Tổng hợp các câu hỏi ôn tập HKII môn Toán lớp 11 (Có giải chi tiết)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.08 MB, 182 trang )
/>
Bài 1.
/>
Tính các giới hạn sau:
3 x 2 10 x 3
a) lim 2
x 3
x 5x 6
3 x 2 10 x 3
lim 2
lim
x 3
x 5 x 6 x 3
1
1
3 x 3 x
3 x
3
3
lim
8.
x
3
x 3 x 2
x 2
b) lim 2 x 1 4 x 2 4 x 3
x
(2 x 1) 2 4 x 2 4 x 3
8x 2
lim
lim 2 x 1 4 x 4 x 3 lim
2
x
x
x 2 x 1 4 x 2 4 x 3
2
x
1
4
x
4
x
3
2
8
x
lim
2
x
1
4 3
2 4 2
x
x x
Tính các giới hạn sau:
Bài 2.
2
x 5
x 2 3x 2 2
b) lim
x2 5x 6
x 3
x 3
2 x 1 x 3x 5
x
3
x 2 3x
x 3 x
= lim
=0
(3 x)( x 2) x 3
x2
lim
2
c) lim
x 5 4 x 5 5
x 5
4x 5 5 5
lim
= lim
=
x 5
4 x 5 25
4
2
4 x 5 5 x 5
a) lim
Bài 3.
8 x3 4 x 1 5 x
1
3 5
1
3 5
1 2 )
2 1 2
x
x x
x
x x
lim
x
4 1
4 1
3 8
x( 3 8 2 3 5)
5
x
x
x 2 x3
x(2
lim
x
1
Tính các giới hạn sau:
a) lim
x
9 x 2 x 1 3 x lim
x
x 1
9 x x 1 3x
2
lim
x
1
1
x
6
1 1
9 2 3
x x
1
x 2 x2 2x 4
x2 2x 4
x3 8
lim
4 .
lim
b) lim 2
x 2 x x 2
x 2
x 2
x 1
x 2 x 1
Bài 4.
Tính các giới hạn sau:
x 1 3x 2 x 3
3x3 4 x 2 2 x 3
3 x 2 x 3 1
lim
lim
a) lim
x 1
x 1
x 1
3x 2 2 x 1
3x 1
4
3x 1 x 1
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 1
/>
/>
x 3 x 1
x 2x 3
x 3 2x
lim
lim 2
2
x 3
x 3x
x 3 x x 3 2 x x 3 x x 3 x 3 2 x
2
b) lim
x 3
lim
x 1
x x 3 2x
x 3
Bài 5.
2
9
Tính các giới hạn sau:
a) lim
x 1 x 2 lim x 1 1
x 2 3x 2
lim
2
x 2 x 2 x 2
x2 x 2
x 4
4
b) lim
x 2x 3
x2 2x 3
x 1
2
lim
lim
x 3 ( x 3)( x 2 x 3)
x 3 x 2 x 3
x3
3
x2
x 3
2 1
2 1
x 4 1 2 4
1 2 4
x 2x 1
x
x
x 1
x
c) lim 4
lim
xlim
x 2 x 5 x 3
x
5 3
5 3 2
4
x 2 3 4
2 3 4
x
x
x
x
4
d) lim
x
2
2
4 x 3x 2 x lim
x
2x
lim
4
x
3
x
2
x
4 x 2 3x
2
2
x
2
Bài 6.
3
4
3
2
x
3
4
Tính các giới hạn sau:
1
3
3x 1
x 3
lim
a) lim
x 2 5 x
x 2
5 5
x
x 1 4 x 3
2x x 3
4x2 x 3
lim
lim
2
2
x 1
x 1
x 1
x 1 2 x x 3 x1 x 1 x 1 2 x x 3
b) lim
lim
x 1
4x 3
x 1 2 x
c) lim
x 2
x3
x2 4
( x 2)( x 2)
x2
lim
lim
4
2
x
2
x
2
x 3x 2
( x 2)( x 1)
x 1
x
( x x 2 x 2)( x x 2 x 2)
x x2 x 2
x
x2 x2 x 2
lim
x2
x x x 2 x x x 2 x 2
2
2
2
x(1 )
x(1 )
(1 )
1
x
x
x
lim
lim
lim
x
x
2
1 2 x
1 2
1 2
x | x | 1 2
x(1 1 2 )
(1 1 2 )
x x
x x
x x
Tính các giới hạn sau:
x
Bài 7.
7
8
d) lim ( x x 2 x 2) lim
lim
2
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 2
/>
a) lim
1
x
3
/>
6 x 5x 4 x 1
9 x4 8x2 1
3
2
6 x3 5 x 2 4 x 1
(3 x 1)(2 x 2 x 1)
2x2 x 1
2
lim
lim
4
2
3
2
3
2
1
1
1
9 x 8x 1
5
x
x (3 x 1)(3 x x 3 x 1)
x 3x x 3x 1
lim
3
3
b) lim
x
Bài 8.
9 x 3x 1 9 x
1
9 x 2 3 x 1 3 x 1 lim
2
x
9 x 3x 1 3x
2
2
3x 1
lim
1
x
3 1
x 9 2 3x
x x
1
3
1
x
lim
1
x
2
3 1
9 2 3
x x
Tính các giới hạn sau:
a) lim
x 2 3x 2
( x 1)( x 2)
x 1 1
lim
lim
2
x 2 ( x 2)( x 2)
x 2 x 2
x 4
4
b) lim
x 2
x
x x x x lim
2
2
2
lim
x
Bài 9.
3
1
1
1 1
x
x
Tính các giới hạn sau:
x
x2 x x2 x
x x x x
2
2
2x
lim
x
x 1
1
1
x 1
x
x
1.
x3 8
a) lim 2
12
x 2 x 5 x 6
3x 2 8
3
x x 2 5 x 6
Tính các giới hạn sau:
b) lim
Bài 10.
x 1 x 4 lim x 4 5
x 2 3x 4
lim
3
2
x 1 2 x x 3
x 1 x 1 2 x 2 3 x 3
x1 2 x 2 3x 3 8
a) lim
b) lim
x
Bài 11.
9 x 2 4 x 1 3 x lim
x
4 x 1
9 x 4 x 1 3x
2
lim
x
1
2
x
3
4 1
9 2 3
x x
4
Tính các giới hạn sau:
x 2 9 x 20
( x 4)( x 5)
x4 1
a) lim
lim
lim
2
x 5
x
5
x
5
x
5
x 5x
x( x 5)
7
0 ( do lim
b) lim x 2 7 x lim
x
x
x
x2 7 x
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
x 2 7 x )
Page | 3
/>
Bài 12.
/>
5 x 6
c) lim
x2 4 x 8
lim 5 x 6 4
x 2
4 x 8 0
xlim
2
x 2 x 2 4 x 8 0
5 x 6
Nên: lim
x2 4 x 8
3 x 6
d) lim
x2 4 x 8
lim 3x 6 3
x 2
lim 4 x 8 0
Do x 2
x 2 x 2 4 x 8 0
3 x 6
Vậy: lim
.
x2 4 x 8
Tính các giới hạn sau:
1 2
1
1 2
1
x 1 2 1
1 2 1
x x
x
x x
x
x x 2 x 1
lim
lim
1
x
x
1
1
2x 1
x2
2
x
x
2
a) lim
x
x 2
1
1
x2 2
lim
lim
2
x2
x 2 2 x x 10
x 2 2 x 5 x 2 2 x2 2 x 5 x 2 2 36
b) lim
Bài 13.
Tính các giới hạn sau:
2 x3 5 x 3
2 x2 2 x 3
lim
1
x 1 x 2 3 x 2
x 1
x2
a) lim
2 x 5 2 x 2 x 8
2x 5 2x2 x 8
lim
b) lim
x 1
x 1
x 2 3x 2
x 2 3x 2 2 x 5 2 x 2 x 8
2
lim
x 1
Bài 14.
2 x 17
x 2 2x 5
2x2 x 8
5
.
2
Tính các giới hạn sau:
a) lim
x 3 x 4 = lim x 4 1
x 2 7 x 12
= lim
2
x 3 x 3 x 3
x 3 x 3
x 9
6
b) lim
x 1
1
x 1 1
1
lim
lim
x
2
x
2
x 3x 2
x 1 x 2 x 1 1
x 2 x 1 1 2
c) lim
x 3
x2
x
2
x 2 x 1 x lim
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
x
x 1
x x 1 x
2
1
2
Page | 4
/>
Bài 15.
/>
Tính các giới hạn sau:
( x 2)( x 2)
4 x2
x 2 4
lim
a) lim 2
lim
2
x 2 ( x 2)(2 x 6)
x 2 2 x 10 x 12
x2 2 x 6
2
b) lim 2 x 3 4 x 2 4 x 3 lim
x
(2 x 3 4 x 2 4 x 3)(2 x 3 4 x 2 4 x 3)
2 x 3 4 x2 4 x 3
x
6
16 x 6
x
lim
lim
4 .
2
x
x
3
4 3
2x 3 4x 4x 3
2 4 2
x
x x
Tính giới hạn sau:
16
Bài 16.
1 5
2x 1 3 x2 4 2
x x
2x 1 3 4x x 5
lim
lim
2
x
x
1 10
1 3 x 2 9 x x 10
1 3x 2 x 2 9 2
x x
2
1
1 5
1
1 5
1 5
x2 3 4 2
2
3
4
2
2
x
x x
x
x
x 8
x
x
lim
lim
lim
x
1 10 3
1 10 x 1
1 10 x 1
3 2 9 2
1 3x 2 x 9 2
x 3 2 9 2
x
x x
x x
x x
x
Tính các giới hạn sau:
x 2 x 4 lim x 4 6
x2 2x 8
a) lim 3
lim
2
x 2 3 x 4 x x 6
x 2 x 2 3 x 2 2 x 3
x2 3x 2 2 x 3 19
2 x 1 3x 4
Bài 17.
b) lim
x
x x 1 x 2 lim
2
x
x2 x 1 x 2
2
x2 x 1 x 2
3
5x 3
5
x
lim
lim
.
2
x
x
2
1 1
2
x x 1 x 2
1 2 1
x x
x
Bài 18. Tính các giới hạn sau:
5
3x 2 x 10
.
x 2 4 x 2 x 18
a) lim
b) lim
x 2
x 3 1
.
x2
3x 5 x 2 lim 3x 5 11 .
3 x 2 x 10
lim
2
x 2 4 x x 18
x 2 4 x 9 ( x 2)
x2 4 x 9
17
a) lim
b) lim
x 2
x 3 1
x2
1
1
lim
lim
.
x 2
x2
x 2 x 3 1 x2 x 3 1 2
Bài 19. Tính các giới hạn sau:
2x 3
.
x x 1
a) lim
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
2 x3 5 x 2 2 x 1
.
x 1
x2 1
b) lim
Page | 5
/>
/>
3
3
x2
2
2x 3
x
x 2.
lim
lim
a) lim
x x 1
x
x
1
1
1
x 1
x
x
x 1 2 x 2 3x 1
2 x3 5 x 2 2 x 1
2 x 2 3x 1
lim
lim
1 .
x 1
x 1
x 1
x2 1
x 1
x 1 x 1
b) lim
Bài 20. Tính các giới hạn sau:
a) lim
x2
x 3 5 x 2 10 x 8
.
x2
2
b) lim 2 x 3 x x .
x3
2x 6
x 2 x 2 3x 4
x3 5 x 2 10 x 8
lim
lim x 2 3 x 4 2 .
a) lim
x2
x
2
x2
x2
x2
2 x 2 3x x
x 2 3x
b) lim
lim
lim
x 3
x 3
2x 6
2 x 6 2 x 2 3 x x x 3 2
x
1
.
4
2 x 3x x
4 x 2 3x 2 x .
2
Bài 21. Tính các giới hạn sau:
a) lim
3x 1 2
.
x2 x 2
a) lim
3x 1 2
3x 1 4
3
1
lim 2
lim
.
2
x 1 ( x x 2)( 3 x 1 2)
x 1 ( x 2)( 3 x 1 2)
x x2
4
b) lim
x 1
x 1
x
b) lim
x
4 x 2 3 x 2 x lim
x
Bài 22. Tính các giới hạn sau:
2x2 5x 1
a) lim 2
.
x 3 x 2 x 1
1
c) lim x3 2 x 2 3x 5 .
x
3
4 x 2 3x 4 x 2
4 x 2 3x 2 x
lim
x
3
3
.
4
3
4 2
x
4x
b) lim
x
d) lim
x 8
1 2 x 3
2
x 6x 1
2
.
x 1 3
.
x 8
5 1
2 2
2 x2 5x 1
x x 2.
lim
a) lim 2
x 3 x 2 x 1
x
2 1
3 2 3
x x
1
3
x 4 2 2
2
4
x
1
2
x
3
x
x
lim
.
b) lim
2
x
x
6 1
x 6x 1
1 2
x x
1
1 2 3 5
c) lim x3 2 x 2 3x 5 lim x3 2 3
x
x
3
x 3 x x
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 6
/>
/>
x 1 3
1
1
lim
x 8
x 8
x 8
x 1 3 6
Bài 23. Tính các giới hạn sau:
d) lim
2 x x2
a) lim
.
x 1
x 1
x 1 2
.
9 x2
d) lim
x x
x 3
c) lim 2x3 5x 1 .
x
b) lim
x
3
2
x 1 .
x 2 x 1 lim x 2 3 .
2 x x2
a) lim
lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
b) lim
x 3
x 1 2
x3
1
1
lim
lim
.
2
x 3
9 x
24
3 x 3 x x 1 2 x3 x 3 x 1 2
5 1
c) lim 2 x 3 5 x 1 lim x 3 2 2 3 .
x
x
x
x
1 1 1
d) lim x 3 x 2 x 1 lim x 3 1 2 3 .
x
x
x x
x
Bài 24. Tính các giới hạn sau:
2 x3 3x 2 2 x 3
.
x 1
2 x 2 3x 1
a) lim
b) lim
x2
4x 1 3
.
x2 4
c) lim
x2
x2 2
.
3x 3 3
2 x3 3x 2 2 x 3
( x 1)(2 x 2 x 3)
4x 1 3
lim
lim
2 .
2
x 1
x
1
x
2
2 x 3x 1
( x 1)(2 x 1)
x2 4
a) lim
b) lim
x2
c) lim
x2
4x 1 3
4( x 2)
lim
lim
2
x2
x2
x 4
( x 2)( x 2) 4 x 1 3
( x 2)
4
4 x 1 3
( x 2) 3x 3 3
3 x 3 3 1 .
x2 2
lim
lim
3x 3 3
3( x 2) x 2 2
3 x 2 2 2
x2
1
.
6
x2
Bài 25. Tính các giới hạn sau:
2 x x2
.
x 1
x 1
2 x 1
.
x 3
9 x2
a) lim
b) lim
x 1 x 2
2 x x2
lim
lim x 2 3 .
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
a) lim
2 x 1
3 x
1
1
lim
lim
.
2
x 3
x 3
9 x
3 x 3 x 2 x 1 x3 3 x 2 x 1 12
b) lim
Bài 26. Tính các giới hạn sau:
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 7
/>
/>
2n 3n 1
.
n 3 2n 2 1
3x 1 4
.
25 x 2
3
a) lim
b) lim
x 5
3 1
3 1
n3 2 2 3
2 2 3
2n 3n 1
n
n
lim
n n 2.
lim
a) lim 3
2 1
2
1
n 2n 2 1
1 3
n3 1 3
n n
n n
3
b) lim
x 5
3x 1 4
25 x 2
lim
x5
3x 1 4 lim
3 x 5
2
25 x 3x 1 4 x5 x 55 x 3x 1 4
3x 1 4
lim
x 5
3
5 x 3x 1 4
3
.
80
Bài 27. Tính các giới hạn sau:
n 3 4n 1
a) A lim 3
.
2n 5n 2
b) B lim
x2
x7 3
.
x2 4
4 1
n 4n 1
n 2 n3 1 .
a) A lim 3
lim
5 2
2 n 5n 2
2 2 3 2
n
n
3
b) B lim
x2
1
x7 3
x79
1
1
.
lim
lim
2
x2
x 4
x 2 x 2 x 7 3 x2 x 2 x 7 3 24
Bài 28. Tính các giới hạn sau:
x2 x 6
a) lim
2
x
2
.
x 2
x2
b) lim
x
3x 2 2 x 1
.
x4 x2 1 x2
x2 x 6
x 2 x 3
a) lim
2
x
2
lim
2
x
2
lim
x 3 2x 2 3 .
x 2
x 2
x 2
x
2
x
2
2 1
3 2
2
3x 2 x 1
3
x x
lim
.
b) lim
x
4
2
2 x
2
1 1
x x 1 x
1 2 4 1
x
x
Bài 29. Tính các giới hạn sau:
2 x 2 3x 1
.
x 1 4 3 x x 2
a) lim
x 6 x
.
x2 x 2 3x 2
b) lim
x 1 2 x 1 lim 2 x 1 1
2 x 2 3x 1
lim
.
2
x 1 4 3 x x
x 1 x 1 x 4
x 1 x 4
5
a) lim
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 8
/>
/>
x 2 x 3
x 6 x
x x6
lim
lim
2
2
x2 x 3x 2
x2
x 3x 2 . x 6 x x2 x 2 x 1 . x 6 x
2
b) lim
lim
x2
x3
5
.
4
x 1 . x 6 x
Bài 30. Tính các giới hạn sau:
2 x 3 x 2 4 .
2
x
2 x 5
9 x 4 82 x 2 9
.
x 3
2 x3 54
a) lim
b) lim
x 3 9 x3 27 x 2 x 3
9 x 4 82 x 2 9
9 x 3 27 x 2 x 3 80
a) lim
lim
lim
.
x 3
x 3
x 3
2 x3 54
2 x 2 6 x 18
7
x 3 2 x 2 6 x 18
3
4
2 1 2
2 x 3 x 4 lim x
1
x
b) lim
.
2
2
x
x
2
5
2 x 5
2
x
Bài 31. Tính các giới hạn sau:
2
a) lim
x 1
x
x2 1
.
1 cos 2 x sin 2 x
.
x 0
sin x
x 1 1
.
x 0 3 2 x 9
b) lim
c) lim
Bài 32. Tính các giới hạn sau:
x3 3x 2 9 x 2
.
x 2
x3 7 x 6
b) lim 2 x 1 4 x 2 4 x 3 .
a) lim
x
Bài 33. Tính các giới hạn sau:
x3 3x 2 2
a) lim
.
x 1
x2 1
b) lim
x2
x 1 4x 1
.
x2
c) lim
x
6
1 2sin x
.
4 cos 2 x 3
a)
x 1 x 2 2 x 2 3
x3 3x 2 2
lim
lim
.
x 1
x 1
x2 1
2
x 1 x 1
b)
lim
x x 2
x 1 4x 1
x2 2x 1 4 x 1
1
lim
lim
.
x2
x2
x 2 x 1 4 x 1 x2 x 2 x 1 4 x 1 3
c)
lim
1 2sin x
1 2sin x
1 2sin x
1 2sin x
1
1
lim
lim
lim
lim
2
2
2
2
4 cos x 3 x 2 2 cos x 1 1 x 2 1 2sin x 1 x 1 4sin x x 1 2sin x 2
6
6
6
6
x2
x
6
Bài 34. Tính các giới hạn sau:
a) lim
x 3
x3 5 x 2 3x 9
.
x4 8x2 9
b) lim
x
x2 1 4x2 1
.
3 x
Bài 35. Tính các giới hạn sau:
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 9
/>
a) lim
x2
/>
x 3x 9 x 2
.
x3 x 6
3
2
b) lim
x
9x2 x x2 x
.
x 1
x 3 x 2 2 x 3
x3 5 x 2 3x 9
x2 2x 3
a) lim
lim
lim
0.
x 3
x 3 x 3
x4 8x2 9
x 3 3 x 2 x 3 x 3 x 3 3 x 2 x 3
1
1
1
1
x
1
4
1
4
x2
x2
x2
x2
x2 1 4x2 1
b) lim
lim
lim
1 .
x
x
x
3
3 x
3
1
x 1
x
x
Bài 36. Tính các giới hạn sau:
x2 2x 3
.
x 3
x3
a) lim 3x3 2 x 2 9 x 121 .
x
b) lim
2x 3 1
.
x2
c) lim
x2
d) lim
x 3
1 3x
.
x 3
sin 5 x sin x
.
x 0
sin x
e) lim
2 9 121
3x3 2 x 2 9 x 121 lim x3 3 2 3 .
a) xlim
x
x x
x
x 1 x 3 lim x 1 4 .
x2 2 x 3
lim
b) lim
x 3
x 3
x 3
x3
x3
c)
lim
x2
2 x 2
2x 3 1
2
lim
lim
1
x
2
x
2
.
x2
2x 3 1
x 2 2x 3 1
1 3x
.
x 3 x 3
sin 5 x sin x
2 cos 3x sin 2 x
lim
lim 4 cos 3x cos x 4 .
e) lim
x 0
x 0
x 0
sin x
sin x
Bài 37. Tính các giới hạn sau:
d) lim
a) lim
x 5
x 5
.
x 5
a) lim
x 5
b) lim
x 2
x 5
0.
x 5
x2 5 3
lim
x 2
x2
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
b) lim
x 2
x2 5 3
x 2
x2 5 3
x2 5 3
lim
x 2
x2 5 3
.
x2
x2 4
x 2
x2 5 3
lim
x 2
x2
x2 5 3
Page | 10
2
3
/>
/>
x 3x 2
.
x2 4
x 2 x 2 lim x 2 4 .
x 2 3x 2
lim
lim
2
x2
x 2 x 2 x 1
x 2 x 1
x 4
Bài 38. Tính lim
2
x2
Bài 1.
a)
Tính các giới hạn sau:
lim
x
9 x 2 2 x 3x
3x 2 2 x 8
x2 4
b) lim
x 2
a)
lim
x
Lời giải
9 x 2 2 x 3x lim
3x 2 2 x 8
lim
b) lim
x 2
x 2
x2 4
x
2x
9 x 2 2 x 3x
x 2 3x 4
x 2 x 2
2
1
3
2
9 3
x
lim
lim
x 2
x
3x 4 5
x2 2
Bài 2.
Tính các giới hạn sau:
x 10
a) lim 2
x 10 x 9 x 10
b) lim
a) lim
x 1 x 9 lim x 9 8
x 10 x 9
lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x
x2 6x x
Lời giải
2
x 1
lim
b) lim
x
x
x 2 x
x2 x 2 x
x2
x2 x 2 x
x x2 x
2
lim
x
x 2
x x2 x
2
2
2
x 1
1
1
x
x
lim
lim
x
2
x
1 2
1 2
1 2 1
x 1 2 1
x x
x x
Bài 3.
Tính các giới hạn sau:
x3 2 x2 1
x 1 3 x 2 4 x 1
a) lim
b) lim
x 0
x2 1 x 1
x
Lời giải
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 11
/>
/>
x 1 x x 1
x 2x 1
x2 x 1 1
lim
lim
x 1 x 1 3 x 1
x 1 3 x 2 4 x 1
x 1 3 x 1
2
3
2
2
a) lim
x2 1 x 1
b) lim
lim
x 0
x
x
x2 x
x 1 x 1
2
x 1
lim
x 1 x 1
x 1
2
1
2
Bài 4.
Tính các giới hạn sau:
x3
a) lim 2
x 3 x 2x 15
3x 1
b) lim
2 x2 3
3 x 2 x
x
Lời giải
x3
1
1
x3
lim
lim
a) lim 2
x 3 x 2x 15
x 3 x 5
x 3 x 3 x 5
8
1
3
3
3 2 2
2
x
x
x lim
b) lim
2
2
x
x
1
3x x
3
x
Bài 5. Tính các giới hạn sau:
3x 1 x
2
a) lim
1 2x 1
.
x 2 12 x 11
b) lim
2n 3 2n 3
.
1 4n 3
x 1
Lời giải
a) lim
x 1
lim
x 1
2 x 1
x 1 x 11 1
2x 1
lim
x 1
Bài 6.
2x 1
1
10
2 3
n 2 n3 2 .
1
3
3
3
n
2
Tính các giới hạn sau:
x2 5 3
.
x2
a) lim
x 2
x
2
x 11 1
2n 3 2n 3
2n 3 2n 3
lim
lim
b) lim
1 4n 3
1 4n 3
b) lim
1 2x 1 1 2x 1
1 2x 1
1 2x 1
lim
lim
x 2 12 x 11 x1 x 2 12 x 11 x1 x 2 12 x 11 1 2 x 1
x2 x 3 x .
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 12
/>
/>
Lời giải
x2 5 3
x 2 x 2 lim x 2 2 .
lim
x2
x2
x 2 x 2 5 3 x 2 x 2 5 3 3
a) lim
x 2
b) lim
x
Bài 7.
x 2 x 3 x lim
b) lim
x3 4 x2 3
.
1 x2
c) lim
x 2 3x 1
.
x2
x 2
a) lim
3
x 1
3 x
1
x
.
lim
2
2
1 3
x x 3 x x
x 1 2 1
x x
Tính các giới hạn sau:
a) lim
x 1
x
3n 2 n n 3 .
Lời giải
1
1
n
lim
3n 2 n n 3 lim
.
1
2 3
3n 2 n n 3
3 3
n
x 1 x 2 3x 3
x3 4 x2 3
x 2 3x 3 5
lim
.
lim
b) lim
x 1
x 1
x 1
1 x2
x 1
2
x 1 x 1
lim x 2 3x 1 9 0
x 2 3x 1
Vì x2
c) lim
x 2
x2
x 2 0, x 2 0 khi x 2
xlim
2
Bài 8.
a)
Tính các giới hạn sau:
x3
lim 2
;
x 3 x 2 x 3
b) lim
x 2
c)
2 x2 1 3
;
x2
lim ( 2 x 2 x 3 x ) ;
x
Lời giải
x3
x3
1
1
lim
lim
;
a) lim 2
x 3 x 2 x 3
x 3 ( x 1)( x 3)
x 3 ( x 1)
4
b) lim
x 2
x2 5 3
x2 4
lim
lim ( x 2) 4 ;
x 2 x 2
x 2
x2
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 13
/>
c)
/>
lim ( x x 3 2 x ) ;
2
x
Bài 9.
Tính các giới hạn sau:
3 x 3 2 x 2 1
a) lim
x
x3 x 2
b)
x2 4
lim
x 2
x7 3
Lời giải
2 1
2 1
x 3 3 3
3
3
3 x 2 x 1
x x
x
x 3
lim
lim
lim
x
x
1
2
1
2 x
x3 x 2
3
1 2 3
x 1 2 3
x
x
x
x
3
c)
2
x 2 x 2 x 7 3
x 2 x 7 3
x2 4
24
lim
lim
x2
x79
1
x 7 3 x2
d) lim
x 2
Bài 10. Tính các giới hạn sau:
(3x 1)( x 3 1)
x 2
2 x3 6
a) lim
lim
x2 6x 5
x 2 5x 6
c) lim
1 2x 3
x 2
b)
x 1
x 4
Lời giải
(3x 1)( x 1) (3.2 1)(8 1) 9
x 2
2 x3 6
10
2
3
a) lim
b) lim
x 1
x2 6x 5
( x 1)( x 5)
x 5 4
lim
lim
2
x 5 x 6 x1 ( x 1)( x 6) x1 x 6 7
1 2x 3
( 1 2 x 3)( 1 2 x 3)( x 2)
(2 x 8)( x 2)
4
lim
lim
x4
x 4 ( x 4)( 1 2 x 3)
3
x 2
( x 2)( x 2)( 1 2 x 3)
lim
c)
x 4
Bài 11. Tính các giới hạn sau :
a) lim
x2
b)
lim
4 x 2 5 x 26
x x2 x 2
x
4 x2 x 2 x 1
Bài 12. Tính các giới hạn sau :
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 14
/>
a)
lim
x
x 2 5 x 2 x 2 2 x 10
2x 5 x 5
b) lim
x2 2 x
x 2
c) lim
/>
1 cos 2 x
sin 2 5 x
x0
Bài 13. Tính các giới hạn sau : lim 2n 3 4n 2 n 3
Lời giải
Ta có : lim 2n 3 4n n 3
lim
2
2
2n 3 4n 2 n 3
lim
2n 3 4n 2 n 3
6
11
n
lim
.
4
3
1 3
2 4 2
n
n n
11
11n 6
1 3
2n 3 n 4 2
n n
Bài 14. Tính các giới hạn sau : lim
x0
2 1 cos x
sin 2 x
Lời giải
2 1 cos x
Ta có : lim
2
x0
Bài 15.
a)
lim
x0
x0
sin x
1 cos x
2
sin x
1
1
x 0 1 cos x
2
lim
Tính các giới hạn sau :
x
b) lim
lim
x2 x x2 1
tan x sin x
4 x3
a) Ta có : lim
x
x2 x
lim
x
x 1 lim
2
x
Lời giải
x2 x x2 1
x2 x x2 1
x2 x x2 1
1
x 1
x 1
x
lim
x 2 x x 2 1 x x 1 1 1 1
x
x
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 15
/>
/>
1
1
1
x
lim
x
2
1
1
1 1
x
x
x
x
sin 2
2sin x sin 2
tan x sin x
sin
x
2. 1 1.
2 lim
lim
.
b) lim
3
3
x0
x 0 2 x cos x
x 0 x
cos x 8cos x 8
4x
Bài 16. Tính các giới hạn sau :
x3 5 x 2 6 x
a) lim
x 3
9 x2
b)
lim
x
4 x2 x 2 x
Lời giải
x2 2 x
x 3 x 2 x
x3 5 x 2 6 x
1
lim
a) lim
lim
2
x3
2
9 x
x3 x 3 x 3 x3 x 3
b)
lim
x
2
x
1
1
lim
.
x
x
4
1
1
x 4 2x
4 2
x
x
4 x 2 x 2 x lim
Bài 17. Tính các giới hạn sau :
x3 x 2 x 1
a) lim
b)
c)
d)
x1
x2 2 x 1
lim
1 x3 3
x2
x 2
x 5
lim
x 4
lim
x
a) lim
lim
x2 x 1 x
x3 x 2 x 1
x1
b)
x 4 2
x 2
x 2x 1
2
lim
x1
x 1 x2 1
x 1
2
Lời giải
lim
x1
x 1 2
1
x 2 x2 2 x 4
1 x3 3
x3 8
. lim
lim
3
x 2
x2
x 2 1 x 3 x2 x 2 1 x3 3
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 16
/>
lim
x 2
c)
x 5
lim
x 4
x 4
x 4
d)
lim
x
x 2x 4
1 x 3
3
12 2 .
6
Ta có : lim x 5 0 và lim x 4 0 vì x 4 0 x
2
2
x 5
Vậy lim
/>2
x 4
2
x 4
2
x 4
1
1
x 1
1
1
x
x
2
lim
.
x x 1 x lim
x
2
x
1 1
1 1
x 1 2 1
1 2 1
x x
x x
Bài 18. Tính các giới hạn sau :
x2 1
a) lim
x1 x 2
b)
c)
lim
x2
3x 2
3x 3
x2
lim x3 x 2 x 1
x
Lời giải
x2 1
a) lim
x1 x 2
b)
c)
lim
x2
3x 2
x 1 x 1 lim x 1 2
x 1 x 1 x 2
x 1 x 2
lim
3x 3
3x 3
. Vì lim 3x 3 0 và lim x 2 0 Vậy lim
x2
x 2
x 2
x 2 x 2
1
1 1
lim x3 x 2 x 1 lim x3 1 2 3 .
x
x
x
x x
.
Bài 19. Tính các giới hạn sau :
x 3
a) lim 2
x3 x x 6
b)
a)
lim
x 2
‘
x32
x 1
Lời giải
x 3
1
1
x 3
lim
lim
.
lim 2
x3 x 3 x 2
x3 x 2 5
x3 x x 6
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 17
/>
b)
/>
x32
x 1
lim
lim
x 1 x 1
x 1
x 1
x32
lim
x1
1
1
.
4
x32
Bài 20. Tính các giới hạn sau :
x 2 2 x 15
x3
x3
a) lim
b)
x 2 2 x 3x
lim
x
4 x2 1 x 2
Lời giải
x 3 x 5
x 2 x 15
lim
lim x 5 8 .
x3
x 3
x 3
x 3
x3
2
a)
b)
lim
2
2
3x
1 3
x
x
lim
lim
4.
2
x
x
1
1
2
4x 1 x 2
x 4 x2
4 1
x
x
x
x 1
x 2 2 x 3x
lim
x
Bài 21. Tính các giới hạn sau :
2x 2 7 x
a) lim
x 2
b)
x2 2 x
lim x x 2 3
x
2x 5 7 x
a) lim
x 2x
2
x 2
lim
Lời giải
2x 5 7 x
x x 2
x 2
lim
x2
b)
Bài 1:
x
lim x x 3 . lim
2
x
x
x
2x 5 7 x
2x 5 7 x
1
2x 5 7 x
x2 3 x x2 3
x
x 3
2
1
.
12
lim
x
x
3
x 3
2
0.
Tính các giới hạn sau:
a) lim
x 2
3x 2 4 4
x2
b) lim ( x3 2 x 2 1)
x
Lời giải
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 18
/>
/>
3( x 2)( x 2)
3x 4 4
( 3 x 4) 2 42
3( x 2)
lim
lim
lim
x 2
x2
( x 2)( 3 x 2 4 4) x 2 ( x 2)( 3x 2 4 4) x 2 3 x 2 4 4
2
a) lim
x 2
3(2 2)
3(2) 4 4
2
2
3
2
b) lim ( x 3 2 x 2 1) lim x 3 (1
x
x
2 1
)
x x3
lim x 3
x
Vì
nên lim ( x3 2 x 2 1) .
2 1
x
lim (1 3 ) 1 0
x
x x
Bài 2:
4 x 3 7 x 2 19 x 16
Tính các giới hạn sau: lim
x 1
5x2 8x 3
Lời giải
Bài 3:
( x 1) 4 x 2 3x 16
4 x 3 7 x 2 19 x 16
lim
lim
x 1
x 1
( x 1)(5 x 3)
5x2 8x 3
Tính các giới hạn sau:
4x
lim
x 1
2
3x 16
5x 3
17
2
b) lim x x 2 +1 + x
a) lim
x2 5x 6
x 3 3 x 2 7 x 10
a) lim
x 5x 6
( x 2)( x 3)
x3
1
lim
lim 2
2
2
x2 x x 5
7
x 3 x 7 x 10 x 2 ( x 2)( x x 5)
x2
x –
Lời giải
2
x2
3
b) lim x x 2 +1 + x = lim
x –
Bài 4:
x –
x
x +1 – x
2
= lim
x –
x
– x 1+
1
–x
x2
1
= lim
x –
– 1+
1
–1
x2
=–
Tính các giới hạn sau:
a) lim
x 1
x6 3
x3 x8 5
x3 4 x 3
2 x3 2 x 1
b) lim
c) lim
d) lim
2
3
x 3
x 1
x
x 9
x2 1
x 1
3x 1
Lời giải
x3 4 x 3
(x 1)( x 2 x 3)
lim( x 2 x 3) 3
lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
2 1
2 1
x3 2 2 3
2 2 3
3
2x 2x 1
x
x
x
x 2
lim
lim
b) lim
3
x
x
x
1
1
3
3x 1
3
x 3 3
3 3
x
x
a) lim
c) lim
x6 3
x3
1
1
lim
lim
2
x 3 ( x 3)(x 3)( x 6 3)
x 3 (x 3)( x 6 3)
x 9
36
d) lim
x3 2
x8 3
x3 x8 5
lim
lim
2
x
1
x
1
(x 1)(x 1)
(x 1)(x 1)
x 1
x 3
x 1
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 19
1
2
/>
lim
x 1
Bài 5:
/>
(x 1)
1
x32
lim
x 1
(x 1)
x8 3
1
1
5
8 12
24
Tính các giới hạn sau:
a) lim
x 1
a) lim
x 1
x2 5x 6
x2 1
b) lim ( x 2 2 x x)
x
x 2 x 3 = 1
x2 5x 6
lim
2
x
1
x 1
x 1 x 1 2
2x
b) lim ( x 2 2 x x) lim
x
Bài 6:
1
x2 2x x
x
Lời giải
1
Tính các giới hạn sau:
a) lim
x2
x2 2
x2 4
b) lim
x
4 x 2 3x 1
x 1
Lời giải
a)
x2
lim
x2
1
( x 2) x 2 2
b) lim
x
Bài 7:
x2 2
=
x2 4
lim
x24
=
x 2 ( x 4)( x 2 2)
lim
2
1
16
4 x 2 3x 1
4 3 / x 1/ x 2
x 4 3 / x 1/ x 2
= lim
= lim
=2
x
x
x 1
1 1/ x
x(1 1/ x)
Tính các giới hạn sau: lim 3x 1 9 x 2 4 x 3
x
lim 3 x 1 9 x 2 4 x 3 lim
x
x2
x 2 ( x 2)( x 2)( x 2 2)
lim
Lời giải
10 x 4
x
3x 1 9 x 4 x 3
2
10 x 4
x
4 3
3 x 1 x. 9 2
x x
lim
4
5
x
lim
x
3
1
4 3
3 9 2
x
x x
10
Bài 8:
Tính các giới hạn sau:
a) lim
x 6
a) lim
x 6
x3 3
x6
x3 3
lim
x 6
x6
b) lim (45 x3 4 x 2 10 x 2)
x
x3 3
x 6
c) lim
x 0
2 3 x
2x
Lời giải
x33
x33
lim
x 6
1
1
x33 6
4 10 2
b) lim (45 x 3 4 x 2 10 x 2) lim x 3 45 2 3
x
x
x x
x
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 20
/>
/>
c) Ta có lim 2 3 x 2 0, lim 2 x 0, 2 x 0 với mọi x 0 .
x 0
x 0
2 3 x
.
x 0
2x
Tính các giới hạn sau:
Do đó lim
Bài 9:
1 x3
x 1 1 x
1/ lim
2/ lim
x 1
2x 1
x 1
Lời giải
1 x
(1 x )(1 x x )
= lim
= lim(1 x x 2 ) = 3
x 1
x 1 1 x
x 1
1 x
3
2
1/ lim
lim (2 x 1) 1
x 1
2x 1
2/ lim
= + Vì lim ( x 1) 0
x 1
x 1 x 1
x 1 x 1 0
Bài 10:
Tính các giới hạn sau:
a. lim
3n 2 n 9
1 2n 2
b. lim x 3 x 2 x 1
x
c. lim
(1 3n)3 ( n 2 1) 2
3n 7 2
Lời giải
1 9
3 2
3n n 9
n n 3
lim
a/ lim
2
1
1 2n
2
2
2
n
2
( x 3) 2 ( x 2 x 1)
5 x 8
lim
b/ lim x 3 x 2 x 1 lim
2
2
x
x
x 3 x x 1 x x 3 x x 1
8
5
5
x
lim
x
3
1 1 2
1 1 2
x
x x
1
1
( 3)3 (1 2 ) 2
3
2
2
(1 3n) (n 1)
n
lim n
c/ lim
9
2
3n 7 2
3 7
n
Bài 11: Tính các giới hạn sau:
3n 2
3n 6 n
a) A lim 4
b)
B
lim
n 2 n 3 5n 2
4n 3
2 x3 5 x 2 2 x 3
c) C lim
d) D lim 4 x 2 x 1 2 x
2
x
x 3
x 9
Nên A=0
1
1
x 1
1
x
d) lim 4 x 2 x 1 2 x =? lim
lim
2
x
x
x
4
1 1
4x x 1 2x
4 2 2
x x
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 21
/>
Bài 12:
a) lim (3x 2 4 x 1)
b) lim
x
Bài 13:
/>
1
Vậy lim 4 x 2 x 1 2 x
x
4
Tính các giới hạn sau:
x1
x 2 3x 2
x2 x 2
d) lim
x
x2 4x 2
.
3x 5
Tính các giới hạn sau:
x 2 3x 2
a) lim
b) lim
x 1
x
x 1
x 2 3x 2
a) lim
lim
x 1
x 1
1 x
lim
x 1
4 x2 x 3 2 x
x 2 3x 2
Lời giải
x 2 3x 2
x 2 3 x 2 x 1
x 1 x 4 lim x 4 5
x 2 3x 4
lim
x
1
x 1
x 1
x 1
lim
x
4x x 3 2x
2
lim
4x2 x 3 2x
x
4x2 x 3 2x
4x2 x 3 2x
lim
4x2 x 3 4x2
x
1 3
x 4 2 2
x x
b)
Bài 14:
3
3
x 1
1
1
x
x
lim
lim
x
x
4
1 3
1 3
4 2 2
x 4 2 2
x x
x x
Tính các giới hạn sau:
2 x 2 3x 1
x 1
2x 2
b) lim x x x 2 3
a) lim
x
Lời giải
2 x 3x 1
2
a ) lim
x1
2x 2
lim
x1
x 1 2 x 1 lim 2 x 1 1
x1 2
2 x 1
2
b) lim x. x x 2 3 lim x
x
Bài 15:
x
x2 x2 3
x x2 3
lim
x
3x
3
x 1 1 2
x
3
2
Tính các giới hạn sau:
2 x 3 3 x 2 8 x 12
.
x 2
x2 x 6
b) lim
a) lim
x
4 x2 x 5 2 x .
Lời giải
( x 2)(2 x x 6)
4
2 x 3 x 8 x 12
2x2 x 6
a) lim
= lim
=
lim
2
x
2
x 2
x
2
5
( x 2)( x 3)
x x6
x3
3
2
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
2
Page | 22
/>
b) lim
x
/>
4 x 2 x 5 2 x = lim
1
lim
5
x
1 5
4 2 2
x x
Tính các giới hạn sau:
x
Bài 16:
5
x 1
x
= lim
=
2
x
1 5
4x x 5 2x
x 4 2 2
x x
x5
x
1
4
=
x2 9
a. lim 2
;
x 3 x 4 x 3
4x 1 3
x2 2x
b. lim
x2
Lời giải
x 3 x 3 lim x 3 6 3
x 9
lim
x 4 x 3 x 3 x 3 x 1 x 3 x 1 2
2
a) lim
2
x 3
b) lim
x2
lim
x2
Bài 17:
4x 1 3
lim
x2
x2 2x
4x 1 3
x
4 x 2
x x 2
4x 1 3
2
2x
lim
x2
x
4x 1 3
4x 1 3
4
4x 1 3
Tính các giới hạn sau:
3x 5
a ) lim
x 2 x 4
lim
x2
2
x
4x 1 9
2
2x
4
8 1 3
b) lim
x 3
4x 1 3
4 1
12 3
3x 8
3 x
Lời giải
5
5
x3
3
3x 5
3x 5
x
x 3
lim
lim
a) lim
lim
x
x
x 2 x 4
x 2 x 4
4
4
2
2
x 2
x
x
3x 8
b) lim
x 3 3 x
Ta có: lim 3x 8 1 0
x 3
x 3 x 3 3 x 0 lim 3 x 0
x 3
3x 8
x 3 3 x
Tính các giới hạn sau:
lim
Bài 18:
x3 2 x 4
a) lim
;
x2
x2 4
b) lim
x
2x 1
.
x 1
Lời giải
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 23
/>
/>
x 2x 2 5
x2
2
2
a) lim
x2
1
x 2
b) lim
x
1
1
x
2
Bài 1.
[1D4-2] Tính các giới hạn sau:
2x 1
1) lim
5
x 5 2 x
2) lim 1 x 4 x
2
x
2
Lời giải
lim 2 x 1 4
2x 1
.
1) Do
5 lim
5
x 5 2 x
lim 5 2 x 0;5 2 x 0, x
2
5
2
x
2
5
x
2
Bài 2.
2
1
2) lim 1 x 4 x = lim x 3 1
x
x
x
[1D4-2] Tính các giới hạn sau:
2
4
. 1 , ( vì = lim x 3 6 x 2 9 x 4 )
x
x
a) lim 2 x 3 3 x 2 4 .
b) lim
x 3
x
c) lim
x
3x 7 4
.
x2 9
x2 x x .
Lời giải
2 x3 3 x 2 4
3 4
a) lim 2 x3 3 x 2 4 lim x3 3 3 3 lim x 3 2 3
x
x
x
x x
x x
x
3 4
Vì lim x3 và lim 2 3 2
x
x
x x
3x 7 4
lim
x 3
x2 9
b. lim
x 3
lim
x 3
x
Bài 3.
.
x 9
3x 7 4
2
3 x 3
x 3 x 3
c) lim
3x 7 4
x 2 x x lim
x
lim
x 3
x2 x x2
x xx
2
lim
3x 7 4
x
3x 7 4
x 3
x 3
lim
x
3
3x 7 4
x
x xx
2
3x 9
2
9
1
16
lim
x
3x 7 4
1
=
1
1 1
x
[1D4-2] Tính các giới hạn sau:
x3 x 2 3x 2
a) lim
x 2
x2 2x
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
b) lim
x 1
x2 1
x5 2
c) lim
x
x2 2x x
Page | 24
/>
/>
Lời giải
x 2 x x 1
x3 x 2 3x 2
x2 x 1 5
lim
lim
.
x2
x2
x2 2x
x x 2
x
2
2
a) lim
x2
Bài 4.
x 1 x 1 x 5 2
x2 1
b) lim
lim
lim x 1 x 5 2 8 .
x 1
x 1
x 1
x 5 2 x 1
2x
2
c) lim
x 2 2 x x lim
lim
1 .
x
x
x 2 2 x x x 1 2 1
x
[1D4-2] Tính các giới hạn sau:
x3 5 x 6
a) lim
x
x4 1
b) lim
x 3
x3
2 x 2 x2 5x 3
Lời giải
1 5 6
x3 5 x 6
x x3 x 4 0 0 .
lim
a) lim
x
x
1
x4 1
1
1 4
x
b) lim
x 3
x3
2x 2x2 5x 3
lim
x 3
x 3 2 x
2x2 5x 3
4 x 2 2 x 2 5 x 3
2 x 2 x 2 5 x 3 12
.
x 3
2x 1
7
[1D4-2] Tính các giới hạn sau:
lim x 3 2x
x 3
2 x2 5x 3
x 3 2 x 1
lim
Bài 5.
a) lim
x
x2 2x 2 x .
b) lim
x
9 x 2 x 1 3x .
Lời giải
Bài 6.
2
2 x 2
x
lim
1.
a) lim x 2 2 x 2 x lim
2
x
x
x
2 2
x 2x 2 x
1 2 1
x x
1
1
x
1
1
x
lim
.
b) lim 9 x 2 x 1 3 x lim
2
x
x
9 x x 1 3x x 9 1 1 3 6
x x2
[1D4-2] Tính các giới hạn sau:
2 x 2 x 10
.
x 2 x 3 x 6
a) lim
2
b) lim 3 x x 2 2 x 3
x
Lời giải
2 x 2 x 10
2x 5
9
lim 2
.
3
x 2 x x 6
x 2 x 2 x 3
11
a) lim
Đề cương ôn tập HKII Toán 11
Page | 25
