84
Chương 5
UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG

5.1.KHÁI NIỆM.
Một thanh chịu uốn là một thanh có trục bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực.
Những thanh chủ yếu chịu uốn gọi là dầm.
Ví dụ: Dầm chính của một cái cầu (hình 5.1), trục bánh xe lửa (hình 5.2), xà nhà...

Ngoại lực gây ra uốn có thể là lực tập trung hay lực phân bố có phương vuông góc
với trục dầm, hay là những mô men nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm.
Một số định nghĩa :
- Nếu ngoại lực cùng tác dụng trong một mặt phẳng chứa trục dầm thì mặt
phẳng đó gọi là mặt phẳng tải trọng.
- Giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang của dầm gọi là đường
tải trọng.
- Mặt phẳng quán tính chính trung tâm là một mặt phẳng tạo bởi một trục quán
tính chính trung tâm của mặt cắt ngang và trục dầm.
Trên hình 5.3, giả sử y là trục đối xứng của dầm, z là trục dầm, thì mặt phẳng Oyz
là mặt phẳng quán tính chính trung tâm.
Nếu trục dầm khi bị uốn cong vẫn
nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung
tâm thì sự uốn đó được gọi là uốn phẳng
Trong thực tế, những dầm bị uốn
thường là những dầm có mặt cắt ngang là
hình đối xứng qua một tr
ục. Vì vậy, trong
chương này ta chỉ xét các loại dầm có tính
chất đó, nghĩa là các loại dầm có ít nhất một
mặt đối xứng đi qua trục của dầm (hình 5.3).

Ngoài ra, ta cũng giả thiết thêm rằng, ngoại
lực tác dụng trong mặt phẳng chứa trục dầm
và trục đối xứng của mặt cắt ngang, tức là
ngoại lực tác dụng trong một mặt phẳng đối
xứng đi qua trục của dầm. Như vậy, trong
trường hợp uốn phẳng đang xét, mặt phẳng
đối xứng là mặt phẳng tải trọng và đồng thời
là mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Vì tính chất đối xứng, nên trục dầm sau khi bị
uốn là một đường cong phẳng nằm trong mặt phẳng đối xứng đó.
Trục đối xứng của mặt cắt là đường tải trọng. Ta chia u
ốn phẳng làm hai loại:
a) Uốn thuần túy phẳng.
b) Uốn ngang phẳng.
Hình 5.3:Một dầm chịu uốn
phẳng
V
x
y
z
M
0
P
q(
z)

O
Hình 5.1: Dầm chính
ầ
Hình 5.2: Trục
á ử

B
P q

85

A. DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG
Một dầm chịu uốn thuần túy phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt
ngang của dầm chỉ có một thành phần mô men uốn nằm trong mặt phẳng quán tính chính
trung tâm.
Trên hình 5.4, hình 5.5: P, M
o
nằm trong mặt phẳng đối xứng.
Rõ ràng tất cả mọi mặt cắt ngang thuộc đoạn AB của hai dầm chỉ có một thành
phần mô men uốn nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm (mặt phẳng quán tính chính
trung tâm).
Do đó, đoạn AB chịu uốn thuần túy.
5.2. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN
THUẦN TÚY PHẲNG.
Để tính ứng suất trong dầm chịu uốn
thuần túy phẳng, trước hết ta xét biến dạng của
dầm.
5.2.1. Quan sát biến dạng: Quan sát một dầm
chịu uốn thuần túy phẳng có mặt cắt ngang hình
chữ nhật.
Trước khi cho dầm chịu lực, ta kẻ những
đường thẳng song song với trục để biểu diễn các
thớ dọc và những đường thẳng vuông góc với
trục để biểu diễ
n các mặt cắt ngang (hình 5.6a).
Khi có mô men uốn tác dụng vào hai đầu

dầm, ta nhận thấy rằng những đường thẳng trước
kia song song với trục dầm thì bây giờ trở thành những đường cong và vẫn song song với
trục dầm
Những đường thẳng trước kia vuông góc với trục dầm, bây giờ vẫn vuông góc với
trục dầm. Như vậy, những góc vuông vẽ trước khi biến dạng, thì sau biến dạng vẫn là góc
vuông (hình 5.6b).

5.2.2. Giả thuyết.
Từ các nhận xét trên, ta đưa ra hai giả thuyết sau để làm cơ sở tính tóan cho một
thanh chịu uốn thuần túy:
aa
A

Hình 5.4: Dầm chịu
uốn thuần tuý phẳng
M
O
M
O
(M
x
)
M
O
B
l
Hình 5.5: Dầm chịu uốn thuần
tuý phẳng
P
P

C
AB
D
P
P
P
P
(Q
y
)
(M
x
)
Hình 5.6: Biến dạng
của dầm chịu uốn
phẳng thuần tuý
a)
b
M
x
M
x
a b
c
d

86
a) Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng (Bemili): Trước khi biến dạng mặt cắt
ngang của dầm là phẳng thì sau biến đạng vẫn phẳng và vuông góc với trục dầm.
b) Giả thuyết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không ép

lên nhau và cũng không đẩy xa nhau.
Ngoài hai giả thuyết trên, ta còn giả thuyết rằng vật liệu làm việc trong giới hạn
đàn hồi, tức là vật liệu tuân theo đị
nh luật Hooke.
5.2.3. Công thức tính ứng suất pháp:
* Quan hệ biến dạng. Khi quan sát biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy như trên
hình 5.6a, ta nhận thấy: Các thớ dọc phía trên trục dầm bị co lại (thớ ab), các thớ dọc phía
dưới trục dầm bị giãn ra (thớ cd). Như vậy, từ thớ bị co sang thớ bị giãn, chắc chắn sẽ có các
thớ không bị co cũng không bị giãn, tức là thớ không biến dạng. Các thớ đó gọi là thớ trung
hòa (hình 5.7a).
Các thớ trung hòa tạo thành một lớp được gọi là lớp trung hòa.
Giao tuyến của lớp trung hòa với mặt cắt ngang gọi là đường trung hòa.
Vì các thớ trên bị nén, nên bề rộng của mặt cắt ở phía trên phình ra, còn các thớ
phía dưới chịu kéo nên bề rộng của mặt cắt ở phía dưới thu hẹp lại (hình 5.7b). Mặt cắt
ngang không còn nguyên dạng hình chữ nhật như trước khi bị biến dạng. Đường trung
hòa là một đường cong nhưng vì biến dạng nhỏ, nên có thể coi mặt cắt sau khi biến dạng
vẫn không đổi (vẫn hình chữ nhật) và coi đường trung hòa là đường thẳng và biến dạng
của dầm chịu uốn thuần túy là sự quay của các mặt cắt xung quanh đường trung hòa.
Bây giờ, ta xét một đoạn dầm dz được cắt ra bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 5.8a).









Sau biến dạng, theo giả thuyết mặt cắt ngang phẳng thì hai mặt cắt 1-1 và 2-2 vẫn
phẳng và vuông góc với trục dầm, đồng thời quay với nhau một góc dϕ. Gọi ρ là bán

kính cong của thớ trung hòa O
1
O
2
(hình 5.8b). Vì thớ trung hòa không bị biến dạng nên:
Hình 5.7: Biến dạng của dầm chịu uốn thuần tuý
ẳ
Thớ trung
hoà
Đường
trung
hà
y
x
M
x
M
x
Lớp trung
hoà
O
a)


b)

Trục đối
xứng
Đường trung
hoà

a
)
Thớ trung
hà
y
d
z
12
O
2
O
1
2
1
m
n
Hình 5.8: Xét sự biến dạng của một thớ
ρ
y
d
ϕ
Thớ trung

hoà
m
1
2
n
O
1

O
2
1
2
b
)

87
O
1
O
2
ϕρ=== dOOdz
21

Bây giờ, tính biến dạng dài của một thớ mn cách thớ trung hòa một khoảng cách
y. Chiều dài của thớ này trước khi bị biến dạng:
ϕρ
ddzmn ==

và sau khi biến dạng : mn= (ρ + y) dϕ
Vậy, độ biến dạng dài tỉ đối của thớ mn bằng:
ρ
=
ϕρ
ϕρ−ϕ+ρ
=ε
y
d
dd)y(

z

Trong đó, giá trị của y và ρ đều chưa biết, vì vị trí của đường trung hòa còn chưa
xác định.
* Quan hệ vật lý: Ta hãy xét một mặt cắt nào đó, chẳng hạn mặt cắt 2-2. Mặt cắt
đó được biểu diễn như trên hình 5.9. Trên mặt cắt đó ta lập hệ tọa độ Oxyz với Ox là
đường trung hòa, Oy là trục đối xứng của mặt cắt, Oz song song với trục của dầm. Chiề
u
của các trục như hình vẽ (hình 5.9a).










Bây giờ, ta tách ra một phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt
tọa độ. Phân tố đó được biểu diễn trên hình 5.9b. Theo giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng
và với nhận xét các ô vuông sau khi biến dạng vẫn giữ góc vuông, nghĩa là trên các mặt
cắt của phân tố không thể có ứng suất tiếp. Nói cách khác, trên mặt cắt ngang của thanh
chỉ có ứng suất pháp
σ
z.
.Theo giả thuyết về các thớ dọc thì σ
x
= σ
y

= 0.
Như vậy, trạng thái ứng suất của một phân tố tách ra ở một điểm A nào đó trên
mặt cắt ngang là trạng thái ứng suất đơn. Định luật Hooke cho phép ta biểu diễn quan hệ
giữa σ
z
và ε
Z
như sau :
ρ
εσ
y
EE
zz
== (b)
* Quan hệ ứng suất và nội lực:
Xét một phân tố diện tích dF bao quanh điểm A. Phân tố nội lực tác dụng lên phân
tố diện tích đó là σ
z
dF.
Nếu quy về gốc tọa độ O của hệ trục trên mặt cắt ngang đang xét, thì chúng ta
được các thành phần phân tố nội lực:
dN
z
= σ
z
dF
dM
y
= (σ
z

dF)⋅x
dM
x
= (σ
z
dF)⋅y
Vì chúng ta nghiên cứu dầm chịu uốn thuần túy phẳng, cho nên trên mọi mặt cắt
ngang của dầm chỉ có mô men uốn M
x
; còn M
y
= 0 và N
z
= 0. Do đó :
N
z
=
0dF
F
z
=
∫
σ
(c)
y
σ
z
d
F
d

F
z
x
x
y
O
M
x
F
a
)
σ
z
σ
z
b
)
Hình 5.9: Xác định ứng suất của dầm chịu uốn
thuần tuý phẳng

88
M
y
=
0xdF
F
z
=
∫
σ

(d)
M
x
=
∫
F
z
ydF
σ
(e)
Trong đó các tích phân lấy trên toàn bộ diện tích F của mặt cắt ngang.
a) Lực trục N
Z
: Mang (b) vào (c) và chú ý tỉ số
ρ
E
là một hằng số ở trên mọi
điểm của mặt cắt ngang nên có thể đưa ra ngoài dấu tích phân :
N
z
=
∫∫
==
FF
0ydF
E
ydF
E
ρρ


Rút ra S
x
=
∫
=
F
0ydF

Trong đó, S
x
là mô men tĩnh của mặt cắt ngang đối với đường trung hòa Ox. Điều
đó chứng tỏ đường trung hòa Ox trùng với trục trung tâm của mặt cắt ngang.
b) Mô men uốn M
y
: Mang (b) vào (d) ta có :
M
y
=
∫∫
==
FF
0xydF
p
E
xydF
p
E

Rút ra : J
xy

=
∫
=
F
0xydF

Trong đó J
xy
là mô men quán tính li tâm của mặt cắt ngang đối với hệ trục Oxy.
Vậy, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang.
c) Mô men uốn M
x
: Sau khi xác định vị trí đường trung hòa Ox, ta thiết lập
công thức ứng suất pháp. Mang (b) vào (e) ta có:
M
x
=
∫∫
ρ
=
ρ
=
ρ
FF
x
22
J
E
dFy
E

dFy
E

Rút ra :
x
x
EJ
M
1
=
ρ
(5-1)
Trong đó EJ
x
: Độ cứng của dầm khi uốn.
Khi thay (5-1) vào (b) ta được:
y
J
M
x
x
z
=
σ
(5-2)
Trong đó, M
x
: Mô men uốn trên mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox và được
coi là dương nếu làm căng các thớ ở về phía dương của trục y.
J

x
: Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hòa Ox

.
y: Tung độ của điểm đang xét đến trục trung hòa Ox.
Ứng suất pháp tính được mang dấu cộng là ứng suất kéo, mang dấu trừ là ứng suất
nén .Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng ta có thể viết (5-2) dưới dạng công thức kĩ
thuật :
|y|
J
M
x
x
z
±=
σ
(5-3)
Trong đó, ta lấy dấu (+) khi σ
z
là ứng suất kéo và dấu (-) khi σ
z
là ứng suất nén ở
điểm chúng ta tính ứng suất.

5.3. BIỂU ĐỒ ỨNG SUẤT PHÁP - ỨNG SUẤT PHÁP LỚN NHẤT.


5.3.1. Biểu đồ ứng suất pháp.

89

Theo công thức (5-2), biểu đồ ứng xuất pháp trên mặt cắt ngang là một mặt phẳng
(thường gọi là mặt phẳng ứng suất), hình 5.10a.
Giao tuyến của mặt phẳng ứng suất với mặt cắt ngang là đường trung hòa.
Theo công thức (5-2), ta thấy những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song
song với đường trung hòa (tức có cùng khoảng cách y) thì có cùng trị số ứng suất pháp.
Do đó, ta chỉ cần biểu diễ
n sự biến thiên của ứng suất pháp σ
z
theo chiều cao của
mặt cắt ngang (hình 5.10b). Như vậy, ứng suất pháp ở những điểm nằm trên đường thẳng
AB song song với đường trung hòa được biểu diễn bằng đoạn thẳng ab trên biểu đồ
phẳng (hình 5.10a, b). Trên biểu đồ phẳng (hình 5.10b), dấu (+) chỉ ứng suất pháp kéo,
dấu (-) chỉ ứng suất pháp nén.

5.3.2. Ứng suất pháp lớn nhất.
Từ biểu đồ ứng suất pháp, ta thấy ở những điểm cách xa đường trung hòa nhất thì
ứng suất pháp σ
z
có giá trị lớn nhất.
Kí hiệu: |y
k
max
| là khoảng cách từ điểm chịu kéo cách xa đường trung hòa nhất,
|y
n
ma x
| là khoảng cách từ điểm chịu nén cách xa đường trung hòa nhất.
Thay các trị số này vào (5-3), ta được các ứng suất pháp cực trị như sau:



⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=−=
=+=
n
x
x
n
max
x
x
min
k
x
x
k
max
x
x
max
W
|M|
|y|
J

|M|
W
|M|
|y|
J
|M|
σ
σ
(5-4)
Trong đó, ta đặt:
|y|
J
W;
|y|
J
W
n
max
x
n
x
k
max
x
k
x
==

Những đại lượng W
k

x
, W
n
x
được gọi là mô men chống
uốn của mặt cắt ngang; thứ nguyên của nó là (chiều dài)
3
, đơn
vị m
3
, cm
3
v.v...
Mô men chống uốn là một đại lượng hình học, ý nghĩa
của nó thể hiện trong công thức (5-4); tức W
x
càng lớn thì dầm
có thể chịu M
x
càng lớn. Như vậy, mô men chống uốn đặc
trưng cho ảnh hưởng của hình dáng và kích thước của mặt cắt
a
)
x
z
y
A
B
M
x

O
Đường trung
hoà
a
b
σ
ma
x
σ
mi
n
y
k
ma x
y
n
ma x
b
)
Hình 5.10: Biểu đồ ứng suất pháp
y
Hình 5.11:
Xác định mô
men chống uốn
của hình chữ
h
y
x
O
b


90
ngang đối với độ bền của dầm khi ứng suất pháp chưa vượt quá giới hạn tỉ lệ.
Dưới đây, ta tính mô men chống uốn của một vài mặt cắt ngang có dạng hình học
đơn giản.
- Mặt cắt ngang hình chữ nhật (hình 5.11).
Mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với đường trung hòa Ox:
J
x
=
12
bh
3

Ở đây |y
2
h
|y||
n
max
k
max
==
Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình chữ nhật là:

6
bh
WWW
2
x

n
x
k
x
=== (5-5)
- Mặt cắt ngang hình tròn (hình 5.12).
Mô men quán tính của mặt ngang hình tròn đối với đường trung hòa Ox:
J
x
=
64
D
4
R
44
ππ
=
Ở đây |y
2
D
R|y||
n
max
k
max
===

Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình tròn:
W ===
x

n
x
k
x
WW
32
D
4
R
33
ππ
= (5-6)
hay: W
3
x
n
x
k
x
D1,0WW === (5-7)
- Mặt cắt ngang hình vành khăn (hình 5.12b) .
Nếu gọi α là tỉ số giữa đường kính trong d và đường kính ngoài D, thì mô men
quán tính của mặt cắt ngang vành khăn là:

)1(
64
D
)1(
4
R

J
4
4
4
4
x
α
π
α
π
−=−=
với
R
r
D
d
==
α

Ơ đây:
2
D
R|y|y
n
max
k
max
===
Vậy, mô men chống uốn của mặt cắt ngang
hình vành khăn là:

W
x
n
x
k
x
WW ==

)1(
4
R
4
3
α−
π
=

)1(
32
D
4
3
α−
π
= (5-8)
hay : W ≈==
x
n
x
k

x
WW0,1D
3
(1-α
4
) (5-9)

5.4. ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG.
a)
D
R
r
R
D
d
b)
Hình 5.12: Xác định
mô men chống của
hình vành khăn

91
Muốn dầm làm việc được bền thì ứng suất lớn nhất khi kéo và nén ở mặt cắt
ngang nguy hiểm (nói chung mặt cắt nguy hiểm có max |M
x
| không vượt quá ứng suất
pháp cho phép của vật liệu), đó là điều kiện bền.
Đối với vật liệu dẻo, ứng suất pháp cho phép khi kéo bằng khi nén, nhưng đối với
vật liệu giòn thì ứng suất pháp cho phép khi kéo khác khi nén, nên ta phải viết điều kiện
bền cho cả hai trường hợp:
- Dầm bằng vật liệu dẻo.

Vì ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén bằng nhau:
[σ]
k
=

[σ]
n
= [σ]
Nên trong hai giá trị σ
max
, σ
min
ta sẽ chọn ứng suất pháp có giá trị tuyệt đối lớn
nhất để so sánh với ứng suất pháp cho phép. Điều kiện bền la:
max |σ| ≤ [σ] (5-10)
Trong đó [σ] - ứng suất pháp cho phép của vật liệu dẻo.
- Dầm bằng vật liệu giòn:
Vì ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén khác nhau, nên ta phải có hai điều
kiện bền: σ
max
≤ [ σ]
k
; |σ
min
| ≤ [ σ]
n
(5-11)
Trong đó [σ]
k
và [σ]

n
- ứng suất pháp cho phép khi kéo và khi nén.
* Ví dụ 1
: Một dầm bằng vật liệu giòn có ứng suất pháp cho phép khi kéo |σ|
k
=
3,5KN/cm
2
và khi nén [σ]
n
= 11KN/cm
2
chịu lực như hình vẽ (hình 5.13). Kiểm tra độ
bền của dầm :
Bài giải :
Trước hết ta phải tìm trọng tâm và mô men quán tính của mặt cắt ngang
(xem chương đặc trưng hình học của mặt cắt ngang phẳng): J
x
= 362,6667cm
4

Biểu đồ nội lực được biểu diễn trên hình 5.13b. Vì mô men uốn là một hằng nên ở
bất kì một mặt cắt ngang: M
x
= 4,5 KNm

Qua biểu đồ mô men ta thấy phía trên bị kéo và phía dưới chịu nén. Tức là những
điểm phía trên trục x chịu kéo (điểm A chịu kéo lớn nhất), các điểm phía dưới trục x chịu
nén (điểm B chịu nén lớn nhất).
Ứng suất pháp kéo lớn nhất trên mặt cắt ngang đó bằng:

max σ
k
= σ
A
=
2
2
k
x
x
cm/KN31,367,2
6667,362
105,4
W
M
≈⋅
⋅
=
Ứng suất pháp nén lớn nhất trên mặt cắt ngang đó bằng:
Hình 5.13: Kiểm tra độ bền của dầm
M
x
4,5KN
4,5KNm4,5KNm

a
)
b
)
y

c)
1
0
14
0
1
0
10
0
2
0
26
7
73
3
x
O
3,31KN/c
m
2
9,1KN/c
m
2
d
)
A
B

92
|max σ

n
| = σ
B
=
2
2
n
x
x
cm/KN11,933,7
6667,362
105,4
W
M
≈⋅
⋅
=
Dầm đủ bền vì max σ
k
< [σ]
k
và max| σ
n
| < [σ]
n

*
Ví dụ 2:
Xác định đường kính đoạn trục bánh xe hỏa nằm giữa hai bánh, chịu
lực như trên hình 5.14a. Cho P = 63KN; a = 22,8 cm. Vật liệu có giới hạn bền bằng

26KN/cm
2
. Lấy hệ số an toàn n = 6,3.
Bài giải :
Mô men uốn ở mặt cắt ngang trong đoạn nằm giữa hai bánh xe bằng:
M
x
= Pa = 63×22,8 = 1.436 KNcm
Mô men chống uốn của mặt cắt ngang hình tròn :
W
x
≈ 0,1 d
3
cm
3

Vì trục làm bằng vật liệu dẻo,
nên theo điều kiện bền :

[]
3,6
26
d1,0
4,1436
W
M
3
x
x
=σ≤=


Rút ra:

cm2,15
261,0
3,64,1436
d
3
≅
×
×
≥



5.5. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH DẠNG
HỢP LÍ CỦA MẶT CẮT NGANG
Hình dạng hợp lý của mặt cắt
ngang là hình dạng sao cho khả năng chịu lực của dầm là lớn nhất nhưng đồng thời tốn ít
vật liệu nhất.

a) Dầm bằng vật liệu giòn:
Mặt cắt của dầm sẽ hợp lí nhất khi ứng suất cực trị
thỏa mãn các điều kiện:
[ ] [ ]
n
min
k
max
; σ=σσ=σ


Trong đó [σ]
k
là ứng suất cho phép khi kéo và [σ]
n
là ứng suất cho phép khi nén.
Thay các trị số σ
max
và σ
min
được tính theo công thức (5-7) vào các đẳng thức trên,
ta sẽ được:
n
n
max
x
x
k
k
max
x
x
][|y|
J
|M|
;][|y|
J
|M|
σ=σ=


Chia các vế của đẳng thức trên cho nhau, ta được:
n
k
n
max
k
max
][
][
|y|
|y|
σ
σ
= (5-12)
Vì đối với vật liệu giòn [σ]
k
<
[σ]
n
nên:
|y||y|hay1
|y|
|y|
n
max
k
max
n
max
k

max
<<
Vậy, đối với dầm bằng vật liệu
giòn, hình dạng hợp lí của mặt cắt
ngang là dạng mặt cắt không đối
xứng qua trục trung hòa Ox và phải
Hình 5.15: Xác định hình
á í
y
z
x
y
k
ma
x
y
n
ma
x
M
x
O
Hình 5.14: Kiểm tra bền
P
P
P
a
P
P
P

a
(Q
y
)
(M
x
)
b)
a)

93
bố trí sao cho tỉ số giữa
|y|vaì|y|
n
max
k
max
thỏa mãn (5-12).
Ví dụ mặt cắt hình chữ T (hình 5.15).

b) Dầm bằng vật liệu dẻo:
Vì với vật liệu dẻo [σ]
k
= [σ]
n
nên:
|y||y|
n
max
k

max
=
Tức là mặt cắt ngang có dạng đối xứng qua đường trung hòa Ox, ví dụ như mặt
cắt ngang hình chữ nhật, chữ I, tròn...
Ngoài ra, qua biểu đồ ứng suất pháp như trên (hình 5.10), ta nhận thấy ở những
điểm càng gần trục trung hòa thì trị số ứng suất pháp càng nhỏ, nghĩa là những nơi đó vật
liệu làm việc ít hơn ở những điểm xa đường trung hòa. Vì vậy, để tậ
n lượng khả năng làm
việc của vật liệu, nên người ta có khuynh hướng bố trí vật liệu ra xa trục trung hòa, ví dụ
mặt cắt ngang dạng chữ T, I, .
Việc bố trí mặt cắt cũng có một ý nghĩa rất lớn. Đó chính là định hướng của mặt
cắt ngang đối với mặt phẳng tải trọng. Ví dụ mặt cắt ngang hình chữ I được bố trí hợp lý
nhất là làm sao cho trụ
c trung hòa trùng với trục mà đối với trục đó J
x
= J
max
.

B. DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG
Một dầm chịu uốn ngang phẳng là một dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt
ngang của nó có hai thành phần nội lực là lực cắt và mô men uốn
. Các thành phần nội
lực này nằm trong mặt phẳng đối xứng của dầm.
Ví dụ : Dầm có mặt cắt ngang là hình chữ nhật chịu lực như trên hình vẽ (hình 5.16).
Xét một mặt cắt 1-1 nào đó của dầm, thì trên mặt cắt đó có hai thành phần nội lực
là lực cắt Q
y
và mô men uốn M
x

. Hai thành phần nội lực này đều nằm trong mặt phẳng
đối xứng của dầm là Oyz (hình 5.17).
5.6. ỨNG SUẤT PHÁP TRÊN MẶT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG .
Công thức tính ứng suất pháp σ
z
(5-2) được suy ra cho trường hợp M
x
= const.
Nếu mô men uốn M
x
là một hàm số theo z thì trên mặt cắt ngang sẽ có lực cắt:
dz
dM
Q
x
y
=

x
y
z
M
x
Q
y
Hình 5.17: Nội lực trên
mặt cắt ngang của dầm
chịuuốn ngang phẳng
Hình 5.16: Dầm chịu
lực có mặt cắt ngang

hình chữ nhật
b
d
z

y
x
P
l
1
1
2
2
P
Pl

94
Trong trường hợp này, trên mặt cắt ngang, ngoài ứng suất pháp do mô men uốn
M
x
gây ra, còn có ứng suất tiếp do lực cắt Q
y
gây ra. Đối với trường hợp này, sau khi bị
biến dạng mặt cắt ngang không còn phẳng nữa. Mặt cắt ngang không những bị xoay như
trong dầm chịu uốn thuần túy phẳng mà còn bị vênh đi một ít do tác dụng của ứng suất
tiếp, cho nên quá trình chứng minh ở mục 5-2 không còn phù hợp. Nhưng "Lý thuyết đàn
hồi" đã chứng minh rằng, công thức (5-2) có thể dùng được trong trường hợp uốn ngang
phẳng mà sai số
mắc phải không lớn. Vì vậy, chúng ta thừa nhận công thức (5-2) để tính
ứng suất pháp trên mặt cắt ngang trong trường hợp uốn ngang phẳng:

σ
z
=
y
J
M
x
x
(5-13)
5.7. ỨNG SUẤT TIẾP TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG
PHẲNG.
Để đơn giản bài toán, ta giả thiết dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật.
Nói chung, ứng suất tiếp τ
z
ở một điểm bất kì trên mặt cắt ngang có thể không
cùng phương với lực cắt Q
y
.
Phân tích ứng suất tiếp τ
z
ra thành hai thành phần τ
zy
và τ
zx
(hình 5.18):

τ
z
=
2

zx
2
zy
ττ
+
Trong đó:τ
zy
là thành phần ứng suất tiếp song song với
lực cắt Q
y
(tức là song song với Oy); τ
zx
là thành phần ứng suất
tiếp vuông góc với lực cắt Q
y
(tức là song song với O
x
).
Cách xác định ứng suất tiếp τ
z
ở một điểm bất kì trên mặt
cắt ngang là vấn khó khăn. Vả lại nếu mặt cắt có dạng hình chữ
nhật hẹp thì thành phần ứng suất tiếp τ
zx
rất bé so với τ
zy
. Nên
trong thực tế, người ta thường chỉ xác định thành phần ứng suất
tiếp song song với lực cắt τ
zy

.
Để lập công thức tính thành phần ứng suất tiếp song song
với lực cắt, ta thừa nhận giả thuyết sau:
Thành phần ứng suất tiếp song song và cùng chiều với lực
cắt ở một điểm bất kì K trên mặt cắt ngang là phân tố đều theo đoạn
thẳng đi qua điểm K và vuông góc với lực cắt.
Tưởng tượng tách ra khỏi dầm một đoạn vô cùng bé dz bằ
ng hai mặt cắt 1-1 và 2-2
(xem hình 5.19 và hình 5.20).
Sau đó, cắt đoạn dầm dz bởi mặt cắt thứ ba đi qua điểm đang xét K và vuông góc
với lực cắt Q
y
. Mặt cắt này cắt đoạn dầm làm hai phần, ta xét sự cân bằng của phần dưới
ABCDEFGH (hình 5.20).
Viết điều kiện cân bằng của phân tố này dưới dạng phương trình hình chiếu của
các lực lên phương của trục dầm (trục O
z
).
- Trên mặt ABCD: Kí hiệu ứng suất pháp trên mặt này là σ
z(1)
(hình 5.20), ta có:
Hình
5.18: Ứng
suất trên
mặt cắt
ngang của
dầm chịu
ố
Q
y

O

τ
τ
xy
τ
zx

95
σ
z(1)
=
y
J
M
x
x

Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt ABCD lên phương Oz bằng:
N
1
=
c
x
x
x
FcFc
x
x
)1(z

S
J
M
ydF
J
M
dF ==
∫∫
σ
(a)
Trong đó: F
c
- Diện tích của mặt ABCD mà ta gọi là diện tích cắt; S
c
x
- Mô men
tĩnh của phần diện tích bị cắt đối với trục trung hòa O
x
- Trên mặt EFGH: Ứng suất pháp trên mặt 2-2 này là σ
z(2)
:
σ
z(2)
=
y
J
dMM
x
xx
+


Vậy hình chiếu của lực tác dụng lên mặt AFGH lên phương O
Z
bằng:
N
2
=
∫
+
=
Fc
x
xx
)2(z
J
dMM
dF
σ
∫
+
=
Fc
c
x
x
xx
S
J
dMM
ydF

(b)
- Trên mặt ABEF: Theo giả thuyết về các thớ dọc, trên mặt này chỉ có ứng suất
tiếp. Dựa vào định luật đối ứng, thành phần ứng suất tiếp τ
yz
song song với trục O
Z
bằng:
τ
yz
= τ
zy

Vì chúng ta đã thừa nhận ứng suất tiếp τ
zy
phân bố đều trên đoạn AB (hình 5.20)
nên thành phần ứng suất tiếp τ
yz
cũng phân bố trên toàn mặt ABEF. Do đó, hình chiếu
của nội lực tác dụng lên mặt ABEF lên phương O
Z
bằng:
T = τ
yz
× diện tích (ABEF) = τ
zy
b
c
dz
Trong đó b
c

là bề rộng của mặt cắt (tức chiều dài đoạn AB) đi qua điểm đang xét
K và vuông góc với lực cắt Q
y
.
Vậy, điều kiện cân bằng dưới dạng phương trình tổng quát hình chiếu của các lực
tác dụng lên phân tố ABCDEFGH lên phương O
Z
:
Σz = 0; N
1
- N
2
+ T = 0
hay
0dzbS
J
dMM
S
J
M
c
zy
c
x
x
xx
c
x
x
x

=+
+
−
τ

Hình 5.19: Phân
tố VCB
y
x
z
σ
z
(
2)
σ
z
(
1)
AB
F
E
DC
G
H
O
b
c
d
z
M

x
+dM
x
M
x
Q
y
Q
y

d
z

1
1
2
2
Hình 5.20: Xác định ứng
suất tiếp

96
rút ra: τ
zy
=
c
x
c
xx
bJ
S

dz
dM

Vì
y
x
Q
dz
dM
=

nên τ
zy
=
c
x
c
xy
bJ
S.Q
(5-14)
Trong đó: S
c
x
- Mô men tĩnh của phần điện tích bị cắt đối với trục trung hòa; b
c
-
Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm đang xét và vuông góc với lực cắt.
Công thức (5-14) được gọi là công thức Durápski.
Dưới đây, ta lần lượt tính ứng suất tiếp đối với một số mặt cắt ngang đơn giản.


a) Mặt cắt ngang hình chữ nhật
(hình 5.21).
Để xác định sự phân bố của thành phần ứng suất tiếp τ
zy
trên toàn bộ mặt cắt,
trước hết ta tính thành phần ứng suất
tiếp τ
zy
ở điểm K (hình 5.21).
Bề rộng mặt cắt đi qua điểm K bằng :
b
c
= b.
Mô men tĩnh của phần điện tích bị cắt
(phần dưới) đối với trục trung hòa Ox
bằng:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
2
22
c
x
h
y
41
8
bh
2
1
y
2
h
y
c
h
bS
Mô men quán tính của mặt cắt đối với
trục trung hòa Ox: J

x
=
12
bh
3

Khi thay các giá trị trên vào (5-
14) ta được:
τ
zy
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
2
2
y
h
y
41
bh
Q
2
3


Như vậy, quy luật phân bố của τ
zy
là một đường Parabol bậc hai. Những điểm ở trên trục
trung hòa Ox là những điểm có ứng suất tiếp τ
zy
lớn nhất (y=0):
τ
max
=
bh
Q
2
3
y
(5-15)
b) Mặt cắt ngang hình chữ
I (hình 5.22).
Ở đây, ta chỉ xét sự phân bố của ứng suất tiếp τ
zy
trong lòng chữ I
Tính ứng suất tiếp τ
zy
ở điểm K nằm trong lòng chữ I.
Bề rộng của mặt cắt đi qua điểm K bằng:
b
c
= d ;
S
2

y
dS
2
y
)yd(S
2
xx
c
x
−=−=
Thay chúng vào (5-14), ta được:
Hình 5.2: Xác định ứng
suất tiếp
y
x
y
K
O
b
Q
y
τ
max
h
b
y
x
h
y
Q

y
K

d
O
τ
max
Hình 5 22: Xác định ứng

97
τ
zy
=
dJ
2
y
dSQ
x
2
xy
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−


Vậy, luật phân bố của τ
zy
dọc theo chiều cao của mặt cắt ngang chữ I là một
đường Parabol bậc hai.
Ứng suất tiếp τ
zy
đạt tới giá trị lớn nhất ở trên trục trung hòa (y=0) : τ
max
=
dJ
S.Q
x
xy

Trong đó S
x
là mô men tĩnh của nửa hình chữ I lấy đối với trục trung hoà O
x
, đại
lượng này được cho trong các sổ tay kĩ thuật.
c) Mặt cắt ngang hình tròn
(hình 5.23)
Đối với trường hợp này : b
c
= 2
22
yR − ; J
x
=
4

R
4
π

() ()
∫∫
−=⋅⋅−=⋅⋅=
R
y
2
3
222
R
y
c
x
)yR(
3
2
dyR2dbS
ξξξξξ

Thay chúng vào (5-14) và chú ý diện tích mặt cắt hình tròn F là π.R
2
:

⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
−⋅⋅=
2
2
y
zy
R
y
1
F
Q
3
4
τ

Công thức này chứng tỏ τ
zy
biến
thiên dọc theo đường kính của
mặt cắt ngang hình tròn là đường cong
bậc hai.
Ứng suất tiếp τ
zy
đạt tới giá trị
lớn nhất ở những điểm nằm trên đường
trung hòa (y=0):


F
Q
3
4
y
max
⋅=
τ
(5-17)

5.8. ĐIỀU KIỆN BỀN CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG
Như trên đã nói, trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng ngoài ứng
suất
pháp σ
z
do mô men uốn M
x
gây ra, còn có ứng suất tiếp τ
zy
do lực cắt Q
y
gây ra.
Trên hình 5.24 biểu diễn biểu đồ ứng suất pháp σ
z
và ứng suất tiếp τ
zy
dọc theo
x
M
x

b
C
O
B
A
Q
y
τ
ma x
σ
min
A

O
C
D
a
Hình 5.23: Xác định ứng
suấttiếp
Q
y
O

K

x

b
c
b(ξ

)
d(ξ
)
y
R
τ
ma
x
ξ