CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Contents
A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. ĐẲNG THỨC VÉC TƠ .................................................................................................................................. 2
DẠNG 3. PHÂN TÍCH VÉC TƠ THEO CÁC VÉC TƠ CHO TRƯỚC ......................................................................... 6
DẠNG 4. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VÉC TƠ .............................................................................................. 8
B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .......................................................................................................................................... 10
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT................................................................................................................................ 10
DẠNG 2. ĐẲNG THỨC VÉC TƠ ................................................................................................................................ 10
DẠNG 3. PHÂN TÍCH VÉC TƠ THEO CÁC VÉC TƠ CHO TRƯỚC ....................................................................... 20
DẠNG 4. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VÉC TƠ ............................................................................................ 25

A. CÂU HỎI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.

(THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD . Hỏi có bao nhiêu
vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD ?
A. 12 .
B. 4 .
C. 10 .
D. 8 .

Câu 2.

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng nếu có hai trong ba vectơ đó cùng phương.
B. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng nếu có một trong ba vectơ đó bằng vectơ 0 .
C. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá thuộc một mặt phẳng.

D. Cho hai vectơ không cùng phương a và b và một vectơ c trong không gian. Khi đó a, b, c đồng
phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho c  ma  nb .

Câu 3.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.
B. Nếu trong ba vectơ a , b , c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.
C. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
D. Nếu trong ba vectơ a , b , c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Câu 4.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.
A. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng thì có c  ma  nb với m, n là các số duy nhất.
B. Ba véctơ không đồng phẳng khi có d  ma  nb  pc với d là véctơ bất kì.
C. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.
D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng.

Câu 5.

Cho ba vectơ a, b, c . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
1


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A. Nếu a, b, c không đồng phẳng thì từ ma  nb  pc  0 ta suy ra m  n  p  0 .
B. Nếu có ma  nb  pc  0 , trong đó m2  n2  p 2  0 thì a, b, c đồng phẳng.
C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m  n  p  0 ta có ma  nb  pc  0 thì a, b, c đồng phẳng.

D. Nếu giá của a, b, c đồng qui thì a, b, c đồng phẳng.
DẠNG 2. ĐẲNG THỨC VÉC TƠ
Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

Cho hình hộp ABCD.ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung đsai.
* Ta có: AC  BA  DB  CD  AC  BA  CB  AC  DA  BA
 DC  BA  AB  AB  0  Phương án D đúng.
Câu 42. Chọn C
A

G
B

D
G0
M
C

Theo đề: G0 là giao điểm của GA và mp  BCD   G0 là trọng tâm tam giác BCD .

 G0 A  G0 B  G0C  0
Ta có: GA  GB  GC  GD  0



 




 GA   GB  GC  GD   3GG0  G0 A  G0 B  G0C  3GG0  3G0G .
Câu 43.

Đáp án D

18


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A
M
B
D
N
C



 



A. Đúng vì: AC  BD  AD  DC  BC  CD  AD  BC .
Đúng

B.




 



 

AC  BD  AM  MN  ND  BM  MN  NC

vì:





 2MN  AM  BM  ND  NC  2MN









C. Đúng vì: AC  BD  AD  BC  2 AN  2BN  2 AN  BN  2 NA  NB  4NM .
Vậy D sai
Câu 44.

Hướng dẫn giải
1
1
Có AK  AC  CK  ( AB  AD )  AA1  AB  AD  AA1
2
2

B

A

C

D

K
A1

D1

B1

C1

Chọn A
Câu 45.
Hướng dẫn giải
1
1
1

Ta có: AM  AD  DM  AD  DC1  AD  ( DC  DD1 )  AD  AB  AA1
2
2
2
Chọn B
Câu 46.
Hướng dẫn giải

19


C1

D1

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A
A

B

D

P

C

A1


M

B1

E

B
D1

D

F

C1

Q

N

C

 AA1 AC1  AA1  AC1  A1C  C1 A1
Ta có: AC1  AC
1
Chọn C
Câu 47.
A

N
G

B
O
M

H

D

C

Hướng dẫn giải
Gọi M, N là trung điểm của BC, AD
 G là trung điểm MN. Gọi H là hình chiếu của N lên MD  NH là đường trung bình của
AOD và OG là đường trung bình của MNH
1
1 1
1
1
 OG  NH  . AO  OG  NH  . AO
2
2 2
2
4
hay GA  3OG
Chọn C
DẠNG 3. PHÂN TÍCH VÉC TƠ THEO CÁC VÉC TƠ CHO TRƯỚC
Câu 48. Chọn D

20



CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A1

D1

B1

C1

A
B

D

C

Ta có AC1  AA1  AC  AA1  AD  AB
Câu 49.
A'

C'

B'

A

C


B

Chọn C
Ta có B ' C  B ' B  BC
  BB '  BA  AC   BB '  AB  AC
 b  a  c
 BC  a  b  c hay BC  a  b  c .
Câu 50. Chọn A

GB  GA  GB  GC   0
 4 IG  IB  IA  IB  IC 


 
 
 4 IG   IC  3IC    2CB  C A
1
 4 IG  CC   2  AB  AC   AC
3



 4 IG  IC  CB  IC   C A  IC   C B  IC 

11

 IG   a  2b  3c 
43



Câu 51.

Chọn B

21


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

C

A

B

C'

A'
G
B'





1
AA  AB  AC  .
3
Áp dụng quy tắc hình bình hành trong các hình bình hành ABBA, ACC A có:
1

1
1
1
1
1
1
AG  AA  AB  AA  AC  AA  AA  AB  AC  a  b  c .
3
3
3
3
3
3
3
Câu 52. Chọn A

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên AG 



 



A

C

D
B


AB DB 2

  5 DB  2 DC .
AC DC 5
5
2
Suy ra: 5 BD  2 DC  5 AD  AB  2 AC  AD  AD  AC  AC .
7
7

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:



Ta có: AM 



Câu 53.

 














1
1
1
AB  AB  CB  CA  CB  CA  CB  CB  2CA .
2
2
2
22


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Theo quy tắc hình bình hành ta lại có: CB  CC  CB .
1
1
1
Do đó: AM  2CB  CC   2CA  CA  CB  CC    a  b  c .
2
2
2






A

P
B

D
M
C

Câu 54.

Ta có: MP  AP  AM 
Câu 55.

1
1
1
1
AD   AB  AC    AD  AB  AC    d  b  c  .
2
2
2
2

Chọn C

Ta có: G là trọng tâm tam giác BCD  GB  GC  GD  0 .
Nên x  y  z  AB  AC  AD  3 AG  GB  GC  GD  3 AG  AG 
Câu 56.






1
x y z .
3

Chọn C

Ta phân tích:
u  v  AC  CA  AC  CC  CA  AA  2 AA .


 

x  y  BD  DB   BD  DD   DB  BB  2BB  2 AA .

 u  v  x  y  4 AA  4 AA  4.2OI .
1
 2OI    u  v  x  y  .
4
Câu 57. Chọn D

23


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

C'


A'

B'

C

A

B

Ta có: BC  BA  AC   AB  AC  AA  b  c  a  a  b  c .
Câu 58. Chọn B

 

Ta có c  d  b  AC  AD  AB  2 AP  2 AM  2 MP  MP 
Câu 59.

Chọn D



1
(c  d  b ) .
2

1
1
Ta có: DM  DA  AB  BM  AB  AD  BC  AB  AD  BA  AC

2
2
1
1
1
1
1
 AB  AC  AD  a  b  c  a  b  2c .
2
2
2
2
2
Câu 60. Chọn A







A

M
P
B
D
N

Q

C

Ta có

3 AP  2 AD  3 AM  3MP  2 AM  2MD
 AM  2MD  3MP 1

3BQ  2 BC  3BM  3MQ  2 BM  2MC
 BM  2MC  3MQ  2 
Cộng 1 và  2  theo vế suy ra MN 
Câu 61.

3
3
MP  MQ .
4
4

Đáp án A

24


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A

M

D


B
G
C







 



1
1 1
1
1
MB  MC  MD  . AB  MA  AC  MA  AD
3
3 2
3
3
1
2
1
1
1
2  1

1
 1
 AB  MA  AC  AD  AB  .   AB   AC  AD
6
3
3
3
6
3  2
3
 3
1
1
1
1
1
1
  AB  AC  AD   b  c  d
6
3
3
6
3
3
MG 

DẠNG 4. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VÉC TƠ
Câu 62. Chọn B
A1
B1


C1

C1

A

D

B

C
Ta có A1C1 , BD, CA cùng có giá song song hoặc nằm trong  ABCD   A đúng

Ta có AC1 , AA1 , AC cùng có giá nằm trong  AA1C1C   C đúng
Ta có AC1 , BB1 , AC cùng có giá song song hoặc nằm trong  AA1C1C   D đúng
Vậy B sai.
Câu 63. Chọn B
Ta có 3 véctơ BA1 , BD1 , BC đồng phẳng vì chúng có giá cùng nằm trên mặt phẳng  BCD1 A1  .
Câu 64. Chọn C

25


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Ta có: BD   ABCD  ; IK / / AC , AC   ABCD   IK / /  ABCD  ;
BC / / BC, BC   ABCD   BC / /  ABCD  .

Vậy ba vectơ BD; IK ; BC đồng phẳng.

Câu 65. Chọn D
D

C

B
K

I
H

G

E

F

 IK //( ABCD)

+ GF //( ABCD)  IK , GF , BD đồng phẳng.
BD  (ABCD)

+ Các bộ véctơ ở câu A, C , D không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng.
Câu 66. Chọn A
D

C

B


A

C'

D'

A'

B'

Dễ thấy DC song song với mặt phẳng  ABBA  nên AB ', CD ', A ' B đồng phẳng.
Câu 67. Chọn B
26


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A

M

B
D
N
C

Ta có

MN 






 

1
1
MC  MD  MA  AC  MB  BD
2
2





1
AC  BD
2
Vậy theo định lý về ba véc tơ đồng phẳng suy ra MN , AC, BD đồng phẳng.
Câu 68. Chọn B
Theo giả thuyết m  n  p  0  tồn tại ít nhất một số khác 0 .
n
p
Giả sử m  0 . Từ ma  nb  pc  0  a   b  c .
m
m
a, b, c đồng phẳng (theo định lý về sự đồng phẳng của ba véctơ).
Câu 69. Chọn D
1

A Đúng vì MN  AB  DC .
2






A

M

B

D

N
C

B Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN thì MN không nằm trong mặt phẳng  ABC  .
C Sai. Tương tự đáp án B thì AN không nằm trong mặt phẳng  CMN  .
D Đúng vì MN 
Câu 70.





1
AC  BD .

2

Chọn A
A Đúng theo định nghĩa về sự đồng phẳng của 3 véctơ.
B. Đúng
C. Đúng vì OA  OB  OI  IA  OI  IB
Mà IA  IB  0 (vì I là trung điểm AB )  OA  OB  2OI .
D. Sai vì không đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng.
27


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 71.

Chọn A
Các vectơ x, y, z đồng phẳng  m, n : x  my  nz .
Mà : x  my  nz .

3m  2n  1

 a  2b  4c  m 3a  3b  2c  n 2a  3b  3c  3m  3n  2 (hệ vô nghiệm)
2m  3n  4




 




Vậy không tồn tại hai số m, n : x  my  nz .
Câu 72. Chọn D
A

P
M
K

B

D

I
Q
N

C

Gọi I là trung điểm BD và K là trọng tâm của tam giác ABD.
Ta thấy AB, DC , MN song song với mặt phẳng  PIQ  nên vectơ AB, DC, MN đồng phẳng.
AB, MN song song với mặt phẳng  PIQ  nên vectơ AB, PQ, MN đồng phẳng.
DC , MN song song với mặt phẳng  PIQ  nên vectơ PQ, DC, MN đồng phẳng.

Câu 73.

Đáp án A

D'


C'

A'

B'
D

M

C
O

A

B

Cách 1: Ta có MO //  CDA ' B ' ; AB / / A ' B '  AB //  CDA ' B '  , B ' C ' nằm trong mặt phẳng

 CDA ' B ' nên các vecto
 CDA ' B ' .
Cách 2: Ta có MO 

MO, AB, BC dồng phẳng vì có giá song song hay nằm trên mặt phẳng










1
1
1
1
1
 A ' B '  B ' C  A ' B '  B ' C '  AB  B ' C .
A 'C 2
2
2
2
28


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Vậy các vecto MO, AB, BC đồng phẳng.
Câu 74. Đáp án C
A

M

D

B
N
C

AD  AM  MN  ND

BC  BM  MN  NC
1
1
AD  BC
2
2
Vậy ba vecto BC; AD; MN . đồng phẳng.
Câu 75. Đáp án A
 AD  BC  2MN  MN 

A
M

B

N

Q
D
N

C

Qua M vẽ mặt phẳng   song song với AD và BC .

  cắt

AC tại P , BD tại Q và CD tại N . Ta có MP//PN //AD .

Các vecto MN , AD, BC có giá song song hay nằm trong mặt phẳng   nên đồng phẳng.

2
2
Ta có CN  CD . Vậy k  .
3
3

Câu 76.
Hướng dẫn giải

29


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A

P
M
E

B

F
Q

N

D

C


Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AE=3EC, lấy F trên BD sao cho BF=3FD
1

 NE / / AB, NE  3 AB
 NE / / MF , NE / / MF

 MF / / AB, MF  1 AB

3
 NEMF là hình bình hành và 3 vec tơ BA, DC, MN có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng
(MFNE)  BA, DC, MN đồng phẳng

 BD, AC, MN không đồng phẳng.
Chon A

30