TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC
======

NGUYỄN THỊ THU HẰNG

ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG
TRONG DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán và phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC
======

NGUYỄN THỊ THU HẰNG

ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG
TRONG DẠY HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán và phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN
Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các giảng viên khoa Giáo dục
Tiểu học - trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo môi trường học tập tốt
nhất để em được rèn luyện và đạt kết quả đến thời gian hiện tại.
Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình
chỉ bảo, hướng dẫn em để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Ứng
dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở Tiểu học”.
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã nhận được nhiều ý kiến đóng
góp của một số các bạn sinh viên để đề tài của em được hoàn thiện như hiện
tại.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, 10 tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hằng


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài nghiên cứu của khóa luận là kết quả nghiên cứu của
bản thân em dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào. Các tài liệu tham
khảo trích dẫn trong khóa luận được chỉ rõ nguồn gốc trung thực.
Hà Nội, 10 tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hằng


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 1
3. Đối tượng nghiên cứu................................................................................. 2
4. Giả thuyết khoa học.................................................................................... 2
5. Phạm vi nghiên cứu.................................................................................... 2
6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 2
7. Cấu trúc khóa luận...................................................................................... 2
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................ 3
1.1. Tập hợp ................................................................................................... 3
1.1.1. Khái niệm tập hợp. ............................................................................... 3
1.1.2. Các phép toán về tập hợp...................................................................... 4
1.1.2.1. Hiệu của hai tập hợp .......................................................................... 4
1.1.2.2. Hợp của các tập hợp .......................................................................... 5
1.1.2.3. Giao của các tập hợp.......................................................................... 6
1.1.2.4. Hiệu đối xứng của hai tập hợp ........................................................... 6
1.1.3. Tích Descartes của các tập hợp............................................................. 7
1.2. Quan hệ tương đương .............................................................................. 9
1.2.1. Quan hệ hai ngôi................................................................................... 9
1.2.2. Quan hệ tương đương ........................................................................... 9
1.3. Bản chất của phân số ............................................................................. 12
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG TRONG DẠY
HỌC PHÂN SỐ Ở TIỂU HỌC .................................................................... 13
2.1. Một số dạng toán sử dụng quan hệ tương đương trên tập hợp số hữu tỉ ở
Tiểu học ....................................................................................................... 13
2.1.1 Dạng 1. Một số bài toán về cấu tạo phân số ........................................ 13


2.1.2 Dạng 2. Một số bài tập về so sánh phân số ......................................... 16

2.1.3 Dạng 3. Thực hành các phép tính trên phân số.................................... 19
2.1.4 Dạng 4. Một số bài toán điển hình về phân số ..................................... 23
2.2. Một số bài toán dạng mở rộng ............................................................... 28
KẾT LUẬN.................................................................................................. 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài. Như chúng ta đã biết, cấp độ của học sinh tiểu học là sự
khởi đầu sự phát triển trí tuệ cho trẻ. Ở cấp học này, các em học sinh đã được
làm quen với các khái niệm, công thức toán học thông qua các bài toán ở
dạng đơn giản, dễ hiểu.
Tuy nhiên, sinh viên được đào tạo ngành Giáo dục Tiểu học thường suy nghĩ
các kiến thức toán học cao cấp không có nhiều ứng dụng trong việc dạy và
học toán bậc Tiểu học. Thực chất, những công thức, khái niệm đó được lấy từ
các kiến thức toán học cao cấp được đào tạo cho sinh viên chuyên ngành Giáo
dục Tiểu học trong nhà trường.
Để minh chứng cho việc suy nghĩ không chuẩn xác đó, được sự định hướng
của người hướng dẫn, em muốn giới thiệu về quan hệ tương đương và ứng
dụng của lý thuyết này trong việc dạy học phân số ở Tiểu học, để hoàn thành
khóa luận chuyên ngành Toán và phương pháp dạy học Toán với đề tài: “Ứng
dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở Tiểu học” với hai mục
đích:
(i) Sử dụng lý thuyết này trong việc định hướng tìm lời giải của một số

dạng bài tập về phân số ở Tiểu học.
(ii) Từ cơ sở định hướng ở phần trên, em đưa ra một số phương pháp
hướng dẫn giải phù hợp với nhận thức của học sinh ở cấp độ này.
2. Mục đích nghiên cứu. Ứng dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân
số ở Tiểu học để giúp giáo viên hiểu được bản chất khái niệm phân số, đưa ra

cách giải các bài tập một cách hữu hiệu.
Đồng thời, giúp học sinh rèn luyện tư duy, khả năng sáng tạo, phát hiện và
giải quyết vấn đề trong khi giải các dạng toán thuộc dạng này.

1


3. Đối tượng nghiên cứu. Lý thuyết về quan hệ tương đương và một số bài
tập về phân số ứng dụng quan hệ tương đương ở Tiểu học.
4. Giả thuyết khoa học. Đề tài giúp giáo viên có định hướng và đưa ra được
những cách giải toán hiệu quả nhất đối với học sinh khi ứng dụng quan hệ
tương đương, góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học.
Nghiên cứu việc ứng dụng của quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở
Tiểu học.
5. Phạm vi nghiên cứu. Ứng dụng của quan hệ tương đương trong dạy học
phân số ở Tiểu học.
6. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu tài liệu
Phương pháp phân tích, tổng hợp
7. Cấu trúc khóa luận. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo,
khóa luận gồm có 2 chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Ứng dụng quan hệ tương đương trong dạy học phân số ở Tiểu học


CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Tập hợp
1.1.1. Khái niệm tập hợp. Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta gặp rất
nhiều tập hợp khác nhau: tập hợp các sinh viên khoa Giáo dục Tiểu học, tập

hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 100 , tập hợp các chữ cái,.…Như vậy, ta có
thể hiểu những đối tượng có chung một số tính chất nào đó được gọi là tập
hợp.
Mỗi đối tượng trong tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp. Người ta


thường dùng các chữ cái in hoa A,B,
X,Y,...
thường dùng các chữ thường

để ký hiệu tập hợp. Người ta

để ký hiệu các phần tử của tập hợp.

a,b,x,y,...

Tập hợp X gồm các phần tử x,y, z,... được kí hiệu là
X

{x,y, ...}
z,
Phần tử x nằm trong tập hợp X được ký hiệu là:

X

x
Phần tử a không thuộc tập hợp X được ký hiệu là a

X


Ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau và được kí hiệu là A

B nếu mọi

phần tử thuộc A đều thuộc B và ngược lại. Trường hợp, có những phần tử
thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B và có những phần tử thuộc
tập hợp B mà không thuộc tập hợp A thì ta nói hai tập hợp A và B khác
nhau và ký hiệu là A

B.

Tập hợp A được gọi là tập hợp con của tập hợp B , được kí hiệu là A

B

nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B . Khi đó, ta nói B chứa

A ( B bao hàm A ) và kí hiệu là B

A.

Thông thường có hai cách để xác định một tập hợp
- Cách thứ nhất là liệt kê các phần tử. Ví dụ: Tập hợp các số tự nhiên nhỏ
hơn

6 là A

{0,1,2 ,4,5} .
,3
- Cách thứ hai là chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp. Ví


dụ: Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 6 là A

{x

:x

6}
.


Ví dụ 1. Một số tập hợp số trong chương trình toán đã nghiên cứu
-

là tập hợp số tự nhiên gồm các chữ số được viết như sau
,
{0,1,2
4,5,...}
,3
.

-

p
là tập hợp số hữu tỷ gồm
các
như sau1 .
r
: pchữ số
, qđược *viết

, p,q
q

-

là tập hợp số phức gồm các chữ số được viết như sau
{z

x

i

.
}

y : x,y

Ví dụ 2. Tập hợp các nghiệm thực của phương trình
x

5 x

2

6

0

Khi biết cách giải phương trình bậc hai, ta thấy phương trình trên có hai
nghiệm thực là x


2 và x

3.

1.1.2. Các phép toán về tập hợp
1.1.2.1. Hiệu của hai tập hợp
Định nghĩa. Giả sử A và B là hai tập hợp tùy ý. Hiệu của tập hợp A và tập
hợp B là tập hợp gồm những phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc
tập hợp B , ký hiệu là A \ B hoặc được viết dưới dạng ký hiệu toán học là
A\B

{x : x

A,x

.
B}

Nếu tập hợp B là tập hợp con của tập hợp A thì hiệu A \ B được gọi là phần
bù của B trong A và được ký hiệu là C AB .
Ví dụ. A là tập hợp học sinh giỏi Toán lớp 4A1: A {Hoa, Lan, Anh, Tú,
Hoàng}. B là tập hợp học sinh giỏi Tiếng Việt lớp 4A1: B

{Lan, Tú,

Hoàng, Thúy, Quỳnh}
A \ B gồm những học sinh chỉ giỏi Toán mà không giỏi Tiếng Việt lớp
4A1
A\B


{Hoa, Anh}.


B \ A gồm những học sinh chỉ giỏi Tiếng Việt mà không giỏi Toán lớp 4A1


B\A

{Thúy, Quỳnh}.


Cho tập hợp X bất kỳ, ta có thể xét hiệu X \ X . Theo định nghĩa trên thì
hiệu này cũng là một tập hợp vừa gồm những phần tử thuộc X vừa gồm
những phần tử không thuộc X . Dễ thấy, tập hợp này không có phần tử nào
và
người ta gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu là
Như vây, X \ X
.
Tập rỗng

.

là tập hợp con của một tập hợp bất kỳ vì nó không chứa phần tử

nào hay với một tập hợp bất kỳ X ta luôn có

X.

1.1.2.2. Hợp của các tập hợp

Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B tùy ý. Hợp của hai tập hợp A và B là
một tập hợp gồm những phần tử hoặc thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B
và được ký hiệu là A

B, nghĩa là
A

B

{x : x

A

x

.
B}

Phép hợp của các tập hợp có các tính chất sau
- Tính chất kết hợp
A

(B

C)

(A

B) C.


- Tính chất giao hoán

A B

B

A.

Ví dụ. Cho ba tập hợp sau
A {1,2, ,b,c} , B {1,2, ,5} ,
3,a
3, 4 C
Khi đó, ta có
A
A
B
A

B {1,2, ,5,a,b,c}
3, 4
C {1,2, ,b,c,d,e}
3,a
C {1,2, ,5,a,b,c,d,e}
3, 4
B C {1,2, ,
5,a,b,c,d,e
3, 4
}.

,

{a,b,c
e}.
,d


1.1.2.3. Giao của các tập hợp
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B tùy ý. Giao của hai tập hợp A và B là
một tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B
và được ký hiệu là A

B, nghĩa là
A B

{x : x

A

x

.
B}

Ta nói hai tập hợp A và B không giao nhau hoặc rời nhau nếu A
nghĩa là hai tập hợp A và B không có phần tử chung nào.
Phép giao của các tập hợp có các tính chất sau
- Tính chất kết hợp
A

(B


C)

(A

B) C.

- Tính chất giao hoán
A

B

B

A.

Ví dụ. Cho ba tập hợp sau
{1,a,
b,c

,


A

Khi đó, ta có

{1,2, ,b,c} , B {1,2, , 5},
3,a
3, 4 C


,
d,e}.

B {1,2,
A
3}
A C
}
{1,a,b,c
B C {1}
A

B

C

B

{1}
.

Hai phép toán hợp và giao được liên hệ với nhau bởi luật phân phối
A
A

(B

C)

(A


B)

(A C)

(B

C)

(A

B)

(A C).

1.1.2.4. Hiệu đối xứng của hai tập hợp
Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B . Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và

B là một tập hợp gồm những phần tử chỉ thuộc tập hợp A hoặc chỉ thuộc tập
hợp B và không đồng thời thuộc cả hai tập hợp A và B , được ký hiệu là
A B.


Theo cách xác định này, ta có
A B

Ví dụ. Cho hai tập hợp A
Ta có

(A \ B)


(B \ A) .

{2,
} và B
4,6, 8

{1,
6} .
4,9,1


A

B

{4}

A

B {1,2, , 8,9,16}
4,6
A \ B {2, 6,
8}
B \ A {1,9,
16}
Vậy hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B là
A B
{1,2,6, 8
1.1.3. Tích Descartes của các tập hợp


,9,16} .

Định nghĩa. Cho hai tập hợp X và Y bất kỳ. Tích Descartes của hai tập hợp

X và Y là một tập hợp được ký hiệu là X

Y và gồm các phần tử là các

với x là một phần tử của tập hợp X , y là một

cặp được sắp thứ tự
(x;y)

phần tử của tập hợp Y . Nghĩa là
X Y {(x;y) : x X,y Y}.
Tích Descartes của ba tập hợp X, Y , Z là một tập hợp được ký hiệu và xác

định bởi
X

Y

Z

{(x;y;z) : x

X,y

Y,z


Z}.

Như vậy, tích Descartes của hai tập hợp là một phép toán hai ngôi trên các tập
hợp. Có thể mở rộng định nghĩa tích Descartes của n tập hợp X1, X2,...,Xn
là một tập hợp được ký hiệu là X1

X2 ... Xn và gồm các phần tử là các

bộ sắp thứ tự (x1;x 2;...;x n ) với
xi

Xi . Nghĩa là

X1 X2 ... Xn

{(x1;x 2;...;x n ) : x1

X1,x 2

X2,...,x n

Xn }.


Đặc biệt, nếu X1

X2

...


Xn

X thì ta viết X n

.
n


X

Tức là lần lượt ta viết
X

2

3

X

X

X

X

X

X


X

... X .

X

... X

X
…………………

Xn

n

{e, f
,g}

Ví dụ 1. Cho hai tập hợp X
Khi đó, ta có

và Y

{x,y}
.

X

(e;y),(f ;x),(f ;y),(g;x),(g;y)}
Y

{(e;x),
Y X
x; f ),(x;g),(y;e),(y; f ),
{(x;e),(
(y;g)}

Ta thấy tích Descartes của hai tập hợp này bản số là
|X

Y | 3 2

6

Từ ví dụ trên, ta thấy thông thường tích Descartes không có tính chất giao
hoán, nghĩa là X Y

Y X.

Ví dụ 2. Tìm tất cả các số có hai chữ số chia hết cho 2 và 5 .
Các số có hai chữ số được viết dưới dạng ab . Để tìm được số có hai chữ số
thỏa mãn yêu cầu bài toán thì hai chữ số a và b được lấy lần lượt trong các
tập hợp sau
A {1,2, ,5,6,7,
8,9}3, 4

và B

{0}

Như vậy, ta có thể liệt kê đầy đủ các số thỏa mãn yêu cầu bài toán như tích

Descartes của hai tập hợp A và B . Như vậy, các số chia hết cho 2 và 5 là

10,20, 30,
40,50,60,70, 80,90 .


1.2. Quan hệ tương đương
1.2.1. Quan hệ hai ngôi. Một tập con S nào đó của tích Descartes X Y

Y
được gọi là quan hệ hai ngôi trên X

.


S ta nói x có quan hệ hai ngôi S với y và từ đây ta

Một phần tử
(x;y)

viết xSy thay cho cách viết là
(x;y)

S . Khi Y

X để đơn giản ta nói S

là quan hệ hai ngôi trên X thay cho cách nói S là quan hệ hai ngôi trên

X


X.

{3,6, và G
9}
Khi đó, tích Descartes của H và G là

Ví dụ. Cho hai tập hợp H

{x,y}.

H

3;y),(6;x),(6;y),(9;x),(9;y)}
G
{(3;x),(
Như vậy, ta thấy rằng các tập con dưới đây đều có quan hệ hai ngôi trên tích

Descartes H G
S1

{(3;x)
,(
{(6;y)
(6;x)}
,( S2
{(3;x)
9;x),(9;y)}
,(


3;y),

S3

6;x),(9;x)}
Theo cách quy ước, ta viết quan hệ hai ngôi giữa các phần tử trong quan hệ
trên lần lượt là
3S1x, 3S1y, 6S1x
6S2y, 9S2x, 9S2y
3S 3x, 6S 3x, 9S 3x
1.2.2. Quan hệ tương đương
Định nghĩa 1. Một quan hệ hai ngôi S trên tập hợp X được gọi là quan hệ
tương đương nếu thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau
(i) Phản xạ: ới mọi x

X thì xSx .

(ii) Đối xứng: ới mọi x,y X mà xSy thì ySx .
(iii) ắc cầu: ới mọi x,y,z X mà xSy và ySz thì xSz .


Khi quan hệ hai ngôi S là quan hệ tương đương, người ta thường thay S
bằng ký hiệu "

" và nếu a

b thì đọc là “ a t

ng


ng v i b ”.

Ví dụ 1. Cho n là một số nguyên dương. Ta xác định quan hệ hai ngôi R
trên

như sau: với hai số nguyên a,b ta nói a quan hệ R với b nếu (a b)

chia hết cho n . Khi đó, R là quan hệ tương đương trên
Chứng minh

.


(i)

0 chia hết cho n. Như thế

, hiển nhiên ta thấy a a

ới mọi a

aRa ( R có tính chất phản xạ).
(ii)

ới mọi a,b

chia hết cho n . Ta có

mà aRb . Khi đó (a b)
b a


( 1) (a

b)chia hết cho n.

ậy bRa ( R có tính chất đối xứng).
(iii)

ới mọi a,b,c

mà aRb và bRc . Khi đó, theo cách xác định quan hệ

R thì
(a

ởi vì (a

b) và (b c) chia hết cho n .

c) bằng tổng hai số chia hết cho n , nên ta có
a

c

(a

b)

(b


c)
cũng chia hết cho n .

ậy aRc ( R có tính chất bắc cầu).
Đây là quan hệ đồng dư modul n và được viết a

b
n) thay vì aRb .
(mod
xác định các lớp tương đương

Ví dụ 2. Quan hệ R đồng dư modul 3 trên
sau
0
1

{..., 6, 3, 0, ...}
3, 6,
{..., 5, 2,1, 4, 7,10,...}

2
3

{..., 4, 1,2, 5, 8,11,...}
{..., 3, 0, 3, 6, 9,...} 0

4
5

Định lý. Các lớp tương đương C(x) trên tập hợp X theo quan hệ tương

đương

là khác rỗng và hoặc rời nhau hoặc trùng nhau.


Chứng minh. Xét lớp tương đương bất kỳ C(x). Đầu tiên, ta thấy rằng