MỤC LỤC
A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài..................................................................................
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.......................................................
3. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu...........................................................
4. Giả thuyết khoa học của đề tài.............................................................
5. Phương pháp nghiên cứu......................................................................
6. Dự báo những đóng góp của đề tài.......................................................
7. Kết cấu của đề tài.................................................................................
B. PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lý thuyết......................................................................................
II. Quy trình giải bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau a và b......................................................................................
1. Các bước giải.......................................................................................
2. Phương pháp giải.................................................................................
3. Nhận xét...............................................................................................
III. Các bài toán minh hoạ.......................................................................
1. Các bài toán giải bằng phương pháp tính trực
tiếp...............................
2. Các bài toán giải bằng phương pháp tính gián tiếp..............................
IV. Một số bài tập vận dụng.....................................................................
V. Thực nghiệm sư phạm.........................................................................
1. Mục đích thực nghiệm..........................................................................
2. Nội dung thực nghiệm..........................................................................
3. Kết quả thực nghiệm............................................................................
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1

Trang

02
02
02
02
03
03
03
04
04
04
04
04
04
07
08
08
12
19
20
20
20
20
21
22


A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong các đề thi học sinh giỏi và các đề thi THPT Quốc gia (những năm gần
đây) thì bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một trong

những bài toán khó, ở mức độ vận dụng và vận dụng cao.
Để giải bài toán này thông thường có hai phần: Định tính (chỉ ra khoảng
cách đó là đoạn thẳng nào) và định lượng (tính độ dài đoạn thẳng đó), trong đó
phần định tính là khó nhất và quan trọng nhất.
Trong nhiều năm tôi thực tế giảng dạy cho các đội tuyển thi HSG và thi ĐH
trước đây và thi THPTQG mấy năm gần đây, tôi thấy hầu hết học sinh, kể cả học
sinh giỏi, thường rất lúng túng khi chỉ ra đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau (trong cách giải trực tiếp), cũng như không biết nên qui về
khoảng cách từ điểm nào đến mặt phẳng nào (trong cách giải gián tiếp) ...
Với mong muốn giảm bớt khó khăn cho học sinh khi tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau, tôi xin đề cập phương pháp giải bài toán này đối với
học sinh lớp 11.
Với học sinh lớp 12, chủ yếu vẫn dùng các phương pháp trên, ngoài ra có thể
dùng thêm phương pháp toạ độ trong không gian hoặc phương pháp thể tích...
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành đề tài tôi đã nghiên cứu các bài
toán hình học không gian, các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau trong chương trình môn toán trung học phổ thông.
- Phạm vi của đề tài: Là hỗ trợ cho học sinh trung học phổ thông trong việc
giải toán hình học không gian nói chung và bài toán tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau nói riêng.
3. Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu:
a). Mục tiêu nghiên cứu:
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là rèn luyện kĩ năng giải bài toán tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau cho học sinh lớp 11 nói riêng, học
2


sinh trung học phổ thông nói chung nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học
môn toán ở trường phổ thông.

b). Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài bao gồm:
+ Xác định căn cứ lý luận thực tiễn của các phương pháp giải bài toán tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
+ Xây dựng phương pháp giải và hệ thống bài tập điển hình của bài toán
tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau đối với học sinh lớp 11.
4. Giả thuyết khoa học của đề tài:
Đề tài hướng đến giả thuyết khoa học: Với việc làm rõ quy trình, các
phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và trên cơ sở hệ
thống bài tập phù hợp, có định hướng rõ ràng sẽ giúp học sinh nâng cao kĩ năng
giải bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nói riêng và các
kĩ năng giải toán hình học không gian nói chung.
5. Phương pháp nghiên cứu:
+ Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa và các tài liệu có liên
quan đến hình học không gian, đến bài toán tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau trong chương trình toán trung học phổ thông.
+ Nghiên cứu thực tiễn: Qua thực tiễn dạy học phần hình học không gian
đối với học sinh lớp 11, lớp 12 và qua các đề thi HSG và các đề thi Đại học-Cao
đẳng(trước đây) và các đề thi THPTQG những năm gần đây, tôi thấy việc rèn
luyện kĩ năng giải bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là
thực sự cần thiết.
+ Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ở lớp
11B5 ( lớp khối A) để xem xét tính khả thi, hiệu quả của đề tài.
6. Dự báo những đóng góp của đề tài:
+ Trong thực tiễn dạy học tôi đã áp dụng đề tài của mình vào dạy ở các lớp
khối A và các đội tuyển thi HSG của trường THPT Lê Hồng Phong và đã thu
được kết quả thật khả quan, hầu hết các em đều rất hứng thú say mê khi học

3



chuyên đề này. Từ đó giúp các em phát huy được tính tích cực, tư duy sáng tạo
trong quá trình học tập.
+ Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc
bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi những câu ở mức độ vận dụng và vận dụng
cao trong đề thi THPTQG và thi vào một số trường ĐH tốp trên (có tổ chức thi
riêng).
7. Kết cấu của đề tài:
A. Phần mở đầu.
B. Phần nội dung.
C. Kết luận và kiến nghị.

B. PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT:
1). Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, giữa đường
thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song (SGK Hình học 11).
2). Định nghĩa và các nhận xét về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau (SGK Hình học 11).
a. Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
b. Nhận xét: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng
cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa
đường thẳng còn lại.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
II. QUY TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA
HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU a VÀ b.
1. Các bước giải:
- Bước 1: Xác định khoảng cách (định tính).
- Bước 2: Tính khoảng cách đó (định lượng).

2. Phương pháp giải:
a) Phương pháp 1: Tính trực tiếp. Xác định đoạn vuông góc chung rồi tính.
4


Để tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b, có
các cách sau:
x

* Cách 1: - Dựng mặt phẳng (P) chứa a và (P) // b
- Dựng b’ là hình chiếu của b trên (P). Gọi A = a ∩ b’.

b

B

- Dựng Ax ⊥ (P), gọi B = Ax ∩ b.
Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
b’
A

a

P

* Cách 2: - Dựng mặt phẳng (P) ⊥ a (tại điểm O ∈ a).

a

b


- Dựng b’ là hình chiếu của b trên (P).
- Kẻ OH ⊥ b’ (H ∈ b’)

A

- Từ H, dựng đường thẳng song song với a

O

(hay vuông góc (P)), cắt b tạiB.
- Từ B dựng đường thẳng song song

B

b’

H

P

với OH,cắt a tại A.
Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
* Trong trường hợp a ⊥ b thì cách 2 được thực hiện đơn giản hơn như
sau:
- Dựng mặt phẳng (P) chứa b và ⊥ a tại A.

a

- Dựng AB ⊥ b tại B.

Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của a, b.

b
A

P

B

* Đặc biệt, trong một số trường hợp ta có thể dùng bổ đề (về tứ diện có
2 cặp cạnh đối bằng nhau): Tứ diện có hai cặp cạnh đối bằng nhau khi và chỉ khi

5


đường vuông góc chung của cặp cạnh đối còn lại là đường thẳng nối trung điểm
của hai cạnh đó.
Chứng minh bổ đề:
+ Giả sử tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm
của BC, AD. Ta có: ABD = CAD (c.c.c).
⇒ BJ = CJ (Hai trung tuyến tương ứng bằng nhau)

A

⇒ IJ ⊥ BC (Do JBC cân tại J).

J

Tương tự, ta có: IA = ID ⇒ IJ ⊥ AD.
+ Ngược lại, giả sử IJ ⊥ BC, IJ ⊥ AD.


B

D
I

Do I, J là trung điểm của BC, AD
nên IAD cân tại I; JBC cân tại J.

C

Suy ra IA = ID; JB = JC. (1).
Theo công thức đường trung tuyến:
AB 2 + AC 2 BC 2
−
;
2
4
BD 2 + CD 2 BC 2
ID 2 =
−
;
2
4
IA2 =

AB 2 + BD 2 AD 2
−
2
4

2
2
AC + CD
AD 2
JC 2 =
−
2
4
JB 2 =



 ( 2)



 AB 2 + AC 2 = BD 2 + DC 2
Từ (1), (2) ⇒  2
 AB + BD 2 = AC 2 + CD 2

Cộng vế theo vế, ta có: AB = CD ⇒AC = BD.
b. Phương pháp 2: Tính gián tiếp.
Tính qua khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song (hoặc
khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song). Từ đó qui về khoảng cách từ 1 điểm
đến 1 mặt phẳng.
+ Tìm mặt phẳng (P) chứa b và (P) song song với a.
+ Chọn điểm M nào đó trên a sao cho dễ dàng xác định khoảng cách từ M
đến (P).
+ d (a; b) = d (a; (P)) = d (M; (P)).
+ Tính d (M; (P)).


6


3. Nhận xét: 1) Trong hai phương pháp trên, phương pháp tính trực tiếp
khó hơn và ít được sử dụng hơn. Thông thường ta chỉ dùng phương pháp này khi
hai đường thẳng chéo nhau đó vuông góc với nhau, hoặc vận dụng được tính chất
của tứ diện có 2 cặp cạnh đối bằng nhau. Phương pháp tính gián tiếp được sử dụng
rộng rãi, đa dạng vì nó đơn giản, dễ xác định và gần gũi với học sinh.
2) Đứng trước bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau,
học sinh thường phân vân không biết nên bắt đầu từ đâu, lựa chọn phương pháp
nào: Trực tiếp hay gián tiếp... Để giúp học sinh giải quyết được bài toán trong
khoảng thời gian nhất định, cần định hướng cho các em các bước suy nghĩ để
tìm ra lời giải một cách nhanh, gọn. Theo tôi các bước suy nghĩ đó như sau:
- Nếu bài toán có yêu cầu xác định đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau thì nhất thiết phải dùng phương pháp 1. Khi đó ta xem xét mối
quan hệ giữa hai đường thẳng đó để lựa chọn một trong các cách xác định của
phương pháp này.
- Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

a

và b thì trước hết xét xem từ giả thiết của bài toán có suy ra được a ⊥ b hay không?
- Nếu a ⊥ b thì nên chọn phương pháp 1: Tính trực tiếp.
- Nếu a không vuông góc với b thì nên chọn phương pháp 2: Tính gián tiếp.
Khi đó: + Để ý xem trên hình vẽ sẵn có mặt phẳng nào chứa đường thẳng này
và song song với đường thẳng kia không. Nếu không sẵn có, thường ta phải vẽ
thêm đường phụ để tạo ra mặt phẳng như vậy. Thông thường, chọn một điểm thích
hợp trên đường thẳng này (ví dụ: đường thẳng b), kẻ song song với đường thẳng
kia (đường thẳng a) sao cho mặt phẳng (P) tạo ra có gắn kết với hình vẽ đã cho.

+ Tìm điểm M thích hợp trên đường thẳng a để qui về tính d (M; (P)).
Thông thường ta qui về khoảng cách từ chân đường vuông góc tới mặt bên.
3) Để xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), với học sinh lớp
11, ta có thể dùng các cách sau:

M

- Xác định hình chiếu H của M trên (P).
Khi đó d (M; (P)) = MH.

H

- Giả sử có đường thẳng MN cắt (P)
7

P

I

K


tại I và

MI
= k thì d (M; (P)) = k.d (N; (P)).
IN

N


Như vậy, trong trường hợp này, thay
cho việc tính d (M; (P)), ta có thể tính d (N; (P)).
- Dùng tính chất của tứ diện vuông.
Nếu O. ABC là tứ diện vuông đỉnh O (OA ⊥ AB; OB ⊥ OC; OC ⊥ OA) thì
đường cao OH của tứ diện O. ABC được tính theo công thức:
1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA OB OC 2

III. CÁC BÀI TOÁN MINH HOẠ.
Các bài toán trong phần này chủ yếu tập trung vào phương pháp 2: Tính
gián tiếp. Vấn đề khó khăn của phương pháp này là ở chỗ:
- Tìm mf (P) nào chứa đường thẳng (b) và song song đường thẳng kia (a).
- Chọn điểm nào trên đường thẳng a để tính được khoảng cách từ điểm đó
đến mặt phẳng (P).
Trong nhiều bài toán dưới đây, tôi chú trọng đến việc phân tích tìm hướng
giải để qua đó, học sinh rèn luyện được kĩ năng lựa chọn, nhận biết phương pháp
thích hợp đối với từng bài toán, đồng thời hiểu rõ cách giải quyết các vấn đề
trên. Ở những bài toán khác, phần định hướng giải này được thay bằng lời bình
để giúp học sinh nắm được điểm cốt lõi trong lời giải đưa ra.
1. Các bài toán giải bằng phương pháp tính trực tiếp.

Bài 1 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với
DM. Biết SH ⊥ (ABCD) và SH = a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng DM và SC theo a.
* Phân tích tìm hướng giải :
- Dựa vào tính chất hình vuông, ta có DM ⊥ CN ⇒ DM ⊥ (SNC) và DM ⊥ SC.
Ta nên chọn phương pháp 1: Xác định đoạn vuông góc chung rồi tính.
8


- Mặt phẳng chứa SC và vuông góc với DM là (SCN). Trong SHC, kẻ
đường cao HK thì HK là đoạn vuông góc chung của SC, DM.
- Tính HK dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông SHC.
* Lời giải: - Xác định:
Ta có: ADM = DCN (c.g.c)
⇒ADM = DCN ⇒ DM ⊥ CN.
Mà DM ⊥ SH nên DM ⊥ (SCN)
Hạ HK ⊥ SC (K∈ SC) ⇒ HK là
đoạn vuông góc chung của DM và SC.
Do đó d (DM, SC) = HK.
- Tính: HC =

CD 2 2a
SH .HC
2 3a
2a 3
=
; HK =
=
.

Vậy
d
(DM;SC)
=
CN
5
19
19
SH 2 + HC 2

Bài 2. Cho lăng trụ ABC. A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc giữa
cạnh bên và mặt đáy (A1B1C1) bằng 300. Hình chiếu của H của A trên mặt phẳng
(A1B1C1) nằm trên đường thẳng B1C1. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
AA1, B1C1 theo a.
* Lời giải: - Xác định:
Góc giữa AA1 và (A1B1C1) là AA1H = 300.
A1H = AA1sin600 =

a 3
. Mà A1B1C1
2

đều cạnh a nên H là trung điểm của B1C1.
Từ đó B1C1 ⊥ A1H và B1C1 ⊥ AH
nên B1C1 ⊥ AA1.
Kẻ đường cao HK của AA1H thì d (AA1, B1C1) = HK.
- Tính: Từ HK.AA1 = AH. A1H ⇒ HK = a 3 .Vậy d (AA1, B1C1) = a 3
4

4


* Lời bình: Nhờ tính được A1H, ta đã xác định được vị trí của H trên B 1C1.
Từ đó suy ra B1C1 ⊥ (AHA1). Do đó B1C1 ⊥ AA1 và việc xác định đường vuông
góc chung giữa AA1 và B1C1 trở nên đơn giản.
Bài 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
B; BC song song với AD, cạnh bên SA vuông góc với đáy; AB = BC = a; AD =
2a; SA = a 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
9


a) AB và SD;

b) AC và SD;

* Lời giải: a) - Xác định: Nhận xét: AB ⊥
(SAD). Kẻ AH ⊥ SD (H ∈ SD)
⇒AH là đường vuông góc chung của AB và SD.
- Tính:

2a
1
1
1
3
= 2+
= 2 ⇒AH =
2
2
AH
SA AD

4a
3

b) - Xác định: Ta có SA= CD = a 2
Trong SAC: SC2 = AC2 + SA2 = 4a2
⇒ SC = 2a = AD
Xét tứ diện SACD có: SA = CD; SC = AD.
Vậy đường vuông góc chung của SD và AC
là đoạn thẳng IJ nối trung điểm của mỗi cạnh.
2
- Tính: Trong SAI: SI = SA 2 + AI 2 = 2a 2 + a = a 10

2

2

2
2
Trong SIJ: IJ = SI 2 − SJ 2 = 10a − 6a = a Vậy d (AC;SD) = a.

4

4

* Lời bình: - Câu a, do AB ⊥ SD nên việc chỉ ra đường vuông góc chung
của AB và SD thật dễ dàng.
- Ở câu b ta có thể tạo ra mặt phẳng chứa SD và song song với AC bằng cách:
Kẻ Dx // AC; Ay // CD. Gọi E = Ay ∩ Dx ⇒ (SDE) là mặt phẳng chứa SD và // AC
⇒ d (AC; SD) = d (A; (SDE)) nhưng lời giải dài hơn.
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a.

Xác định và tính độ dài đường vuông góc chung của AB’ và A’C’.
* Lời giải: - Xác định: Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD.
A’B’C’D’.
Ta thấy A’C’⊥ (BDD’B’) và BD’ ⊥ (ACB’).
Hình chiếu của AB’ trên (BDD’B’) là OB’.
Kẻ OH // BD’ (H ∈ OB’);HJ // AC (J∈ AB’);
JK // HO’ (K∈ A’C’)
⇒ JK là đường vuông góc chung của AB’ và A’C’.
- Tính: Gọi E = BD’ ∩ B’O.
Ta có JK = HO’ =

1
1 2
a 3
ED' = . BD' =
2
2 3
3

10


* Lời bình: - Đây là ví dụ tiêu biểu cho việc xác định đường vuông góc
chung của 2 đường thẳng chéo nhau trong trường hợp tổng quát
- Do dùng được tính chất của hình lập phương: BD’ ⊥ (ACB’) nên khi kẻ
O’H // BD’, ta có O’H ⊥ B’O và việc tính toán JK được dễ dàng hơn.
Bài 5. Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2a; C là điểm bất kỳ thuộc
(C) (C ≠ A, C ≠ B), S là điểm trong không gian sao cho SA vuông góc với mặt
phẳng chứa đường tròn (C) và SA = a 3 .
a) Xác định đường vuông góc chung của AC và SB.

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và SB. Hãy xác định vị trí điểm C
trên đường tròn để IJ là đường vuông góc chung của AC và SB. Khi đó, tính
khoảng cách giữa AC và SB.
* Lời giải: a) Gọi D là điểm xuyên tâm đối của C.
Ta có ADB = 900
⇒ BD // AC và AC ⊥ AD
Mà AC ⊥ SA nên AC ⊥ (SAD)
Kẻ AH ⊥ SD (H∈ SD); HM // BD (M∈ SB);
MN // AH (N∈ AC)
⇒ MN là đường vuông góc chung của AC,SB.
b). - Xác định: Cách 1: Ta có BC ⊥ AC; BC ⊥ SA nên BC ⊥ SC.
SAB vuông tại A; SBC vuông tại C,
mà J là trung điểm SB nên AJ = CJ
Mặt khác IA = IC nên IJ ⊥ AC.
Từ đó IJ là đường vuông góc chung
của AC và SB ⇔ IS = IB
⇔ SAI = BCI ⇔ SA = BC
Vậy điểm C thuộc đường tròn (C)
sao cho BC = a 3 thì IJ là đường vuông góc chung của AC; SB.
11


Có 2 điểm C thoả mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Dựa vào tính chất của tứ diện có 2 cặp cạnh đối bằng nhau.
Xét tứ diện SABC với I, J là trung điểm của AC, SB.
Ta có: IJ là đường vuông góc chung của cặp cạnh đối AC và SB khi và chỉ
khi 2 cặp cạnh đối còn lại: SA = BC và SC = AB.
Xét các tam giác vuông SAC và ABC, ta thấy các đẳng thức trên xảy ra
⇔SA = BC hay BC = a 3 .
- Tính: Khi đó, dễ dàng tính được AC = a ⇒AI =

SB = a 7 ⇒ AJ =

a
2

a 7
a 6
⇒ IJ = AJ 2 − AI 2 =
2
2

* Lời bình: - Ở câu a, hai đường thẳng chéo nhau AC và SB không vuông
góc với nhau. Ta đã tạo ra mặt phẳng (SAD) ⊥ AC rồi làm theo các bước dựng (ở
cách 2-phương pháp 1), ta được đường vuông góc chung của AC và SB là MN.
- Ở câu b, việc vận dụng tính chất của tứ diện có 2 cặp cạnh đối bằng nhau
cho ta cách giải thật nhanh và đơn giản.

2. Các bài toán giải bằng phương pháp tính gián tiếp.
Trong các bài toán dưới đây, dễ dàng nhận ra hai đường thẳng chéo nhau
trong kết luận của bài toán là không vuông góc với nhau. Vì vậy, ta nên chọn
cách tính gián tiếp khi tính khoảng cách giữa chúng.
Bài 6 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB
đều và SCD vuông tại S.Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB, SC theo a.
* Phân tích tìm hướng giải:- Dễ thấy mp (SCD) chứa SC và // AB.
- Vai trò của hai điểm A, B đối với mp (SCD) là như nhau. Nếu chọn tính
theo d (A; (SCD)) thì việc xác định khoảng cách là khó khăn.
- Từ giả thiết SAB đều, SCD vuông tại S, ta nghĩ đến 2 điểm đặc biệt
là trung điểm I, J của AB; CD. Dễ dàng tính được SI, SJ, IJ nên nhẩm thấy SI ⊥
SJ ⇒ SI ⊥ (SCD). Từ đó xác định được d (I; (SCD)) = SI.
* Lời giải: - Do AB // CD nên d (AB; SC) = d (AB; (SCD)).

- Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.
12


Ta có: IJ = a; SI =

a 3
a
; SJ =
2
2

⇒ SIJ vuông tại S hay SI ⊥ SJ
Mặt khác: CD ⊥ (SIJ) nên SI ⊥ CD.
Do đó SI ⊥ (SCD)
Vậy d (AB; SC) = d (I; (SCD)) = SI =

a 3
2

Bài 7:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,
BAD=600; SO⊥ (ABCD) và SO=

3a
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD
4

và SB.
* Phân tích tìm hướng giải:- Sẵn có mp (SBC) chứa SB và // AD.
- SO ⊥ đáy (ABCD). Nhờ AC = 2.OC nên khoảng cách từ A đến mp (SBC)

qui được về khoảng cách từ O (chân đường vuông góc) đến mặt bên SBC.
- Tứ diện OSBC vuông đỉnh O nên tính được ngay d (O; (SBC)).
a
2

* Lời giải: Từ giả thiết ta có: OB = ; OC =

a 3
2

- Xác định: Vì AD//(SBC)
nên d (AD; SB)=d (AD; (SBC))=d (A; (SBC)).
Do

CA
= 2 nên d (A;(SBC)) = 2. d (O; (SBC))
CO

- Tính: Tứ diện O.SBC vuông tại O nên
đặt d (O;(SBC))= h thì:
1
1
1
1
16
4
4
64
=
+

+
= 2+ 2+ 2 = 2
2
2
2
2
h
OS
OB
OC
9a
a
3a
9a

⇒h=

3a
3a
. Vậy d(AD; SB) = 2.h =
8
4

Bài 8. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , CB = a; CA = a 3 ;
cạnh SA = a 2 và SA ⊥ (ABC). Gọi D là trung điểm của cạnh AB.
Tính:

a) Khoảng cách giữa AC và SD.
b) Khoảng cách giữa BC và SD.
13



a) * Phân tích tìm hướng giải:- Với hai
đường thẳng AC, SD, không sẵn có mặt phẳng nào
chứa đường thẳng này và song song với đường
thẳng kia.
- Do SA ⊥ đáy (ABC), ta tạo ra mặt bên chứa SD
và // AC bằng cách kẻ Dy // AC.
- d (AC; SD) qui về khoảng cách từ A (chân đường
vuông góc) tới mặt bên (SD; Dy).
* Lời giải:- Xác định: Kẻ Ax / /BC; Dy / /AC.
Gọi E = Ax ∩ Dy. Vì AC // (SDE) nên
d (AC;SD) = d (AC; (SDE)) = d (A; (SDE))
Dễ thấy DE ⊥ (SAE) nên (SDE)⊥ (SAE)
⇒ Kẻ đường cao AH của tam giác vuông SAE
thì AH ⊥ (SDE) ⇒ d (AC; SD) = AH
SA. AE
- Tính: AH = SE =

Vậy d (AC; SD) =

a
2 =a 2
3
a2
2
2a +
4
a 2.


a 2
3

b) * Phân tích tìm hướng giải: - Vì D là trung điểm của AB nên ta dễ
thấy mp (SDI) chứa SD và // BC (với I là trung điểm AC). Do đó d (BC; SD) = d
(BC; (SDI)).
- Khoảng cách từ B (hoặc C) đến mp (SDI) qui được về khoảng cách từ A
(chân đường vuông góc) tới mặt bên (SDI), do D là trung điểm của AB (hoặc I
là trung điểm AC).
* Lời giải:- Xác định: Gọi I là trung điểm AC thì BC // (SDI)
⇒ d (BC; SD) = d (BC; (SDI)) = d (C; (SDI)) = d (A; (SDI)
= AK (với AK là đường cao của SAI).
- Tính: Từ AK.SI = SI.AI ⇒AK = a 66 . Vậy d (BC; SD) = a 66 .
11

14

11


Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 60 0. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng SA và BC theo a.
* Lời giải: Ta có: SCH là góc giữa SC và (ABC) ⇒ SCH = 600
- Xác định: Kẻ Ax // BC. Gọi N, K lần lượt là
hình chiếu của H trên Ax, SN.
3
2


Vì BC//(SAN) và BA = HA nên
d (SA, BC) = d(B; (SAN)) =

3
d ( H ; ( SAN ))
2

Ax ⊥ (SHN) nên Ax ⊥ HK. Do đó HK ⊥ (SAN) ⇒ d (SA; BC) =
- Tính: Dễ dàng tính được HC =
AH =

a 7
a 21
; SH = HC tan 60 0 =
;
3
3

2a
a 3
, HN = AH sin 600 =
, HK =
3
9

Vậy d (SA, BC) =

3
HK
2


SH .HN
SH + HN
2

2

=

a 42
.
12

a 42
.
8

* Lời bình: Ta đã kẻ Ax // BC để tạo ra mặt phẳng (SA; Ax) chứa SA và // BC.
Khi đó việc tính d (BC; SA) quy về tính khoảng cách từ H (chân đường vuông
góc) tới mặt bên (SA; Ax).
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC,
cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
* Lời giải: - Xác định:
Từ giả thiết ta có SA ⊥ (ABC); SBA = 600
nên SA = AB tan 600 = 2a 3; AM = MN = a .
Kẻ đường thẳng Nx // AB; Ay // BC.
Gọi I = Ay ∩ Nx


x
15


⇒ d (AB; SN) = d (AB; (SNI))= d (A; SNI))
Kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI) ⇒AH ⊥ (SNI)
(do IN ⊥ (SAI) nên AH ⊥ IN) ⇒ d (A; (SNI) = AH
- Tính: Trong SAI:
Vậy d (AB; SN) =

1
1
1
1
1
13
2a 39
= 2+ 2 =
+ 2 =
⇒ AH =
2
2
2
AH
SA
AI
12a
a
12a

13

2a 39
13

* Lời bình: - Kẻ Nx // AB để tạo ra mặt phẳng (SN; Nx) chứa SN và //AB.
Khi đó d (AB;SN)= d (AB; (SNx)). Trong 3 điểm A,M,B của đường thẳng AB,
việc xác định khoảng cách từ A (chân đường vuông góc) đến mặt bên (SN; Nx)
là dễ dàng hơn nhiều so với 2 điểm M,B.
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a;
AD=2a; Cạnh SA ⊥ (ABCD), cạnh SB tạo với đáy góc 60 0. Trên cạnh SA lấy
điểm M với AM =

a 3
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SC.
3

* Phân tích tìm hướng giải:
- Dễ dàng tạo ra mặt phẳng chứa BM và // SC bằng cách kẻ MN // SC (N ∈ AC).
- Khoảng cách d (SC; (BMN)) qui về khoảng cách từ A (chân đường vuông
góc) tới mặt bên (BMN) nhờ tỉ số

MS
.
MA

- Kéo dài BN cắt AD tại I, ta có d (A; (BMN)) = d (A; (BMI)). Khoảng
cách này dễ dàng tính được nhờ tính chất của tứ diện vuông đỉnh A: ABMI.
* Lời giải: - Xác định:Kẻ MN // SC (N ∈ AC) ⇒ SC // (BMN).
Gọi I = BN ∩ AD

Ta có: d (BM; SC) = d (SC; (BMN))
= d (S; (BMN)) = 2.d (A; (BMI) (do MS = 2.MA).
- Tính:

AI
NA MA 1
1
=
=
= ⇒ AI = BC = a
BC NC MS 2
2

Tứ diện A.BMI vuông tại A nên đặt d (A; (BMI))= h, ta có:
a 5
1
1
1
1
1
1
3
5
a 5
=
+ 2+
= 2 + 2 + 2 = 2 ⇒h=
.Vậy d (BM; SC) =
.
2

2
2
h
AB
AI
AM
a
a
a
a
5
5

16


Bài 12: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB=BC=a; cạnh bên AA’= a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AM; B’C.
* Lời giải: - Xác định: Gọi E là trung điểm BB’
⇒ B’C// (AME)
⇒ d (B’C; AM)= d (B’C; (AME))
= d (B’; (AME)) = d (B; (AME))= h
- Tính: Vì tứ diện B.AME vuông tại B nên ta có:
1
1
1
1
7
a 7

=
+
+
= 2 ⇒h =
2
2
2
2
h
BA
BE
BM
a
7

Vậy d (B’C; AM) =

a 7
7

* Lời bình: Do M là trung điểm BC nên dễ nhận ra mp (AME) chứa AM và // BC.
Khoảng cách từ B’ (hoặc C) tới mp (AME) đều bằng khoảng cách từ B (chân
đường vuông góc) tới mặt bên AME.
Bài 13. Cho lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AA’, BB’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
B’M; CN.
* Lời giải: - Xác định: Gọi O,O’ lần lượt là trung điểm
của BC, B’C’; P=OO’ ∩ CN.
Vì B’M // (CAN) nên
d (B’M; CN) = d (B’M; (ACN)) = d (B’; (ACN))

= d (B; (ACN)) (do N là trung điểm BB’)
= 2.d (O; (ACN)) (do BC = 2.OC)
=2.d (O; (ACP))
- Tính: Dễ tính được: OA =

a 3
a
a
; OC = ; OP =
2
2
2

Tứ diện O.ACP vuông tại O nên đặt d (O; (ACP))= h,
ta có:

1
1
1
1
64
a 3
a 3
=
+
+
= 2 ⇒h=
. Vậy d (B’M; CN) =
2
2

2
2
h
OA OC
OP
3a
8
4

17


* Lời bình: Dễ dàng nhận ra mặt phẳng (ACN) chứa CN và // B’M nhưng thật
khó khăn khi tính trực tiếp d (B’; (ACN)). Việc ta đã khéo léo tạo ra tứ diện vuông
O.ACP và qui về tính d (O; (ACP)) đã giúp cho lời giải trở nên thật đơn giản.
Bài 14:Cho hình lập phương ABCD, A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là
trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A’D.
* Phân tích tìm hướng giải:
- Nhờ tính chất của hình lập phương ta dễ dàng tạo ra mặt phẳng chứa A’D
và // CK là (A’DM) (với M là trung điểm BB’).
- Khoảng cách d (CK; A’D) qui về khoảng cách từ C (hoặc K) tới mp (A’DM).
- Do AA’ ⊥ đáy (ABCD) và tỉ số

NK
tính được nên ta chọn d (K; (A’DM))
NA

để qui về khoảng cách từ A (chân đường vuông góc) tới mặt bên (A’DM) hay
(A’DP) (với P = A’M ∩ AB).
- Dùng tính chất của tứ diện vuông AA’DP để tính d (A; (A’DP)).

* Lời giải: - Xác định: Gọi M là trung điểm của BB’; P = A’M ∩ AB
Ta có: CK // A’M nên
d (CK; A’D) = d (CK; (A’DP)) = d (K; (A’DP))
Gọi N = A’D ∩ AK ⇒

NK KD 1
=
=
NA AA' 2

1
⇒ d ( K ; ( A' DP ) ) = d ( A; ( A' DP) )
2

- Tính: Tứ diện A.A’DP vuông tại A
nên đặt d (A; (A’DP) = h, ta có:
1
1
1
1
9
2a
=
+
+
= 2 ⇒h=
.
2
2
2

2
h
AA
AD
AP
4a
3

Vậy d (CK; A’D) =

a
.
3

Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a; AD=
a 3 ; Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng

SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC
theo a.

18


* Phân tích tìm hướng giải:- Do O là trung điểm BD nên dễ dàng tạo ra mp
(MAC) chứa AC và // SB (với M là trung điểm SD).
- Khoảng cách từ S (hoặc B) đến mp (MAC) đều bằng khoảng cách từ D
đến mp (MAC).
- Vì SO ⊥ (ABCD) và để xem D là chân đường vuông góc, (MAC) là mặt
bên, ta dựng đường thẳng Dx // SO và gọi E = OM ∩ Dx. Khi đó khoảng cách
d (D; (MAC)) dễ dàng tính được nhờ tính chất của tứ diện vuông D. MAC.

* Lời giải: - Xác định: Gọi O=AC ∩ BD
Từ giả thiết ta có SO ⊥ (ABCD);
SDO = 600 ; SO = OD tan 600 = a 3
Gọi M là trung điểm SD.
Ta có: SB // OM ⇒ SB // (MAC)
⇒d (SB; AC) = d (SB; (MAC))
= d (B; (MAC)) = d (D; (MAC) )
Kẻ DE//SO và DE = SO.
Ta có SODE là hình chữ nhật nên O, M, E thẳng hàng.
- Tính: Tứ diện D.EAC vuông tại D nên đặt h = d (D; (EAC))= d (D; (MAC)) thì:
a 15
1
1
1
1
5
a 15
=
+
+
= 2 ⇒h=
. Vậy d (SB; BC) =
2
2
2
2
h
DE
DA
DC

3a
5
5

IV. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi
E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là
trung điểm của BC. Chứng minh MN ⊥ BC và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng MN và AC theo a. (Đ/s:

a 2
).
4

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), đáy là ABC có AB = AC
= a; BAC=1200. Góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) là 30 0, I là trung điểm BC.
Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AI và SB theo a. (Đ/s:

19

a 66
).
11

x


Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Chân
đường vuông hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) là một điểm thuộc cạnh BC.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA, biết SA=a và SA tạo

với mặt phẳng đáy một góc 300. (Đ/s:

a 3
).
4

Bài 4:Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A1B1C1 có AA1= a 2 , đường
thẳng B1C tạo với mặt phẳng (ABB1A1) góc 450. Tính khoảng cách giữa AB1 và
BC. (Đ/s:

a 30
).
5

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA
vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính d
a 22
).
11

(SM; BN). (Đ/s:

Bài 6. Cho hình hộp đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a và
Â=600. Xác định đường vuông góc chung của AC’ và BB’. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng đó. (Đ/s:

a
).
2


Bài 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB = AA’ = a; AC’ = 2a.
a) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACD’)
b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC’ và CD’
(Đ/s: a)

a
a 10
; b) ).
2
5

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = h và SA
vuông góc với đáy. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng:
(Đ/s: a)

a) SC và AB;
ah
a +h
2

2

; b)

b) AC và SD

a 3
).
3


V. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM:
1. Mục đích thực nghiệm: Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
2. Nội dung thực nghiệm:

20


- Triển khai đề tài: “Phân tích đường lối, tìm tòi lời giải,rèn luyện kĩ năng
giải bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau cho học sinh lớp
11”.
- Đối tượng áp dụng đề tài: Học sinh lớp 11 B5 gồm cả HS trung bình, khá, giỏi
về môn toán. - Thời gian triển khai đề tài: 3 buổi
3. Kết quả thực nghiệm:
Tôi được phân công giảng dạy các lớp khối A, D và dạy các đội tuyển thi
HSG trong nhiều năm nay. Hầu như các em rất khó để xác định đoạn vuông góc
chung giữa hai đường thẳng chéo nhau, hoặc tìm ra mặt phẳng chứa đường
thẳng này, song song với đường thẳng kia cũng như chọn điểm nào trên đường
thẳng để từ đó xác định được khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng. Trong
năm học qua, tôi đã triển khai đề tài này cho học sinh lớp 11B5, sau khi các em
học xong bài khoảng cách. Kết quả thật khả quan, các em đều hiểu bài nhanh,
biết phân tích lựa chọn phương pháp thích hợp để giải và không còn cảm thấy sợ
loại toán này nữa.
Kết quả khảo sát cụ thể ở lớp 11B5, sau khi dạy xong chuyên đề như
sau:
- 60% học sinh làm tốt tất cả các bài tập vận dụng.
- 25% học sinh làm được 80% số bài.
- 15% học sinh làm được 60% số bài.
- Điều đáng nói là chỉ có một số rất ít học sinh không làm được bài tập (3
em học rất yếu hình trong lớp)


C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận: Trong quá trình giảng dạy nhiều năm, tôi đúc rút ra cách dạy
một cách hiệu quả các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
như đã trình bày ở trên. Điều quan trọng là giáo viên phải rèn luyện cho học sinh
kĩ năng nhìn nhận, phân tích, lựa chọn phương pháp giải thích hợp đối với từng
bài toán. Tôi thấy hầu hết các em sau khi học xong chuyên đề đều tỏ ra hứng
thú, tự tin hơn trước loại toán được coi là khó này. Đặc biệt trong phương pháp
gián tiếp-là phương pháp thường sử dụng - các em đều đã biết cách chọn mặt
phẳng thích hợp chứa đường thẳng này, song song với đường thẳng kia, biết
chọn điểm trên đường thẳng sao cho dễ xác định được khoảng cách từ điểm đó
21


đến mặt phẳng và thông thường quy về khoảng cách từ chân đường vuông góc
tới mặt bên... Qua đó góp phần phát triển tư duy phân tích, sáng tạo cho học
sinh, tạo nên sự hứng thú, say mê của học sinh đối với môn toán nói chung và
bài toán khó về khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau nói riêng.
2. Kiến nghị: Phần hình học không gian đòi hỏi người học phải có tư duy
trừu tượng, có óc tưởng tượng nên việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh rất cần thiết.
Tuy nhiên điều đó bắt buộc giáo viên không chỉ cung cấp lời giải bài toán cho học
sinh mà còn phải đầu tư suy nghĩ đưa ra hệ thống câu hỏi, phân tích cho học sinh tự
nhận ra hướng giải để từ đó các em có thể giải được các bài toán khác.
Phạm vi ứng dụng của đề tài là rộng rãi và cần thiết đối với HS dự thi HSG
và thi THPTQG (có mục đích tuyển vào các trường ĐH). Đề tài đã được tôi
kiểm nghiệm tính hiệu quả trong giảng dạy.
Ngày 20 tháng 5 năm 2020
Người thực hiện

Ngô Thị Xuân


22


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Một số thông tin lấy trên: www.google.com
2). Các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng môn toán từ năm 2003 đến
năm 2014
3). Báo Toán học tuổi trẻ ..
4). Tuyển tập các đề thi thử Đại học ba miền Bắc-Trung-Nam.
5). Tuyển tập các đề thi thử Đại học trường THPT chuyên Hà Tĩnh,
Vinh, Amsterdam
6) Giới thiệu các dạng toán luyện thi Đại học của Phan Huy Khải-NXB
Hà Nội.
7) Giải toán hình học không gian -NXB giáo dục.

23