SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT PHÚ LÂM
___________
ĐỀ CHÍNH THỨC

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
_________________________

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 – NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN: TOÁN
LỚP 11
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1.

(2,0 điểm) Tính các giới hạn sau:
lim (3 x5 − 2 x 2 + x −1)

a/.

x →−∞

lim

2 x − 8 − x2 + 5
4 − 2x

lim

x2 + 5x − 2 − 2 x

3x − 3

x →2+

b/.
x →1

Câu 2.

c/.
(2,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
y=

a/.
b/.
c/.

Câu 3.

2x + 8
x + 2x + 1
2

y = x3 + 4 x 2 − x
y = (5 x 2 − 2 x ) sin(3 x + 1)

(1,0 điểm) Tìm a để hàm số

 2 x2 + 4 x − 6
khi x > 1


f ( x) = 
x −1
3a − 2 x
khi x ≤ 1


liên tục tại

x =1

.

(C ) : y = x − 4 x − 1
3

Câu 4.

(1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại

M (−1; 2).

Câu 5.
Câu 6.

(1,0 điểm) Cho hàm số

xy ''− 2 ( y '− sin x ) + xy = 0 .


y = x sin x

. Chứng minh rằng:
S . ABCD
ABCD
SA
(3,0 điểm) Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
vuông góc với
mặt phẳng đáy và

AB = a 2, AD = a, SA = a.
( SAD ) ^ ( SAB).

a/. Chứng minh rằng:
b/. Tính góc giữa đường thẳng
c/. Tính khoảng cách từ điểm

SC
A

( ABCD).
và mặt phẳng

( SDC ).
đến mặt phẳng



Hết.
Họ và tên học sinh: ......................................................... Số báo dánh: ............................
- Học sinh không được sử dụng tài liệu.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI
Câu
1
(2,0
điểm
)

Đáp án

Điể
m

Tính các giới hạn sau:

lim (3x5 − 2 x 2 + x − 1)

x →−∞

a/.
lim (3x5 − 2 x 2 + x − 1)

0.25

x →−∞


2 1 1 

= lim x5  3 − 3 + 4 − 5 ÷
x →−∞
x
x
x 


= −∞. ( 3 − 0 + 0 − 0 ) = −∞

lim

x →2+

b/.
lim

x → 2+

0.25

2 x − 8 − x2 + 5
4 − 2x

0.25

2 x − 8 − x2 + 5
4 − 2x


)

(

lim 2 x − 8 − x 2 + 5 = 1 > 0

x →2+

lim ( 4 − 2 x ) = 0

0.25

x → 2+

•
x → 2+ ⇒ x > 2 ⇒ 4 − 2 x < 0

2 x − 8 − x2 + 5
lim
= −∞
x→2
4 − 2x

0.25

+

Vậy

lim

x →1

c/.

x + 5x − 2 − 2x
3x − 3
2

.

Ghi chú


Câu

Đáp án
x 2 + 5x − 2 − 2 x
lim
= lim
x →1
x→1
3x − 3
= lim
x →1

= lim
x→1

= lim
x→1


=

2
(2,0
điểm
)

3

(

(

x2 + 5x − 2 − 2 x

−3 x 2 + 5 x − 2

( 3x − 3) (

x2 + 5x − 2 + 2 x

2

−3 ( x − 1)  x − ÷
3


3 ( x − 1)


3

(

x2 + 5x − 2 + 2 x

2

−3  x − ÷
3


(

x 2 + 5x − 2 + 2 x

 2
−3  1 − ÷
 3

( 3 x − 3) (

)(

x2 + 5x − 2 + 2 x

x2 + 5x − 2 + 2 x

)


)

Điể
m
0.25

)
0.25

)

)
0.25

)

12 + 5.1 − 2 + 2.1

=

−1
12

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
y=

a/.

2x + 8
x + 2x + 1

2

(2 x + 8)' ( x 2 + 2 x + 1) − ( x 2 + 2 x + 1)' ( 2 x + 8)
y' =
( x 2 + 2 x + 1) 2

=

=

2( x 2 + 2 x + 1) − (2 x + 2)( 2 x + 8) 2 x 2 + 4 x + 2 − 4 x 2 − 20 x − 16
=
( x 2 + 2 x + 1) 2
( x 2 + 2 x + 1) 2

025

− 2 x 2 − 16 x − 14
( x 2 + 2 x + 1) 2

y = x3 + 4 x 2 − x

b/.
y' =

( x 3 + 4 x 2 − x)'

0.25

2 x3 + 4x 2 − x


3x 2 + 8 x − 1
=

0.25

0.5

2 x3 + 4 x 2 − x

c/.

y = (5 x 2 − 2 x ) sin(3 x + 1)

y ' = (5 x 2 − 2 x)'.sin(3 x + 1) + (sin(3 x + 1)'.(5 x 2 − 2 x )

0.25

Ghi chú


Câu

Đáp án

Điể
m
0.25

= (10 x − 2) sin(3 x + 1) + cos(3 x + 1)(3 x + 1)' (5 x 2 − 2 x)


Ghi chú

0.25

(10 x − 2) sin(3 x + 1) + 3(5 x 2 − 2 x ) cos(3 x + 1)
=

3
(1,0
điểm
)

 2 x2 + 4 x − 6
khi x > 1

f ( x) = 
x −1
3a − 2 x
khi x ≤ 1


Tìm a để hàm số
2 x2 + 4 x − 6
lim f ( x) = lim
= lim 2 ( x + 3) = 8
x →1
x →1
x →1
x −1

+

+

liên tục tại

x =1

+

lim f ( x) = lim ( 3a − 2 x 2 ) = 3a − 2

x →1−

.
0.25
0.25

x →1−

f (1) = 3a − 2
f ( x)

liên tục tại

x =1

⇔ 3a − 2 = 8 ⇔ a =
a=


Vậy
4
(1,0
điểm
)

10
3

⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1)
x →1

x →1

0.25
0.25

10
3

.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(C ) : y = x − 4 x − 1
3

(C ) : y = x3 − 4 x − 1

M (−1; 2).


tại
0.25

y ' = 3x 2 − 4

Hệ số góc

k = y '( −1) = −1

Tiếp tuyến tại

M (−1; 2)

có phương trình:

y = k ( x − x0 ) + y0

⇔ y = −x +1

0.25
0.25

0.25
y = −x +1

Vậy tiếp tuyến cần tìm:
5
(1,0
điểm
)


Cho hàm số

y = x sin x

y ' = sin x + x cos x

y '' = 2 cos x − x sin x

. Chứng minh rằng:

xy ''− 2 ( y '− sin x ) + xy = 0 .
0.25
0.25


Câu

Đáp án

Điể
m
0.25

VT = xy ''− 2 ( y '− sin x ) + xy

Ghi chú

= x(2 cos x − x sin x) − 2(sin x + x cos x − sin x) + x.x sin x


0.25

= 2 x cos x − x 2 sin x − 2 x cos x + x 2 sin x

= 0 = VP

6
(3,0
điểm
)

(đpcm).

S . ABCD
ABCD
SA
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
vuông góc với mặt
AB = a 2, AD = a, SA = a.
phẳng đáy và
( SAD ) ^ ( SAB).
a/. Chứng minh rằng:

 DA ⊥ AB( ABCDlàhcn)

 DA ⊥ SA( SA ⊥ ( ABCD)) ⇒ AD ⊥ (SAB)

Ta có :

DA ⊂ (SAD)
Mà
⇒ ( SAD) ⊥ ( SAB)
Từ (1) và (2)
.

b/. Tính góc giữa đường thẳng

0.75
(1)

(2)

0.25

SC

( ABCD).
và mặt phẳng

Ta có hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD) là AC.
SCˆ A
Khi đó: (SC,(ABCD))= (SC,AC)=
.

0.25
0.25
0.25

3a

Xét tam giác vuông SAC vuông tại A: ( SA=a ; AC=
SA
a
3
=
=
3
3a
SDˆ A AC
=
tan
SDˆ A 30
Suy ra
=
30
Vậy góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) bằng
.

)

0.25


Câu

Đáp án
c/. Tính khoảng cách từ điểm
⊥ SD( H ∈ SD)

A


Điể
m

Ghi chú

( SDC ).
đến mặt phẳng

+) Kẻ AH
 DC ⊥ AD( ABCDlàhcn)

 DC ⊥ SA( SA ⊥ ( ABCD) ⇒ DC ⊥ (SAD) ⇒ DC ⊥ AH
Ta có
.
 AH ⊥ SD

 AH ⊥ DC ⇒ AH ⊥ (SDC )
Như vậy:
⇒ d ( A, ( SDC )) = AH
.
Xét tam giác vuông SAD vuông tại A:
1
1
1
1
1
1
a 2
=

= 2 + 2 ⇔ AH =
2 +
2
2 ⇔
2
AH
AD
AH
a
a
2
SA

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng

a 2
2

0.25

0.25

0.25

0.25
.

Các cách giải khác nếu đúng (trong phạm vi chương trình học) vẫn được số điểm tương ứng.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT PHÚ LÂM
___________

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
_________________________

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 – NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN: TOÁN
LỚP 11
Thời gian làm bài: 90 phút
Các chủ đề cần đánh giá

Mức độ nhận thức
Nhận biết
Thông hiểu Vận dụng

Tổng sô

Câu 1. Tính giới hạn:
a. Giới hạn hàm số tại vô cực.

1

2

0

3


0.5đ

1.5đ

0.5đ

2đ

1

1

1

3

0.5đ

0.75đ

0.75đ

2đ

0
0

b. Giới hạn dạng có căn thức.
c. Giới hạn một bên.

Câu 2. Tính đạo hàm:
a. Đạo hàm hàm phân thức.
b. Đạo hàm hàm hợp dạng

u


un

hoặc .
c. Đạo hàm dùng công thức
nhân hàm đa thức và hàm hợp
lượng giác.
Câu 3. Tìm tham số m để hàm
số liên tục tại một điểm cho
trước.
Câu 4. Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại một
điểm cho trước.
Câu 5. Cho hàm số lượng giác,
chứng minh đẳng thức cho
trước.
Câu 6. Cho hình chóp tứ giác có
độ dài một số cạnh cho trước.
a. Chứng minh 2 mặt phẳng
vuông góc với nhau.
b. Tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
c. Tính góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng.

Tổng

0
0đ

1
1đ

0
0đ

1
1đ

0
0đ

1
1đ

0
0đ

1
1đ

0
0đ

0

0đ

1
1đ

1
1đ

1
1đ

2
2đ

0
0đ

3
3đ

3
2đ

7
6.25đ

2
1.75đ

12

10đ

* Đề được thiết kế với tỉ lệ:
+) 20% nhận biết;
+) 62.5% thông hiểu;
+) 17.5% vận dụng.
Tất cả các câu đều tự luận (TL).
* Cấu trúc bài: 06 câu
* Cấu trúc câu hỏi: Số lượng câu hỏi (ý) là: 12