Sức bền vật liệu - Chương 4
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (382.43 KB, 14 trang )
70
Chương 4
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA
MẶT CẮT NGANG PHẲNG
4.1. KHÁI NIỆM CHUNG
Khi nghiên cứu khả năng chịu lực của thanh chịu kéo, nén đúng tâm, ta nhận thấy
với cùng một loại vật liệu, thanh nào có diện tích mặt cắt ngang lớn hơn thì chịu được tải
trọng lớn hơn. Nhưng khi tính những thanh chịu xoắn, uốn... thì khả năng của chúng
không những phụ thuộc vào diện tích của mặt cắt ngang mà còn phụ thuộc vào hình dạng
và sự bố trí mặt cắt ngang.
Ví dụ: Xét một dầm tiết diện chữ nhật b × h với h > b trong hai trường hợp: Tiết
diện để đứng và tiết diện nằm ngang cùng chịu lực P như nhau như trên hình 4.1a, 4.1b.
Kết quả thực nghiệm hoặc bằng trực giác ta cũng nhận ra là trường hợp (a) chịu lực
tốt hơn trường hợp (b). Đối với trường hợp trục chịu xoắn ở hình 4.2, thì mặt cắt ngang
vành khăn chịu xoắn tốt hơn. Chúng ta sẽ khảo sát những đặc trưng hình học của mặt cắt
ngang có liên quan đến việc chịu lực của các thanh.
4.2. MÔ MEN TĨNH VÀ CÁC MÔ MEN QUÁN TÍNH
Giả sử có mặt cắt ngang có diện tích F. Xác định trong mặt phẳng của mặt cắt một
hệ trục tọa độ (Oxy) và ta gọi (x, y) là tọa độ của điểm A nào đấy thuộc F. Lấy chung
quanh A một phân tố diện tích dF.
4.2.1. Mô men tĩnh. Ta gọi mô men tĩnh của diện tích F đối với trục x hay đối với trục
y là các biểu thức tích phân sau:
;ydFS
F
x
∫
=
∫
=
F
y
xdFS
, đơn vị m
3
, cm
3
...
Trong đó: S
x
, S
y
có thể âm, dương, hay bằng không.
d=
0,7071D
D
d=
0,7071D
M
Hình 4.2: Dầm có tiết
diện hình trụ(a) và
hình vành khăn (b)
P
a)
b
h
Hình 4.1: Dầm có tiết
diện đứng (a) và nằm
ngang (b)
P
b)
b
h
a)
b)
71
* Khi mô men tĩnh của diện tích F đối với một
trục nào bằng không thì trục đó gọi là trục trung tâm.
* Giao điểm của hai trục trung tâm gọi là trọng
tâm của mặt cắt ngang.
Xuất phát từ định nghĩa trên ta có thể thiết lập
công thức tính tọa độ trọng tâm của diện tích F đối với
hệ trục Oxy. Giả sử có hai trục trung tâm Cx
o
, Cy
0
cắt
nhau tại trọng tâm C của mặt cắt ngang và song song với
Ox, Oy, hình 4.4.
Theo định nghĩa ta có: S
xo
= S
yo
= 0 (a)
Gọi (x
C
,y
C
) là tọa độ của C trong hệ trục Oxy và
(x
o
,y
o
) là tọa độ của A trong hệ
trục Cx
o
y
o
thì:
⎩
⎨
⎧
+=
+=
oc
oc
yyy
xxx
Từ định nghĩa có:
∫∫∫∫
+=+==
F
o
F
c
F
oc
F
x
dFydFydF)yy(ydFS
S
x
= y
c
F + S
xo
= y
c
F [S
xo
= 0 theo (a)]
Tương tự: S
y
= x
c
F
Vậy, ta có:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⇔
⎩
⎨
⎧
=
=
F
S
x
F
S
y
FxS
FyS
y
c
x
c
cy
cx
(4-1)
Tính chất cơ bản:
Mọi trục đối xứng của mặt cắt ngang đều là
trục trung tâm (hình 4.5). Thực vậy, nếu trục y là
trục đối xứng của mặt cắt ngang thì:
∫∫∫
−==
2F2FF
xdFdF|x|xdF
1
Trong đó F
1
, F
2
diện tích của hai nửa.
0xdFxdFxdFxdFS
2121
FFFFF
y
=−===
∫∫∫∫
+
S
y
= 0
Vậy y là trục trung tâm.
*
Ví dụ 1:
a) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang chữ nhật đối với
các trục đi qua các cạnh (hình 4.6).
y
Hình 4.5: Trục đối
xứng của mặt cắt ngang
là trục trung tâm
-x x
x
B
A
dF dF
F
1
F
2
y
Hình 4.3 Xác định
mô men tĩnh
x
A
y
x
O
dF
F: Diện tích
của bề mặt
cắt ngang
Hình 4.4: Xác định toạ
độ trọng tâm của mặt
cắt ngang
y
y
o
x
o
x
x
C
x
0
x
y
y
c
y
o
O
C
A
F
72
Trên hình chữ nhật ta lấy dải phân tố diện
tích dF = bdy, ta có:
2
bh
dyybydFS
2
h
0
F
x
===
∫∫
(4-2)
Tương tự :
S
y
=
2
hb
2
(4-3)
Tọa độ trọng tâm :
2
h
y;
2
b
bh2
bh
F
S
x
c
2
y
c
====
b) Tính
mô men tĩnh S
x
và tung độ trọng tâm y
c
của hình tam giác đối
với trục x ≡ cạnh đáy (hình 4.7).
Theo hình 4.7, ta có:
dF = b(y)dy , mà
h
yh
b
)y(b −
=
=> dF =
dy
h
)yh(b −
∫∫
=−==
h
0
2
F
x
6
bh
ydy)yh(
h
b
ydFS
(4-4)
3
h
2/bh
6/bh
F
S
y
2
x
c
===
c) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang dạng nửa hình tròn
đối với trục x đi qua đáy (hình 4.8).
Từ hình 4.8, ta có: dF = b(y)dy
nhưng y = Rsin ϕ=> dy= Rcosϕdϕ
b(y) = 2Rcos ϕ
=> dF = 2R
2
cos
2
ϕ×dϕ
=>S
x
=
∫
π
ϕϕϕ
2/
0
22
dcosR2.sinR
=> S
x
=
3
R
3
2
(4-5)
R
3
4
F
S
y
x
c
π
==
y
Hình 4.7: Tính mô
men tĩnh và tung độ
trọng tâm mặtcắt
y
dy
h
b
O
x
b(y)
dF
Hình 4.6: Tính mô men
tĩnh và toạ độ trọng tâm
mặtcắt ngang chữ nhật
h
h/2
y dy
dF
y
x
b/2
b
C
O
Hình 4.8 Tính mô men
tĩnh và tung độ trọng
tâm mặtcắt ngang dạng
R R
x
y
y
dy
b(y)
dF
A
α
O
73
d) Tính mô men tĩnh và tọa độ trọng tâm của mặt cắt ngang như hình vẽ 4.9 đối với
trục x đi qua đáy. Từ hình 4.9, ta có:
∫∫∫∫∫
−++==
4321
FFFFF
x
ydFydFydFydFydFS
2
22
x
)a3(a
3
2
6
)a6(a3
2
2
)a6(a4
S
−⋅+=
S
x
= 90a
3
x
C
= 0
π−
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−
==
984
a180
a
2
9
42
a90
F
S
y
2
3
x
c
4.2.2. Mô men quán tính đối với một
trục (gọi tắt mô men quán tính).
Ta gọi mô men quán tính của diện tích F đối với
trục x hay trục y là biểu thức tích phân sau:
∫
=
F
2
x
dFyJ
hay
∫
=
F
2
y
dFxJ
đơn vị m
4
, cm
4
...
J
x
, J
y
luôn luôn dương.
4.2.3. Mô men quán tính độc cực (đối với một điểm).
Ta gọi mô men quán tính độc cực của diện tích
F đối với gốc tọa độ O là biểu thức tích phân:
∫
=
F
2
P
dFJ
ρ
, đơn vị m
4
, cm
4
...
Trong đó: ρ = OA
vì ρ
2
= x
2
+ y
2
=>
∫
+=
F
22
P
dF)yx(J
J
p
= J
x
+ J
y
cũng như mô men quán tính, mô men
quán tính độc cực bao giờ cũng dương.
4.2.4. Mô men quán tính ly tâm.
Ta gọi mô men quán tính ly tâm của diện tích
F đối với hệ trục Oxy là biểu thức tích phân:
∫
= xydFJ
xy
đơn vị m
4
, cm
4
...
x, y có thể có dấu ngược nhau => J
xy
có thể âm, dương, hay bằng không.
Hình 4.9 Tính mô men tĩnh
và tung độ trọng tâm mặt
cắt ngang hình thang
y
x
2a
2a
3a 3a
5a 5a
6a
1
2 3 4
Hình 4.11: Xác định
mô men quán tính li
tâm
-x x
x
y
B A
dF dF
F
1
F
2
O
y
Hình 4.10: Xác
định mô men quán
tính
x
A
y
x
O
dF
ρ
Diện tích mặt cắt
74
Khi J
xy
= 0, thì Ox
o
y
o
gọi là hệ trục quán tính chính (gọi tắt hệ trục chính).
* Nếu hệ trục quán tính có gốc tại trọng tâm của mặt cắt ngang thì được gọi là
hệ trục quán tính chính trung tâm.
* Tính chất: Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất cứ trục nào vuông góc với
trục đối xứng đó cũng lập với nó một hệ trục quán tính chính (có thể chứng minh tương
tự như ở
hình 4.5).
4.3. MÔ MEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GIẢN.
Ví dụ 2
:
1) Hình chữ nhật b
×
h:
dF = bdy
∫∫
===
−
F
3
2/h
2/h
22
x
12
bh
bdyydFyJ
12
hb
J
12
bh
J
3
y
3
x
=
=
(4-6)
2) Hình tam giác đáy b, cao h:
)yh(
h
b
)y(b
h
yh
b
)y(b
−==>
−
=
∫∫
−==
F
h
0
22
x
dy)yh(
h
b
ydFyJ
12
bh
J
3
x
= (4-7)
Nếu trục x qua trọng tâm hình tam giác
thì cũng thực hiện tương tự ta có:
36
bh
J
3
x
=
3) Hình tròn.
Đối với hình tròn, hình vành khăn do đối xứng, ta có:
J
x
= J
y
=> J
p
= J
x
+ J
y
= 2J
x
= 2J
y
nên ta có thể tính J
p
trước rồi suy ra J
x
, J
y
Dùng tọa độ độc cực: dF = ρdϕdρ
∫∫∫
π
π
=ρϕρρ=ρ=
2
0
R
0
4
2
F
2
P
2
R
dddFJ
R là bán kính đường tròn.
y
Hình 4.13: Xác định
mô men quá tính của
hình tam
giác
y dy
h
b
O
x
b(y)
dF
Hình 4.12: Xác định
mô men quá tính của
hình chữ nhật
h
h/2
−y
dy
dF
y
b/2
b
C
O
x
