Khoá lu n t t nghi p
L IC M

N

Em xin chân thành c m n các th y giáo, cô giáo trong t Hình h c và
trong khoa Toán tr

ng

HSP Hà N i 2 đã quan tâm và giúp đ em trong

th i gian em nghiên c u và hoàn thành khóa lu n c a mình.
Em xin bày t lòng bi t n sâu s c t i th y
t n tình h
đ

inh V n Th y, ng

i đã

ng d n em trong su t th i gian v a qua đ em có th hoàn thành

c khóa lu n này.
Do trình đ và th i gian nghiên c u còn h n ch nên nh ng v n đ mà

em trình bày trong khoá lu n kho tránh kh i nh ng thi u sót. Em kính mong
nh n đ

c s ch b o và đóng góp ý ki n c a các th y giáo, cô giáo, các b n

sinh viên đ khóa lu n c a em đ

c hoàn thi n h n.

Em xin chân thành c m n!
Hà N i, tháng 05 n m 2010
Sinh viên

Phan Th Minh Hu

Phan Th Minh Hu

1

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p

L i cam đoan
Em xin cam đoan khóa lu n này đ

c hoàn thành do s n l c tìm hi u,

nghiên c u c a b n thân, cùng v i giúp đ t n tình c a th y
và s giúp đ c a các th y cô trong khoa toán tr

inh V n Th y

ng HSP Hà N i 2.


B n khóa lu n này không trùng v i k t qu c a các tác gi khác. N u
trùng em xin hoàn toàn ch u trách nhi m!

Hà N i , tháng 05 n m 2010
Sinh viên

Phan Th Minh Hu

Phan Th Minh Hu

2

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p

m cl c

N i dung

Trang

L ic m n

1

L i cam đoan


2

M cl c

3

M đ u

5

Ch

6

ng 1: Các ki n th c chu n b

1.1.Không gian afin

6

1.1.1. nh ngh a không gian afin

6

1.1.2.Các tính ch t đ n gi n

6

1.1.3.Ph ng trong không gian afin


7

1.1.4.H đi m đ c l p

7

1.2.Tơm t c

Ch

8

1.2.1.Khái ni m tâm t c

8

1.2.2.Nh n xét

9

1.2.3.M t s đ nh lí

10

ng 2: ng d ng tơm t c đ gi i m t s bƠi toán

13

2.1. ng d ng tơm t c đ gi i m t s bƠi toán ch ng minh


13

2.1.1.Bài t p m u

13

2.1.2.Bài t p đ ngh

20

2.2. ng d ng tơm t c đ gi i m t s bƠi toán tính toán

23

2.2.1.Bài t p m u

23

2.2.2.Bài t p đ ngh

32

Phan Th Minh Hu

3

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p


2.3. ng d ng tơm t c đ gi i m t s bƠi toán qu tích

35

2.3.1.Bài t p m u

35

2.3.2.Bài t p đ ngh

43

2.4. ng d ng tơm t c đ gi i m t s bƠi toán d ng hình

47

2.4.1.Bài t p m u

47

2.4.2.Bài t p đ ngh

57

K t lu n

60

TƠi li u tham kh o


61

`

Phan Th Minh Hu

4

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
M đ u
1.Lý do ch n đ tƠi:
Toán h c là m t môn h c gây nhi u h ng thú đ i v i nh ng h c sinh
yêu toán. H c t t môn toán giúp các em có kh n ng t duy logic và l p lu n
v n đ m t cách ch t ch . Trong các môn c a toán h c, hình h c luôn đ

c

coi là môn h c khó nh t đ i v i nhi u h c sinh.
Trong ch

ng trình hình h c

ph thông h c sinh đ

c bi t đ n các


khái ni m: Trung đi m c a đo n th ng, tr ng tâm c a tam giác, và tr ng tâm
c a t di n.
trình bày

ó đ u là các tr

ng h p riêng c a khái ni m tâm t c đ

c

b c cao đ ng và đ i h c khi chúng ta làm quen v i môn hình h c

Afin .
góp ph n làm rõ tính th ng nh t gi a khái ni m tâm t c và các
khái ni m mà h c sinh ph thông đ

c bi t đ n đã nêu trên, em đi sâu nghiên

c u v lý thuy t tâm t c và ng d ng c a nó đ gi i các bài toán hình h c.
Trong khuôn kh m t lu n v n t t nghi p, do th i gian nghiên c u có
h n, em ch trình bày nh ng ki n th c c b n v tâm t c và ng d ng c a nó
trong m t s l p bài toán: ch ng minh, tính toán, qu tích, d ng hình.
ó là nh ng lý do mà em ch n đ tài:“ Tâm t c và các ng d ng “.
2.M c đích, nhi m v nghiên c u:
-Nghiên c u các ki n th c c b n c a tâm t c và ng d ng c a nó
trong vi c gi i các bài toán hình h c.
-Xây d ng h th ng bài t p và bài t p t luy n th hi n vi c s d ng
tâm t c đ gi i các l p bài toán: ch ng minh, tính toán, qu tích, d ng hình.
3.


it
-

ng, ph m vi nghiên c u:
it

ng nghiên c u: tâm t c

-Ph m vi nghiên c u: ng d ng tâm t c trong vi c gi i m t s l p bài
toán: ch ng minh, tính toán, qu tích, d ng hình.

Phan Th Minh Hu

5

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
ng pháp nghiên c u:

4.Ph

Phân tích, t ng h p tài li u có liên quan.

ch

ng 1:các ki n th c chu n b

1.1. Không gian afin

1.1.1. nh ngh a không gian afin
1.1.1.1.

nh ngh a

* Cho không gian vect V trên tr

ng K, t p A ≠  mà các ph n t c a

nó g i là đi m và ánh x  :
A A  V


( M , N )   ( M , N )  MN

B ba (A, , V) g i là không gian afin n u 2 tiên đ sau đây đ

c tho mãn:
 
i, V i m i đi m M  V, có duy nh t đi m N  A sao cho: MN  u

  

ii, V i m i đi m M, N, P  A có: MN  NP  MP

* Không gian afin (A, , V) còn g i là không gian afin A liên k t v i
không gian vect V, còn g i t t là không gian afin A trên tr ng K (ho c K không gian afin A).

Không gian vect liên k t V th ng đ c ký hi u là A .
* Không gian afin A g i là n chi u (ký hi u dim A = n) n u dim V = n.

1.1.1.2. Ví d
Không gian Euclid 2 chi u E2 và 3 chi u E3 thông th ng trình bày
tr ng trung h c ph thông là nh ng không gian afin liên k t v i không gian
vect (t do) 2 chi u, 3 chi u PTTH.
1.1.2.Các tính ch t đ n gi n

 
a. V i m i đi m M  A thì MM  0 .

Phan Th Minh Hu

6

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
 
b. V i m i đi m M , N  A mà MN  0 thì M  N .


c.V i m i c p đi m M , N  A thì MN   NM .
 
 
d. V i m i đi m M , N , P , Q  A ta có: MN  PQ  MP  NQ .
  
e. V i 3 đi m O, M , N  A ta có : MN  ON  OM .
1.1.3. Ph ng trong không gian afin

* Cho không gian afin A liên k t v i không gian vect A . G i I là m t



đi m c a A và  là m t không gian vect con c a A . Khi đó t p h p








  M  A IM  đ c g i là cái ph ng (c ng g i t t là "ph ng") qua I

và có ph ng là  .

* N u  có s chi u b ng m thì  g i là ph ng m chi u (hay còn g i là
m - ph ng).

Nh v y:
+ 0- ph ng chính là đi m.
+ n - ph ng c a không gian afin n chi u A chính là A.
+ 1- ph ng còn g i là đ

ng th ng.

+ N u dim A = n thì (n - 1 )- ph ng còn g i là siêu ph ng.
1.1.4. H đi m đ c l p
1.1.4.1.

nh ngh a


H m + 1 đi m A0, A1, ..., Am (m  1) c a không gian afin A g i là đ c
  

l p n u m vect A0 A1 , A0 A2 ,..., A0 Am c a A là h vect đ c l p tuy n tính. H
g m m t đi m A0 b t k (t c tr
1.1.4.2.
1.1.4.2.1.

ng h p m = 0) luôn đ

c xem là đ c l p.

nh lý
nh lý

Qua m + 1 đi m đ c l p c a không gian afin A có m t và ch m t
m - ph ng (m  0) .

Phan Th Minh Hu

7

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
Ch ng minh:
Gi s A0, A1 ,... , Am là m + 1 đi m đ c l p c a không gian afin A liên



k t v i không gian vect A .
  
Khi đó: H m vect A0 A1 , A0 A2 ,..., A0 Am đ c l p tuy n tính.


Ta g i  là không gian vect con c a A nh n m vect đó là c s . Bây


gi g i  là cái ph ng qua A0 có ph ng là  .
 
Rõ ràng, vì A0 Ai   nên Ai   , i, m .
V y  là cái ph ng qua m + 1 đi m đã cho.
M t khác: Do  là cái ph ng qua A0 và có ph



ng  nên  là duy nh t.

1.1.4.2.2. H qu
m +1 đi m c a không gian afin A là đ c l p khi và ch khi chúng
không cùng n m trên m t (m - 1) - ph ng (m  1) .
1.2.Tơm t c
1.2.1. Khái ni m tơm t c
nh lý

1.2.1.1.

Cho k đi m P1,P2,...,Pk c a không gian afin và k s thu c tr


1, 2 ,..., k sao cho

ng K:

n

  0 .
i 1

i

Khi đó có duy nh t đi m G sao cho:

k





 i GPi  0
i 1

Ch ng minh:
G i O là đi m tu ý c a không gian afin A. Khi đó:
k
 
  

GP
0


(
OP


i i
 i i  OG)  0
k

i 1

i 1

Phan Th Minh Hu

8

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
k


  i OPi  ( i )OG
k

i 1

i 1



 OG 

k


i 1



k

1

 i OPi

(1)

i 1

i

ng th c (1) ch ng t đi m G xác đ nh và duy nh t.
nh ngh a

1.2.1.2.

i m G th a mãn đ nh lý nêu trên đ


c g i là tâm t c c a h đi m

{Pi} g n v i h h s i.
ng h p các  i b ng nhau, đi m G g i là tr ng tâm c a h

Trong tr
đi m {Pi}.

Khi k=2 thì tr ng tâm G c a h 2 đi m P1 , P2 còn đ
đi m c a đo n [P1P2] .

c g i là trung

1.2.2. Nh n xét
k

N u thay các h s i , i  1, k,  i  0 b i mi , m  K \ 0 thì tâm t c
i 1

G không thay đ i.
Th t v y:
k

Gi s G là tâm t c c a h đi m {Pi} g n v i h h s i , i, k ,  i  0
i 1

 
Khi đó ta có :  i GPi  0
k


i 1

k

Do

 i  0 nên
i 1

k

 m  0 , m K \ 0 .
i 1

i

Do đó:

Phan Th Minh Hu

9

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
G i G' là tâm t c c a h đi m {Pi} g n v i h h s mi , i  1, k, m K \ 0 .

 


m
G
(
)
 i ' Pi  0
k

Khi đó ta có:



i 1

k
 
m i G ' Pi  0
i 1

k







 i G ' Pi  0
i 1

(do m K \ 0 )


Suy ra: G' là tâm t c c a h đi m {Pi} g n v i h h s i , i  1, k
Do tâm t c c a h đi m g n v i h h s đã cho là duy nh t nên ta có:G' 
G.
T đi u ch ng minh đ

c

trên ta có nh n xét:

ng h p G là tr ng tâm c a h đi m có th l y i  1, i  1, k
 1 k 
và khi đó tr ng tâm G c a h đi m {Pi} đ c xác đ nh b i : OG   OPi
k i 1
Trong tr

1.2.3. M t s đ nh lý
1.2.3.1
1.2.3.1.1.

nh lý 1
nh lý

T p h p t t c các tâm t c c a h đi m P0, P1, ..., Pk (v i các h h s
khác nhau) là cái ph ng bé nh t ch a các đi m y.
Ch ng minh :
G i  là cái ph ng bé nh t ch a các đi m Pi , i  0, k
 

Khi đó: Các vect P0 P1 , P0 P2 ,..., P0 Pk thu c ph ng  c a ph ng .

Ta l y h vect con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h vect trên, gi s đó là:
 
P0 P1 , P0 P2 ,..., P0 Pk ( s  k) .
V y dim = s . Khi đó:
 
i m G    P0G  

Phan Th Minh Hu

10

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
 s 
 P0G   i P0 Pi
i 1

 s
 
 P0G   i (GPi  GP0 )
i 1

 s

 (1   i )GP0   iGPi  0
s

i 1


(2)

i 1

ng th c (2) ch ng t G là tâm t c c a h đi m P0,...,Pk g n v i h các h
s :

s

1    i , 1 , 2 ,..., s ,0,...,0
i 1

Ng

c l i, n u G là tâm t c c a h đi m P0, P1, ... Pk g n v i h h s
k
 
0 , 1,..., k thì:
 i GPi  0
i 0

  
  i (GP0  P0 Pi )  0
k

i 0

k
 k  

 ( i )GP0   i .P0 Pi  0
i 0

i 1


1
 P0G  k

k


i 0



 i P0 Pi
i 1

i

 
 P0G    G  

1.2.3.1.2. H qu
Cho m - ph ng  đi qua m + 1 đi m đ c l p P0,P1, ...,Pm. Khi đó 
chính là t p h p các tâm t c c a h đi m đó (g n v i các h h s khác
nhau).
1.2.3.2.
1.2.3.2.1.


nh lý 2
nh lý

Phan Th Minh Hu

11

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
Cho m - ph ng  đi qua m + 1 đi m đ c l p P0, P1, ..., Pm và 1 đi m O
tu ý. i u ki n c n và đ đ đi m M   là:

 m 
OM   i OPi , Trong đó:
i 0

m

 1
i 0

i

Ch ng minh:
Vì  là m - ph ng đi qua m + 1 đi m đ c l p P0, P1, ..., Pm nên theo h
qu 2.3.1.2 ta có:  là t p h p các tâm t c c a h đi m P0, P1,..., Pm (g n v i
các h h s khác nhau).


Do đó:

i mM
 M là tâm t c c a h đi m P0, P1, ..., Pm g n v i h h s

0' , 1' ,..., m' nào đó.
 
  i' MPi  0
m

i 0

  
  i' (OPi  OM )  0
m

i 0

m
 m 
 ( i' )OM   i' OPi
i 0

m

Vì


i 0


'
i

 0 nên n u đ t i 

i 0

i'

 m 
thì:  i  1 và (3)  OM   i OPi
m

m


i 0

V y đ nh lý đ

(3)

'
i

i 0

i 0


c ch ng minh.

1.2.3.2.2. Nh n xét
Cho m + 1 đi m đ c l p P0, P1,..., Pm.
* Theo đ nh lý 2.3.2.1 ta có m - ph ng  đi qua m +1 đi m đ c l p P0,
P1,…,Pm g m nh ng đi m M sao cho v i đi m O nào đó :

Phan Th Minh Hu

12

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
 m 
OM   i OPi

m

 1

V i

i 0

i 0

i


Bây gi ta xét t p h p g m nh ng đi m M sao cho:

 m 
OM   i OPi

m

   1 và   0 ;

V i

i 0

i 0

i

i

i = 0, 1, ..., m

T p h p đó đ c g i là m - đ n hình v i các đ nh P0, P1,..., Pm và ký
hi u là: S(P0,P1,...,Pm.).

 m 
* T p h p nh ng đi m M sao cho P0 M   i P0 Pi ,v i 0  i  1, i  1, m đ c
i 0

g i là m - h p.
ch


ng 2 : ng d ng tơm t c đ gi i m t s bƠi toán

2.1. ng d ng tơm t c đ gi i m t s bƠi toán ch ng minh
2.1.1. Bài t p m u
Bài 1:
Cho G' là tâm t c c a h k đi m P1,..., Pk g n v i h h s 1, ..., k
k

( i  0) . Cho G'' là tâm t c c a h m - k đi m Pk+1, ..., Pm g n v i h h
i 0

m

s k+1, ..., m (   j  0) . Ch ng t r ng khi đó G là tâm t c c a h đi m
j k 1

k

G', G'' g n v i h h s  '   i và

" 

i 1

m



j  k 1


j

.

BƠi gi i
Do G' là tâm t c c a h đi m P1, ..., Pk g n v i h h s 1,...,k nên :

 
 i G' Pi  0
k

(1)

i 1

Phan Th Minh Hu

13

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
T

s

ng t , vì G'' là tâm t c c a h m - k đi m Pk+1, ...,Pm g n v i h h
 

m
(2)
k+1, ..., m nên :
  j G'' Pj  0
j k 1

T (1) và (2) suy ra:
k

G

 i ' Pi 
i 1

m





  j G " Pj  0

j  k 1

k
m
 
  
  i (GP i  GG ')    j (GP j  GG '' )  0
i 1


j  k 1

 m
 
k


'
  i GP i    j GPj  ( i GG    j GG '' )  0
k

m

i 1

j  k 1

i 1


k

  i GP i   i GG ' 
m

i 1

m




i 1

j  k 1

j  k 1


 j GG ''
(3)

M t khác:
Do G là tâm t c c a h m đi m P1, ..., Pm g n v i h h s 1, ..., m
m
 

GP
nên:
(4)
 i i 0
i 1

T (3) và (4) ta suy ra:

k



i 1


L i có :

m





 i GG '    j GG "  0

(5)

j  k 1

k

m

k

i 1

j  k 1

i 1

 '   i ;  ''    j   '  ''   i 

m


  0

j k 1

i

(6)

T (5) và (6) suy ra:
G là tâm t c c a h 2 đi m G', G'' g n v i h h s ', ''.
Bài 2:
Cho 4 đi m phân bi t P1, P2, P3, P4. Xét đ ng th ng đi qua 1 trong 4
đi m đó và đi qua tr ng tâm c a 3 đi m còn l i (có 4 đ ng th ng nh v y).
L i xét các đ ng th ng đi qua trung đi m c a đo n th ng n i 2 đi m trong 4
đi m đó và đi qua trung đi m c a đo n th ng n i 2 đi m còn l i (có 3 đ ng
th ng nh v y). Ch ng minh r ng: 7 đ ng th ng nói trên cùng đi qua 1
đi m.

Phan Th Minh Hu

14

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
BƠi gi i.
G i G là tr ng tâm c a 4 đi m P1, P2, P3, P4.
    

 GP1  GP2  GP3  GP4  0

(1)

- Xét 4 đ ng th ng đi qua 1 trong 4 đi m P1, P2, P3, P4 và đi qua tr ng
tâm c a 3 đi m còn l i:
Gi s d1 là đ

ng th ng đi qua P1 và tr ng tâm G1 c a 3 đi m P2, P3,

P4.
   
Do G1là tr ng tâm c a P2, P3, P4 nên : GP2  GP3  GP4  3GG1


T (1) và (2) suy ra: GP1  3GG1

(2)

 G , G1, P1 th ng hàng.
Hay G  d1.
Ch ng minh t

ng t ta c ng có: G n m trên 3 đ

ng th ng còn l i.

Xét 3 đ ng th ng đi qua trung đi m c a đo n th ng n i 2 trong 4 đi m
P1, P2, P3, P4 và đi qua trung đi m c a đo n th ng n i 2 đi m còn l i.
G i G', G'' l n l t là trung đi m c a P1P2, P3P4.

 

GP1  GP2  2GG '
   

GP3  GP4  2GG ''
   
 
 GP 1  GP2  GP 3  GP 4  2(GG '  GG '')
G i d là đ

ng th ng đi qua G', G''
  
  
2(GG '  GG '')  0  GG ' GG ''  0
T (1) và (3) suy ra :

(
3

Suy ra: G, G', G'' th ng hàng.
Hay: G d.
Ch ng minh t
V y: 7 đ

ng t ta c ng có: G n m trên 2 đ

ng th ng còn l i.

ng th ng đã cho đ ng quy t i G.


* T bài toán trên ta có nh n xét:

Phan Th Minh Hu

15

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
Ta có th m r ng bài toán trên cho m đi m phân bi t:
"Cho m đi m phân bi t P1, P2 , ..., Pm.. Xét các đ ng th ng đi qua
tr ng tâm c a k đi m trong h đi m {P1, ..., Pm} và đi qua tr ng tâm c a (mk) đi m còn l i trong h đi m đó (k = 1; 2; ...; m -1 ). Ch ng minh r ng: T t
c các đ ng th ng đó đ ng quy".
BƠi gi i
G i G là tr ng tâm c a h m đi m P1, P2, ..., Pm thì:

 
GP
 i0
m

(1)

i 1

V i m i k  {1; 2; ...: m-1}:
Xét các đ ng th ng đi qua tr ng tâm c a k đi m trong h đi m
P1, ...,Pm và đi qua tr ng tâm c a (m - k) đi m còn l i trong h đi m đó:

Không gi m t ng quát, gi s k đi m trong h đi m P 1, ..., Pm là
P1, ..., Pkvà (m - k ) đi m còn l i là Pk+1, ..., Pm.
G i G' là tr ng tâm c a h đi m P1, P2, ..., Pk ta có:



GP
k
.
GG
'

 i
k

i 1

(2)
G i G'' là tr ng tâm c a h đi m Pk+1, Pk + 2, ..., Pm.





(
)
''
GP

m


k
GG
 j
m

(3)

j  k 1

G i d là đ

ng th ng qua G', G"


T (2) và (3) ta suy ra :  GP i 
k

i 1



GP

kGG
'

(
m


k
)
GG
''
 j
m

j  k 1




  GPi  kGG '  (m  k )GG ''
m

(4)

i 1

T (1) và (4) suy ra:


 
kGG '  (m  k)GG ''  0

Suy ra: G, G', G'' th ng hàng.
Hay G  d

Phan Th Minh Hu


16

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
Ch ng minh t
V y các đ

ng t ta có: G thu c các đ

ng th ng còn l i.

ng th ng đang xét đ ng quy t i G.

Bài 3:
Trong không gian, cho t di n ABCD. G i G là tr ng tâm tam giác
BCD và O là tr ng tâm t di n. Ch ng minh r ng: A, O, G th ng hàng.
BƠi gi i
G i M, N l n l
 

OA  OB  2OM

  
OC  OD  2ON

t là trung đi m c a AB, CD ,ta có :

Vì O là tr ng tâm c a t di n ABCD nên :

    
OA OB  OC  OD  0
  
 2OM  2ON  0
  
 OM  ON  0  O là trung đi m c a MN
     
t AB  m, AC  n, AD  p
 1    1   
Do G là tr ng tâm  BCD nên : AG  ( AB  AC  AD)  (m  n  p )
3
3

(1)

Do O là trung đi m c a MN nên:

 1   1  1  1   
AO  ( AM  AN )   AB  ( AC  AD) 
2
2 2
2


1    1   
 ( AB  AC  AD)  (m  n  p)
4
4



T (1) và (2) suy ra: 3 AG  4 AO

(2)

 A, O, G th ng hàng (đpcm).
Bài 4:
Trong m t ph ng cho k đi m P1, ..., Pk và k s 1, ..., k.

Phan Th Minh Hu

17

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
a. N u

k

   0 thì g

i G là tâm t c c a h đi m P1, ..., Pk g n v i h

i

i 1

h s {1, ..., k}. Ch ng minh r ng: Khi đó v i đi m O tùy ý ta có:
k


k

k

i 1

i 1

i 1

 iOPi 2   iGPi 2  ( i )OG 2

th c

(H

Lagrange).
b. N u

k

 i  0 thì ch ng minh r ng:
i 1



k

  i OP i là vect không đ i.

i 1

Bài gi i
k

a. Khi

   0 ta có:
i

i 1

Vì G là tâm t c c a h đi m P1, ..., Pk g n v i h h s 1, ..., k nên:



k



 i GPi  0

(1)

i 1

V i đi m O tùy ý c a m t ph ng ta có:
k

k


i 1

i 1

 2

 

k

 iOPi 2   i OP i   i (OG  GPi )2
i 1

k
k
 2
  k  2
 ( i )OG  2( i GPi ).OG   iGP i
i 1

i 1

k

i 1

k

  iGPi  ( i )OG 2

2

i 1

(do (1))

i 1

V y ta có đi u ph i ch ng minh.
k

b. Khi

   0 ta có:
i 1

i

k
k
 k
 


 i OPi   i ( P1P i  PO
1 )   i P1 P i  ( i ) PO
1
k

i 1


Phan Th Minh Hu

i 1

i 1

18

i 1

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p

  i P1P i
k

k

(do i  0)

i 1

Do đó:

i 1




k

 i OPi là vect không đ i.
i 1

Bài 5:
Trong m t ph ng cho G, G' l n l t là tr ng tâm c a h
A1,…,Amvà h đi m B1, ..., Bn. Ch ng minh:

đi m

a. V i m i đi m M ta có:

1
MG 
m
2

b.

GG '2 

m

1 m
2
MAi  2  AA

i j

m i j
i 1

(H th c Jaccobi).

2

1 m
(
m.n i 1

n

2
 AB
i j)
j 1

1 m
1 n
2
AA

B B2

i j
2  i j
m i j
n i j


BƠi gi i
a. Do G là tr ng tâm c a h đi m A1,..., Am nên v i m i đi m M ta có:
m
m 
 m 
 
2
2
2
mMG   MAi  m MG   MAi  2 MAi .MAj
(1)
i 1

i 1

M t khác:

i j

m 
  2 m
 
2
2
(
)
(
)
2
MA


MA

MA

MA

MA
 i
 i
 i .MAj
j
j
m

i j

i j

i j

m
m
m 
 
2
2
2
(
)

2
  AA

MA

MA

MA
 i
 i .MAj
i j
j
i j

i j

i j

m
  m
2
2
2
  MAi .MAj   ( MAi  MAj )   AA
i j
m

i j

i j


(2)

i j

m

m

m

2
T (1) và (2) suy ra: m MG   MA   ( MA  MA )   AA
i j
2

2

2
i

i 1

2
i

i j

m


m

i 1

i j

2
j

i j

2
 m2 MG 2  m MAi2   AA
i j

Phan Th Minh Hu

19

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
1 m
1 m
2
2
 MG   MAi  2  AA
i j
m i 1

m i j
2

b. áp d ng k t qu c a câu a, ta có:
Do G là tr ng tâm c a h đi m B1, ..., Bn nên:

GG '2 

1 n
1 n
2
GB

B B2

i
2  i j
n i 1
n i j

(3)

Do G là tr ng tâm c a h đi m A1, ..., Am nên:

1 n
1 n
2
2
BkG   Bk Ai  2  AA
i j , k  1, n

m i 1
m i j
2

n

  BkG 2 
k 1

1 m n
n m
2
AB
AA2


i j
2  i j
m i 1 j 1
m i j
1 m n
1 m
1 n
2
2
AB
AA
B B2





i j
i j
2  i j
m.n i 1 i 1
m i j
n i j

T (3) và (4) ta có: GG '2 
*Nh n xét :

bài toán trên ta xét tr ng h p G là tr ng tâm, còn trong tr ng h p
G là tâm t c thì ta có h th c sau đ c g i là h th c Jaccobi t ng quát:
N u G là tâm t c c a h đi m P1, ..., Pk g n v i h h s 1, ... k thì
v i m i đi m M ta có:
k

  MP
i 1

i

i

2



k


1
k


i 1

k

( i  j Pi P )  ( i ) MG 2
i j

2
j

j 1

i

2.1.2. Bài t p đ ngh
Bài 1:
Trong không gian, cho t di n ABCD. G i G là tr ng tâm c a BCD
và O là trung đi m c a AG. Ch ng minh r ng: O là tâm t c c a h đi m
{A, B, C, D} g n v i h h s {3; 1; 1; 1}
H

ng d n:

Phan Th Minh Hu


20

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
 1   
Vì G là tr ng tâm BCD nên OG  OB  OC  OD
3
  
L i có: O là trung đi m c a AG nên OA OG  0
    
T (1) và (2) suy ra: 3OA OB  OC  OD  0





(1)
(2)

T đó suy ra đi u ph i ch ng minh.
Bài 2:
Ch ng minh r ng, trong không gian hai t di n ABCD và A'B'C'D' có
    
cùng tr ng tâm khi và ch khi AA' BB'  CC '  DD '  0
H

ng d n:
G i G là tr ng tâm t di n ABCD. Ta có:

    
GA GB  GC  GD  0
    
T đó suy ra: AA'  BB'  CC '  DD '  0
    
 GA'  GB'  GC '  GD '  0

 G là tr ng tâm t di n A'B'C'D'

Bài 3:
Trong m t ph ng, g i G là tr ng tâm t giác ABCD; A', B', C', D' l n
l t là tr ng tâm các tam giác: BCD, ACD, ABD, ABC. Ch ng minh
r ng: G c ng là tr ng tâm c a t giác A'B'C'D'.
H

ng d n:
Do G là tr ng tâm t

    
giác ABCD nên GA GB  GC  GD  0

Do A', B', C', D' l n l

t là tr ng tâm các tam giác: BCD, ACD,

ABD, ABC nên ta có:
   
GB  GC  GD  3GA'
   
GA GC  GD  3GB'


(2)

(1)

Phan Th Minh Hu

(3)
21

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
   
GA GB  GD  3GC '
   
GA GB  GC  3GD '

(4)
(5)

    
T (1), (2), (3), (4), (5) suy ra GA'  GB'  GC '  GD '  0
T đó suy ra di u ph i ch ng minh.
Bài 4:
Cho G là tâm t c c a h đi m {P1,..., Pk} g n v i h h s 1, ... k và
k
k
 

.
G
i
là
đi
m
sao
cho


0,

j

1,
k

G
G
 i j P i  0, j  1, n .Ch ng
i
j
i j

i j

minh các đ
H

ng th ng Pj G j ( j  1, n ) đ ng quy t i G.


ng d n:
V i m i j = 1,2,…,n ta có:
Do G là tâm t c a h đi m{P1,...,Pk} g n v i h h s 1, ... k nên:
k
   k   k 









0
GG
GG
G
P
G


i
i
j
i
j i
j
j Pj

 i 
i 1
i j
 i1 


 k  
   i  GG j   j Pj G j (Vì
 i 1 

k



 i G j Pi  0

j  1, n )

i j

Do đó G, Gj, Pj th ng hàng j  1, n
T đó ta có đi u ph i ch ng minh.
Bài 5:
Trong m t ph ng cho ABC . G i I là tâm t c c a h đi m {A, B, C}
g n v i h s {1; 1;2}. M, N là hai đi m thay đ i trên m t ph ng sao cho M là
tâm t c c a h đi m {A, B, C, N} g n v i h h s {1, 1, 2, -1}.
Ch ng minh r ng: MN luôn đi qua m t đi m c đ nh.
H

ng d n:

Do I là tâm t c c a h đi m {A, B, C} g n v i h s {1; 1;2} nên:

Phan Th Minh Hu

22

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
   
MA MB  2MC  4MI

(1)

Do M là tâm t c c a h đi m {A, B, C,N} g n v i h h s {1,1,2,-1}
    
nên :
MA MB  2MC  MN  0
   
(2)
 MN  MA MB  2MC


T (1) và (2) suy ra: MN  4MI
T đó suy ra đi u ph i ch ng minh.

2.2. ng d ng tơm t c đ gi i m t s bƠi toán tính toán
2.2.1. Bài t p m u
Bài 1:

Trong không gian cho t di n ABCD. G i A1, B1, C1, D1 l n l

t là tâm

t c c a các h di m {A; B}, {B; C},{C; D},{D; A} đ u g n v i h h
s {1;2}.


 

 



t AB  b, AC  c, AD  d .
  
  
,
AC
,
AD
theo
3
vect
Hãy tính các vect : AB
b
, c, d .
1 1
1 1
1 1


Phan Th Minh Hu

23

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
BƠi gi i
Do A1 là tâm t c c a h đi m{ A; B} g n v i h h s {1;2} nên:

 

  
AA
 0  AA
1  2 AB
1
1  2( AA
1  AB)  0

2 
 A1 A   AB
3

2
 A1 A   b
3


T

ng t

do B1 , C1 , D1 l n l

t là tâm t c

c a các h

đi m

{ B,C},{C,D}, {D, A} đ u g n v i h h s {1, 2} nên:

 
 
  

0

B
A

AB

2(
B1 A  AC )  0
+ B1B  2 BC
1
1



1 
 B1 A   ( AB  2 AC )
3


1 
 B1 A   (b  2c)
3

 
 
  
+ C1C  2C1D  0  C1 A  AC  2(C1 A  AD)  0


1 
 C1 A   ( AC  2 AD)
3


1 
 C1 A   (c  2d )
3

 
 
 
+ D1D  2 D1 A  0  D1 A  AD  2 D1 A  0

 

 D1 A  AD  2 D1 A  0

1 
1 
 D1 A   AD   d
3
3

Do đó ta có:

Phan Th Minh Hu

24

K32G- Toán


Khoá lu n t t nghi p
  
2 1  
1 2
A1 B1  A1 A  B1 A   b  (b  2c)   b  c
3
3
3
3
  
2  1  

2  1  2 
A1 C1  A1 A  C 1 A   b  (c  2d )   b  c  d
3
3
3
3
3
  
2  1 
A1 D1  A1 A  D 1 A   b  d
3
3
* Nh n xét:
T bài toán trên ta có bài toán t ng quát:
"Trong không gian cho t di n ABCD. G i A1, B1, C1, D1 l n l t là
tâm t c c a các h đi m {A, B}, {B, C}, {C, D}, {D, A} đ u g n v i h h
     
s {1, k} v i k ≠ 0 và k ≠ -1. t AB  b , AC  c , AD  d ". Hãy tính các
  
  
AC
AD
,
,
theo
3
vect
,c , d .
vect : AB
b

1 1
1 1
1 1
L i gi i tóm t t
B ng ph
đ

c k t qu :

ng pháp t ng t nh đã trình bày
 1  k 
k 


AB
b
c
1 1
1 k
1 k

bài toán trên, ta nh n


k 
1 
k 
AC



b

c

d
1 1
1 k
1 k
1 k

k 
1 
AD


b

d
1 1
1 k
1 k

Bài 2:
Cho t di n đ u ABCD c nh a. G i G là tr ng tâm  BCD. Tính đ dài
AG theo a.
BƠi gi i
Do ABCD là t di n đ u c nh a nên: ABC, ACD, ABD là các tam
giác đ u c nh a

 AB  AC  AD  a


ˆ  CAD
ˆ  BAD
ˆ  600
 BAC

Phan Th Minh Hu

25

K32G- Toán