TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT

KIỂM TRA LẠI – NĂM HỌC 2018 - 2019

(Đề thi có 01 trang)

Đề thi môn: TOÁN - Khối: 11
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Ngày kiểm tra: 17/06/2019

Họ tên học sinh: …………………………………………….

SBD:………….. Lớp: 11B……

I. GIẢI TÍCH: (6 điểm)
lim

Câu 1: (1 điểm) Tính giới hạn hàm số:

x ��

1
2x  4x2  2x  3 .

Câu 2: (1 điểm) Xét tính liên tục của hàm số

�2  3x  2 x 2
, x2
�
f  x   � 3x 2  4  2 x
�

3 x  4, x �2
�

tại x  2 .

Câu 3: (1 điểm) Tính đạo hàm của hàm số:

a)
b)

y

5  3x 2
3  2x2 .

y  2sin 3  2 x  1  3

.

3
2
C
Câu 4: (1 điểm) Cho đồ thị   của hàm số y  2 x  3x  1 . Viết phương trình tiếp
C
C
tuyến của   tại giao điểm của   với trục hoành.

y

 C


2x 1
3 x  2 . Viết phương trình tiếp

Câu 5: (1 điểm) Cho đồ thị
của hàm số
C
tuyến của   biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 9 x  4 y  8  0 .

Câu 6: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình
 3x3  x 2  12 x  4   m4  m  3  5 x 2  6 x  8  0 luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị
của tham số m.
II. HÌNH KHÔNG GIAN: (4 điểm)
Câu 7: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Gọi
SH   ABC  SB  a 5
H là trung điểm cạnh AB,
,
.
a) Chứng minh rằng:

 SAB    SHC  .

b) Tính góc giữa SA và

 SHC  .

Câu 8: (2 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông tại B,
AB  a, AC  a 5, BB '  2a . Gọi H là hình chiếu của B lên AB ' .

a) Chứng minh rằng:


AB '   BHC 

.


b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' B ' và AC ' .

-----------HẾT----------


ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA LẠI – NĂM HỌC: 2018 – 2019
1

lim

2x  4 x2  2x  3 .
�
2 3 �
x�
2 4  2 �
x x �
 lim �
2
1
� 3�
2 x  4 x  2 x  3 x � �
lim
x
2 �


lim
�
2
x ��
� x�
2 x  4 x  2 x  3 x�� 4 x 2  4 x 2  2 x  3

Câu 1: (1,0 điểm) Tính giới hạn hàm số:

 lim

x ��

2 3

x x2
3
2
x
2

2 4

x ��

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số
�2  3x  2 x 2
, x2
�

f  x   � 3x 2  4  2 x
�
3x  4, x �2
�

+
+

f  2   10

.

lim f  x   lim

x �2

tại x  2 .

x �2

3x  4  2 x
2

 lim



lim f  x   lim  3x  4   10

x �2 


x �2

3x 2  4  2 x

3x2  4  4 x 2

x �2

 x  2   2 x  1  3x 2  4  2 x 
 lim
x �2
 2  x  2  x

+

 2  3x  2 x  
2

2  3x  2 x 2

 lim
x �2

 2 x  1 

3x 2  4  2 x
x2





 10 .

.

  x�2   x�2  
Do
nên hàm số liên tục tại x  2 .
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của hàm số:
f 2  lim f x  lim f x  10

y

5  3x 2

3  2x2 .
4x
6 x 3  2 x 2 
 5  3x2   6 x  3  2 x2   2 x  5  3x2   6 x3  28 x
2
2 3  2x
y' 
 3  2x2  3  2x 2
 3  2 x2  3  2 x 2
3  2 x2
y  2sin 3  2 x  1  3

a. (0,5 điểm)


b. (0,5 điểm)

.

y '  6sin  2 x  1 .cos  2 x  1 .  2 x  1 '  6sin  4 x  2  .sin  2 x  1
2

 C  của hàm số y  2 x3  3x 2  1 . Viết
C
C
phương trình tiếp tuyến của   tại giao điểm của   với trục
Câu 4: (1,0 điểm) Cho đồ thị

hoành.
2
M x ;y
Ta có: y '  6 x  6 x . Gọi  0 0  là tiếp điểm.
�
x0  1 � f '  x0   0 � pttt : y  0
�
�
1
9
9
9
�
x0   � f '  x0   � pttt : y  x 
3
2
M �Ox � y0  0 � 2 x0  3 x0  1  0

�
2
2
2
4


Câu 5: (1,0 điểm) Cho đồ thị
trình tiếp tuyến của

 C

của hàm số

y

2x 1
3x  2 . Viết phương

 C  biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

d : 9x  4 y  8  0 .

y' 

Ta có:

1

 3x  2  . Gọi

2

M  x0 ; y0 

là tiếp điểm.
1
4
9
Tt  d : 9 x  4 y  8  0 � y  x  2 � f '  x0   ktt    
kd
9
4

�

1

 3x0  2 

2

3
�
3 x0  2 
�
2
4 �
2 �� �
3


�dk : x0 � � �
3 x0  2  
9 �
3� �
2

� 7
8
4� 7� 8
4
38
x0   n  � y0  � pttt : y   �x  �   x 
�
6
9
9� 6� 9
9
27
��
� 1
4
4� 1� 4
4
14
x0   n  � y0  � pttt : y   �x  �   x 
�
9
9� 6� 9
9
27

� 6

Câu 6: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình

 3x

3

 x 2  12 x  4   m 4  m  3  5 x 2  6 x  8  0

luôn có ít nhất hai nghiệm với

mọi giá trị của tham số m.
Đặt

f  x    3x 3  x 2  12 x  4   m 4  m  3  5 x 2  6 x  8

Ta có:

f  x

.

là hàm đa thức nên liên tục trên �, do đó liên tục trên

1 �
� 1�
�
2; �
;3

�
�
3 �
� 3 �và �
�.
�1 � 85
f � �   0
f  2   24  0
; �3 � 9
;

f  3  40  m 4  m  3  19  40  m 4  2m 2  1  2m 2  m  2   19

2
� 2
2
� 1 � 7�
2
 40 �
m

1

m

m



�

� � 19  0 m
2
�
� 4�
�

�1 �
�1 �
� f  2  . f � � 0 m f � �
. f  3  0 m
3
�3 �
�
�
,
f  x  0

Vậy phương trình
có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của
tham số m.
Câu 7: (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều
cạnh 2a. Gọi H là trung điểm cạnh AB,

SH   ABC 

, SB  a 5 .


a. (1,0 điểm) Chứng minh rằng:


 SAB    SHC  .

Ta có: CH  AB (do tam giác ABC đều có
CH là đường trung tuyến)
CH  SH

Trong

 SH   ABC  �CH 

 SAB  : AB �SH  H

� CH   SAB 

Mà

CH � SHC 

nên

 SAB    SHC 

b. (1,0 điểm) Tính góc giữa SA và
Ta có: AB  CH (cmt)
AB  SH

Trong

 SH   ABC  �AB 


 SCH  : CH �SH  H

� AB   SCH 

Mà

 SHC  .

tại H.

SA � SHC   S

.

Nên SH là hình chiếu của SA lên

 SHC  .

��
SA,  SHC  �
�
�  SA, SH 

Tam giác SAB có SH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên
là tam giác cân tại S � SA  SB  a 5
HA
a
1



0
SA,  SHC  �
�
� ; 270
SA a 5
�; 27 .
5 � SDH
. Vậy �
Câu 8: (2,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác
sin �
ASH 

vuông tại B, AB  a, AC  a 5, BB '  2a . Gọi H là hình chiếu của B lên AB ' .


.
a. (1,0 điểm) Chứng minh rằng:
b. (1,0 điểm) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' B ' và AC ' .
AB '  BHC

a. (1,0 điểm) Chứng minh rằng:
Ta có: BC  AB (gt)

AB '   BHC 

BC  BB '  BB '   ABC  �BC 

Trong

 ABB ' A ' : AB �BB '  B


� BC   ABB ' A ' 

Ta có: AB '  BH (gt)

AB '  BC  BC   ABB ' A ' �AB '  cmt  

Trong

 BHC  : BH �BC  B

� AB '   BHC 

b. (1,0 điểm) Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng A ' B ' và AC ' .

.


ABC ' AC ' � ABC '  � d A ' B ', AC '  d  A ' B ', ABC '   d  B ', ABC ' 
Ta có: A ' B ' // 
,

Trong

 BCC ' B ' : B ' C �BC '  D

AB  BB '  BB '   ABC  �AB  � AB   CBB ' C '
Ta có: AB  BC (gt),


BC  AC 2  AB 2  2a  BB ' . Suy ra hình chữ nhật BCC ' B ' là hình vuông.
� B ' C  BC '

B ' C  AB  do AB   CBB ' C '  �B ' C 

Trong

 ABC ' : AB �BC '  B

� B ' C   ABC ' 

tại D

� d B ', ABC '   B ' D 

B ' C BC 2

a 2
2
2