sáng kiến kinh nghiệm tìm gtnn, gtln của đa thức p(x) = ax2 + bx + c (a,b,c r, a 0)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (100.67 KB, 10 trang )
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
- Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức là
một dạng toán thường gặp trong quá trình dạy và học toán, đặc biệt là dạy
học bồi dưỡng học sinh giỏi. Dạng toán này còn gặp rất nhiều khó khăn đối
với đa số học sinh, các em còn lúng túng trong quá trình biến đổi biểu thức,
các em còn chưa tổng quát được cách giải các dạng khác nhau. Vì vậy việc
tìm nhiều cách trình bày lời giải trên cơ sở các kiến thức khác nhau. Từ
những nhận xét của mỗi bài giải sẽ giúp chúng ta tổng quát hoá một số dạng
toán cơ bản của việc giải một bài toán cụ thể, từ đó giúp các em dẽ dàng
nhận thấy và có cách thực hiện mỗi bài toán sau này.
- Trong quá trình dạy học theo tôi, người giáo viên cần chú ý đến phân
tích, nhận xét các yếu tố tham gia của bài toán, từ đó tìm ra mối ràng buộc
giữa các yếu tố thành tổng quát lời giải và giúp cá em có thể vận dụng trực
tiếp vào giải khi gặp các dạng toán đã học
- Trên thực tế đó tôi xin đưa ra cách giải tổng quát cho dạng toán tìm
giá trị nhỏ nhất (GTNN) của đa thức dạng P = ax 2 + bx + c (a, b, c
1
∈
R, a >
0) và dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của đa thức dạng Q = ax 2 + bx
+ c (a, b, c ∈ R, a < 0)
II. NỘI DUNG
Dạng toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức P = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R,
a > 0)
A. Từ bài toán cụ thể:
Bài toán 1: Tìm GTNN của A = 2x2 - 8x + 1 (a = 2, b = - 8, c = 1)
1
Ta có: A = 2(x2 - 4x + 2 ) = 2(x2 - 2x.2 + 22 +
1
2
- 22)
7
= 2[(x - 2) 2 - 2 ] = - 7 + 2(x - 2)2
7
⇒
A nhận giá trị nhỏ nhất là - 7 khi x - 2 = 0
Nhận xét: Ta thấy: AMin = - 7 =
x=2=
−
−8
2.2
4.2.1 − (−8) 2
4.2
⇔x
tức ta có: AMin =
tức là ta có: x =
−
=2
4ac − b 2
4a
b
2a
Bài toán 2: Tìm GTNN của B = x2 - 4x + 1 (a = 1, b = - 4, c = 1)
2
≥
-
Ta có: B = x2 - 4x + 4 - 3 = - 3 + (x - 2)2
⇒
≥
-3
B nhận giá trị nhỏ nhất là - 3 khi x - 2 = 0
4.1.1 − (−4) 2
4.1
Nhận xét: Ta thấy: BMin = - 3 =
x=2=
−
−4
2.1
⇔
tức ta có: BMin =
tức là ta có: x =
−
x=2
4ac − b 2
4a
b
2a
Bài toán 3: Tìm GTNN của C = 3x2 + 5x + 25 (a = 3, b = 5, c = 25)
2
Ta có: C = 3(x +
5
x
3
+
25
)
3
2
= 3[x +
=
5
2x. 6
2
5
÷
6
+
2
5 275
3 x + 6 ÷ + 36
+
=
275
12
=0
⇔
25
3
+
-
2
5
÷
6
2
5
3 x + 6 ÷ ≥
275
12
⇒
C nhận giá trị nhỏ nhất là
Nhận xét: Ta thấy CMin =
x=
−
5
6
275
12
=
=
−
4.3.25 − 52
4.3
5
2.3
275
12
khi x +
5
6
tức ta có CMin =
tức là ta có: x =
−
x=
−
5
6
4ac − b 2
4a
b
2a
B. Tổng quát
Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của P = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R, a > 0)
3
]
Từ các nhận xét trên ta thấy rằng P nhận giá trị nhỏ nhất là
=
−
4ac − b 2
4a
khi x
b
2a
Chính vì thế ta luôn có P =
2
Thật vậy: P = ax + bx + c =
4ac − b 2
4a
+
2
b
a x + 2a ÷
b
c
a x 2 + a x + a ÷
=
2
b
b2 c b2
x
+
2
x
.
+
+ −
a
2a 4a 2 a 4a 2
=
2
b
b 2 4ac − b 2
a x + 2 x. 2a + 4a 2 ÷+ 4a 2 ÷
=
4ac − b 2
4a
+
2
b
4ac − b 2
≥
a x +
÷
2a
4a
C. Phương pháp thực hiện:
Dùng hằng đẳng thức bình phương của một tổng và bình phương của
một hiệu phân tích đa thức P và dạng: P = m + R. Trong đó R là một biểu
thức không âm, ở đây R là tích của a với bình phương một tổng hoặc bình
phương một hiệu
Dạng toán 2: Tìm giá trị lớn nhất của Q = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R, a
< 0)
A. Từ bài toán cụ thể:
4
Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của: D = - x2 + 6x + 1 (a = -1; b
= 6, c = 1)
Ta có: D = - (x2 - 6x - 1) = - (x2 - 2x.3 + 32 - 1 - 32) = -
(
)
x 2 − 2 x.3 + 32 − 10
= 10 - (x - 3) 2
⇒D
≤
10
nhận giá trị lớn nhất là 10 khi x - 3 = 0
Nhận xét: Ta thấy DMax = 10 =
và x = 3 =
−
4.(−1).1 − 62
4.(−1)
6
2.(−1)
⇔
tức ta có: DMax =
tức ta có: x =
−
x=3
4ac − b 2
4a
b
2a
Bài toán 2: Tìm GTLN của: E = 5x - 3 - 2x2
Ta viết lại: E = - 2x2 + 5x - 3 (a = - 2, b = 5, c = -3)
2
Ta có: E = - 2(x -
5
2
+
3
)
2
=-
2
2
2
5 5 3 5
x
−
2
x
.
+
+
−
2
÷
÷
2.2 4 2 4
5
25
1
= - 2 x 2 − 2 x. 4 + 16 ÷ − 16
=
⇒
E nhận giá trị lớn nhất là
5
1
8
2
1
1
5
− 2 x − ÷ ≤
8
8
4
khi x -
5
4
=0
⇔
x=
5
4
Nhận xét: Ta thấy: EMax =
Và x =
5
4
=
1
8
=
5
2.(−2)
−
4.(−2).(−3) − 52
4.(−2)
tức ta có: x =
Bài toán 3: Tìm GTLN của: F =
Ta có: F =
⇒
−
1 2
(x
2
tức ta có: EMax =
−
1 2
x
2
−
b
2a
+ 3x - 2 (a =
- 6x + 4) =
−
1 2
(x
2
−
1
,
2
b = 3, c = -2)
- 2x.3 + 32 + 4 - 32)
=
−
1 2
(x
2
=
5
2
−
F nhận giá trị lớn nhất bằng
5
2
khi x - 3 = 0
Nhận xét: Ta thấy: FMax =
và x = 3 =
−
5
2
=
1
4. − ÷.(−2) − 32
2
1
4. − ÷
2
- 2x.3 + 32 - 5)
1
(x
2
- 3)2
≤
5
2
⇔
tức ta có: FMax =
3
1
2. − ÷
2
4ac − b 2
4a
tức ta có: x =
−
x=3
4ac − b 2
4a
b
2a
B. Tổng quát:
Bài toán tìm GTLN của Q = ax2 + bx + c (a, b, c ∈ R, a < 0)
Từ các nhận xét ở trên mỗi bài toán cụ thể ta nhận thấy rằng Q luôn
nhận giá trị lớn nhất
6
là
4ac − b 2
4a
khi x =
−
b
2a
Chính vì thế ta luôn có: Q =
2
Thật vậy: Q = ax + bx + c =
4ac − b 2
4a
+
2
b
a x + 2a ÷
b
c
a x 2 + a x + a ÷
=
=
4ac − b 2
4a
- (-a)
2
b
x+
÷
2a
2
b
b2 c b2
x
+
2
x
.
+
+ − 2
a
2
2
a
4
a
a 4a
=
2
b
b 2 4ac − b 2
x
+
2
x
.
+
÷+
÷
a
2a 4 a 2 4 a 2
=
4ac − b 2
4a
=
4ac − b 2
4a
+
-
2
b
a x +
÷
2a
2
b
(-a) x + 2a ÷ ≤
4ac − b 2
4a
(a < 0 nên
2
b
(-a) x + 2a ÷ ≥
0)
C. Phương pháp thực hiện:
Dùng hằng đẳng thức bình phương của một tổng và bình phương của
một hiệu phân tích đa thức P và dạng: P = m - R. Trong đó R là một biểu
thức không âm, ở đây R là tích của - a với bình phương một tổng hoặc bình
phương một hiệu
7
Một số bài toán vận dụng
Bài toán 1. Tìm GTNN của các biểu thức
a, 3x2 - 7x + 2
b,
3 x2
+2
3x
-4
c, 5x4 + 10x2 + 20
Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức
a, 3x - 5x2 + 1
b,
5x
+3-
2 x2
c, 16x2 - 32 - 8x4
III. KẾT LUẬN
Trong quá trình dạy học những nhận xét nhỏ của các phép toán hay là
phân tích kết quả của bài toàn sẽ cho ta những điều thú vị của bài toán hay
sẽ giúp chúng ta phát hiện được các cách giải khác nhau và tổng quát được
8
bài toán. Trên thực tế đó tôi đã phát hiện ra điều thú vị của đa thức dạng ax 2
+ bx + c (a, b, c là các số, a khác 0). Khi xây dựng được công thức này
không chỉ giúp các em tích cực tham gia và thực hiện bài toán nhẹ nhàng
hơn. Ở đây thay vì các em còn lúng túng trong phân tích đưa bài toán về
dạng P = a
±
R (R là biểu thức không âm) thì các em chỉ cần cho biết các
hệ số a, b, c và thay vào công thức P =
2
b
(-a) x + 2a ÷
4ac − b 2
4a
+
2
b
a x + 2a ÷
hay Q = =
4ac − b 2
4a
-
là các em có ngay kết quả của bài toán, chính vì vậy mà các em
tính toán nhanh và không mắc phải sai lầm.
Trong quá trình dạy học tôi đã mạnh dạn triển khai cho học sinh áp dụng
thực hiện tôi thấy hầu hết các em hiểu và tích cực thực hiện và tính toán trở
nên nhanh và chính xác. Khi kiểm tra đánh giá tôi đưa ra bài toán tìm
GTNN của A = x2 - 5x + 6
Bài giải: Ta có: A =
Vậy AMin =
−
1
4
4.1.6 − 52
4.1
khi x =
5
+ (x - 2 )2 =
5
2
9
−
1
4
5
+ (x - 2 )2
thì thấy đa số các em thực hiện tốt, nên tôi cho rằng chuyên đề đã đi vào
thực tiễn
- Tiếp tục nghiêm cứu công thức trên sẽ còn cho ta nhiều điều thú vị nữa
như ta liên hệ đến biệt thức
∆
và giá trị
−
b
2a
trong phương trình bậc hai một
ẩn ở lớp 9
Tháng 4 năm 2011
10
