MỤC LỤC
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.

30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.

Đề HSG Toán cấp trường lần 1 năm 2019 – 2020 trường Tiên Du 1 – Bắc Ninh
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Đồng Nai
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hưng Yên
Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán năm học 2019 – 2020
Đề thi HSG tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Lâm Đồng
Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Thái Bình
Đề thi HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Bình
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Gia Lai
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Lạng Sơn
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Ngãi
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 sở GD&ĐT Quảng Ninh
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hà Tĩnh
Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2020 môn Toán sở GD&ĐT Bắc Ninh
Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Bình Định
Đề thi HSG Toán 12 lần 2 năm 2019 – 2020 trường THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc

Đề thi chọn HSG Toán năm 2019 – 2020 trường THPT Ngô Gia Tự – Phú Yên
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Yên Bái
Đề thi thử HSG lần 1 Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Lý Thái Tổ – Bắc Ninh
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Đồng Đậu – Vĩnh Phúc
Đề thi HSG Toán 12 THPT chuyên năm học 2019 – 2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Trị
Đề chọn học sinh giỏi MTCT 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế
Đề thi chọn HSG thành phố Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hà Nội
Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế
Toàn cảnh đề thi HSG môn Toán các tỉnh thành năm học 2018 – 2019
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2020 sở GD&ĐT Cao Bằng
Đề chọn HSG thành phố Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hải Phòng
Đề thi chọn HSG Toán 12 năm 2019 – 2020 trường chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 sở GD&ĐT Bình Phước
Đề chọn đội tuyển HSG Toán năm 2020 sở GD&ĐT Khánh Hòa (vòng 1).
Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Ninh Bình
Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Lê Quý Đôn – Hà Nội
Đề chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Bến Tre
Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Quảng Bình
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Nam Định
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bắc Giang
Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bắc Ninh
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hà Nam
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Cần Thơ
Đề thi chọn HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT thành phố Đà Nẵng


43.
44.

45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.

75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bến Tre
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh
Đề thi HSG Toán 12 cấp trường năm 2018 – 2019 trường Thuận Thành 2 – Bắc Ninh
Đề thi HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 cụm trường THPT huyện Yên Dũng – Bắc Giang
Đề thi chọn HSG Toán 12 chuyên năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Đồng Nai
Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hưng Yên
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Lào Cai
Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Đồng Nai
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Lâm Đồng
Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT 2019 môn Toán (ngày thi thứ nhất)
Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh THPT năm 2018 sở GD và ĐT Quảng Ninh (Bảng B)
Đề thi giao lưu HSG Toán năm 2018 – 2019 cụm Gia Bình – Lương Tài – Bắc Ninh
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bình Thuận (Vòng 2)
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bình Thuận (Vòng 1)
Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Gia Lai
Đề thi thử chọn HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 cụm Tân Yên – Bắc Giang
Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp tỉnh năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Ninh Bình
Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp cơ sở năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Điện Biên
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thái Bình

Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh THPT năm 2018 sở GD và ĐT Quảng Ninh (Bảng A)
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hà Tĩnh
Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc
Đề thi chọn HSG thành phố môn Toán năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hải Phòng
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Cao Bằng
Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 – 2019 trường Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thái Nguyên
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Quảng Ngãi
Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hải Dương
Đề thi chọn HSG Toán cấp tỉnh vòng 2 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Long An
Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT TP. HCM
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Ninh Bình
Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia năm 2018 – 2019 môn Toán sở GD và ĐT Hà Tĩnh
Đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Phú Thọ
Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia năm 2018 – 2019 môn Toán sở GD và ĐT KonTum
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bến Tre
Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2019 sở GD và ĐT Lạng Sơn
Đề Toán chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi Quốc gia 2019 sở GD và ĐT Đồng Tháp
Đề chọn đội tuyển dự HSG Quốc gia 2019 môn Toán sở GD và ĐT Quảng Bình
Đề thi chọn đội tuyển môn Toán năm 2018 – 2019 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hà Nội
Đề thi giải toán 12 trên máy tính cầm tay cấp tỉnh năm 2017 – 2018 sở GD&ĐT An Giang


85.
86.
87.
88.
89.

90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.

Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2017 – 2018 sở GD&ĐT Quảng Bình
Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 THPT năm 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hà Tĩnh
Đề thi HSG Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Quảng Ninh (Bảng A)
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Nam Định
Đề thi chọn HSG THPT năm học 2017 – 2018 môn Toán 12 sở GD và ĐT Hà Nam
Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hưng Yên
Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Phú Thọ
Lời giải và bình luận đề thi VMO 2018
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh THPT năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hòa Bình
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Ninh Bình
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Thái Bình
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Bình Phước
Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 12 THPT học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Thừa Thiên
Huế
99. Đề thi thử HSG Toán 12 THPT năm học 2017 – 2018 trường THPT Bình Xuyên – Vĩnh Phúc
100.
Đề thi chọn học sinh giỏi vòng trường môn Toán trường THPT Chu Văn An – Gia Lai
101.
Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hải Dương

102.
Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi
(Ngày 2)
103.
Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi
(Ngày 1)
104.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp trường năm 2017 – 2018 trường Lý Thái Tổ – Bắc
Ninh
105.
Đề thi chọn HSG Toán 12 năm học 2017 – 2018 trường THPT Lê Quý Đôn – Thái Bình
106.
Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia THPT 2018 môn Toán sở GD và ĐT Bắc Ninh
107.
Đề thi chọn đội dự tuyển thi HSG Quốc gia THPT 2018 môn Toán sở GD và ĐT Đồng Nai
108.
Đề thi chọn HSG thành phố Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hải Phòng
(Không chuyên)
109.
Đề thi chọn HSG lớp 12 cấp trường năm học 2017 – 2018 môn Toán trường Trần Hưng
Đạo – Vĩnh Phúc
110.
Đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018 môn Toán sở GD và ĐT
Cao Bằng
111.
Đề minh họa kỳ thi chọn HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT
Phú Thọ
112.
Đề thi học sinh giỏi môn Toán 12 năm học 2017 – 2018 trường THPT Đan Phượng – Hà
Nội

113.
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Thái
Nguyên
114.
Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018 môn Toán sở GD và ĐT Hải
Dương


115.
Đề thi thành lập đội tuyển HSG Toán 12 dự thi Quốc gia năm học 2016 – 2017 sở GD và
ĐT Bình Thuận
116.
Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp tỉnh năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Bình Thuận
117.
Đề thi chọn HSG văn hóa cấp cụm môn Toán 12 năm học 2016 – 2017 cụm THPT Lạng
Giang – Bắc Giang
118.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc
119.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2016 sở GD và ĐT Quảng Ninh
120.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Ninh Bình


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH

Trường THPT Tiên Du số 1
***

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1

NĂM HỌC 2019 – 2020
MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút (50 câu trắc nghiệm)

Mã đề 132

Đề gồm 06 trang
Họ tên thí sinh: ……………………………………………….…………… SBD: ………………

Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có=
AB a=
, AD a 2 , mặt phẳng ( ABC ′D′ ) tạo với mặt
phẳng đáy góc 45° . Thể tích khối hộp chữ nhật đó là
2a 3
2a 3
3
3
.
2
a
.
B.
D.
2
a
.
.
C.
A.

3
3
Câu 2: Biết hàm số f ( x ) = x + ax + bx + c đạt cực tiểu tại x = 1 và f (1) = −3 , đồng thời đồ thị của
3

2

hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 . Tính giá trị của f ( 3) .
B. f ( 3) = −29 .

A. f ( 3) = 27 .
Câu 3: Cho hàm số f ( x ) =
A. −1 .

ln ( x 2 + 1)
x
B. 1 .

C. f ( 3) = 29 .

D. f ( 3) = 81 .

′ (1) a ln 2 + b với a, b ∈  . Giá trị của a + b bằng
thỏa mãn f=

C. 2 .

D. 0 .

Câu 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [ −2019; 2019] để phương trình


(

)

(

)

3 + x 2 3 + x − m + 1 − x 5 1 − x + 2m = 4 − x 2 − 2 x + 3 có nghiệm thực?

A. 2019 .
B. 4032 .
C. 4039 .
D. 4033 .
Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau

x

∞

y'

0
+

0
+∞

y


+ ∞

2
0
7

∞

3

Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x ) − 7 =
0 là
A. 5 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 4 .

Câu 6: Cho hàm số y = x + 2 x + x + 1 có đồ thị (C) và điểm M thuộc đồ thị (C) có hoành độ a . Gọi S
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của a ∈  ∩ [ −2020; 2020] để tiếp tuyến tại M của (C) vuông góc với
3

2

một tiếp tuyến khác của (C). Tìm số phần tử của S
A. 4038
B. 4040 .

C. 4039 .
D. 2020 .
Câu 7: Cho hình chóp S . ABC có thể tích bằng 1 . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 2 EC . Tính
thể tích V của khối tứ diện SAEB .
4
2
1
1
A. V = .
B. V = .
C. V = .
D. V = .
3
3
6
3
2 cos x + 1
Câu 8: Gọi M , m tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y =
. Khi đó ta có
cos x − 2
A. M + m =
B. M + 9m =
C. 9 M + m =
D. 9 M − m =
0.
0.
0.
0.
Câu 9: Cho hai số thực a , b thỏa mãn 0 < a < 1 , b > 1 . Biết aα > bα , mệnh đề nào sau đây đúng?
Trang 1


Trang 1/6 - Mã đề thi 132


A. α > −1 .
B. α < 0 .
C. α > 1 .
D. 0 < α < 1 .
= BC
= a, AD
= 2a, SA
= a
Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AB
và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) bằng
A.

a 5
.
5

B.

a 6
.
3

C.

2a 5
.

5

D.

a 6
.
6

(

)

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đạo hàm f ′ ( x )= x 2 ( x − 2 ) x 2 − 6 x + m với mọi

x ∈ R . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [ −2019;2019] để hàm số g (=
x ) f (1 − x ) nghịch biến trên
khoảng ( −∞; −1) ?
A. 2009 .

B. 2010 .

C. 2011 .

D. 2012 .

Câu 12: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có diện tích tam giác ACD ' bằng a 2 3 . Tính thể tích
V của khối lập phương.
A. V = 4 2a .
B. V = a 3 .
C. V = 8a 3 .

D. V = 2 2a .
Câu 13: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50π và độ dài đường sinh bằng đường kính của
đường tròn đáy. Tính bán kính r của đường tròn đáy.
5 2π
5 2
.
B. r =
.
C. r = 5 π .
D. r = 5 .
A. r =
2
2
3

3

Câu 14: Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn [ 0;50π ] của phương trình e

 π
sin  x − 
 4

= tan x ?

1853π
2475π
2671π
2105π
B.

C.
D.
2
2
2
2
Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

A.

= max f
Đặt M

(

)

4 − x2 , =
m min f

(

)

4 − x 2 .Tổng M + m bằng

A. 6 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .

Câu 16: Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,5% /tháng và ông ta rút đều
đặn mỗi tháng một triệu đồng kể từ sau ngày gửi một tháng cho đến khi hết tiền (tháng cuối cùng có thể
không còn đủ một triệu đồng). Hỏi ông ta rút hết tiền sau bao nhiêu tháng?
A. 100 .
B. 140 .
C. 138 .
D. 139 .

(

)

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 4 x −1 − m 2 x + 1 > 0 nghiệm đúng với
mọi x ∈  .
A. m ∈ ( 0; + ∞ ) .
C. m ∈ ( −∞ ; 0] .

B. m ∈ ( −∞ ;0 ) ∪ (1; + ∞ ) .
D. m ∈ ( 0;1) .

Câu 18: Tìm số nghiệm của phương trình sin ( 4 cos 2 x ) = 0 trên [ 0; 2π ] .
A. 6.
B. 8.
C. 12.
D. 10.
Câu 19: Một khối cầu ngoại tiếp khối lập phương. Tỉ số thể tích giữa khối cầu và khối lập phương là
2
3 3
3π 3
π 3

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
8π
8
2
π 3

Trang 2

Trang 2/6 - Mã đề thi 132


Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng
 = 300 , SA = 2a . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD.
vuông góc với ( ABCD ) , SAB

a3
a3
3a 3
3
.
V
=
.

B. V = a .
C.
D. V =
.
3
9
6
Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên các khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới.
A. V =

Hỏi số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

A. 2

B. 3 .

1
e

f 2 ( x)

là bao nhiêu?

C. 1 .
3

Câu 22: Cho tích các nghiệm của phương trình x 4

S= a + b
A. 5 .


−2

( log 2 x )2 + log 2 x −

D. 0 .
5
4

= 2 có dạng

C. 19 .

B. 7 .

1
với a, b ∈  . Tính
b
a

D. 18

Câu 23: Cho hàm số f ′ ( x ) = ( x − 2 ) ( x 2 − 4 x + 3) với mọi x ∈  . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương
2

của m để hàm số =
y f ( x 2 − 10 x + m + 9 ) có 5 điểm cực trị?

A. 18 .
B. 15 .

C. 16 .
D. 17 .
Câu 24: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Một
thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Diện tích của thiết diện này bằng
a2 2
a2 2
a2 2
2
A.
.
B. 2a .
C.
D.
.
4
2
3
P

P

2 ; log 9 x + log 3 y + log 9 z =
2 và log16 x + log16 y + log 4 z =
2 . Tính
Câu 25: Cho log 2 x + log 4 y + log 4 z =
yz
P=
x
512
27

B. P = 3 6
C. P =
.
D. P =
.
A. P = 54 .
243
128
Câu 26: Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị (C ) của hàm số y =

x+2
sao cho khoảng cách từ điểm M
x−2

đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng?
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .

D. 4 .

Câu 27: Biết log12 27  a . Tính log 6 16 .
A.

4 3  a 
.
3 a

B.


3 a
.
4 3  a 

C.

3 a
.
4 3  a 

D.

4 3  a 
.
3 a

3a
. Biết rằng hình
2
chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của cạnh BC . Tính thể tích V của

Câu 28: Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , AA′ =
khối lăng trụ đó theo a .
A. V 

2a 3
.
3

B. V 


3a 3
.
4 2

C. V  a 3 .

Trang 3

D. V  a 3

3
.
2

Trang 3/6 - Mã đề thi 132


Câu 29: Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh là 2a , có thể tích V1 và hình cầu
V
có đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích V2 . Khi đó tỉ số thể tích 1 bằng bao nhiêu?
V2
V
V
V
V
2
1
1
A. 1  .

B. 1  .
C. 1  .
D. 1  1 .
V2 3
V2 3
V2 2
V2
Câu 30: Giá trị lớn nhất của m để đường thẳng ( d ) :2 x − m 2 y + 3 =
0 vuông góc với đường thẳng đi qua

y x3 − 3x 2 là
2 điểm cực trị của đồ thị hàm số =
A. 3 .
B. 2 .
C. −3 .
D. −2 .
Câu 31: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a , gọi α là góc giữa đường thẳng A′B và
mặt phẳng ( BB′D′D ) . Tính sin α .
T
6
1

A.

16T

3
.
2


B.

3
.
5

C.

3
.
4

D.

1
.
2

Câu 32: Phương trình log 2 ( 5 − 2 x ) =−
2 x có hai ngiệm thực x1 , x2 . Tính P = x1 + x2 + x1 x2 .
A. 9 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 11 .
Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên
 3 7
của tham số m để phương trình f ( x 2 − 2 x ) =
m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn  − ;  ?
 2 2


A. 4 .

B. 3 .

Câu 34: Cho hàm số f ( x )
( 5)
A. f ( 0 ) =

201
.
20

(x
=

4

C. 1 .
− 1)

( x − 1)

D. 2 .

9

9

với x ≠ 1 . Tính f (5) ( 0 )


B. f (5) ( 0 ) = 15120

( 5)
C. f ( 0 ) = 144720 .

( 5)
D. f ( 0 ) = 1206 .

x−2
. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên ( 0;3] .
x−m
A. m ≤ 0 .
B. 2 < m ≤ 3 .
C. m > 3 .
D. 0 < m < 2
Câu 36: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên dưới đây.

Câu 35: Cho hàm số y =

x -∞
f'(x)

-1

0
+

0

2

-

0

3

+∞

+
+∞
2

2

f(x)
-2

-2

-∞

Trang 4

Trang 4/6 - Mã đề thi 132


Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x ) = f ( m ) có ba nghiệm phân biệt.
A. m ∈ ( −2; 2 ) .

B. m ∈ ( −1; 3 ) \ {0; 2} .


C. m ∈ ( −1; 3 ) .

D. m ∈ [ −1; 3] \ {0; 2} .

Câu 37: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 10 để phương trình m + m + e x =
e x có
nghiệm thực.
A. 9 .
B. 8 .
C. 10 .
D. 7
2
=
P log a b + 16 log b a . Tìm m sao cho P đạt giá trị
Câu 38: Cho m = log 3 ab , với a > 1 , b > 1 và
a

(

)

nhỏ nhất.
1
.
D. m = 4 .
2
Câu 39: Một hộp đựng 50 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 50. Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ. Tính xác
suất để hiệu bình phương số ghi trên hai thẻ là số chia hết cho 3.
681

8
409
801
B.
.
C.
.
D.
.
A.
1225
25
1225
1225

A. m = 2 .

C. m =

B. m = 1 .

Câu 40: Cho hình vuông C 1 có cạnh bằng a . Người ta chia mỗi cạnh của hình
vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có
hình vuông C 2 (Hình vẽ). Từ hình vuông C 2 lại tiếp tục làm như trên ta nhận
được dãy các hình vuông C 1,C 2 ,C 3 ,...,C n ,... .Gọi S i là diện tích của hình vuông

( {

})


C i i ∈ 1;2; 3;... . Đặt T = S1 + S 2 + S 3 + ... + Sn + ... Biết T =
A. 2.

5
.
2
chóp

B.

C.

2.

32
, tính a ?
3
D. 2 2.

S . ABCD có đáy
ABCD là hình chữ nhật có
=
AB 2=
a, AD 4a, SA ⊥ ( ABCD) và cạnh SC tạo với đáy góc 60o. Gọi M là trung điểm của
BC , N là điểm trên cạnh AD sao cho DN = a. Khoảng cách giữa MN và SB là
Câu

A.

41:


Cho

hình

a 285
.
19

B.

8a
.
19

C.

2a 95
.
19

100
9x
kπ 

Câu 42: Cho hàm số f ( x ) = x
. Tính tổng S = ∑ f  sin 2
.
100 
9 +3


k =0
A. S = 50
B. S = 50,5
C. S = 48

D.

2a 285
.
19

D. S = 48,5

Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại C , biết AB = 2a ,
AC = a, BC ′ = 2a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V =

3a 3
.
6

B. V =

Câu 44: Cho hàm số f=
( x ) ln
bao nhiêu nghiệm thực?
A. 1 .

(


3a 3
.
2

C. V =

4a 3
.
3

D. V = 4a 3 .



1
x
0 có
x 2 + 1 + x + e x − e − x . Hỏi phương trình f 3 + f 
=
2
 x − x +1 

)

( )

B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .

x+3
Câu 45: Cho hàm số y =
có đồ thị là ( C ) , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng d : y = 1 − 2 x sao
x −1
cho qua M có hai tiếp tuyến của ( C ) với hai tiếp điểm tương ứng là A , B . Biết rằng đường thẳng AB
luôn đi qua điểm cố định là H . Biết O là gốc tọa độ, tính độ dài đoạn OH là
A. 34 .
B. 10 .
C. 29 .
D.
Trang 5

58 .
Trang 5/6 - Mã đề thi 132


Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy AD//BC. Gọi M là điểm thay đổi nằm
trong hình thang ABCD. Từ M kẻ các đường thẳng song song với SA, SB lần lượt cắt các mặt phẳng
(SBC) và (SAD) tại N và P. Biết diện tích tam giác SAB bằng S0 (không đổi) . Tính giá trị lớn nhất của
diện tích tam giác MNP theo S0 khi M là điểm thay đổi
1
1
1
3
B. S0
C. S0
D.
A. S0
S0
4

8
6
10
Câu 47: Trong không gian, cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 11 . Ba mặt cầu bán kính 3, 4 và 6 có
tâm đặt lần lượt tại các đỉnh A, B và C của tam giác ABC . Có bao nhiêu mặt phẳng cùng tiếp xúc với cả
ba mặt cầu đó
A. 6
B. 8
C. 4
D. 3

0 . Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để
Câu 48: Cho phương trình log 32 x − 4 log 3 x + m − 3 =
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 > x2 > 1 .
A. 3 .
B. 6 .
C. 4 .
D. 5 .
x b
Câu 49: Cho hàm số y 
có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
cx 1

A. c  0; b  0 .

B. b  0; c  0 .

C. b  0 ; c  0 .

D. b  0; c  0 .


Câu 50: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA ' B ' C ' D ' có=
BC a=
, BB ' a 3 . Góc giữa hai mặt phẳng

( A' B 'C )

và ( ABC ' D ') bằng

A. 30°.
A. 30°.

B. 45°.
B. 45°.

C. 90°.
C. 90°.

D. 60°.
U

U

D. 60°.

----------- HẾT -----------

Trang 6

Trang 6/6 - Mã đề thi 132



ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2019 – 2020
Câu 1. (5,0 điểm) Cho hàm số y 1 (m 2 4)x (4m 1)x 2 x 3 , với m là tham số.
a) Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho nghịch biến trên .
b) Tìm các số thực m để hàm số đã cho đạt cực đại tại x  1 .
c) Tìm các số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ 2; 1] bằng 9
Giải
a) y '  3x  2(4m  1)x  m  4 ,
Hàm số nghịch biến trên
2

2

  'y '  0  (4m  1)2  3(m 2  4)  0  19m 2  8m  11  0  
Vậy có hai giá trị nguyên m  0 và m  1

11
 m  1.
19

m  1
b) Hàm số có cực đại tại x  1  y '(1)  0  m 2  8m  9  0  
m  9
+ Nếu m  1  y '  3x 2  6x  3  0  x  1 không là cực đại  m  1 (loại)
+ Nếu m  9, y '  3x 2  74x  77, y ''  6x  74x, y ''(1)  80  0 nên hàm số có cực đại tạ

x  1 . Vậy m  9 (nhận)
c) Vì Min y  9 suy ra mọi giá trị của hàm số y với  x  [2; 1] phải lớn hơn hay bằng 9
[ 2;1]


2

m 2  4m  4  0
y(1)  9

m  4m  5  9


 2
m 2
nghĩa là 
2
y(2)  9

2
m

16
m

13

9
2
m

16
m


4

0






x  0
3
2
2
Thử lại ta có y  x  7x  1 có y '  3x  14x  0  
x  14

3
Suy ra hàm nghịch biến trên [2; 1] và min y  y(1)  9 . Vậy m  2 thỏa mãn
[ 2;1]

Câu 2. (3,0 điểm)
1) Giải phương trình ( 10  3)x  ( 10  3)x  38 .
2) Giải phương trình sin2x cos2x 3 sin x cos x

1

0

Giải
1) Vì ( 10  3) .( 10  3)  (10  9)  1

x

x

x

1
t
t  19  6 10  ( 10  3)2

1
Ta được : t   38  t 2  38t  1  0  
1
2
 ( 10  3)2
t
t  19  6 10  ( 10  3) 
2
( 10  3)

( 10  3)x  ( 10  3)2
x  2



( 10  3)x  ( 10  3)2
x  2

2) sin 2x cos 2x 3 sin x cos x 1 0
cos x (2 sin x 1) 2 sin2 x 3 sin x 2 0

Đặt t  ( 10  3)x (t  0)  ( 10  3)x 

Trang 7


 cos x(2 sin x  1)  (2 sin x  1)(sin x  2)  0  (2 sin x  1)(sin x  cos x  2)  0


1
sin x 



2

x
x
VN
sin

cos


2
(
)





x   k 2
6
(k  )

5
x    k 2

6

Câu 3. (2,0 điểm) Một trang trại xây một bể nước hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 18, 432 m 3
(tính cả thành và đáy bể), biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí xây bể được
tính theo tổng diện tích của thành (mặt bên ngoài) và đáy bể với giá 800 nghìn đồng /m 2 . Tìm các kích
thước của bể để chi phí xây bể là nhỏ nhất và tính gần đúng chi phí đó.

Giải
Gọi chiều dài rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp chữ nhật là
18, 432
x, 2x, h (x, h  0)  V  2x 2h  18, 432  h 
2x 2
18, 432
55,296
 2x 2 
Tổng diện tích 5 mặt (không có nắp) là S  2x 2  6xh  2x 2  6x
2
x
2x
55,296
27, 648 27, 648
27, 648 27, 648
 2x 2 


 3 3 2x 2 .
.
 34, 56
x
x
x
x
x
27, 648
 x  2, 4  h  1, 6 .
Dấu  xảy ra  2x 2 
x
Vậy ba kích thước chiều rộng, chiều dài và chiều cao là 2, 4 ; 4, 8 ; 1,2

Xét f (x )  2x 2 

Chi phí là 34,56.800000  27648000 (đồng)
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA vuông góc mặt phẳng đáy, SA  a . Biết
M , N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc hai cạnh AB và AD sao cho AM  AN  a
1) Chứng minh thể tích S .AMCN có giá trị không đổi
2) Tính theo a khoảng cách từ C đến (SMN ) . Chứng minh mặt phẳng (SMN ) luôn tiếp xúc với một mặt
cầu cố định.
Giải

Trang 8


1) Đặt AM  m, AN  n  m  n  a  ND  m, BM  n


 am an 
1
an
1
am
a
a2
2
BM .BC 
, S NDC  ND.DC 
 SAMCN  a  

  a  (m  n ) 
2
2
2
2
2 
2
2
 2
1
a3
(không đổi) suy ra thể tích khối S .AMCN  .SAS
(không đổi)
. AMN 
3
6
DE

ND m
m2
m 2 an  m 2 (m  n )n  m 2
2) Ta có


 DE 
 CE  a  DE  a 


AM NA n
n
n
n
n
2
2
m  mn  n

n
HC CE
m 2  mn  n 2


 k  d(C ,(SMN ))  k.d(A,(SMN ))
HA MA
mn
Gọi G, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MN và SG
S MBC 


SG  AK  (SMN )  d(A,(SMN ))  AK

AM 2 .AN 2
m 2n 2

AM 2  AN 2 m 2  n 2
m 2n 2
.a 2
2
2
2
2
AG .SA
m 2n 2 (m  n )2
m 2n 2 (m  n )2
2
m

n
AK 

 2 2

AG 2  SA2
m 2n 2
m n  (m  n )2 (m 2  n 2 ) m 2n 2  (m  n )2 [(m  n )2  2mn ]
2
a
m2  n2
m 2n 2 (m  n )2

mn(m  n )

 AK 
2
2
[(m  n )  mn ]
(m  n )2  mn
AG 2 

(m  n )(m 2  mn  n 2 )
m n a
(m  n )2  mn
Cách khác: Chọn A(0;0;0), S (0;0;a),C (a;a;0), M (m;0;0), N (0; n;0)
 d(C ,(AMN ))  k .AK 

SM  (m; 0; a ),
SN  (0; n; a )  [SM , SN ]  (an;am; mn )

Phương trình (SMN ) : anx  amy  mnz  mna  0  d(C ,(SMN )) 



a 3  mna
a 2 (n 2  m 2 )  m 2n 2
a(a 2  mn )
a 4  2amn  m 2n 2






a(a 2  mn )
a 2[(m  n )2  2mn ]  m 2n 2

a(a 2  mn )
a 2  mn



a 2n  a 2m  mna
(an )2  (am)2  (mn )2

a(a 2  mn )
a 2 (a 2  2mn )  m 2n 2

a

Vì d(C ,(SMN ))  a cố định và C cố định nên (SMN ) luôn tiếp xúc mặt cầu cố định có tâm C và bán
kính R  a

Trang 9


Câu 5. (3,0 điểm)
1) Một tổ gồm 8 học sinh là An, Bình, Châu, Dũng, Em, Fin, Giang, Hạnh sẽ cùng đi trên một chuyến bay
để dự đợt học tập, tham quan và trải nghiệm ; đại lý dành cho tổ 8 vé máy bay có số ghế là
18A, 18B, 18C , 18D, 18E, 18F, 18G, 18H . Mỗi học sinh chọn ngẫu nhiên một vé. Tính xác suất để có
đúng 4 học sinh trong tổ mà mỗi bạn chọn được một vé có chữ của số ghế trùng với chữ đầu của tên mình.
2) Cho n và k là hai số nguyên dương thỏa mãn n  k . Chứng minh rằng C nkC nk k là số chẵn
Giải


1) n()  8!
Chọn 4 học sinh trong 8 học sinh, sau đó phát vé có chữ số ghế trùng với chữ đầu tiên của tên học sinh thì
có 1 cách chọn
Còn 4 học sinh còn lại và phát không đúng như đề bài, giả sử các vé sắp xếp sẵn theo thứ tự là ABCD
+ Bạn có tên chữ cái B đứng đầu xếp vào vị trí đầu tiên ta có các cách sau:
BADC ; BCDA ; BDAC
+ Bạn có tên chữ cái C đứng đầu xếp vào vị trí đầu tiên ta có các cách sau:
CADB ; CDAB ; CDBA
+ Bạn có tên chữ cái D đứng đầu xếp vào vị trí đầu tiên ta có các cách sau:
DABC ; DCAB ; DCBA
Vậy có C 84 .1.9 (cách chọn) nên xác suất cần tìm là:

C 84 .9
8!



1
64

2) Ta có:
n !(n  k )!
(n  k )!
(n  k )!(2k )!
(n  k )!.2 k .(2k  1)!



.

k ! k !(n  k )! n ! k ! k !(n  k )! k ! k !(n  k )!(2k )! (2k )!(n  k )!
k !k !
(n  k )!.2
(2k  1)!

 2C nnkk .C 2kk 1 2
.
(2k )!(n  k )! [(2k  1)  k ]! k !

C nkC nk k 

Câu 6. (3,5 điểm)
2



1
1
1) Giải phương trình 3  x  log2 2  x   1    2 2  x  log2  2  
x
x


2) Cho ba số thực a,b, c thỏa mãn ab  bc  2ac  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a 2  2b 2  c 2
Giải
2



1

1
3  x  log2 2  x   1    2 2  x  log2  2  
x
x






2  x  0
x  2
x  0


Điều kiện x  0
 x  0   1
 x 2

 x  0
1
 2
2   0


x

1
 x  2



Trang 10

(1)


2

(1)  ( 2  x  1)  log2
2




1
1
2  x    2    1   log2  2  
x
x




Xét hàm f (t )  (t  1)2  log2 t (t  0) , f '(t )  2t  2 
Có thể xét f ''(t )  2 
f ''(t )  0 

1
t ln 2
1

2 ln 2

 1 
Lập bảng biến thiên suy ra min f '(t )  f ' 

 2 ln 2 
Suy ra f '(t )  0 t  0  f (t ) đồng biến

Ta được

8
2  0
ln 2

2

1
2t 
t ln 2
2

2
1
2
2 
ln 2
t ln 2

2
ln 2




2
ln 2

2 

8
2  0
ln 2


x  1

3  13
1
3
2
2
2  x  2   x  2x  4x  1  0  (x  1)(x  3x  1)  x 

x
2

3  13
x 

2


3  13
2
2) Cho ba số thực a,b, c thỏa mãn ab  bc  2ac  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  a 2  2b 2  c 2
So với điều kiện ta có nghiệm x  1, x 

Ta có:

6  ab  bc  2ca  ( 2  1).a.[( 2  1)b ]  ( 2  1).c.[( 2  1)b ]  2ca
 a 2  ( 2  1)2b 2 
 c 2  ( 2  1)2b 2 
  ( 2  1). 
  (a 2  c 2 )
 ( 2  1). 




2
2




2 1 2
2 1 2
2 1 2
6
a  ( 2  1)b 2 
c 
(a  2b 2  c 2 )

2
2
2
2 1
6
P  P  12( 2  1)
2

--------------- HẾT ---------------

Trang 11


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2019 - 2020
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I (6,0 điểm).
1. Cho hàm số y  x 3  mx 2  1 có đồ thị C m  . Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng

d  : y  1  x

cắt đồ thị C m  tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị C m  tại hai

trong ba điểm đó vuông góc với nhau.


x  1

2

có đồ thị C  . Gọi A x 1; y1 , B x 2 ; y2  là các điểm cực trị của C 
 
với x 1  x 2 . Tìm điểm M trên trục tung sao cho T  2MA2  MB 2  2MA  MB đạt giá trị nhỏ
2. Cho hàm số y 

x 2

nhất.
Câu II (4,0 điểm).

1
log
2x  2  log32 3 2x  1 .
2 1 3
2. Cho các số thực a, b, c  2; 8 và thỏa mãn điều kiện abc  64 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
 
1. Giải phương trình:

thức P  log22 a  log22 b  log22 c .
Câu III (5,0 điểm).
1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân với AD  2a, AB  BC  CD  a , cạnh
SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB và N là điểm thuộc đoạn SD sao cho
NS  2ND . Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng

6a 43

, tính thể tích của khối
43

chóp S.ABCD theo a.

  60o . Đường phân giác của góc ABC
 cắt AC tại I.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC
Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh BC.
Cho miền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn xoay
V
có thể tích lần lượt là V1,V2 . Tính tỉ số 1 .
V2
Câu IV (1,0 điểm). Tìm họ nguyên hàm I 



ln x  1
x ln x  1  1

dx .

 x  2  y  2  7y  3x  8

Câu V (2,0 điểm). Giải hệ phương trình 
.
3
 3xy  8x  5  xy 2  6x 2  12y  7




a1  1



Câu VI (2,0 điểm). Cho dãy an  xác định 
. Tìm số hạng tổng quát an
n 1

an 1  an 2  n , n  1


2


và tính lim an .
............HẾT............
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh ...........................................................................Số báo danh .................
Giám thị coi thi ..........................................................................
Trang 12


HƯỚNG DẪN GIẢI THAM KHẢO
Câu I. 1. Cho hàm số y  x 3  mx 2  1 có đồ thị C m  . Tìm các giá trị của tham số m để đường
thẳng d  : y  1  x cắt đồ thị C m  tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị C m  tại
hai trong ba điểm đó vuông góc với nhau.

Hướng dẫn


Giả sử có ba giao điểm là A, B, C khác nhau, phương trình hoành độ giao điểm là:
x  0  A 0; 1
x  mx  x  0   2
. Dễ thấy kA  0  ytt  1 suy ra không có tiếp tuyến
x  mx  1  0 *
vuông góc nhau tại A. Còn lại hai giao điểm B, C có hoành độ là nghiệm của (*).
3

2


x 1x 2  1
Ta có 
và để hai tiếp tuyến vuông góc nhau thì x 1 3x 1  2m .x 2 3x 2  2m   1


x 1  x 2  m


 9  6m 2  4m 2  1  m 2  5  m   5 , thỏa mãn   m 2  4  0 .

Vậy các giá trị của m là m   5 .

x  1

2

Câu I. 2. Cho hàm số y 


C  với x

1

x 2

có đồ thị C  . Gọi A x 1; y1 , B x 2 ; y2  là các điểm cực trị của

 
 x 2 . Tìm điểm M trên trục tung sao cho T  2MA2  MB 2  2MA  MB đạt giá trị

nhỏ nhất.
Hướng dẫn.
1
1
, x  2  y '  1 
 x 1  3, x 2  1 là hoành độ các điểm cực
2
x 2
x  2
 
trị hay A 3; 4, B 1;1 . Gọi I là điểm thỏa mãn 2IA  IB  0  I 5; 9 .

Ta có y  x 

 2  2
 
  2
 
Khi đó T  2MA  MB  2MA  MB  2 MI  IA  MI  IB




 



2


 MI

T  2IA2  IB 2  MI 2  MI  2  52  y  9  52  y  9  27  5  32
2

2

Nên Tmin  32  y  9  M 0; 9 .
Câu II. 1. Giải phương trình:

1
log
2 1

3

2x  2  log

32 3


2x  1 .

Hướng dẫn.
PT

1
log
2 1

2x  2  log32
3



2x  1  t  2x  2  1  3
3

t

 
2t

t
 3  2 3  

1


  
  f t   a t  b t  1  0, 0  a, b  1 , ta có

1


 4  2 3   4  2 3 

Trang 13



t

 3 2 3 1


f ' t   a t ln a  b t ln b  0, t suy ra f t  nghịch biên trên  nên f t   0 có nghiệm duy nhất
t  1  x  1  3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Câu II. 2. Cho các số thực a, b, c  2; 8 và thỏa mãn điều kiện abc  64 . Tìm giá trị lớn nhất của
 
2
2
2
biểu thức P  log2 a  log2 b  log2 c .
Hướng dẫn.

Đặt log2 a  x , log2 b  y, log2 c  z  x , y, z  1; 3 , x  y  z  6 . Ta cần tìm GTLN của
 
P  x 2  y 2  z 2 . Không giảm tổng quát ta giả sử 1  x  y  z  3  x  1;2 , z  2; 3 .
P  x 2  z 2  6  z  x   2z 2  2 6  x  z  36  2x 2  12x (Parabol đồng biến đối với z vì
2


6x
x  5
 3   2;  )  P  2.32  6 6  x   36  2x 2  12x  2x 2  6x  18  14 ( tại
2
2  2 
x  1  x  2 ) suy ra Pmax  14  x  1, y  2, z  3 (loại y  1, x  2, z  3 ).

Vậy Pmax  14  a  2, b  4, c  8 (và các hoán vị).
Câu III. 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân với
AD  2a, AB  BC  CD  a , cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB và N là
điểm thuộc đoạn SD sao cho NS  2ND . Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng
6a 43
, tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
43
Hướng dẫn.

Gọi E là trung điểm của AD thì dễ dàng chứng minh được ABCE là hình thoi cạnh a, CDE là
tam giác đều cạnh a. Kẻ CH vuông góc với ED thì CH 
cân ABCD, suy ra S ABCD 

3a 2 3
.
4

Lấy a = 1 . Dựng hệ tọa độ Axyz như hình
 3 1 

vẽ, với B  ; ; 0, D 0;2; 0, S 0; 0; 3h  ,
 2 2 

khi đó tọa độ các điểm
 3 1 3h   2 

M 
; ; , N 0; ; h  .
 4 4 2   3 

z
S

M
x



 

  3h h 3 3 
Ta có AM , AN    ; 
;
 , khi

  4
4
6 
đó phương trình mặt phẳng (AMN) là

3hx  h 3y 

a 3

và là đường cao của hình thang
2

B
N

A

2 3
z 0
3



E



Khoảng cách d S , AMN  

2h 3
4
9h 2  3h 2 
3

C



6

43

Trang 14

suy ra

H

D

y




4
2
6 
6a 7
 hay SA 
43h 2  3 12h 2    36h 2  4  h 
 S 0; 0;
và thể tích khối chóp

3 
7

7
7 
S .ABCD là: V 


1 6a 7 3a 2 3
3a 3 21
.
.

.
3 7
4
14

  60o . Đường phân giác của góc ABC
 cắt
Câu III. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC
AC tại I. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh
BC. Cho miền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn
V
xoay có thể tích lần lượt là V1,V2 . Tính tỉ số 1 .
V2
Hướng dẫn.
C

D
I

B

A

a 3

. Khi cho tam giác
3
ABC và nửa hình tròn tâm I quay xung xung quanh AC thì tạo thành khối nón tròn xoay và khối

Đặt AB  a , khi đó AC  h  AB tan 60o  a 3, IA  R  AB tan 30o 

cầu. Ta có:

V1
V2



Vnon
Vcau



a 2h / 3
a 2 .a 3
9

 .
3
4
4R / 3
3
4.a 3
9


Câu IV. Tìm họ nguyên hàm I 



1  ln x
x ln x  1  1

dx .

Hướng dẫn.
Đặt

x ln x  1  1  t  x ln x  1  t  1  1  ln x dx  2 t  1dt , suy ra

I t  

2



2 t  1
t

dt  2t  2 ln t  C  I x   2 x ln x  1  2 ln





x ln x  1  1  C .




 x  2  y  2  7y  3x  8
Câu V. Giải hệ phương trình: 
.
3
2
2

3
xy

8
x

5

xy

6
x

12
y

7




Hướng dẫn.
+ Xét x  2 thì từ phương trình đầu ta có y  2 thế vào phương trình thứ hai không thỏa
mãn. Lập luận tương tự đối với y  2 ta suy ra điều kiện x , y  2 .
Trang 15


+ Biến đổi phương trình thứ nhất:
 y  2 
y 2
  3  1  t  7t  3, t  0  t  1  x  y  2 .
 7 
x 2
 x  2 

1

Thế vào phương trình thứ hai:
Đặt

3

3

3x 2  8x  5  x 3  6x 2  12x  7 (*).

3x 2  8x  5  t  3x 2  8x  5  t 3 , từ (*) ta có t 3  t  x  1  x  1  u 3  u
3






Hay t  u  t 2  tu  u 2  1  0  t  u  x  1 . Từ đó ta được:

3x 2  8x  5  x  1  x 3  6x 2  11x  6  0  x  1, x  2, x  3 (thỏa mãn).
3





Vậy hệ đã cho có ba nghiệm x , y   1;1, 2;2, 3; 3 .
Câu VI. Cho dãy an 



a1  1



xác định 
. Tìm số hạng tổng quát an và tính
n 1

an 1  an 2  n , n  1


2




lim an .

Hướng dẫn.

Dễ thấy dãy số đã cho là dãy số dương và tăng. Giả sử an  4 

a1  1 đúng, an 1  4 
Vậy an  4 

n 2
, n  1 , khi đó ta có:
2n 1

n 2 n 1
2n  4 n  1
n 3
 n  4
 n  4  n (đúng tới n + 1).
n 1
n
2
2
2
2
2

n 2
n 2
, n  1 . Suy ra lim an  lim 4  n 1  4  2 .

n 1
2
2
Lời bình: Nhìn chung đề này ở mức độ khá.
............HẾT............

Trang 16


LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀ VMO
2019 – 2020
(Lê Phúc Lữ tổng hợp và giới thiệu)
Xin cám ơn các thầy Võ Quốc Bá Cẩn, Nguyễn Lê Phước, Nguyễn Văn Linh và các bạn
Đoàn Cao Khả, Nguyễn Công Thành, Nguyễn Mạc Nam Trung đã chia sẻ một số nội
dung để có thể hoàn tất tài liệu này.
Kỳ thi chọn HSG quốc gia (viết tắt là VMO) năm nay diễn ra vào các ngày 27, 28 tháng
12/2019. Cấu trúc đề năm nay là:
1. Giới hạn dãy số.
2. Bất đẳng thức.
3. Dãy số nguyên.
4. Hình học phẳng.
5. Hệ phương trình.
6. Hình học phẳng.
7. Tổ hợp.
Tổng quan về đề thi, có thể nói đề ngày 1 so với "cùng kỳ năm trước" quả thật rất khác.
Các câu hỏi đều có ý a để dẫn dắt gợi mở và thậm chí là cho điểm. Ý tưởng tuy không
mới mẻ bằng năm trước nhưng cũng là các thử thách đáng kể với thí sinh. Hầu hết các
thí sinh nếu ôn luyện cẩn thận sẽ làm tốt 4 ý a, và có thể làm thêm 1 ý b nào đó nữa.
Các ý b có độ khó cũng khá tương đương nhau, tùy vào sở trường của thí sinh, nhưng
nhìn chung số bạn làm được trọn vẹn cả bài hình là không nhiều.

Ngày thi thứ hai có một bất ngờ lớn khi xuất hiện câu biện luận hệ phương trình cũng
như ý tổ hợp a quá nhẹ nhàng. Các câu hệ a và tổ a xem như cho điểm hoàn toàn. Cả
câu hình và tổ b cũng ở mức trung bình (xây dựng mô hình khá đơn giản). Tuy nhiên,
câu hệ b và tổ c quả thực là thách thức lớn, đòi hỏi phải kỹ năng xử lý tình huống tốt.
Nhưng nói chung, đề thi năm nay mới mẻ, đòi hỏi thí sinh vừa phải nắm chắc kiến thức,
vừa phải có ít nhiều sáng tạo mới có thể làm trọn vẹn được.
Dưới đây là lời giải chi tiết, bình luận phân tích liên quan; một số nội dung có tham
khảo tại group "Hướng tới VMO-TST" trên Facebook.
1
Trang 17


2

1. Đề thi ngày 1 (ngày 27/12/2019)
Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số (x n ) xác định bởi x 1 = 1 và
x n+1 = x n + 3
n
n→+∞ x n

a) Chứng minh rằng lim

xn +

n
với mọi n ≥ 1.
xn

= 0.


n2
.
n→+∞ x n

b) Tính giới hạn lim
Bài 2. (5 điểm)

a) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c 2 = 1. Chứng minh rằng
|a − b| + |b − c| + |c − a| ≤ 2 2.
2
b) Cho 2019 số thực a1 , a2 , . . . , a2019 thỏa mãn a12 + a22 + · · · + a2019
= 1. Tìm giá trị
lớn nhất của
S = |a1 − a2 | + |a2 − a3 | + · · · + a2019 − a1 .

Bài 3. (5 điểm) Cho dãy số (an ) xác định bởi a1 = 5, a2 = 13 và
an+2 = 5an+1 − 6an với mọi n ≥ 2.
a) Chứng minh rằng hai số hạng liên tiếp của dãy trên nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tố của a2k thì p − 1 chia hết cho 2k+1 với
mọi số tự nhiên k.
Bài 4. (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O) và trực
tâm H. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với O qua BC, CA, AB.
a) Gọi H a là điểm đối xứng của H qua BC, và A là điểm đối xứng của A qua O. Gọi
Oa là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng H D , A Oa cắt
nhau tại một điểm trên (O).
b) Lấy điểm X sao cho tứ giác AX DA là hình bình hành. Chứng minh rằng các
đường tròn ngoại tiếp tam giác AH X , ABF, AC E có một điểm chung khác A.

Lời giải và bình luận VMO 2019-2020
Trang 18



3

2. Đề thi ngày 2 (ngày 28/12/2019)

 x − a y = yz
Bài 5. (6 điểm) Cho hệ phương trình (tham số a): y − az = z x (với x, y, z ∈ ).

z − ax = x y
a) Giải hệ khi a = 0.
b) Chứng minh rằng hệ có 5 nghiệm khi a > 1.
Bài 6. (7 điểm) Cho tam giác ABC nhọn không cân có các đường cao AD, BE, C F với
D, E, F là các chân đường cao. Đường tròn đường kính AD cắt DE, DF lần lượt tại
M , N . Lấy các điểm P, Q tương ứng trên AB, AC sao cho N P⊥AB, MQ⊥AC. Gọi (I) là
đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ.
a) Chứng minh rằng (I) tiếp xúc với E F.
b) Gọi T là tiếp điểm của (I) với E F , K là giao điểm của DT, M N và L đối xứng với
A qua M N . Chứng minh rằng (DK L) đi qua giao điểm của M N và E F.
Bài 7. (7 điểm) Cho số nguyên dương n > 1. Ký hiệu T là tập hợp tất cả các bộ
có thứ tự (x, y, z) trong đó x, y, z là các số nguyên dương đôi một khác nhau và
1 ≤ x, y, z ≤ 2n. Một tập hợp A các bộ có thứ tự (u, v) được gọi là “liên kết” với T nếu
với mỗi phần tử (x, y, z) ∈ T thì {(x, y), (x, z), ( y, z)} ∩ A = ∅.
a) Tính số phần tử của T.
b) Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp liên kết với T có đúng 2n(n − 1) phần tử.
c) Chứng minh rằng mỗi tập hợp liên kết với T có không ít hơn 2n(n − 1) phần tử.

Lời giải và bình luận VMO 2019-2020
Trang 19



4

3. Lời giải chi tiết và bình luận
Bài 1. Cho dãy số (x n ) xác định bởi x 1 = 1 và x n+1 = x n + 3 x n +

n
xn

với mọi n ≥ 1.

= 0.

n
n→+∞ x n

a) Chứng minh rằng lim

n2
.
n→+∞ x n

b) Tính giới hạn lim

Lời giải. a) Ta dự đoán x n > n2 , ∀n > 1 và có thể chứng minh bằng quy nạp như sau.
Với n = 2, ta có x 2 = 1 + 3 1 +

1
1


= 5 > 22 nên khẳng định đúng.

Giả sử ta đã có x n > n2 , khi đó
x n > n2 + 3n ≥ (n + 1)2 .

x n+1 > x n + 3

Do đó, theo nguyên lý quy nạp thì khẳng định trên được chứng minh.
Từ đó suy ra 0 <

n
xn

< 1n , mà lim

1
n→+∞ n

= 0 nên theo nguyên lý kẹp thì lim

n
n→+∞ x n

= 0.

b) Cách 1. (sử dụng định lý trung bình Cesaro – định lý Stolz)
2
= yn2 + 3 yn +
Đặt x n = yn2 thì công thức đã cho viết lại thành yn+1


( yn+1 − yn )( yn+1 + yn ) = 3 yn +

yn+1 − yn =

n
yn

yn+1 + yn

n
n→+∞ yn

Theo câu a thì lim

3 yn +

=

n
yn

yn2 + 3 yn +

n
yn

+ yn

1
n→+∞ yn


= 0 nên kéo theo lim

nên

n
yn

hay
3 yn +

n
yn

3+

=

3
yn

1+

= lim

n
3
n→+∞ yn

n

yn2

+

n
yn3

+1

.

= 0 và dựa theo đẳng

thức trên thì lim ( yn+1 − yn ) = 32 . Theo định lý trung bình Cesaro thì dãy số (un ) có
n→+∞

lim un = L thì lim

n→+∞

n→+∞

u1 +u2 +···+un
n

= L.

Xét dãy un = yn+1 − yn , áp dụng ta dễ dàng có được
lim


n→+∞

yn
3
n2
4
= nên lim
= .
n→+∞ x
n
2
9
n

Cách 2. (dùng nguyên lý kẹp) Trước hết, xét hiệu
x n+1 − x n
(n + 1)2 − n2
xn
2
n
n→+∞

ta thấy rằng nếu lim

=

3 xn +
2n + 1

n

xn

=

3

xn
n2

+

2 + 1n

1
xn

,

= l thì theo định lý Stolz, ta phải có l =

3
2

l → l = 94 .

Nhờ dự đoán này, ta có thể thực hiện ước lượng để xây dựng BĐT và kẹp như sau: Vì
x n > n2 nên nx n < 1, từ đó dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được
xn <

9 2

n , ∀n ≥ 2.
4

Lời giải và bình luận VMO 2019-2020
Trang 20