ySỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HCM

ĐỀ THI HKII, KHỐI 11, NĂM HỌC 2018-2019

TRƯỜNG THPT TRẦN KHAI NGUYÊN

Môn : TOÁN
Thời gian : 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Họ và Tên:………………………………...........Số báo danh:…………………………….Mã đề: 111
Câu 1: [1,5 điểm] Tính các giới hạn sau
a)

b)



lim  x  1  x  5

x � �

Câu 2: [1,25 điểm] Xét tính liên tục của hàm số



�x 3  2 2
khi x � 2
�
f ( x)  � x  2
�
5

khi x  2
�

trên tập xác định của nó

Câu 3: [0,75 điểm] Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, phương trình sau luôn có nghiệm:

m

2

 4m  5  x 3  2 x  2  0

.

Câu 4: [1,75 điểm] Tính đạo hàm các hàm số sau

x 2  3x
y 2
x  4x
b)

x2  4 x  3
y
x 1
a)

Câu 5: [1 điểm] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: .
Câu 6: [0,75 điểm] Cho hàm số


g  x 

1
1
 2m  1 x3   2m 1 x 2   m  2  x  2019
3
2
. Tìm tất cả giá trị của

g �x  0
tham số m để phương trình  
có hai nghiệm phân biệt.

Câu 7: [3 điểm] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D với AD  CD  2a , AB  4a.
SA   ABCD  SA  4a.
,
SAC
a) Chứng minh
và SCD là các tam giác vuông.
 SAD  ; góc giữa  SCD  và  ABCD  .
b) Tính góc giữa SC và

 SAC  .
c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
 SAC  .
d) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và SD . Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng
HẾT

1



SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HCM

ĐỀ THI HKII, KHỐI 11, NĂM HỌC 2018-2019

TRƯỜNG THPT TRẦN KHAI NGUYÊN

Môn : TOÁN
Thời gian : 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Họ và Tên:………………………………...........Số báo danh:…………………………….Mã đề: 112
Câu 1: [1,5 điểm] Tính các giới hạn sau
a)

b)



lim 2  x  x  3

x ��

Câu 2: [1,25 điểm] Xét tính liên tục của hàm số



�x 3  2 2
khi x � 2
�
f ( x)  � x  2

�
2
khi x   2
�

trên tập xác định của nó

Câu 3: [0,75 điểm] Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, phương trình sau luôn có nghiệm:

m

2

 2m  7  x 3  2 x  1  0

.

Câu 4: [1,75 điểm] Tính đạo hàm các hàm số sau

x2  4x
y 2
x  3x
b)

x 2  3x  4
y
x 1
a)

Câu 5: [1 điểm] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: .

Câu 6: [0,75 điểm] Cho hàm số

g  x 

1
1
 3m  1 x3   3m  1 x 2   m  1 x  2019
3
2
. Tìm giá trị của tham số

 x   0 có hai nghiệm phân biệt.
m để phương trình g �
Câu 7: [3 điểm] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB  CB  2a ,

AD  4a. SA   ABCD  , SA  6a.
a) Chứng minh SAC và SBC là các tam giác vuông.

 SAB  ; góc giữa  SCB  và  ABCD  .
b) Tính góc giữa SC và

 SAC  .
c) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng
 SAC  .
d) Gọi N , M lần lượt là trung điểm của DC và SB . Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng
HẾT

2



Chủ đề

Nhận biết

GIỚI HẠN,

Tính giới

DÃY SỐ,

hạn

MA TRẬN ĐỀ
Vận dụng
Thông hiểu
Thấp
Tính giới hạn

Cộng
Cao

HÀM SỐ
Số câu
Số điểm
HÀM SỐ

1
0,75

LIÊN TỤC


1
0,75
Xét tính liên tục
của hàm số có

2
1,75
Chứng minh
phương trình có
nghiệm

nhánh trên tập
Số câu
Số điểm
ĐỊNH NGHĨA
ĐẠO HÀM.
PHƯƠNG
TRÌNH TIẾP
TUYẾN
Số câu
Số điểm
QUY TẮC
TÍNH ĐẠO
HÀM.
Số câu
Số điểm
ĐƯỜN
VUÔNG VỚI
MẶT, MẶT

VUÔNG VỚI
MẶT,
KHOẢNG
CÁCH (ĐIỂM
ĐẾN MẶT)
Số câu
Số điểm
Tổng số câu
Tổng số điểm

xác định
1
1,25
Viết phương trình
tiếp tuyến tại một
điểm

Dùng quy
tắc để tính
đạo hàm
1
0,75
Chứng minh
đường
thẳng vông
góc với mặt
phẳng.
Tính góc
giữa đường
thẳng và

mặt phẳng
2
1,25
4
2,75

1
1,0
Dùng quy tắc để
tính đạo hàm, có
công thức hàm
hợp.
1
1,0
Tính góc giữa
hai mặt phẳng.
Tính khoảng
cách từ điểm đến
mặt phẳng

2
1,25
6
5.25

1
0,75

2
2,0


1
1,0
Tìm giá trị tham
số của biểu thức
đạo hàm thoả
điều kiện cho
trước
1
0,75

3
2,5
Tính góc giữa
đường thẳng và
mặt phẳng

2
1,5

1
0,5
1
0,5

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11_Đề: 111
3

5
3,0

13
10.0


Câu 1a [A]
(0,75 điểm)

Tính: .



 x 2  x  1  1 2  x  4
x2  x  1  1
lim
 lim
x �0
x �0
2 x4
 4  x  4 x2  x  1 1
 lim
x �0

 lim
x �0

Câu 1b [A]



Điểm chi

tiết



x

2



 x 2  x  4

 x 

x4







x2  x  1  1

lim  x  1  x  5

x ��






x2  x  1  1

 x  1  2 

 1 



0,25



 2

0,5

�
1 5 �
lim  x  1  x  5  lim �

x

1

x
 �
x ��
x ���

x x2 �
�
�
� 1
1 5 �
 lim x �

1


 2�
� �
x �� �
x
x
x
�
�
� 1
1 5 �
lim �

1


 2�
� 1  0
lim x  � x��� x
x
x

�
�
Vì x ��
,
�x 3  2 2
Câu 2 [A]
khi x � 2
�
f ( x)  � x  2
�
5
khi x  2
�
Xét tính liên tục của hàm số
trên tập xác định của nó
D�
(1,25 điểm)
TXĐ:
x3  2 2
f ( x) 
x  2 là hàm phân thức hữu tỉ, xác định tại mọi
Xét tại x � 2 hàm số



(0,75 điểm)



x � 2 nên liên tục tại mọi x � 2 .

x  2
Xét tại 0
f

 2  5



0,25
0,25
0,25
Điểm chi
tiết

0,25
0,25
0,25





x  2 x2  2x  2
x3  2 2
lim f  x   lim
 lim
 lim ( x 2  2 x  2)  6
x� 2
x� 2 x  2
x� 2

x� 2
x 2
lim f  x  �f 2
x� 2
� Hàm số không liên tục tại x  2
Ta có:

 

0,25
0,25

KL: Hàm số liên tục tại mọi x � 2 và gián đoạn tại x  2
Câu 2
(0,75 điểm)

Chứng minh với mọi tham số m phương trình sau luôn có nghiệm :
 m2  4m  5 x 3  2x  2  0

m

2

 4m  5  x 3  2x  2  0

4

Điểm chi
tiết



Đặt

f (x)   m 2  4m  5  x 3  2x  2

.
0,25

 0;1
f(x) liên tục trên đoạn

(Vì hàm số f(x) là hàm đa thức liên tục trên R) (1)

2
f (0)  2  0 , f (1 )= m  4m  5   m  2   1  0, m
� f (0).f (1)  0 , m (2)
2

0;1
Từ (1) và (2) � phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng   với
mọi tham số m

0,25

0,25

� Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi tham số m.
Câu 4 [A]

Tính đạo hàm các hàm số sau


x 2  3x
y 2
x  4x .
b)

x2  4 x  3
(1,75 điểm)
y
x 1 .
a)
x2  4 x  3
(0,75 điểm)
y
x 1
a)

x
� y�

� y�

� y�


(1 điểm)

 4 x  3 �
 x  1   x 2  4 x  3  x  1 �


2

 x  1

2

0,25

 2 x  4   x  1   x 2  4 x  3 .1
2
 x  1

0,25

x2  2x 1

0,25

 x  1

2

x 2  3x
y 2
x  4x
b)


� y�



x2  3x

 � x  4 x   

x2  3x

2

x

x

2

 4x 

2

  x  4x �
2

 3x  � 2
.  x  4 x   x 2  3x .  2 x  4 
2
� y�
 2 x  3x
2
 x2  4x 




2

2x  3
� y�
 2 x  3x
2

. x 2  4 x  

x 2  3x .  2 x  4 

2

� y�


2

2

2

0,25






2

2

0,25



 x  4x 
 2 x  3 . x  4 x    x  3x  . 4 x  8 
� y�

2  x  4 x  . x  3x
� y�


Điểm chi
tiết

0,25

2

2 x 3  9 x 2  12 x

2  x 2  4 x  . x 2  3x
2

0,25


2 x 2  9 x  12
2 x  x  4  . x 2  3x
2

.(có thể bỏ qua)
5


Câu 5
(1 điểm)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương
trình:
Gọi là tiếp điểm.
2
4
�2 4 �
x0  � y0  � M � ; �
3
9
�3 9 �
Suy ra

Điểm chi
tiết

0,25

�2 4 �
M�; �

�3 9 �
Phương trình tiếp tuyến tại
5� 2� 4
5
14
y   �x  � � y   x 
3� 3� 9
3
9

0,25

0,5
Câu 6 [A]

(0,75 điểm)

1
1
 2m  1 x 3   2m  1 x 2   m  2  x  2019
3
2
Cho hàm số
. Tìm giá trị của
�
g
x

0
tham số m để phương trình  

có hai nghiệm phân biệt.
g  x 

g�
 x    2m  1 x 2   2m  1 x  m  2

Phương trình

Câu 7 [B]
(3 điểm)

0,25

g�
 x  0

có hai nghiệm phân biệt
� 1
m�
�
2
m

1
�
0
a
�
0
�

�
1
7
� 2
��
�� 2
��
� m
0
2
2
4m  16m  7  0
�
�
�1  m  7
�2
2
1
7
m
2
Vậy: 2
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D với AD  CD  2a ,
AB  4a . SA   ABCD  , SA  4a.
a) Chứng minh tam giác SAC và SCD là các tam giác vuông.
 SAD  và góc giữa  SCD  và  ABCD  .
b) Tính góc giữa SC và

 SAC  .
c) Tính khoảng cách từ B đến

d) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và SD . Tính góc giữa MN và

 SAC  .

6

0,5

Điểm chi
tiết


(0,75 điểm) a) Ta có SA  ( ABCD) � SA  AC Vậy tam giác SAC vuông tại A .

(1 điểm)

0,25

CD  SA (do SA  ( ABCD ))
�
� CD  ( SAD)
�
CD  AD
Ta có �

0,25

Mà SD �( SAD) � CD  SD vậy tam giác SCD vuông tại D .

0,25


 SAD  vậy góc giữa
b) Ta có CD  ( SAD) (cmt) nên SD là hình chiếu của SC lên
�
SC và  SAD  bằng góc giữa SC và SD bằng góc CSD

0,25

�SD 
sin C

DC
1
�  arcsin 1 � CSD
� ; 24, 090 ; 2405'

� CSD
SC
6
6

0,25

Ta có
�
 SCD  � ABCD   CD
�
�AD  CD ( gt )
�SD  CD (cmt )
�

Suy ra góc giữa
tan �
ADS 

 SCD 

và

 ABCD 

�
là góc giữa AD và SD bằng góc ADS .

0,25

�BC  AC (...)
� BC  ( SAC )
�
�BC  SA (...)

0,25

 SAC  bằng BC  2a 2 .
Vậy khoảng cách từ B đến
d) Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng (SAB)
Dựng MQ / / AB, NK / / CD / / AB ( K �SC )
Gọi

0,25


SA
 2� �
ADS ; 63, 430 ; 630 26 '
DA
.

(0,75 điểm) c) cm BC  AC

(0,5 điểm)

0,25

R  AC �MQ  trong .... , I  MN �KR  trong .... tha

7

0,25


�KR �( SAC )
� I  MN �(SAC )
�
KR
�
MN

I
�
Ta có
BC  ( SAC ) (cmt ) � MC  ( SAC )


�
Vậy góc giữa MN và (SAC) bằng góc giữa MI và IC bằng góc MIC .
AB
MR 
 2a
2
2
MQ  3a ,
2
, MN  NQ  QM  a 13

0,25

MI MR
MI
2a
2a 13

�

� MI 
3
a 13 3a
Ta có IR / / NQ nên MN MQ
MC 

BC
a 2
2


� 
sin MIC

MC
a 2
3 26


MI 2a 13
26
3

�  arc sin 3 26 � MIC
� ; 36, 040
� MIC
26
.

8

0,25


HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11_ĐỀ 112

Câu 1a [B]

lim


2

x 0

Điểm chi
tiết

x2  x  4
x 1  1

(0,75
điểm)
Câu 1b [B]
(0,75
điểm)



lim 2  x  x  3

x ��



�
lim 2  x  x  3  lim �
2 x x
x ��
x ���
�

�2
1 3 �
 lim x �
1
 � �
�
x ��
x x2 �
�x
�
�2
1 3
lim �
1

�
lim x  � x �� x
x x2
�
x
�

�
Vì
,






Câu 3[B]
(1,25
điểm)
Xét tính liên tục của hàm số

1 3 �
 �
x x2 �
�

�
�
� 1  0
�

�x3  2 2
khi x � 2
�
f ( x)  � x  2
�
2
khi x   2
�

Điểm chi
tiết
trên tập xác định của

nó
(1,25

điểm)

D�
TXĐ:
x3  2 2
x  2 là hàm phân thức hữu tỉ, xác định tại mọi
Xét tại x � 2 hàm số
x � 2 nên liên tục tại mọi x � 2 .
x  2
Xét tại 0
f  2 2
f ( x) 











x  2 x2  2 x  2
x3  2 2
lim f  x   lim
 lim
 lim ( x 2  2 x  2)  6
x � 2
x � 2 x 

x � 2
x � 2
2
x 2
lim f  x 
f  2 �
�
Ta có: x � 2
Hàm số không liên tục tại x   2





KL: Hàm số liên tục tại mọi x � 2 và gián đoạn tại x   2
Câu 2
(0,75
điểm)

Chứng minh với mọi tham số m phương trình sau luôn có nghiệm:
 m2  2m  7  x 3  2x  1  0 .

m

2

Đặt

 2m  7  x 3  2x  1  0


f (x)   m 2  2m  7  x 3  2x  1

f(x) liên tục trên đoạn

 0;1

.

(Vì hàm số f(x) là hàm đa thức liên tục trên R) (1)

2
f (0)  1  0 , f (1 )= m  2m  8   m  1  7  0, m
2

9

Điểm chi
tiết


� f (0).f (1)  0 , m (2)

 0;1 với
Từ (1) và (2) � phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
mọi tham số m.
Câu 3 [B]

(0,75
điểm)


� Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi tham số m.
Tính đạo hàm các hàm số sau

x2  4x
y 2
x  3x .
b)

x 2  3x  4
y
x 1 .
a)
2
x  3x  4
y
x 1
a)

x
� y�


Điểm chi
tiết

 3x  4  �
 x  1   x 2  3x  4   x  1 �

2


 x  1

2

 2 x  3  x  1   x 2  3x  4  .1
� y�

2
 x  1
� y�


(1 điểm)

c)

y

x2  2 x  7

 x  1

2

x2  4 x
x 2  3x


� y�



x2  4x

 � x  3x   
x

x

x2  4x

2

2

 3x 

2

  x  3x  �
2

 4x  � 2
.  x  3x   x 2  4 x .  2 x  3
2
� y�
 2 x  4x
2
 x 2  3x 
2


2x  4
� y�
 2 x  4x
2





. x 2  3x 







x 2  4 x .  2 x  3



 x  3x 
 2 x  4  . x  3x    x  4 x  .2  2 x  3
� y�

2  x  3x  . x  4 x
2

2


2

2

2

� y�

� y�

Câu 5
(1 điểm)

2

2

2 x3  12 x 2  12 x

2  x 2  3x  . x 2  4 x
2

 x 2  13 x  18
2 x  x  3 . x 2  4 x
2

.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương
trình: .

Gọi là tiếp điểm.
Suy ra

10

Điểm chi
tiết


Câu 6 [B]

(0,75
điểm)

Câu 7
(3 điểm)

� 3 19 �
M�
 ; �
� 4 16 �
Phương trình tiếp tuyến tại
1 � 3 � 19
y  �x  �
2 � 4 � 16
1
25
� y  x
2
16

1
1
g  x    3m  1 x 3   3m  1 x 2   m  1 x  2019
3
2
Cho hàm số
. Tìm giá trị của
g �x  0
tham số m để phương trình  
có hai nghiệm phân biệt.
2
�
g  x    3m  1 x   3m  1 x  m  1

Phương trình

g�
 x  0

có hai nghiệm phân biệt
� 1
m�
�
3
m

1
�
0
a �0

�
�
1
�
3
��
�� 2
��
�  m5
0
3
3m  14m  5  0
�
�
� 1  m  5
�3
1
 m5
Vậy: 3
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB  CB  2a ,
AD  4 a . SA   ABCD  , SA  6a.
a) Chứng minh SAC và SBC là các tam giác vuông.
 SAB  ; góc giữa  SCB  và  ABCD  .
b) Tính góc giữa SC và

 SAC  .
c) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng
d) Gọi N , M lần lượt là trung điểm của DC và SB . Tính góc giữa đường

 SAC  .

thẳng MN và mặt phẳng

(0,75
điểm)

a) Ta có SA  ( ABCD) � SA  AC Vậy tam giác SAC vuông tại A .
CB  SA (do SA  ( ABCD ))
�
� CB  ( SAB)
�
CB  AB
Ta có �
Mà SB �( SAB) � CB  SB vậy tam giác SBC vuông tại B.
11

Điểm chi
tiết


(1 điểm)

b) Ta có BC  ( SAB ) (cmt) nên SB là hình chiếu của SC lên (SAB) nên góc giữa
�
SC và (SAB) bằng góc giữa SC và SB bằng góc CSB
� 
sin CSB

BC
1
�  arcsin 1 � CSB

� ; 17,550 ; 17 032'

� CSB
SC
11
11

Ta có
�
 SCB  � ABCD   CB
�
�AB  BC ( gt )
�SB  BC (cmt )
�
Suy ra góc giữa
� 
tan SBA

(0,75
điểm)

 SCB 

và

 ABCD 

�
là góc giữa AB và SB bằng góc SBA .


SA
� S ; 71,57 0 ; 71033'
 3 � AB
AB
.

c)
�DC  AC (...)
� DC  ( SAC )
�
�DC  SA (...)

 SAC  bằng DC  2a 2 .
Vậy khoảng cách từ D đến
(0,5 điểm)

d) Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng (SAD)
Dựng NQ / / AD, MK / / AD / / BC ( K �SC )
Gọi

R  AC �NQ  trong ... , I  MN �KR  trong ...

�KR �( SAC )
� I  MN �(SAC )
�
KR
�
MN

I

�
Ta có
DC  ( SAC ) � NC  ( SAC )

�
Vậy góc giữa MN và (SAC) bằng góc giữa NI và IC bằng góc NIC .
NQ  3a ,

NR 

Ta có IR / / MQ

Mà

NC 

� 
sin NIC

AD
 2a
MN  MQ 2  QN 2  3a 2
2

�

NI
NR
NI
2a


�

� NI  2a 2
MN NQ
3a 2 3a

DC
a 2
2

NC a 2 1


NI 2a 2 2

12


�  arc sin
� NIC

1
�  300
� NIC
2
.

13