chú ý rằng: khi lấy phương trình (1) và (2) trừ cho nhau ta được phương
trình đường dây chung hoặc phương trình đường tiếp tuyến chung của hai
đường tròn, tùy theo trường hợp hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm hay
tiếp xúc nhau.
2

2
+Ví dụ 1: Tìm giao điểm của hai đường tròn  ( C1 ) : x + y − 2 = 0 và

( C2 ) : x 2 + y 2 − 2 x = 0
A. ( 2; 0 ) và ( 0; 2 )
C. ( 1; − 1) và ( 1; 1)

B. ( 2; 1) và ( 1; − 2 )
D. ( −1; 0 ) và ( 0; − 1)
Lời giải

Chọn C.
 x =1
 x2 + y 2 − 2 = 0
 x =1

⇔ 2
⇔  y = 1
Xét hệ:   2 2
 y = 1 
x + y − 2x = 0
  y = −1
Vậy có hai giao điểm là: ( 1; − 1) và ( 1; 1) .

+Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn ( C1 ) : x 2 + y 2 − 4 x = 0
và ( C2 ) x 2 + y 2 + 8 y = 0 .
:
A.Tiếp xúc trong
B.Không cắt nhau
C.Cắt nhau

D.Tiếp xúc ngoài
Lời giải
Chọn C.
Cách 1
2
2

 x2 + y2 − 4x = 0
5 y 2 + 8 y = 0
x + y − 4x = 0
⇔
⇔
Xét hệ  2 2


.

 x = −2 y
 x = −2 y
x + y + 8 y = 0
Dễ thấy hệ trên có hai nghiệm nên suy ra (C1 ) cắt (C2 ) .

Cách 2
( C1 ) có tâm I1 ( 2; 0 ) bán kính R1 = 2 ; ( C2 ) có tâm I 2 ( 0; - 4 ) , bán kính
R2 = 4

Do R1 − R2 = 2, I1 I 2 = 2 5, R1 + R2 = 6
Ta có R1 − R2 < I1 I 2 < R1 + R2 Suy ra (C1 ) cắt (C2 ) .
2
2

Ví dụ 3: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn ( C1 ) : x + y = 4 và
2
2
( C2 ) : ( x + 10 ) + ( y − 16 ) = 1 .
A.Cắt nhau
B.Không cắt nhau
C.Tiếp xúc ngoài
D.Tiếp xúc trong
Lời giải

15


Chọn B.
Đường tròn ( C1 ) có tâm I1 ( 0;0 ) và bán kính R1 = 2 .
Đường tròn ( C2 ) có tâm I 2 ( −10;16 ) và bán kính R2 = 1 .
Ta có I1I 2 = 2 89 và R1 + R2 = 3 . Do đó I1 I 2 > R1 + R2 nên hai đường tròn
không cắt nhau.
** Chú ý: Sau khi giải xong các ví dụ minh họa phương trình đường tròn.
Giáo viên ra dạng bài tập tương tự và hướng dẫn để học sinh tự giải. Qua đó học
sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ năng cho các em được tốt hơn
tránh được những sai sót không đáng có.
3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp
Giải pháp phù hợp áp dụng cho tất cả học sinh khối 10 (nhất là các học
sinh trung bình và học sinh khá) của trường THPT An Minh
3.4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp
dụng giải pháp
Trong quá trình giảng dạy thực tế, áp dụng trong 3 năm học, tôi đã tiến
hành nghiên cứu giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trong việc đổi mới
phương pháp hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài tập trắc nghiệm phương

trình đường tròn.
Năm học 2015-2016: Tôi chọn lớp thực nghiệm (lớp 10A1) và lớp đối
chứng (lớp 10A2).
Kết quả được ghi ở bảng sau :
Giỏi
Khá
Lớp
Sĩ số
SL
%
SL
%
10A1
41
12
29,3
19
46,3
10A2
44
9
20,5
13
29,5

Trung bình
SL
%
8
19,5

16
36,0

Yếu
SL
%
2
4,9
6
14,0

Sau khi áp dụng phương pháp đổi mới bước đầu đã thấy sự hiệu quả, học
sinh lớp thực nghiệm có sự hăng say tích cực hơn trong giờ học Toán. Tuy
nhiên, phương pháp mới này cần áp dụng lâu dài và nhiều lần nhằm rút ra kinh
nghiệm, tình huống phát sinh, tài liệu tham khảo…Cho nên trong năm học 20162017 tôi tiếp tục chọn lớp thực nghiệm (lớp 10A2) và lớp đối chứng (lớp 10A1)
với kết quả thu được như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10A1

41
10
24,4
12
29,3
13
31,7
6
14,6
10A2
43
15
34,9
17
39,6
8
18,6
3
6,9
16


Sau khi áp dụng phương pháp đổi mới này cho học sinh ở lớp 10A2 và kết
quả đạt được tôi nhận thấy trong bài dạy nếu vận dụng việc đổi mới phương
pháp học sinh dần quen và thích dạng toán trắc nghiệm. Trình bày lời giải bài
toán ngắn gọn hơn. Nhưng kết quả muốn đạt được tốt giáo viên phải hiểu năng
lực của học sinh, ra các dạng bài tập vừa sức với các em để các em rèn luyện
dần dần tiến bộ.
Năm học 2017-2018 tôi tiếp tục làm thực nghiệm đối với lớp 10A9 kết
quả cũng rất khả quan được ghi ở bảng sau:

Năm học
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Lớp Sĩ số
SL %
SL %
SL
%
SL %
2017-2018
10A9 41 13 31,7 19 46,4
6
14,6
3 7,3
Sau khi áp dụng phương pháp đổi mới này cho học sinh, kết quả đạt được
tôi nhận thấy trong bài dạy nếu vận dụng việc đổi mới phương pháp thu được
kết quả sau:
Hạn chế được nhiều sai sót không đáng có.
Tạo được sự hứng thú cho học sinh khi gặp dạng phương trình đường
tròn.
Các em cảm thấy thích học Toán trắc nghiệm.
Học sinh có thể hiểu và làm tốt bài tập về nhà mà giáo viên cho thêm.
Các em tỏ ra say mê học tập, tự tin trong các giờ học Toán.
3.5. Tài liệu kèm theo gồm:
Mô tả sáng kiến (1 bản)
Kiên Giang, ngày 20 tháng 12 năm2018
Người mô tả

Nguyễn Trương Vương

17