SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP. HCM
TRƯỜNG THCS – THPT NGUYỄN KHUYẾN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II (2018 – 2019) MÔN TOÁN – LỚP 11
Thời gian làm bài: 90 phút – Ngày 3/5/2019
Câu 1: (2đ) Tính các giới hạn sau:

x + 2 −3
x−7

lim
x →7

a)

lim ( 5 x 3 + x 2 − 2 x + 1)

x →−∞

b)

lim

x →+∞

(

1+ x + x2 − 1− x + x2

)

c)
Câu 2: (1đ) Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau :
2x
y= 2
x +1
a)
y = 3 ( x + 1) cos x
b)
Câu 3: (1.5đ)
x 3 + 3x 2 − 4 x − 7 = 0
−
a) Chứng minh phương trình:
có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2 .
y = f ( x)
f (a ). f (b) < 0
f ( x) = 0
b) Cho ví dụ về hàm số
thỏa mãn
nhưng phương trình
không có

( a; b )
nghiệm trên khoảng

.

y = f ( x) = x3 − 3 x 2 + 2
Câu 4: (1đ) Gọi (C) là đồ thị của hàm số


.

−
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 .
SA ⊥ ( ABCD)
SA = 2a
Câu 5: (4đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
và
.
( SAB) ⊥ ( SBC )
a) Chứng minh
.
b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD.
ϕ
tan ϕ
c) Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). Tính
.
d) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
2n − 1 
1 3 5
lim  + 2 + 3 + ... + n ÷
2 
2 2 2
Câu 6: (0.5đ) Tìm
HẾT


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP. HCM
TRƯỜNG THCS – THPT NGUYỄN KHUYẾN


ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM - ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II (2018 – 2019) MÔN TOÁN – LỚP 11
Thời gian làm bài: 90 phút – Ngày 3/5/2019
Câu 1:(2đ)
x+2 −3
1
lim
= lim
x →7
x →7
x−7
x +2 +3
a)
............................................................................0.25đ
1
=
6
...............................................................................................0.25đ
1 2 1

lim 5 x 3 + x 2 − 2 x + 1 = lim x 3  5 + − 2 + 3 ÷ = −∞
x →−∞
x →−∞
x x
x 

b)
......................................0.25đ

1
2
1


lim  5 + − 2 + 3 ÷ = 5 > 0
lim x 3 = −∞
x →−∞
x x
x 

x →−∞
( vì
,
).........................................0.25đ
2x
lim 1 + x + x 2 − 1 − x + x 2 = lim
2
x →+∞
x →+∞
1 + x + x + 1 − x + x2
c)
............................0.25đ
2x
= lim
x →+∞
 1 1
1 1 
x  2 + +1 + 2 − +1 ÷
x

x
x 
 x
.............................................................0.25đ
2x
= lim
x →+∞ 
1 1
1 1 
x  2 + +1 + 2 − +1 ÷
x
x
x 
 x
...............................................................0.25đ
2
= lim
=1
x →+∞ 
1 1
1 1 
 2 + +1 + 2 − +1 ÷
x
x
x 
 x
.............................................................0.25đ
Câu 2:(1đ) Mỗi câu 0.5đ
( 2 x ) '. ( x 2 + 1) − ( x 2 + 1) '.2 x
y' =

2
( x 2 + 1)

(

)

(

)

a)
=

2 ( 1− x

(x

2

2

+ 1)

)

...................................................................0.25đ

2


................................................................................................0.25đ
y ' = 3 ( x + 1) '.cos x + ( x + 1) . ( cos x ) '
b)
..........................................................0.25đ
= 3 cos x − ( x + 1) sin x 
.........................................................................0.25đ
Câu 3:(1.5đ)
f ( x) = x3 + 3x 2 − 4 x − 7
a) (1đ) Xét hàm số


f ( x)

Hàm số

[ −2;0]

liên tục trên R nên nó liên tục trên đoạn
...............................0.25đ
f (0). f ( −2 ) = ( −7 ) .5 < 0
Mặt khác:
.........................................................................0.25đ
( −2;0 )
f ( x) = 0
Nên phương trình
có ít nhất một nghiệm trong khoảng
...............0.25đ
f ( x) = 0
Vậy phương trình
có ít nhất một nghiệm lớn hơn -2.................................0.25đ

1
f ( x) =
f (−1). f (1) = −1 < 0
x
b) (0.5đ) Ví dụ hàm số
, ta có
..................................0.25đ
1
=0
x
Nhưng phương trình
vô nghiệm......................................................................0.25đ


M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C )
Câu 4:(1đ) Gọi
là tiếp điểm
3
2
f ( x) = x − 3 x + 2 ⇒ f '( x) = 3 x 2 − 6 x
Ta có:
......................................................0.25đ
2
f '( x0 ) = −3 ⇔ 3 x0 − 6 x0 = −3 ⇔ x0 = 1
Theo đề bài ta có:
.......................................0.25đ
x0 = 1
y0 = 0
Với
ta có

..............................................................................................0.25đ
y = −3 x + 3
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
................................................0.25đ
Câu 5:(4đ) ( Mỗi câu 1đ )
( SAB ) ⊥ ( SBC )
a) Chứng minh:
 SA ⊥ BC

 AB ⊥ BC
Ta có:
.....................................................................................................0.5đ
⇒ BC ⊥ ( SAB)
.......................................................................................................0.25đ
⇒ ( SAB ) ⊥ ( SBC )
.................................................................................................0.25đ
b) Chứng minh (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
 SA ⊥ BD

 AC ⊥ BD
* Ta có:
..................................................................................................0.25đ
⇒ ( SAC ) ⊥ BD
.......................................................................................................0.25đ
Mà O là trung điểm của BD nên (SAC) vuông góc với BD tại O.............................0.25đ
Vậy (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD.....................................................0.25đ
tan ϕ
c) Tính
.

( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC

 SB ⊥ BC
 AB ⊥ BC

Ta có:
................................................................................0.25đ
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
là góc giữa hai đường thẳng SB và AB.....................................................................0.25đ
·
ϕ
SBA
Nên chính là
( vì tam giác SAB vuông tại A) ..............................................0.25đ
SA 2a
tan ϕ =
=
=2
AB a
Tam giác SAB vuông tại A:
...................................................0.25đ
d) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD)
AH ⊥ SO
Trong (SAC) kẻ
(1)
( SAC ) ⊥ BD ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SBD )
Ta có:
(2)...............................................................0.25đ
( SAC ) ∩ ( SBD) = SO
Mà:

(3)
AH ⊥ ( SBD)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
.......................................................................0.25đ


AH = d ( A;( SBD) )
Do đó:

........................................................................................0.25đ

Tính được

2a
AH =
3

Câu 6:(0.5đ) Đặt

Ta có:

...............................................................................................0.25đ
1 3 5
2n − 1
Sn = + 2 + 3 + ... + n
2 2 2
2

1  2n − 1


S n = 1 + 2 1 − n −1 ÷− n
2
 2 

......................................................................0.25đ
1
n
1
lim S n =lim3 − lim n − 2 − 2 lim n + lim n = 3
2
2
2
Do đó
...............................................0.25đ