MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU----------------------------------------------------------------------------------------------2
Phần 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT------------------------------------------------------------------------3
I- TÍCH PHÂN RIEMANN-----------------------------------------------------------------------3
1.1- Đònh nghóa-----------------------------------------------------------------------------------3
1.2-Tiêu chuẩn khả tích Riemann-------------------------------------------------------------3
II- TÍCH PHÂN LEBESGUE--------------------------------------------------------------------4
2.1- Tích phân Lebesgue-----------------------------------------------------------------------4
2.1.1-Tích phân của hàm đơn giản không âm-------------------------------------------4
2.1.2- Tích phân của hàm đo được không âm-------------------------------------------4
2.1.3- Tích phân của hàm đo được bất kỳ------------------------------------------------4
2.2- Tính chất của tích phân Lebesgue-------------------------------------------------------5
2.2.1- Một số tính chất đơn giản-----------------------------------------------------------5
2.2.2- Một số tính chất sơ cấp của tích phân---------------------------------------------5
2.2.2.1- Tính cộng tính---------------------------------------------------------------5
2.2.2.2- Tính bảo toàn thứ tự--------------------------------------------------------5
2.2.2.3- Tính tuyến tính--------------------------------------------------------------5
2.2.2.4- Tính khả tích-----------------------------------------------------------------5
2.3- Qua giới hạn dưới dấu tích phân---------------------------------------------------------6
2.4- So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue-----------------------------------6
2.5- Tích phân Lebesgue xem như hàm tập--------------------------------------------------6
2.6-Độ đo tích-Đònh lý Fubini------------------------------------------------------------------7
Phần 2. BÀI TẬP------------------------------------------------------------------------------------------8
KẾT LUẬN------------------------------------------------------------------------------------------------23
TÀI LIỆU THAM KHẢO--------------------------------------------------------------------------------24
Tiểu luận: Hệ thống bài tập Tích phân Lebesgue.
1
Lời nói đầu
Lý thuyết độ đo và tích phân là một phần quan trọng trong lý thuyết hàm số
biến số thực. Cùng với giải tích hàm, độ đo và tích phân đã là nền tảng cho kiến thức

toán học của người nghiên cứu toán.
Khái niệm tích phân Riemann được biết trong giáo trình giải tích toán học chỉ
áp dụng được cho những hàm liên tục hoặc có không “quá nhiều” điểm gián đoạn, bởi
vì Lebesgue đã chứng minh được rằng một hàm f xác đònh trên một đoạn
∆
đóng và bò
chặn của
k
¡ là khả tích Riemann khi và chỉ khi f bò chặn và liên tục hầu khắp nơi trên
∆
. Đối với hàm đo được thì chúng có thể gián đoạn khắp nơi trên miền xác đònh ( hay
tổng quát hơn, những hàm xác đònh trên một tập hợp trừu tượng, do đó khái niệm liên
tục hoàn toàn không có nghóa gì cả) thì phép xây dựng tích phân theo Riemann không
thể áp dụng được. Tuy nhiên, đối với những hàm số như vậy thì lại tồn tại một khái
niệm tích phân khác, hoàn hảo và mềm dẻo hơn nhiều. Đó là tích phân Lebesgue.
Tìm hiểu về tích phân Lebesgue ta sẽ hiểu ý tưởng chính của phép xây dựng
tích phân Lebesgue là ở chổ ta không nhóm những điểm gần nhau trên trục Ox mà lại
nhóm những điểm tại đó giá trò của hàm gần nhau. Điều này cho phép ta mở rộng khái
niệm tích phân ra một lớp hàm rất tổng quát.
Nội dung của tiểu luận này không có ý đònh tìm hiểu sâu các khía cạnh về lý
thuyết của tích phân Lebesgue mà chỉ dừng lại ở việc Hệ thống các bài tập về tích
phân Lebesgue trên cơ sở nắm vững các kiến thức cơ bản về tích phân Lebesgue. Nội
dung của tiểu luận gồm hai phần
Phần 1. Tóm tắt lý thuyết cơ bản về tích phân tích phân Lebesgue;
Phần 2. Bài tập về tích phân tích phân Lebesgue.
Với thời gian thực hiện đề tài tương đối ngắn, khả năng chọn lọc và hệ thống
bài tập còn hạn chế. Do vậy, tiểu luận này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót rất
mong nhận được những góp ý từ bạn đọc và sự chỉ bảo của quý thầy cô giáo.
Em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Kính đã tận tình hướng dẫn
và giúp đỡ em hoàn thành tiểu luận này.

Quy Nhơn, tháng 12 năm 2008.
Võ Ngọc Sỹ
Tiểu luận: Hệ thống bài tập Tích phân Lebesgue.
2
Phần 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I- TÍCH PHÂN RIEMANN
1.1- Đònh nghóa
Cho
∆
là đoạn trong
k
¡
và f là một hàm số xác đònh trên
∆
. Gọi T là phép chia đoạn
∆

thành các đoạn con
1
∆
,
2
∆
, . . . ,
n
∆
chỉ có chung biên.
Gọi
i
∆

là độ dài của
i
∆
và
T
λ
=
1,
i
i n
Max
=
∆
: đường kính của phép chia T.
Đặt: M
i
=
( )
i
x
Sup f x
∈∆
và m
i
=
inf ( )
i
x
f x
∈∆


1
n
T i i
i
S M
=
= ∆
∑
: Tổng đacbu trên của f theo T.

1
n
T i i
i
S m
=
= ∆
∑
: Tổng đacbu dưới của f theo T.
Nếu
0 0
lim lim
T T
T T
S S I
λ λ
→ →
= =
thì ta nói hàm số f khả tích Riemann trên

∆
và tích phân Riemann
của hàm số f trên
∆
là số I và ký hiệu là: I =
( )f x dx
∆
∫
.
* Mệnh đề 1
Cho f là hàm số xác đònh trên
∆
k
⊂ ¡
. Gọi
i i i
M m
ω
= −
là dao động của f trên
i
∆
.
Khi đó f khả tích Riemann trên
∆
khi và chỉ khi
0
1
lim 0
T

n
i i
i
λ
ω
→
=
∆ =
∑
.
1.2-Tiêu chuẩn khả tích Riemann
* Đònh lý 1(Lebesgue)
Một hàm số f(x) bò chặn trên đoạn
∆
là khả tích Riemann khi và chỉ khi nó liên tục hầu
khắp nơi trên đoạn
∆
(tức là tập các điểm gián đoạn của nó có độ đo 0)
+ Ghi chú. Độ đo nói ở đây là độ đo Lebesgue trong
k
¡
1.3- Tích phân Riemann trên một tập hợp
1.3.1- Tập đo được theo nghóa Peano-Jordan
Cho A
k
∈ ¡
- không gian Euclide, A bò chặn và lấy một đoạn bất kỳ
∆
⊃
A.

Nếu hàm đặc trưng của A
1,
( )
0,
A
x A
x
x A
χ
∈

=

∉

khả tích (R ) trên đoạn
∆
thì tập A được, gọi
là đo được theo nghóa Peano-Jordan, hay ngắn hơn, đo được (P.J.) và tích phân
( ) ( )
A
R x dx
χ
∆
∫
gọi
là độ đo Peano-Jordan của tập A, ký hiệu là
( )A
µ
=

( ) ( )
A
R x dx
χ
∆
∫
.
+ Nhận xét
1- Đònh nghóa trên không phụ thuộc vào đoạn
∆
,
∆
⊃
A.
2- Điều kiện để
( ) ( )
A
R x dx
χ
∆
∫
tồn tại là
i) A bò chặn trên
k
¡
và
( ) 0A
µ δ
=
, với

A
δ
=
C
A A∩
là biên của A.
ii) f bò chặn trên A.
iii) Tập các điểm trong của A mà f không liên tục tại các điểm ấy có độ đo (L) bằng 0.
Tiểu luận: Hệ thống bài tập Tích phân Lebesgue.
3
II- TÍCH PHÂN LEBESGUE
2.1- Tích phân Lebesgue
2.1.1-Tích phân của hàm đơn giản không âm
Cho không gian đo (X,F ,
µ
), A là tập đo được A
∈
F f là hàm số đơn giãn không âm trên
A. Khi đó: f(x) =
1
( )
i
n
i A
i
x
α χ
=
∑
, trong đó

i
A
đo được, rời nhau,
1
n
i
i
A A
=
= U
và
0
i
α
≤ ∈ ¡
.
Tích phân của hàm số f trên A theo độ đo
µ
được đònh nghóa và ký hiệu như sau
A
fd
µ
∫
=
1
( )
n
i i
i
A

α µ
=
∑
.
Đặt biệt, nếu
µ
là độ đo Lebesgue thì tích phân trên là tích phân Lebesgue.
+ Nhận xét. Đònh nghóa trên không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành tổ hợp tuyến tính
của hàm đặc trưng.
* Một số tính chất đơn giản
1- Nếu f,g là hai hàm đơn giản trên A và f
≤
g trên A thì
A
fd
µ
∫
≤
A
gd
µ
∫
.
2-
( ) ( )
B
A
x d A B
αχ µ αµ
= ∩

∫
2.1.2- Tích phân của hàm đo được không âm
* Đònh nghóa. Cho f là hàm đo được không âm. Theo cấu trúc của hàm đo được thì tồn tại một
dãy hàm đơn giản không âm trên tập A là
{ }
:
n n
f f fZ
trên A:
A
fd
µ
∫
=
lim
n
n
A
f d
µ
→∞
∫
.
* Nhận xét
1- Đònh nghóa trên không phụ thuộc vào dãy hàm đơn giản không âm
n
f fZ
.
2- Hàm đo được không âm trên một tập A luôn tồn tại tích phân trên tập đó.
3-Nếu độ đo

µ
là độ đo Lebesgue thì tích phân trên gọi là tích phân Lebesgue.
2.1.3- Tích phân của hàm đo được bất kỳ
Cho f là hàm đo được trên tập A theo độ đo
µ
. Đặt
_
( ) ( ( );0)f x Max f x= −
.
Vì
( ), ( )f x f x
+ −
đo được và không âm trên A nên tồn tại
A
f d
µ
+
∫
và
A
f d
µ
−
∫
.
Nếu
A
f d
µ
+

∫
-
A
f d
µ
−
∫
có nghóa thì
A
fd
µ
∫
tồn tại và được đònh nghóa là
A
fd
µ
∫
=
A
f d
µ
+
∫
-
A
f d
µ
−
∫
.

Nếu độ đo
µ
là độ đo Lebesgue thì tích phân trên gọi là tích phân Lebesgue.
*Đònh nghóa. Cho f là hàm số đo được trên A theo độ đo
µ
, f được gọi là khả tích trên A theo
độ đo
µ
nếu tồn tại
A
fd
µ
∫
là một số hữu hạn.
Nếu độ đo
µ
là độ đo Lebesgue thì tích phân trên gọi là tích phân Lebesgue.
2.2- Tính chất của tích phân Lebesgue
Tiểu luận: Hệ thống bài tập Tích phân Lebesgue.
4
2.2.1- Một số tính chất đơn giản
* Mệnh đề 2
1- Nếu f đo được trên A và
µ
(A) = 0 thì
A
fd
µ
∫
= 0.

2- Nếu
µ
(A)<
+∞
, f đo được và bò chặn trên A thì f khả tích trên A.
2.2.2- Một số tính chất sơ cấp của tích phân
2.2.2.1- Tính cộng tính
* Mệnh đề 3. Cho A, B đo được, rời nhau.
Khi đó
A B
fd
µ
∪
∫
=
A
fd
µ
∫
+
B
fd
µ
∫
nếu một trong hai vế của có nghóa.
+ Hệ quả
1- Cho E là tập con đo được của A. Nếu tồn tại
A
fd
µ

∫
thì tồn tại
E
fd
µ
∫
.
Đặt biệt, nếu f khả tích trên A thì f khả tích trên E.
2- Nếu
µ
(B) = 0 thì
A B
fd
µ
∪
∫
=
A
fd
µ
∫
.
2.2.2.2- Tính bảo toàn thứ tự
* Mệnh đề 4. Cho f, g là các hàm đo được trên A. Nếu f
:
g trên A thì
A
fd
µ
∫

=
A
gd
µ
∫
khi một
trong hai vế có nghóa.
+ Nhận xét. Nếu f đo được trên A’
⊂
A và
µ
(A\A’) = 0 thì
A
fd
µ
∫
=
'A
fd
µ
∫
.
* Mệnh đề 5. Cho f, g là hai hàm số đo được trên A. Nếu f
≤
g hầu khắp nơi trên A thì
A
fd
µ
∫
≤

A
gd
µ
∫
. Đặt biệt nếu f
≥
0 hầu khắp nơi trong tập A thì
A
fd
µ
∫
≥
0.
+ Hệ quả
1- Nếu f khả tích trên A thì f hữu hạn hầu khắp nơi trên A.
2- Nếu f không âm và đo được trên A thì
A
fd
µ
∫
= 0
⇒
f(x) = 0 hầu khắp nơi trên A.
2.2.2.3 – Tính tuyến tính
* Mệnh đề 6. Giả sử f, g đo được trên A, c
∈ ¡
. Khi đó, ta có
1-
A
cfd

µ
∫
=
A
c fd
µ
∫
.
2-
( )
A
f g d
µ
+
∫
=
A
fd
µ
∫
+
A
gd
µ
∫
, nếu vế phải có nghóa.
2.2.2.4– Tính khả tích
* Mệnh đề 7. Cho f đo được trên tập A, nếu
A
fd

µ
∫
có nghóa thì
A A
fd f d
µ µ
≤
∫ ∫
.
Đặt biệt, f khả tích trên A 
f
khả tích trên A.
+ Chú ý
- Đối với tích phân Riemann,
f
khả tích trên A thì không suy ra được f khả tích trên A.
- Để xét tính khả tích Lebesgue hàm số f ta đưa về xét tính khả tích của
f
.
Tiểu luận: Hệ thống bài tập Tích phân Lebesgue.
5
* Mệnh đề 8. Giả sử f, g đo được trên A. Khi đó
1- Nếu f, g khả tích trên A thì f
±
g khả tích trên A.
2- Nếu f khả tích trên A và g bò chặn hầu khắp nơi trên A thì f.g khả tích trên A.
3- Nếu
f
≤
g hầu khắp nơi trên A và g khả tích trên A thì f cũng khả tích trên A.

2.3- Qua giới hạn dưới dấu tích phân
Ta tập trung giải quyết vấn đề làVới điều kiện nào ta có
lim lim
n n
n n
A A
f f
→∞ →∞
=
∫ ∫
.
2.3.1- Đònh lý 2 (Đònh lý Levi). Nếu
0
n
f f≤ Z
thì
n
A A
f f→
∫ ∫
.
2.3.2- Đònh lý 3 (Về sự hội tụ đơn điệu). Nếu
n
f fZ
và f
1
khả tích trên A thì
lim
n
n

A A
f f
→∞
=
∫ ∫
.
+ Hệ quả
1- Nếu
0
n
g ≥
trên A thì
1 1
n n
n n
A A
g g
∞ ∞
= =
=
∑ ∑
∫ ∫
.
2- Nếu
0
n
g ≥
trên A và
1
n

n
A
g
∞
=
< ∞
∑
∫
thì
1
n
n
g
∞
=
< ∞
∑
hầu khắp nơi trên A và hàm số
1
( ) ( )
n
n
g x g x
∞
=
=
∑
khả tích trên A.
* Bổ đề Fatou. Nếu
0

n
f ≥
trên A thì
lim
lim
n n
n
n
A A
f f
→∞
→∞
≤
∫ ∫
.
+ Chú ý. Nếu
n
f g≥
và g khả tích trên A thì bổ đề Fatou cũng đúng.
2.3.3- Đònh lý 5 (Hội tụ chặn)
Nếu
n
f g≤
, g khả tích và
n
f f→
(hầu khắp nơi hay theo độ đo) trên A thì
n
A A
f f→

∫ ∫
.
+ Hệ quả. Nếu
n
f K≤
(K – hằng số),
n
f f→
(hầu khắp nơi hay theo độ đo) trên A và
( )A
µ
< ∞
thì
n
A A
f f→
∫ ∫
.
2.4- So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue
Đònh lý 6
Trong không gian
k
¡
, nếu một hàm số f(x) là khả tích Riemann trên một đoạn
k
∆ ⊂ ¡
thì
nó cũng khả tích Lebesgue và hai tích phân Riemann và Lebesgue bằng nhau
( ) ( )R f L f
∆ ∆

=
∫ ∫
2.5- Tích phân Lebesgue xem như hàm tập
Trên không gian đo (X, F,
µ
) ta cho hàm f xác đònh và có tích phân trên X. Lúc đó ta xây
dựng được hàm tập hợp
λ
: F
→ ¡

( )
A
A A fd
λ µ
=
∫
a
Hàm tập
λ
được gọi là tích phân bất đònh của
f
.
Tiểu luận: Hệ thống bài tập Tích phân Lebesgue.
6
Đònh lý 7. Hàm tập hợp
λ
là
σ
- cộng tính, nghóa là nếu có A

n

∈
A, các A
n
đôi một rời nhau và
1
n
n
A A
∞
=
=
U
thì
1
n
n
A A
f f
∞
=
=
∑
∫ ∫
.
* Nhận xét
1- Nếu
0
n

f ≥
và đo được trên X thì hàm tập
λ
là một độ đo trên
σ
- đại số F.
2- Nếu
1
n
n
A
f
∞
=
< ∞
∑
∫
thì hàm F khả tích trên A.
Đònh lý 8 (Tính liên tục tuyệt đối của tích phân)
Nếu f là hàm khả tích trên A thì với mọi
ε
>0 tồn tại
δ
>0 sao cho
E
fd
µ ε
<
∫
, với mọi tập E

đo được chứa trong A mà
( )E
µ δ
<
.
2.6- Độ đo tích - Đònh lý Fubini
2.6.1- Độ đo tích
Giả sử M là một
σ
-đại số tập hợp gồm các tập con nào đó của X, và N là một
σ
-đại
số tập hợp gồm các tập con nào đó của Y.
Và
µ
là một độ đo trên M ,
γ
là một độ đo trên N .
Tập M x N :={(a;b): a
∈
M; b
∈
N } gọi là tập hình chữ nhật.
Tập M x N nói chung không phải là một
σ
-đại số trong XxY. Khi đó tồn tại
σ
-đại số
trong XxY chứa M x N , ký hiệu là M
x

σ
N .
* Bổ đề. Cho Q
∈
M
x
σ
N , gọi Q
(x)
={y
∈
Y: (x; y)
∈
Q}, x
∈
X, Q
(y)
={x
∈
X: (x; y)
∈
Q}, y
∈
Y. Khi
đó ta có
1-
γ
( Q
(x)
) đo được theo độ đo

µ
trên X.
2-
µ
( Q
(x)
) đo được theo độ đo
γ
trên Y.
3-
( ) ( )
( (
x y
X X
Q d Q d
γ µ µ γ
=
∫ ∫
.
* Đònh nghóa.
λ
(Q)=
( ) ( )
( ) ( )
x y
X X
Q d Q d
γ µ µ γ
=
∫ ∫

là một độ đo trên M x N gọi là độ đo tích của
hai độ đo
µ
và
γ
, ký hiệu là
λ
=
µ
x
γ
.
+Nhận xét. Nếu Q = AxB, A
∈
M, B
∈
N,
( )
,
,
x
B x A
Q
x A
∈

=

∅ ∉


và
( )
,
,
y
A x B
Q
x B
∈

=

∅ ∉

thì
λ
(Q)=
( ) ( ) ( ). ( )
X X
B d A d A B
γ µ µ γ µ γ
= =
∫ ∫
.
2.6.2- Đònh lý Fubini
Cho
µ
là một độ đo
σ
hữu hạn trong một

σ
đại sốâ M trong khômg gian X,
γ
là một độ đo
σ
hữu hạn trong một
σ
đại số N trong không gian Y, f(x;y) là một hàm đo được theo độ đo tích
λ
=
µ
x
γ
. Nếu f(x;y) là hàm không âm hoặc khả tích trên tập AxB
∈
MxN thì ta có
( ; ) ( ( ; ) )
AxB A A
f x y d f x y d d
λ µ γ
=
∫ ∫ ∫
Và khi f(x;y) khả tích trên AxB thì, với hầu hết mọi y
∈
B, hàm số f(x;y) xem như hàm số một
biến x khả tích trên A; đồng thời với hầu hết x
∈
A, hàm số f(x;y) xem như hàm số một biến y
khả tích trên B.
Tiểu luận: Hệ thống bài tập Tích phân Lebesgue.

7
Phần 2. BÀI TẬP
2.1
Nếu f khả tích trên A thì với mọi số
ε
>0,
{ }
( : ( ) )x A f x
µ ε
∈ ≥ < ∞
.
Giải.
Sử dụng phương pháp phản chứng.
Giả sử tồn tại
0
ε
>0 sao cho
{ }
0
( : ( ) )x A f x
µ ε
∈ ≥ = ∞
.
Đặt
{ }
0
: ( )A x A f x
ε
ε
= ∈ ≥

.
Khi đó
0
0 0
0 0
( )
A A A
f d f d d A
ε ε
ε
µ µ ε µ ε µ
≥ ≥ = = ∞
∫ ∫ ∫
.
Suy ra
f
không khả tích (L), do đó f không khả tích (L). Điều này trái với giả thiết.
Vậy, nếu f khả tích trên A thì với mọi số
ε
>0,
{ }
( : ( ) )x A f x
µ ε
∈ ≥ < ∞
.
2.2
Nếu f là hàm đo được, g là hàm khả tích và
,
α β
là hai số thực sao cho

( )f x
α β
≤ ≤
hầu
khắp nơi thì có một số thực
:
γ α γ β
≤ ≤
sao cho
f g d g d
µ γ µ
=
∫ ∫
.(Đònh lý giá trò trung bình).
Giải.
* Nếu
g d
µ
∫
=0 thì
g d
µ
∫
=0 
0g =
hầu khắp nơi trên A
 f
0g =
hầu khắp nơi trên A 
f g d

µ
∫
=0.
Khi đó, ta chọn
γ
bất kỳ sao cho:
α γ β
≤ ≤
, ta có
f g d g d
µ γ µ
=
∫ ∫
(đpcm).
* Nếu
g d
µ
∫
≠
0 thì,
Vì
( )f x
α β
≤ ≤
nên
g g f g
α β
≤ ≤
.
Suy ra

g d g f d g d
α µ µ β µ
≤ ≤
∫ ∫ ∫


g d g f d g d
α µ µ β µ
≤ ≤
∫ ∫ ∫

g f d
g d
µ
α β
µ
≤ ≤
∫
∫
.
Chọn
g f d
g d
µ
γ
µ
=
∫
∫
ta có điều phải chứng minh.

2.3
Cho n tập con đo được
1
A
;
2
A
,…,
n
A
của một tập đo được X có
( )X
µ
< ∞
.Nếu mỗi x
∈
X thuộc ít
nhất q trong số các tập
1
A
;
2
A
,…,
n
A
thì ít nhất một trong các tập này có độ đo
( )
q
X

n
µ
≥
.
Giải.
Đặt f(x) =
1
( ),
i
A
n
x x X
χ
∞
=
∈
∑
. Khi đó f đo được và f(x)
≥
q với
x X∀ ∈
.
Tiểu luận: Hệ thống bài tập Tích phân Lebesgue.
8
Suy ra
( ) ( )
X
f x d q X
µ µ
≥

∫
, hay
1
( ) ( )
n
i
i
A q X
µ µ
=
≥
∑
. (1)
Giả sử các A
i
, i=
1, n
đều có độ đo <
q
n
thì ta có
1
( ) ( )
n
i
i
A q X
µ µ
=
<

∑
, mâu thuẩn với (1).
Suy ra điều phải chứng minh.
2.4
Cho f(x) là hàm đo được, không âm trên A và cho hàm chặt cụt ở N của f(x) như sau
( ), ( )
( )
0 , ( )
N
f x f x N
f x
f x N
≤

=

>

Nếu f(x) hữu hạn hầu khắp nơi thì
lim ( ) ( )
N
N
A A
f x d f x d
µ µ
→∞
=
∫ ∫
.
Giải.

* Ta có f
N
(x) tăng trên A. Thật vậy, với
x A∀ ∈
, ta có
- Nếu f(x)
≤
N thì f
N
(x)=f(x)= f
N+1
(x).
- Nếu f(x)
≤
N+1, f(x) > N thì f
N
(x) = 0 < N+1= f
N+1
(x).
- Nếu f(x) > N thì f
N
(x) = f
N+1
(x) = 0.
Do f hữu hạn hầu khắp nơi trên A nên tồn tại B
⊂
A:
( ) 0, ( ) , \ .B f x x A B
µ
= < +∞ ∀ ∈

Vì
( )f x < +∞
nên tồn tại
n
∈
¥
: f(x)
≤
n.
Khi đó với mọi N > n, ta có f
N
(x)= f(x). Suy ra
lim
N→∞
f
N
(x)= f(x).
Vậy f
N
(x)Z f(x) trên A\B.
Hơn nữa,
0 ( )
n
f x≤
đo đựoc trên A ( vì f(x) đo được trên A) nên theo đònh lý Levi , ta có
\ \
lim ( ) ( )
N
N
A B A B

f x f x
→∞
=
∫ ∫
.
Vì
\ \
\ \
( ) ( ) ( ) ( ); ( ( ) 0)
( ) ( ) ( ) ( ); ( ( ) 0)
A A B B A B
N N N N
A A B B A B
f x f x f x f x Do B
f x f x f x f x Do B
µ
µ

= + = =



= + = =



∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫

nên

\ \
lim ( ) lim ( ) ( ) ( )
N N
N N
A A B A B A
f x d f x d f x d f x d
µ µ µ µ
→∞ →∞
= = =
∫ ∫ ∫ ∫
(đpcm).
2.5
Nếu f
n
≥
0(n=1,2,…) và
0
n
A
f d
µ
→
∫
thì f
n

→
0 theo độ đo trên A.
Giải.
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử
n
A
f
µ
→ 0
. Khi đó tồn tại
0
ε
>0 sao cho
{ }
0
:
n
n
x A f
µ ε
→∞
∈ ≥ → 0
.
Do đó tồn tại
{ }
0 0 0 0
0 : ; : : :
n
n n n n x A f
δ µ ε δ
> ∃ ∈ ∀ > ∈ ≥ ≥¥
.
Suy ra có một dãy con

{ }
{ }
n
k n
f f⊂
thoã
{ }
0
:
n
k
x A f
µ ε δ
∈ ≥ ≥
với mọi k
n
.
Ta có
0 0 0 0
( )
n n
k
n
k k
A A A
f d d d A
µ ε µ ε µ ε µ δε
≥ ≥ = ≥
∫ ∫ ∫
.

Tiểu luận: Hệ thống bài tập Tích phân Lebesgue.
9