PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn Toán - Lớp 6. Năm học 2016 – 2017
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 90 phút
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (6 điểm)
Câu 1- Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị.
A. 30
B. 40
C. 45
D. 55
Câu 2- Tổng của hai số tự nhiên là 102. Nếu thêm chữ số 0 vào bên phải số bé rồi cộng với số lớn ta được
tổng mới là 417. Khi đó số lớn là:
A. 43
B. 54
C. 60
D. 67
Câu 3- Kết quả của phép tính 1 - 2 + 3 - 4 + 5 – 6 + … + 99 – 100 là:
A. 50
B. – 50
C. – 100
D0
Câu 4- Tập hợp các số nguyên n để (n + 3) M(n + 1) là:
A. {0; 1; -2; -3}
B. {0; 1}
C. {-2; -3}
D. {1; 2; -1; -2}
Câu 5- Cho 7 ô liên tiếp sau:
-13
a

-27
Biết rằng tổng ba ô liên tiếp bất kỳ luôn bằng 0. Khi đó giá trị của a là:
A. – 13
B. – 27
C. 13
D. 27
Câu 6- Cho
4
6
9
7
7
5
3
11
A=
+
+
+
;
B=
+
+
+
7.31 7.41 10.41 10.57
19.31 19.43 23.43 23.57
A
7
Tỷ số
là:

A.
B
4
7
5
11
B.
C.
D.
2
2
4
Câu 7- Trung bình cộng của tử số và mẫu số của một phân số là 68. Cộng thêm vào tử số của phân số đó 4
3
đơn vị thì được phân số mới bằng phân số
. Phân số lúc đầu là:
2
84
76
75
80
A.
B.
C.
D.
52
60
61
56
Câu 8- Trên đường thẳng a lấy 3 điểm M, N, P sao cho: MN = 2cm, NP = 5cm. Khi đó độ dài đoạn thẳng MP

bằng:
A. 3cm
B. 7cm
C. 3cm hoặc 7cm
D. 3,5cm
Câu 9- Cho 100 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm vẽ một đường thẳng. Số
đường thẳng vẽ được là:
A. 200
B. 4950
C. 5680
D. 9900
0
·
·
Câu 10- Cho xOy = 80 , tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy sao cho xOz
= 300 .
Số đo ·yOz là:
A. 500
B. 1100
C. 500 hoặc 1100
D. 800
·
·
·
Câu 11- Cho xOy
, Ot là tia phân giác của xOz
. Số đo của ·yOt là:
= 800 , Oz là tia phân giác của xOy
A. 200
B. 400

C. 500
D. 600
Câu 12- Có 9 miếng bánh chưng cần rán vàng cả hai mặt. Thời gian rán mỗi mặt cần 3 phút. Nếu dùng một
chiếc chảo mỗi lần chỉ rán được nhiều nhất 6 miếng thì cần thời gian ít nhất là bao lâu để rán xong 9 miếng
bánh chưng đó.
A. 9 phút
B. 12 phút
C. 18 phút
D. 27 phút
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu 1- (4 điểm)
a) Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b ∈ N). Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13.
b) Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) sao cho ab − ba là số chính phương.
Câu 2- (4 điểm) a) Cho M = (– a + b) – (b + c – a) + (c – a).Trong đó b, c ∈ Z còn a là một số nguyên âm
Chứng minh rằng biểu thức M luôn luôn dương.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.
Câu 3- (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm
của OA, OB. a. Chứng tỏ rằng OA < OB. b. Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?


c . Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia
AB).
Câu 4- (2 điểm)
Tính giá trị biểu thức sau:

------- Hết ------PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn Toán - Lớp 6. Năm học 2016 – 2017
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (6 điểm)
( Thời gian làm bài 30 phút gồm 12 câu, tổng 6 điểm, mỗi câu 0,5 điểm. Mỗi câu có 4 phương án trả
lời và có ít nhất một phương án đúng ).
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ĐA
C
D
B
A
B
C
D
C
B
A
D
A
1

1
A 5
Câu 6- . A = .B ⇒ =
5
2
B 2
II. PHẦN TỰ LUẬN (Thời gian làm bài 60 phút gồm 4 câu, tổng 14 điểm)
Câu
Đáp án
Điểm
⇒
1
2 điểm
a) 4b M13
10a + 40b M13 hay 10a + b + 39b M13
mà 39b M13 nên 10a + b M13
2 điểm
b) ab ∈ {43; 73}
2
a) M = - a mà a là số nguyên âm nên M luôn luôn dương
2 điểm
b) x = 0, y = 0 hoặc x = 2; y = 2
2 điểm
3
a) Lập luận chứng tỏ được OA < OB.
1 điểm
b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
1 điểm
Lập luận chứng tỏ OM < ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N
c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O

2 điểm
thuộc tia đối của tia AB).
AB
MN =
. Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi
2
4
B = 15
2 điểm
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6
HUYỆN THẠCH THÀNH
MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2016 – 2017
Câu 1: (4,0 điểm).
1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 68.74 + 27.68 – 68
b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]}
 151515 179   1500 1616 
 1
 1
 1
  1

− 1÷
+ 10 ÷− 
−
c) C = 
d) D =  2 − 1÷ 2 − 1÷ 2 − 1 ÷..... 
÷
2

2
 3
 4
  100

 161616 17   1600 1717 
Câu 2: (2,0 điểm). Tìm số nguyên x, biết: a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7
x x x x
x
x
x
x
x
x 220
=
b) + + + + + + + + +
6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39
Câu 3: (3,0 điểm)
a) Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390. Chứng minh rằng A chia hết cho 11 và 13
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: xy – 2x + y + 1 = 0
Câu 4: (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31
4n + 5
thì dư 28 .
b) Tìm số nguyên n để phân số
có giá trị là một số nguyên
2n − 1
Câu 5: (5,0 điểm). Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các
góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om.
· 'Oz = 300
a) Tính số đo góc mOn

b) Tính số đo của góc kề bù với góc yOm, biết m
c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành
tất cả 300 góc.


Câu 6: (2,0 điểm)a) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225
1
1
1
1
3
+
+
+ ... +
b) Cho A =
Chứng minh A <
1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017
4
ĐÁP ÁN
Câu 1: (4,0 điểm).
1.
a) A = 68.74 + 27.68 – 68 = 68.(74 + 27 – 1) = 68.100 = 6800
b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]}
B = 8.125 – 3.{539 – [639 – 8.(72 + 1)]}
B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.(49 + 1)]}
B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.50]}
B = 1000 – 3.{539 – [639 – 400]} B = 1000 – 3.{539 – 239}
B = 1000 – 3.300
B = 1000 – 900

B = 100
9
 151515 17   1500 1616 
 15.10101 1   15 16.101 
+ ÷−  −
+ 10 ÷− 
−
c) C = 
C= 
÷
÷
 16.10101 17   16 17.101 
 161616 17   1600 1717 
15 1 15 16
 15 15   1 16 
+ − +
C =  − ÷+  + ÷ C = 0 + 1
C=1
16 17 16 17
 16 16   17 17 
 1
 1
 1
  1

 1 − 4  1 − 9  1 − 16   1 − 1000 
− 1÷
d) D =  2 − 1÷ 2 − 1÷ 2 − 1 ÷..... 
D =  2 ÷ 2 ÷ 2 ÷..... 
÷

2
2
2
 3
 4
  100

 2  3  4   100 
−3 −8 −15
−9999
1.3 2.4 3.5
99.101
D = 2 . 2 . 2 .....
D = − 2 . 2 . 2 .....
2
2 3 4
100
2 3 4
1002
(1.2.3.....99)(3.4.5.....101)
1.101
101
D= −
D= −
D= −
(2.3.4.....100).(2.3.4.....100)
100.2
200
Câu 2: a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7
2016 : [25 – (3x + 2)] = 9.7

2016 : [25 – (3x + 2)] = 63
25 – (3x + 2) = 2016 : 63
25 – (3x + 2) = 32
3x + 2 = 25 – 32
3x + 2 = – 7
3x
=–9
x
=–3
x x x x
x
x
x
x
x
x 220
=
b) + + + + + + + + +
6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39
1
1
1
1
1
1  220
1 1 1 1
⇔ x  + + + + + + + + + ÷=
 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78  39
1
1

1
1
1
1
1
1
1  220
1
⇔ 2x  + + + + + + +
+
+
÷=
 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156  39
1
1
1
1
1
1
1
1
1  220
 1
+
+
+
+
+
+
+

+
+
⇔ 2x 
÷=
 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13  39
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  220
⇔ 2x  − + − + − + − + − + − + − + − + − + − ÷ =
 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13  39
10 220
220 10
 1 1  220
⇔ 2x  − ÷ =
⇔ 2x. =
⇔ 2x =
⇔ 2x = 22
⇔ x = 11
:
39 39
39 39
 3 13  39
Câu 3: a) A có 90 số hạng mà 90 M5 nên: A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390
A = (3 + 32 + 33 + 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39 + 310) + … + (386 + 387 + 388 + 389 + 390)
A = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + 36.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + … + 386.(1 + 3 + 32 + 33 + 34)
A = 3.121 + 36.121 + … + 386.121 A = 121(3 + 36 + … + 386)
⇒ A M11
A = 11.11(3 + 36 + … + 386) M11
A có 90 số hạng mà 90 M3 nên:
2
3
4

90
2
A=3+3 +3 +3 +…+3
A = (3 + 3 + 33) + (34 + 35 + 36) + … + (388 + 389 + 390)
A = 3.(1 + 3 + 32) + 34.(1 + 3 + 32) + … + 388.(1 + 3 + 32)
⇒ A M13
A = 3.13 + 34.13 + … + 388.13
A = 13(3 + 34 + … + 388) M11
b) Ta có: xy – 2x + y + 1 = 0 ⇔ x(y – 2) + (y – 2) + 1 = – 2
⇔ (x + 1)(y – 2) = – 3 = 1. (– 3) = ( – 3).1 Ta có bảng sau:
x+1
1
–3
y–2
–3
1
x
0
–4
y
–1
3

C=


Câu 4: a) Gọi số cần tìm là a ( a ∈ N,100 ≤ a ≤ 999 ) Vì a chia cho 8 thì dư 7 và chia cho 31 thì dư 28 nên:
8
8
8

8
8
a − 7 M
a − 7 + 8M
a + 1M
a + 1 + 64M
a + 65M
⇔
⇔
⇔
⇔

a − 28M31 a − 28 + 31M31 a + 3M31 a + 3 + 62M31 a + 65M31
Vì (8, 31) = 1 nên a + 65 M(8.31) hay a + 65 M248 ⇔ a = 248k – 65 (k ∈ N*). Vì a là số có 3 chữ
số lớn nhất nên k = 4, khi đó a = 248.4 – 65 = 927. Vậy số cần tìm là 927
4n + 5 4n − 2 + 7 n(2n − 1) + 7
7
=
=n+
b) Ta có:
=
2n − 1
2n − 1
2n − 1
2n − 1
4n + 5
7
Vì n nguyên nên để
nguyên thì
nguyên hay 2n – 1 ∈ Ư(7) = {–7; –1; 1; 7}

2n − 1
2n − 1
⇔ 2n ∈ {– 6; 0; 2; 8} ⇔ n ∈ {– 3; 0; 1; 4}
4n + 5
Vậy với n ∈ {– 3; 0; 1; 4} thì
có giá trị là một số nguyên
2n − 1
·
·
·
·
Câu 5: (5,0 điểm).
a) Vì xOy
kề bù với zOy
nên: xOy
+ zOy
= 1800
1·
·
·
= xOy
Vì tia Om là tia phân giác của xOy
nên: mOy
2
1·
·
·
nOy
= zOy
Vì tia On là tia phân giác của zOy

nên:
2
·
·
·
Vì xOy
kề bù với zOy
nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz mà tia Om là tia phân giác của xOy
·
và tia On là tia phân giác của zOy
nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, khi đó:

·
·
·
+ yOn
= mOn
mOy

(

)

⇔

1·
1·
·
xOy + zOy
= mOn

2
2

1 ·
1
·
·
·
·
⇔ .1800 = mOn
⇔ mOn
xOy + zOy
= mOn
= 900
2
2
· 'Oz kề bù với zOm
·
b) Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó m
· 'Oz + zOm
·
·
·
⇒ m
⇔ 300 + zOm
⇔
= 1800
= 1800
= 1500
zOm

·
·
Vì hai tia Ox và Oz đối nhau, khi đó zOm
kề bù với mOx

⇔

·
·
·
⇒ zOm
+ mOx
= 1800 ⇔ 1500 + mOx
= 1800 ⇔
·
·
·
Vì tia Om là tia phân giác của xOy
nên: mOy
= 300
= mOx
·
·
Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó yOm
kề bù với yOm
'

·
= 300
mOx


·
·
·
·
⇒ yOm
+ yOm
' = 1800 ⇔ 300 + yOm
' = 1800 ⇔
yOm
' = 1500
c) Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo
thành tất cả 300 góc. Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6
Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O còn lại thành n + 5 góc, mà có n + 6 tia như vậy nên tạo
thành:
(n + 5)(n + 6) góc
Vì tia này tạo với kia và ngược lại nên mỗi góc được tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là:
( n + 5) ( n + 6 ) góc Vì có 300 góc được tạo thành nên: ( n + 5) ( n + 6 ) = 300
2
2
⇔ (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25
⇔ n + 5 = 24 ⇔ n = 19
100a + 3b + 1
Câu 6: a) Ta có: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (1) vì 225 lẻ nên  a
cùng lẻ (2)
2 + 10a + b
⇔ (3b + 1)(1 + b) = 225 = 32.52
*) Với a = 0: (1) ⇔ (100.0 + 3b + 1)(20 + 10.0 + b) = 225
3b + 1 = 25
⇔ b=8

Vì 3b + 1 chia cho 3 dư 1 và 3b + 1 > 1 + b nên: (3b + 1)(1 + b) = 25.9 
1 + b = 9
*) Với a là số tự nhiên khác 0: Khi đó 100a chẵn, từ (2) ⇒ 3b + 1 lẻ ⇒ b chẵn ⇒ 2a + 10a + b chẵn, trái
với (2) nên b ∈ ∅
Vậy: a = 0 ; b = 8


1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017
1
1
1
1
+
+
+ ... +
2
2
2
2
+
+
+ ... +

(1 + 2017).1009 A =
A = (1 + 3).2 (1 + 5).3 (1 + 7).4
2.4 3.6 4.8
1009.2018
2
2
2
2
1  1
1
1
1
1
1
1

+
+
+ ... +
+
+
+ ... +
A=
A<
÷
2.2  2.3 3.4
1008.1009 
2.2 3.3 4.4
1009.1009
1 1 1 1 1

1
1 
1 1
1 
1 1
3
−
A < +  − + − + ... +
÷ A < + −
÷ A< + A<
4 2 3 3 4
1008 1009 
4  2 1009 
4 2
4
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 THCS
HUYỆN GIA VIỄN
NĂM HỌC 2016- 2017

b) Ta có:

A=

Câu 1: (4,5 điểm). Thực hiện các phép tính sau: a. A =

5.230.318 − 4.320.2 27
5.29.219.319 − 7.229.318

b. B = 1 − 3 + 5 − 7 + 9 − 11 + ... + 2017 − 2019

 151515 151515 151515 151515 151515  28
+
+
+
+
c. C = 
÷.
 60606 121212 202020 303030 424242  15
Câu 2: (4,5 điểm)Tìm số tự nhiên x, biết: a. (19 x + 2.52 ) :14 = (13 − 8) 2 − 42
b. 3.5 x = 60.58 + 15.254
c. Tìm số nguyên n để: 5 + n 2 − 2n chia hết cho n − 2
Câu 3: (4,0 điểm) a. Cần dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số trang của quyển sách dày 199 trang? (bắt
đầu từ trang số 1)
b. Tìm các chữ số x; y để M = x183 y chia hết cho 2; 5 và 9 đều dư 1
Câu 4: (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 7cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy
điểm N sao cho AN = AM. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax, Ay sao cho
·
·
·
b. Chứng tỏ rằng: Ay là tia phân giác của NAx
BAx
= 600 ; BAy
= 1200 . a.Tính BN khi BM = 2cm?
c. Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất
của BN khi đó.
Câu 5: (1,0 điểm)Tìm số dư trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết rằng nếu lấy số tự nhiên
dố chia cho 7 thì được số dư là 5 và chia cho 13 thì được số dư là 4
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI : TOÁN 6
Thời gian làm bài: 120 phút.

32 32
32
32
Bài 1: (6,0 điểm).Tính nhanh:
a) A =
+
+
+ ...... +
1.4 4.7 7.10
97.100
b) B =

(-528) + (-12) + (-211) + 540 + 2225

1 + 3 + 32 + 33 + ... + 32012
c) M =
32014 − 3

2
2
2
2
2
2
5
11
11
5
+
+

+
+
+
e) So sánh: N = 2005 + 2006 và M = 2005 + 2006
20 30 42 56 72 90
10
10
10
10
2
3
98
99
Bài 2: (3,0 điểm)
Cho S = 1 – 3 + 3 – 3 + ... + 3 – 3 .
a) Chứng minh rằng S là bội của -20.
b) Tính S, từ đó suy ra 3100 chia cho 4 dư 1.
Bài 3: (5,0 điểm).
a) Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 504 và ƯCLN của chúng bằng 42
b) Tìm a ∈ N để a + 1 là bội của a – 1
c) Cho K = 1028 + 8. Chứng minh rằng K chia hết cho 72
Bài 4: (4,0 điểm). Trên đường thẳng AM lấy một điểm O (O nằm giữa A và M). Trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ AM vẽ các tia OB, OC sao cho: góc MOC = 1150; góc BOC = 700. Trên nửa mặt phẳng đối diện
dựng tia OD (D không cùng nằm trong nửa mặt phẳng với B,C qua bờ là AM) sao cho góc AOD = 450.
a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC không? vì sao?
b) Tính góc MOB và góc AOC ?
c) Chứng tỏ rằng 3 điểm D, O, B thẳng hàng.
d) D =



Bi 5: (2,0 im). Trong một cuộc thi có 50 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng đợc 20 điểm,
còn trả lời sai bị trừ 15 điểm. Một học sinh đợc tất cả 650 điểm. Hỏi bạn đó trả lời
đợc mấy câu đúng ?
(Thớ sinh khụng c s dng mỏy tớnh b tỳi)
Bi 1 (6,0 im)
32 32
32
32
3
3
3
3
= 3.(
+
+
+ ...... +
+
+
+ ...... +
)
1.4 4.7 7.10
97.100
1.4 4.7 7.10
97.100
99 297
1 1 1 1 1
1
1
1 1
=


) = 3.
= 3.
= 3.( + + ...... +
100 100
1 4 4 7 7
97 100
1 100
A=

b) B =

c)

(-528) + (-12) +(-211)+ 540+2225
B = (-528+(-12)+540)+(-211+211)+2014. Vy B = 2014

M=

1 + 3 + 32 + 33 + ... + 32012
32014 3

2

2.0
1.0

- t A = 1+3+32+33 + ...+32012 - Tớnh c A = 32013 1
- t B = 32014 3
- Tớnh c B = 3.(32013 1)

- Tớnh c M =

0.5
0.5

1
3

Bi 2
Tng S cú 100 s hng chia thnh 25 nhúm , mi nhúm cú 4 s hng :
S= 1 3 + 32 33 + ... + 398 399
= (1 3 + 32 33) + (34 35 + 36 37) +...+(396 397 + 398 399)
= ( - 20 )
+
34( - 20 ) +...+
396( - 20 ) -20 Vy S -20
b)

S= 1 3 + 32 33 + ... + 398 399
3S =
3 32 + 33 34 +...+399 3100

3 im
1

1 )
0.5

Cng tng v ca 2 ng thc ta c :
1 3100

3S + S = ( 3+1 ) S = 4S =
S l mt s nguyờn nờn 1 3100 4 hay 3100
4
1 4 3100 chia cho 4 d 1
Bi 3a) gi a,b l hai s cn tỡm a, b N*,a>b, a = 42a, b =42b trong ú a, b N*
[a,b]=1 vỡ a>b nờn a>b

0.5

a+b=504 suy ra a+b = 12 cú cỏc cp a,b tha món l (11;1);(7;5)
suy ra cỏc cp s tho man bi toỏn l (462;42); (294;210)

0.5

n +1
n +1
2
= 1+
l s nguyờn
n 1
n 1
n 1

2

b) a +1 l bi ca a -1 nờn thỡ

a -1 = {-1,1,2} nờn a ={0,2,3}
c) Lp lun c K chia ht cho 9 vỡ tng cỏc ch s l 9 v chia ht cho 8 vỡ ba ch
s tn cựng l 008. Vy K chia ht cho 72

Bi 4

0.5

2

4 im


a) Nu OB nm gia 2 tia OA, OC thỡ ta cú :

ã
ã
ã
MOC
+ COB
= MOB
ã
MOB
= 1850 > 1800 (vụ lý)

B

C

Vy OB nm gia 2 tia OM, OC.

1.0

M


A

O
D

ã
ã
ã
b) Do tia OB nm gia 2 tia OM, OC nờn : MOB
+ BOC
= MOC

0.5

ã
ã OC BOC
ã
MOB
= 1150 - 700 = 450
= M

0.5

ã
ã
ã
Hai gúc ãAOC , COM
l 2 gúc k bự nờn : AOC
= 1800

+ COM
ã
ã OM = 1800 1150 = 650
AOC
= 1800 C

0.5

ã
ã
ã
ã
c) Hai gúc AOB
v BOM
l 2 gúc k bự AOB
+ BOM
= 1800
ã
AOB
=1800- 450 = 1350

0.5

ã
ã
Hai gúc DOA
l gúc cú cnh chung OA. Cũn 2 cnh OD, OB nm
v AOB
trong 2 na mt phng i nhau b AM nờn :
ã

ã
= 450 + 1350 = 1800 OD, OB l 2 tia i nhau. D, O, B
DOA
+ AOB
thng hng.

0.5

Bài 5. Nếu bạn đó trả lời đợc 50 câu thì tổng số điểm là 50 x
2
20 = 1.000 (điểm)
Nhng bạn chỉ đợc 650 điểm còn thiếu 1.000 650 = 350 (điểm).
Thiếu 350 điểm vì trong số 50 câu bạn đã trả lời sai một số câu.
Giữa câu trả lời đúng và trả lời sai chênh lệch nhau 20 + 15 =
35(điểm). Do đó câu trả lời sai của bạn là 350:35 =10 (câu)
Vậy số câu bạn đã trả lời đúng là 50 10 = 40 (câu)
Ubnd huyện vũ th
Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện
phòng GIáo Dục & ĐàO Tạo
Năm học 2015 - 2016
Bài 1 (4 điểm): Tính giá trị của các biểu thức sau:
1) A = - 1 - 2 + 3 + 4 - 5 - 6 + 7 + 8 - 9 - 10 + 11 + 12 - ... - 2013 - 2014 + 2015 + 2016

1 1 1 1
1
1
1

1ữ : 1ữ : 1ữ : 1 ữ : ... : 1 ữ : 1 ữ :
1ữ

2 3 4 5
98 99 100
2
3
4
5
Bài 2 ( 4 điểm): 1) Cho C = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 46 + ... + 42014 + 4 2015 + 42016
2) B =

Chứng minh rằng Cchia ht 21 v C chia ht 105
2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc t nhiờn là một số lẻ thì
số tự nhiên đó là một số chính phơng.
Bài 3 ( 4 điểm):1) Tìm số d trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết
rằng nếu lấy số tự nhiên đó chia cho 7 thì đợc d là 5 và chia cho 13 thì đợc d là 4.

x
1
+1=
5
y-1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
Bài 4 (2 điểm): Cho E =
và
1.101 2.102 3.103

10.110
1
1
1
1
E
F=
+
+
+ ... +
Tính tỉ số:
1.11 2.12 3.13
100.110
F
2) Tìm các cặp số nguyên (x, y) biết:


ã
Bài 5 ( 4 điểm): Cho tam giác ABC có BAC
= 1200 . Điểm E nằm giữa B và C sao cho

ã
ã
BAE
= 300 . Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Ax sao cho CAx
= 300 , tia

Ax cắt BC ở F.
ã
a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của EAF

.
ã
ã
b) Gọi AI là tia phân giác của BAC
. Chứng minh AI cũng là tia phân giác của EAF
.
Bài 6 (2 điểm): Cho biểu thức: D =

( 2!)

+

( 2!)

2

32
So sánh D với 6. Biết n! = 1.2.3.....n; n N

Bài
Bài 1
(4
điểm)

ý

12

2


+

( 2!)
52

2

+

( 2!)
72

2

+ ... +

( 2!)

2

20152

Nội dung

A = - 1 - 2 + 3 + 4 - 5 - 6 + 7 + 8 - 9 - 10 + 11 + 12 - ..... - 2013 - 2014 + 2015 + 2016
A = (- 1 - 2 + 3 + 4)+(- 5 - 6 + 7 + 8)+(- 9 - 10 + 11 + 12)+ ..... +(-2013 - 2014 + 2015 + 2016)

1 Ta có tổng A có 2016 số hạng nên có 2016 : 4 = 504 nhóm
A = 4 + 4 + 4 + .. + 4 (tổng có 504 số 4)
A = 4. 504

A = 2016
Vậy A = 2016
1 1 1 1
1
1
1

B = 1ữ : 1 ữ : 1 ữ : 1ữ : ..... : 1 ữ : 1 ữ :
1ữ
2 3 4 5
98 99 100

Bài 2
(4điể
m)

1 2 3 4
97 98 99
B = ữ : ữ : ữ : ữ : ..... : ữ : ữ :
ữ
2 3 4 5
98 99 100
1 3 4 5
98 99 100
B = ữ . ữ . ữ . ữ . ..... . ữ . ữ .
ữ
2 2 3 4
97 98 99
2
Ta thấy tích B có 99 thừa số âm nên tích mang dấu âm

1.3.4.5.6.....98.99.100
B=2.2.3.4.5.....97.98.99
100
B=2.2
B = - 25
Vậy B = - 25
1 Cho C = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + ..... + 42014 + 42015 + 42016

Chứng minh rằng C M21 v C M105

Chứng minh C M21
Ta có:

Điểm
2,0
điể
m
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
2,0
điể
m
0,5
0,5
0,5

0,5

2,0
điể
m
0,75

C = 4 + 4 2 + 43 + 44 + 45 + 46 + ..... + 42014 + 4 2015 + 4 2016

C = ( 4 + 4 2 + 43 ) + ( 4 4 + 45 + 46 ) +.....+ ( 4 2014 + 4 2015 + 4 2016 )
C = 4.( 1 + 4 + 4 2 ) + 4 4 . ( 1 + 4 + 4 2 ) + ..... + 4 2014. ( 1 + 4 + 4 2 )

0,25

C = 4.21 + 4 4 .21 + ..... + 4 2014 .21

0,25

C = 21.( 4 + 4 + ..... + 4
4

2014

)

0,25


Do đó: C M21
Chứng minh C M105

1,25

điể
m
0,75

Chứng minh C M5

C = 4 + 4 2 + 43 + 4 4 + 45 + 46 + ..... + 4 2014 + 4 2015 + 4 2016

C = ( 4 + 4 2 ) + ( 43 + 44 ) + ( 45 + 46 ) + ..... + ( 4 2013 + 4 2014 ) + ( 4 2015 + 4 2016 )
C = 4. ( 1 + 4 ) + 43. ( 1 + 4 ) + 4 5. ( 1 + 4 ) + ..... + 4 2013. ( 1 + 4 ) + 4 2015. ( 1 + 4 )
C = 5. ( 4 + 43 + 45 + ..... + 4 2013 + 4 2015 )

Do đó: C M5
Ta có C M5 và C M21 mà (5 ; 21 ) = 1
Do đó C M5.21 hay C M105
2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là
một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.
Gọi số tự nhiên đó là P (P ạ 0)
Nếu P = 1 ta có 1 = 12 ị P là số chính phơng
Nếu P > 1. Phân tích P ra thừa số nguyên tố ta có P =
x

y

a .b .....c

0,25
0,25
0,25
0,5

2,0
điể
m
0,5
0,25

z

(với a, b, ... , c là các số nguyên tố)
Khi đó số lợng các ớc của P là (x + 1).(y + 1).....(z + 1)
Theo bài ra (x + 1).(y + 1).....(z + 1) là số lẻ
ị x + 1 , y + 1 , ... , z + 1 đều là các số lẻ
ị x, y , ... , z đều là các số chẵn
Do đó x = 2.m ; y = 2.n ; ... ; z = 2.t
Nên P = a 2.m .b 2.n .....c 2.t =

( a m .b n .....c t )

2

0,25
0,25
0,25
0,25

ị P là số chính phơng
Vậy chứng tỏ với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là một
số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.
Bài 3
(4điể

m)

1 Tìm số d trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết
rằng nếu lấy số tự nhiên đó chia cho 7 thì đợc d là 5 và chia
cho 13 thì đợc d là 4.
Gọi số tự nhiên đó là a
Theo bài ra ta có: a = 7.p + 5 và a = 13.q + 4 (với p, q ẻ N )
Suy ra: a + 9 = 7.p + 14 = 7.(p + 2) M7
a + 9 = 13.q + 13 = 13.(q + 1) M13
Ta có a + 9 M7 và a+ 9 M13 mà (7 ; 13) = 1
Do đó a + 9 M7. 13 hay a + 9 M91
Vậy a + 9 = 91.k (với k ẻ N )
ị a = 91.k 9 = 91.k 91 + 82 = 91.(k-1) + 82
Nên a chia cho 91 có số d là 82.
2
x
1
+1=
Tìm các cặp số nguyên (x; y) biết:

5

Ta có:

y -1

x
1
x +5
1

+1=
=

( x + 5) .( y - 1) = 5.1
5
y -1
5
y- 1

0,25
2,0
điể
m
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
2,0
điể
m
0,5




( x + 5) .( y - 1) = 5.1 = 1.5 = - 5 . (-1) = - 1 . (-5)

Nên ta có bảng sau
x+5

5
1
-5
y-1
1
5
-1
x
0
-4
-10
y
2
6
0
Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0;2) ; (- 4; 6) ; (- 10; 0)
4)
Bài 4
2
điểm

0,25
-1
-5
-6
-4
; (- 6;-

1
1

1
1
+
+
+ ..... +
và
1.101 2.102 3.103
10.110
1
1
1
1
F= +
+ + ..... +
1.11 2.12 3.13
100.110
E
Tính tỉ số:
F
Cho E =

1 Ta có

1
1
1
1
+
+
+ ..... +

1.101 2.102 3.103
10.110
ử
1 ổ
100
100
100
100 ữ
E=
.ỗ
+
+
+
.....
+
ữ
ỗ
ố1.101 2.102 3.103
ứ
100 ỗ
10.110 ữ
1 ổ
1
1
1
1 1
1
1 ử
ữ
E=

.ỗ
1+ + + ..... + ữ
ỗ
ữ
ỗ
100 ố 101 2 102 3 103
10 110 ứ
ự
ổ1
1 ộổ
1 1
1ử
1
1
1 ử
ữ
ữ
ỗ
ỳ
E=
. ờỗ
1
+
+
+
.....
+
+
+
+

.....
+
ữ
ữ
ỗ
ữ ỗ
ữỳ
ỗ 2 3
ỗ101 102 103
ố
ứ
ố
ứ
100 ờ
10
110
ở
ỷ
1
1
1
1
F=
+
+
+ ..... +
1.11 2.12 3.13
100.110
ử
1 ổ10

10
10
10 ữ
F = .ỗ
+
+
+ ..... +
ữ
ỗ
ố1.11 2.12 3.13
ứ
10 ỗ
100.110 ữ
ử
1 ổ 1 1 1 1 1
1
1 ữ
F = .ỗ
1
+
+
+
.....
+
ữ
ỗ
ố 11 2 12 3 13
ứ
10 ỗ
100 110 ữ

ự
ổ1
1 ộổ 1 1
1 ử
1
1
1 ử
ữ
ữ
ỗ
ỳ
F = . ờỗ
1
+
+
+
.....
+
+
+
+
.....
+
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ ố
ữ
ỗ

ỗ11 12 13
ỳ
ố
ứ
ứ
10 ờ
2
3
100
110
ở
ỷ

0,75

0,5
2,0
điể
m

0,75

E=

F=

1 ộổ
1 1
1ử
. ờỗ

1 + + + ..... + ữ
ữ
ỗ
ữỗ
ố
ứ
10 ờ
2
3
10
ở

2 Ta có

ự
ổ1
1
1
1 ử
ữ
ỗ
ỳ
+
+
+
.....
+
ữ
ỗ
ữỳ

ỗ101 102 103
ố
110 ứ
ỷ

1
E 100
1 10 1
=
=
. =
1
F
100 1 10
10
E
1
=
Vậy tỉ số
F 10
Bài 5

Cho tam giác ABC có góc BAC = 1200 . Điểm E nằm giữa B và C

0,75

0,5


4

điểm

sao cho góc BAE = 300 . Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm
B kẻ tia Ax sao cho góc CAx = 300, tia Ax cắt BC ở F.
a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của góc
EAF.
c) Gọi AI là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh AI
cũng là tia phân giác của góc EAF.

C

x
F
I
E

300
300

B

A
1

2,0
điể
m
Theo bài ra ta có điểm E nằm giữa hai điểm B và C
Nên tia AE nằm giữa hai tia AB và AC
Ta có: góc BAE + góc EAC = góc BAC

ị 300 + góc EAC = 1200
ị góc EAC = 1200 300 = 900
Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B
Ta có: góc CAF = 300
góc CAE = 900
ị góc CAF < góc CAE (vì 300 < 900)
Do đó tia AF nằm giữa hai tia AC và AE
Vậy điểm F nằm giữa hai điểm C và E
ị góc CAF + góc FAE = góc CAE
ị 300 + góc FAE = 900
ị góc FAE = 600

2

0,75

0,5
0,25
0,5
2,0
điể
m

Ta có: AI là tia phân giác của góc BAC
Nên góc BAI = góc CAI =

gúcBAC
1200
=
= 600

2
2

*) Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B
Có góc CAF < góc CAI (vì 300 < 600)
Suy ra tia AF nằm giữa hai tia AC và AI
ị góc CAF + góc FAI = góc CAI
ị 300 + góc FAI = 600
ị góc FAI = 300
*) Xét nửa mặt phẳng bờ AF có chứa điểm B
Ta có: góc FAE = 600 và góc FAI = 300
ị góc FAI < góc FAE (vì 300 < 600)
ị Tia AI nằm giữa hai tia AF và AE
Hơn nữa góc FAI =

1
600
góc FAE (vì 300 =
)
2
2

Do đó AI là phân giác của góc FAE.

0,5

0,5

0,5
0,5



Bài 6
2
điểm

Cho biểu thức D =

( 2!)
12

2

+

( 2!)
32

2

+

( 2!)
52

2

+

( 2!)

72

2

+ ..... +

( 2!)

2

20152

So sánh D với 6. Biết n! = 1.2.3..n

2,0
điể
m

Ta có

D=

( 2!)

2

( 2!)

2


( 2!)

2

( 2!)

2

( 2!)

2

+ 2 + 2 + 2 + ..... +
12
3
5
7
20152
22
22
22
22
22
D = 2 + 2 + 2 + 2 + ..... +
1
3
5
7
20152
ổ2

2
2
2 ử
ữ
D = 4 + 2.ỗ
+ 2 + 2 + ..... +
ỗ
2
2ữ
ữ
ỗ
ố3
5
7
2015 ứ
2
2
2
1
<
=1Ta thấy 2 =
3
3.3 1.3
3
2
2
2
1 1
=
<

= 2
5
5.5 3.5 3 5
2
2
2
1 1
=
<
= 2
7
7.7 5.7 5 7


0,5

0,5

2
2
2
1
1
=
<
=
2
2015
2015.2015 2013.2015 2013 2015
Do đó


ổ
ử
1 1 1 1 1 1
1
1 ữ
D < 4 + 2.ỗ
+
+
+
.....
+
ữ
ỗ
ỗ
ố1 3 3 5 5 7
ứ
2013 2015 ữ
ổ
ử
1 ữ
D < 4 + 2.ỗ
1ữ
ỗ
ỗ
ố 2015 ữ
ứ
2
D <4 +2<6
2015


0,5

0,5

Vậy D < 6
THI CHN HC SINH GII CP HUYN
UBND HUYN LNG TI
Nm hc: 2015-2016
PHềNG GIO DC V O TO
Bi 1: (1,0im) Thc hin phộp tớnh (tớnh hp lý nu cú th)
a/ 1968: 16 + 5136: 16 -704: 16
b/ 23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78: 76 +70)]}
Bi 2: (1,0im) M cú l mt s chớnh phng khụng nu: M = 1 + 3 + 5 ++ (2n-1) (Vi n N , n 0)
Bi 3:(1,5im) Chng t rng: a/ (3100+19990) M2 b / Tng ca 4 s t nhiờn liờn tip khụng chia ht cho 4
1718 + 1
1717 + 1
Bi 4: (1,0im) So sỏnh A v B bit:
A = 19
, B = 18
17 + 1
17 + 1
n +1
Bi 5: (2,0im) Tớm tt c cỏc s nguyờn n :
a) Phõn s
cú giỏ tr l mt s nguyờn
n2
12n + 1
b) Phõn s
l phõn s ti gin

30n + 2
Bi 6: (2,5im) Cho gúc xBy = 550.Trờn cỏc tia Bx, By ln lt ly cỏc im A, C (A B, C B). Trờn on
thng AC ly im D sao cho gúc ABD = 300
a/ Tớnh di AC, bit AD = 4cm, CD = 3cm
b/ Tớnh s o gúc DBC
0
c/ T B v tia Bz sao cho gúc DBz = 90 . Tớnh s o ABz.
Bi 7: (1,0im) Tỡm cỏc cp s t nhiờn x , y sao cho: (2x + 1)(y 5) = 12


---------- HẾT ---------Bài 1: (1,0 điểm)
Ý/Phần
a
= 16(123+ 321 - 44):16
= 400
b
=8.125-3.{400-[673-8.50]}
= 1000-3.{400-273}
=619
Bài 2: (1,0 điểm)
Ý/Phần

Đáp án

Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25


Đáp án

Điểm

M = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) (Với n ∈ N , n ≠ 0)
Tính số số hạng = (2n-1-1): 2 + 1 = n
Tính tổng = (2n-1+1) n: 2 = 2n2: 2 = n 2
KL: M là số chính phương

0,5
0,5đ

Bài 3: (1,5 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Ta có:
3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3)
= (34)25 = 8125 có chữ số tận cùng bằng 1
990
a
19 = 19.19…19 (có 990 thứa số 19)
= (192)495 = 361495 (có chữ số tận cùng bằng 1
100
Vậy 3 +19990 có chữ số tận cùng bằng 2 nên tổng này chia hết cho 2
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: a; (a +1);(a + 2);(a + 3); (a ∈ N )
b
Ta có: a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6
Vì 4a M4; 6 không chia hết 4 nên 4a+ 6 không chia hết 4
Bài 4: (1,0 điểm)
Ý/Phần

Đáp án
17
18
18
17 + 1
17 + 1
1718 + 1 + 16 17(17 + 1
Vì A = 19
< 1 ⇒ A= 19
<
=
18
17 + 1
17 + 1 1719 + 1 + 16 17(17 + 1
=B
Vậy A < B
Bài 5: (2,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
a
n +1
là số nguyên khi (n+1) (n-2)
n−2
Ta có (n+1) = [ (n − 2) + 3]

Điểm
0,25
0,25
0,5
0,25

0,25

)
)

Điểm
17 + 1
1718 + 1
17

=

Vậy (n+1) (n-2) khi 3(n-2)
(n-2) ∈ Ư(3) = { −3; −1;1;3}

=> n ∈ { −1;1;3;5}

Gọi d là ƯC của 12n+1 và 30n+2 (d ∈ N*) ⇒ 12n + 1d ,30n + 2 d
b
[ 5(12n + 1) − 2(30n + 2) ] d ⇔ (60n+5-60n-4) d ⇔ 1 d mà d∈ N* ⇒ d = 1
Vậy phân số đã cho tối giản
Bài 6: (2,5 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Vẽ hình đúng
a
TH1
TH2

0,75

0,25
Điểm
0.5

0,5
0,25
0,5đ
0,25
Điểm


0,25

b

Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C:
AC= AD + CD = 4+3 = 7 cm
Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
Ta có đẳng thức: ABC = ABD + DBC DBC = ABC - ABD
=550 – 300 = 250

0,25
0,25
0,25
0,5

c

Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB

0,25
nên tia BA nằm giữa hai tiaBz và BD
Tính được ABz = 900 - ABD = 900- 300 = 600
0,25
- Trường hợp 2:Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia 0,25
BD nằm giữa hai tia Bz và BA
Tính được ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200
0,25
Bài 7: (1,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án
Điểm
(2x+ 1); (y - 5) là các ước của 12
0,25
Ư(12) = {1;2;3;4;6;12 }
0,25
Vì 2x + 1 là lẻ nên:
2x + 1= 1 ⇒ x=0 , y =17
0,25
2x + 1= 3 ⇒ x=1 , y=9
0,25
Vậy với x = 0 thì y = 17; Với x = 1 thì y = 9
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017
TIỀN HẢI
m¤N: TOÁN 6
(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1: (4,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: A =


1 + 3 + 5 + ... + 19
21 + 23 + 25 + ... + 39

x x +1 x + 2
18
2số30 : 2
2) Tìm số tự nhiên x, biết: 5 .5 .5 = 1000...0
181chữ

Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1
2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số?
Bài 3: (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng số viết bởi 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27.
2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147.
Bài 4: (6,0 điểm) 1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB, OC sao cho
·
·
·
·
.
a) Tính AOM
.
AOB
= 1200 , AOC
= 800 . Gọi OM là tia phân giác của BOC
·
b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của CON
.
·
·

2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: xOx
2 = 2xOx ;
1

· 3 = 3xOx
·
·
·
·
·
xOx
1 ; xOx 4 = 4xOx 1 ; ...; xOx n = nxOx1 . Tìm số n nhỏ nhất để trong các tia đã vẽ có một tia là
tia phân giác chung của 2017 góc.
Bài 5: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều tối giản.


7
8
9
100
;
;
;...;
n + 9 n + 10 n + 11
n + 102
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
Bài 1 (4,0 điểm)
1) Tính giá trị biểu thức: A =


ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM

1 + 3 + 5 + ... + 19
.
21 + 23 + 25 + ... + 39

x x +1 x + 2
18
123 :2 .
2) Tìm số tự nhiên x, biết: 5 .5 .5 = 1000...0
18c/sô0

Câu

a)
2.0đ

Nội dung
Ta có :
1 + 3 + 5 + ... + 19 = (1 + 19) + (3 + 17) + (5 + 15) + (7 + 13) + (9 + 11)
= 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100
21 + 23 + 25 + ... + 39 = (21 + 39) + (23 + 37) + (25 + 35) + (27 + 33) + (29 + 31)
= 60 + 60 + 60 + 60 + 60 = 300
100
Suy ra A =
300
1
Rút gọn A =
3
x x +1 x + 2

18
5 .5 .5 = 1000...0
123 :2

Điểm
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

18c/sô0

b)
2.0đ

5

x + x +1+ x + 2

= 10 : 218
18

0.5đ
18

1018  10 10 10 
0.5đ
=  . ... ÷ = 518
18
2

 2 2 2
Suy ra: 3x + 3 = 18
0.5đ
Giải ra x = 5
0.5đ
Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1
2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số?
Câu
Nội dung
Điểm
Gọi d là ƯCLN (21n + 4; 14n + 3)
0.5đ
Suy ra: 21n + 4Md và 14n + 3Md
⇒ 2.(21n + 4) Md và 3.(14n + 3) Md
0.5đ
a)
⇒ 3.(14n + 3) − 2.(21n + 4) Md
0.5đ
2.0đ
⇒ 1Md
0.5đ
⇒ d =1
Vậy ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1
+ Vì p là số nguyên tố, p > 3
0.5đ
⇒ 4p không chia hết cho 3
Ta có 4p + 2 = 2 (2p + 1)
Theo bài ra p > 3 ⇒ 2p + 1> 7 và là số nguyên tố ⇒ 2p + 1 không chia hết cho 0.5đ
b)
3. Suy ra 4p + 2 không chia hết cho 3

2.0đ
Mà 4p; 4p + 1; 4p + 2 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho
0.5đ
3 do đó 4p + 1 chia hết cho 3.
Vì 4p + 1 > 13 nên 4p + 1 là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.
0.5đ
Suy ra 4p + 1 là hợp số.
Bài 3 (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng số viết được với 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27.
2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147.
Câu
Nội dung
Điểm
53x +3 =


Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27
{
14 2 43 = 11...1x1000...01000...01
123 123
Thật vậy: 111...11

0.5đ

{ M9 và 1000...01000...01
1 2 3 1 2 3 M3
Mà 11...1

0.5đ


⇒ 111...1
1 2 3 M27

0.5đ

27c/sô 1

9c/sô 1

a)
2.0đ

9c/sô 1

8c/sô 0

8c/sô 0

8c/sô 0

8c/sô 0

27c/sô1

1 2 3 nên số đó
Từ đó suy ra nếu một số viết bởi 27 chữ số a thì số đó bằng a. 111...1

27c/sô1
0.5đ
chia hết cho 27.

Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên 1000 ≤ n ≤ 9999
Theo bài ra n là bội của 147 nên n = 147.k = 72.3k
0.5đ
Do n là số chính phương nên khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa các thừa
số nguyên tố phải có số mũ chẵn suy ra k M3 ⇒ k = 3m ⇒ n = 7 2.32.m = 441m
b)
⇒ 1000 ≤ 441m ≤ 9999
0.5đ
2.0đ
⇒ 2 < m < 22
Để n là số chính phương thì m là số chính phương ⇒ m = 4;9;16
0.5đ
Suy ra các số tự nhiên cần tìm là: 1764; 3969; 7056.
0.5đ
Bài 4: (6,0 điểm)
1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB,OC sao cho
·
·
·
.
AOB
= 1200 , AOC
= 800 . Gọi OM là tia phân giác của BOC
·
a) Tính AOM
.
·
b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của CON
.
·

·
2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox 1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: xOx
2 = 2xOx ;
1

· 3 = 3xOx
·
·
·
·
·
xOx
1 ; xOx 4 = 4xOx 1 ; ...; xOx n = nxOx1 . Tìm số n nhỏ nhất để trong các tia đã vẽ có một tia là
tia phân giác chung của 2017 góc.
Câu
Nội dung
Điểm
M

B

C

Vẽ hình

0.5đ

ˆˆ

O


a)
2.0đ

A

·
·
N có AOC
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA
(800 < 1200)
< AOB
Þ Tia OC nằm giữa hai tia OA và OB
·
·
·
·
·
Þ AOC
+ BOC
= AOB
⇒ 800 + BOC
= 1200 ⇒ BOC
= 400
·
BOC
40
·
·
·

Vì OM là tia phân giác của BOC
⇒ BOM
= COM
=
=
= 200
2
2
·
·
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OB có BOM
< BOA
0
0
(20 < 120 ) nên tia OM nằm giữa hai tia OA và OB

0.5đ

0.5đ
0.5đ


·
·
·
⇒ BOM
+ MOA
= AOB
·
·

200 + MOA
= 1200 ⇒ MOA
= 1000

0.5đ

·
·
Vì OM và ON là hai tia đối nhau nên hai góc AOM
và AON
là hai góc kề bù.
·
·
⇒ AOM
+ AON
= 1800
b)
2.5đ

c)
1.0đ

·
·
⇒ 1000 + AON
= 1800 ⇒ AON
= 800
·
·
Suy ra AOC

( vì cùng bằng 800) (1)
= AON
Vì hai tia OM và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia OA nên
tia OA nằm giữa hai tia OM và ON (2)
·
Từ (1) và (2) suy ra tia OA là tia phân giác của CON
Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox 1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho:
·
·
·
·
·
·
·
·
xOx
2 = 2xOx 1 ; xOx 3 = 3xOx1 ; xOx 4 = 4xOx1 ; ...; xOx n = nxOx1
· 1 = x· Ox = x· Ox = ... = x· Ox
⇒ xOx
1

2

2

3

n −1

0.5đ

0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

n

Vậy khi n nhỏ nhất là n = 2017.2 = 4034 thì lúc đó Ox 2017 là tia phân giác
·
·
·
·
chung của 2017 góc: xOx
4034 = x1Ox 4033 = x 2 Ox 4032 = ... = x 2016 Ox 2018

0.5đ

Bài 5 (2,0 điểm):Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều là số tối giản.

7
8
9
100
;
;
;...;
n + 9 n + 10 n + 11
n + 102
Câu


a)
2.0đ

Nội dung
a
Các phân số đã cho đều có dạng:
, vì các phân số này đều tối giản
a + (n + 2)
nên n + 2 và a phải là hai số nguyên tố cùng nhau.
Như vậy n + 2 phải nguyên tố cùng nhau với lần lượt các số 7; 8; 9; ...; 100 và
n + 2 phải là số nhỏ nhất.
Þ n + 2 là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 100.
Þ n + 2 = 101 Þ n = 99

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

Điểm
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
NĂM HỌC 2013-2014 - Môn thi: TOÁN 6
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
1
1
1
1

b.
+
+
+ ... +
Câu 1. a. So sánh 22013 và 31344
Tính A =
4.9 9.14 14.19
64.69
Câu 2. a. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2, còn chia cho 7 thì
dư 3.
b. Tìm hai số tự nhiên biết tổng ƯCLL và BCNN của chúng bằng 23
c. Tìm số tự nhiên x; y biết 32 x1 y chia hết cho 45
−n + 2
Câu 3. a. Tìm x ∈ N biết: 2 + 4 + 6 + … + 2x = 156
b. Tìm số nguyên n để P =
là số nguyên
n −1
6n − 3
c. Tìm số tự nhiên n để phân số M =
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
4n − 6
Câu 4. Cho đường thẳng xy. Trên xy lấy 3 điểm A; B; C sao cho AB = a cm; AC = b cm (b > a). Gọi I là trung điểm
của AB. a,Tính IC ?
b. Lấy 4 điểm M; N; P; Q nằm ngoài đường thẳng xy. Chứng tỏ rằng đường thẳng xy hoặc không cắt, hoặc cắt ba,
hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong các đoạn thẳng sau: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ.
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐÁP ÁN THI KSCL MŨI NHỌN NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN 6
Câu Ý
Nội dung

Điểm


22013 = (23)671 = 8671 ; 31344= (32)672 = 9672
Ta có 8 < 9; 671 < 672 nên 8671< 9672 hay 22013 < 31344

0.5
0.5

1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
+
+
+ ... +
= ( − + − + − + ... + − )
4.9 9.14 14.19
64.69
5 4 9 9 14 14 19
64 69
1 1 1
13
= ( − )=
5 4 69
4.69


0.5

a

Gọi số tự nhiên đó là a, ta có a = BC(3; 4; 5; 6) + 2. Mà BC( 3; 4; 5; 6) = 60; 120; 180;
240; …
Nên a nhận các giá trị 62; 122; 182; 242 ….
Mặt khác a là số nhỏ nhất chia cho 7 thì dư 3 nên a = 12

0,25
0,5
0.25

b

Gọi hai số tự nhiên đó là a ; b ( a ; b ∈ N) Gọi d = ƯCNL(a ; b) ta có : a = a’.d ; b =
b’.d (a’ ; b’) =1
a.b
a '.b '.d 2
Khi đó BCNN(a ; b) =
=
= a’.b’.d
UCLN (a; b)
d
Theo bài ra ta có : ƯCLN(a ; b) + BCNN (a ; b) = 23 nên d + a’.b’.d = 23 = d (1 +
a’.b’) = 23
Nên d = 1; 1 + a’b’ =23 suy ra a’b’ = 22 mà (a’ ; b’) = 1 nên a’ = 1 ; b’ = 22 hoặc a’ =
11; b’ = 2 và ngược lại. Từ đó HS tìm được a và b.
vì 32 x1 y chia hết cho 45 = 5 . 9 nên y = 0 hoặc y =5
*) Nếu y = 0 ta có 32 x10 chia hết cho 9 nên 3 + 2 + x + 1 chia hết cho 9 nên x = 3

*) Nếu y = 5 ta có 32 x15 chia hết cho 9 nên 3 + 2 + x + 1 + 5 chia hết cho 9 nên x = 7
Vậy số cần tìm là 32310 hoặc 32715

a

Câu 1

b

Câu 2

c

a

b

Câu 3

Câu 4

c

A=

0.5

0.25
0,25
0.25


0.5
0.25
0.25

2 + 4 + 6 + …+ 2x = 156 ⇔ 2( 1 + 2 + …+ x) = 156
(1 + x) x
2.
=156 ⇔ x( x + 1) =156 = 12.13 ( vì x và x + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp)
2
nên x = 12

0.25
0.5

−n + 2 −n + 1 + 1
1
= −1 +
=
n −1
n −1
n −1
∈
Để P Z thì n - 1 là ước của 1 nghĩa là n - 1 = 1 hoặc n - 1 = -1 nên n = 2 hoặc n = 0

0, 5
0,25

3(2n − 3) + 6 3
6

6n − 3
= +
=
2(2n − 3)
2 2(2n − 3)
4n − 6
3
*) Nếu n ≤ 1 thì M <
2
3
*) Nếu n > 1 thì M > . Khi đó để M đạt giá trị lớn nhất thì 2(2n – 3) đạt giá trị dương
2
3
9
nhỏ nhất khi đó n = 2 . GTLN của M = + 3 = khi n = 2
2
2
TH1. B ; C nằm cùng phía với nhau so với điểm A

0.5

P=

M=

A

I

B


0.25

0.75

C

a
2
TH2. B; C nằm khác phía so với điểm A.

HS tính được IC = b -

C

A

I

0.75
B


HS tớnh c IC = b +

b

a
2


*) TH 1: Nu c 4 im cựng thuc mt na mt phng b l ng thng xy thỡ ng
thng xy khụng ct cỏc on thng: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ.
*) TH 2: Nu cú 3 im (gi s M ; N ; P) cựng thuc mt na mt phng b l ng
thng cũn 1 im Q nm khỏc phớa b l ng thng xy thỡ ng thng xy ct 3 on
thng sau: MQ, NQ, PQ.
*) TH 3: Nu cú 2 im ( gi s M ; N ) cựng thuc mt na mt phng b l ng
thng cũn 2 im (P ; Q) nm khỏc phớa b l ng thng xy thỡ ng thng xy ct 4
on thng sau: MP; MQ, NP; NQ.

PHềNG GIO DC V O TO
HUYN HONG HểA

0.5
0.5
0,5

THI CHN HC SINH GII LP 6
NM HC 2014-2015
Mụn thi: TON Thi gian: 150 phỳt

Cõu 1. (4 im)a) Thc hin phộp tớnh:
12 12 12
5
5
5

12 7 289 85 5 + 13 + 169 + 91 158158158
A = 81.
:
.

4
4
4
6
6
6 711711711
4

6+ +
+
7 289 85
13 169 91

2
1 1
1 x 1 x+1 1 7 1 8
.2 + .2 = .2 + .2
b) Tỡm x bit: 1) - ( x ) = (2 x 1)
2)
3
4 3
5
3
5
3
c. Tìm hai số tự nhiên a và b biết tổng BCNN và ƯCLN của chúng là 15
d. Tỡm x nguyờn tha món: x + 1 + x 2 + x + 7 = 5 x 10
Cõu 2. (4 im) a. Thc hin phộp tớnh:

A=


5.(22.32 )9 .(22 ) 6 2.(2 2.3)14 .34
5.228.318 7.229.318

b. Tỡm cỏc s nguyờn n sao cho: n2 + 5n + 9 l bi ca n + 3
c. Chng minh rng bỡnh phng ca mt s nguyờn t khỏc 2 v 3 khi chia cho 12 u d 1
d. Tỡm x, y nguyờn sao cho: xy + 2x + y + 11 = 0
Cõu 3. (4 im)
a) Tỡm s t nhiờn nh nht sao cho khi chia cho 11 d 6, chia cho 4 d 1v chia cho 19 d 11.
6
9
9
2
b) Tỡm 3 s cú tng bng 210, bit rng s th nht bng
s th 2 v
s th 2 bng
s th 3.
7
11
11
3
a 15 b 9 c 9
= ; = ; =
c. Tỡm s t nhiờn a, b, c, d nh nht sao cho:
b 21 c 12 d 11
d. Tỡm hai s bit t s ca chỳng bng 5 : 8 v tớch ca chỳng bng 360.
Cõu 4. (5 im)1. a) Cho on thng AB di 7cm. Trờn tia AB ly im I sao cho AI = 4 cm. Trờn tia BA ly
im K sao cho BK = 2 cm. Hóy chng t rng I nm gia A v K. Tớnh IK.
b) Trờn tia Ox cho 4 im A, B, C, D. bit rng A nm gia B v C; B nm gia C v D ; OA = 5cm; OD = 2
cm ; BC = 4 cm v di AC gp ụi di BD. Tỡm di cỏc on BD; AC.

2. Trên nữa mặt phẳng cho trớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo xOy =
700 và số đo yOz = 300.
a) Xác định số đo của xOz
b) Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (Điểm A không trùng với điểm O và độ dài OB lớn hơn
độ dài OA).
Gọi M là trung điểm của OA. Hãy so sánh độ dài MB với trung bình cộng độ dài
OB và AB.
Cõu 5. ( 3 im) a, Chng minh rng: 32 + 33+ 34 ++ 3101 chia ht cho 120.


a
a
Chứng minh a = -3b ; Tính
; Tìm a và b
b
b
c. Tìm x, y, z biết: ( x – y2 + z)2 + ( y – 2)2 + ( z +3)2 = 0
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi : Toán

b. Cho hai số a và b thỏa mãn: a – b = 2(a + b) =

Câu

Phần
a
2đ


Câu 1
(4 điểm)

b
2đ

Nội dung
12 12 12
5
5
5 

12 − 7 − 289 − 85 5 + 13 + 169 + 91  158158158
:
.
Ta có: . A = 81. 
4
4
4
6
6
6  711711711
 4− −
−
6+ +
+ 
7 289 85
13 169 91 


  1
1
1  
1
1
1 
12 1 − 7 − 289 − 85 ÷ 5 1 + 13 + 169 + 91 ÷ 158.1001001
: 
 .
= 81.  
 4  1 − 1 − 1 − 1  6 1 + 1 + 1 + 1   711.1001001

÷
  7 289 85 ÷
  13 169 91  
18 2 324
 12 5  158
= 81.  : ÷.
= 81. . =
5 9
5
 4 6  711
(x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750
=> x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100
= 5750
=> ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750
101 . 50
100 x + 5050
100 x = 700


a
2đ
Câu 2
( 4 điểm )

b
2đ

Câu 3

100 x
= 5750
100 x = 5750 – 5050
x = 7

5.(22.32 )9 .(2 2 ) 6 − 2.(2 2.3)14 .34
Ta có: A =
5.228.318 − 7.229.318
5.218.318.212 − 2.228.314.34
=
5.228.318 − 7.229.318
5.230.318 − 229.318
=
228.318 (5 − 7.2)
229.318 (5.2 − 1)
2.9
= 28 18
=
= −2
2 .3 (5 − 14)

−9
S =(3)0+(3)1 + (3)2+(3)3+...+ (3)2015.
3S = (3).[(3)0+(3)1+(3)2 + ....+(3)2015]
= (3)1+ (3)2+ ....+(3)2016]
3S – S = [(3)1 + (3)2+...+(3)2016] - (3)0-(3)1-...-(3)2015.
2S = (3)

a
2đ

+
= 5750

2016

-1.

(3) 2016 − 1
S =
2

Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6) M11 ;(a-1) M4; (a-11) M19.
(a-6 +33) M11 ; (a-1 + 28) M4 ; (a-11 +38 ) M19.
(a +27) M11 ; (a +27) M4 ; (a +27) M19.
Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27 nhỏ nhất
Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) .

Điểm

1

0,5
0,5

0.5
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5
1

0,5
0,5
0,5
0,5
0.5
0.5
0.5
0.5


(4 điểm)

Từ đó tìm được : a = 809

b
2đ

a

4đ
b
Câu 4
(6 điểm )

Câu 5
( 2 điểm )

2đ

9
6
21
:
=
(số thứ hai)
11 7
22
9
2
27
Số thứ ba bằng:
:
=
(số thứ hai)
11 3
22
22
Số thứ hai bằng:
(số thứ hai)

22
22 + 21 + 27
70
Tổng của 3 số bằng:
(số thứ hai) =
(số thứ hai)
22
22
70
21
27
Số thứ hai là : 210 :
= 66; số thứ nhất là:
. 66 = 63; số thứ 3 là:
22
22
22
.66 = 81

Số thứ nhất bằng:

0.5
0.5

0.5
0.5

1) Trên tia BA ta có BK = 2 cm. BA = 7cm nên BK< BA do đó điểm K nằm
giữa A và B. Suy ra AK + KB = AB hay AK + 2 = 7 ⇒ AK = 5 cm. Trên tia
AB có điểm I và K mà AI < AK (và 4 <5) nên điểm I nằm giữa A và K


2,5

2) Do I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK. Hay 4 + IK = 5 ⇒ IK = 5 – 4 =
1.

1,5

Vì A nằm giữa B và C nên BA +AC = BC ⇒ BA +AC = 4 (1)
Lập luân ⇒ B nằm giữa A và D.
Theo gt OD < OA ⇒ D nằm giữa O và A.
Mà OD + DA = OA ⇒ 2 + DA =5 ⇒ DA =3 cm
Ta có DB + BA = DA ⇒ DB +BA = 3 (2)
Lấy (1) – (2): AC – DB = 1 (3)
Theo đề ra : AC = 2BD thay và (3)
Ta có 2BD – BD = 1 ⇒ BD = 1
⇒ AC = 2BD ⇒ AC = 2 cm
Ta có 32 + 33+ 34+…… + 3101
= (32+ 33+ 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39)+…+ (398 + 399 + 3100 + 3101)
= 31(3+32+33+34) + 35(3+32+33+34) +…+397(3+32+33+34)
= 31.120 + 35.120 +…+397.120
= 120(31 + 35 +…+397) M120 (đpcm)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN ANH SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8.
CẤP THCS - HUYỆN ANH SƠN
NĂM HỌC 2013-2014
Bài 1: (2,5 điểm) Thực hiện phép tính: a) - 32.56 - 32.25 - 32.19

4
2
b) 2 .5 − 131 − (13 − 4) 



c)

93.253
182.1252

Bài 2: (2,0 điểm) Tìm x, biết; a) 4 – 2(x + 1) = 2
b) 52 x−3 − 3.52 = 52.2
n+1
(n ∈ Z) a) Tìm n để A là phân số.
Bài 3: (2,0 điểm) Cho phân số A=
n-3
b) Tìm n để A là phân số tối giản.
c) Tìm n để A có giá trị lớn nhất.

0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
0,5
0,5
0,5



Bài 4: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Điểm C thuộc tia đối của tia BA. M là trung điểm của đoạn
CA + CB
thẳng AB. a) Chứng tỏ rằng: CM =
2
·
b) Gọi O là một điểm nằm ngoài đoạn thẳng AB. Biết ·AOC = 1200 ; BOC
= 300 ; ·AOM = 600 . Hỏi OB có phải
·
là tia phân giác của MOC
không? Vì sao?
Bài 5: (1.5 điểm) a) Có 68 người đi tham quan bằng hai loại xe: loại 12 chỗ ngồi và loại 7 chỗ ngồi. Biết số
người đi vừa đủ với số ghế ngồi. Hỏi mỗi loại có mấy xe?
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có n 2 + n + 2 không chia hết cho 5.
Đáp án và thang điểm chấm thi chọn HSG huyện toán 6
Năm học 2013 – 2014
Câu
ý
Nội dung cần đạt
Điểm
- 32.56 - 32.25 - 32.19 = - 32(56 + 25 + 19)
a = - 32(56 + 25 + 19)
1,0
= - 32( 100) = - 3200
Câu 1
(2,5 đ)

b

c


Câu 2
(2,0 đ)

24.5 − 131 − (13 − 4)2  = 16.5 − 131 − 92 





= 80 − 131 − 81 = 30

93.253
182.1252

=

36 ×56
22 ×34 ×56

=

a

4 – 2(x + 1) = 2

b

52 x−3 − 3.52 = 52.2
52 x−3 = 52.2 + 3.52

52 x−3 = 53
2x − 3 = 3
x =3

a

b

Câu 3
(2,0 đ)
c

32
22

=

9
4

1,0

0,5

4 – 2x – 2 = 2

x=0

1,0


1,0

A là phân số khi n − 3 ≠ 0 ⇒ n ≠ 3
Để A là phân số tối giản thì ƯCLN(n +1, n - 3) = 1
Hay ƯCLN((n – 3) + 4, n - 3) = 1
Vì 4M2 (2 là ước nguyên tố)
Nên để ƯCLN((n – 3) + 4, n - 3) = 1 thì n - 3 không chia hết cho 2
Suy ra n − 3 = 2k + 1 (k là số nguyên)
Hay n là số chẵn.
n+1 n-3+4
4
=
=1+
Ta có: A=
n-3
n-3
n −3
4
Với n > 3 thì
>0
n−3
4
Với n < 3 thì
<0
n −3
Để A có giá trị lớn nhất thì n – 3 nguyên dương và có giá trị nhỏ nhất. Hay
n–3=1 ⇒ n=4

1,0


0,25
0,25

0,25
0,25

a
A

Câu 4
(2,0 đ)

B

M và C là điểm thuộc tia C
Do M là trung điểm của AB,
đối của tia BA nên M
nằm giữa A và C.
Ta có: CA = MA + MC(1)
Ta có B nằm giữa M và C
Ta có CB = CM – MB(2)
Từ (1) và (2) ta có: CA + CB = MA + MC + CM – MB

0,25
0,25
0,25


CA + CB = 2CM(Do MA = MB)
O

CA + CB
MC =
2

b

a
Cõu 5
(1,5 )

b

A

M

B

- Theo cõu a im M nm gia A v C nờn ta cú:
ã
MOC
= ãAOC ãAOM = 1200 600 = 600
1ã
ã
= MOC
Ta thy im B nm gia M v C v BOC
2
ã
Nờn OB l tia phõn giỏc ca MOC
.

Gi x l s xe 12 ch ngi, y l s xe 7 ch ngi ( x,y N* )
Theo bi ra ta cú: 12.x + 7.y = 68
Vỡ 12.x M4; 68 M4 nờn 7.y M4 m (7,4) = 1
Suy ra y M4.
Hn na x N* nờn y 8 y = 4 hoc y = 8
10
Vi y = 4 ta thy 12x + 7.4 = 68 x =
khụng tha món.
3
Vi y = 8 thỡ x = 1 Tha món.
Vy cú 1 xe loi 12 ch ngi, 8 xe loi 1 ch ngi.
Chng minh rng vi mi s t nhiờn n,
Ta cú n 2 + n + 2 = n(n +1) + 2
Do n(n+1) l tớch ca hai s t nhiờn liờn tip nờn chia ht cho 2.
n(n+1) cú tn cựng l 0, 2, 6
n(n+1) + 2 cú tn cựng l 2,4,8 khụng chia ht cho 5.

PHềNG GD & T THANH CHNG

0,25

C

0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25


0,25
0,25

THI KCL MI NHN. NM HC: 2011 - 2012
Mụn thi: TON 6
Thi gian: 90 phỳt (Khụng k thi gian giao )

ổ 5 ử 11 ổ1 ử
2
2
2
2
ỗ- ữ
ữì ìỗ
ỗ +1ữ
ữ
+
+
+... +
a. Cho A =
; B =ỗ
11.15 15.19 19.23
51.55
ố 3 ứ 2 ố3 ứ
Tớnh tớch: A.B .
b. Chng t rng cỏc s t nhiờn cú dng: abcabc chia ht cho ớt nht 3 s nguyờn t.
Cõu 2. Khụng tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc. Hóy so sỏnh:
1717
1313
a.

v
;
b. 98 . 516 v 1920
8585
5151
2n - 7
Cõu 3. a. Tỡm x bit: x - 3 =2 x +4 b. Tỡm s nguyờn n phõn s M =
cú giỏ tr l s nguyờn.
n- 5
c. Tỡm s t nhiờn a nh nht sao cho: a chia cho 5 thỡ d 3, a chia cho 7 thỡ d 4.
Cõu 4. Cho gúc bt xOy, trờn tia Ox ly im A sao cho OA = 2 cm; trờn tia Oy ly hai im M v B sao cho
OM = 1 cm; OB = 4 cm.
a. Chng t: im M nm gia hai im O v B; im M l trung im ca on thng AB.
ả =1300 ; zOy
ã
ả .
b. T O k hai tia Ot v Oz sao cho tOy
=300 . Tớnh s o tOz
PHềNG GD & T
HD CHM KCL MI NHN
THANH

Cõu 1.


CHƯƠNG
Câu

Ý


a
1

Nội dung cần đạt
Điểm
2
2
2
2
1 æ1 1 1 1 1
1 1 1ö
÷
A=
+
+
+... +
= ç
+ + ... + ç ÷
11.15 15.19 19.23
51.55 2 è11 15 15 19 19
51 51 55 ø 0,5
1 æ1 1 ö 1 4
4
2
÷
= ç
=
ç ÷= . =
2 è11 55 ø 2 55 2.55 55
0,5

æ 5 ö 11 æ1 ö æ 5 ö 11 4
55.2
B =ç
ç- ÷
÷. . ç
ç +1÷
÷=ç
ç- ÷
÷. . =0,5 2,5
9
è 3 ø 2 è3 ø è 3 ø 2 3

A.B =
b
a
2
b

a

3

2
55.2
-4
)=
.( 55
9
9


abcabc =1000.abc +abc =1001abc =7.11.13abc chia hết cho ít nhất ba số
nguyên tố: 7; 11; 13
1717 17 1 13 13 1313
1717 1313
= = = < =
Û
<
8585 85 5 65 51 5151
8585 5151
98 . 516 = 316.516 = 1516 <1916 < 1920 => 98 . 516 < 1920
98 . 516 = (32)8 . 516 = 316.516 = (3.5)16 = 1516 (1)
Mµ : 1516 < 1520
(V× 16 < 20)
(2)
20
20
15 < 19
(v× 15<19)
(3)
Tõ (1), (2), (3) => 9.8 516 < 1920
x - 3 =2 x +4
i, x ³ 3 ta có: x – 3 = 2x + 4 ó x = -7 ( Loại vì -7 < 3)
-1
ii, x < 3 ta có –x +3 = 2x +4 ó x = ( Thỏa mãn)
3
-1
Vậy x =
3
2n - 7 2n - 10 +3
3

M=
=
=2 +
nguyên Û n – 5 là ước của 3
n- 5
n- 5
n- 5
n - 5 =±3; ±1 hay n = { 2; 4;6;8}
Ta có: a = 5q + 3
a = 7p + 4
Xét a +17 = 5q + 20 = 7p + 21=> a +17 chia hết cho cả 5 và 7, hay a +17 là
bội chung của 5 và 7.
Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a +17 = BCNN(5,7) = 35 => a = 18

1,0
1,0
1,0

2,0

1,0

0,5

3,0

0,5

0,5
0,5


a

a
4

c

Trên tia Oy có OM < OB ( vì 1cm < 4cm) nên M nằm giữa O và B
=> MO + MB = OB => MB = OB – MO = 3cm
(1)
Vì Ox, Oy đối nhau, A thuộc Ox, M thuộc Oy nên O nằm giữa A và M
AM = AO + OM = 3cm
(2)
Từ (1) và (2) => MB = MA = 3cm hay M là trng điểm cả AB
HS vẽ hình được 2 trường hợp: (Ot và Oz cùng nằm trên nửa mp bờ xy; Ot và Oz
không nằm trên nửa mp bờ xy)
HS lập luận tính đúng:
¶ =1000
+ Ot và Oz cùng nằm trên nửa mp bờ xy: tOz
¶ =1600
+ Ot và Oz không nằm trên nửa mp bờ xy: tOz
Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5


2,5


t

z

1300
x

A

O

300
M

B

y