Giáo Viên Toán _Trường THPT Tuy Phong

HÌNH HOÏC 10

CHƯƠNG I

VECTƠ



LỜI NÓI ĐẦU

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 10.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục
và Đào tạo quy định.
Nội dung gồm 3 phần
Phần 1. Kiến thức cần nắm
Phần 2. Dạng bài tập có hướng dẫn giải và bài tập đề nghị
Phần 3. Phần bài tập trắc nghiệm.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh.
Mọi góp ý xin gọi về số 0355334679 – 0916.620.899
Email:
Chân thành cảm ơn.
Lư Sĩ Pháp
Gv_Trường THPT Tuy Phong – Bình Thuận

MỤC LỤC

CHƯƠNG I

VECTƠ

§1. Các định nghĩa ................................................................ 1 – 4
§2. Tổng và hiệu của hai vectơ............................................. 5 – 11
§3. Tích của vectơ với một số ............................................... 12 – 19
§4. Hệ tọa độ .......................................................................... 20 – 26
ÔN TẬP CHƯƠNG I............................................................ 27 – 32


Tài liệu học tập

Toán 10

GV. Lư Sĩ Pháp

CHƯƠNG I. VECTƠ
§1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Khái niệm vectơ
- Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của
đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.
A
B
- Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là AB và đọc là
“vectơ AB”

a
x
- Vectơ cón được kí hiệu là a, b, x, y,... khi không cần chỉ rõ điểm đầu
và điểm cuối của nó.
2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng
- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trung nhau.
- Như vậy, hai vectơ cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng
- Ba điểm A, B và C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương
3. Hai vectơ bằng nhau
- Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của AB được
kí hiệu là AB , như vậy AB = AB
Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Nếu hai vectơ a và b
bằng nhau thì ta viết a = b
- Khi cho trước một vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho OA = a
4. Vectơ - không
- Vectơ có điểm dầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ_không, kí hiệu 0 , nghĩa là
-

0 = AA = BB = MM = ... với mọi điểm A, B, M,… và AA = 0 = 0
-

Vectơ_không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ

B. BÀI TẬP
Bài 1.1. Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Có hay không một vectơ cùng phương với hai vectơ
đó?
HD Giải
Có. Đó là vectơ_không

Bài 1.2.Cho ba vectơ a, b, c đều khác vectơ không. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Nếu hai vectơ a và b cùng phương với c thì a và b cùng phương
b) Nếu a và b cùng ngược hướng với c thì a và b cùng hướng.
HD Giải
a) Đúng
b) Đúng
Bài 1.3. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) AC và BC cùng hướng
b) AC và AB cùng hướng
c) AB và BC ngược hướng

d) AB = BC

e) AC = BC

f) AB = 2 BC

HD Giải
a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

e) Đúng

f) Đúng


Bài 1.4.Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi AB = DC
HD Giải
Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB =
DC và hai vectơ AB và DC cùng hướng. Vậy
Chương I. Vectơ

1

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập

Toán 10

GV. Lư Sĩ Pháp

AB = DC
Ngược lại, nếu AB = DC thì AB = DC, AB//DC.
Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành

B

C

A
Bài 1.5.Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.
a) Hãy tìm các vectơ khác 0 và cùng phương với OA
b) Hãy tìm các vectơ bằng vectơ AB
HD Giải

a) Các vectơ vectơ khác 0 và cùng phương với
OA là DA, AD, BC , CB, AO, OD, DO, EF , FE
b) Các vectơ bằng vectơ AB : OC, ED, FO

D

C

B

A

D

O
F

E

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.6. Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có
a) Các điểm đầu là B, F, C
b) Các điểm cuối là F, D, C
Bài 1.7. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC. Hãy xác định
các vectơ cùng hướng với các vectơ BP, PN
Bài 1.8. Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu điểm cuối là các đỉnh của tam
giác ABC
Bài 1.9. Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH. Các câu sau đây đúng hay sai?
a) AB = AC


b) AB = AC

c) AB = CA

d) HC = BH

Bài 1.10. Cho từ giác ABCD. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD và DA.
Chứng minh rằng NP = MQ và PQ = NM
Bài 1.11. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB = DC thì AD = BC

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là AB = AC.
B. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB cùng phương với AC.
C. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB.
D. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB.
Câu 2. Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD = 60° . Đẳng thức nào dưới đây đúng?
A. BD = AC.

B. BC = DA.

C. AB = AD.

D. BD = a.

Câu 3. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ bằng OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh
của lục giác là
A. 6.
B. 3.
C. 4.

D. 2.
Câu 4. Cho AB ≠ 0 và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB = CD ?
A. Vô số.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
Câu 5. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Hỏi cặp vectơ
nào dưới đây cùng hướng?

Chương I. Vectơ

2

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập

Toán 10

GV. Lư Sĩ Pháp

A. MA và MB.
B. AN và CA.
C. MN và CB.
D. AB và MB.
Câu 6. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
B. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
C. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.

D. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
Câu 7. Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. HA = CD và AD = HC và OB = OD .

B. HA = CD và AD = CH .

C. HA = CD và AD = HC .

D. HA = CD và AC = CH .

Câu 8. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ - không, cùng phương với OC có
điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
A. 9.
B. 4.
C. 6.
D. 7.
Câu 9. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Gọi M là trung điểm BC . Khẳng định nào dưới đây đúng?
a 3
a 3
B. AM =
.
.
2
2
Câu 10. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. AM =

C. AM = a.


D. MB = MC.

A. AA = 0.

B. 0 cùng hướng với mọi vectơ.

C. AB > 0.

D. 0 cùng phương với mọi vectơ.

Câu 11. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC , CD, DA. Khẳng
định nào dưới đây sai?
A. MN = AC .

C. QP = MN .

B. MN = QP.

D. MQ = NP.

Câu 12. Với DE (khác vectơ - không) thì độ dài đoạn ED được gọi là
A. Giá của ED.
B. Độ dài của ED.
C. Phương của ED.
Câu 13. Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là
A. ED.

B. DE.


C. DE .

D. Hướng của ED.
D. DE .

Câu 14. Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của
tứ giác?
A. 4.
B. 6.
C. 8.
D. 12.
Câu 15. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào dưới đây sai?
A. AB = ED.

C. OD = BC.

B. AB = AF .

D. OB = OE.

Câu 16. Cho bốn điểm phân biệt A, B, C , D. Điều kiện nào trong các đáp án A, B, C, D sau đây là điều
kiện cần và đủ để AB = CD ?
A. ABCD là hình bình hành.
C. AC = BD.

B. ABDC là hình bình hành.
D. AB = CD.

Câu 17. Cho bốn điểm phân biệt A, B, C , D thỏa mãn AB = CD . Khẳng định nào dưới đây sai?
A. ABCD là hình bình hành.


B. AB cùng hướng CD.

C. AB cùng phương CD.

D. AB = CD .

Câu 18. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. OA = OC.

B. OB và OD cùng hướng.

C. AC và BD cùng hướng.

D. AC = BD .

Chương I. Vectơ

3

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập

Toán 10

GV. Lư Sĩ Pháp

Câu 19. Cho tam giác ABC . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các

đỉnh A, B, C ?
A. 4.
B. 9.
C. 3.
D. 6.
Câu 20. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Đẳng thức nào
dưới đây đúng?
A. BC = 2 MN .

B. MA = MB.

C. AB = AC.

D. MN = BC.

Câu 21. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. AC = BD.

B. AB = CD.

C. AB = BC .

D. Hai vectơ AB, AC cùng hướng.

Câu 22. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
Câu 23. Cho AB ≠ 0 và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB = CD ?

A. Vô số.
B. 2.
C. 0.
D. 1.
Câu 24. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào dưới đây
sai?
A. CB = DA.
B. OB = DO.
C. OA = OC.
D. AB = DC.

ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Chương I. Vectơ

4

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập

Toán 10

GV. Lư Sĩ Pháp

§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Tổng của hai vectơ

- Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ AB = a và BC = b . Vectơ AC được gọi là tổng
của hai vectơ a và b . Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b là a + b . Vậy AC = a + b
- Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép công vectơ.
B
b
a

a
b

A

a

C

+ b

2. Các quy tắc cần nhớ
a. Quy tắc ba điểm
Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta luôn có AB + BC = AC
b. Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có: AB + AD = AC
B

C

A
D


3. Tính chất của phép cộng các vectơ
Với ba vectơ a, b, c tuỳ ý, ta có
a) a + b = b + a ( Tính chất giao hoán)
b) (a + b) + c = a + (b + c) (Tính chất kết hợp)
c) a + 0 = 0 + a = a (Tính chất của vectơ_không)
4. Hiệu của hai vectơ
a) Vectơ đối
- Nếu tổng của hai vectơ a và b là vectơ_không, thì ta nói a là vectơ đối của vectơ b , hoặc vectơ
b là vectơ đối của vectơ a .
- Vectơ đối của vectơ a kí hiệu là - a . Như vậy: a + (- a ) = (- a ) + a = 0
- Nhận xét: Vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng với vectơ a và có cùng độ dài với a .
- Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 l2 vectơ 0
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ
- Cho hai vectơ a và b . Ta gọi hiệu của hai vectơ a và b là vectơ a + (- b ). Kí hiệu a - b . Như

( )

vậy a − b = a + −b
5.
-

Qui tắc về hiệu của vectơ: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: AB = OB − OA
Áp dụng
Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = 0
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0

B. BÀI TẬP

Bài 2.1.Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D, ta có AC + BD = AD + BC
HD Giải

Ta dùng qui tắc ba điểm, ta có AC = AD + DC
Khi đó vt = AC + BD = AD + DC + BD = AD + BD + DC = AD + BC = vp (đpcm)
Bài 2.2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tuỳ ý. Chứng minh rằng MA + MC = MB + MD
Chương I. Vectơ

5

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập

Toán 10
HD Giải

Ta sử dụng quy tắc ba điểm
vt = MA + MC = MB + BA + MD + DC

(

)

GV. Lư Sĩ Pháp
B

(

= MB + MD + BA + DC = MB + MD + BA + AB

C


)

, vì ABCD là hình bình hành
A
= MB + MD + BB = MB + MD + 0 = vp
Bài 2.3 Chứng minh rằng đối với từ giác ABCD bất kì, ta luôn có
a) AB + BC + CD + DA = 0
b) AB + CD = CB + AD
HD Giải
a) vt = AB + BC + CD + DA = AC + CA = AA = 0 = vp (đpcm)

D

b) AB − AD = CB − CD ⇔ DB = DB (luôn đúng; áp dụng qui tắc ba điểm trừ)
Bài 2.4.Cho bốn điểm A, B, C, D và E. Chứng minh rằng AC + DE − DC − CE + CB = AB
HD Giải
Ta có vt = AC + DE − DC − CE + CB = AC + CB + DE − DC + CE = AB + DE − DE = AB = vp (đpcm)

(

)

Bài 2.5.Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng
a) CO − OB = BA
b) AB − BC = DB
c) DA − DB = OD − OC
d) DA − DB + DC = O
e) OA + OB + OC + OD = O
HD Giải

a) Ta có CO = OA (Vì O là trung điểm của AC)
B
C
nên vt = CO − OB = OA − OB = BA = vp
b) Vì ABCD là hình bình hành, nên ta có
BC = AD . Do đó vt = AB − AD = DB = vp
O
c), d), e) học sinh tự chứng minh.

A

D

Bài 2.6. Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
HD Giải
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Ta có
AB = CD ⇔ AI + IJ + JB = CJ + JI + ID

(

)

(

)

⇔ AI − ID + IJ = CJ − JB + JI ⇔ IJ = JI ⇔ IJ = 0 ⇔ I ≡ J

Bài 2.7. Cho hình vuông ABCD cạnh a, có tâm O.
Hãy tính OA − CB ; AB + CD ; CD − DA


HD Giải
Ta có AC = BD = a 2 ,
OA − CB = CO − CB = BO . Do đó
a 2
OA − CB = BO =
2
AB + CD = AB + CD = 2a ( Vì AB và DC là

A

B
O

hai vectơ cùng hướng)
Ta có CD − DA = CD − CB = BD = a 2 ( Vì

C

D

DA = CB )

Bài 2.8.Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tìm:
a) AB + AC = ?

b) AB − AC = ?

c) AB + BC = ?


d) AB − BC = ?

HD Giải
Chương I. Vectơ

6

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập
Toán 10
Gọi AH là đường cao của tam giác đều ABC. D là đối xứng của A qua B.
Ta có

GV. Lư Sĩ Pháp
D

a) AB + AC = 2 AH = 2 AH = a 3
B

b) AB − AC = CB = CB = a

H

c) AB + BC = AC = AC = a

A

C


d) AB − BC = BD − BC = CD = CD = a 3

Bài 2.9.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu CA + CB = CA − CB thì tam giác ABC vuông tại C.
HD Giải
Vẽ hình bình hành CADB. Ta có CA + CB = CD (qui tắc hbh). Do đó

A

D

CA + CB = CD = CD .
CA − CB = BA = BA . Từ giả thiết CA + CB = CA − CB suy ra CD = AB

Vậy tứ giác CADB là hình chữ nhật. Từ đó ta có tam giác CAB vuông tại
C.

C

B

Bài 2.10.Cho hai lực F1 và F2 có điểm đặt O và tạo với nhau một góc 600. Tìm cường độ tổng hợp lực
của hai lực ấy, biết rằng cường độ của hai lực F1 và F2 đều là 100N.

HD Giải
Ta có F1 + F2 = F = OA . Do đó F1 + F2 = OA = OA
Mặt khác, Vẽ hình thoi OCBA, ta có tam giác OCB đều nên
a 3
và OA = 2OH
OH =

2
Vậy cường độ của hợp lực là 100 3 N.

B

F1
600 F

O

A

H
F2

C

Bài 2.11.Cho ba lực F1 = MA, F2 = MB và F3 = MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng
yên. Cho biết cường độ của F1 và F2 đều là 100N và AMB = 600 . Tìm cường độ và hướng của lực F3

HD Giải
Vật đứng yên do đó F1 + F2 + F3 = 0 . Vẽ hình thoi MAEB, ta có

F1 + F2 = F4 = ME và lực F4 có cường độ là 100 3 N.
Ta có F4 + F3 = 0 , do đó F3 là vectơ đối của F4 .
Như vậy F3 có cường độ là 100 3 N và ngược hướng với F4

F1
F3


M

A
F4

600

H

E

F2

B

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 2.12. Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh AB + BC + CD = AE − DE
Bài 2.13. Cho lục giác đều ABCDEF và M là một điểm tuỳ ý.
Chứng minh rằng MA + MC + ME = MB + MD + MF
Bài 2.14. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC. Chứng
minh rằng với điểm O bất kì, ta có OA + OB + OC = OM + ON + OP
Bài 2.15. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh rằng
a) AB + CD + EF + BC + DE + FA = O
b) OA + OB + OC + OD + OE + OF = O
Bài 2.16. Cho hai lực F1 ; F2 có điểm đặt tại O và tạo với nhau một góc 1200. Tìm cường đô tổng hợp hai

Chương I. Vectơ

7


0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập

Toán 10

GV. Lư Sĩ Pháp

lực ấy, biết rằng hai lực F1 ; F2 có đều cường đô là 100N.
Bài 2.17. Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ và CARS. Chứng
minh rằng: RJ + IQ + PS = 0
Bài 2.18. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F.
Chứng minh rằng: AD + BE + CF = AE + BF + CD = AF + BD + CE
Bài 2.19. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh rằng:
a) AB + CD + EF + BC + DE + FA = O
b) OA + OB + OC + OD + OE + OF = O

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AB − BC = AC.
B. AB − BC = DB.
C. AB − BC = BD.
D. AB − BC = CA.
Câu 2. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. OA + OB + OC + OD = 0.

B. AC = AB + AD.

C. BA + BC = DA + DC .


D. AB + CD = AB + CB.

(

)

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Hỏi vectơ AO − DO bằng
vectơ nào trong các vectơ sau?

A. DC.
B. AC.
C. BA.
D. BC.
Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E , F lần lượt là trung
điểm của AB, BC . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. BE + BF − DO = 0.

B. OC = EB + EO.

C. OA + OC + OD + OE + OF = 0.

D. DO = EB − EO.

Câu 5. Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hai vectơ a , b cùng độ dài.

B. Hai vectơ a , b chung điểm đầu.

C. Hai vectơ a , b cùng phương.


D. Hai vectơ a, b ngược hướng.

Câu 6. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính AB + AC .
a 3
.
2

A. AB + AC = 2a 3.

B. AB + AC =

C. AB + AC = 2a.

D. AB + AC = a 3.

Câu 7. Cho hình thoi ABCD có AC = 2a và BD = a. Tính AC + BD .
A. AC + BD = 5a.

B. AC + BD = a 3.

C. AC + BD = a 5.

D. AC + BD = 3a.

Câu 8. Cho tam giác ABC cân ở A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?
A. BC = 2 HC.

B. HC = − HB.


D. AB = AC.

C. AB = AC .

Câu 9. Cho AB = −CD . Khẳng định nào sau đây đúng?
B. AB + DC = 0.

A. ABCD là hình bình hành.

C. AB và CD cùng hướng.
D. AB và CD cùng độ dài.
Câu 10. Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là:
A. AI = BI .

C. IA = IB.

B. IA = IB.

D. IA = − IB.

Câu 11. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA − MB + MC = 0 . Mệnh đề nào sau đây
sai?
Chương I. Vectơ

8

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập


Toán 10

A. BA + BC = BM .

GV. Lư Sĩ Pháp

B. MA = BC.

C. MABC là hình bình hành.
D. AM + AB = AC.
Câu 12. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?
A. AH + HB = AH + HC .

B. AH − AB = AH − AC.

C. BC − BA = HC − HA.

D. AH = AB − AH .

Câu 13. Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC . Tính CA − HC .
A. CA − HC =

a 7
.
2

a
B. CA − HC = .
2


3a
2 3a
.
D. CA − HC =
.
2
3
Câu 14. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Mệnh đề nào sau đây
đúng?
C. CA − HC =

A. GA + GC + GD = BD.

B. GA + GC + GD = CD.

C. GA + GC + GD = O.

D. GA + GD + GC = CD.

Câu 15. Cho tam giác ABC. Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng thức MB − MC = BM − BA là
A. đường thẳng qua A và song song với BC.
C. trung trực đoạn BC.

B. đường thẳng AB.
D. đường tròn tâm A, bán kính BC.

Câu 16. Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AM + MB + BA = 0.


B. MA + MB = AB.

C. MA + MB = MC.
D. AB + AC = AM .
Câu 17. Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AB − BC = CA.
B. CA − BA = BC.
C. AB + AC = BC.
D. AB + CA = CB.
Câu 18. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB ?
A. IA = IB.
B. IA = IB.
C. IA + IB = 0.
Câu 19. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng?

D. IA − IB = 0.

A. AB + AC = BC.
B. MP + NM = NP.
C. CA + BA = CB.
Câu 20. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Mệnh đề nào sau đây đúng?

D. AA + BB = AB.

A. AB = BC = CA.

B. CA = − AB.

C. AB = BC = CA = a.


D. CA = − BC.

Câu 21. Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB − AD = AB + AD .

B. BC + BD = AC − AB .

C. AC = BD.

D. AB + AC + AD = 0.

Câu 22. Tam giác ABC có AB = AC = a và BAC = 120° . Tính AB + AC .

a
A. AB + AC = .
2

B. AB + AC = 2a.

C. AB + AC = a 3.

D. AB + AC = a.

Câu 23. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng CA ?
A. DC − CB.
B. −OA + OC.
C. BA + DA.
Câu 24. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. OA + OC + OE = 0.


B. OA + OC + OB = EB.

C. AB + CD + EF = 0.

D. BC + EF = AD.

Chương I. Vectơ

9

D. BC + AB.

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập

Toán 10
GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 25. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT , MT ′ ( T và T ′ là hai tiếp điểm). Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. OT = −OT ′.
B. MT = MT ′.
C. MT + MT ′ = TT ′.
Câu 26. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Mệnh đề nào sau đây đúng?

D. MT = MT ′.

A. AB − CA = BC.


B. AB + BC = AC .

C. AB + BC + CA = 0.

D. AB = BC ⇔ CA = BC .

Câu 27. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với ( O ) tại hai điểm A và B.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. OA = −OB.

B. AB = −OB.

C. OA = −OB.

D. AB = − BA.

Câu 28. Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Tính OB − OC .
A. OB − OC = AB.

B. OB − OC = BC.

C. OB − OC = DA.

D. OB − OC = OD − OA.

Câu 29. Tính tổng MN + PQ + RN + NP + QR .
A. MP.
B. MN .
Câu 30. Mệnh đề nào sau đây sai?


C. PR.

D. MR.

A. Nếu ba điểm phân biệt A, B, C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì AB + BC = AC .
B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0.
C. Nếu ABCD là hình bình hành thì CB + CD = CA.
D. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0.
Câu 31. Cho tam giác ABC với M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB . Khẳng định nào sau
đây sai?
A. MN + NP + PM = 0.

B. PB + MC = MP.

C. AB + BC + CA = 0.

D. AP + BM + CN = 0.

Câu 32. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB − DA .
A. AB − DA = a 2.

B. AB − DA = 2a.

C. AB − DA = 0.

D. AB − DA = a.

Câu 33. Cho tam giác ABC vuông cân tại C và AB = 2. Tính độ dài của AB + AC.
A. AB + AC = 5.


B. AB + AC = 2 5.

C. AB + AC = 3.

D. AB + AC = 2 3.

Câu 34. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA + MB + MC = 0 . Xác định vị trí điểm M .
A. M trùng với C.
B. M là trọng tâm tam giác ABC .
C. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM .
D. M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Câu 35. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = 3, AC = 4 . Tính CA + AB .
A. CA + AB = 13.

B. CA + AB = 2 13.

C. CA + AB = 5.

D. CA + AB = 2.

Câu 36. Cho bốn điểm phân biệt A, B, C , D. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AB + AD = CD + CB.

B. AB + BC + CD = DA.

C. AB + BC = CD + DA.
D. AB + CD = AD + CB.
Câu 37. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AD = CB .


Chương I. Vectơ

B. AB = CD.

C. AC = BD.
10

D. AB = BC.

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập

Toán 10

GV. Lư Sĩ Pháp

Câu 38. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O. Tính OB + OC .
a 2
B. OB + OC = a 2.
.
2
a
C. OB + OC = .
D. OB + OC = a.
2
Câu 39. Cho tam giác ABC có AB = AC và đường cao AH . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. OB + OC =


A. HB + HC = 0.

B. AB = AC.

C. AB + AC = AH .
D. HA + HB + HC = 0.
Câu 40. Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng thức
MA + MB − MC = MD là
A. tập rỗng.
B. một đoạn thẳng.
C. một đường tròn.
D. một đường thẳng.
Câu 41. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a . Tính AB + AC .
a 2
.
2

A. AB + AC = a 2.

B. AB + AC =

C. AB + AC = 2a.

D. AB + AC = a.

Câu 42. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. BC − BA = DC − DA.

B. OA − OB = CD.


C. OB − OC = OD − OA.

D. AB − AD = DB.

Câu 43. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MB + MC = AB . Tìm vị trí điểm M .
A. M là trung điểm của AC .
B. M là trung điểm của AB.
C. M là trung điểm của BC.
D. M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM .
Câu 44. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA của tam giác ABC. Hỏi vectơ

MP + NP bằng vectơ nào trong các vectơ sau?
A. AP.
B. BP.
C. MN .
D. MB + NB.
Câu 45. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12. Tính độ dài của vectơ
v = GB + GC .
A. v = 4.
B. v = 2.
C. v = 2 3.
D. v = 8.

ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Chương I. Vectơ


11

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập

Toán 10

GV. Lư Sĩ Pháp

§3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
- Cho số k ≠ 0 và vectơ a . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu k. a , được xác định như
sau:
+ Nếu k ≥ 0 thì vectơ k. a cùng hướng với vectơ a
+ Nếu k < 0 thì vectơ k. a ngược hướng với vectơ a
+ Độ dài của vectơ k. a bằng k . a
- Phép lấy tích của vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với số(hoặc phép nhân số với vectơ)
- Ta qui ước 0.a = 0, k .0 = 0
2. Tính chất của phép nhân vectơ với một số
Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số thực h và k, ta có

(

)
iii) h ( k a ) = ( hk ) a


ii) ( h + k ) a = ha + ka

i) k a + b = k a + kb
3.
4.
5.

iv) 1.a = a, (−1)a = − a

Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Nếu I là trung điểm của AB thì với mọi điểm M, ta có MA + MB = 2 MI
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M, ta có MA + MB + MC = 3MG
Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Điều kiện cần và đủ để hai vecrtơ a và b ( b ≠ 0 ) cùng phương là có một số k để a = k .b
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để AB = k AC
Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy
nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho x = ha + kb

B. BÀI TẬP
Bài 3.1.Cho hình bình hành ABCD.Chứng minh rằng AB + AC + AD = 2 AC
HD Giải
Theo quy tắc hình bình hành ta có
B
AB + AD = AC . Do đó

(

)


vt = AB + AD + AC = AC + AC = 2 AC = vp

A

C

D

Bài 3.2.Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:
2MN = AC + BD = BC + AD
HD Giải
Ta có
B
C
MN = MA + AC + CN
M
+
N
MN = MB + BD + DN
A
D
2 MN = AC + BD
Phần còn lại chứng minh tương tự
Bài 3.3.Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng
a) GA + GB + GC = 0
b) MA + MB + MC = 3MG , với mọi M
HD Giải
a) Trọng tâm G nằm trên đường trung tuyến CM và GC = 2GM. Để tính tổng GA + GB , ta dựng hình
bình hành AGBC’. Muốn vậy, ta lấy điểm C’ sao cho M là trung điểm của GC’.
Khi đó GA + GB = GC ' = CG . Do đó GA + GB + GC = CG + GC = CC = 0


(

)

b)vt = MG + GA + MG + GB + MG + GC = GA + GB + GC + 3MG = 3MG = vp

Chương I. Vectơ

12

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập

Toán 10

GV. Lư Sĩ Pháp

(vì GA + GB + GC = 0 chứng minh trên)
A
C'

G
C

B

Bài 3.4.Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’. Chứng minh rằng :

3GG ' = AA ' + BB ' + CC '
HD Giải
Ta có
AA ' = AG + GG ' + G ' A '

+ BB ' = BG + GG ' + G ' B '
CC ' = CG + GG ' + G ' C '
AA ' + BB ' + CC ' = 3GG '
Vì G là trọng tậm của tamgiác ABC nên GA + GB + GC = 0 và G’ là trọng tậm của tam giác A’B’C’ nên
G ' A ' + G ' B ' + G 'C ' = 0 .
Bài 3.5. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M bất kì, ta luôn có
MA + MB + MC + MD = 4 MO
HD Giải
Ta có MA + MC = 2 MO (Vì O là trung điểm AC)
B
C
Và MB + MD = 2 MO (Vì O là trung điểm của BD)
O
Vậy MA + MB + MC + MD = 4 MO
A
D

Bài 3.6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tậm của tam giác, D là điểm đối xứng
của A qua O.
a) Chứng minh rằng tứ giác HCDB là hình bình hành
b) Chứng minh:
i) HA + HD = 2 HO ;
ii) HA + HB + HC = 2 HO ; iii) OA + OB + OC = OH
c) Glà trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh: OH = 3OG . Từ đó có kết luân gì về ba điểm O, H, G ?
HD Giải

a) Vì AD là đường kính của đường tròn tâm O nên BD ⊥ AB, DC ⊥ AC . Ta
A
có BH ⊥ AC , CH ⊥ AB nên suy ra CH // BD và BH //DC. Vậy tứ giác HBDC
là hình bình hành.
b) Vì O là trung điểm của AD nên có HA + HD = 2 HO (1)
Vì HBDC là hình bình hành nên ta có HB + HC = HD . Vậy (1) suy ra
O
HA + HB + HC = 2 HO (2)
H
Theo qui tắc ba điểm, ta có OA + OB + OC = OH (3)
c) G là trọng tâm của tam giác ABC,ta có OA + OB + OC = 3OG
B
C
Từ (3), suy ra OH = 3OG . Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.
D
Bài 3.7.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm của BC). Phân tích vectơ AM theo hai
vectơ AB và AC .
HD Giải

Chương I. Vectơ

13

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập
Gọi N, P lần lượt là trung điềm của AB và AC.

Toán 10


GV. Lư Sĩ Pháp
A

1
1
Ta có tứ giác ANMP là hình bình hành nên AM = AN + AP = AB + AC
2
2
Ta có thể chứng minh cách khác
1
1
Ta có M là trung điểm của BC nên 2 AM = AB + AC ⇒ AM = AB + AC
2
2

P

N

B

C

M

Bài 3.8.Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2
NC. Gọi K là trung điểm của MN. Phân tích vectơ AK theo hai vectơ AB và AC .
HD Giải
Ta có K là trung điểm của MN, nên

A
1
11
2
1
 1
AK = AM + AN =  AB + AC  = AB + AC
2
3
2 2
3
M
 4

(

)

N

K
C

B

Bài 3.9. Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm K sao cho KA + 2 KB = CB

b) Tìm điểm M sao cho MA + MB + 2 MC = O
HD Giải


a ) KA + 2 KB = CB ⇔ KA + 2 KB = KB − KC

A

⇔ KA + KB + KC = 0
⇔ K là trọng tâm của tam giác ABC
I
b) MA + MB + 2 MC = O ⇔ 2 MI + 2 MC = O (I là
K
M
trung điểm của AB)
C
B
Hay MI + MC = O ⇔ M là trung điểm của IC
Bài 3.10.Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và điểm M một điểm tuỳ ý trong tam giác. Gọi D, E, F
3
lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB.Chứng minh rằng: MD + ME + MF = MO
2
HD Giải
Qua M kẻ các đường thẳng
A
K1 K 4 / / AB; K 2 K 5 / / AC , K 3 K 6 / / BC
( K1 , K 2 ∈ BC , K 3 , K 4 ∈ AC , K 5 , K 6 ∈ AB)
Ta có
1
MD + ME + MF = MK1 + MK 2 + MK 3 + MK 4 + MK 5 + MK 6
2
1
= MA + MB + MC (1)

2
(Vì MK 5 AK 4 , MK 3CK 2 , MK1 BK 6 , là các hình bình hành)

(

(
)

K5

F
K6

)

M

K4
E
K3

O
B

K1

D

K2


Mặt khác, O là trọng tâm của tam giác ABC, nên MA + MB + MC = 3MO
1
3
Từ (1) suy ra MD + ME + MF = .3OM = OM
2
2

Chương I. Vectơ

14

0916 620 899 – 0355 334 679

C


Tài liệu học tập

Toán 10

GV. Lư Sĩ Pháp

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 3.11. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho OA + 2OB − 3OC = 0 . Chứng minh rằng ba điểm A, B, C
thẳng hàng
Bài 3.12. Cho tam giác ABC và hai điểm I, J thoả IA + 3IC = 0 và JA + 2 JB + 3 JC = 0 . Chứng minh rằng
ba điểm I, J, B thẳng hàng..
Bài 3.13. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và hai điểm M, N thoả 3MA + 4 MB = 0 và NB − 3 NC = 0 .
Chứng minh rằng ba điểm M, N, G thẳng hàng.
Bài 3.14. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và hai điểm M, N thoả MA − 2 MB = 0 và 3 NA + 2 NC = 0

a) Xác định hai điểm M, N
b) Tính vectơ MN theo hai vectơ AB và AC
c) Tính vectơ MG theo hai vectơ AB và AC . Suy ra ba điểm M, N, G thẳng hàng
Bài 3.15. Cho tam giác ABC. Gọi K điểm đối xứng của trọng tâm G qua B
a) Chứng minh rằng KA − 5 KB + KC = O
b) Tính vectơ AB và AC theo hai vectơ AG và AK
Bài 3.16. Cho tam giác ABC. Gọi P là trung điểm của AB và Q là một điểm trên cạnh AC sao cho QC =
2QA. Gọi K là trung điểm của PQ, D là trung điểm BC. Chứng minh rằng
1
1
1
1
b) KD = AB + AC
a) AK = AB + AC
4
6
4
3
Bài 3.17. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4, BC = 3. Gọi M, K lần lượt là trung điểm của BC, CD.
a) Tính AM và AK theo hai vectơ AB và AD

b) Tính : AM + AK

Bài 3.18. Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A.Chứng minh rằng
a) CC ' = BB ' + DD '
b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm
Bài 3.19. Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm thoả mãn điều kiện: IA + 2 IB + 3IC = 0
a) Chứng minh rằng I là trọng tâm của tam giác BCD, với D là trung điểm của cạnh AC
b) Biểu thị vectơ AI theo hai vectơ AB và AC
Bài 3.20. Cho tam giác ABC. Gọi M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh rằng

1
2
AM = AB + AC
3
3
Bài 3.21. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC và AB.chứng minh
rằng AM + BN + CP = 0
Bài 3.22. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, BC và CA. Chứng minh rằng GN + GN + GP = 0
Bài 3.23. Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thoả mãn điểu kiện: MA − MB − MC = O

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA = MB + MC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. A, M và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng.
B. AM + BC = 0.
C. Ba điểm C , M , B thẳng hàng.
D. AM là phân giác trong của góc BAC.
Câu 2. Cho tam giác ABC , điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3 AM = AB và N là trung điểm của AC.
Tính MN theo AB và AC.

Chương I. Vectơ

15

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập

Toán 10


GV. Lư Sĩ Pháp

1
1
1
1
AC − AB.
B. MN = AC + AB.
2
3
2
3
1
1
1
1
C. MN = AC − AB.
D. MN = AB + AC.
2
3
2
3
Câu 3. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC. Đẳng thức nào sau đây đúng ?
1
A. GB + GC = 2 GI .
B. GB + GC = GA.
C. GA = 2 GI .
D. IG = − IA.
3

Câu 4. Cho tam giác ABC . Hai điểm M , N chia cạnh BC theo ba phần bằng nhau BM = MN = NC .
A. MN =

Tính AM theo AB và AC.
1
2
A. AM = AB − AC.
3
3
2
1
C. AM = AB − AC.
3
3

1
2
AB + AC.
3
3
2
1
D. AM = AB + AC.
3
3
B. AM =

Câu 5. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM và BC.
1
1

A. AB = AM + BC.
B. AB = BC + AM .
2
2
1
1
C. AB = AM − BC.
D. AB = BC − AM .
2
2
Câu 6. Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo. Tập hợp các điểm M thỏa mãn
MA + MB = MC + MD là
A. trung trực của đoạn thẳng AB.
B. trung trực của đoạn thẳng AD.
AC
AB + BC
C. đường tròn tâm I , bán kính
.
D. đường tròn tâm I , bán kính
.
2
2
Câu 7. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Đặt GA = a, GB = b . Hãy tìm m, n để có BC = ma + nb.
A. m = 1, n = 2.

B. m = −1, n = −2.

C. m = 2, n = 1.

D. m = −2, n = −1.


Câu 8. Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Mệnh đề nào sau đây sai ?
B. AB + AD = 2 AO.

A. AC + DB = 2 AB.

1
1
C. AD + DO = − CA.
D. OA + OB = CB.
2
2
Câu 9. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm M thỏa
mãn đẳng thức MA + MB = MA − MB là

AB
.
2
D. đường trung trực của đoạn thẳng AB.

A. đường trung trực đoạn thẳng IA.

B. đường tròn tâm I , đường kính

C. đường tròn đường kính AB.

Câu 10. Cho tam giác đều ABC và điểm I thỏa mãn IA = 2IB. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. CI =

CA + 2 CB

.
−3

B. CI =

CA + 2 CB
.
3

C. CI = − CA + 2 CB.

D. CI =

CA − 2 CB
.
3

Câu 11. Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k > 0. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
MA + MB + MC + MD = k là
A. một điểm.
B. một đoạn thẳng.
C. một đường thẳng.
D. một đường tròn.
Câu 12. Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M , N sao cho 3 AM = 2 AB và
3 DN = 2 DC. Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC.

Chương I. Vectơ

16


0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập

Toán 10

GV. Lư Sĩ Pháp

1
1
1
2
AD + BC.
B. MN = AD − BC.
3
3
3
3
1
2
2
1
C. MN = AD + BC.
D. MN = AD + BC.
3
3
3
3
Câu 13. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A. MN =

A. AC − AD = CD.

B. AC + BD = 2BC.

C. AC + BC = AB.

D. AC − BD = 2 CD.

Câu 14. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , G là trọng tâm của tam giác ABC . Khẳng
định nào sau đây đúng ?
1
2
2
A. AG = AB + AC.
B. AI = AB + 3 AC.
3
2
3
2
1
C. AG = AB + AC .
D. AG = AB + AC .
3
3
Câu 15. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , I là trung điểm của AM . Khẳng định nào
sau đây đúng ?

(


)

(

)

A. IB + 2 IC + IA = 0.
B. IB + IC + 2 IA = 0.
C. 2 IB + IC + IA = 0.
D. IB + IC + IA = 0.
Câu 16. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC , I là trung điểm của AM . Khẳng định nào
sau đây đúng ?
1
1
1
1
A. AI = AB + AC.
B. AI = AB − AC.
4
2
4
2
1
1
C. AI = AB + AC .
D. AI = AB − AC .
4
4
Câu 17. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

2
A. AB + AC + BC = 0.
B. AB + AC = AG.
3

(

)

(

)

C. BA + BC = 3BG.
D. CA + CB = CG.
Câu 18. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. 2MA + MB − 3MC = AC + 2BC.

B. 2MA + MB − 3MC = 2 AC + BC.

C. 2MA + MB − 3MC = 2CA + CB.
D. 2MA + MB − 3MC = 2CB − CA.
Câu 19. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm M
thỏa mãn đẳng thức 2 MA + MB = MA + 2 MB là

A. đường trung trực đoạn thẳng IA.

B. đường tròn tâm A, bán kính AB.

C. đường trung trực của đoạn thẳng AB.


D. đường tròn đường kính AB.

Câu 20. Cho hình bình hành ABCD. Tính AB theo AC và BD.
1
1
1
A. AB = AC − BD.
B. AB = AC − BD.
2
2
2
1
1
1
C. AB = AM − BC.
D. AB = AC + BD.
2
2
2
Câu 21. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
BC
.
2
Câu 22. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng ?
1
1
A. DM = DC − BC.
B. DM = DC + BC.
2

2

A. AM = MB = MC.

Chương I. Vectơ

B. MB = MC.

C. MB = − MC.

17

D. AM =

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập

Toán 10

1
C. DM = CD + BC.
2

GV. Lư Sĩ Pháp

1
D. DM = CD − BC.
2


Câu 23. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2MA + MB = CA. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. M trùng C.
B. M là trọng tâm của tam giác ABC .
C. M trùng A.
D. M trùng B.
Câu 24. Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Ttập hợp các điểm M thỏa mãn
MA + MB = MA + MC là

A. đường trung trực của đoạn BC.
a
C. đường tròn tâm G, bán kính .
3

B. đường tròn đường kính BC.
D. đường trung trực đoạn thẳng AG.

Câu 25. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Tính 2OA − OB .
A. a.

B.

(1 + 2 ) a.

C. a 5.

D. 2a 2.

Câu 26. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho
NC = 2 NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó

1
1
1
1
A. AK = AB − AC.
B. AK = AB − AC.
6
4
4
6
1
1
1
1
C. AK = AB + AC.
D. AK = AB + AC.
4
6
6
4
Câu 27. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và
BC. Khẳng định nào sau đây sai ?
1
A. MN = AD + BC .
B. MN = MD + CN + DC.
2
1
C. MN = AB − MD + BN .
D. MN = AB + DC .
2

Câu 28. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ

(

)

(

)

MA = x MB + y MC. Tính giá trị biểu thức P = x + y.

A. P = 3.

C. P = − 2.

B. P = 2.

D. P = 0.

Câu 29. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
2 MA + 3MB + 4 MC = MB − MA là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a.

a
a
a
a
A. R = .
B. R = .
C. R = .

D. R = .
2
6
3
9
M
AB
Câu 30. Cho tam giác ABC. Gọi
và N lần lượt là trung điểm của
và AC. Khẳng định nào sau
đây sai ?
1
A. CN = − AC.
B. AC = 2 NC.
C. BC = − 2 MN .
D. AB = 2 AM .
2
Câu 31. Cho hình bình hành ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo. Mệnh đề nào sau đây sai ?
A. MA + MB = MC + MD.

B. AB + BC = AC.

C. AB + AD = AC.

D. BA + BC = 2 BM .

Câu 32. Cho tam giác ABC . Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn MA + MB + MC = 3 ?
A. Vô số.

B. 2.


C. 3.

D. 1.

Câu 33. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây sai ?

Chương I. Vectơ

18

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập
A. GB + GC = GM .

Toán 10
B. AB + AC = 3 AG.

GV. Lư Sĩ Pháp

C. GA = BG + CG.

2
D. GA = − AM .
3

Câu 34. Cho tam giác ABC và đặt a = BC , b = AC. Cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
A. 5a + b , − 10 a − 2b .


B. a + b , a − b .

C. 2a + b , a + 2b .

D. 2a − b , a − 2b .

Câu 35. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. 11OA − 6 OB = 5a.

B. 3 OA + 4 OB = 5a.

C. 2 OA + 3 OB = 5a.

D. 7 OA − 2 OB = 5a.

ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Chương I. Vectơ

19

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập


Toán 10

GV. Lư Sĩ Pháp

§4. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Trục và độ dài đại số trên trục
- Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O và một vectơ đơn vi i có
độ dài bằng 1. Điểm O gọi là gốc toạ độ, vectơ i gọi là vectơ đơn vị của trục toạ độ.

→
i
O

( )

x

-

Kí hiệu O, i

-

Ta gọi số k là toạ độ của điểm M trên trục O, i khi OM = ki

-

Cho hai điểm A và B trên trục O, i . Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = ai . Ta gọi số a đó là


-

độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho. Như vậy AB = AB.i và kí hiệu AB = a
Nếu AB cùng hướng với i thì AB = AB , còn nếu AB ngược hướng với i thì AB = − AB
Nếu điểm A(a) và B(b) trên trục O, i thì AB = b − a

2.
-

Hệ trục toạ độ
Hệ trục toạ đô như hình vẽ. Nó bao gồm hai trục toạ đô Ox và Oy vuông góc với nhau
Vectơ đơn vị trên trục Ox là i , vectơ đơn vị trên trục Oy là j
Điểm O gọi là gốc toạ độ. Trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung

-

Hệ trục toạ độ vuông góc cón gọi đơn giản là hệ trục toạ độ và kí hiệu Oxy hay O, i, j

( )

( )

( )

(

)

y


j

i

x

O

3. Toạ độ của vectơ đối hệ trục toạ độ
-

(

)

Đối cới hệ trục toạ độ O, i, j , nếu u = xi + y j thì cặp số ( x; y ) được gọi là toạ độ của vectơ u ,
kí hiệu u = ( x; y ) hay u ( x; y ) . Số thứ nhật x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ

u
Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chi khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
x = x '
Nếu u ( x; y ), v( x '; y ') thì u = v ⇔ 
y = y '
4. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Cho u ( x; y ), v( x '; y ') . Khi đó, ta có

-

i) u + v = ( x + x '; y + y ' ) ; u − v = ( x − x '; y − y ')
ii) k .u = ( kx; ky ) , ∀k ∈ ℝ

iii) Vectơ u cùng phương với vectơ v ≠ 0 khi và chỉ khi có số k sao cho x = kx ', y = ky '
5. Tọa độ của điểm
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, toạ độ của vectơ OM được gọi là toạ độ của điểm M. Như vậy cặp
số (x; y) được gọi là toạ độ của điểm M khi và chỉ khi OM = ( x; y ) và kí hiệu
M = ( x; y ) hay M ( x; y ) . Số x gọi lài hoành độ, y gọi là tung đô của điểm M
- Liên hệ giữa toạ độ điểm và toạ độ của vectơ trong mặt phẳng: Cho hai điểm

Chương I. Vectơ

20

0916 620 899 – 0355 334 679


Tài liệu học tập

Toán 10

GV. Lư Sĩ Pháp

A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) , ta có AB = ( xB − x A ; yB − y A )
6. Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng. Toạ độ trọng tâm cụa tam giác
- Cho đoạn thẳng AB có A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) . Toạ độ trung điểm I ( xI ; yI ) của AB được xác định
x A + xB
y + yB
, yI = A
2
2
Cho tam giác ABC, có A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) và C ( xC ; yC ) . Khi đó toạ độ trọng tậm G ( xG ; yG )


như sau: xI =
-

được xác định như sau: xG =

x A + xB + xC
y + yB + yC
, yG = A
3
3

B. BÀI TẬP
Bài 4.1.Tìm toạ độ của các vectơ sau
a) a = 2i
b) b = −3 j
c) c = 3i − 4 j
1
1
e) e =
j −i
f) f = i − 5 j g) g = 0,15i + 1,3 j
2
3
HD Giải
a) a = (2; 0)
b) b = (0; −3)
c) c = (3; −4)

(


)

d) d = 0, 2i + 3 j
h) h = π i − ( cos 240 ) j

(

d) d = 0, 2; 3

)

Phần còn lại đọc giả làm tương tự

Bài 4.2.Cho các vectơ a = (1; 2), b = (−3;1), c = (−4; −2) . Tìm toạ độ các vectơ sau
1
1
a) u = 2a − 3b + c
b) v = −a + b − c
c) w = 3a + 2b + 4c
3
2
HD Giải
a) u = 2a − 3b + c = 2(1; 2) − 3(−3;1) + (−4; −2) = (7;1)
2

Tương tự ta có b)v =  0; −  , c) w = ( −19; 0 )
3

Bài 4.3. Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxy, cho các điểm A(2; 0), B(0;4), C(1;3).
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

b) Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC
HD Giải
−2 4
a) Ta có AB = (−2; 4) và AC = (−1;3) . Do
≠ nên hai vectơ AB, AC không cùng phương, suy ra A,
−1 3
B, C không thẳng hàng và chúng là ba đỉnh của một tam giác.
x +x +x
y + yB + yC
b) Gọi G ( xG ; yG ) là trọng tâm của tam giác ABC, ta có xG = A B C , yG = A
.
3
3
 7
Vậy G  1; 
 3
Bài 4.4.Cho hình bình hành ABCD có A(-1;-2), B(3;2), C(4;-1). Tìm toạ độ điểm D
HD Giải
Gọi D ( xD ; yD ) . Tứ giác ABCD là hình bình
B
C
hành, nên ta có AB = DC
Ta lại có AB = (4; 4) và DC = (4 − x; −1 − y )
A
D
4 − x = 4
x = 0
Do đó AB = DC ⇔ 
⇔
 −1 − y = 4

 y = −5
Vậy D(0;-5)
Bài 4.5. Cho tam giác ABC. Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(-1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA
và AB. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.
HD Giải

Chương I. Vectơ

21

0916 620 899 – 0355 334 679