122

Chương 6

XOẮN NHỮNG THANH THẲNG CÓ MẶT CẮT NGANG TRÒN

6.1. KHÁI NIỆM CHUNG.
Định nghĩa: Một thanh chịu xoắn thuần tuý là thanh chịu lực sao cho trên mọi
mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là mô men xoắn M
Z
.
Ví dụ: Trục của động cơ, máy cắt, lò xo, v.v...
Ngoại lực khiến thanh bị
xoắn có thể là những mô men tập
trung M
1
, M
2
, M
3
hoặc những mô
men phân bố tác dụng trong
những mặt cắt vuông góc trục
thanh. Những mô men này gọi là
mô men xoắn ngoại lực. Khi tính
toán, ta biểu diễn thanh chịu lực
bằng sơ đồ như trên hình (6.1b).

6.2. MÔ MEN XOẮN VÀ BIỂU
ĐỒ MÔ MEN XOẮN
Muốn xác định mô men xoắn nội lực trên các mặt cắt ngang của thanh ta dùng
phương pháp mặt cắt.
Ví dụ để tính M
z
tại mặt cắt 1-1 của thanh, ta
tưởng tượng dùng mặt phẳng qua 1-1 thẳng góc với
trục thanh, cắt thanh ra làm hai phần, xét sự cân bằng
của một trong hai phần đó. Ví dụ phần bên trái (xem
hình 6.2).Ta có:

∑
=+−−⇒= 0MMMM0m
z321z


132z
MMMM −+=⇒
Như vậy mô men xoắn nội lực tại một mặt cắt
nào đó bằng tổng đại số các mô men xoắn ngoại lực
tác dụng lên phần đang xét.
Ta quy ước dấu của M
z
như sau: Nếu nhìn vào mặt cắt ta thấy M
z
quay cùng chiều
với chiều kim đồng hồ thì M
z
> 0, ngược lại M

Z
< 0 (xem hình 6.3).
Để biết sự thay đổi của M
z
dọc theo trục thanh ta vẽ biểu đồ nội lực M
z
dọc theo
thanh.
Ví dụ 1:Vẽ biểu đồ nội lực M
z
của thanh chịu lực như hình vẽ 6.4a, biết:
m
M
1
M
2
M
3
a)

b)

M
1
M
2
M
3
m
Hình 6.1: a- Mt thanh chu xon;

b- S  biu din
z
y
x
z
y
x
Hình 6.3: Chiu ca mô men xon. a-chiu dng; b- chiu âm
M
z
>0 M
z
< 0
z
y
x
M
1
M
2
M
3
I
I
M
4
M
1
M
2

M
3
I

I

M
Z
Hình 6.2. Cách tính mô men xon

123
M
1
= 500Nm ; M
2
= 400Nm ; M
3
= 200Nm ; m = 500
mNm

Dùng phương pháp mặt cắt tính M
z
trên từng đoạn.
Trên AB : M
z1
- mz = 0 0 ≤ z ≤ 0,6m (hình 4.6b)
M
z1
= mz = 500z
Trên BC : M

z2
= m.0,6 = 500.0,6 = 300 Nm (hình 4.6c)
Trên ED : M
z4
= 200 Nm. (hình 4.6d)
Trên DC : M
z3
= 200 - 400 = - 200 Nm. (hình 4.6e)
Biểu đồ (M
z
) như hình vẽ 4.6f.
* Chú ý: Khi xét sự cân bằng của một phần náo đó ta nên chọn phần có ít ngoại
lực tác dụng.
Nhận xét: Tại mặt cắt mô men xoắn ngoại lực tập trung tác dụng, biểu đồ có bước
nhảy, giá trị bước nhảy này bằng giá trị của mô men tập trung tương ứng.

6.3. LIÊN HỆ GIỮA MÔ MEN XOẮN NGOẠI LỰC VỚI CÔNG SUẤT VÀ SỐ
VÒNG QUAY CỦA TRỤC TRUYỀN.
Khi bi
ết công suất của động cơ chuyển đến trục truyền, ta có thể xác định mô men
xoắn ngoại lực tác dụng lên trục đó.
Công A do M (hoặc ngẫu lực) thực hiện khi trục quay một góc α trong thời gian t
là: A = Mα

Vậy công suất W sẽ là:

ω=
α
== M
t

M
t
A
W

Hình 6.5: s 
tính mô men xon
M
α
H×nh 6.4: Phng pháp v biu  mô men xon
m
300Nm
200Nm
200Nm
c)
f)
M
z2
A
B
O
z
60cm
(M
z
)
A A
B
C D
E

m
M
z1
M
1
M
2
M
3
60cm 50cm 40cm 40cm
b)
a)
z
d)
e)
E D
OO
D
M
z3
M
2
M
3
M
3
M
z4
zz
40cm

z
z
124
ω
=⇒
W
M
(6-1)
Trong đó: M- Mô men xoắn ngoại lực tính ra Nm
W- Công suất tính ra W (watt)
ω- Vận tốc góc tính ra rad/s

s/rad
30
n
60
n2
π
=
π
=ω (6.2)
với n : số vòng/phút
Ví dụ 2:
Trên trục truyền có ba puli bị động (1, 2, 4) và một puli chủ động (3).
Puli (3) truyền cho trục truyền một công suất W
3
= 110KW.
Puli (1) nhận được một công suất là W
1
= 40KW.

Puli (2) nhận được một công suất là W
2
= 20KW.
Puli (4) nhận được một công suất là W
4
= 50KW.
Các puli này truyền công suất nhận được đến những nguồn tiêu thụ. Trục truyền
quay đều với vận tốc n = 100 vòng/phút. Vẽ biểu đồ mô men xoắn M
z
.

Bài giải:
Ta có:
s/rad46,10
30
100.14,3
30
n
===
π
ω
Mô men tác động lên các puli:
ω
i
i
W
M =
)KNm(822,3
46,10
40

W
M
1
1
==
ω
=
)KNm(911,1
46,10
20
W
M
2
2
==
ω
=
)KNm(78,4
46,10
50
W
M
4
4
==
ω
=
)KNm(515,10
46,10
110

W
M
3
3
==
ω
=

Vì trục quay đều nên ta có thể xem trục được cân bằng dưới tác dụng của các mô
men M
1
, M
2
, M
3
, M
4
. Biểu đồ (M
z
) trên hình 6.6.

6.4. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA THANH TRÒN CHỊU XOẮN.

6.4.1. Quan sát biến dạng:
Trước khi xoắn ta kẻ lên bề mặt của thanh những đường
thẳng song song với trục thanh biểu diễn các thớ dọc và những đường tròn vuông góc với
trục thanh biểu diễn các mặt cắt ngang (hình 6.7a).
Tác dụng mô men xoắn vào đầu thanh, sau khi thanh bị biến dạng ta thấy các
đường thẳng song song với trục trở thành những đường xoắn ốc, các đường tròn vẫn tròn
và vuông góc trục thanh (hình 6.7b).

Mạng lưới chữ nhật gần như
mạng lưới hình bình hành.

Hình 6.6:Tính mô men xon qua công sut
W
1
W
2
W
3
W
4
M
1
M
2
M
3
M
4
3,822

5,735
4,780
M
z
(KNm)
a)

b)


c)

125
6.4.2. Các giả thuyết.

Từ những điều quan sát trên, ta đưa ra các giả thuyết sau để làm cơ sở tính toán
cho một thanh tròn chịu xoắn:
a) Giả thuyết 1 (về mặt cắt ngang).
Trước và sau biến dạng các mặc cắt ngang vẫn phẳng, vuông góc với trục thanh và
khoảng cách giữa chúng không thay đổi.
b) Giả thuyết 2 (về các bán kính).
Trước và sau biến dạng các bán kính vẫn thẳng và có chiều dài không đổi.
c) Giả thuyết 3 (về các thớ dọc).
Trong quá trình biến d
ạng các thớ dọc không ép lên nhau hoặc đẩy nhau.
Ngoài các giả thuyết trên ta luôn luôn xem rằng vật liệu tuân theo định luật
HoooKe, nghĩa là tương quan giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất.
6.4.3. Thiết lập công thức tính ứng suất.
Tưởng tượng tách một phân tố ABCDEFGH trên thanh tròn chịu xoắn thuần tuý
giới hạn bởi:
* Hai mặt cắt 1-1, 2-2 cách nhau dz.
* Hai mặt trụ đồng trục có bán kính ρ và ρ + dρ.
* Hai mặt phẳng chứa trục thanh và hợp với nhau một góc dα.
- Theo giả thuyết a), c) ⇒ σ
x
= σ
y
= σ
z

= 0.
- Theo b) ⇒ Không có thành phần ứng suất tiếp dọc theo phương bán kính.
- Vậy chỉ có một thành phần ứng suất tiếp theo phương tiếp tuyến τ
ρ
.
Nghĩa là phân tố trên ở trạng thái trượt thuần tuý.
Sau khi thanh bị biến dạng, mặt cắt ngang 1-1 sẽ bị xoay đi một góc ϕ và mặt cắt
2-2 ở đầu mút phải có hoành độ z+dz sẽ bị xoay đi một góc ϕ+dϕ so với đầu cố định bên
trái.Ta có thể giả thuyết 1-1 đứng yên, còn 2-2 xoay một góc dϕ; A, B, C, D lần lượt trượt
đến A’, B’, C’, D’ (trên hình 6.8 ). Góc tạo giữa hai mặt phẳng A
’
D
’
HE và ADHE là γ
ρ
,
đó là góc trượt tương đối giữa hai mặt cắt 1-1, 2-2 do τ
ρ
gây ra.
Theo hình vẽ có:
dz
d
EA
'AA
tg
ϕρ
γ
ρ
==
Vì biến dạng bé, nên tg γ

ρ
≈ γ
ρ
, suy ra
dz
d
ϕρ
=γ
ρ
(a)
Theo định luật HooKe về trượt:
ρρ
τγ
G
1
=
(b)
Hình 6.7:Bin dng khi xon
x x
y y
zz
M
z
a) b)
126
Trong đó: G - mô dun đàn hồi trượt, hằng số đối với từng loại vật liệu; τ
ρ
- ứng
suất tiếp trên phân tố cách trục thanh một đoạn ρ.
Từ (a) và (b) ,

suy ra
ρ
ϕ
τ
ρ
dz
d
G=

Trong đó:
dz
d
ϕ
- hằng số đối
với từng mặt cắt.
Thứ nguyên của G là:
lực/ (chiều dài )
2
.
Do đó τ
ρ
phân bố bậc nhất
theo ρ.
Bây giờ để xác định công
thức tính ứng suất tiếp ta còn phải
xem mối quan hệ của nó với mô men
xoắn nội lực M
z
tại điểm A ta sẽ có τ
ρ


tác dụng. τ
ρ
phân bố trên diện tích dF quanh điểm A (cách tâm một đoạn ρ) hình 6.9.
Hợp lực τ
ρ
và dF, gây ra một mô men xoắn đối với trục z:
dM
z
= ρτ
ρ
dF
Hợp lực các mô men vi phân dM
z
, chính là mô men
xoắn nội lực M
z
.

Fd
dz
d
G.dFdMM
FFF
zZ
ρ
ϕ
ρ=ρτ==
∫∫∫
ρ



∫
ϕ
=ρ
ϕ
=
F
P
2
J
dz
d
GdF
dz
d
G


p
z
J
M
dz
d
G =⇒
ϕ

Cuối cùng ta có công thức tính ứng suất tiếp tại một
điểm cách ρ bằng:


ρτ
ρ
p
z
J
M
=
Trong đó: τ
ρ
- Ứng suất tiếp tại điểm đang xét; ρ - Khoảng cách từ điểm tính ứng
suất tiếp đến tâm O của mặt cắt ngang; M
z
- Mô men xoắn nội lực của mặt cắt ngang đang
xét; J
p
- Mô men quán tính độc cực của mặt cắt ngang đang xét.
Trong công thức trên ρ và J
p
đều dương, nên chiều của τ
ρ
cùng chiều quay của M
z

trên mặt cắt ngang đó.

6.5. BIỂU ĐỒ ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG.
- Qui luật phân bố của ứng suất tiếp đọc theo bán kính của mặt cắt là bật 1.
- Những điểm nằm trên cùng một đường tròn thì có cùng ứng suất tiếp.
- Khi ρ = 0, tại tâm mặt cắt ngang: τ

ρ
= 0.
ρ = ρ
max
=R ; thì τ
ρ
= τ
max
= R
J
M
J
M
p
z
max
p
z
=
ρ

Hình 6.8: Bin dng ca phân t
A
B
C
G
H
F
D
D

′

A
′

dϕ

dα

dρ

ρ

γ
ρ

dz
C
′

B
’
E
1
1
2
2
Hình 6.9: Xác nh
ng sut tip
ρ


A
dF
τ
ρ

M
z
127
Trong đó R: bán kính mặt cắt ngang tròn.
Có thể viết lại:
p
z
p
z
max
W
M
R
J
M
==
τ
(6-4)
Trong đó
max
pp
p
J
R

J
w
ρ
== gọi là mô men chống xoắn của mặt cắt ngang.
Thứ nguyên [W
P
]=[(chiều dài)
3
]
* Đối với mặt cắt tròn đặc:

3
3
p
p
D2,0
16
D
2D
J
w ≈
π
== (6-5)
Trong đó: D - Đường kính.
* Đối với mặt cắt vành khăn.

2D
J
J
w

P
max
p
p
=
ρ
=

()
()
43
4
3
1D2,0
1
16
D
η−≈
η−
π
=

với
η=
Dd

d = 2r: đường kính nhỏ
D = 2R: đường kính
lớn.
Đồ thị phân bố của τ

ρ
theo bán kính của mặt cắt ngang được biểu diễn như hình
vẽ 6.10a,b.

Ví dụ 3 :
Trên mặt cắt ngang của một thanh tròn đặc chịu M
z
= 2.10
4
Nm.
Tính ứng suất tiếp τ
ρ
tại điểm A ứng với ρ = 0,03m và τ
max
? Cho D = 0,1m.

τ
ρ
= ρ
p
z
J
M
ma
454
p
m10D1,0J
−
==



27
5
4
m/N10.603,0.
10
10.2
==⇒
−
ρ
τ


28
5
4
max
m/N1005,0.
10
10.2
==
−
τ



6.6.BIẾN DẠNG CỦA THANH TRÒN CHỊU
XOẮN.
Khi thanh tròn chịu xoắn, biến dạng xoắn của thanh được thể hiện bằng sự xoay
tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục của nó. Góc xoay giữa hai mặt cắt được gọi

là góc xoắn của đoạn thanh giới hạn bởi các mặt cắt đó. Ta hãy thiết lập công thức tính
góc xoắn của một đoạn thanh nào đó có chiều dài là l.
O

D=0,1m

M
z
A

Hình 6.11: Tính
ng sut tip
Hình 6.10: Biu  ng sut tip
τ
p
τ
ma x
ρ

M
z
O

O

ρ

M
z
τ

p
τ
max
a) b)