5

PHẦN MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
“Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” là một trong những kiến thức trọng
tâm của chương trình hình học lớp 10. Kiến thức này cũng là một trong những vấn đề
chính trong bài thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Các bài toán thường phải áp dụng tính
chất hình học trước khi sử dụng biến đổi đại số chứ không còn là kĩ thuật tính toán đại số
thông thường như trước kia. Vì vậy để học tốt nội dung này, học sinh cần có sự nỗ lực
phối hợp nhiều thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc
biệt hóa,... Tuy nhiên, mỗi học sinh lại có khả năng học tập, tiếp thu khác nhau. Hơn nữa,
các bài toán về “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” thường rất khó nên
việc vận dụng lý thuyết vào làm bài tập đối với học sinh là khá khó khăn.
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài “Đường thẳng và đường tròn trong hình học
tọa độ lớp 10” với mong muốn giúp đỡ các học sinh hiểu được và nắm chắc những kiến
thức, đồng thời phát hiện và giúp các em khắc phục những sai lầm khi giải bài toán về
đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ.

← Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh hiểu, sử dụng tri thức “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ
lớp 10” một cách đúng đắn, đồng thời nhận ra những sai lầm và cách giải quyết khắc phục
những sai lầm đó.
Giúp giáo viên mang lại hiệu quả dạy học hình học ở trường trung học phổ thông.

← Khách thể và đối tượng nghiên cứu
3.1 Khách thể nghiên cứu. Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10.
3.2 Đối tượng nghiên cứu. Học sinh trung học phổ thông.

← Phương pháp nghiên cứu
4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
Thu thập, phân loại, tổng hợp các tài liệu có liên quan về phần đường thẳng và đường

tròn trong hình học tọa độ lớp 10.
4.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Chọn khối lớp 10, tiến hành khảo sát phát phiếu in sẵn những bài tập về đường thẳng
và đường tròn trong hình học tọa độ để học sinh làm bài. Sau đó, kiểm tra kết quả và đúc
kết những sai lầm của học sinh dễ mắc phải khi làm bài.
4.3 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia


6

Gặp mặt, trao đổi và xin ý kiến của các thầy cô khoa Toán - Ứng dụng trường đại học
Sài Gòn về đề tài đang nghiên cứu để thu thập những thông tin cần thiết cho đề tài, thu
lượm những ý kiến đánh giá từ các thầy cô trưởng Bộ môn về thực trạng và phương hướng
giải quyết đối với các vấn đề nghiên cứu.
4.4 Phương pháp ứng dụng toán học
Sử dụng phương pháp thống kê trong xử lý các số liệu cụ thể để đảm bảo tính khoa học
của đề tài.

← Phạm vi nghiên cứu
5.1 Giới hạn về nội dung.
Đề tài nghiên cứu đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10.
5.2 Giới hạn về địa bàn
Thực nghiệm:
← Thời gian: Ngày 30/03/2016
← Địa điểm:

← Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm có ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận.
Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, khách thể và đối
tượng nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và cấu trúc khóa luận.


Phần nội dung: Gồm bốn chương
Chương 1: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
Chương 2: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Chương 3: Một số bài toán tổng hợp
Chương 4: Nghiên cứu sai lầm của học sinh khi giải các bài toán về đường thẳng và
đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Phần kết luận.
← Trình bày những kết quả nghiên cứu đã đạt được.
← Hướng mở rộng cho nghiên cứu.
Để phát huy tính tư duy, mang lại niềm hứng thú học tập cho học sinh chúng tôi cố
gắng thể hiện các vấn đề sau:
← mỗi chương đều có tóm tắt kiến thức cơ bản, khái niệm kiến thức được đề cập
tới nhằm mục đích chỉ rõ mạch kiến thức hoặc mối liên quan giữa các vấn đề để người
đọc tiện theo dõi, nắm được tính hệ thống của tài liệu nghiên cứu.


7

Sau phần khái niệm, kiến thức cơ bản của mỗi chương có một số dạng bài toán cơ
bản được phân tích, hướng dẫn, vận dụng giải từ các khái niệm đã nêu ở trước đó, nhằm
giúp người đọc hiểu rõ hơn.
Khi phân tích mỗi một khái niệm, đặc biệt là những khái niệm khó, hầu hết chúng tôi
dẫn dắt từ các khía cạnh khác nhau bằng những ví dụ cụ thể, bằng những minh hoạ hình
học để người đọc có thể dễ dàng nắm được khái niệm đó.
Hệ thống các dạng toán được chúng tôi soạn thảo kĩ lưỡng, đảm bảo tính phong phú, đa
dạng và mức độ từ dễ tới khó, hướng dẫn chi tiết từng bước giải, nêu ra nhiều cách làm
nhằm giúp các em học sinh dễ hiểu, nắm được cách trình bày và phân tích bài toán.
Chúng tôi có soạn thảo một chương cho những bài toán tổng hợp ở mức độ khó và
hướng dẫn giải chi tiết với nhiều cách phân tích khác nhau sẽ giúp học sinh củng cố những

hiểu biết chưa thấu đáo cùng với cách nhìn nhận vấn đề để trả lời cho câu hỏi “Tại sao
biết phải làm như vậy?” một cách thoả đáng.
Trong chương cuối, chúng tôi dự kiến một số sai lầm của học sinh có thể mắc phải
trong việc giải bài toán về đường thẳng, đường tròn trong mặt phẳng toạ độ, dự kiến
những nguyên nhân dẫn đến sai lầm cùng với phần thực nghiệm trên học sinh.
Cuối cùng, dù đã rất cố gắng tham khảo nhiều loại tài liệu để viết khoá luận này,
nhưng việc thiếu sót là điều khó tránh khỏi do những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn
chế từ chúng tôi. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến, đóng góp quý báu từ các
quý thầy cô và bạn đọc.


8

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1
ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
← Tóm tắt lý thuyết
1.1. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt phẳng
1.1.1. Tọa độ điểm trong mặt phẳng
Định nghĩa. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa
độ của điểm M .
Vectơ OM được biểu diễn theo i và j bởi hệ thức có dạng: OM  xi  y j với

x; y
x , y  R . Cặp số

là duy nhất và được gọi là tọa độ của điểm M .

Kí hiệu: M x; y hoặc M  x; y  . Số x được gọi là hoành độ của điểm M , số y

được gọi là tung độ của điểm M .
1.1.2. Tọa độ vectơ trong mặt phẳng





Định nghĩa. Đối với hệ trục tọa độ O; i , j , nếu a  xi  y j thì cặp số x; y
được gọi là tọa độ của vectơ a , kí hiệu là a  x; y  hay a x; y  . Số thứ nhất x gọi là
hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ a .
1.1.3. Các công thức vể tọa độ điểm và tọa độ vectơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a   x; y , b  x ' , y' , các điểm A  x A ; yA 

B xB ; yB , C xC ; yC  và số thực k . Khi đó, một cách tổng quát, ta có:
a) a  b   x  x ' ; y  y' ;
b) k .a  kx; ky ;
c)

ab
 y  y

 x  x'


;

'

← Vectơ b cùng phương vectơ a  0 khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho
'

'
x '  kx và y '  ky hay x  y nếu x  0 và y  0 ;
x y


e) AB   xB  x A ; y B  y A   AB 

xBxA2yByA2;


9



x  x A  xB
f) I là trung điểm

AB 



y

 I

I






g) G là trọng tâm của tam giác

2
;
y A  yB
2



ABC 

x  x A  x B  xC
3
 G



y 

y A  y B  yC

.

G


3
1.2. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng


1.2.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa. Vectơ u khác 0 , có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d 

d  .
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
Nhận xét

d  ;

i.

Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng d  thì mọi vectơ ku khác

vectơ 0 đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng
←

Nếu u  a; b (với a  0 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d  thì hệ

b

số góc của đường thẳng d  là k  a ;
←

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua

và một vectơ chỉ phương của nó.
1.2.2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa. Vectơ n khác 0 , có giá vuông góc với đường thẳng d  gọi là vectơ
pháp tuyến của đường thẳng d  .
Nhận xét

i. Nếu n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d  thì mọi vectơ k n khác
vectơ 0 đều là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d  ;


←

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua

và một vectơ pháp tuyến của nó.
1.2.3. Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến


10

i.

Nếu đường thẳng d  có vectơ pháp tuyến n và vectơ chỉ phương u

←

Nếu n  a; b là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d  thì u   b; a 

thì

n.u  0;

d  ;
hoặc u   b; a  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

←


Nếu u  a; b là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d  thì n   b; a 

hoặc n   b; a  là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d  ;
←

Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ chỉ phương và vectơ pháp

←

Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này

tuyến;
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.
1.3. Phương trình tham số của đường thẳng
Định lý. Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng d  đi qua điểm M x0 ; y0  và nhận
vectơ u  a; b làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là
d : 

Nhận xét

x  x0  at

t  R .

y  y0  bt

Nếu a  0 và b  0 thì phương trình tham số của d 

x  x0

là 

t
R

. Khi đó,

y  y0  bt

d  là đường thẳng vuông góc với trục Ox , cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng
Nếu b  0 và a  0 thì phương trình tham số của d 

là 


x  x0 at

x0 ;

t R. Khi đó,

y  y 0

←

d  là đường thẳng vuông góc với trục Oy , cắt Oy tại điểm có tung độ bằng y0 .
1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Định lý. Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng d  đi qua điểm M x0 ; y0  và

nhận vectơ u   a; b a  0, b  0 làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là



←

d :

ab

xx

0



yy

0

.


11

Nhận xét. Nếu a  0 hoặc b  0 thì đường thẳng d  không có phương trình
chính tắc.
1.5. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc
Định nghĩa
Xét đường thẳng d  có phương trình tổng quát Ax  By  C  0 . Nếu B  0 thì

A


phương trình trên đưa được về dạng y  kx  m với k  B và m 

C

B . Khi đó k là hệ

số góc của đường thẳng d  và y  kx  m gọi là phương trình của d  theo hệ số góc.

Định lý
Phương trình đường thẳng d  đi qua M x0 ; y0  và có hệ số góc k có dạng:

y  y0  k x  x0 .
1.6. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định lý
Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng
Ax  By  C  0 với A2  B2  0 .

Trong mặt phẳng Oxy , phương trình của đường thẳng d  đi qua điểm M x0 ;

y0  và có vectơ pháp tuyến n   A; B   0 là d : A  x  x0   B  y  y0   0 .
Nhận xét
Từ phương trình d : Ax  By  C  0 ta luôn suy ra được
← Vectơ pháp tuyến của d  là n  A; B;
← Vectơ chỉ phương của d  là u   B; A hoặc u   B; A;
← M x0 ; y0   d   Ax0  By0  C  0 .
Mệnh đề 3 được hiểu là: Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên một đường
thẳng là tọa độ điểm đó nghiệm đúng phương trình của đường thẳng.
Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
Cho đường thẳng d : Ax  By  C  0 , với A2  B2  0 .



12

C
i.Nếu A  0 thì d : By  C  0  y  B . Khi đó đường thẳng 
góc với trục Oy tại điểm có tung độ  C ;
B
Nếu B  0 thì d : Ax  C  0  x 

←

vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 



 C




;0  và M1 



A

Ax  By C 

x

a



y
b

A . Khi đó đường thẳng d 

C
A;

Nếu A, B , C đồng thời khác 0 thì d  cắt Ox và Oy tại hai điểm

iv.
0

 vuông

Nếu C  0 thì d : Ax  By  0 . Đường thẳng d  đi qua gốc tọa độ;

←

M

C

d





0; 

d  có thể viết:

C


. Khi đó phương trình

B

x  y  1  x  y  1 với a  C ;b  C . Phương trình
C
C
a
b
A
B
A B

a  0, b  0 được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

1

Hệ quả
Cho đường thẳng d : Ax  By  C  0 .
i.


Nếu d '  song song với d  thì phương trình d '  có dạng:

Ax  By  C'  0 với C '  C ;
ii.

'
'
Nếu d  vuông góc với d  thì phương trình d  có dạng:

Bx  Ay  C  0 hoặc  Bx  Ay  C  0 .
1.7. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình tổng quát
←
d1 : A1 x  B1 y  C1  0 và d 2 : A2 x  B2 y  C2  0 . Vì số điểm chung của hai
đường

 A x  B y C

thẳng bằng số nghiệm của hệ 

1

1

A2 x  B2 y C2

1

1, nên từ kết quả của đại số ta có


i. Hệ 1 vô nghiệm  d1  song song d2 ;


ii. Hệ 1 có nghiệm duy nhất  d1  cắt d2 ;


13

←

Hệ 1 vô số nghiệm  d1  trùng với d2 .

Trong trường hợp A2 , B2 ,C2 đều khác 0, ta có

←

d1 ,d2  cắt nhau 

A



1

A2
←

d1  song song d2  

B

B2

A
1

d1  trùng với d2  

A

A2



1

B2



1

B



A2

←

;


1

B

1

C

;

1

C2



B2

C

1

.

C2

1.8. Khoảng cách và góc
1.8.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng


Oxy
cho đường thẳng d : Ax  By  C  0

Định lý. Trong m ặt phẳng

và điểm

M x0 ; y0 . Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng d  , ký hiệu là d M , d  ,
được tính bởi công thức d M , d  

Ax  By  C
0

0

.

2 2
A B

1.8.2. Vị trí tương đối của điểm và đường thẳng
Cho điểm M x0 ; y0  và đường thẳng d : Ax  By  C  0 .
+

d M , d   0  M   d   Ax0  By0  C  0 ;

+

d M , d   0  M   d   Ax0  By0  C  0 .


1.8.3. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng d : Ax  By  C  0 và hai điểm M xM ; y M , N x N ; yN 
không nằm trên d  . Khi đó
i.

Hai điểm M , N nằm cùng phía đối với d  khi và chỉ khi

AxM  ByM  C AxN  By N  C   0 ;
ii.

Hai điểm M , N nằm khác phía đối với d  khi và chỉ khi

AxM  ByM  C AxN  By N  C   0 .
1.8.4. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt


nhau


14

Cho hai đường thẳng cắt nhau có phương trình d1 : A1 x  B1 y  C1  0 và
d 2 : A2 x  B2 y  C2  0 . Khi đó, phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai
đường thẳng d1  và d2

A1 x  B1 y  C1  A2 x  B2 y  C2  0 .

 có dạng

A2 B2

1

A2 B

1

2

2
2

1.8.5. Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa. Góc giữa hai đường thẳng là góc không tù tạo bởi hai đường thẳng đó.
Định lý
Cho hai đường thẳng d1 : A1 x  B1 y  C1  0 và d 2 : A2 x  B2 y  C2  0 . Góc 

giữa hai đường thẳng d1  và d2



cos   cos n1 , n2  



n1 .n2
n. n
1

vectơ pháp tuyến của d1  và 
Hệ quả


d
2

được tính bởi công thức
AA BB
1



2

1

2


A B . A B

2

2

2

2

2

1


1

2

2

, trong đó n1 , n2 lần lượt là

.

d1    d 2   A1 A2  B1 B2

0.

Cho hai đường thẳng 1 : y  k1 x  m1 và  2 : y  k 2 x  m2 . Khi đó


k

k
+ 1  song song  2  1
;
2
m m


+ 1  trùng với  2   1

1


2

k  k


m m
1

2

;

2

0 1  cắt  2   k1  k2 ;
1 1  vuông góc  2   k1 .k2 1.

Một số bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
2.1. Chuyển đổi các dạng phương trình đường thẳng
Ví dụ 1. Cho đường thẳng d : y  2 x 5 .
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d  .
Viết phương trình tham số của đường thẳng d  .


Viết phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng d  .


15


Phân tích
Phương trình tổng quát của đường thẳng d : Ax  By  C  0 với
A2  B2  0 mà phương trình của d  là y  2 x  5 nên ta chỉ cần chuyển tất cả các số
hạng của phương trình về một vế.

b) Để đưa phương trình d 

về dạng phương trình tham số d : 

t R , ta cần tìm được một điểm cố định M x0 , y0 d  và một vectơ chỉ phương

x  x0  at

y  y0 bt

 a; b của đường thẳng d  . Ngoài ra, ta có thể đưa phương trình d  về dạng phương
trình tham số bằng cách đặt x  t , khi đó y  2t  5 , nghĩa là M 0; 5 và u  1; 2  .

0 Để đưa phương trình của d  về dạng phương trình theo đoạn chắn

x y
a  b  1 a0,b0, ta cần tìm giao điểmAa;0củadvớiOxvà giao điểm
B 0;b của d  với Oy . Ngoài ra, vì phương trình d  có dạng y  2 x  5 nên ta có thể
đưa phương trình của d  về dạng phương trình theo đoạn chắn bằng cách đưa các số
hạng chứa x, chứa y về cùng một vế và hằng số ở vế còn lại rồi chia hai vế phương trình
cho 5 .
Các bước giải
Để đưa đường thẳng d : y  2 x 5 về dạng phương tổng quát, ta cần
chuyển y sang cùng một vế với 2 x  5 , ta được phương trình đúng dạng với dạng của
phương trình tổng quát của đường thẳng.

Ta có hai cách để đưa phương trình đề về dạng phương trình tham số.
Cách 1
Bước 1. Từ câu a) ta tìm được một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d  là
 2;1;
thẳng

Bước 2. Từ vectơ pháp tuyến vửa tìm được ta suy ra vectơ chỉ phương của
đường d  là u  1; 2 ;
Bước 3. Tìm một điểm M 0; 5 thuộc đường thẳng d  ;


16

Bước 4. Từ vectơ chỉ phương và điểm M thuộc d  ta suy ra được phương trình

d  .
tham số của đường thẳng
Cách 2
Tham số hóa x và y . Đặt x  t , thay x  t vào phương trình y  2 x  5 ta được

 2t  5 . Vậy ta được phương trình tham số của đường thẳng d  .
0

Ta có hai cách để đưa phương trình đề về dạng phương trình tham số.

Cách 1
Bước 1. Từ phương trình tổng quát d : 2 x  y  5  0 , ta chuyển hệ số tự
do 5 sang vế phải, ta được 2 x  y  5 ;
Bước 2. Vì phương trình theo đoạn chắn có dạng


xy 1
a b

a  0, b  0 nên để

vế phải bằng 1 ta cần chia hai vế của phương trình 2 x  y  5 cho 5 . Khi đó, ta được

2
1
5 x  5 y 1;
Bước 3. Biến đổi phương trình vừa tìm được về đúng dạng phương trình theo đoạn

chắn

x

y

5

5

 1.

Cách 2
Ta lần lượt tìm giao điểm của đường thẳng d  với trục Ox và Oy . Từ đó suy ra
phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
Bài giải
Ta có: y  2 x  5  2 x  y  5  0


Cách 1
Ta có d : 2 x  y  5  0

 vtpt nd    2; 1  vtcp ud   1; 2


Mà M 0; 5 d 


17

Nên phương trình tham số của đường thẳng d  đi qua điểm M 0; 5 và có
vtcp ud   1; 2 có dạng 

x  t

t  R .

y 5  2t

Cách 2
Đặt x  t

t R

Thay x  t vào phương trình y  2 x  5 , ta được y  2t 5 .
Vậy PTTS của đường thẳng d  có dạng 

x  t


t  R .

0

y 5  2t

Cách 1

Ta có: 2 x  y  5  0  2 x  y  5  2x  y  1  x  y  1.
5 5
5 5
2
Đây là phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng d  .
Cách 2
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng d  với Ox , Oy .
Ta có:

A   d  Ox 

5
2



; 0  B   d  Oy   0; 5



x


y

Vậy phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng d  là 5  5  1.
2
Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d  biết
d : 

x  2  t

t  R

y  1  2t

Phân tích

Phương trình chính tắc của đường thẳng 

d



x  x0

y  y0

có dạng d : a  b với
a  0, b  0 . Để lập được phương trình đường thẳng dạng chính tắc ta cần có tọa độ một
điểm thuộc đường và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Các bước giải

Ta có hai cách giải.
Cách 1


18

Bước 1. Từ phương trình đề ta tìm được một vectơ chỉ phương của đường thẳng
d  là u  1; 2 ;
Bước 2. Tìm tọa độ một điểm thuộc d là M 2;1 ;

 



Bước 3. Ta lập phương trình chính tắc của đường thẳng d  theo dạng
d :

xx

0



yy

0

.

ab

Cách 2
Bước 1. Từ hai phương trình x  2  t , ta suy ra được t  x  2 ; Bước

y  1

2. Từ hai phương trình y  1  2t , ta suy ra được t   2 ;

y  1

Bước 3. Cho x  2   2 , biến đổi về đúng dạng, ta tìm được phương trình
chính tắc của đường thẳng d  .
Bài giải



Cách 1. Ta có đường thẳng







d đi qua điểm M 2;1 và có vtcp  1;2.

x  2 y 1
Suy ra d : 1  2 .
x2

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d  : 1

Cách 2. Ta có 

x2t
 y  1  2t

t  x  2



t





y 1  x  2 

2

y1
2

 2 .


x2

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d  : 1

y 1


x2
1

y 1
 2 .

Ví dụ 3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d  biết

x 3  t
d : 
Phân tích

y  6  2t

 t  R

 1 .
2


19

Từ phương trình tham số của d  ta tìm được vectơ chỉ phương của d  , từ vectơ
chỉ phương ta suy ra vectơ pháp tuyến. Đồng thời, ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d

 , như vậy ta có đủ hai yếu tố để lập phương trình tổng quát của đường thẳng d  .
Ngoài ra, ta có thể lập phương trình tổng quát của đường thảng d  bằng
cách khác. Chọn một trong hai phương trình, ta tìm t theo biến x hoặc y rồi thế t vào
phương trình còn lại, ta được phương trình tổng quát của đường thẳng.

Các bước giải
Cách 1
Bước 1. Chọn một trong hai phương trình để tìm t theo biến x hoặc y . Giả sử ta
chọn x 3  t . Ta tìm được t  x  3 ;
Bước 2. Thay t  x  3 vào phương trình y  6  2t , rút gọn ta được phương trình
tổng quát 2 x  y  0 .
Cách 2
Bước 1. Xác định một điểm thuộc đường thẳng d  ;
Bước 2. Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng d  , từ vectơ chỉ
phương suy ra vectơ pháp tuyến của d  .
Bước 3. Phương trình của đường thẳng d  đi qua điểm M x0 ; y0  và có
vectơ pháp tuyến n  A; B có dạng d : A  x  x0   B  y  y0   0.
Bài giải
Cách 1
Ta có: 

 x 3  t
y6


2t

t  x  3




 y  6  2  x  3



t  x  3



.

2x  y  0

Vậy phương trình tổng quát của d  là 2 x  y  0 .
Cách 2
Ta có: vtcp ud   1; 2  vtpt nd   2;1 .
Đường thẳng d  đi qua M 3;6 và có vtpt nd   2;1.
Vậy phương trình tổng quát của d  là

2  x  3    y  6   0  2 x  y  0.


2.2. Thiết lập phương trình đường thẳng


20

2.2.1. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có phương cho trước Ví
dụ 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d  biết d  đi qua điểm
M 1;2

và có vectơ pháp tuyến n  1; 2 .
Phân tích
Phương trình của đường thẳng d  đi qua điểm M x0 ; y0  và có vectơ pháp tuyến
n  A; B có dạng d : A  x  x0   B  y  y0   0 nên để lập được phương trình

tổng quát của đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ pháp tuyến của

đường thẳng đó. Trong ví dụ này, đường thẳng d qua M 1;2 và có vectơ pháp tuyến
n  1; 2



 







, như vậy ta đã có đủ hai yếu tố để lập phương trình tổng quát của đường thẳng.

Các bước giải
Bước 1. Xác định điểm M 1;2 thuộc đường thẳng d ;





 

Bước 2. Xác định một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d  ;
Bước 3. Phương trình của đường thẳng d  đi qua điểm M x0 ; y0  và có vectơ
pháp tuyến n  A; B có dạng d : A  x  x0   B  y  y0   0.
Bài giải

Đường thẳng d đi qua điểm M 1; 2 và có vectơ pháp tuyến n  1; 2 . Vậy

 





phương trình đường thẳng d :1 x  1  2 y  2  0  x  2 y  3  0 .

 













Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng d  biết d  qua N 3; 2 và
có vectơ chỉ phương u  1; 2
Phân tích

 


.

Đường thẳng d  đi qua điểm M x0 ; y0  và nhận vectơ u  a; b làm vectơ chỉ

x  x0  at
phương có phương trình tham số là d : 

t 
R

 nên để lập được phương



y

 y0  bt
trình tham số của đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ
chỉ phương của đường thẳng đó. Trong ví dụ này, đường thẳng d  qua N 3; 2 và có


vectơ chỉ phương u  1; 2 , như vậy ta đã có đủ hai yếu tố để lập phương trình tham số
của đường thẳng.