Toán cao cấp cho các nhà kinh tế
Eureka! Uni

NGƯỜI VIẾT: HOÀNG BÁ MẠNH

Kênh học tập trực
ế

2 BỘ CÂU HỎI
40 CÂU
CHUẨN CẤU TRÚC
ĐỀ MINH HỌA
NEU – Spring 2020


MỌI THẮC MẮC QUÝ VỊ VUI LÒNG GỬI CÂU HỎI VỀ FANPAGE
EUREKA UNI: />HOÀNG BÁ MẠNH: />
MỤC LỤC

1.

Đề 1 ........................................................................................................................................................1

2.

Đề 2 ........................................................................................................................................................5

🔺🔺 KÊNH HỌC TẬP ONLINE FREE EUREKA! UNI:
/>
▶ HỆ THỐNG GROUP THẢO LUẬN, HỎI ĐÁP CÁC MÔN HỌC:

✅ Group Toán cao cấp: />
✅ Group Xác suất thống kê: />
✅ Group Kinh tế lượng: />
✅ Group Kinh tế vi mô: />
✅ Group Kinh tế vĩ mô: />🔴🔴 Fanpage của Eureka! Uni: />🔷🔷 Website Eureka! Uni:


1

Trang Eureka Uni

/>
1. Đề 1
Câu 1. Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất một sản phẩm có hàm tổng chi phí ở mỗi mưc
ssarn lượng 𝑄𝑄 là 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 3𝑄𝑄 3 − 𝑄𝑄 2 + 100𝑄𝑄 + 50 và giá bán mỗi sản phẩm trên thị trường là 𝑝𝑝 =
450. Lợi nhuận của doanh nghiệp khi sản xuất và bán được 𝑄𝑄 = 10 đơn vị sản phẩm là:
A. 550
C. 650
B. 600
D. 700
3

13

𝑥𝑥 2 + 2 , 𝑥𝑥 ≤ 0
3 − 4𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≤ 1
2
; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = �
. Giá trị 𝑓𝑓�𝑔𝑔(2)� bằng:
Câu 2. Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 3

√2𝑥𝑥 + 2, 𝑥𝑥 > 1
√1 + 𝑥𝑥 3 , 𝑥𝑥 > 0
A. −47
B. 3
C. −9
D. 2
2 x − sin 3 x
Câu 3. Giới hạn lim
có giá trị là:
x →∞
x
A. 0

B. −∞

C. 2

D. +∞

𝑎𝑎 + 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≤ 2
Câu 4. Hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
liên tục tại 𝑥𝑥 = 2 thì giá trị của 𝑎𝑎 là:
ln (𝑥𝑥 − 1), 𝑥𝑥 > 2
A. 0
B. −2
C. 2
D. ln 2
2

Câu 5. Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2𝑥𝑥−𝑥𝑥 . Khi đó, đạo hàm của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tại 𝑥𝑥 = 1 là:

A. 1
B. 2
C. 3
D. 𝑒𝑒
Câu 6. Biểu thức vi phân cấp 1 của hàm số 𝑦𝑦 = (2𝑥𝑥 + 1) log 3 (𝑥𝑥 + 1) là:
C. 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (2𝑥𝑥 + 1) ln 3 𝑑𝑑𝑑𝑑
A. 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 log 3 (𝑥𝑥 + 1) 𝑑𝑑𝑑𝑑
1

2𝑥𝑥+1

B. 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (𝑥𝑥+1) ln 3 𝑑𝑑𝑑𝑑

D. 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �2 log 3 (𝑥𝑥 + 1) + (𝑥𝑥+1) ln 3� 𝑑𝑑𝑑𝑑

Câu 7. Cho hàm số 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥√𝑥𝑥 + 1. Khi đó khai triển Taylor hàm số 𝑦𝑦 tại 𝑥𝑥 = 0 thì hệ số của 𝑥𝑥 3
là:
1

A. − 4 𝑥𝑥 3

1

1

C. − 8

D. − 4

B. 0


C. 1

D. Không tồn tại

Câu 8. Giới hạn lim ln ( x sin x ) có giá trị là:
A. +∞

x →0

1

B. − 8 𝑥𝑥 3

3

Câu 9. Hàm số 𝑦𝑦 = �(𝑥𝑥 2 − 1)2 đạt cực đại tại:
A. −1
B. 1
C. 0
D. Cả A và B
Câu 10. Một doanh nghiệp độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu 𝑄𝑄 = 800 − 4𝑝𝑝.
Khi doanh nghiệp sản xuất và bán được 𝑄𝑄 = 250 đơn vị sản phẩm, doanh thu cận biên của doanh
nghiệp là:
Đáp án: 75
Câu 11. Cho hàm cầu đối với một loại sản phẩm là 𝑄𝑄 = 100 − 2𝑝𝑝. Cầu co giãn đơn vị tại mức
giá 𝑝𝑝0 . Giá trị 𝑝𝑝0 là:
Đáp án: 𝑝𝑝0 = 25
Câu 12. Cho hàm cầu và hàm chi phí của một doanh nghiệp độc quyền lần lượt có phương trình
𝑄𝑄 = 1200 − 5𝑝𝑝; 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑄𝑄 3 − 8𝑄𝑄 2 + 160𝑄𝑄 + 100. Lợi nhuận của doanh nghiệp tại mỗi mức sản

lượng là:
Đáp án: 𝜋𝜋(𝑄𝑄) = −𝑄𝑄 3 − 8,2𝑄𝑄 2 + 80𝑄𝑄 − 100
Câu 13. Miền xác định của hàm số 𝑢𝑢 =

ln(1+𝑥𝑥)+ln(𝑦𝑦−1)
√1−𝑥𝑥 2

là:

Đáp án: 𝐷𝐷 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ2 : −1 < 𝑥𝑥 < 1, 𝑦𝑦 > 1}
Câu 14. Hàm số 𝑓𝑓(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 𝑢𝑢𝑣𝑣 . Khi đó, biểu thức của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 , 𝑥𝑥𝑥𝑥) là:
Đáp án: (𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 )𝑥𝑥𝑥𝑥

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

2

Trang Eureka Uni

Câu 15. Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) =
2𝑥𝑥𝑥𝑥

Đáp án: − (𝑥𝑥 2+𝑦𝑦 2)2

ln �𝑥𝑥 2


+

𝑦𝑦 2 .

/>
Khi đó,

𝑓𝑓𝑦𝑦′′𝑦𝑦

=

Câu 16. Cho hàm số 𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 𝑢𝑢. 𝑒𝑒 𝑣𝑣 , trong đó 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥) và 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑥𝑥) là các hàm khả vi
trên ℝ. Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có: 𝑤𝑤𝑥𝑥′ =
Đáp án: 𝑢𝑢′ . 𝑒𝑒 𝑣𝑣 + 𝑣𝑣 ′ . 𝑢𝑢𝑒𝑒 𝑣𝑣
Câu 17. Vi phân toàn phần của hàm số 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 3 + 2𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 + 3𝑥𝑥𝑦𝑦 2 là:
Đáp án: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (3𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 2 )𝑑𝑑𝑑𝑑 + (2𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑦𝑦
Câu 18. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất 𝑄𝑄 = 10𝐾𝐾 0,5 𝐿𝐿0,5 với 𝐾𝐾, 𝐿𝐿 tương ứng là lượng vốn và
lao động được sử dụng. Khi 𝐾𝐾 = 16 và 𝐿𝐿 = 25, sản phẩm hiện vật cận biên của vốn có giá trị là:
Đáp án: 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑃𝑃𝐾𝐾 (16,25) = 25/4
𝜋𝜋

Câu 19. Cho hàm ẩn 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥) xác định bởi phương trình 𝑦𝑦 3 + 4𝑦𝑦 − 3 sin 𝑥𝑥 = 0. Giá trị 𝑦𝑦 ′ �2 �

bằng:

Đáp án: 0
Câu 20. Cho hàm số 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) có các đạo hàm riêng 𝑢𝑢𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 1, 𝑢𝑢𝑦𝑦′ = −𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 − 3 và
điểm 𝑀𝑀(𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 ) là điểm dừng của hàm số. Giá trị 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥0 − 𝑦𝑦0 là:
Đáp án: −1

Câu 21. Cho hàm số 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) có 𝑤𝑤𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧; 𝑤𝑤𝑦𝑦′ = 2𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 − 1; 𝑤𝑤𝑧𝑧′ = 4𝑧𝑧 + 𝑥𝑥 − 4.
Khi tìm cực trị của hàm số, tổng các phần tử trên cột thứ nhất của ma trận Hess là:
Đáp án: 4
Câu 22. Khi giải bài toán: “Tìm cực trị của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 với điều kiện 𝑥𝑥 2 + 2𝑦𝑦 2 = 10”
bằng phương pháp nhân tử Lagrange thì hàm Lagrange là:
A. 𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝜆𝜆) = 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 𝜆𝜆(10 − 𝑥𝑥 2 − 2𝑦𝑦 2 )
B. 𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝜆𝜆) = 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 𝜆𝜆(10 − 𝑥𝑥 2 − 2𝑦𝑦 2 )
C. 𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝜆𝜆) = 𝑥𝑥 2 + 2𝑦𝑦 2 − 𝜆𝜆(10 − 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)
D. 𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝜆𝜆) = 𝑥𝑥 2 + 2𝑦𝑦 2 + 𝜆𝜆(10 − 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)
Câu 23. Giải bài toán “Tìm cực trị của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑥𝑥(𝑦𝑦 + 5) với điều kiện 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 5” bằng
phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm được điểm dừng của hàm số Lagrange là 𝑀𝑀(𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝜆𝜆0 ).
Khi đó, giá trị của 𝜆𝜆0 xác định bởi:
𝑥𝑥

A. 𝜆𝜆0 = 𝑦𝑦0

0

2

B. 𝜆𝜆0 = 𝑥𝑥

0

C. 𝜆𝜆0 = 𝑦𝑦

3

0 +5


3

D. 𝜆𝜆0 = 𝑥𝑥

0

Câu 24. Giải bài toán “Tìm cực trị của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) với điều kiện 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑏𝑏” bằng
phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm được:
𝑔𝑔𝑥𝑥′ = 5; 𝑔𝑔𝑦𝑦′ = 4; 𝐿𝐿′′𝑥𝑥𝑥𝑥 = −3; 𝐿𝐿′′𝑦𝑦𝑦𝑦 = −1; 𝐿𝐿′′𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐿𝐿′′𝑦𝑦𝑦𝑦 = 1
Tổng các phần tử trên đường chéo chính (nối góc trên bên trái tới góc dưới bên phải) của ma trận
Hess là:
Đáp án: 0 − 3 − 1 = −4
Câu 25. Cho biết hàm lợi ích của một người tiêu dùng là 𝑈𝑈 = 𝑥𝑥 0,4 𝑦𝑦 0,6 , trong đó 𝑥𝑥 là lượng hàng
hóa thứ nhất, 𝑦𝑦 là lượng hàng hóa thứ hai. Biết giá hàng hóa thứ nhất và thứ hai lần lượt là 4 và
6. Để xác định cơ cấu mua sắm tối thiểu hóa chi phí đảm bảo mức lợi ích 𝑈𝑈0 = 500, ta cần giải
bài toán cực trị:
A. Tìm (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) sao cho tối đa 𝑈𝑈 = 𝑥𝑥 0,4 𝑦𝑦 0,6 trong điều kiện 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 500
B. Tìm (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) sao cho tối thiểu 𝑈𝑈 = 𝑥𝑥 0,4 𝑦𝑦 0,6 trong điều kiện 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 500
C. Tìm (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) sao cho tối đa 𝐶𝐶 = 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 trong điều kiện 𝑥𝑥 0,4 𝑦𝑦 0,6 = 500

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

3

Trang Eureka Uni


/>
D. Tìm (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) sao cho tối thiểu 𝐶𝐶 = 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 trong điều kiện 𝑥𝑥 0,4 𝑦𝑦 0,6 = 500
Câu 26. Một doanh nghiệp canh tranh sản xuất hai loại sản phẩm kết hợp với hàm tổng chi phí
là 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 30𝑄𝑄 + 500, 𝑄𝑄 = 𝑄𝑄1 + 𝑄𝑄2. Giá bán sản phẩm thứ nhất và thứ hai lần lượt là $80 và
$130. Khi đó, hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là:
A. 𝜋𝜋 = 80𝑄𝑄1 + 130𝑄𝑄2 − 500
C. 𝜋𝜋 = 30𝑄𝑄1 + 80𝑄𝑄2 − 500
D. 𝜋𝜋 = 30𝑄𝑄1 + 130𝑄𝑄2 − 500
B. 𝜋𝜋 = 80𝑄𝑄1 + 80𝑄𝑄2 − 500
Câu 27. Một hãng sản xuất sản phẩm với hàm lợi nhuận 𝜋𝜋(𝑄𝑄1 , 𝑄𝑄2 ) có các đạo hàm riêng là 𝜋𝜋𝑄𝑄′ 1 =
200 − 10𝑄𝑄1 − 10𝑄𝑄2 ; 𝜋𝜋 ′ = 300 − 20𝑄𝑄2 − 10𝑄𝑄1. Biết rằng (𝑄𝑄1 , 𝑄𝑄2 ) là mức sản lượng kết hợp
cho lợi nhuận tối đa, khi đó 𝑄𝑄1 + 𝑄𝑄2 bằng:
Đáp án: 10 + 10 = 20
Câu 28. “Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất 𝑄𝑄 = 𝑓𝑓(𝐾𝐾, 𝐿𝐿). Cho biết giá thuê mỗi đơn
vị tư bản và mỗi đơn vị lao động lần lượt là $𝑤𝑤𝐾𝐾 , $𝑤𝑤𝐿𝐿 . Khi ngân sách sản xuất cố định là $𝐵𝐵, hãy
xác định cơ cấu đầu vào để doanh nghiệp tối đa hóa sản lượng”. Khi giải bài toán trên bằng
phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm được điểm cực đại 𝑀𝑀0 (𝐾𝐾0 , 𝐿𝐿0 ) và 𝜆𝜆0 = 2,5. Nếu ngân
sách dành cho sản xuất tăng thêm $1 thì sản lượng cực đại tăng xấp xỉ là:
A. 2,5%
B. 2,5 đơn vị
C. 0,25
D. 250%
0

3

Câu 29. Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên [−2; 3]. Khi đó, tích phân ∫−2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫−1 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 =
3


A. ∫−2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
0

3

B. ∫−1 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 + 2 ∫−2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑

0

3

C. 2 ∫−1 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫−2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
0

3

D. ∫−1 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫−2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑

Câu 30. Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm liên tục trên ℝ và một số giá trị của hàm số được cho
trong bảng sau:
1
𝑥𝑥
−4
0
1
4
4
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
−3
2

−2
3
5
Tích phân

∫

ln 4

f ′ ( e− x )

0

A. 5

ex

dx bằng:

B. 2
C. 6
D. −6
+∞
1
Câu 31. Biết rằng ∫ f (=
x ) dx
+ C . Khi đó, tích phân ∫ f ( x ) dx bằng:
2
x −1
A. 2

B. −1
C. −2
D. 0
Câu 32. Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 50 − 2𝑄𝑄. Khi đó, hàm tổng
doanh thu là:
Đáp án: 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 50𝑄𝑄 − 𝑄𝑄 2
Câu 33. Cho biết hàm cung (ngược) đối với một loại sản phẩm là:
𝑝𝑝 = 𝑆𝑆 −1 (𝑄𝑄) = 0,1𝑄𝑄 2 + 2𝑄𝑄 + 10
Biết rằng điểm cân bằng của thị trường là (𝑃𝑃0 , 𝑄𝑄0 ) = (90,20). Thặng dư của nhà sản xuất là:
20

A. 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 1800 − ∫0 (0,1𝑄𝑄 2 + 2𝑄𝑄 + 10)𝑑𝑑𝑑𝑑
90

B. 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 1800 − ∫0 (0,1𝑄𝑄 2 + 2𝑄𝑄 + 10)𝑑𝑑𝑑𝑑
20

C. 𝑃𝑃𝑃𝑃 = ∫0 (0,1𝑄𝑄 2 + 2𝑄𝑄 + 10)𝑑𝑑𝑑𝑑 − 1800
20

D. 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 1800 + ∫0 (0,1𝑄𝑄 2 + 2𝑄𝑄 + 10)𝑑𝑑𝑑𝑑

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

4


Trang Eureka Uni

/>
Câu 34. Phương trình 𝑦𝑦 − 𝑒𝑒 𝑦𝑦 =
+ 2𝑥𝑥)𝑦𝑦 là
A. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
B. Phương trình vi Bernoulli
C. Phương trình vi phân toàn phần
D. Phương trình phân li biến
′

𝑥𝑥

(𝑥𝑥 2

3

𝑥𝑥𝑦𝑦 2

Câu 35. Để đưa phương trình 𝑦𝑦 ′ = 𝑥𝑥 2 −3𝑦𝑦 2 về dạng phân li biến số, ta chọn cách đặt:
𝑧𝑧

A. 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦

B. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥

C. 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧𝑧𝑧

2


D. 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥

Câu 36. Cho phương trình vi phân tuyến tính 𝑦𝑦 ′ − 𝑥𝑥+1 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1 có một nghiệm riêng là 𝑦𝑦0 (𝑥𝑥).

Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân này là:
Đáp án: 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0 (𝑥𝑥) + 𝐶𝐶(𝑥𝑥 + 1)2
Câu 37. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 𝑦𝑦 ′ = 3𝑦𝑦 2 sin 4𝑥𝑥 là:
Đáp án: 𝑦𝑦 = 3
4

1

cos 4𝑥𝑥+𝐶𝐶

Câu 38. Cho phương trình �2𝑥𝑥𝑦𝑦 2 +

toàn phần thì 𝑁𝑁𝑥𝑥′ (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) bằng:
Đáp án: 4𝑥𝑥𝑥𝑥 +

𝑒𝑒 𝑥𝑥+𝑦𝑦

𝑒𝑒 𝑥𝑥+𝑦𝑦

𝑥𝑥

� 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0. Nếu đây là phương trình vi phân

𝑥𝑥


Câu 39. Cho hàm số 𝑤𝑤 = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1. Khẳng định nào sai?
A. Hàm số không đạt cực trị tại (0; 0)
3

B. Hàm số đạt cực tiểu tại �2 ; 2�

C. (1,1) không phải điểm dừng của 𝑤𝑤
D. Hàm số đạt cực đại tại (1,1)
Câu 40. Cho bảng các giá trị của các hàm số 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, 𝑓𝑓 ′ 𝑔𝑔′ như sau:
𝑥𝑥
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥)
𝑔𝑔′ (𝑥𝑥)
0
1
2
3
4
2
−4
−3
−2
−1
4
3
2
1
0
′ (0)

Nếu 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓[𝑔𝑔(𝑥𝑥)] thì 𝑦𝑦
nhận giá trị bằng bao nhiêu?
A. −4
B. −3
C. 1

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

D. 0

/>
/>

5

Trang Eureka Uni

/>
2. Đề 2
Câu 1. Một doanh nghiệp cạnh tranh bán sản phẩm trên thị trường với mức giá 𝑝𝑝0 = 20. Doanh
3
nghiệp sản xuất được 𝑄𝑄 = 60√𝐿𝐿 đơn vị sản phẩm khi sử dụng 𝐿𝐿 đơn vị lao động. Nếu giá thuê
mỗi đơn vị lao động là 𝑤𝑤𝐿𝐿 = 5, chi phí cố định bằng 500, thì lợi nhuận của doanh nghiệp khi sử
dụng 27 đơn vị lao động là:
A. 2465
B. 2965
C. 2500
D. 3000

2
2𝑥𝑥 + 1, 𝑥𝑥 ≤ 0
3𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ∉ [0; 2]
Câu 2. Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
. Giá trị
; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = �
arcsin(1 − 𝑥𝑥), 𝑥𝑥 ∈ [0; 2]
√4 + 𝑥𝑥 3 , 𝑥𝑥 > 0
𝑔𝑔[𝑓𝑓(1)] bằng:
A. 1
B. 2
C. 18
D. 0

)

(

Câu 3. Giới hạn lim 2 x − 4 x 2 − ax =
5 thì giá trị của 𝑎𝑎 là:
x →+∞

A. 10

B. 15
C. 20
D. 25
𝑎𝑎 + 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≤ 2
1
Câu 4. Hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �

liên tục trên ℝ thì giá trị của 𝑎𝑎 là:
√𝑥𝑥 − 2 sin 2−𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 > 2

A. 2
B. 0
C. −1
D. −2
2 ).
Câu 5. Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥. sin(4 − 𝑥𝑥 Khi đó, đạo hàm của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tại 𝑥𝑥 = −2 là:
A.−8
B. 8
C. 2
D. −2
𝑥𝑥+2
tại 𝑥𝑥 = 1 và Δ𝑥𝑥 = 0.01 là:
Câu 6. Biểu thức vi phân cấp 1 của hàm số 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 + 2)
Đáp án: 0,027(1 + ln 3)
Câu 7. Cho hàm số 𝑦𝑦 = ln(𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3). Khi đó khai triển Taylor hàm số 𝑦𝑦 tại 𝑥𝑥 = 4 thì hệ số
của (𝑥𝑥 − 4)3 là:
1

252

A. 125

Câu 8. Giới hạn lim
x →0

A. 0


B. 125

x − sin x
có giá trị là:
x3
3

Câu 9. Hàm số 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥. �(1 −
A. 1

1

B. − 6
𝑥𝑥)2

đạt cực đại tại:

3

42

D. 125

C. 1

D.

1

B. 5


52

C. 125

C. 3

1
6

D. không có

Câu 10. Một doanh nghiệp độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu 𝑄𝑄 = 800 − 4𝑝𝑝.
Khi doanh nghiệp sản xuất và bán được 𝑄𝑄 = 200 đơn vị sản phẩm, doanh thu trung bình từ mỗi
sản phẩm là:
Đáp án: 150
Câu 11. Cho hàm cầu (ngược) đối với một loại sản phẩm có phương trình 𝑝𝑝 = 150 − 0,5𝑄𝑄. Mức
1

giá tại đó co giãn của cầu theo giá bằng − 2 là:

Đáp án: 𝑝𝑝 = 50
Câu 12. Hàm sản xuất của một doanh nghiệp cạnh tranh có phương trình 𝑄𝑄 = 150√𝐿𝐿, mức giá
sản phẩm trên thị trường là 𝑝𝑝0 = 5, giá thuê mỗi đơn vị lao động là 𝑤𝑤𝐿𝐿 = 25. Mức sử dụng lao
động cho lợi nhuận tối đa là:
Đáp án: 𝐿𝐿 = 225
Câu 13. Miền xác định của hàm số 𝑢𝑢 = ln(1 + sin2 𝑥𝑥) − 𝑒𝑒 𝑥𝑥𝑦𝑦 là:
Đáp án: ℝ2
Câu 14. Hàm số 𝑓𝑓(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑣𝑣 . Khi đó, biểu thức của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑥𝑥 − ln 𝑦𝑦) là:


Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

6

Trang Eureka Uni

𝑥𝑥−ln 𝑦𝑦

𝑥𝑥−ln𝑦𝑦

A. 𝑥𝑥𝑒𝑒
B. 𝑥𝑥𝑒𝑒
C. 𝑦𝑦𝑒𝑒
𝑦𝑦
′′
Câu 15. Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = arcsin 𝑥𝑥 . Khi đó, 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑦𝑦 =
Đáp án:

𝑥𝑥

/>
D. 𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑥𝑥

−x


(x

2

− y2 )

3

Câu 16. Cho hàm số 𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 𝑢𝑢𝑣𝑣 , trong đó 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) và 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) là các hàm khả vi
trên ℝ. Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có: 𝑤𝑤𝑦𝑦′ =
Đáp án: 𝑢𝑢𝑦𝑦′ . 𝑣𝑣. 𝑢𝑢𝑣𝑣 + 𝑣𝑣𝑦𝑦′ . 𝑢𝑢𝑣𝑣 ln 𝑢𝑢
𝑥𝑥

Câu 17. Vi phân toàn phần của hàm số 𝑢𝑢 = arctan 𝑦𝑦 là:
𝑦𝑦

𝑥𝑥

Đáp án: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢𝑥𝑥′ 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑢𝑢𝑦𝑦′ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 2+𝑦𝑦 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑥𝑥 2 +𝑦𝑦 2 𝑑𝑑𝑑𝑑
3

Câu 18. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất 𝑄𝑄 = 90√𝐾𝐾. √𝐿𝐿2 với 𝐾𝐾, 𝐿𝐿 tương ứng là lượng vốn và
lao động được sử dụng. Khi 𝐾𝐾 = 16 và 𝐿𝐿 = 27, giữ nguyên vốn đồng thời tăng sử dụng thêm 1
đơn vị lao động, thì sản lượng đầu ra tăng xấp xỉ:
Đáp án: 80
Câu 19. Cho hàm ẩn 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥) xác định bởi phương trình 𝑦𝑦 2 + ln(𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦) = 0. Giá trị 𝑦𝑦 ′ (1)
bằng:
1

Đáp án: 𝑦𝑦 ′ (1) = − 3


Câu 20. Cho hàm số 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) có các đạo hàm riêng 𝑢𝑢𝑥𝑥′ = 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 1, 𝑢𝑢𝑦𝑦′ = −𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 3
và điểm 𝑀𝑀(𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 ) là điểm dừng của hàm số. Giá trị 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥02 + 𝑦𝑦02 là:
Đáp án: 2
Câu 21. Cho hàm số 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) có 𝑤𝑤𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 𝑧𝑧; 𝑤𝑤𝑦𝑦′ = 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 1; 𝑤𝑤𝑧𝑧′ = 3𝑧𝑧 + 𝑥𝑥 − 4.
Khi tìm cực trị của hàm số, tổng các phần tử trên dòng thứ 2 của ma trận Hess là:
Đáp án: 3 + (−4) + 0 = −1
Câu 22. Khi giải bài toán: “Tìm cực trị của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑥𝑥 3 + 2𝑦𝑦 3 với điều kiện 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 30”
bằng phương pháp nhân tử Lagrange thì hàm Lagrange là:
Đáp án: 𝐿𝐿 = 𝑥𝑥 3 + 2𝑦𝑦 3 + 𝜆𝜆(30 − 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)
Câu 23. Giải bài toán “Tìm cực trị của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 5 với điều kiện 2𝑥𝑥 2 + 3𝑦𝑦 2 = 5”
bằng phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm được điểm dừng của hàm số Lagrange là
𝑀𝑀(𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝜆𝜆0 ). Khi đó, giá trị của 𝜆𝜆0 xác định bởi:
1

Đáp án: 𝜆𝜆0 = 4𝑥𝑥

0

Câu 24. Giải bài toán “Tìm cực trị của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) với điều kiện 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑏𝑏” bằng
phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm được:
𝑔𝑔𝑥𝑥′ = 1; 𝑔𝑔𝑦𝑦′ = 2; 𝐿𝐿′′𝑥𝑥𝑥𝑥 = −3; 𝐿𝐿′′𝑦𝑦𝑦𝑦 = −4; 𝐿𝐿′′𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝐿𝐿′′𝑦𝑦𝑦𝑦 = 2
Tổng các phần tử trên cột đầu tiên của ma trận Hess là:
Đáp án: 0 + 1 + 2 = 3
3

Câu 25. Cho biết hàm lợi ích của một người tiêu dùng là 𝑈𝑈 = 60√𝑥𝑥. �𝑦𝑦 2 , trong đó 𝑥𝑥 là lượng
hàng hóa thứ nhất, 𝑦𝑦 là lượng hàng hóa thứ hai. Biết giá hàng hóa thứ nhất và thứ hai lần lượt là
$3 và $6. Để xác định cơ cấu mua sắm tối đa hóa lợi ích với ngân sách tiêu dùng 𝑚𝑚 = $1800, ta
cần giải bài toán cực trị:

3

Đáp án: Tìm (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) để tối đa 𝑈𝑈 = 60√𝑥𝑥. �𝑦𝑦 2 trong điều kiện 3𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 1800

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni

/>
/>

7

Trang Eureka Uni

/>
Câu 26. Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm và bán trên hai thị trường khác nhau với
các đường cầu 𝑄𝑄1 = 120 − 𝑝𝑝1 và 𝑄𝑄2 = 150 − 2𝑝𝑝2 . Biết hàm tổng chi phí là 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑄𝑄12 + 2𝑄𝑄22 +
30𝑄𝑄1 + 50𝑄𝑄2 + 500. Khi đó, hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là:
Đáp án: 𝜋𝜋(𝑄𝑄1 , 𝑄𝑄2 ) = −2𝑄𝑄12 − 2,5𝑄𝑄22 + 90𝑄𝑄1 + 25𝑄𝑄2 − 500
Câu 27. Một hãng sản xuất sản phẩm với hàm lợi nhuận 𝜋𝜋(𝑄𝑄1 , 𝑄𝑄2 ) có các đạo hàm riêng là 𝜋𝜋𝑄𝑄′ 1 =
150 − 20𝑄𝑄1 − 5𝑄𝑄2 ; 𝜋𝜋𝑄𝑄′ 2 = 225 − 20𝑄𝑄2 − 5𝑄𝑄1. Biết rằng (𝑄𝑄1 , 𝑄𝑄2 ) là mức sản lượng kết hợp cho
lợi nhuận tối đa, khi đó 𝑄𝑄1 + 𝑄𝑄2 bằng:
Đáp án: 15
Câu 28. “Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất 𝑄𝑄 = 𝑓𝑓(𝐾𝐾, 𝐿𝐿). Cho biết giá thuê mỗi đơn
vị tư bản và mỗi đơn vị lao động lần lượt là $𝑤𝑤𝐾𝐾 , $𝑤𝑤𝐿𝐿 . Với kế hoạch sản xuất 𝑄𝑄0 đơn vị sản
lượng, hãy xác định cơ cấu đầu vào để doanh nghiệp tối thiểu hóa chi phí sản xuất”. Khi giải bài
toán trên bằng phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm được điểm cực tiểu 𝑀𝑀(𝐾𝐾0 , 𝐿𝐿0 ) và 𝜆𝜆0 . Nếu
muốn sản xuất thêm 1% sản lượng thì chi phí tối ưu (tối thiểu) sẽ tăng thêm:



λ0 .Q0
Đáp án: Tăng 
%
 wK .K 0 + wL .L0 

3

5

Câu 29. Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên [−3; 5]. Khi đó, tích phân ∫−3 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫0 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 =
3

A. ∫−3 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
5

0

B. ∫−3 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 − ∫3 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑

0

3

5

C. 2 ∫0 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫−3 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑
5

D. ∫−3 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 − ∫−3 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑


Câu 30. Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm liên tục trên ℝ và một số giá trị của hàm số được cho
trong bảng sau:
𝑥𝑥
−4
−1
0
1
4
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
−3
−2
2
3
5
Tích phân ∫

e2

1

f ′ ( 2 ln x )
dx bằng
x
3

Đáp án: 2

0


Câu 31. Biết rằng ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = (𝑥𝑥 − 2)𝑒𝑒 2𝑥𝑥 + 𝐶𝐶. Khi đó, tích phân ∫−∞ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 bằng:

Đáp án: −2
Câu 32. Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 0,3𝑄𝑄 2 . Khi đó, giá giảm 2%
thì lượng cầu tăng xấp xỉ:
Đáp án: 1%
Câu 33. Cho biết hàm cầu (ngược) đối với một loại sản phẩm là:
𝑝𝑝 = 𝐷𝐷−1 (𝑄𝑄) = −0,1𝑄𝑄 2 − 2𝑄𝑄 + 100
Biết rằng điểm cân bằng của thị trường là (𝑃𝑃0 , 𝑄𝑄0 ) = (70,10). Thặng dư của nhà sản xuất là:
20

Đáp án: 𝐶𝐶𝐶𝐶 = ∫0 (−0,1𝑄𝑄 2 − 2𝑄𝑄 + 100)𝑑𝑑𝑑𝑑 − 700 =

1900
3

Câu 34. Phương trình 𝑦𝑦 ′ − 𝑒𝑒 𝑥𝑥 (𝑦𝑦 2 − 𝑦𝑦 3 ) = 0 là
A. Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
C. Phương trình vi phân toàn phần
B. Phương trình vi Bernoulli
D. Phương trình phân li biến
′
Câu 35. Để đưa phương trình 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑦𝑦. ln 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦. ln 𝑦𝑦 về dạng phân li biến số, ta chọn cách đặt:
Đáp án: Đặt 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥
Câu 36. Cho phương trình vi phân tuyến tính 𝑦𝑦 ′ + 2𝑦𝑦 tan 𝑥𝑥 = −sin 2𝑥𝑥 có một nghiệm riêng là
𝑦𝑦0 (𝑥𝑥). Dùng phương pháp biến thiên hằng số, ta tìm được 𝑦𝑦0 (𝑥𝑥) =

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni


/>
/>

8

Trang Eureka Uni

/>
Đáp án: 2 ln|cos 𝑥𝑥|

Câu 37. Tích phân tổng quát của phương trình vi phân 𝑦𝑦 ′ = 3𝑥𝑥 2 �𝑦𝑦 2 + 1 là:
Đáp án: ln�𝑦𝑦 + �𝑦𝑦 2 + 1� = 𝑥𝑥 3 + 𝐶𝐶

1

Câu 38. Tích phân tổng quát của phương trình vi phân (𝑥𝑥𝑦𝑦 2 + 𝑒𝑒 𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑑𝑑 + 2 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 là:

1 2 2 x
x y +e =
C
2
Câu 39. Cho hàm số 𝑤𝑤 = −2𝑥𝑥 2 − 3𝑦𝑦 2 − 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦. Giá trị cực trị của 𝑤𝑤 là:
Đáp án:

11

1

21


Đáp án: Giá trị cực đại 𝑤𝑤𝑐𝑐đ = 𝑤𝑤 �10 ; − 5� = 10

Câu 40. Cho bảng các giá trị của các hàm số 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, 𝑓𝑓 ′ , 𝑔𝑔′ như sau:
𝑥𝑥
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥)
𝑔𝑔′ (𝑥𝑥)
0
2
−2
0
1
2
1
2
3
4
′ (2)
nhận giá trị bằng bao nhiêu?
Nếu 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓[𝑔𝑔(𝑥𝑥 − 2)] thì 𝑦𝑦
′
′ (𝑥𝑥
Đáp án: 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔
− 2). 𝑓𝑓 ′ [𝑔𝑔(𝑥𝑥 − 2)] ⇒ 𝑦𝑦 ′ (2) = 𝑔𝑔′ (0). 𝑓𝑓 ′ [𝑔𝑔(0)] = 2(−2) = −4

Nhóm Toán cao cấp
Website Eureka! Uni
Youtube Eureka! Uni


/>
/>

Cổ nhân có câu: “Kẻ không lo xa, tất có hại gần!”, các cụ lại răn thêm “Cẩn tắc vô áy náy!”
Chỉ khoảng 2 tháng nữa thôi, các bạn sẽ phải chiến đấu với Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán 1…
Mà thôi không nói nhiều lời nữa, mời các bạn tham gia nhóm:
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ – TÀI LIỆU NEU
LINK: />Thậm chí, giành cho các bạn muốn “đánh phủ đầu”, chúng tôi có khóa học Xác suất thống kê cực xịn
dưới đây:
KHÓA HỌC XÁC SUẤT THỐNG KÊ MIỄN PHÍ

Chương 1. Biến cố và Xác suất
P1. Tổng quan lý thuyết và các công thức xác suất
/>P2. Bài tập Sơ đồ Venn (tính nhanh xác suất bằng sơ đồ)
/>P3. Các công thức cộng – nhân xác suất thông dụng
/>P4. Bài tập vận dụng các công thức cộng – nhân xác suất
/>P5. Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
/>P7. Phân biệt cách lấy Có/Không hoàn lại, lấy Lần lượt/ Cùng lúc
/>U-JNZbd&index=6/
P8. Phân biệt bài toán: 60 bạn nam (cho số phần tử) và 60% bạn nam (cho tỉ lệ)
/>P9. Bài tập về Chỉnh hợp lặp
/>
Chương 2. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
P0. Biến ngẫu nhiên và Bảng phân phối xác suất


/>dcvy0/
P1. Hàm phân bố xác suất, hàm mật độ xác suất và các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
/>dcvy0&index=2/

P2. Bài tập Bảng phân phối xác suất
/>cvy0&index=3/
P3. Bài tập hàm Mật độ xác suất
/>vZwO5k/

Chương 3. Các quy luật phân phối xác suất thông dụng
P1. Quy luật Nhị thức_B(n,p)
/>dcvy0&index=4/
P2. Quy luật Poisson
/>cvy0&index=5/
P3. Quy luật Chuẩn
/>7vZwO5k&index=2/
P4. Sự hội tụ về Quy luật Chuẩn _ Định lí giới hạn trung tâm
/>
Chương 4. Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc và quy luật phân phối xác suất
/>1j3H&index=2&t=911s

Chương 6. Cơ sở lí thuyết mẫu và bài toán suy diễn cho thống kê mẫu
/>8qa6&index=3&t=7s/

Chương 7. Ước lượng tham số
/>

Chương 8. Kiểm định giả thuyết thống kê
P1. Kiểm định 1 tham số
/>P2. Kiểm định 2 tham số, kết quả từ Excel
/>WO7Y&index=2
P3. Kiểm định phi tham số (Phân phối chuẩn, độc lập – phụ thuộc)
/>WO7Y&index=3