LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian thực hiện đề tài nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn tận tình của
giáo viên hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi, em đã có
một quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nghiêm túc để hoàn thành đề tài.
Kết quả thu được không chỉ do nỗ lực của riêng em mà còn do có cả sự giúp đỡ
của quý thầy, cô và bạn bè.
Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất với các thầy giáo, cô
giáo trong khoa Giáo dục THCS - trường Cao đẳng Sư phạm

luôn tạo điều

kiện để em thực hiện đề tài này.
Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn trân thành tới cô Nguyễn Thị Hồng
Nhung – giảng viên môn Toán - Khoa GD THCS của trường Cao đẳng Sư phạm
, cô đã hướng dẫn và luôn động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài.
Do thời gian nghiên cứu đề tài chưa nhiều, kinh nghiệm cũng như trình độ
hiểu biết có hạn nên đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì thế, em kính
mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
sinh viên để đề tài được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
, ngày

tháng năm

Sinh viên thực hiện
(ký và ghi rõ họ tên)

1


PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do nghiên cứu đề tài
- Nhiệm vụ đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ
sở ban đầu và trọng yếu của con người mới phát triển toàn diện, nghị quyết hội
nghị lần thứ hai của Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khoá
VIII đã khẳng đinh: "Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục nhằm xây dựng
những con người và thế hệ gắn bó với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã
hội, có đạo đức trong sáng, có ý chí kiên cường xây dựng bảo vệ tổ quốc, công
nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước, giữ gìn và phát huy giá trị văn hoá dân tộc,
có năng lực tiếp thu tinh hoa của nhân loại, phát huy tiềm năng của dân tộc và
con người việt nam, có ý thức cộng đồng và phát huy tính tích cực của cá nhân,
làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kỹ năng
thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ chức, kỷ luật".
Để đáp ứng nhiệm vụ và mục tiêu trên, nhà trường phải là nơi đào tạo, rèn
luyện phẩm chất và trí tuệ của con người mới phát triển toàn diện về mọi mặt vì
vậy nhiệm vụ của dạy học ngoài việc dạy kiến thức còn dạy cho học sinh cách
suy nghĩ, hiểu một cách sâu sắc một vấn đề nói chung hay một lĩnh vực nói
riêng.
Trong chương trình học lớp 8,9 THCS phần Bất Phương Trình rất quan
trọng vì vậy bài toán về BPT có một vị trí quan trọng trong chương trình cấp
học. Tuy nhiên việc vận dụng những kiến thức ấy vào giải những bài toán cụ thể
vẫn còn nhiều hạn chế.
Để học sinh có thể giải đước các bài toán bằng việc sử dụng kiến thức, cần
giúp học sinh định hướng và tập trung khai thác kiến thức nêu trên bằng những
ví dụ cụ thể. Và để tài mà em nghiên cứu sau đây mong muốn được trao đổi
những kiến thức, những cách giải một bài toán mà em đã sử dụng để khai thác
và vận dụng kiến thức về Bất Pương Trình. Vì những lý do nêu trên mà em chọn
đề tài: “Các bài toán về BPT trong đề thi vào lớp 10” làm đề tài nghiên cứu
cho bài khóa luận của mình.
2



2. Mục tiêu, nhiệm vụ và giới hạn đề tài
a) Mục tiêu nghiên cứu
Trong chương trình toán ở bậc THCS nhận thấy việc nghiên cứu dạng toán
về BPT được coi là nhiệm vụ góp phần nâng cao năng lực tư duy của học sinh.
Vì thế mà mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là:
- Thống kê các bài tập và các dạng bài tập về BPT từ cơ bản đến nâng cao.
- Nắm được kiến thức và phương pháp giải bài toán BPT.
- Phân loại một số dạng toán về BPT thường gặp.
b) Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sở lí luận của việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh
THCS.
- Phân loại rõ ràng dạng toán về BPT. Mỗi dạng toán được đề cập đều được
xác định rõ ràng, khai thác triệt để, sâu sắc nhằm phát triển năng lực giải toán
cho học sinh.
- Hướng dẫn khai thác, phân tích một bài toán, đặc biệt phương pháp tìm
tòi lời giải qua từng dạng toán để từ đó hình thành cho học sinh phương pháp
giải bài toán liên quan đến BPT, từ đó gây hứng thú cho học sinh khi học toán.
c) Giới hạn đề tài
+ Đề tài được thực hiện trong 2 tháng
+ Nghiên cứu về những vấn đề liên quan đến các bài toán về Bất Phương
Trình trong chương trình học ở bậc học THCS.
3. Phương pháp nghiên cứu
Chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu lý luận. Trên cơ sở đọc các tài
liệu về lí luận dạy học môn toán. Nghiên cứu về lý thuyết thông qua sách giáo
khoa, sách bài tập, tài liệu tham khảo.
4. Cấu trúc của đề tài
Đề tài gồm 3 phần chính:
Lời cảm ơn
- Phần I là phần mở đầu gồm:

3


-Lý do nghiên cứu Mục tiêu
-Nhiệm vụ và giới hạn đề tài
-Phương pháp nghiên cứu
-Cấu trúc đề tài.
- Phần II là phần nội dung gồm 3 chương của đề tài:
Chương I: Cơ sở lý luận
Chương II: Tài liệu tham khảo
Chương III: Một số sai lầm thường gặp trong việc giải BPT
- Phần III là phần kết luận : Thâu tóm các luận điểm chính được phân tích,
chứng minh trong đề tài.

4


Phần II. Nội dung
Chương I.Cơ sở lý luận ( lý thuyết và ví dụ minh họa )
Kiến thức cơ bản cần nắm vững :
1.Bất đẳng thức:
a>b hoặc a-b>0
2. Tính chất:
- a, b thuộc R thì ta có:
Nếu a > b thì b < a
Nếu a > b và b > c thì a > c
3. Các phép toán:
a) Qui tắc 1:
a > b  a+c > b+c
a > b  a-c > b-c

Hệ quả: a+c > b  a > b-c
b) Qui tắc 2:
a>b

 a+c > b+d

c>d
c) Qui tắc 3:
+ a > b  a.c > b.c (nếu c>0)
+ a > b  a.c < b.c (nếu c<0)
d) Qui tắc 4: Nếu a>b>0 và c>d>0 thì a.c>b.d
4. Một vài bất đẳng thức quen thuộc
a) Bình phương của một số là một số không âm
Với mọi A => A2 ≥ 0
Đặc biệt (a + b)2 ≥ 0
(a - b)2 ≥ 0

5


b) Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.
Cho hai số a ≥ 0, b ≥ 0. Bất đẳng thức Cô-si được viết dưới các dạng
a + b ≥ 2 ab

(1)

a2 + b2 ≥ 2ab

(2)


(a + b)2 ≥ 4ab

(3)

Dấu “=” xảy ra khi a = b
1.1.Bất phương trình một ẩn
1. Định nghĩa
Bất phương trình dạng ax+b<0 (hoặc ax+b>0, ax+b≤0, ax+b≥0) trong
đó a và b là hai so đã cho, a≠0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
2.Định lí về dấu nhị thức bậc nhất - Ứng dụng
a) Nhị thức bậc nhất
- Nhị thức bậc nhất đối với biến x là biểu thức đại số có dạng
f(x)= ax + b ( a ≠ 0)
- Ứng với mỗi giá trị của biến x, nhị thức nhận một giá trị xác định.
- Ứng với giá trị x=-b/a thì f(x)= ax + b = 0. Giá trị x=-b/a là nghiệm của nhị
thức.
b) Định lí về dấu nhị thức bậc nhất:
-Ta viết nhị thức bậc nhất dưới dạng: f(x) = ax + b =a(x + b/a)
- Với những giá trị của biến x mà lớn hơn –b/a thì x + b/a >0, do vậy giá trị
tương ứng của nhị thức có dấu phụ thuộc vào dấu của hệ số a.
+ Nếu a > 0 thì f(x) > 0
+ Nếu a < 0 thì f(x) < 0
- Với những giá trị của nhị thức có dấu ngược với dấu của hệ số a.
+ Nếu a > 0 thì f(x) < 0
+ Nếu a < 0 thì f(x) > 0
* Định lí:

6



-Nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b có cùng dấu với hệ số a, với những giá trị của x
lớn hơn nghiệm của nhị thức và trái dấu với hệ số a, với những giá trị của biến x
nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.


x
trái dấu với a

f(x) = ax + b

b
a

0

cùng dấu với

3. Bài tập vận dụng.
* 3.1: Giải các bất phương trình tích
a) Phương pháp giải:
-Các bpt tích thường có dạng:
f(x).g(x)…..h(x) > 0 hoặc f(x).g(x)…..h(x) < 0
trong đó, ta quan tâm đến trường hợp các nhân tử f(x), g(x),….h(x) là các nhị
thức bậc nhất.
-Để giải các bất phương trình tích, ta xét dấu của vế trái và sau đó chọn các
khoảng nghiệm thích hợp
b) Ví dụ áp dụng:
Giải các bất phương trình sau
1. (4x -1)(3-3x)(5x+3) < 0
2. x2 – 20 x +51 > 0

3. x3 - 6x2+ 5x +12 < 0
Hướng dẫn giải:
1. Ta có

4x – 1 có nghiệm x = ¼ và hệ số a = 4
3-3x có nghiệm x =1 và hệ số a = -3
5x +3 có nghiệm x = -3/5 và hệ số a=5

ta có bảng xét dấu:

7




3
5

1
4

1

4x – 1
0
+
+
3 – 3x
+
+

+
0
5x + 3
0
+
+
+
f(x)
+
0
0
+
0
ta sẽ chọn các giá trị x thuộc khoảng có dấu “–“ và được nghiệm của bất
phương trình đã cho

3
1
 x
5
4

hoặc x > 1

Biểu diễn nghiệm trên trục số.



3
5


1
4

///////////////////////////////(

1
)/////////////////////(

x

2. Ta có x2 – 20 x +51 > 0 

x2 – 3x -17x+51 > 0  x(x-3) - 17(x-3) > 0

 (x-3)(x-17) > 0
Giải tương tự như vi dụ trên được nghiệm x <3 hoặc x > 17
3. x3 - 6x2+ 5x +12 < 0 xét thấy x = -1 là một nghiệm của vế trái nên ta có
(x-1)(x2-7x +12)=(x-1)(x-4)(x-3)
Bất phương trình trở thành (x-1)(x-4)(x-3) <0
làm tương tự như trên được nghiệm x <-1 hoặc 3( HS tự giải và biểu diễn tập nghiệm trên trục số )
* 3.2: Giải các bất phương trình thương
f ( x)

BPT thương có dạng G ( x)  g ( x)
a) Phương pháp giải:

Việc giải bpt thương cũng tương tự như giải bpt tích đó là lập bảng xét
dấu

8


Chú ý:
- Phải chú ý đến các giá trị của ẩn làm cho mẫu bằng 0, tức là các giá trị
của ẩn mà tại đó bpt không xác định. Cần phải loại bỏ các giá trị này trong tập
hợp nghiệm của bpt.
- Không được bỏ mẫu mà phải giữ nguyên các mẫu để tiến hành việc xét
dấu, ngay cả khi phải thực hiện việc qui đồng mẫu.
- Trong các bpt mà chưa được viết dưới dạng đã rút gọn thì ta cần chuyển
tất cả về vế trái, để vế phải bằng 0 rồi mới thực hiện các phép biến đổi vế trái.
* 3.3: Giải bất phương trình thu gọn đưa về dạng ax +b > 0, ax +b < 0 ….
a) Phương pháp giải:
- Áp dụng các qui tắc chuyển vế, cộng trừ, nhân chia với một số (t/c bất đẳng
thức)
- Nghiệm của bất phương trình:
ax+b > 0 => ax > -b (a≠0)
a>0 => x  

b
a

a<0 => x  

b
a

- Biểu diễn nghiệm của bất phương trình:
Người ta thường biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên trục số.

b) Ví dụ áp dụng
Giải và biểu diễn nghiệm trên trục số của bất phương trình sau:
a) 3(1-x) > 1+ 2x
b) (x + 1)( x + 3) <1 + 4x
c)

x 1 2  x 1

�
10
5 6

Giải:
a) Ta có 3(1-x) > 1+ 2x  3-3x > 1+2x
 -3x -2x >1-3
9


 -5x >-2
 x<2/5
S={x/xR, x<2/5}
0
|

2/5
)////////////////////////////////////////////

b) (x + 1)( x + 3) <1 + 4x  x2+4x-4x <1-3
 x2<-3
Nhận thấy với mọi x, x R => x2≥0. Vế phải là một số âm. Vậy không có giá trị

của x nào thoả mãn hay bất phương trình vô nghiệm.
S=
0

/////////////////////////////////////////////|///////////////////////////////////////////

c)

x 1 2  x 1

� Có mẫu chung: 30
10
5 6

 3(x-1)-6(2-x)>5  3x-3-12+6x>5
 9x >5+3+12
 9x>20
 x>20/9
S={x/xR, x>20/9}

20

//////////////////////////////////(

9

4. Hai quy tắc biến đổi bất phương trình
a) Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấu
hạng tử đó.

b) Quy tắc nhân với một số
Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

10


- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.
- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
5. Áp dụng
Áp dụng hai quy tắc biến đổi trên, ta giải bất phương trình bậc nhất một ẩn như
sau:
Dạng: ax+b>0⇔ax>−b
⇔x> x 

b
b
nếu a>0 hoặc x 
nếu a<0.
a
a

Vậy nghiệm của bất phương trình: ax+b>0 là:
S1={x| x 

b
b
, a  0 } hoặc S2={x x 
,a  0}
a
a

6.Dạng toán về về giải và biểu diễn nghiệm bất phương trình bậc nhất một
ẩn trên trục số
6.1 -Dạng toán về bất phương trình một ẩn .
(A). phương pháp giải .
- Để giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn , ta sử dụng các phép biến đổi
tương đương (quy tắc chuyển vế , quy tắc cộng , quy tắc nhân )
Ta có
ax  b  0 � ax  b(*)
b
a  0(*) � x  
Nếu
a
b
a  0(*) � x  
a

Đối với các dạng khác ( ax  b  0, ax  b �0, ax  b �0 )
(B). các ví dụ minh họa
( a )3 x  2  7;
(b)  3 x �0;
(c )5  2 x �
1;

11


Hướng dẫn : đây là những bài toán đơn giản ta chỉ cần áp dụng các quy tắc
biến dổi tương đương ( quy tắc chuyển vế , quy tắc nhân ) để suy ra nghiệm
của bất phương trì (a)3 x  2  7 � 3 x  7  2 � 3 x  9 � x  3 nh .

Lời giải: -Vậy nghiệm của bất phương trình là : s   x / x  3

(b) �۳
3x 0

x



0

� s  {x / x �0}
(c)5 ��
2x 
1 ��
2 x�۳
1 5
� s  {x / x �3}

2x

6

x

3

- Ngoài việc hs giải được BPT thì việc biểu diễn nghiệm của BPT trên trục số là
một kỹ năng rất quan trọng nên trong phần tiếp theo , mình sẽ đưa thêm một số
ví dụ về giải và biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên trục số :

6.2. Dạng toán về giải và biểu diễn tập nghiệm của BPT bậc nhất một ẩn
trên trục số
Ví dụ minh họa :

( a) x  4  8;
(b)

3x  1
�2;
4

-Hướng dẫn : ở câu (b) hs sẽ lúng túng hoặc không giải được nên GV cần HD
HS biến đổi (quy đồng cùng mẫu dương rồi khử mẫu ) về dang j ax+b>0 hoặc
ax+b <0 ; ax  b �0; ax  b �0 ) rồi áp dụng các quy tắc đã học để tìm nghiệm . khi
biểu diễn nghiệm trên trục số cần lưu ý các trường hợp x lớn hơn và x nhỏ hơn
hoặc bằng .
Lời giải :
(a) x  4  8 � x  6 � x  4
� s   x / x  4



Biểu diễn nghiệm trên trục số:

12




///////////

�

0

4

3x  1
3x  1
�۳
2
4
4
� 3x  1 �8

(b)

2.4
4

۳ 3x 9
۳ 3x 3
� s   x / x �3



Biểu diễn trên trục số:
�/

/ / / / / / / / /

3

0

(c) Bài tập tự luyện
Giải các bất phương trình và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
(a) x  2  4 ;
1
3

(d)  x  2;

(b) x  5  7 ;
2
3

(e) x  4;

(c) x  3  6;
3
5

(f)  x  6;

ĐS: (a). x  6; (b). x  2 ; (c). x  9 ; (d). x  6;
(e). x  6 ;(f). x  10
7. Dạng toán về bất phương trình quy về bất phương trình bậc nhất một ẩn
(a) Phương pháp giải
Để học sinh giải tốt các dạng này giáo viên cần cho học sinh nắm vững các qui
tắc biến đổi tương đương. Ngoài ra học sinh cần nắm được các quy tắc nhân

chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, qui đồng mẫu….
Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho dạng bài tập này.
(b) Ví dụ minh họa
13


Bài 1. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục
số
(a) 3x  2x  5 ;
Hướng dẫn. Ở bài toán này ta chỉ cần áp dụng quy tắc chuyển vế để đưa bất
phương trình trên về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn, sau đó suy ra
nghiệm của bất phương trình.
Lời giải. (a) 3x  2x  5 � 3x  2x  5
�x5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S   x / x  5
Biểu diễn nghiệm trên trục số
2
x3
(b) (x  2) 
;
3
2

.

0

)
5

Hướng dẫn. Ở bài toán này học sinh không thể nhận dạng được ngay đây là bất
phương trình bậc nhất một ẩn nên giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi
(quy đồng 2 vế của bất phương trình về cùng mẫu dương rồi khử mẫu) các bất
phương trình trên về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Lời giải. (b) Quy đồng mẫu 2 vế của bất phương trình

2
x3
(x  2) 
ta được
3
2

2(x  2).2 3.(x  3)

3.2
3.2
� 4x  8  3x  9

�

x  1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   x / x  1 .
Biểu diễn nghiệm trên trục số

.

)

0

-1

(c) (x  1)2 �x(x  3),

14


Hướng dẫn. Dùng hằng đẳng thức để khai triển.
Nhân đa thức với đa thức, đặt nhân tử chung.
Áp dụng quy tắc chuyển vế, quy tắc cộng, nhân.
Lời giải. (a) Dùng hằng đẳng thức khai triển ở vế trái và áp dụng quy tắc nhân
đa thức với đa thức ở vế phải của bất phương trình ta có
(x  1)2 �x(x  3) � x2  2x  1 �x2  3x

1
� 5x �1 � x � .
5



.

Biểu diễn nghiệm trên trục số



1

5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  x / x �

[

0

8. Dạng toán về bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
(a) Phương pháp giải
Ở đây chúng tôi chỉ đề cặp đến hai dạng đơn giản và cách giải của từng dạng
như sau
TH1.Nếu f (x)  A trong đó A là đa thức hoặc là một hằng số.
Đối với loại này, ta đưa về một bất đẳng thức kép f (x)  A � A  f (x)  A do
�
�f (x)  A

đó ta giải hai bất phương trình �f (x)  A .
�
Tập nghiệm của bất phương trình f (x)  A là giao của các tập hợp nghiệm của
hai bất phương trình trên.
TH2.Nếu f (x)  B trong đó B là đa thức hoặc là một hằng số.
Đối với loại này ta đưa về hai bất phương trình f (x)  B hoặc

f (x)  B .

Tập nghiệm của bất phương trình f (x)  B là hợp của hai tập hợp nghiệm của
mỗi bất phương trình trên.
Ta có một số ví dụ minh họa sau

15


(b) Ví dụ minh họa
Bài 1. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục
số (a) x  1  0;

x  13 9
(b) 1  3x  7  x (c) 2  8 ;

Lời giải. a) Áp dụng quy tắc chuyển vế ta có x  1  0 � x  1 ta nhận thấy
đây là dạng f (x)  A nên từ x  1 ta có được 1  x  1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   x / 1  x  1 .

( . )

Biểu diễn nghiệm trên trục số

-1 0

1

(b) Bất phương trình đã cho có dạng f (x)  B với f (x)  1  3x và B  7  x
�
1  3x  7  x (1)
1  3x  7  x (2)
�

do vậy ta có 1  3x  7  x � �

Giải hai bất phương trình trên, kết hợp nghiệm, ta được nghiệm của bất phương
trình đã cho.
(1) � 2x  8 � x  4 .
3
(2) � 4x  6 � x   .
2

�

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  �x / x  
�

Biểu diễn nghiệm trên trục số

)

.

(

0

4

(c) Bất phương trình đã cho có dạng f (x)  A .
Ta có

x  13 9
9 x  13 9
 � 

 .
2
8
8
2
8

16

3 �
�� x / x  4 .
2






Vậy ta cần giải hai bất phương trình

�x  13
9
�
� 2  8
�
�x  13  9
� 2
8

Tuy nhiên để gọn hơn ta có thể trình bày như sau (dùng quy tắc chuyển vế)

�  9  x  13  9
4

4

� 13  9  x  13  9
4

�

4

43
61
x
4
4
� 43
61�
 x  �.
4
� 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  �x /

. (

Biểu diễn trên trục số :

0

)

(c) Bài tập tự luyện
Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số
(a) 3x  5  10 ;

ĐS: (a) 

5
 x  5;
3

(b) 2x  5;

(b) x  

5
5
hoặc x  ;
2
2

9. Dạng toán về bất phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số
-Trong những phương pháp giải các dạng bài tập ở phần này, chúng tôi chỉ đề
cặp đến bất phương trình dạng ax  b  0. Đối với ba trường hợp bất phương
trình dạng ax  b  0,ax  b �0, ax  b �0 có cách giải tương tự. Điều quan
trọng cần nhớ là khi chia hai vế của bất phương trình cho một số âm thì phải đổi
chiều bất phương trình.
-Từ những kiến thức cơ bản về bất phương trình bậc nhất một ẩn số ta có thể

chia các bài tập về bất phương trình bậc nhất chứa tham số thành các dạng sau
9.1. Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm
(a) Phương pháp giải

17


Bài toán tìm điều kiện tham số để bất phương trình ax  b  0 có nghiệm
có thể giải như sau
Bước 1: Xét a  0. Suy ra giá trị tham số. Thay vào bất phương trình đã cho.
Nếu nhận được bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì nhận tham số đó,
ngược lại không nhận giá trị tham số đó.
Bước 2: Bất phương trình có nghiệm khi a �0.
Bước 3: Kết hợp Bước 1 và Bước 2 ta có kết luận.
Dưới đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho dạng bài tập này.
(b) Ví dụ minh hoạ
Bài 1. Tìm điều kiện của m để các bất phương sau có nghiệm
(a) (3m  1)x  7  0;

(b) 2mx  1  4m2  x .

Lời giải. (a) Ta nhận thấy a  3m  1 có chứa tham số m.
Xét 3m  1  0 hay m 

1
1
. Thay m  vào bất phương trình đã cho ta được
3
3

0x  7  0 . Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .

Vậy với m 

1
thì bất phương trình đã cho có nghiệm.
3
1
3

Bất phương trình có nghiệm khi a �0 � 3m  1 �0 hay m � .
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi m.
(b) Để giải được bài này giáo viên cần hướng dẫn học sinh dùng qui tắc biến dổi
tương đương (qui tắc chuyển vế) đưa bất phương trình về dạng ax  b  0 hoặc
ax  b , sau đó phải xác định được hệ số a .

Ta có kết quả biến đổi như sau
2mx  1  4m2  x � 2mx  x  4m2  1
� (2m  1)x  4m2  1

Ta nhận thấy a  2m  1.
1
2

Xét 2m  1  0 hay m   . Thay m  

18

1
vào bất phương trình cuối ta được

2


0x  0 . Bất phương trình này vô nghiệm.
1
2

Vậy không nhận m   .
Bất phương trình có nghiệm khi
a �0 � 2m  1 �0 hay m �

1
2

1
2

Vậy bất phương trình có nghiệm khi m � .
9.2. Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm
(a) Phương pháp giải
Bài toán tìm điều kiện tham số để bất phương trình ax  b  0 vô nghiệm có thể
giải theo hai cách như sau
Cách 1: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm. Từ đó suy ra
phần bù của tham số là điều kiện để bất phương trình vô nghiệm.
Cách 2: Ta nhận thấy bất phương trình có thể vô nghiệm khi a  0. Do đó xét
a  0, tìm giá trị của tham số, thay vào bất phương trình rồi kết luận. Nếu nhận

được bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì không nhận giá trị tham số
đó, nếu ngược lại thì nhận giá trị tham số đó
Ta có ví dụ minh họa như sau

(b) Ví dụ minh hoạ
Bài 2. Tìm điều kiện của tham số m để các bất phương trình sau vô nghiệm
(a) (m  3)x  2m  7  0 ;

(b) 2mx  3  x  m .

Lời giải. (a) Ta nhận thấy a  m  3 có chứa tham số m .
Cách 1: Trước hết tìm điều kiệm của m để bất phương trình vô nghiệm.
Xét m  3  0 hay m  3. Thay m  3 vào bất phương trình đã cho ta nhận
được
0x  1  0. Bất phương trình này vô nghiệm.

Vậy không nhận m  3.
Bất phương trình có nghiệm khi m  3 �0 hay m �3.

19


Vậy bất phương trình có nghiệm khi m �3.
Suy ra bất phương trình vô nghiệm khi m  3.
Cách 2: Xét m  3  0 hay m  3. Thay m  3 vào bất phương trình đã cho ta
nhận được 0x  1  0. Bất phương trình này vô nghiệm.
Vậy với m  3 thì bất phương trình trên vô nghiệm.
Nhận xét: Ta nhận thấy giải theo cách 1 phức tạp hơn, do đó giáo viên nên
khuyến khích học sinh làm theo cách 2.
(b) Trước hết phải đưa bất phương trình về dạng ax  b  0. Sử dụng qui tắc
biến đổi tương đương ta được
2mx  3  x  m � (2m  1)x  m  3  0 .

Xét 2m  1  0 hay m 

1
1
. Thay m  vào bất phương trình cuối ta nhận
2
2

được
0x 

5
 0. Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
2

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình đã cho vô nghiệm.
9.3. Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình nhận x  x0
làm một nghiệm
(a) Phương pháp giải
Ta nhận thấy x  x0 là một nghiệm của bất phương trình ax  b  0 khi
ax0  b  0.

Do đó, để giải dạng bài tập này chúng ta tiến hành như sau
Bước 1: Thay x  x0 vào bất phương trình, ta nhận được bất phương trình theo
tham số.
Bước 2: Giải bất phương trình theo tham số.
Dưới đây là một số ví dụ minh họa.
(b) Ví dụ minh họa
Bài 1. Tìm điều kiện của m để các bất phương trình

20

(a) (2m  3)x  m  4 nhận x  2 là một nghiệm.
m2
1
 1  2x  3m nhận x   là một nghiệm.
(b) m x 
2
2
2

Lời giải. (a) Thay x0  2 vào bất phương trình đã cho ta được
(2m  3).2  m  4 .

Giải bất phương trình này theo m ta được
(2m  3).2  m  4 � 5m  6  4 � 5m  10 � m  2

Vậy với m  2 thì bất phương trình nhận x  2 làm một nghiệm.
(b) Ta có thể thay x  

1
vào bất phương trình tuy nhiên giáo viên cần hướng
2

dẫn học sinh biến đổi bất phương trình trên về dạng đơn giản sau đó mới thay
x

1
vào bất phương trình vừa nhận được.
2

m2
m2
2
Ta có m x 
 1  2x  3m � (m  2)x 
 3m  1  0.
2
2
2

Thay x  

1
vào bất phương trình vừa nhận được, ta được
2
m2
m2

 1
 3m  1  0.
2
2

Giải bất phương trình này theo m ta được
m2
m2

 1
 3m  1  0 � 3m  0 hay m  0.

2
2

Vậy với m  0 thì bất phương trình nhận x  

1
làm một nghiệm.
2

9.4. Dạng toán về giải và biện luận bất phương trình theo tham số
(a) Phương pháp giải
Dạng bài tập giải và biện luận bất phương trình ax  b  0 theo tham số
được thực hiện theo các bước sau

21


Bước 1 : Xét a  0. Suy ra giá trị tham số. Thay giá trị tham số vào bất
phương trình. Nếu nhận được bất đẳng thức đúng thì kết luận bất phương trình
nghiệm đúng với mọi x , ngược lại kết luận bất phương trình vô nghiệm.
Bước 2 : Xét a  0. Bất phương trình trở thành x 
Bước 3 : Xét a  0 . Bất phương trình trở thành x 

b
.
a

b
.
a

Bước 4 : Tổng hợp các bước 1,2, 3 ta có kết luận.
Để minh họa cho dạng này chúng tôi có một số ví dụ sau.
(b) Ví dụ minh hoạ
Bài 1. Giải và biện luận theo tham số m của các bất phương trình sau
(a) 5x  mx  3  x ;

(b) m2  mx  4m  21  3x .

Lời giải. (a) Ta cần đưa bất phương trình trên về dạng ax  b  0 hoặc ax  b .
Ta có 5x  mx  3  x � (4  m)x  3.
Với 4  m  0 hay m  4 thì bất phương trình có dạng 0.x  3 . Ta thấy không
có giá trị nào của x nhân với 0 lớn hơn 3 nên bất phương trình vô nghiệm.
Nếu 4  m  0 hay m  4 thì bất phương trình có nghiệm là x 

3
.
4 m

Nếu 4  m  0 hay m  4 thì bất phương trình có nghiệm là x 

3
.
4 m

Kết luận : Nếu

m 4

thì tập nghiêm của bất phương trình là

�
3 �
S�
x/ x 
�.
4 x
�
�

x/ x 
Nếu m  4 thì tập nghiệm của bất phương trình là S  �
�

3 �
�
4 m

Nếu m  4 thì bất phương trình vô nghiệm hay S  �.
(b) Giáo viên nên hướng dẫn học sinh biến đổi bất phương trình (áp dụng qui
tắc chuyển vế, sau đó phân tích đa thức thành nhân tử) về dạng ax  b  0 hoặc
ax  b .
22


Ta có m2  mx  4m  21  3x � (m  3)x  m2  4m  21
� (m  3)x  (m  3)(7  m) .

Nếu m  3  0 hay m  3 thì x  7  m .
Nếu m  3  0 hay m  3 thì x  7  m .

Với m  3  0 hay m  3 thì bất phương trình có dạng 0.x  0 . Ta thấy không
có giá trị nào của x nhân với 0 nhỏ hơn 0 nên bất phương trình vô nghiệm.
Kết luận: Nếu m  3 thì



tập nghiệm của bất phương trình là



S  x / x  7 m .

Nếu m  3 thì tập nghiệm của bất phương trình là S   x / x  7  m .
Nếu m  3 thì bất phương trình vô nghiệm hay S  �.
(c) Bài tập tự luyện
. Tìm điều kiện của tham số m để các bất phương trình
(a) 3(1  mx)  m  2mx nhận x  3 làm một nghiệm;
(b) 2m2x  5  m2  m  3 nhận x 

1
làm một nghiệm.
2

2
5

ĐS: (a) m   , (b) m  2.
. Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số
(a) (m  1)x  2m  2 ;

(b) ax  a2  2x  4a  4 ;

(c) 7x  2mx �5  3x ;

(d) m2  3x �mx  9.

10. Dạng toán về giải bài toán bằng cách lập bất phương trình một ẩn số
(a) Phương pháp giải
Các bước giải bài toán bằng cách lập bất phương trình.
Bước 1: Lập bất phương trình
Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập bất phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải bất phương trình.
23


Bước 3: Kết luận: Chọn nghiệm và trả lời.
(b) Ví dụ minh họa
VD1. Một người đi bộ một quãng đường dài 18km trong khoảng thời gian
không nhiều hơn 4 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5km / h , về sau đi với
vận tốc 4km / h . Xác định đoạn đường mà người đó đã đi với vận tốc 5km / h .
Hướng dẫn. Đây là bài toán chuyển động và các đại lượng tham gia trong bài
toán là quãng đường, vận tốc (đã biết) và thời gian (chưa biết) vậy ta cần lập bất
phương trình biểu thị mối liên quan giữa quãng đường, vận tốc và thời gian (do
đó giáo viên cần cho học sinh nhắc lại công thức biểu thị mối liên hệ giữa quãng
đường, vận tốc và thời gian). Giải bất phương trình ta tìm được đáp án bài toán.
Nếu ta gọi x là đoạn đường người đó đi với vận tốc 5km / h thì thời gian
đi được biểu diễn như thế nào? Từ đó ta có suy ra được thời gian đi với vận tốc
4km / h không? Thời gian đi hết đoạn đường không quá 4 giờ, như vậy ta có

được bất phương trình nào?
Lời giải. Gọi đoạn đường đi với vận tốc 5km / h là x ( x �0, tính theo km ).
x
Khi đó thời gian người đó đi quãng đường với vận tốc 5km / h là , thời gian
5

18  x
người đó đi quãng đường với vận tốc 4km / h là
.
4

Do đó thời gian người đó đi hết quãng đường 18km là

x 18  x

.
5
4

Vì thời gian đi hết quãng đường 18km không nhiều hơn 4 giờ nên ta có bất
phương trình sau

x 18  x

�4 .
5
4

Giải bất phương trình trên ta được x �10. Giá trị này thỏa mãn điều kiện bài

toán. Vậy đoạn đường người đó đi với vận tốc 5km / h dài ít nhất 10km.
(c) Bài tập tự luyện

24


Bài 1. Một người có số tiền không quá 110,000 đồng gồm 7 tờ giấy bạc với hai
loại mệnh giá loại 20, 000đồng và loại 10, 000 đồng. Hỏi người đó có bao nhiêu
tờ giấy bạc loại 20,000đồng.
ĐS: Có nhiều nhất 4 tờ giấy bạc loại 20,000 đồng.
Bài 2. Một người đi xe máy quãng đường dài 160km trong khoảng thời gian
không nhiều hơn 5 giờ. Lúc đầu đi với vận tốc 35km / h về sau đi với vận tốc
35km / h . Xác định độ dài đoạn đường đã đi với vận tốc 35km / h .

ĐS: Đoạn đường đi được dài ít nhất là 70km
1.2: Bất phương trình bậc hai.
1.2.1.Lý thuyết
Bất phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 (a �0) được giải như sau:
Xét dấu tam thức: f ( x)  ax 2  bx  c
+Xét   0 : f ( x) luôn cùng dấu với a, x
Do đó: Nếu a<0 thì bất phương trình vô nghiệm.
Nếu a>0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
+Xét   0 : f ( x) luôn cùng dấu với a, x �

b
.
2a

Do đó: Nếu a<0 thì bất phương trình vô nghiệm.
Nếu a>0 thì bất phương trình nghiệm đúng x �

b
.
2a

+Xét   0 : f ( x) luôn có hai nghiệm phân biệt x1  x2 .
Do đó: Nếu a<0 thì bất phương trình có 2 nghiệm x1  x  x2 .
Nếu a>0 thì bất phương trình có nghiệm x  x1 hoặc x  x2 .
x
f(x)

x1
x2
-�
+�
Cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với

a
* Bất phương trình tích:

25