49
Chương 3
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
3.1. KHÁI NIỆM.
3.1.1. Khái niệm.
Như trong bài toán kéo nén đúng tâm, ta đã thiết lập công thức tính ứng suất trên
mặt cắt nghiêng bất kỳ:

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ασ=τ
ασ=σ
α
α
)b(2sin
2
1
)a(cos
2

Trong đó α là góc giữa pháp tuyến của mặt cắt và trục thanh. Rõ ràng khi α thay
đổi, các ứng suất pháp σ
α
,

ứng suất tiếp τ
α

đều thay đổi theo qui luật (a) và (b). Nhưng
trong những thanh chịu lực phức tạp hơn (thanh bị uốn, xoắn v.v...) thì vấn đề xác định
qui luật biến thiên của ứng suất theo góc nghiêng α của mặt cắt cũng phức tạp hơn.
Trong chương này, chúng ta sẽ xác định qui luật biến thiên đó. Vì thế nếu biết được
qui luật biến thiên ứng suất tại một điểm thì ta có thể xác định được tại điểm đó mặt cắt
nào có ứng suất lớn nhất.
Định nghĩa trạng thái ứng suất: Trạng thái ứng suất tại một điểm là trạng thái
chịu lực của điểm đang xét, được đặc trưng bởi tập hợp các giá trị ứng suất pháp và ứng
suất tiếp trên những mặt cắt vô cùng bé (VCB) khác
nhau đi qua đ
iểm đó.
Để xác định ứng suất tại một điểm trong vật thể
đàn hồi, ta tách riêng ra một hình hộp có kích thước
vô cùng bé VCB (gọi là phân tố) bao quanh điểm
đó. Chú ý rằng các cạnh của phân tố là VCB, nên ta
có thể coi phân tố là điểm đang xét và ứng suất trên
các mặt của phân tố được xem như ứng suất trên
các mặt đi qua điểm đó. Trong lý thuyết đàn hồi,
người ta đã chứng minh được rằng: "Tại một điểm
bất kỳ thuộc vật thể đàn hội chịu lực, ta luôn luôn
có thể tách ra được một phân tố sao cho trên các
mặt của nó
chỉ có các ứng suất pháp mà không có ứng suất
tiếp, τ = 0".
Phân tố đó được coi là phân tố chính, các
mặt của phân tố gọi là mặt chính, các ứng suất
pháp trên các mặt gọi là các ứng suấ
t chính,
phương pháp tuyến của các mặt gọi là phương
chính.

Một phân tố hình hộp có sáu mặt, như vậy
nói chung có sáu thành phần ứng suất chính.
Nhưng do điều kiện cân bằng, các mặt đối diện
có các thành phần ứng suất chính bằng nhau về trị số và ngược chiều nhau, do đó chỉ có
ba ứng suất chính. Ta ký hiệu các ứng suất chính σ
1
, σ
2
, σ
3
với thứ tự qui ước σ
1
>σ
2
>σ
3
(so sánh như số thực).
Hình 3.1:Phân tố vô
ùbé
σ
1
=2 KN/cm
2
Hình 3.2: Phân
tố chinh
σ
1
σ
3
σ

3
= -10KN/cm
2
σ
2
=
3
KN/cm
2
σ
2

50
Ví dụ: σ
1
= 2KN/cm
2
; σ
2
=
3
KN/cm
2
; σ
3
=-10KN/cm
2
3.1.2. Phân loại trạng thái ứng suất.
Căn cứ vào các ứng suất chính trên một phân tố chính, ta phân ba loại trạng thái
ứng suất:

a) Trạng thái ứng suất đơn: Trên phân tố chính chỉ có một ứng suất chính khác
không và hai ứng suất chính khác bằng không. Đó là trường hợp thanh chịu kéo (hay nén)
đúng tâm, (xem hình 3.3a).
b) Trạng thái ứng suất phẳng: Trên phân tố chính chỉ có hai ứng suất chính khác
không và một ứng suất chính bằng 0, (xem hình 3.3b)
c) Trạng thái ứng suất khối: Trên phân tố chính có đủ ba ứng suất chính khác
không, (xem hình 3.3c).
Trong giáo trình sức bền vật liệu, chúng ta chủ yếu chỉ quan tâm đến trạng thái ứng
suất phẳng. Từ đó có thể suy ra trạng thái ứng suất đơn.

Còn trạng thái ứng suất khối
được nghiên cứu kỹ trong giáo trình lý thuyết đàn hồi.















3.2. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG.
3.2.1. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng .
Giả sử tại K, ta tách ra khỏi vật thể đàn hồi chịu lực một phân tố có các mặt song song

với mặt phẳng của hệ tọa độ, trong đó mặt vuông góc với trục Oz là một mặt chính không có
ứng suất pháp tác dụng (hình 3.4), còn các mặt kia là bất kỳ nên có đủ các thành phần ứng suất.
Ta ký hiệu các ứng suất đó như sau:
- Ứng suất pháp σ có kèm theo một chỉ số, chỉ số này biểu diễn phương của
pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tác dụng (σ
x
- Ứng suất pháp theo phương x).
- Ứng suất tiếp có hai chỉ số: Chỉ số thứ 1 chỉ phương của pháp tuyến của mặt
cắt có ứng suất tiếp tác dụng, chỉ số thứ 2 biểu diễn phương song song với ứng suất tiếp
(τ
xy
là ứng suất tiếp trên mặt phẳng có pháp tuyến ngoài là x và ứng suất này nằm theo
phương y).
c
)
σ
2
σ
2
σ
3
σ
3
σ
1
b
)
σ
1
σ

1
σ
3
σ
3
a
)
σ
1
σ
1
σ
1
Hình 3.3.Các trạng thái ứng suất:a- Trạng
thái ứng suất đơn; b-Trạng thái ứng suất
phẳng; c- Trạng thái ứng suất khối.

51
Giả sử đã biết σ
x
, σ
y
và τ
xy
, bây giờ ta thiết lập công thức tính ứng suất pháp và
tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ song song với Oz.
Tưởng tượng cắt phân tố bởi một mặt cắt (R) có pháp tuyến u làm với trục x một
góc α. Mặt (R) // Oz, mặt này cắt phân tố ra hai phần (A) và (B), xem hình 3.5.
Giả sử xét cân bằng phần (A). Gọi σ
u

, τ
uv
tác dụng trên mặt cắt nghiêng (α). Ta
xét các lực tác dụng trên các mặt của phần (A), (xem hình 3.6, 3.7). Gọi các cạnh lần lượt
là dx, dy, dz, ds.











Trên diện tích dy.dz có các hợp lực σ
x
dydz và τ
xy
dydz.
Trên diện tích dx.dz có các hợp lực σ
y
dzdx và τ
yx
dzdx.
Trên diện tích dz.ds có các hợp lực σ
u
dzds và τ
uv

dzds.
Dễ dàng xác định ds =
α
=
α sin
dx
cos
dy

- Viết phương trình mô men với điểm O':

0
2
dy
.dzdx
2
dx
.dydz0m
yxxy'o
=τ−τ⇒=
∑


yxxyyxxy
τ−=τ⇒τ=τ⇒
(3-1)
Kết quả này được gọi là định luật đối ứng của ứng suất tiếp trên hai mặt cắt vuông
góc nhau.
τ
yx

dxdz
σ
y
dxdz
τ
xy
dydz
σ
x
dydz
σ
u
dzds
τ
u
dzds
α
u
v
y
z
x
u
v
O
’
α
τ
uv
τ

y
x
τ
x
y
σ
x
σ
y
Hình 3.6: Các lực
tác dụng lên phần A
của phân tố
Hình 3 .7: Các lực
tác dụng lên phần A
của phân tố
O
’
Hình 3.4:Phân tố có một
mặt chính không có ứng
suất pháp
σ
y
σ
y
σ
y
σ
y
σ
x

σ
x
σ
x
σ
x
y y
xx
z z
τ
xy
τ
xy
τ
xy
τ
y
x
τ
y
x
τ
y
x
τ
y
x
A
B
Hình 3.5: Thiết lập ứng

suất pháp và ứng suất
tiếp trên mặt cắt
nghiêng bất kì song song
τ
xy
(R)

52
- Viết phương trình chiếu tất cả các lực lên trục u ta có:

∑
ατ−α
σ−σ
+
σ+σ
=σ⇒=
2sin2cos
22
0U
xy
yxyx
u
(3-2)
- Viết phương trình chiếu tất cả các lực lên trục V ta có:

∑
ατ+α
σ−σ
=τ⇒=
2cos2sin

2
0V
xy
yx
uv
(3-3)
Biểu thức (3-2) và (3-3) cho phép xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các
mặt cắt nghiêng (
α
) song song với một phương chính (mặt cắt này vuông góc với mặt cắt
đang xét) không có ứng suất.
Bây giờ ta xét ứng suất trên mặt cắt nghiêng (
β
), với
β
=
2
π
+α
.

βτ−β
σ−σ
+
σ+σ
=σ⇒
2sin2cos
22
xy
yxyx

v


ατ+α
σ−σ
−
σ+σ
=σ
2sin2cos
22
xy
yxyx
v
(3-4)
Thực hiện phép cộng các phương trình (3-2) và (3-4) theo vế có:

σ
U
+
σ
v
=
σ
x
+
σ
y
= const (3-5)
Biểu thức (3-5) được gọi là
định luật bất biến bậc nhất

của ứng suất pháp trên hai
mặt cắt vuông góc nhau.
3.2.2. Phương chính và ứng suất chính.

Muốn xác định phương chính và ứng suất chính, thì theo định nghĩa ta phải tìm
mặt nghiêng nào có ứng suất tiếp bằng không (tức là mặt cắt không có ứng suất tiếp).
Mặt cắt nghiêng (
α
) là mặt chính khi
τ
uv
= 0. (3-6)
Gọi
α
0
là góc nghiêng của phương chính với trục x, từ (3-6) và (3-3), ta có:

02cos2sin
2
0xy0
yx
uv
=ατ+α
σ−σ
=τ
(3-7)

yx
xy
0

2
2tg
σ−σ
τ
−=α=>
Đặt
zk,
2
k
2
2
tg
0
yx
xy
∈
π
+
β
=α⇒
σ−σ
τ
−=β
Hay
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

π
+
β
=α
β
=α
22
2
02
01

Như vậy từ (3-7) luôn luôn tìm được hai giá trị của α
0
là α
01
và α
02
chênh lệch
nhau

53
2π
. Vậy luôn luôn có hai phương chính thẳng góc nhau. Lần lượt thay α
01
, α
02
vào (3-2)
ta sẽ được các ứng suất chính cần tìm. Những ứng suất chính còn là những ứng suất cực
trị, nghĩa là ứng suất trên mặt chính sẽ có giá trị cực trị. Rõ ràng đạo hàm bậc nhất của
giá trị ứng suất pháp bằng 0 cũng đồng nghĩa với ứng suất tiếp ở mặt đó triệt tiêu.

Thực vậy
uvxy
yx
u
22cos22sin
2
2
d
d
τ−=ατ−α
σ−σ
−=
α
σ

τ
uv
= 0 , cũng có nghĩa là
0
d
d
u
=
α
σ

Như vậy, khi thay ,2cos
1c
α
2c

2cos α ,
1c
2sin α và
2c
2sin α , suy từ (3-7) với sự
biến đổi
α+
α
±=α
2tg1
2tg
2cos
2
và
α+
±=α
2tg1
1
2sin
2
, ta có được hai giá trị ứng suất
chính ở hai mặt chính vuông góc với nhau và thường trong trạng thái ứng suất phẳng, ta
ký hiệu các ứng suất chính là σ
max
, σ
min
.
Ta có :
2
xy

2
yx
yx
minmax/
4)(
2
1
2
τ+σ−σ±
σ+σ
=σ (3-8)
dấu + ứng với σ
max
, dấu − ứng với σ
min
.
3.2.3. Vòng tròn ứng suất (vòng Mohr)
Chúng ta để ý đến hai biểu thức (3-2) và (3-3) thì thấy rằng: σ
u
và τ
uv
đều là hàm
của góc nghiêng α. Do đó giữa chúng chắc sẽ có một mối liên hệ nào đó.
Thật vậy từ (3-2) và (3-3) ta được:
ατ−α
σ−σ
=
σ+σ
−σ 2sin2cos
22

xy
yxyx
u

ατ+α
σ−σ
=τ 2cos2sin
2
xy
yx
uv

Bình phương cả 2 vế của hai phương trình này, sau đó cộng các vế lại ta sẽ được:

+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ατ−α
σ−σ
=τ+
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
σ+σ
−σ
2
xy
yx
2
uv
2
yx
u
2sin2co
22


2
xy
yx
2cos2sin
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
ατ+α
σ−σ
+

Sau khi thu gọn ta được:

2
xy
2
yx
2
uv
2
yx
u
22
τ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ−σ
=τ+
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ+σ
−σ (3-9)
Trong hình học giải tích ta đã biết phương trình chính tắc của đường tròn bán kính
R: (x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
; (a,b) tọa độ tâm vòng tròn đó.
Nếu lập hệ trục mà trục hoành là σ
u
và trục tung τ
uv
thì (3-9) chính là phương trình
của một vòng tròn trong đó: σ
u
, τ
uv
- Tọa độ của những điểm trên vòng tròn.

54

⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ+σ
0,
2
yx
- Tọa độ của tâm vòng tròn.

2
xy
2
yx
2
τ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ−σ
- Bán kính của vòng tròn.
Ta có thể kết luận: Sự liên hệ giữa ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt bất

kỳ có thể biểu diễn bằng một vòng tròn là vòng tròn ứng suất (hay vòng Mohr).
Cách dựng vòng Mohr như sau:
Xét một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, trong đó phương Oz là một phương
chính không có ứng suất, còn hai phương Ox, Oy là bất kỳ và giả sử đã biết các ứng suất
σ
x
, σ
y
, τ
xy
= -τ
yx
, với giả thiết σ
x
> σ
y
> 0; τ
xy
> 0.
Ta lập hệ trục tọa độ (theo một tỉ lệ nhất định ,vị dụ 1cm ứng với 1KN/cm
2
).
* Trục hoành song song với Ox, biểu diễn ứng suất pháp.
* Trục tung song song với Oy, biểu diễn ứng suất tiếp.
Xác định tâm C của vòng Mohr: Trên trục hoành lấy các đoạn
xy
OB;OA
σ=σ= .
Điểm chính giữa C của AB chính là tâm vòng Mohr, vì:
22

OBOA
OC
xy
σ+σ
=
+
=
* Tìm bán kính vòng Mohr:
Ứng với điểm A ta lấy D có tung độ
xy
AD
τ= nằm về phía dương của trục tung
(vì giả thuyết τ
xy
> 0). CD chính là bán kính của vòng Mohr, vì:
222
ADACCD += =
2
xy
2
yx
2
τ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
σ−σ

Với tâm C và bán kính CD ta lập được vòng Mohr.
D (σ
y
, τ
xy
): Gọi là điểm cực của của vòng Mohr có tâm C và bán kính CD.Ta hoàn
toàn có thể vẽ vòng tròn Mohr ứng suất (hình 3.9).
y
Hình 3.8:Phân tố
ứng suất phẳng
x
σ
x
σ
x
σ
y
σ
y
τ
xy
τ
xy
τ
yx
τ
yx

τ
uv
σ
u
τ
xy
O A
C

B

D
σ
y
2
yx
σσ
+
σ
x
Hình 3.9: Vẽ vòng
tròn Mohr

55
Chúng ta chú ý đến điểm M
o
(σ
x
, τ
xy

), hình 3.11, tức là tọa độ của nó thể hiện ứng
xuất pháp σ
x
, ứng suất tiếp τ
xy
trên mặt chuẩn có pháp tuyến x, nên điểm M
o
gọi là điểm
gốc của vòng tròn ứng suất,
MO
cũng là bán kính của vòng Mohr.
Bây giờ ta hãy chứng minh tính chất sau:
- Nếu lấy một điểm M thuộc vòng Mohr và kí hiệu góc giữa các bán kính CM và
CM
o
là 2α, thì tọa độ điểm M đó sẽ là σ
u
, τ
uv
trên mặt cắt có pháp tuyến u xiên góc α với
trục x (xem hình 3.11).
Theo hình ta tính được:
)2cos(CMOCCTOCOT α+γ+=+=

=
αγ−αγ+ 2sin.sinCM2cos.cosCMOC
Vì
2
CBcosCMcosCM
yx

0
σ−σ
==γ=γ
Và
xy00
BMsinCMsinCM τ==γ=γ

ατ−α
σ−σ
+
σ+σ
= 2sin2cos
22
OT
xy
yxyx

So sánh với (3-2) =>
u
OT σ=

Tương tự
uv
TM τ=

Nối DM =>
0
MDM
=
α

=> DM // u
* Chú ý: a) Khi biểu diễn các giá trị
σ
x
,
σ
y
,
τ
xy
trong hệ trục (
σ
,
τ
) cần lưu ý dấu.
b)
α
> o, khi quay ngược chiều kim đồng hồ kể từ trục x.
Ví dụ:
Tính ứng suất trên mặt cắt có pháp tuyến u nghiêng một góc
α
= 30
0
so với
trục x.
* Tính theo phương pháp đồ thị:
Lập hệ trục
σ
// x;
τ

// y, chọn tỉ xích 5mm =1KN/cm
2
.
y
Hình 3.10: Ứng
suất trên mặt cắt
xiên
x
τ
yx
τ
yx
τ
xy
τ
xy
σ
y
σ
y
σ
x
σ
x
σ
u
τ
uv
α


O
u
τ
uv
α
2α

γ

O
A
C T B
σ
u
σ
x
τ
xy
τ
xy
D
M
M
O
Hình 3.11: Cách dựng
vòng tròn ứng suất
σ
y

56

Trên trục
σ
lấy
8OB;4OA
xy
=σ==σ=
.
Trung điểm C của AB là tâm vòng Mohr. Cực D (4,2), CD là bán kính vòng Mohr
ứng với phân tố đã cho. Từ D kẻ đường thẳng song song với u cắt vòng Mohr tại M. Đo
tọa độ , ta nhận được:
σ
u
= x
(
M)
= 5,3 k/cm
2
;
τ
uv
- y
(
M
)
== 2,7k/cm
2

* Tính theo phương pháp giải tích:
200
u

cmKN268,560sin260cos
2
48
2
48
=−
−
+
+
=σ

200
uv
cmkN732,260s0c260sin
2
48
=+
−
=τ


* Ứng dụng chủ yếu của vòng Mohr là để xác định phương chính và ứng suất
chính.
Ta biết rằng mặt chính là mặt không có ứng suất tiếp. Do đó để xác định phương
chính ta chỉ việc tìm trên vòng tròn Mohr những điểm có tung độ bằng không. Đó là hai
điểm M
1
, M
2
, các phương này hợp với phương ngang những góc

α
1
và
α
2
. Ở đây ta qui
ước chiều dương của các góc
α
là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. Giá trị
của các ứng suất chính có thể đo trực tiếp trên các trục (
σ
,
τ
).
Đó là các đoạn
1
OM và
2
OM ;
max1
OM σ=
;
min2
OM σ= , (xem hình 3.15)
Nhờ vòng Mohr ta có thể rút ra công thức tính ứng suất chính:
2
xy
2
yxyx
2min

22
CMOC
τ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ−σ
−
σ+σ
=−=σ

2
xy
2
yxyx
1max
22
CMOC
τ+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
σ−σ
+
σ+σ
=+=σ

τ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
cm
KN

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
cm
kN
σ
4
5,3

8
2,7
2
M
2
C
B
M
1
M
D
30
0
Hình 3.13: Cách tìm ứng
suất trên mặt xiên bằng
vòng Mohr
O
Hình 3.12: Xác
định ứng suất
tạimặtxiên
y
30
0
4
2
8
τ
uv
u
x

O
A