CHUYÊN ĐỀ 1

TÌM SỐ GIA
Phương pháp:
Để tính số gia của hàm số y  f ( x) tại điểm x0 tương ứng với số gia x cho trước ta áp dụng
công thức tính sau: y  f  x0  x   f  x0 
x gọi là số gia của đối số tại điểm x0 và x  x  x0 .
y gọi là số gia của hàm số tương ứng và y  f  x0  x   f  x0 

BÀI TẬP MẪU
Bài 1.

Tìm số gia của hàm số y  x 2  x , tương ứng với sự biến thiên của đối số từ x0  2 đến

x0  x  5

Hướng dẫn
Số gia của hàm số là y  f  x0  x   f  x0   f  5   f  2    52  5    22  2   18
Bài 2.

Tìm số gia của hàm số y  x 2 – 3x  4 tại điểm x0  2 ứng với số gia x , biết x  4
Hướng dẫn

 x  4
 x0  x  6
Vì 
 x0  2

Khi đó y  f  x0  x   f  x0   f  6   f  2    62  3.6  4    22  3.2  4  

Bài 3.

Tính y và

y
của hàm số y  x 2  x
x

Hướng dẫn
Ta có:
2
y  f  x  x   f  x     x  x    x  x     x 2  x 
  x 2  2 x.x  x 2  x  x    x 2  x   2 x.x  x 2  x



y 2 x.x  x 2  x

 2 x  x  1
x
x

Bài 4.

Tìm số gia của hàm số f  x   x 4 khi x0  1 , x  1 .
Hướng dẫn


Ta có: y  f  x0  x   f  x0   f  2   f  1  24  14  15

Bài 5.


Số gia của hàm số f  x   x 3  x khi x0  0 , x  1 .
Hướng dẫn

Ta có: y  f  x0  x   f  x0   f  1  f  0    13  1   0 3  0   2

Bài 6.

Tìm số gia của hàm số f  x  

x3
theo số gia x của đối số x tại x0  0 .
3

Hướng dẫn
Ta có: y  f  x0  x   f  x0   f  x   f  0 

Bài 7.

 x 


3

3

0 


3


3

 x 


3

3

Số gia của hàm số f  x   x 2  x ứng với x0 , x là
Hướng dẫn

Ta có: y  f  x0  x   f  x0    x0  x    x0  x    x0 2  x0   x  x  2 x0  1
2

Bài 8.

Tìm số gia của hàm số f  x   x 2  2 khi x0  0 , x  2 .
Hướng dẫn

Ta có: y  f  x0  x   f  x0   f  2   f  0   2 2  2   0 2  2   4 .

Bài 9.

Số gia của hàm số f  x  

1
khi, x0  1 , x  1 .
x 1

3

Lời giải
Ta có: y  f  x0  x   f  x0   f  1  f  0  

1
1
7
.
 3

2  1 1  1 18
3

Bài 10. Tìm số gia của hàm số f  x   x  1 theo số gia x của đối số x tại x0  0 .

Hướng dẫn
Ta có: y  f  x0  x   f  x0   f  x   f  0   x  1 .


BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 11. Tìm số gia của hàm số y  2 x 2  3x  5 , tương ứng với sự biến thiên của đối số:

a) Từ x0  1 đến x0  x  2

b) Từ x0  2 đến x0  x  0,9

c) Từ x0  1 đến x  1  x

d) Từ x0  2 đến x  2  x


Bài 12. Tính y và

a) y  3x  5

y
của hàm số sau theo x và x :
x

b) y  3x 2  7

c) y  2 x 2  4 x  1

d) y  cos 2 x

Bài 13. Tìm số gia của hàm số y  x 2 –1 tại điểm x0  1 ứng với số gia x , biết:

a) x  1
Bài 14. Tính y và

b) x  –0,1
y
của hàm số sau theo x và x :
x

a) y   x 2  2 x  3

b) y  x3  x  1

c) y  x3  4 x  5


d) y 

x2
x5

f) y 

x2
x 1

e) y 

1 x
2x  3


CHUYÊN ĐỀ 2

TÍNH ĐẠO HÀM
Phương pháp:
Có hai cách để tính đạo hàm:
Cách 1: Dùng định nghĩa: y '  lim

x 0

f  x  x   f  x 
x

Cách 2: Dùng bảng công thức : ( bảng này thầy đính kèm ở file đầu tiên)


BÀI TẬP MẪU
Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

Bài 1.

1) y  3x  5
4) y 

2x  3
x 1

2) y  x 2  4 x  1

3) y  x3  3x 2  5

5) y  x2  x

6) y  cos  2 x  3

Hướng dẫn
Sử dụng định nghĩa: y '  lim

x 0

f  x  x   f  x 
.
x

1) Ta có:

y '  lim

x 0

f  x  x   f  x 
3  x  x   5   3x  5
3x
 lim
 lim
3

x

0

x

0
x
x
x

2) Ta có:

 x  x   4  x  x   1   x 2  4 x  1
f  x  x   f  x 
 lim
y '  lim
x 0
x 0

x
x
2

2 x.x  x 2  4.x
 lim
 lim  2 x  x  4   2 x  4
x 0
x 0
x

3) Ta có:

 x  x   3  x  x   5   x3  3x2  5
f  x  x   f  x 
 lim
y '  lim
x 0
x 0
x
x
3

2

x3  3x 2 .x  3x.x 2  x3  3x 2  6 x.x  3x 2  5  x3  3x 2  5
x 0
x

 lim


3x 2 .x  3x.x 2  x3  6 x.x  3x 2
 lim  3x 2  3x.x  x 2  6 x  3x   3x 2  6 x
x 0
x 0
x

 lim


4) Ta có:
2  x  x   3 2 x  3

f  x  x   f  x 
x  x   1
x 1

 lim
y '  lim
x 0


x
0
x
x

 2 x  2x  3 x  1   2 x  3 x  x  1
2 x  2x  3 2 x  3


 x  x  1 x  1
x  1  lim
 lim x  x  1
x 0
x 0
x
x
2 x 2  2 x  2 x.x  2.x  3x  3  2 x 2  2 x.x  2 x  3x  3.x  3
x 0
x  x  x  1 x  1

 lim

5.x
5
5
 lim


x

0
x  x  x  1 x  1
 x  x  1 x  1  x  12

 lim

x 0

5) Ta có:

f  x  x   f  x 
 lim
y '  lim
x 0
x 0
x

x 0

x

 lim

x 0

x

 lim

x 0

x 0

2

x2  x

x

x 2  2 x.x  x 2  x  x  x 2  x

x

 lim

 lim

 x  x    x  x  

x





2

 2 x.x  x 2  x  x    x 2  x 
x 2  2 x.x  x 2  x  x  x 2  x
2 x.x  x 2  x
x 2  2 x.x  x 2  x  x  x 2  x
2 x  x  1



x 2  2 x.x  x 2  x  x  x 2  x









2x 1
2 x2  x

6) Ta có:
y '  lim

x 0

cos  2  x  x   3  cos  2 x  3
f  x  x   f  x 
 lim
x 0
x
x

2sin  2 x  3  x  .sin  x 
sin  x 
 lim
. 2sin  2 x  3  x   2sin  2 x  3
x 0
x0
x
x

 lim

Bài 2.


Sử dụng công thức, tính đạo hàm của các hàm số sau:

1) y  3x  5
4) y 

2x  3
x 1

2) y  x 2  4 x  1

3) y  x3  3x 2  5

5) y  x2  x

6) y  cos  2 x  3

Hướng dẫn


Các em tra bảng công thức để tính
1) Ta có:
y  3x  5  y '   3x  5    3x    5   3  0  3

2) Ta có:
y  x 2  4 x  1  y   x 2  4 x  1   x 2    4 x   1  2 x  4  0  2 x  4

3) Ta có:
y  x3  3x 2  5  y   x3  3x 2  5   3x 2  6 x  0  3x 2  6 x .


 u  u.v  u.v
4) (Sử dụng công thức   
v2
v

Ta có:
2 x  3 .  x  1   2 x  3 .  x  1 2.  x  1   2 x  3 .1

2x  3
5

y
y 


2
2
2
x 1
 x  1
 x  1
 x  1

5) (Sử dụng công thức

 u   2uu

)

Ta có:

y x

2

x
 x  y' 

2

 x 

2 x2  x



2x 1
2 x2  x

6) (Sử dụng công thức  cos u   u.sin u )
y  cos  2 x  3  y    2 x  3 .sin  2 x  3  2.sin  2 x  3

Bài 3.

Sử dụng công thức, tính đạo hàm của các hàm số sau: y   x 4  1 x 2  x  1
Hướng dẫn

Sử dụng công thức  u.v   u.v  u.v
y   x 4  1 x 2  x  1  y   x 4  1 .  x 2  x  1   x 4  1 .  x 2  x  1
 4 x3 .  x 2  x  1   x 4  1 .  2 x  1  6 x 5  5 x 4  4 x 3  2 x  1


Bài 4.

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y  x3  3x 2  2 x  1

3
d) y  2 x4  x 2  1
2

b) y   x3  3x  1

e) y 

2x 1
x 3


c) y 

x4
 x2  1
4

f) y 

x2  2 x  2
x 1

Hướng dẫn

a) Ta có: y    x3  3x  1  3x 2  6 x  2
b) Ta có: y    x3  3x  1  3x 2  3
 x4

c) Ta có: y    x 2  1  x3  2 x
 4


3


d) Ta có: y   2 x 4  x 2  1  8 x3  3x
2



e) Ta có: y 

(2 x  1)( x  3)  ( x  3)(2 x  1)
7

2
( x  3)
( x  3)2

f) Ta có: y 

( x 2  2 x  2)( x  1)  ( x 2  2 x  2)( x  1)
( x  1)2



Bài 5.

(2 x  2)( x  1)  ( x 2  2 x  2) x 2  2 x  4

.
2
( x  1)2
 x  1

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

1) y  x x 

2 x 2  2020
với x  0 .
3

2) y  6 x 

1
với x  0 ;
x2

Hướng dẫn



  2 x 2  2020 
2 x 2  2020 

x 4x 3
4
1)  x x 


x  x.
  x x 
  x




3
3
2
3 2
3





 


2)  6 x  12   3  23 .


x 


x

x

TÍNH ĐẠO HÀM HÀM HỢP
Phương pháp:
Ta sử dụng định lý sau:
Nếu hàm số u  g  x  có đạo hàm tại x là ux và hàm số y  f  u  có đạo hàm tại u là yu thì
hàm hợp y  f  g  x   có đạo hàm tại x là yx  yu .ux .
Từ đó, ta có các công thức đạo hàm của hàm hợp thường gặp: với u  u  x 

 u   n.u
n

n 1

.u   n 





 u   2uu

u
 1 
   2
u
u



BÀI TẬP MẪU
Sử dụng công thức, tính đạo hàm hàm hợp của các hàm số sau:

Bài 1.



1) y  2 x 2  3 x
3) y   x7  x 



2016

2) y 

2

5

2

4) y 

x

x 3




4

1

2

 x  1

5

Hướng dẫn
1) Sử dụng công thức:  u    .u .u 1
Ta có:



y  2 x2  3 x



2016






 y  2016. 2 x 2  3 x . 2 x 2  3 x




2015



3 

2
 2016.  4 x 
. 2x  3 x
2 x


2) Chú ý bài này các em phải chuyển đổi:
y

5

2

x 3





 5. 2 x  3

4




y '  5. 2 x  3


 20.2.

1
2



4




x

4





5




2015

1
 1 

 1
.

u

     .u.u
u
u
 

  5.  4  . 2 x  3  . 2 x  3


. 2 x 3





20
. 2 x 3
x








4 1

5

3) Sử dụng công thức  u    .u .u 1
2
y   x 7  x   y  2.  x 7  x  .  x 7  x   2  7 x 6  1 .  x 7  x 

4) Sử dụng công thức
y

x

1

2

 x  1

5

1
 1 

 1


u

     .u.u
u
u
 

  x 2  x  1

5

6
6
 y  5.  x 2  x  1 .  x 2  x  1  5  2 x  1 .  x 2  x  1

Bài 2.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y   x7  x  .
2

b) y  1  x3  .
5

3

5 

c) y   4 x  2  .

x 



Hướng dẫn
a) Ta có: y  2  x 7  x  .  x 7  x   2  x 7  x  7 x 6  1 .
b) Ta có: y  5 1  x3  1  x3   15 x 2 1  x3  .
4

4

2
2
5 
5 
10 
5


c) Ta có: y  3  4 x  2   4 x  2   3  4  3  4 x  2  .
x  
x 
x 
x 



Bài 3.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) y  x3  3x 2  2 .

a) y  1  2 x  x 2 .

Hướng dẫn

1  2 x  x 
2

a) Ta có: y 

2 1 2x  x

x
b) Ta có: y 

3



2

 3x 2  2

 

2 x 3  3x 2  2

Bài 4.


a) y 

1 x

.

1  2 x  x2

3x 2  6 x
2 x 3  3x 2  2

.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3

 2 x  5

2

b) y 

.

x

1

2


 x  1

5

.

Hướng dẫn
2 
3  2 x  5  

   12  2 x  5    12
a) Ta có: y  
.
4
4
3
 2 x  5
 2 x  5
 2 x  5



5  x  x  1 .  x  x  1
5  2 x  1
b) Ta có: y  


 x  x  1
 x  x  1
 x  x 1 


 x

2

2

Bài 5.

 x  1

5

5 2

4

2

2

2

10

2

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

2x 1 

a) y  
 .
 x 1 
3

b) y   5x2  4 x  1  7 x  3 .
4

5

Hướng dẫn
2
2
2
9  2 x  1
3
 2 x  1   2 x  1 
 2x 1 


a) Ta có: y  3  
.
 
  3 
 
2
4
 x 1   x 1 
 x  1   x  1
 x  1


6

.


4 
4
5
5 
b) Ta có: y   5 x 2  4 x  1   7 x  3   7 x  3   5 x 2  4 x  1 .





y  4  5x2  4 x  1 10 x  4 7 x  3  5  7 x  3 .7. 5x2  4 x  1 .
3

5

4

4

4
y   5 x 2  4 x  1  7 x  3  4 10 x  4  7 x  3  35  5 x 2  4 x  1 .
3

y   5x2  4 x  1  7 x  3  455x2  132 x  83 .

3

Bài 6.

a) y 

4

Tính đạo hàm của các hàm số sau:
x

b) y 

với a là tham số.

a2  x2

 x  2

3

.

Hướng dẫn
x2

a x 
2

a) Ta có: y 


2

a

2

x

a2  x2 
2




 x  2 

b) Ta có: y 

3

 x  2

2

Bài 7.

3

3 x  2

2

a
2

 x  2

x

Cho hàm số y 

a2

4 x

2



3

2

x



2 3

.


3 x2
.
2

, tính y   0  .
Hướng dẫn

x

4  x2  x

Ta có: y 

Bài 8.



4  x2

Cho hàm số y 

4  x2 
2





4

4  x2

3x 2  2 x  1
2 3x3  2 x 2  1



3

. Suy ra y  0  

1
.
2

, tính y  0  .
Hướng dẫn

Ta có: y 

 3x

 6x  2 2
y 

2







 2 x  1 .2 3 x 3  2 x 2  1   3 x 2  2 x  1 . 2 3 x 3  2 x 2  1

2

3x3  2 x 2  1

3 x3  2 x 2  1   3 x 2  2 x  1



2 3x3  2 x 2  1



2



2

9 x2  4 x
3x3  2 x 2  1 .


y 

12 x  4   3x3  2 x 2  1   9 x 2  4 x  3x 2  2 x  1
4  3x3  2 x 2  1 3x3  2 x 2  1


Suy ra: y  0 

9 x 2  8 x  4
4 3x3  2 x 2  1

.

4
 1.
4

x
Cho hàm số y 

Bài 9.



3

 2 x  1

4

3x 2  1

, tính y  1 .
Hướng dẫn


4  x3  2 x  1  3x 2  2  3x 2  1 

3x

3

Ta có: y 

3x  1
2

4  x3  2 x  1  3x 2  2  3x 2  1  3x  x3  2 x  1

y 

 3x

x

3

3

 2 x  1

2

4

.


3x 2  1
3

y 

x

4

 1 3x 2  1

.

 2 x  1  4  3x 2  2  3x 2  1  3x  x3  2 x  1 
. Suy ra y 1  0 .
2
2
3
x

1
3
x

1


3


BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 10. Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa:

x4
x4

1) y  x 2  6 x  1

2) y  x 2  x

3) y 

4) y  x 4  2 x 2  x  3

5) y  x  5

6) y  sin  2 x  4 

7) y  cos  4 x  2018 

8) y  tan  5 x  2 

9) y 

1
x 1

Bài 11. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y  x7  3x4  4 x2  4 x  4


3
b) y  2 x 4   10 x  25
x

c) y   x 2  x  1 2 x 2  3x  1

d) y  2 x  1 4 x  3

e) y 



3x  1
4x  5

f) y 





2 x 2  3x  7
x2  2 x  3

Bài 12. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y   2 x  3

21


 x  4

b) y  4 x3  3x 2  2

23

Bài 13. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau ( a là hằng số):

1
1
1
a) y  x4  x3  x 2  x  a3
4
3
2

b) y 

1
( x  x  1)5
2

c) y  3x5 (8  3x 2 )


d) y  ( x  1)( x  2)( x  3)
g) y 

2x

x 1

e) y 

1
x x

j) y  x2  x x  1

2

h) y 

x2  1
x

k) y 

1 x
l)
1 x

f) y 

5x  3
x  x 1
2

i) y  2  5x  x 2
y


x
a2  x2

Bài 14. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y 

x3 x 2
  x 5
3 2

2

d) y    3x 
x


g) y 

x2  1
x

j) y 

5x  3
x  x 1




2 4 5
6
b) y   2  3  4
x x x 7x



x 1

e) y 

1 x
1 x

h) y   x  x2 

32

c) y 

3x 2  6 x  7
4x

f) y 

 x2  7 x  5
x 2  3x

i) y 


x2  2x  2
x 1

2

Bài 15. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

2 x 2  3x  1
2x  3

a) y   x2  4 x  1

b) y 

x2  x  3
2x 1

e) y 

1 x
1 x

h) y 

x

5

d) y 
g) y 


1  x  x2
1  x  x2

x 1
2

c) y 

 x2  6 x  1
x2  x 1

f) y 

2 x
1 2 x

i) y   x  1 x 2  x  1


CHUYÊN ĐỀ 3

TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI Xo
Phương pháp:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm tại

là: y  x0   lim

x  x0


Cách 2: Các em sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay

f  x   f  x0 
x  x0

vào.

BÀI TẬP MẪU
Tính đạo hàm của hàm số y  x 2  2 x tại x0  5 .

Bài 1.

Hướng dẫn
Cách 1: Sử dụng định nghĩa:
y  5   lim
x 5

x 2  2 x   52  2.5 
f  x   f  5
 lim
x 5
x 5
x 5

 x  5 x  7   12
x 2  2 x  35
 lim
 lim
x 5
x 5

x 5
x 5
Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay số:
Ta có: y  x 2  2 x  y   x 2  2 x   2 x  2
Do đó y  5   2.5  2  12 .
Tính đạo hàm của hàm số y  sin  2 x  300  tại x0  600 .

Bài 2.

Hướng dẫn
Cách 1: Sử dụng định nghĩa:
y  60

0

 lim0
x 60

  lim

x 600

sin  2 x  300   sin 900
x  600

2 cos  x  300  .sin  x  600 
x  600

 lim0
x 60


sin  x  600 
x  600

.2 cos  x  300   2 cos  600  300   0

Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm rồi thay số:
Ta có: y  sin  2 x  300   y   2 x  300  .cos  2 x  300   2.cos  2 x  300 
Do đó y  600   2 cos  600  300   0 .


Bài 3.

Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
b) y  x tại x0  1

a) y  x 2  x tại x0  1
d) y 

1
tại x0  2
x 1

c) y 

1
tại x0  0
x 1
2


tại x0  1

e) y  x2  3
Hướng dẫn

f  x0  x   f  x0 
f 1  x   f 1
y
 lim
 lim
x 0
x 0
x 0 x
x
x

a) Ta có: f   1  lim

1  x   1  x   12  1
2

 lim

x

x 0

 lim  x  1  1
x 0


f  x0  x   f  x0 
f 1  x   f 1
y
 lim
 lim
x 0
x 0
x 0 x
x
x

b) Ta có: f   1  lim
 lim

x 0

1  x  1
1  x  1
 lim
 lim
x 0

x

0
x
x 1  x  1








1



1  x  1



1
2

f  x0  x   f  x0 
f  0  x   f  0 
y
 lim
 lim
x 0
x 0
x 0 x
x
x

c) Ta có: f   0   lim

f  x0  x   f  x0 
f  2  x   f  2 

y
 lim
 lim
x 0
x 0
x 0 x
x
x

d) Ta có: f   2   lim

1
1

x
1
1
 x  2   1 2  1  lim
 lim

 lim
x 0 3. x  3  .x
x 0 3. x  3 
x 0
9
x

f  x0  x   f  x0 
f 1  x   f 1
y

 lim
 lim
x 0
x 0
x 0 x
x
x

e) Ta có: f   1  lim

 lim

 x  1

2

 3  12  3
x

x 0

 x 

 lim

2

 2x  4  2
x


x 0

2

 lim

x 0

x. 


x  2

1
 lim

2
x 0
 x   2x  4  2 2
Bài 4.

Tính đạo hàm của hàm số :

a) y 

x 2
tại x  1 .
x 1

2


b) y    3x  ( x  1) tại x  1 ;
x


Hướng dẫn

a) 




x 2
 
x  1 






x  2 .  x  1 



 x  1



x  2  x  1

2

 x   2x
2
 x   2x  4  2 




1
2 x

.  x  1 

 x  1



x 2

2





x  1 2x  4 x
2 x  x  1

2




1 x  4 x
2 x  x  1

2

.

1
Vậy đạo hàm của hàm số tại x  1 là : y 1  .
2
 2

b)   3x 

 x



  2

x  1     3x  .

 x



2


x  1    3x 
x


 1

   2  3.
 x




2
 1
x  1    3x 
x
2 x









x 1




5
Vậy đạo hàm của hàm số tại x  1 là : y 1  .
2

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 5.

Tính đạo hàm của hàm số y  x 2  2 x  4 tại x0  2

Bài 6.

Cho hàm số y  f  x   2 x 2  1

a) Tìm đạo hàm của hàm số tại x0  2

b) Suy ra giá trị 3 f (2)  5 f (2 3)

Bài 7. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0:

a) y  2 x  1 tại x0  2
c) y 

x 1
x 1

tại x0  0

b) y  x 2  x tại x0  1
tại x0  1


d) y  2 x  7

Bài 8. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a là hằng số):

a) y  ax  3
c) y 

1
1
với x 
2x 1
2

1
b) y  ax 2
2

d) y  3  x với x  3

Bài 9. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 được chỉ ra bằng cách sử dụng công thức tính đạo

hàm rồi thay x0 vào :
x2  1
tại x0  10
x 1

1) y  x5  2 x3  3x  5 tại x0  2

2) y 


3) y  x 2  4 x  1 tại x0  5




4) y  sin  2 x   tại x0 
4
6


5) y 

x2
tại x0  2
x 5

6) y   x 2  3x  x 4  2  tại x0  3


CHUYÊN ĐỀ 4

ĐẠO HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm lượng giác:
Đạo hàm
(sin x) '  cos x ; (cos x) '   sin x

(tan x) ' 


1
1
; (cot x) '   2
2
cos x
sin x

1
1  x2

 arcsin x  ' 
 arccos x  '  
 arctan x  ' 

1
1  x2

1
2
x 1

Hàm hợp
(sin u) '  u '.cos u
(cos u) '  u 'sin u ;  tan u  ' 

 cot u  '  

u'
sin 2 u


sin u   n.sin
n

n 1

 cos u   n.cos

 tan u   n.tan

u.  cos u 

n 1

u.  tan u 

 co t u   n.co t
n

u.  sin u 

n 1

n

n

u'
cos2 u

n 1


u.  co t u 

I. Sử dụng công thức để tính đạo hàm hàm lượng giác:
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số :

x
1) y  sin 2 x  cos .
3

2) y   sin 5 x  1

3) y  sin x.cos 4 x

4) y  2 tan 2 x  5cot x 2

2

Hướng dẫn
1
x
1) Ta có: y  2.cos 2 x  sin
3
3

2) Ta có: y  2  sin 5 x  1  sin 5 x  1  10cos 5 x  sin 5 x  1 .
3) Ta có: y   sin x  .cos 4 x  sin x.  cos 4 x   cos x.cos 4 x  4sin x.sin 4 x .
Ngoài ra các em có thể tách y  sin x.cos 4 x 
4) Ta có: y ' 


2sin x
5x
 2 2
3
cos x sin x

1
sin 5x  sin 3x  sau đó tính đạo hàm.
2


Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số :

1) y  sin 3x

2) y  5sin x  3cos x

3) y  cos 2 x  1




4) y  sin( x  )  cos   x 
3
6



5) y  4cos 2 x  5sin(2 x  3)


6) y  3 sin x  cos x  2019 x

7) y  x 2 .cos 3x 2 x sin 3x



8) y  3  sin 2  3x    cos 2 x 2  1
4


9) y  tan 2 x

10) y  cot  3x  1

12) y  cot x 2  1

13) y  tan

15) y  tan 5x  cot 4 x

16) y  tan x2  2 x  1

11) y  tan

x
3




x 1
2

14) y  3cos x  cot 2 x



1
1
17) y  tan x  tan 3 x  tan 5 x
3
5

18) y  tan(2 x  1)  x cos 2 x
Hướng dẫn
1) Ta có y  sin 3x  y  3cos3x
2) Ta có y  5sin x  3cos x  y  5cos x  3sin x
3) Ta có y  cos 2 x  1  y  

sin 2 x  1
2x 1





4) Ta có y  cos  x    sin   x  .
3

6


5) Ta có y  8sin 2 x  10 cos  2 x  3 .
6) Ta có : y  3 cos x  sin x  2019
7) Ta có : y  2 x cos 3x  3x 2 sin 3 x  2sin 3 x  6 x cos 3 x  8 x cos 3 x   2  3 x 2  sin 3 x
8) Ta có:

 




3.2sin  3x   cos  3x  
3sin 2  3x  
2x
2x
4
4
4



y 
 sin 2 x 2  1.


sin 2 x 2  1 .
2
2



2x 1
2x 1


2 3  sin 2  3x  
2 3  sin 2  3x  
4
4


9) Ta có: y '   tan 2 x  ' 

2
.
cos2 2 x

10) Ta có: y '  cot  3x  1  
'

3
.
sin  3x  1
2


 x 1 
'


x 1

1

 2  

11) Ta có y '   tan

2 
 x 1 
2  x 1

cos 2 
 2 cos 

 2 
 2 
'







'

12) Ta có: y '  cot x 2  1  

x2  1




x

'

sin 2 x 2  1



x
x2  1  
2
2
2
sin x  1
x  1.sin 2 x 2  1

'

x
1

13) Ta có: y '   tan  
.
3  3cos 2 x

3

14) Ta có: y '   3cos x  cot 2 x   3sin x 
'


15) Ta có: y '   tan 5x  cot 4 x  
'

 

5
4
 2 .
2
cos 5x sin 4 x



16) Ta có: y '  tan x 2  2 x  1

2
.
sin 2 2 x



1
x



2
2
2

2
cos x  2 x  1
cos x  2 x  1





x2  2 x  1



2x 

'







2x x 1

17) Ta có: y '  1  tan 6 x
18) Ta có:
y' 

2
2

  cos2 x  2 x sin x cos x  
 cos 2 x  x sin 2 x
2
cos (2 x  1)
cos (2 x  1)
2

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

x
2
a) y  2sin x  sin 2 x  sin 2 x  2sin  sin
2
x

b) y  sin 2  2 x 2  3x  1
c) y  sin  4 x 2  x 
Bài 2.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y  2 x sin x 
d) y 

cos x
x


2cos x  sin x
3sin x  cos x

g) y  sin  x 2  3 x  2 

b) y 

3cos x
2x 1

c) y 

x 2  2cos x
sin x

e) y 

tan x
sin x  2

f) y 

cot x
2 x 1

h) y  cos 2 x  1






x cos 2 x 2  2 x  1

i) y  2sin 3x cos5 x


x 1
x2

j) y  cos 2 x

k) y  tan

m) y  tan 3 x  cot 2 x

n) y  1  2 tan x

o) y 

q) y  tan(sin x)

r) y  x cot  x 2  1

t) y  x sin 3x

u) y  tan 2 x  tan x 2

p) y 

sin 2 x

1  t an2 x

s) y  cos 2


4

 2x

l) y  cot x 2  1
sin x
x

x
sin x

v) y   2  x 2  cos x  2 x sin x
Bài 3.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y  sin



1  x2



d) y  cos cos  cos x  

g) y 

Bài 4.

c) y  cos x 1  sin 2 x

 1 x 
e) y  cos 

 1 x 

sin 2 x
tan 2 x
f) y 

1  cot x 1  tan x

2

x
sin x  cos x

h) y 

sin 2 x
cos x

i) y  1  cos2 x

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

sin x
a) y 
1  cos x

x
b) y  1  cos
2
2

 1  tan 2 x 
c) y  

2
 1  tan x 

20

d) y 

1  cos x
1  cos x

e) y  x sin x  cos x

f) y  3tan x  tan 3x  tan 3 x  tan x 2 g) y  x cot  x 2  1

h) y  cot 2 x  3cot 2 x

sin x  cos x
i) y 

sin x  cos x

3

Bài 5.

b) y  sin 2  cos 3 x 

sin 2 2 x  4cos 2 x  4
j) y 
sin 2 2 x  4cos 2 x

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y  5sin x  3cos x

b) y  sin( x 2  3x  2)

c) y  cos 2 x  1

d) y  sin 3x.cos5x

e) y  1  2 tan x

f) y  tan 3x  cot 3x

g) y  4sin x  3cos x

h) y  4sin 2 x  3cos 4 x


i) y 

Bài 6.

Tính đạo hàm của hàm số sau: y 

1 1 1 1 1 1


 cos x , với x  (0;  )
2 2 2 2 2 2

II. Tính đạo hàm của hàm lượng giác tại x0
Phương pháp:

x
1  cos x


Tính đạo hàm rồi thay x0 vào
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số y 

sin 2 x

tại x  .
cos 3x
4

Hướng dẫn

Ta có :

y 

 sin 2 x  .cos 3x  sin 2 x.  cos 3x   2 cos 2 x.cos 3x  3sin 2 x.sin 3x
2
2
 cos 3x 
 cos 3x 


 
Khi đó : y    3 2 . Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại x  là 3 2 .
4
4

Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số y  x.cos 2 x tại x 


2

.

Hướng dẫn
Ta có: y  x.cos 2 x  x.  cos 2 x   cos 2 x  2 x.sin 2 x


 
Khi đó : y '    1 . Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại x  là 1 .
4

2
Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số y  5sin x  3cos x tại điểm x 


2

.

Hướng dẫn
Ta có y   5sin x  3cos x   5.  sin x   3  cos x   5.cos x  3sin x .



 
Suy ra y    5.cos  3sin  3 .
2
2
2
Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số y  2sin 3x cos5 x tại điểm x 


8

.

Hướng dẫn
Ta có y  2sin 3x cos5 x  sin 8 x  sin 2 x .
 y   sin 8 x  sin 2 x  '  8cos8 x  2 cos 2 x
 
 

 
 y    8cos  8.   2 cos  2.   8  2 .
8
 8
 8


1


Bài 5. Tính đạo hàm của hàm số y   sin   x 2  tại điểm x 
.
2 3
3

Hướng dẫn


2

 

 


2

cos  
Ta có y '  x.cos   x   y 
.

 
3
3
3 
3
3

 3





 
 2

Bài 6. Cho hàm số y  cos  3x    sin 
 2 x  . Tính y   .
6

3
 3

Hướng dẫn



 2

Ta có: y  3sin  3x    2 cos 

 2x  .
6

 3


5
7
 
  
 2
Vậy y    3sin  3.    2cos 
 2.   3sin
 2cos 0   .
3
6
2
3
 3 6
 3


1
.
Bài 7. Tính đạo hàm của hàm số f  x   cot x 2 tại điểm x 
2
2
Hướng dẫn
2 
1 x 

x
 2 2
Ta có: f '  x   
2 2
2 sin x
sin x



  
2      2
Suy ra: f ' 
  
2
2
 
 2
sin 2  
2
Bài 8. Tính đạo hàm của hàm số f  x   tan 2 x  cot 2 x tại điểm x 

Hướng dẫn
Ta có: f '  x   2 tan x.
2 tan

1
1  2 tan x 2 cot x

 2 cot x.   2  


2
2
2
cos x
 sin x  cos x sin x



2 cot



 
4
4 8
Suy ra: f '   
 4  cos 2  sin 2 
4
4
Bài 9. Tính đạo hàm của hàm số f  x   cot x  1 tại x 


2

.

Hướng dẫn
Ta có: f '  x  






'

cot x  1 

 cot x  1

'

2 cot x  1



1
2sin x. cot x  1
2


4

.


 
Suy ra f '    
2

1

2sin 2


2

. cot


2


1

1
2

Bài 10.Tính đạo hàm của hàm số f  x   tan 3 x  cot 2 x tại điểm x 


4

.

Hướng dẫn
Ta có: f '  x    tan 3 x  cot 2 x   3.tan 2 x.
'

1
2
 2

2
cos x sin 2 x


1
2
 

4
Suy ra f '    3.tan 2 .
4 cos 2  sin 2 2. 
4
4
4
Bài 11.Tính đạo hàm của hàm số f  x   tan x  cot x tại điểm x 


4

.

Hướng dẫn
1
1
 2
2
(tan x  cot x)
Ta có: f '( x) 
 cos x sin x
2 tan x  cot x 2 tan x  cot x





sin 2 x  cos 2 x
2cos 2 x
 2
2
2
2sin x cos x tan x  cot x sin 2 x tan x  cot x

 
Suy ra f '   
4

2cos
2  


2





0

sin   tan  cot
4
4

2

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1.

Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra .

1) y 

1  sin x

tại x 
1  sin x
3

2) y 



4) y  1  2 tan x tại x  0

3)

y  2 x cot x  x 2 tại x 

5)

y  sin 3x.cos 4 x

tại x 


7)

y  sin 2 x.cos3 x

tại x 

9)

y  sin 2  cos 2  tan x   tại x 

4

11) y  sin 3 x 2  1 tại x  0

cos x

tại x 
sin x  1
2

3
4

x
5
6) y  2cos  sin 2 x  cos  x 2  tại x 
2
6







8) y  tan 3  2 x   tại x 
4
4


3


4

10) y  cot 2 x2  1 tại x 
12) y  sin 2  cos 3 x  tại x 


3


3


Bài 2.

Cho hàm số y  x3 và y  4 x  sin

x

2

. Tính tổng f (1)  g (1) ?

III. Chứng minh biểu thức có chứa đạo hàm hàm lượng giác.
Phương pháp:
Tính đạo hàm rồi thay vào biểu thức và biến đổi.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Chứng minh rằng : f '  x   0 với f ( x)  cos6 x  2sin 4 x.cos2 x  3sin 2 x.cos4 x  sin 4 x .

Hướng dẫn
Cách 1 :
Ta có :
f ( x)   cos6 x    2sin 4 x.cos 2 x    3sin 2 x.cos 4 x    sin 4 x 

 6.sin x.cos5 x   8.cos x.sin 3 x.cos 2 x  4.sin 4 x.sin x.cos x 
  6.cos x.sin x.cos 4 x  12.sin 2 x.sin x.cos3 x   4.cos x.sin 3 x

=  6.sin x.cos5 x  8sin 3 x.cos3 x  4sin 5 x.cos x  6sin x.cos 5 x 12sin 3 x.cos3 x  4.cos x.sin 3 x
 4sin 3 x.cos3 x  4 cos x.sin 3 x.  sin 2 x  1  4sin 3 x.cos3 x  4sin 3 x.cos3 x  0

Cách 2 : Ta có :
f  x   sin 4 x 1  2 cos 2 x   cos 4 x  3sin 2 x  cos 2 x 
 sin 4 x 1  2 cos 2 x   cos 4 x 1  2sin 2 x 
 sin 4 x  cos 4 x  2sin 4 x cos 2 x  2sin 2 x cos 4 x
  cos 2 x  sin 2 x   2sin 2 x cos 2 x  2sin 2 x cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x   1
2

Khi đó : f   x   0
Bài 2. Cho hàm số y  x sin x . Chứng minh: x. y  2  y  sin x   x  2 cos x  y   0


Hướng dẫn
Ta có: y   x sin x   x.sin x  x.  sin x   sin x  x cos x .
x. y  2  y  sin x   x  2cos x  y 
 x 2 .sin x  2  sin x  x cos x  sin x   x  2cos x  x sin x 
 x 2 sin x  2 x cos x  2 x cos x  x 2 sin x  0 (đpcm).


Bài 3. Cho hàm số y  cot 2 x . Chứng minh: y  2 y 2  2  0

Hướng dẫn
Ta có: y   cot 2 x   2 1  cot 2 2 x   2 1  y 2 
 y  2 y 2  2  0 .

Bài 4. Cho hàm số y  tan x . Chứng minh: y  y 2  1  0

Hướng dẫn
Ta có: y   tan x   1  tan 2 x  1  y 2  y  y 2  1  0 .
Bài 5. Cho hàm số y 

x sin x  cos x
cos3 x
.Chứng minh rằng: y '  y.tan x   2
tan x
sin x

Hướng dẫn
Ta tiến hành rút gọn trước khi tính đạo hàm:
x sin x  cos x  x sin x  cos x  .cos x
1


 x.cos x 
 sin x
tan x
sin x
sin x
cos x
cos x
 y '  cos x  x sin x  2  cos x   x sin x  2
sin x
sin x
y





 cos x 1  sin 2 x
cos x
 cos3 x
 VT   x sin x  2  x sin x  cos x 

 VP
sin x
sin 2 x
sin 2 x






Bài 6. Cho hàm số y  cot  x2  1 . Chứng minh rằng: 2 y. y '  x. 1  y 4  0 .

Hướng dẫn
Ta có:

 cot  x  1
y 
2

'

'

2 cot  x 2  1

VT  2 cot  x  1.
2





 1 1  cot  x 2  1  .  x 2  1
2 cot  x 2  1



x 1  cot 2  x 2  1
2 cot  x  1

2

  x  x. y

'





 x 1  cot 2  x 2  1
2 cot  x 2  1



4



  x 1  cot 2  x 2  1  x  x.cot 2  x 2  1  0  VP

Bài 7. Cho hàm số f  x   2 cos 2  4 x  1 . Chứng minh rằng: f '  x   8, x  .


Hướng dẫn
Ta có:
f '  x   16sin  4 x  1 cos  4 x  1  8sin 8 x  2 
 f '  x   8sin 8 x  2   8 sin 8 x  2   8



 1 k

sin  8 x  2   1  8 x  2  2  k 2  x  16  4  8
Dấu "  " xảy ra khi: 
k 
sin  8 x  2   1  8 x  2     k 2  x    1  k

2
16 4 8

Bài 8. Cho hàm số y 



sin x  x cos x
2
. Chứng minh rằng: y '  sin x  x cos x   x 2 y 2  0 .
cos x  x sin x

Hướng dẫn
Ta có: y 

sin x  x cos x
.
cos x  x sin x

 sin x  x cos x   cos x  x sin x    sin x  x cos x  cos x  x sin x 

2
 cos x  x sin x 

'

y

'

'

Tính  sin x  x cos x   cos x  x ' cos x  x.  cos x   x sin x
'

'

Tính  cos x  x sin x    sin x  x ' sin x  x  sin x   x cos x
'

 y' 

'

x sin x.  cos x  x sin x    sin x  x cos x  x cos x

 cos x  x sin x 

2

Ta có: VT  y '  sin x  x cos x   x 2 y 2 
2




x2

 cos x  x sin x 

2

2
 sin x  x cos x 
. sin x  x cos x   x 2 . 
  0  VP
2 
 cos x  x sin x 
 cos x  x sin x 
2

x2

Bài 9. Cho hàm số y  cot x 2  1 . Chứng minh rằng: y ' . x 2  1  x  x. y 2  0 .

Hướng dẫn
Ta có: y  cot x 2  1



 y '   1  cot 2



 


x2  1 .

 
'

x 2  1   1  cot 2



x2  1

x
.

 2

2

 1

'

x 1
2



1 cot 
x 1

x

2

2

x2  1



Ta có:
VT 

1  cot 
x 1
x
2

2



x 2  1 . x 2  1  x  x.cot 2





x 2  1   x  x cot 2






x 2  1  x  x.cot 2





x2  1  0