PH N M T: M

U

1. Lý do ch n đ tƠi
Trong nhƠ tr

ng ph thông, hình h c lƠ m t môn khó đ i v i h c sinh,

b i vì tính ch t ch , logic vƠ tính tr u t
h c khác.

ng c a hình h c cao h n các môn

c bi t lƠ các phép bi n hình s c p lƠ m t ph n quan tr ng c a

hình h c vƠ nó lƠ m t công c h u ích đ i v i các bƠi toán hình h c ph ng vƠ
hình h c không gian.
Vi c đ a n i dung các phép bi n hình vƠo ch

ng trình toán

b c trung

h c c s vƠ trung h c ph thông không nh ng ch nh m cung c p cho h c
sinh nh ng công c m i đ gi i toán mƠ còn t p cho h c sinh lƠm quen v i
các ph
t

ng pháp t duy vƠ suy lu n m i, bi t nhìn nh n s vi c vƠ các hi n

ng xung quanh trong cu c s ng v i s v n đ ng vƠ bi n đ i c a chúng đ

nghiên c u, tìm tòi, khám phá, t o c s cho s ra đ i c a nh ng phát minh
vƠ sáng t o trong t

ng lai.

Phép đ i x ng tơm lƠ m t trong nh ng phép bi n hình s c p đ

cv n

d ng đ gi i quy t các bƠi toán d ng hình, qu tích, ch ng minh, tính toánầ
Tuy nhiên vi c v n d ng phép đ i x ng tơm trong E2,E3 đ gi i các bƠi toán
hình h c không ph i lƠ vi c d dƠng.
Th c t nó lƠ m t ph n khó đ i v i c giáo viên vƠ h c sinh.
Vì th i gian có h n nên em xin trình bƠy nh ng ki n th c c b n v phép
đ i x ng tơm trong E2,E3.
2. M c đích nghiên c u c a đ tƠi
Nghiên c u phép đ i x ng tơm vƠ ng d ng c a nó trong các l p bƠi t p
hình h c.
3.

it

ng nghiên c u

Phép đ i x ng tơm trong E2, E3.

1



4. Nhi m v nghiên c u
Trình bƠy c s lý thuy t v phép đ i x ng tơm
Các ví d minh h a th hi n ng d ng c a phép đ i x ng tơm trong các
l p bƠi toán hình h c sau:
 Ch ng minh tính ch t hình h c
 D ng hình
 T p h p đi m
 BƠi toán c c tr
ng pháp nghiên c u

5. Ph

Nghiên c u các tƠi li u liên quan đ n phép đ i x ng tơm
6. N i dung c a đ tƠi
Ph n 1. M đ u
Ph n 2. N i dung
1.

ic

ng v phép bi n hình

2.

nh ngh a các tính ch t c a phép đ i x ng tơm

3.

ng d ng c a phép đ i x ng tơm trong vi c gi i m t s l p bƠi toán


hình h c
Ph n 3. M t s k t lu n vƠ ki n ngh
7. K ho ch nghiên c u
Tháng 9/2012 đ n tháng 1/2012 nh n đ tƠi vƠ hoƠn thƠnh đ c

ng

Tháng 2/2013 đ n tháng 3/2013 tìm hi u c s lý thuy t, tìm tƠi li u
tham kh o
Tháng 4/2013 đ n tháng 5/2013 hoƠn thƠnh đ tƠi.

2


PH N HAI: N I DUNG
Ch
1.

ng 1.

IC

M i song ánh f: En

En đ

NG V PHÉP BI N HỊNH

nh ngh a

c g i lƠ m t phép bi n hình c a không gian

En(n=2,3).
2.

nh ngh a
Cho phép bi n hình f: En


i m M thu c En đ

En ta có các khái ni m sau:
c g i lƠ đi m b t đ ng đ i v i phép bi n hình f

n u f(M) = M.
 Hình H n m trong En đ
 Hình H đ

c g i lƠ hình kép n u f(H) = H.

c g i lƠ hình b t đ ng đ i v i phép bi n hình f n u:

 M  H: f(M)=M.
3.

nh ngh a
Phép bi n hình f: En

En đ


c g i lƠ phép bi n hình đ i h p n u:

f2 = IdE2
Ví d : Phép đ i x ng tơmầ

3


Ch
1.

ng 2. PHÉP

I X NG QUA TỂM

nh ngh a
Trong không gian En(n=2,3) cho m t đi m O. phép bi n hình c a En bi n

M thƠnh M’ sao cho: OM ' = - OM đ

c g i lƠ phép đ i x ng qua O

O: g i lƠ tơm đ i x ng.
Kí hi u:

O

2. Tính ch t
 Trong E2: Phép đ i x ng tơm lƠ m t phép b o t n ph
trong E3: Phép đ i x ng tơm lƠ ph n chi u b o t n ph

f: E3

ng.
ng.

E3 bi n đi m M thƠnh M’, bi n đi m N thƠnh N’ th thì ta có:

M ' N' = - MN .

 Phép đ i x ng tơm

O

có m t đi m b t đ ng duy nh t.

 Phép đ i x ng tơm

O

lƠ phép bi n hình 1-1.

 Tích c a ba phép đ i x ng tơm v i ba tơm đ i x ng phơn bi t lƠ m t
phép đ i x ng tơm.

4


3.

ng d ng c a phép đ i x ng qua tơm

§ 1. CH NG MINH TệNH CH T HỊNH H C
Ví d 1. Ch ng minh r ng n u m t tam giác có đ

đ

ng trung tuy n vƠ

ng phơn giác cùng xu t phát t m t đ nh mƠ trùng nhau thì tam giác đó lƠ

tam giác cân.

A
1
D

B
2

2

C

1

A’
Gi i:
Th t v y , gi s tam giác ABC có đ
đ

ng trung tuy n AD đ ng th i lƠ


ng phơn giác
D th y B,C đ i x ng v i nhau qua D
G i A’=

D(A)

t giác ABA’C lƠ hình bình hành tâm D

B i v y, AC=BA’, Â’2 = Â2 = Â1 suy ra:
Tam giác BAA’ cơn

B vƠ do đó BA’=BA suy ra:

AB=AC vƠ tam giác ABC cơn

A.

Chú thích:
V c b n bƠi toán nƠy ch đòi h i v n d ng ki n th c SGK hình h c 7,
tuy nhiên c n ph i v thêm hình ph .

đơy chúng ta s d ng ngôn ng bi n

hình trong vi c trình bƠy l i gi i c a bƠi toán (c th lƠ phép đ i x ng tơm).

5


Ví d 2. Cho tam giác ABC. Trên các c nh BC,CA,AB ta l y l n l

các đi m A1 và A2, B1 và B2, C1 và C2 sao cho 6 đi m đó n m trên m t đ
tròn. Ch ng minh r ng n u các đ

t
ng

ng th ng đi qua A1 vƠ vuông góc v i BC,

đi qua B1 vƠ vuông góc v i AC, đi qua C1 vƠ vuông góc v i AB đ ng quy thì
các đ

ng th ng đi qua A2 vƠ vuông góc v i BC, đi qua B2 vƠ vuông góc v i

AC, đi qua C2 vƠ vuông góc v i AB c ng đ ng quy.
Gi i:
A
x

C2

x’

B1

C1

A’1

B
B2


A2
A1

C

G i x lƠ d

ng th ng đi qua A1 vƠ vuông góc v i BC, (O) lƠ đ

ng tròn

đi qua 6 đi m đư nêu trong bƠi toán.
G i A’1 lƠ giao di m th 2 c a x v i (O). rõ rƠng A’1A2 lƠ đ

ng kính

c a (O).
Vì v y phép đ i x ng
x thƠnh đ
T

O

bi n A’1 thành A2. Do đó nó bi n đ

ng th ng

ng th ng x’ đi qua A2 vƠ x//x’ hay x’ BC.


ng t

O

bi n đ

vuông góc v i AC, bi n đ

ng th ng y thƠnh đ

ng th ng y’ đi qua B2 và

ng th ng z thƠnh đ

ng th ng z’ đi qua C 2 và

6


vuông góc v i AB(trong đó y, z l n l

t lƠ các đ

ng th ng đi qua B1 và

vuông góc v i AC, đi qua C1 vƠ vuông góc v i AB).
V y n u S lƠ đi m chung c a x, y, z thì nh S’ c a S qua phép đ i x ng
tơm

O


c ng lƠ đi m chung c a x’, y’, z’. Suy ra đi u ph i ch ng minh.

7


Ví d 3. Cho hình bình hành ABCD và đ

ng tròn bƠng ti p (O) c a

tam giác ABD ti p xúc v i ph n kéo dƠi c a AB vƠ AD t
đi n M vƠ N.

o n th ng MN c t BC vƠ DC t

Ch ng minh r ng đ

ng ng t i các

ng ng t i các đi m P,Q.

ng tròn n i ti p tam giác BCD ti p xúc v i các c nh

BC, DC t i P vƠ Q.
Gi i:

A

M’


N’

O’

B
H

I

K

M
P

Q

O

D
N

C

G i K lƠ ti p đi m c a (O) v i BD. (O’) lƠ đ
ABD ti p xúc v i AB

M’, AD

ng tròn n i ti p tam giác


N’ vƠ v i BD t i H.

I lƠ trung đi m c a BD
D th y MM’ = BK+BH, NN’ = DK+DH vƠ MM’ = NN’
 BH+HK+BH=DK+DK+HK

8


 BH=DK mà IB=ID nên IH=IK
Rõ ràng phép đ i x ng tơm

I

bi n B thƠnh D, H thƠnh K.

Tam giác AMN cơn t i A vƠ vì DQ // AM nên tam giác DQN cơn t i D
suy ra DQ = DN = DK = BH = BM’. Th thì Q lƠ nh c a M’ qua
t P lƠ nh c a N’ qua
Ta có

I

I

T

ng

I


bi n A,B,D thƠnh C,D,B nên

giác CDB. V y

I.

bi n đ

I

bi n tam giác ABD thành tam

ng tròn (O’) n i ti p tam giác ABD thƠnh đ

ng

tròn (O’’) n i ti p tam giác CDB.
MƠ

I

bi n M’,N’,H thƠnh Q,P,K h n n a (O’) đi qua M’,N’,H nên

(O’’) đi qua Q,P,K. Suy ra đi u ph i ch ng minh.

9


Ví d 4. Cho ABCD lƠ m t t giác n i ti p trong m t đ

tr

c. T M,N P,Q l n l

đ

ng th ng vuông góc v i các c nh đ i di n t
Ch ng minh các đ

ng tròn cho

t lƠ trung đi m các c nh AB,BC,CD,DA ta v các
ng ng.

ng th ng nƠy đ ng quy

Gi i:

G i O lƠ tơm đ

ng tròn ngo i ti p t giác ABCD

D th y MNPQ lƠ hình bình hƠnh
G i I lƠ tơm c a t giác MNPQ
Ta có phép đ i x ng tơm

I

Ta có OM,ON,OP,OQ l n l


bi n M,N,P,Q l n l

t vuông góc v i AB,BC,CD,DA

Do tính ch t c a phép đ i x ng tơm nên đ
thƠnh đ

t thƠnh P,Q.M,N

ng th ng OM đi qua M bi n

ng th ng đi qua P vƠ song song v i OM.

đi qua P vƠ vuông góc v i AB.

10

ó chính lƠ đ

ng th ng


Nh v y qua phép đ i x ng tơm
bi n thƠnh các đ
di n t

I

các đ


ng th ng OM,ON,OP,OQ l n l

t

ng th ng đi qua P,Q,M,N vƠ vuông góc v i các c nh đ i

ng ng.

11


Ví d 5. Cho ba đi m A,B,C. v i đi m M b t kì khác ba đi m đư cho ta
kí hi u M1 lƠ nh c a M qua phép đ i x ng tơm A. M2 lƠ nh c a M1 qua
phép đ i x ng tơm B vƠ M3 lƠ nh c a M2 qua phép đ i x ng tơm C. Ta d ng
đi m D th a mưn BD = BA + BC .
Ch ng minh r ng M3 đ i x ng v i M qua D.
Gi i:
M1

D
M3

A

B
C
M

M2


Ta xét ba đi m A,B,C không th ng hƠng. Theo gi thi t các đi m A,B,C
là trung đi m ba c nh t giác MM1M2M3. G i D’ lƠ trung đi m c a c nh
MM3 khi đó t giác ABCD’ lƠ hình bình hƠnh có BD’ lƠ m t trong hai đ
chéo c a nó. Vì v y D’ trùng v i D.

12

ng


M
M2

A

B D

M1

Tr

C

M3

ng h p A,B,C th ng hƠng vƠ M không n m trên đ

Khi đó BC lƠ đ

ng th ng AB.


ng trung bình c a tam giác M1M2M3 và ta có M1M 3 = 2 BC

G i D’ lƠ giao đi m c a MM3 v i đ

ng th ng AB vƠ D’ lƠ trung đi m

c a đo n MM3.
Ta có BD ' = BA + AD ' = BA +

1
M1M 3 = BA + BC = BD
2

i u đó ch ng t D’ trùng v i D
Tr
tr

ng h p M n m trên đ

ng th ng AB ta ch ng minh t

ng h p trên.

13

ng t nh


Nh ng bài t p luy n t p t

1. Cho đ

ng ng

ng tròn tơm O vƠ dơy cung AB.g i x,y lƠ 2 đ

ng th ng

vuông góc v i AB t i các đ u mút c a dơy cung đó. Ch ng minh x,y đ i x ng
nhau qua tâm O.
HD: G i A’ lƠ giao đi m th 2 c a x v i (O). khi đó A’B lƠ đ
c ađ

ng tròn.

O

bi n A’ thƠnh B nên

th ng x’ đi qua B vƠ vuông góc v i AB.đ

O

bi n đ

ng kính

ng th ng x thƠnh đ

ng


ng th ng x’ trùng v i y.

2. Cho 2 hình bình hƠnh ABCD vƠ A’B’C’D’ trong đó A’AB,B’BC,
C’CD,D’DA. Ch ng minh 2 hình bình hƠnh trên có cùng tâm.
HD: G i O lƠ tơm hình bình hƠnh ABCD.

O

bi n A’ thƠnh C1(C1CD)

bi n B’ thƠnh D1(D1DA) vƠ A’B’ song song vƠ b ng C1D1 vì C’D’ song
song vƠ b ng A’B’ nên: C’D’ song song vƠ b ng C1D1 suy ra C’D’
3. Cho 4 đi m A,B,C,D theo th t n m trên m t đ

C1D1

ng th ng vƠ th a

mưn đi u ki n AB=CD. Ch ng minh r ng v i đi m M b t kì ta có
MA+MD  MB+MC.
HD: G i O lƠ trung đi m c a AD.
O

bi n M,A,B l n l

t thƠnh M’,D,C nên MA=M’D, MB=M’C

Ta có MA+MD=MD+M’D  MC+M’C= MC+MB.


14


§ 2. D NG HỊNH
Ví d 1. Qua giao đi m P c a hai đ

ng tròn c t nhau (O1) và (O2) đư

cho hưy k m t cát tuy n Ấ sao cho nó đ nh ra trên các đ

ng tròn đó hai dơy

cung b ng nhau.
Gi i:

O1
O2
B

O’2

P

A

 Phân tích:
Gi s d ng đ

c cát tuy n Ấ đi qua P c t (O1)


A vƠ (O2)

B sao cho

AP=BP.
Khi đó A,B đ i x ng v i nhau qua P hay

P(B)

=A mà B  (O2) nên

A(O’2) đ i x ng v i (O2) qua P mà A(O1) nên A=(O1) (O’2)
V y cát tuy n Ấ c n d ng đi qua P vƠ giao đi m th hai A c a hai đ
tròn (O1) vƠ (O’2)
 Cách d ng:
D ng (O’2)=

P(O2)

D ng A=(O1) (O’2), A≠P
D ng Ấ: i qua AP c t (O2) t i B.

15

ng


 Ch ng minh:
Vì A(O’2) B(O2) vƠ AB đi qua P h n n a (O’2)=


P(O2)

nên A=

P(B)

hay AP=BP.đpcm
 Bi n lu n:
BƠi toán luôn có m t nghi m hình.
Chúng ta c ng có th m r ng bài toán trên nh sau:
Qua giao đi m P c a hai đ

ng tròn c t nhau (O1) và (O2) cho tr

k m t cát tuy n Ấ sao cho nó đ nh ra trên các đ
hi u đ dƠi b ng a (a>0 cho tr

c hưy

ng tròn đó hai dơy cung mƠ

c).

Gi i:

O1

E

M’’


M

O2
K

H

M’

o’2

P

Phân tích:
G i M,M’ lƠ các giao đi m c a Ấ v i (O1) và (O2) M,M’≠P vƠ coi PM

 PM’.
Phép đ i x ng tơm
G i H,K l n l

P

bi n M’ thƠnh M’’ s bi n (O2) thƠnh (O’2)

t lƠ trung đi m các c nh PM’’,PM.

Khi đó O’2HPM và O1KPM. G i E lƠ hình chi u c a O1 trên O’2H. ta
có: O1E song song vƠ b ng KH


16


M t khác: KH=KP-PH=

PM PM ' ' a
= = 01 E
2
2
2

Nh v y đi m E v a thu c đ

ng tròn đ

ng kính O 1O’2 v a thu c

a
2

đ

ng tròn tơm O1 bán kính r= . Sau khi xác đ nh đ

đ

ng th ng Ấ đi qua P vƠ song song v i O1E.

c E ta xác đ nh đ


c

 Cách d ng:
D ng (O’2)=

P(O2)

D ng E: D ng đ

ng tròn đ

ng kính O1O’2 vƠ đ

ng tròn tơm O1, bán

a
2

kính r= .
a
O1O'2
) (O1, )
2
2

Khi đó E=(O1,

D ng Ấ đi qua P vƠ song song v i O1E c t (O1) t i M, (O2) t i M’
 Ch ng minh:
N i O’2E c t Ấ t i H khi đó O’2H  PM

Vì

P[(O2)]=

(O’2) nên

P(M’)=

M’’, M’’ (O’2),M’’  Ấ

K O1KMM’
Ta có KH=

PM PM ' ' PM  PM '
a
mà KH=PK-PH=
=
PM-PM’=a.
2
2
2
2

 Bi n lu n:
BƠi toán ch có nghi m khi đ

ng tròn đ

a
2


tâm O1, bán kính r= .

17

ng kính O1O’2 c t đ

ng tròn


Ví d 2. Cho đ
c ađ

ng tròn tâm O vƠ hai đ nh A,B. D ng đ

ng kính COD

ng tròn sao cho CA = DB.

Gi i:

B

A
D

C

O
A’


 Phân tích:
Gi s d ng đ
O(A)=A’,

cđ

ng kính COD th a mưn yêu c u bƠi toán

O(C)=D

nên AC=A’D=BD D thu c đ

ng trung tr c c a

A’B
 Cách d ng:
D ng A’=

O(A)

N i A’B k d lƠ đ

ng trung tr c c a A’B

G i D=d (O), C=

O(D)

 Ch ng minh:

Theo cách d ng ta có:

O(D)=C,

ẤOAC=ẤOA’D(c.g.c)
AC=A’D(1)
Theo cách d ng ta l i có: A’D=BD(2)
T (1)(2): AC=BD.
 Bi n lu n:

18

O(A)=A’

nên OC=OD,OA’=OA


S nghi m c a bƠi toán ph thu c vƠo s giao đi m c a d v i (O)
Nh n xét:
Khi thay đ

ng tròn tơm O b i m t hình H có tơm đ i x ng lƠ O(hình

vuông, hình bình hƠnh,hình ch nh t)có các đ

ng chéo c t nhau t i O thì ta

có bài toán sau:
Cho H(ABCD) có AC BD=O vƠ P.Q c đ nh. Hưy d ng đ
qua O c t 2 c nh đ i nhau c a H, gi s AB,CD l n l

EP=FQ.(2 c nh AC,BD t
LƠm t

ng t ).

ng t nh hình tròn.

19

ng th ng đi

t t i E,F sao cho


Ví d 3. Cho đ
đ

ng tròn (O) đ

ng th ng d không có đi m chung v i

ng tròn (O) vƠ đi m H. Hưy d ng hình bình hƠnh ABCD sao cho hai đ nh

liên ti p A,B n m trên d vƠ hai đ nh còn l i n m trên (O) vƠ nh n H lƠ giao
đi m các đ

ng chéo. Hưy xác đ nh v trí c a H đ hai đ nh c a hình bình

hƠnh trên d cách nhau xa nh t.
Gi i:


C

d

D
H

d’
B

A

 Phân tích:
Gi s d ng đ

c hình bình hƠnh ABCD th a mưn A,B thu c d.

H lƠ giao đi m c a hai đ
H(A)=C,

ng chéo c a hình bình hƠnh

H(B)=D

Kí hi u d’ lƠ nh c a d qua

H

suy ra d//d’ vƠ d’ đi qua C,D.


 Cách d ng:
d ng d’ lƠ nh c a d qua

H,

d’ (O)={C,D}

D ng CH d=A, DH d=B
ABCD là hình bình hƠnh c n d ng.
 Ch ng minh:

20


Theo cách d ng ta có:

-1
H

bi n d’ thƠnh d mƠ C,D thu c d’ nên

-1
H

bi n C,D thƠnh A,B A,B thu c d vƠ ABCD lƠ hình bình hƠnh.
 Bi n lu n:
BƠi toán có m t nghi m hình khi d’ c t (O) t i 2 đi m phơn bi t.
BƠi toán vô nghi m hình khi d’ không c t (O) ho c c t (O) t i 1 đi m
duy nh t.

AB l n nh t thì CD l n nh t khi vƠ ch khi CD lƠ đ
trong tr

ng h p nƠy nh c a tơm O qua

H

ng kính c a (O).

ph i thu c d. g i O’ lƠ giao đi m

c a OH v i d thì H lƠ trung đi m c a OO’.
Khai thác:
N u không cho tr
đ

c đi m H thì ph i thêm vƠ b t đi u ki n gì đ d ng

c hình bình hƠnh ABCD.
Khi đó ta có bai toán sau:
Hưy d ng m t hình bình hƠnh ABCD cho bi t hai đ nh A,C còn hai đ nh

đ i di n B,D còn l i n m trên m t đ

ng tròn tơm O bán kính R cho tr

Gi i:

O
C

B
I

D

A
O’

21

c.


 Phân tích:
Gi s d ng đ

c hình bình hƠnh ABCD th a mưn yêu c u bƠi toán

Khi đó phép đ i x ng tơm I bi n B thƠnh D vƠ bi n D thƠnh B. Suy ra
B,D thu c đ

ng tròn (O,R) vƠ đ

ng tròn (O’,R) lƠ nh c a (O,R) qua

I

 D ng hình:
D ng I lƠ trung đi m c a AC
D ng nh c a đ


ng tròn tơm O qua phép đ i x ng tơm I lƠ đ

ng tròn

O’
G i B,D lƠ giao đi m c a hai đ

ng tròn tơm O vƠ tơm O’

ABCD lƠ hình bình hƠnh c n d ng.
 Ch ng minh:
Theo cách d ng:
Vì đ

ng tròn tơm O’ lƠ nh c a đ

ng tròn tơm O qua phép đ i x ng

tâm I
H n n a B,D v a thu c đ

ng tròn tơm O v a thu c đ

ng tròn tơm O’

nên B,D đ i x ng v i nhau I
A,C đ i x ng v i nhau qua I nên: ABCD lƠ hình bình hƠnh.
 Bi n lu n:
N u I n m trong đ


ng tròn tơm O thì bƠi toán có nghi m hình.

N u I n m ngoƠi đ

ng tròn tơm O thì bƠi toán vô nghi m hình.

`

22


Ví d 4. Cho 4 đ

ng th ng trong đó không có hai đ

song song vƠ m t đi m O không n m trên 4 đ
hình bình hƠnh mƠ 4 đ nh n m trên 4 đ
các đ

ng th ng nƠo

ng th ng đó. Hưy d ng m t

ng th ng vƠ nh n O lƠm giao đi m

ng chéo.
Gi i:

x


y

A

B

t

D

C

z

 Phân tích:
Ta kí hi u x,y,z,t lƠ 4 đ

ng th ng có tính ch t đư nêu. Gi s d ng đ

c

hình bình hành ABCD(Ax,By,Cz,Dt) vƠ nh n O lƠm tơm
Phép đ i x ng

O:

Bi n A,B l n l

t thƠnh C,D khi đó x,y l n l


t bi n

thành x’,y’ vƠ x’//x vƠ x’ đi qua C, y’//y vƠ y’ đi qua D. v y C=x’ z, D=y’ t
 Cách d ng:
D ng x’=

O(x)

D ng C=x’ z
D ng y’=

O(y),

d ng D=y’ t

N i CO c t x t i A, DO c t y t i B
ABCD lƠ hình bình hƠnh c n d ng.
 Ch ng minh:

23


Theo cách d ng

-1
O

bi n C,D l n l


bình hành.
 Bi n lu n:
BƠi toán luôn luôn có m t nghi m hình.

24

t thƠnh A,B nên ABCD lƠ hình


Ví d 5. D ng m t tam giác bi t m t đ nh,tr ng tơm vƠ hai đ

ng th ng

m i m t đi qua m t đ nh trong hai đ nh còn l i.

A
c
b
G

B

I

C

Gi i:
 Phân tích:
Gi s d ng đ
l nl


t thu c hai đ

c tam giác ABC th a mưn bƠi toán có A c đ nh, B,C
ng th ng b,c cho tr

c. L y I tùy ý sao cho AG=

2
AI.
3

V y I c đ nh.
I(B)=C

c

mƠ B thu c b suy ra C thu c

I(b).

 Cách d ng:
D ng I: AG=
D ng b’=

2
AI
3

I(b)


25

I(b)

l i có C thu c c nên C=