www.MATHVN.com

Trn S Tựng

CHNG IV
GII HN
www.MATHVN.com
I. Gii hn ca dóy s

Gii hn hu hn
1. Gii hn c bit:
1
1
lim = 0 ;
lim
= 0 (k ẻ Â + )
k
nđ+Ơ n
nđ+Ơ n
lim q n = 0 ( q < 1) ;

nđ+Ơ

Gii hn vụ cc
1. Gii hn c bit:
lim qn = +Ơ (q > 1)
2. nh lớ:

lim C = C

nđ+Ơ

2. nh lớ :
a) Nu lim un = a, lim vn = b thỡ
ã lim (un + vn) = a + b
ã lim (un vn) = a b
ã lim (un.vn) = a.b
u
a
ã lim n = (nu b ạ 0)
vn b

a) Nu lim un = +Ơ thỡ lim

c) Nu lim un = a ạ 0, lim vn = 0
u
ỡ+Ơ
neỏu a.vn > 0
thỡ lim n = ớ
neỏu a.vn < 0
vn
ợ-Ơ

un
vn

c) Nu un Ê vn ,"n v lim vn = 0
thỡ lim un = 0
d) Nu lim un = a thỡ lim un = a

* Khi tớnh gii hn cú mt trong cỏc dng vụ

0 Ơ
nh: , , Ơ Ơ, 0.Ơ thỡ phi tỡm cỏch kh
0 Ơ
dng vụ nh.

( q < 1)

Mt s phng phỏp tỡm gii hn ca dóy s:
ã Chia c t v mu cho lu tha cao nht ca n.
1
1
1+ - 3
2
n +1
n + n - 3n
n
n =1
VD: a) lim
= lim
b) lim
= lim
=1
3 2
1
2n + 3
1 - 2n
2+
-2
n
n

ổ 4 1 ử
c) lim(n2 - 4n + 1) = lim n2 ỗ 1 - + ữ = +Ơ
ố n n2 ứ
ã Nhõn lng liờn hp: Dựng cỏc hng ng thc

1+

(

VD:

( 3 a - 3 b ) ( 3 a2 + 3 ab + 3 b2 ) = a - b

a - b )( a + b ) = a - b;

lim

(

)

n2 - 3n - n = lim

(

n2 - 3n - n

(

)(


n2 - 3n + n

n2 - 3n + n

ã Dựng nh lớ kp: Nu un Ê vn ,"n v lim vn = 0

www.mathvn.com

=0

d) Nu lim un = +Ơ, lim vn = a
ỡ+Ơ
neỏ u a > 0
thỡ lim(un.vn) = ớ
neỏ u a < 0
ợ-Ơ

un = a

3. Tng ca cp s nhõn lựi vụ hn
u
S = u1 + u1q + u1q2 + = 1
1- q

1
=0
un

b) Nu lim un = a, lim vn = Ơ thỡ lim


b) Nu un 0, "n v lim un= a
thỡ a 0 v lim

lim nk = +Ơ (k ẻ Â + )

lim n = +Ơ

)

thỡ

) = lim

-3n

n2 - 3n + n

=-

3
2

lim un = 0
Trang 1


www.MATHVN.com
VD:


Trn S Tựng

sin n
sin n 1
1
sin n
.
Vỡ 0 Ê
Ê v lim = 0 nờn lim
=0
n
n
n
n
n
3sin n - 4 cos n
b) Tớnh lim
. Vỡ 3sin n - 4 cos n Ê (32 + 42 )(sin2 n + cos2 n) = 5
2
2n + 1
3sin n - 4 cos n
5
nờn 0 Ê
Ê
.
2
2
2n + 1
2n + 1
5

3sin n - 4 cos n
M lim
= 0 nờn lim
=0
2
2n + 1
2n2 + 1
a) Tớnh lim

Khi tớnh cỏc gii hn dng phõn thc, ta chỳ ý mt s trng hp sau õy:
ã Nu bc ca t nh hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng 0.
ã Nu bc ca t bng bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng t s cỏc h s ca lu
tha cao nht ca t v ca mu.
ã Nu bc ca t ln hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú l +Ơ nu h s cao nht
ca t v mu cựng du v kt qu l Ơ nu h s cao nht ca t v mu trỏi du.

Baứi 1: Tớnh cỏc gii hn sau:
2n2 - n + 3

a) lim

3n2 + 2n + 1
n4

d) lim

(n + 1)(2 + n)(n2 + 1)
Baứi 2: Tớnh cỏc gii hn sau:
a) lim
d) lim


1 + 3n
4 + 3n
2n + 5n+1

1 + 5n
Baứi 3: Tớnh cỏc gii hn sau:

4 n2 + 1 + 2 n - 1

a) lim

n2 + 4n + 1 + n
4 n2 + 1 + 2 n

d) lim

b) lim
e) lim

b) lim
e) lim

2n + 1

4.3n + 7n+1

e) lim

1 + 2 + ... + n

n2 + 3n

n3 + 4
2 n4 + n2 - 3
3n3 - 2n2 + 1

c) lim

2.5n + 7n
1 + 2.3n - 7n

f) lim

5n + 2.7n

n2 + 3 - n - 4
n2 + 2 + n
(2n n + 1)( n + 3)
(n + 1)(n + 2)

n2 + 4 n + 1 + n
Baứi 4: Tớnh cỏc gii hn sau:
ổ 1
ử
1
1
a) lim ỗ
+
+ ... +
ữ

(2n - 1)(2n + 1) ứ
ố 1.3 3.5
ổ
ổ
1 ửổ
1 ử
1 ử
c) lim ỗ 1 - ữ ỗ 1 - ữ ... ỗ 1 - ữ
ố 22 ứ ố 32 ứ
ố n2 ứ

f) lim

2n 4 + n + 1

b) lim
e) lim

c) lim

n3 + 4n2 + 3
n2 + 1

3n3 + 2n2 + n

5n + 8n
1 - 2.3n + 6n

2n (3n+1 - 5)


c) lim
f) lim

4n+1 + 6 n+2

3

n2 + 1 - n 6
n 4 + 1 + n2
n2 - 4 n - 4 n2 + 1
3n2 + 1 + n

ổ 1
1
1 ử
b) lim ỗ
+
+ ... +
ữ
n(n + 2) ứ
ố 1.3 2.4
ổ 1
1
1 ử
d) lim ỗ
+
+ ... +
ữ
n(n + 1) ứ
ố 1.2 2.3


f) lim

1 + 2 + 22 + ... + 2 n
1 + 3 + 32 + ... + 3n

Baứi 5: Tớnh cỏc gii hn sau:
Trang 2

www.mathvn.com


www.MATHVN.com

Trần Sĩ Tùng

( n2 + 2n - n - 1)
d) lim (1 + n2 - n4 + 3n + 1 )
a) lim

g) lim

4 n2 + 1 - 2 n - 1

n2 + 4n + 1 - n
Baøi 6: Tính các giới hạn sau:
a) lim
d) lim

2 cos n2

n2 + 1
3sin 6 n + 5 cos2 (n + 1)
n2 + 1

(
e) lim (
b) lim

h) lim

b) lim
e) lim

n2 + n - n2 + 2
n2 - n - n

)

3

n2 + 1 - n 6
n 4 + 1 - n2

(-1)n sin(3n + n2 )
3n - 1
3sin2 (n3 + 2) + n2

)

c) lim


( 3 2n - n3 + n - 1)
1

f) lim

n 2 + 2 - n2 + 4

n2 - 4 n - 4 n2 + 1

i) lim

3n2 + 1 - n

c) lim

2 - 2 n cos n
3n + 1

f) lim

3n2 - 2n + 2
n(3 cos n + 2)

2 - 3n2
æ
1 öæ
1 ö æ
1 ö
Baøi 7: Cho dãy số (un) với un = ç 1 - ÷ç 1 - ÷ ... ç 1 - ÷ , với " n ³ 2.

è 22 øè 32 ø è n2 ø
a) Rút gọn un.
b) Tìm lim un.
1
1
1
Baøi 8: a) Chứng minh:
=
("n Î N*).
n n + 1 + (n + 1) n
n
n +1
1
1
1
b) Rút gọn: un =
+
+ ... +
.
1 2 +2 1 2 3 +3 2
n n + 1 + (n + 1) n
c) Tìm lim un.
ìu1 = 1
ï
Baøi 9: Cho dãy số (un) được xác định bởi: í
.
1
ïun+1 = un + n (n ³ 1)
î
2

a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n.
b) Tính un theo n.
c) Tìm lim un.
ìu = 0; u2 = 1
Baøi 10: Cho dãy số (un) được xác định bởi: í 1
î2un+2 = un+1 + un , (n ³ 1)

1
a) Chứng minh rằng: un+1 = - un + 1 , "n ³ 1.
2
2
b) Đặt vn = un – . Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un.
3

II. Giới hạn của hàm số

www.mathvn.com

Trang 3


www.MATHVN.com

Trần Sĩ Tùng

Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:
lim x = x0 ; lim c = c (c: hằng số)
x® x0


x® x0

2. Định lí:
a) Nếu lim f ( x) = L và lim g( x) = M
x® x0

x® x0

thì: lim [ f ( x) + g( x)] = L + M
x® x0

lim [ f ( x) - g( x)] = L - M

x® x0

lim [ f ( x).g( x)] = L.M

x® x0

f ( x) L
=
(nếu M ¹ 0)
x® x0 g( x)
M
b) Nếu f(x) ³ 0 và lim f ( x) = L
lim

x® x0

x® x0


thì L ³ 0 và lim

x® x0

f ( x) = L

c) Nếu lim f ( x) = L thì lim f ( x) = L
x® x0

x® x0

3. Giới hạn một bên:
lim f ( x) = L Û
x® x0

Û lim - f ( x) = lim + f ( x) = L
x® x0

x® x0

Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực
1. Giới hạn đặc biệt:
ì+¥ nế u k chẵ n
lim xk = +¥ ; lim xk = í
x®+¥
x®-¥
ỵ-¥ nế u k lẻ
c
lim c = c ;

lim
=0
x®±¥
x®±¥ xk
1
1
lim = -¥ ;
lim = +¥
+
x®0 x
x®0 x
1
1
lim- = lim+ = +¥
x®0 x
x®0 x
2. Định lí:
Nếu lim f ( x) = L ¹ 0 và lim g( x) = ±¥ thì:
x® x0

ì+¥ nếu L và lim g( x) cù ng dấu
ï
x® x0
lim f ( x)g( x) = í
g( x) trá i dấu
x® x0
ï-¥ nếu L và xlim
® x0
ỵ
ì0 nế u lim g( x) = ±¥

x® x0
f ( x) ïï
lim
= +¥ nế u lim g( x) = 0 và L.g( x) > 0
x® x0 g( x) í
x® x0
ï
g( x) = 0 và L.g( x) < 0
ï-¥ nế u xlim
® x0
ỵ
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ định:
0 ¥
, , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vơ
0 ¥
định.

Một số phương pháp khử dạng vơ định:
0
1. Dạng
0
P ( x)
a) L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
x® x0 Q( x)
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
VD: lim

x3 - 8


( x - 2)( x2 + 2 x + 4)
x2 + 2 x + 4 12
= lim
=
=3
x®2
x®2
( x - 2)( x + 2)
x+2
4

= lim

x2 - 4
P ( x)
b) L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
x® x0 Q( x)
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
x®2

( 2 - 4 - x )( 2 + 4 - x )
2- 4- x
1
1
= lim
= lim
=
x®0
x®0

x®0 2 + 4 - x
x
4
x(2 + 4 - x )
P ( x)
c) L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn khơng đồng bậc
x® x0 Q( x)
VD: lim

Giả sử: P(x) =

m u( x) - n

Ta phân tích P(x) =
Trang 4

v( x) vớ i

m u( x )
0

= n v( x0 ) = a .

( m u( x) - a ) + ( a - n v( x) ) .

www.mathvn.com


www.MATHVN.com


Trn S Tựng

ổ 3 x +1 -1 1- 1- x ử
x +1 - 1- x
= lim ỗ
+
ữ
xđ0
xđ0 ố
x
x
x
ứ
ổ
ử 1 1 5
1
1
= lim ỗ
+
ữ= + =
xđ0 ỗ 3
2 3
ữ 3 2 6
1
+
1
x
(
x

+
1)
+
x
+
1
+
1
ố
ứ
Ơ
P ( x)
2. Dng : L = lim
vi P(x), Q(x) l cỏc a thc hoc cỏc biu thc cha cn.
xđƠ Q( x)
Ơ
Nu P(x), Q(x) l cỏc a thc thỡ chia c t v mu cho lu tha cao nht ca x.
Nu P(x), Q(x) cú cha cn thỡ cú th chia c t v mu cho lu tha cao nht ca x hoc
nhõn lng liờn hp.
5 3
2+ 2
2 x + 5x - 3
x x2
VD:
a) lim
= lim
=2
xđ+Ơ x2 + 6 x + 3
xđ+Ơ
6 3

1+ +
x x2
3

VD: lim

2x - 3

b) lim

xđ-Ơ

2

x +1 - x

2-

= lim

xđ-Ơ

= -1

-1
x2
3. Dng Ơ Ơ: Gii hn ny thng cú cha cn
Ta thng s dng phng phỏp nhõn lng liờn hp ca t v mu.

VD: lim


xđ+Ơ

(

(

1 + x - x ) = lim

- 1+

3
x
1

1 + x - x )( 1 + x + x )
1+ x + x

xđ+Ơ

1

= lim

1+ x + x

xđ+Ơ

=0


4. Dng 0.Ơ:
Ta cng thng s dng cỏc phng phỏp nh cỏc dng trờn.
VD: lim+ ( x - 2)
xđ2

x
2

x -4

= lim+
xđ2

x - 2. x
x+2

=

0. 2
=0
2

Baứi 1: Tỡm cỏc gii hn sau:
2

3

1+ x + x + x
xđ0
1+ x


a) lim

d) lim

x -1

xđ-1

x4 + x - 3

x+8 -3
xđ1
x-2
Baứi 2: Tỡm cỏc gii hn sau:
g) lim

a) lim

xđ1

d) lim

xđ3

x3 - x2 - x + 1
x2 - 3 x + 2
x3 - 5 x2 + 3 x + 9
x 4 - 8 x2 - 9


b) lim

xđ-1

e) lim

xđ2

h) lim

xđ2

b) lim

xđ1

e) lim

xđ1

3x + 1 - x
x -1

ổ
pử
sin ỗ x - ữ
ố
4ứ
c) lim
p

x
xđ

x2 - x + 1
x -1

f) lim

3x2 - 4 - 3 x - 2
x +1

i) lim x2 sin

2

3

x4 - 1
x3 - 2 x2 + 1
x - 5 x5 + 4 x6

(1 - x)2

(1 + x)(1 + 2 x)(1 + 3 x) - 1
x + x2 + ... + xn - n
h) lim
xđ0
xđ1
x
x -1


g) lim

www.mathvn.com

2

x2 - 2 x + 3
x +1

xđ1

xđ0

c) lim

1
2

x5 + 1
x3 + 1
xm - 1

xđ-1

f) lim

xđ1

i) lim


xđ-2

xn - 1
x4 - 16
x3 + 2 x2

Trang 5


www.MATHVN.com

Trn S Tựng

Baứi 3: Tỡm cỏc gii hn sau:
a) lim

xđ2

d) lim

xđ2

g) lim

4x + 1 - 3
x2 - 4

x+2 -2
x+ 7 -3

1+ x -1

xđ0 3 1 +

x -1
Baứi 4: Tỡm cỏc gii hn sau:
a) lim

xđ0

d) lim

1+ x - 3 1+ x
x
1 + 4x - 3 1 + 6x

x2
1 + 4 x. 1 + 6 x - 1
g) lim
xđ0
x
Baứi 5: Tỡm cỏc gii hn sau:
xđ0

a) lim

xđ+Ơ

d) lim


xđƠ

g) lim

xđ-Ơ

x2 + 1
2 x2 - x + 1

x2 + 2 x + 3 + 4 x + 1
4 x2 + 1 + 2 - x
(2 x - 1) x2 - 3
x - 5 x2

Baứi 6: Tỡm cỏc gii hn sau:
a) lim ổỗ x2 + x - x ửữ
xđ+Ơ ố
ứ
3
c) lim ổỗ x2 + 1 - x3 - 1 ửữ
xđ+Ơ ố
ứ

e) lim

xđ+Ơ

( 3 2 x - 1 - 3 2 x + 1)

ổ 1

3 ử
g) lim ỗ
ữ
xđ1 ố 1 - x 1 - x3 ứ
Baứi 7: Tỡm cỏc gii hn sau:
x - 15
a) lim+
xđ2 x - 2

3

b) lim

xđ1 3

4x + 4 - 2

.

2 x + 2 - 3x + 1
x -1

e) lim

xđ1

x + 3 - 2x

h) lim


2

x + 3x

xđ-3
3

b) lim

8 x + 11 - x + 7
x2 - 3 x + 2

xđ2

e) lim

x -1

3

8 x + 11 - x + 7

2 x2 - 5 x + 2
1 + 2 x .3 1 + 4 x - 1
h) lim
xđ0
x
xđ2

b) lim


xđƠ

4 x2 - 2 x + 1 + 2 - x

e) lim

xđƠ

h) lim

2 x2 - x + 1
x-2
9 x2 - 3 x + 2 x
x2 + 2 x + 3 x

xđ+Ơ

4 x2 + 1 - x + 2

1 + x2 - 1
x

c) lim

xđ0

x2 + 1 - 1

f) lim


xđ0

x2 + 16 - 4

x + 9 + x + 16 - 7
x

i) lim

xđ0

2 1+ x - 3 8 - x
xđ0
x

c) lim

3

5 - x3 - x2 + 7

f) lim

xđ1

i) lim

3


xđ0

c) lim

xđ+Ơ

f) lim

xđ+Ơ

x2 - 1
x +1 - 1- x
x
2 x2 + 1
x3 - 3 x2 + 2
x x +1
x2 + x + 1

x2 - 5 x + 2
xđ-Ơ 2 x + 1

i) lim

b) lim ổỗ 2 x - 1 - 4 x2 - 4 x - 3 ửữ
xđ+Ơ ố
ứ
ổ
ử
d) lim ỗ x + x + x - x ữ
xđ+Ơ ố

ứ
f) lim

xđ-Ơ

( 3 3x3 - 1 +

x2 + 2

)

ổ
ử
1
1
h) lim ỗ
+
ữ
xđ2 ố x2 - 3 x + 2 x2 - 5 x + 6 ứ
x - 15
b) limxđ2 x - 2

1 + 3x - 2 x2
c) lim+
x-3
xđ3

x2 - 4
2-x
2- x

e) lim+
f) lim2
2
x-2
xđ2
xđ2 2 x - 5 x + 2
xđ2 2 x - 5 x + 2
Baứi 8: Tỡm cỏc gii hn mt bờn ca hm s ti im c ch ra:
ỡ 1+ x -1
ỡ 9 - x2
khi x > 0
ùù 3
ù
a) f ( x) = ớ 1 + x - 1
taù i x = 0
b) f ( x) = ớ x - 3 khi x < 3
taù i x = 3
3
ù
ùợ1 - x khi x 3
khi x Ê 0
ùợ 2
d) lim+

Trang 6

www.mathvn.com


Trần Sĩ Tùng


www.MATHVN.com

ì x2 - 2 x
ì x2 - 3 x + 2
khi x > 2
ï
khi x > 1
ïï
3
ï
2
c) f ( x) = í 8 - x
taï i x = 2
d) f ( x) = í x - 1
taïi x = 1
4
x
x
16
ï
ïkhi x £ 1
khi x < 2
ïî x - 2
ïî 2
Baøi 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::
ì 1
3
ì x3 - 1
khi x > 1

ï
ï
khi
x
<
1
a) f ( x) = í x - 1
b) f ( x) = í x - 1 x3 - 1
taïi x = 1
taïi x = 1
2
2
ïîmx + 2 khi x ³ 1
ïm x - 3mx + 3 khi x £ 1
î
ìx + m
khi x < 0
ìx + 3m
khi x < -1
ï
taïi x = -1
c) f ( x) = í x2 + 100 x + 3
taï i x = 0 d) f (x) = í 2
x
+
x
+
m
+
3

khi
x
³
1
khi
x
³
0
î
ïî
x+3

www.mathvn.com

Trang 7


www.MATHVN.com

Trn S Tựng

III. Hm s liờn tc
1. Hm s liờn tc ti mt im:

y = f(x) liờn tc ti x0 lim f ( x) = f ( x0 )
xđ x0

ã xột tớnh liờn tc ca hm s y = f(x) ti im x0 ta thc hin cỏc bc:
B1: Tớnh f(x0).
B2: Tớnh lim f ( x) (trong nhiu trng hp ta cn tớnh lim + f ( x) , lim - f ( x) )

xđ x0

xđ x0

xđ x0

B3: So sỏnh lim f ( x) vi f(x0) v rỳt ra kt lun.
xđ x0

2. Hm s liờn tc trờn mt khong: y = f(x) liờn tc ti mi im thuc khong ú.
3. Hm s liờn tc trờn mt on [a; b]: y = f(x) liờn tc trờn (a; b) v
lim+ f ( x) = f (a), lim- f ( x) = f (b)
xđa

xđb

4. ã Hm s a thc liờn tc trờn R.
ã Hm s phõn thc, cỏc hm s lng giỏc liờn tc trờn tng khong xỏc nh ca chỳng.
5. Gi s y = f(x), y = g(x) liờn tc ti im x0. Khi ú:
ã Cỏc hm s y = f(x) + g(x), y = f(x) g(x), y = f(x).g(x) liờn tc ti x0.
f ( x)
ã Hm s y =
liờn tc ti x0 nu g(x0) ạ 0.
g( x)
6. Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b] v f(a). f(b)< 0 thỡ tn ti ớt nht mt s c ẻ (a; b): f(c) = 0.
Núi cỏch khỏc: Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b] v f(a). f(b)< 0 thỡ phng trỡnh f(x) = 0 cú ớt
nht mt nghim cẻ (a; b).
M rng: Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b]. t m = min f ( x) , M = max f ( x) . Khi ú vi mi T
[ a; b ]
[ a; b ]

ẻ (m; M) luụn tn ti ớt nht mt s c ẻ (a; b): f(c) = T.
Baứi 1: Xột tớnh liờn tc ca hm s ti im c ch ra:
ỡ x+3 -2
ùù
khi x ạ 1 taù i x = -1
b) f ( x) = ớ x - 1
ù1
khi x = 1
ùợ 4
ỡ x-5
ỡ2 - 7x + 5x2 - x3
ù
ù
khi
x
ạ
2
f (x) = ớ x2 - 3x + 2
taùi x = 2 d) f ( x) = ớ 2 x - 1 - 3
ù1
ù( x - 5)2 + 3
khi x = 2
ợ
ợ
ỡ x -1
ỡ1 - cos x khi x Ê 0
ù
f ( x) = ớ
taù i x = 0
f) f ( x) = ớ 2 - x - 1

khi x > 0
ợ x +1
ù -2 x
ợ
Tỡm m, n hm s liờn tc ti im c ch ra:
ỡ 2
khi x < 1
f ( x) = ớ x
taùi x = 1
2
mx
3
khi
x

1
ợ

ỡx+3
ù
a) f ( x) = ớ x - 1
ùợ-1

c)

e)
Baứi 2:
a)

ỡ x3 - x2 + 2x - 2

ù
b) f (x) = ớ
x -1
ùợ3x + m

Trang 8

khi x ạ 1

khi x ạ 1

taù i x = 1

khi x = 1
khi x > 5

taùi x = 5

khi x Ê 5
khi x < 1

taù i x = 1

khi x 1

taùi x = 1

khi x = 1

www.mathvn.com



www.MATHVN.com

Trn S Tựng

c)

d)
Baứi 3:
a)

c)

ỡm
khi x = 0
ùù 2
x - x-6
f ( x) = ớ
khi x ạ 0, x ạ 3
taùi x = 0 vaứ x = 3
ù x( x - 3)
khi x = 3
ùợn
ỡ x2 - x - 2
ù
khi x ạ 2
f ( x) = ớ x - 2
taù i x = 2
ùợm

khi x = 2
Xột tớnh liờn tc ca cỏc hm s sau trờn tp xỏc nh ca chỳng:
ỡ x3 + x + 2
ỡ x2 - 3 x + 4
khi x ạ -1
ùù 3
ù
f ( x) = ớ x + 1
b) f ( x) = ớ5
ùợ2 x + 1
ù4
khi x = -1
ùợ 3
ỡ x2 - 2
ỡ x2 - 4
ù
ù
khi x ạ -2
d) f ( x) = ớ x - 2
f ( x) = ớ x + 2
ùợ-4
ù
khi x = -2
ợ2 2

khi x < 2
khi x = 2
khi x > 2
khi x ạ 2
khi x = 2


Baứi 4: Tỡm cỏc giỏ tr ca m cỏc hm s sau liờn tc trờn tp xỏc nh ca chỳng:
ỡ x2 + x
ỡ x2 - x - 2
khi x < 1
ù
ù
khi
x
ạ
2
a) f ( x) = ớ x - 2
b) f ( x) = ớ2
khi x = 1
ù
ùợm
khi x > 1
khi x = 2
ợmx + 1
ỡ x3 - x2 + 2 x - 2
ỡ x2
ù
khi x ạ 1
c) f ( x) = ớ
d)
f
(
x
)
=

ớ
x -1
ợ2mx - 3
ùợ3 x + m
khi x = 1
Baứi 5: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau cú 3 nghim phõn bit:

a) x3 - 3 x + 1 = 0
b) x3 + 6 x2 + 9 x + 1 = 0
Baứi 6: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim:
a) x5 - 3 x + 3 = 0

b) x5 + x - 1 = 0

khi x < 1
khi x 1

c) 2 x + 6 3 1 - x = 3
c) x4 + x3 - 3 x2 + x + 1 = 0

Baứi 7: Chng minh rng phng trỡnh: x5 - 5 x3 + 4 x - 1 = 0 cú 5 nghim trờn (2; 2).
Baứi 8: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca tham s:
b) x4 + mx2 - 2mx - 2 = 0

a) m( x - 1)3 ( x - 2) + 2 x - 3 = 0

c) a( x - b)( x - c) + b( x - c)( x - a) + c( x - a )( x - b) = 0 d) (1 - m2 )( x + 1)3 + x2 - x - 3 = 0
f) m(2 cos x - 2) = 2sin 5 x + 1

e) cos x + m cos 2 x = 0

Baứi 9: Chng minh cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim:
a) ax2 + bx + c = 0 vi 2a + 3b + 6c = 0

b) ax2 + bx + c = 0 vi a + 2b + 5c = 0

c) x3 + ax2 + bx + c = 0
ộ 1ự
Baứi 10: Chng minh rng phng trỡnh: ax2 + bx + c = 0 luụn cú nghim x ẻ ờ 0; ỳ vi a ạ 0
ở 3ỷ
v 2a + 6b + 19c = 0.

www.mathvn.com

Trang 9


www.MATHVN.com

Trần Sĩ Tùng
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV

Tìm các giới hạn sau:
1 + 2 + 3 + ... + n
a) lim
3n3

Bài 1.

n2 + 2 n


d) lim

(

Bài 2.

n2 - 3n - n2 + 1

)

2 cos n2
2

n +1
Tìm các giới hạn sau:
x2 - 5 x + 6

a) lim

x®3 x2

d) lim

- 8 x + 15

- 8 x3 + 6 x2 - 1
x3 - 2 x - 1

x®1 x5


- 2x -1
Tìm các giới hạn sau:

x®2 3 -

x+7

1+ 2x - 3

d) lim

x ®1

k) lim

3

x -1

x -1
Tìm các giới hạn sau:

x®0

Bài 4.

2 x2 - 3 x + 2
a) lim +
x+2
x®-2

d) lim-

2 x2 - 5x + 2

x®2

g) lim +

2

( x - 2)

8 + 2x - 2

x+2
Tìm các giới hạn sau:

x®-2

Bài 5.

a) lim

x®-¥

d) lim

x®+¥

Trang 10


2 x3 - 3 x2 + 4 x - 1
x4 - 5 x3 + 2 x2 - x + 3

2 x4 - x3 + x
4

2

3n + 1 - n - 1

8 x2 - 1

x®1 x4

h) lim

2

3x + 2 x - 7

x®0

l) lim

3

1 + x2 - 1
x


e) lim

2

( x - 3)

x®-¥

3

x®2

x+2 + x+7 -5
x-2

x+ x
x- x

i) lim+ ( x - 2 )

c) lim

)

x
2

x -4

(2 x - 3)2 (4 x + 7)3


x®+¥ (3 x3

+ x +1

x2 + 1 + x

4x - 2
x-2

x®2

x2 + x - 1

(

4 - x2 + 16

x®0

2

x®+¥ 2 x2

x2 + 1 - 1

f) lim+

2 x + 5x - 3


b) lim

i) lim

+ 2x - 3

3 x3 - 4 x + 1
c) lim +
x +1
x®-1

x2 + 3 x - 4
3x + 4
e) lim+
x®3 3 - x
x®-3

x2 - 1
x+8 -3

x®2

x®1

h) lim -

x4 - 8 x2 + 16
( x + 2)2 - 1

m) lim


2

x -1

b) lim-

x3 - 2 x2 - 4 x + 8

x®1 x2

x®0

)

x2 - 3 x

c) lim

1+ x - 3 1- x
x

x®0

3

n 2 - 2 - n3 + 2 n

x®-1


f) lim

)

x3 - 4 x2 + 4 x - 3

i) lim

+ 5x + 2

x+3 -2
3

(
l) lim (

x®2

2x + 7 - 3

h) lim

(-1)n+1 - 2.3n

h) lim 1 + n2 - n4 + n

f) lim

- 4x + 3
x+2


x®-2 2 x2

(-1)n + 4.3n

x®3

x3 - 3 x + 2

e) lim

n 2 + 2n
3n 2 + n + 1

c) lim

6 x2 - 5 x + 1

1
2

x®1

x + 7 - 5 - x2
x -1

3

g) lim


2

e) lim

x -2

x®4

n

1 + x2 - 1
b) lim
x®0
x

x-2

a) lim

( 3 n3 + 3n2 - n )

k) lim

x®

x®1 3 x4

Bài 3.

g) lim


c) lim
f) lim

35n+2 + 1

b) lim

2 x4 - 5 x3 + 3 x2 + 1

g) lim

25n+1 + 3

e) lim

2n2 + 3n - 1

g) lim
i) lim

æ n + 2 sin n ö
b) lim ç
+
÷
è n + 1 2n ø

+ 1)(10 x2 + 9)

f) lim ( x + x2 - x + 1)

x®- ¥

www.mathvn.com


www.MATHVN.com

Trn S Tựng

g)

lim

xđ - Ơ

k) lim

xđ-Ơ

Bi 6.

x2 + 1 - x
5 + 2x

x2 + 2 x + 3 x
2

h) lim

xđ-Ơ


l) lim

4x + 1 - x + 2
Xột tớnh liờn tc ca hm s:

ỡ1 - x
ù
a) f ( x) = ớ x2 - 2 x - 3
ùợ 2 x - 6

xđ-Ơ

(

(

x2 - x + 3 + x

5x + 3 1 - x
xđ-Ơ
1- x

i) lim

)

x2 + x - 2 x2 - 1 m) lim

khi x Ê 3

khi x > 3

)

trờn R

ỡ 12 - 6 x
khi x ạ 2
ù
c) f ( x) = ớ x2 - 7 x + 10
trờn R
ùợ2
khi x = 2
Bi 7. Tỡm a hm s liờn tc trờn R:
ỡù 2a 2 + 1
khi x Ê 1
ùù
3
2
a) f ( x) = ớ x - x + 2 x - 2
ùù
khi x > 1
ùùợ
x- 1
ỡ x2 + x - 2
ù
khi x ạ -2
c) f ( x) = ớ x + 2
ùợa
khi x = -2

Bi 8. Chng minh rng phng trỡnh:

xđ-Ơ

(

x2 + 2 x + x

)

ỡ1 - cos x
khi x ạ 0
ùù
2
b) f ( x) = ớ sin x
ti x = 0
1
ù
khi x = 0
ùợ 4

ỡù x2
khi x < 0
d) f ( x) = ớ
ti x = 0
ùợ1 - x khi x 0

ỡ x2 - 1
ù
b) f ( x) = ớ x - 1

ùợ x + a
ỡ x2 - 4 x + 3
ù
d) f ( x) = ớ x - 1
ùợax + 2

khi x ạ 1
khi x = 1
khi x < 1
khi x 1

a) x3 + 6 x2 + 9 x + 1 = 0 cú 3 nghim phõn bit.
b) m( x - 1)3 ( x2 - 4) + x4 - 3 = 0 luụn cú ớt nht 2 nghim vi mi giỏ tr ca m.

c) (m2 + 1) x4 x3 1 = 0 luụn cú ớt nht 2 nghim nm trong khong ( -1; 2 ) vi mi m.
d) x3 + mx2 - 1 = 0 luụn cú 1 nghim dng.
e) x4 - 3 x2 + 5 x 6 = 0 cú nghim trong khong (1; 2).
a
b
c
Bi 9. Cho m > 0 v a, b, c l 3 s thc tho món:
+
+ = 0 . Chng minh rng
m+ 2 m+1 m
phng trỡnh: f ( x) = ax2 + bx + c = 0 cú ớt nht mt nghim thuc khong (0; 1).
ổ m +1 ử
c2
HD: Xột 2 trng hp c = 0; c ạ 0. Vi c ạ 0 thỡ f (0). f ỗ
<0
ữ=m(m + 2)

ố m+ 2 ứ

www.MATHVN.com

www.mathvn.com

Trang 11


143 BAI TAP GIOI HAN DAY SO - HAM SO - WWW.MATHVN.COM
I H N DÃY S
3

lim

6n − 2n + 1

lim

lim

n 3 − 2n
n 2 + 4n − 5

1 − n + 2n

1 − 5n 2
+
lim
2n 2 + 3 5n + 1


lim

3

(

lim

n 2 + 4 + ... + 2n
3n + n − 2
1 + 2 + ... + n

lim

2

11n + n + 2

lim

3

lim

2.3n + 4n

(

(


3n − 1 − 2n − 1

( n + 1)

lim

2n − 1

(
lim (

lim

)

lim

4

3n + 1

)

n2 + n + 2 − n + 1

n

2
2

+
3
3

2

1
1
1+ +
5
5

2

lim

7 + 3.5n

)

lim

n

n +3 − n −5

n2

2n 2 + n + 1


3n − 2.5n

n +1 − n

1 + 2 + ... + n

lim

n. 1 + 3 + ... + (2n − 1)

1+

2

1 − 3n 2

n2 + 1 − n + 1
lim
3n + 2

3

lim

2n 2 − n

lim

n 6 + 5n 5


lim 1 + 2n − n 3

n + n + 3n + 2
2

2n 2 − n

n 6 − 7n 3 − 5n + 8
lim
n + 12

3

13 + 23 + ... + n 3 =

4n

lim
lim

3

3n 4 + 5
3n 3 + 2n − 1

3

13 + 23 + ... + n 3
4


lim

−2n 2 + n + 2

2n 2 − 3

lim

n 5 + n 4 − 3n

2n 2 − n + 3

lim

2

3

−3n 5 + 7n 3 − 11

lim 2n 4 − n 2 + n + 2

)

lim

n 3 − 5n + 7
7n 2 − 3n + 2
lim
n2 + 5


2n 4 + 3n − 2

lim

lim 3n 3 − 7n + 11

2n 3 − 4n 2 + 3n + 3

4n 3 + 6n 2 + 9

2n 3

n3 + n
lim
n+2

lim

5n 2 + n
n5 + n 4 − n − 2

lim

3n 3 + n 2 + 7

2

)


(

2
3

n

+ ... +

1
5

n

+ ... +

4 n − 5n
2n + 3.5n

n2 + n + 1 − n

lim

(

lim

)

n2 − n + 3 − n


(−3) n + 5n
( −3) n +1 + 5n +1

(

lim n 2 n − n 2 + 1

)

lim

1
n + 2 − n +1

GI I H N HÀM S

( 3x 2
x→ 2

1. lim

)

5. lim x 2 − 4

+ 11) x

4x + 2


x −3

3x 6 − 2x 5 + 5
3

x →−2
2

7. lim

x →9 9x − x 2

3x − x + 5

x →−∞

x 6 − 5x + 1

10. lim

3

( 3x

3. lim

2

x →1


6. lim

x→ 3

9. lim

( 7x

+ 7x + 11 2. lim

x3 − 2

11. lim

3

+ 1)( 2 − 3x )
7x + 11
4. lim 2 x 1 −
x →0
x
x +1
8. lim

x →−∞

x2 + 5
2

2x 4 − 3x + 5

x 4 − 2x 2
12. lim

3− x
3− x

x →−∞
x →−∞ 6x − 3x + 2
x →3
3x − 2
5x − 2
3− x
3− x
x+2 x
4 − x2
x3 + 2 2
13. lim
14. lim
15. lim
16. lim
17. lim
x →3 3 − x
x → 0+ x − x
x → 2− 2 − x
x →3− 3 − x
x →− 2 x 2 − 2

x →+∞

18. lim


x 4 − 27x

x →3 2x 2

22. lim

x →+∞

1

− 3x − 9

( x + 1)

19. lim

x 4 − 16

x →−2 x 2

x
2x 4 + x 2 + 1

20. lim 3

2x 5 + x 3 − 1

+


21. lim

x 2 + x + 2x
2x + 3

( 2x 2 − 1)( x3 + x ) x →−∞
23. lim ( 2x 3 − 5x 2 + 3x − 1) 24. lim 2x 4 − 5x 2 + 1
x →+∞
x →+∞
+ 6x + 8

x →+∞

)

www.MATHVN.com


2x + 1
x−2

25. lim

x → 2+

29. lim

x3 − 8

x →2 x 2


−4

x → 2−

lim

31.

x →( −3)

x →4 x 2

27 − x 3
x −1
lim
x →1 1 − x

x →3−

lim

x →−4 x 2

− 12x + 20

lim

x2 + 5 − 3
.

x−2

lim

x
1+ x −1

x →2

x →0

lim

4

x →7

6x 2 + 3 + 3x

x →−1

x →0

x −1

lim

x →1 x 2

x →3


lim

+ 2x − 3

x →0

5+ x − 5− x
x

1 + x − x2 + x + 1
x

lim

x →0

3− 5+ x
x →4 1 − 5 − x

lim

lim

x →2

7 + 2x − 5
x −3

lim


x →9

x →−∞

x 3 + 3x 2 + 2x

lim

x →−∞

lim +

x →−2

f (x) =

x5 − x − 6

8 + 2x − 2
x+2
mx 2
3

x2 − 1
x( x + 5) − 6

x −1

lim


+ 2x − 3
2 x − 3x
lim+
x →0 3 x − 2x

;x≤2

lim f (x)

f (x) =

x →2

;x>2

lim

1 − 3x + x 2 − 1 + x
x

x +1

lim

lim

x →0

4 − x2 − 2

9 − x2 − 3

x 2 − 4x + 3

x →+∞

x 2 + 3x − 4

(x − 1)2

lim

x 4 + 4x

x →+∞

x 4 − 5x 3 + 6
x 2 − 12x + 20

x 6 − 4x 4 + 4
x2 − x − 6

x →−∞

f (x) =

x2 −1

2x − 1 − x
x −1


x2 + 3 − 2

x3 − 2

x →−∞

2x − 3x + 1

x →1

x →1

x2 − 4

3

x →−∞ x 2

lim

lim

lim

x 2 − 25

lim

x →−1


x →−∞

x + 4 −3

x →5

3

x 2 + 4x

3x − 5 − 1
x−2

x →0

lim

x →−4

lim

lim

x 2 + 3x − 4

x2 − x − 6

1+ x − 1− x
x


x2 − x
x →1
x −1

− 5x − 2

x →+∞

x →6

lim

lim

x−2 −2
x−6

lim

x →0

x 2 + 3x − 10

lim

x →2

x 2 − 3x + 2


x− x+2
4x + 1 − 3

x 2 + 2x − 15
x+5

lim

1 + x + x2 −1
x

lim

(x − 1)2

x 3 + 4x 2 + 4x

x →−2

lim

lim

x →1

x →+∞ 3x 2

+ 2x − 3

3x − 2 − 4x 2 − x − 2


lim

lim

lim

x 2 − 4x + 3

x →1

x3 − 1
x →1 x(x + 5) − 6

x −3
2x + 10 − 4

lim

lim

lim

5−x
5− x

x →0

x2 + x +1 −1
3x


x2 − 4
x →2 x − 2

lim

x →5

9 − 3x 3

lim

x4 −1

x →1 x 2

2x 2 + x + 10

x →0

− 5x − 2

lim

x +1

lim

x2 − x


x2 +1

x →+∞

37. lim

x 2 + 2x − 15
lim
x →−5
x+5

x+9 −2
x−7

1 − 2x + x 2 − (1 + x )
x

lim

x → 2 3x 2

x2 − x − 6

x →−2

x −1

x3 − 5

lim


x →+∞

x 2 + 3x − 10

x 3 + 3x 2 + 2x

lim

33. lim

x2 + x

x →1+

lim

x 2 + 2x − 15
lim
x →3
x −3

x 2 − 5x + 6

x3 + 1 − 1

36. lim

− 4x


x 2 − 2x

x → 2+

)

x →0

x3 − 8

39. lim

(

2x 3 − 5x 2 + 3x − 1 28.

32. lim

x −2

35. lim

3− x

38. lim

x →+∞

( x + 3 )2


−

x2 − 3

x →− 3

27. lim

2x 2 + 5x − 3

x3 + 3 3

34. lim

2x + 1
x−2

26. lim

3x − 1 ; x ≤ 1

lim f (x)

x2 +1 ; x > 1

x 2 − 5x + 6

;x>2

mx + 4


;x≤2

x →1

Tìm m

hàm s có gi i h n

khi x → 2
lim x

2

x →+∞

lim

x →+∞

(

(

x2 + 1 − x2 − 2

)

lim


x →+∞

x 2 − 2x + 1 − x 2 − 6x + 3

)

(

x 2 − 7x + 1 − x 2 − 3x + 2

(

lim x − 4 − x 2 − 7 x + 2

x →+∞

)

)

lim

x →+∞

(

x 2 − 4x + 1 − x 2 − 9x

)


www.MATHVN.com


60 BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ
1, lim

n 2 - 2n + 1
3n 2 + n - 3

2, lim

4, lim

n n - n +1
n2 + 3

5, lim

2

8,

)

16, lim

4n 2 + n + 1
-n - 3

( 2n - 1)

n
3

19, lim

22, lim

2007

2007

- 3n

-1

2000

( n + 1) - 3n
lim
2
( 2n - 1)

3n - n + 1
2

n 3 + 3n + 1 - 3n 2 + 4
3n - 1

(


4n + 1 2n 2 - 4n + 2

)

2

( 2n

)(

( 2n - 1)

55, lim
58, lim

+ n - 2n + 1
3

44, lim

2n + 3n - 2
n2 + n + 5 - n
n2 + 2 - n

)

)

2n 2 + 1 - 2n 2 + n + 1


n + 1 - n2 + 2
3

)

n 3 + 2n 2 + 1 - n

)

n +3
1 + 2 + 3 + ... + n
n2

n

(

3n 2 + 1 + n 2 + 2n - 1
5n - 3n + 2

n + 2 n ( 3n - 1)
n n - 2n + 6

n3 + 7

(

4n 2 - 1 + 2n - 1

( 3n - 2 )


33, lim

( -2 ) + 3 n
n
( -2 ) - 3n +1

(

)

36, lim - n 3 + 4n - 1

(

)

39, lim

( 2n

)

(

42,

- 1 - ( n + 1)
2


( 4n + 3)

n 2 - 3n + 1 - 2n

(

45, lim

3

)

)

n + 3 - n +1

n 2 + 3n + 3 n 3 + n 2 - 2n

- n

)

n2 + 2 - n n
n 2 + 4n + 2 - n + 2

(

3n + 2

57, lim

60, lim

)

n n + 3n - 1
5n + 7

54, lim n + 5

)

2

)

3n + 2

(
51, lim (

2n + 1 - n

(

n - 3 n +1

48, lim

)


2n - 5 - n + 2

(

( n - 1)
lim

4

4n 2 - 3n + 1 - 2n

53, lim n

)

2

n

2 n +1 + 3n +1
2 n + 3n

2

)

2

30, lim


2n + 4

(
50, lim (

59, lim

n +1 - 2

3

2

56, lim

)

2

-2n n - 4n + 1

27, lim

4

n 2 - n + 3 ( 4n - 7 )

47, lim

1


(

2

( 2n + 1) - ( 3n - 1)

38, lim 2n - n 3 + 1

4

(
49, lim (
52, lim (

24, lim

3n 2 + 3n - 1
41, lim 3
2n - 2n + 1
3

4

n 3 + n 2 - 2n - 4n

18, lim

21, lim


4

35, lim n 2 - 3n - 10

46, lim

)

3

+ 3n - 1 2n + 6

5 n - 3n
5 n +1 + 3n + 2

2n 2 - n
40, lim
n +1

3

3n n - 2n + 1

34, lim

)

)(
+ 1)


2

32, lim

(

( n + 1 ) - ( n - 1)
lim
4
4
( n + 1 ) + ( n - 1)

15, lim

+ 2 -3n - 1

2 n + 3n
3n + 1

37, lim -2n 4 - 3 n + 1

n

3

n 3 + 1 - n 2 + 2n

( 5n

n + ( -1)


2

2n 2 + 1 - n 2 + 1
n +1

2

n +3

( n - 3)( -2n + 4n - 1)
12, lim
( 6n + 2n - 1) ( 2n - 1)

)

8n 4 + 4n 3 - 1

( 3n - 1) ( n

29, lim

n 5 + 3n - 1

)(

-6n - n + 1

23, lim
26, lim


9,

+ 3n + 6 2n 2 - n - 1

2

( n + 1)( 2n - 5 )
( 3n - 1)( n + 2 )

4

31, lim

43, lim

6, lim

n 2 + 1 - 3n - 1

20, lim

n 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n + 1)

28, lim

n 3 - 4n + 1
-4n 3 + n 2 - 2

17, lim


2n - 4 n + 7

3

- n + 3n - 1

14, lim

8n 3 + 2n - 1 + 3n

25, lim

3, lim

2

(n
11, lim

- 1 ( 3n + 2 )

- n 3 + 2n - 1

13, lim

( n + 1)( n + 2 )

2


4n + 6
7, lim
n -1

(n
10, lim

www.MATHVN.com

(

)

)
n-2)

2n + 3 - 2n - 1

(

2n - 1 n +3

3

n 3 + 3n 2 + 1 - n 2 + 2n

)


www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán,..


MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
3

1  x  3 x 1
1. lim
x 0
x
x 6  6x  5
3. lim
2
x 1
x  1
x  x 2  x 3  ...  x n  n
, n, p  *
5. lim
2
3
p
x 1 x  x  x  ...  x  p



 m
n 
, m, n  *, m  n
7. lim 

m
n

x 1 
1  x 
1  x







cos x  3 cos x
9. lim
x 0
sin2 x



2  1  cos x

17. lim

2

tan x

x 0

x2

19. lim

x 0

1  x sin x  cos x
x x x

21. lim

x 

x 0

1  ax  1
x
1  2x . 3 1  3x  1
x

x 0



11. lim

n

8. lim
10. lim

1  x .m 1  x  1
, m, n  *
x 0

x
x
13. lim 1  x  tan
x 1
2
1  cos x . cos 2x . cos 3x ... cos nx
15. lim
x 0
x2
n

3x 2  1  2x 2  1
2. lim
x 0
1  cos x
4  x2
4. lim
x 2
x
cos
4
n
x  nx  n  1
6. lim
2
x 1
x  1

x 1


tan x  sin x
x 0
x3
1  cos x . cos 2x . cos 3x
14. lim
x 0
x2
sin 3x
16. lim

x  1  2 cos x
12. lim

3

1  sin 2x  1  sin 2x
x 0
x
  cos x 

cos 
 2 
20. lim
x  0 sin tan x


18. lim

22. lim  3 x  a x  b x  c   x 
x  





23. lim  x  x  x  x 
x  



24. lim



25. lim n x  a1 x  a2  ... x  an   x 
x  


26. lim

n

27. lim

x 0

29. lim

x 0

1  x 1

x

1  cos x
1  cos

 x

x 

x

2

 2x  2 x 2  x  x



x  a  x a

x a

x 2 a2
3

28. lim

x 0

30. lim


x
x
 4 1
3
4
x
1 1
2

1

x 

x

2

 5x  x 2  3x  3




www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán,..

x2  4

31. lim

2  3 3x  2


x 2

x a

a x na
34. lim
x 0
x

x  2  3 x2  x  1
33. lim
x 1
x2 1

n

3

3

35. lim

1x  1x

x 0

x  11  3 8x  43
2x 2  3x  2

37. lim


x 2

1  sin x  1  sin x
tan x

36. lim

x

x 0

x b  a b
x2  a2

32. lim

n

38. lim
x 0

2x  1  3 x 2  1
39. lim
x 0
sin x

1  ax  m 1  bx
x


x  2  3 x  20

40. lim
x 7

1  4x  3 1  6x
41. lim
x 0
x2
1  cos x cos 2x cos 3x
43. lim
x 0
1  cos x

4

x92

(a  x )sin(a  x )  a sin a
0
x

42. lim
x

2 sin 2 x  sin x  1
44. lim
x 0 2 sin 2 x  3 sin x  1
1  cos x cos 2x 3 cos 3x
x 0

1  cos 2x

1  cot3 x
3
x  2  cot x  cot x
4

46. lim

45. lim

ĐÁP SỐ
1)

5
6

2) 4

3) 15

7)

m n
2

8)

a
n


9) 

1
12

4)

16


10) 2

14) 7

18) 2

19)

4
3

25)

1
a  a2  ...  an  26)
n 1

1
4


29) 0

30) 4

n

a
an
112
40)
27
34)

44) 1

35)

2
3

41) 2
45)

3
4

20) 0

32)


36) 1

37)

1
2a

2
3

 

n m

n n  1

12)
17)

2

1
2

1
4 2

1
1

a  b  c  23)

3
2

27)

1
n

a4 a b

7
270

6)

22)

1

42) sin a  a cos a
46)

p p  1

16)  3

21) 1


31) -16

n n  1

11)

12  22  ...  n 2
15)
2

2
13)


24) 

5)

38)

28)

7
36

33)

1
3


am  bn
39) 1
mn

43) 14


-Tài liệu Toán 11 Nâng cao-

www.MATHVN.com

Bài tập Chương 3. DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Dạng 1. Chứng minh quy nạp

-PP: Chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi n ∈ , n ≥ p .
+(Bước cơ sở) *Kiểm tra A(p) đúng.
+(Bước quy nạp) *Giả sử A(k) đúng (với k ≥ p ). Ta chứng minh A(k+1) cũng đúng. Từ đó suy ra
mệnh đề đúng với mọi n ∈ , n ≥ p ./.
-Một số bài toán.
Bài 1. Chứng minh bằng quy nạp.
a) 1.2 + 2.5 + ... + n.(3n − 1) = n 2 (n + 1), ∀n ∈ * ;
1 
1 
n+2
 1   1 
b) 1 −  1 −  1 −  ... 1 −
, ∀n ∈ * ;
=
2 
 4   9  16   (n + 1)  2(n + 1)

n5 n 4 n3 n
c) 33 n+3 − 26n − 27169, ∀n ∈ * ;
d)
+ + −
luôn là số nguyên với ∀n ∈ * ;
5 2 3 30
1
1
1
1
n
e)
+
+
+ ... +
=
, ∀n ∈ * ;
1.4 4.7 7.10
(3n − 2)(3n + 1) 3n + 1
(−1) n −1 n(n + 1)
, ∀n ∈ * ;
2
π
2π
nπ
nπ
(n + 1)π
g) sin + sin
+ ... + sin
= 2sin

sin
, ∀n ∈ * ;
3
3
3
6
6
n
4
(2n)!
i) x 2 + x 2 + ... + x 2 < x + 1, ∀n ∈ * (n dấu căn);
h)
<
, ∀n ∈ , n > 1;
2
n + 1 (n !)
f) 12 − 22 + 32 − ... + (−1) n −1 n 2 =

1
2
2n
1
2n +1
+
+ ... +
=
+
, ∀n ∈ * , x ≠ 1;
j)
2

2n
2n+1
1+ x 1+ x
x −1 1 − x
1+ x
Bài 2. Cho n số dương xi , i = 1,..., n(n ≥ 2) . Chứng minh rằng:
(1 + x1 )(1 + x2 )...(1 + xn ) > 1 + x1 + x2 + ... + xn
Bài 3. Gọi a là một nghiệm của phương trình: x 2 − 3x + 1 = 0 . Chứng minh rằng xn = a n +
với ∀n ∈  .

1
= 3 và xk +1 = x1.xk − xk −1 .
a
Bài 4. Giả sử cosθ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng với ∀n ∈ * , cos nθ cũng là số hữu tỉ.
HD. + cos(n + 1)θ = cos nθ cos θ − sin nθ .sin θ .
HD. + a 2 + 1 = 3a ⇔ a +

Dạng 2. Toán dãy số.
*Tìm các số hạng của dãy số.
1. Cho dãy số (un) xác định bởi: un =
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy.

2n + 5
.
n2 + 1
b) Tìm n sao cho un =

1
.
5


(ĐS. b) n=12 )

 2n
 n − 1 khi n chan
2. Cho dãy số (un) xác định bởi: un = 
.
 n − 1 khi n le
 n + 1
a) Viết 4 số hạng đầu của dãy.
b) Chứng minh mọi số hạng của dãy đều khác nhau.
-Trang 1WWW.MATHVN.COM

1
là số nguyên
an


-Tài liệu Toán 11 Nâng cao-

www.MATHVN.com

nπ
.
3
a) Viết 6 số hạng đầu của dãy.
b) Chứng minh dãy số chỉ nhận hữu hạn giá trị.
4. Cho dãy số (un) xác định như sau: un là số dư khi chia n cho 6.
a) Xác định 7 số hạng đầu của dãy;
b) Nếu um = un, chứng minh rằng : m − n  6 .

*Tìm công thức tổng quát của dãy số.
1. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=5 và un+1=3.un , ∀n ∈ * . Chứng minh rằng: un=5.3n-1.
2. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1 và un+1=3.un + 2n, ∀n ∈ * .
1
5
Chứng minh rằng: un = − − n + .3n −1 .
2
2
1 − 2n
, n ∈ * .
3. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1 và un+1=3.un +
2
1
Chứng minh rằng: un= ( 3n −1 + n ) .
2
*Xét tính đơn điệu của dãy số.
1. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:
n!
2011 − n
2011n − 1
(−1) n
a) un =
;
b) un =
;
c)
u
=
;
d)

u
=
n
n
2011n + 1
n +1
n + 2011
n
5
2. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=3 và un+1= .u1 , ∀n ∈ * .
3
a) Chứng minh rằng dãy (un) tăng;
b) Tìm n để un > 10000
2u + 3
3. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1và un+1= n
, ∀n ∈ * .
3
a) Chứng minh rằng (un) bị chặn bởi 3;
b) Chứng minh (un) là dãy tăng.
2
2 + un
3. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 3, un+1 =
, ∀∈ * . Chứng minh dãy (un) giảm.
2un
*Xét tính bị chặn của dãy số.
1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau đây:
3n + (−1)n +1
2n + 3
n
a) un =

; b) un =
;
c) un =
; d) un = 2n 2011 + 1 ;
2
2n + 2
2n + 1 + 2n − 1
2n + 1
1
1
1
e) un = 2 sin( n + 1) − 3cos n;
f) un =
+
+ ... +
;
n +1 n + 2
n+n
1
1
1
sin 2 1 sin 2 2
sin 2 n
g) un =
+
+ ... +
;
i) un =
+
+ ... +

1.2
2.3
n(n + 1)
n n +1
n n +2
n n +n
3. Cho dãy số (un) xác định bởi: un = cos

(

)

(

)

(

)

2*. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1, u2 = 2 và un+1 = un +
a) Bằng quy nạp chứng minh rằng: un +1 = un +

1
. Từ đó suy ra dãy (un) tăng.
un

un
. Chứng minh dãy số (vn) bị chặn.
n

*Một số bài toán khác.
b) Đặt vn =

WWW.MATHVN.COM

un −1
,n ≥ 2.
1 + un2−1

-Trang 2-


-Tài liệu Toán 11 Nâng cao-

www.MATHVN.com

1 + un+1
.
un
Chứng minh rằng: un+5 = un, với mọi n (tức dãy un tuần hoàn).
2. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1 và um+n = um +un +mn, ∀m, n ∈ * .
n(n + 1)
a) Chứng minh rằng: un+1= un + n + 1;
b) Chứng minh rằng: un =
.
2
1
3. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=
và n.un+1=(n+1).un +1 , ∀n ∈ * .
2007

n
n
a) Chứng minh rằng: un=
+ n −1 ;
b) Tính tổng ∑ ui .
2007
i =1
4. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1, u2=-7 và un+2=5.un+1 + 6un , ∀n ∈ * .
1
13
Chứng minh rằng: un= − .6n − .(−1) n .
7
7
1. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1, u2=2 và un+2=

Dạng 3. Cấp số cộng.
*Xác định các yếu tố của cấp số cộng.
1. Cho cấp số cộng: 2, 5, 8, 11,… Tìm a1, d, un, Sn ?
2. Xác định số hạng đầu, công sai và số hạng thứ n của các cấp số cộng biết rằng:
u7 = 27
u9 = 5u2
 S12 = 34
;
b) 
;
c) 
;
d) Sn = 3n + n2;
a) 
=

59
=
2
+
5
=
45
u
u
u
S
6
 15
 13
 18
u5 = 10
S
S
S
e) 
;
f) 20 = 10 = 5 ;
g) S20 = 2.S10 , S15 = 3.S5
5
3
2
 S10 = 5
3. Tổng ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bằng 2 và tổng các bình phương của ba số đó bằng 14/9.
Xác định ba số đó và công sai? (ĐS: (1;2/3;1/3) và (1/3;2/3;1))
19


4. Cho cấp số cộng (un) thoả : u4 + u8 + u12 + u16 =16. Tính

∑u ?
i =1

5. Cho một cấp số cộng thoả:

i

(ĐS: 76)

u
Sn n2
4013
= 2 (m ≠ n). Tính tỉ số 2007 ?(HD. d=2u1 nên tỉ số=
)
Sm m
u1945
3889

6. Tìm n ∈  , biết:
a) (2n+1)+(2n+2)+…+(2n+n) = 2265 (ĐS: n=30)
n −1 n − 2
1
b)
+
+ ... + = 2007 (ĐS: n=4015)
n
n

n
*Chứng minh một dãy là cấp số cộng.
1. Cho dãy số (un) xác định bởi: un+1=3.un – un-1 + 3 , ∀n ≥ 2 .
Chứng minh rằng dãy vn =2.un – un-1 là một cấp số cộng. Xác định v1 và d của (vn)?
1
2. Cho dãy số (un) thoả mãn: un – un+1 + 3=
, ∀n ∈ * .
n(n + 1)
1
a) Chứng minh rằng dãy vn = un - , ∀n ∈ * lập thành một cấp số cộng?
n
b) Từ đó, tìm số hạng tổng quát của dãy (un) biết u1 = 2?
3. Chứng minh rằng trong ∆ABC : cotA, cotB, cotC thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a2, b2, c2
thứ tự lập thành cấp số cộng.
*Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số cộng.
1. Cho cấp số cộng (un). Chứng minh các hệ thức sau:
WWW.MATHVN.COM

-Trang 3-


-Tài liệu Toán 11 Nâng caowww.MATHVN.com
1
1
a) un = (un − k + un + k ), ∀n > k ;
b) S 4 n − S 2 n = S 6 n ; c) (q-r)ap + (r-p)uq + (p-q)ur = 0;
2
3
d) u1 + un = uk + un-k+1 ;
e) Sn+3 + 3Sn+1 = 3Sn+2 + Sn;

f) 2(S3n – Sn) = S4n;
1
1
1
n −1
g)
+
+ ... +
=
;
a1a2 a2 a3
an −1an a1an
1
1
1
1 1 1
1 
+
+ ... +
=  + + ... +
 , ai > 0 ;
a1 + a3 a3 + a5
a2 n −1 + a2 n +1 2  a2 a4
a2 n 
1
1
1
n −1
i)
+

+ ... +
=
, ai > 0 ;
a1 + a2
a2 + a3
an −1 + an
a1 + an
2. Cho a, b, c lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng:
(i) a2 + 2bc = c2 + 2ab;
(ii) 8b3 – a3 – c3 = 6abc
1 1 1
a2
3. Cho các số a, b và a+b khác 0 sao cho ,
, theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính tỉ số 2 ?
a a+b b
b
h)

Dạng 4. Cấp số nhân.
* Xác định các yếu tố của một cấp số nhân.
1. Cho cấp số nhân: 2, 6, 18, 54, … Tính u1, q, un, Sn ?
2. Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân (un) sau:
a) u7 = - 5 và u10 = 135;
b) u10 = 32 2 và u15 = 16.u7;
c) u7 – u5 =11 và S12= 80;
u2 + u4 + u6 = 91
u1 + u2 + u3 = 35
u4 − u2 = 54
;
e) 

;
f) 
d) 
u3 + u5 = 30
u4 + u5 + u6 = 180
u5 − u3 = 108
b a
3. Cho a, b > 0. Hãy chen 5 số giữa hai số
;
để dãy tạo thành là một cấp số nhân?
a b
4. a.Tìm x, y biết rằng x, y, 12 lập thành một cấp số nhân và x, y, 9 lập thành một cấp số cộng theo thứ tự?
(ĐS: (3;6) và (27;18))
b. Tìm x, y biết rằng 1, x2, y2 lập thành một cấp số cộng và 2, x+2, y-3 lập thành một cấp số nhân theo thứ
tự?
π
π


5. Tìm x biết rằng ba số cos  x −  ,sin x, cos  x +  theo thứ tự lập thành một cấp số nhân? (ĐS:
4
4


π
x = ± + kπ , k ∈  )
6
6. Cho cấp số nhân x, y, z. Tìm x, y, z biết:
1 1 1
x < y < z

 x + y + z = 14
 xyz = 64

a)  3
;
b) 
;
c)  xyz = 216
;
3
3
x
y
z
584
+
+
=
7

 xy + yz + zx = −

 x + y + z = 19

108
7.Tính các tổng sau:
a) A = 1 + 2011 + 20112 + … + 2011n;
1 1 1
1
b) B = − + − + ... + (−1) n n ; c) C = 1 + 2.3 + 3.32 + …+ 2011.32010 (HD: 3C–C=2C)

2 4 8
2
2

2

2

1 
1 
1 


d) D =  x +  +  x 2 + 2  + ... +  x n + n  , ( x ≠ ±1,0) ;
x 
x 
x 


2
3
n
e) E = x + 2x + 3x + … + nx ;
8. Cho ∆ABC có sinA, sinB, sinC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và C – A = 60o. Tính góc B?
WWW.MATHVN.COM

-Trang 4-


-Tài liệu Toán 11 Nâng caowww.MATHVN.com

2
9. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x – x + A = 0 và x3, x4 là hai nghiệm của phương trình:
x2 – 4x + B = 0. Tính A, B biết rằng x1, x2, x3, x4 lập thành một cấp số nhân tăng?
10. Cho cấp số cộng (un) và cấp số nhân (vn) thoả mãn: u1 = v1 =2, u2 = v2, v3 = u3 + 4. Xác định cấp số
cộng và cấp số nhân đó.
*Chứng minh một dãy số là cấp số nhân.
n

1
1. Chứng minh dãy số (un) sau là một cấp số nhân: un = 3.   ;
7
2. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 2, un+1 = 3 + 4un.
a) Đặt vn = un + 1. Chứng minh rằng dãy số (vn) là một cấp số nhân? Tìm công thức của vn ?
b) Tìm công thức tổng quát của un ?
3. Chứng minh rằng:
a) Nếu x, y, z lập thành một cấp số nhân thì xy, y2, zy cũng lập thành một cấp số nhân.
b) Nếu bốn số dương x, y, z, t lập thành một cấp số nhân thì ba số xy , yz , zt cũng lập thành một cấp
số nhân.
4. Cho cấp số nhân a1, a2, …, an, … có công bội q ≠ 1 . Chứng minh rằng:
1 1
1
a) Dãy số , ,..., ,... là một cấp số nhân và tính công bội của nó?
a1 a2
an
a a
a
b) Dãy số 3 , 4 ,..., n + 2 ,... là một cấp số nhân và tính công bội của nó?
a1 a2
an
*Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số nhân.

1. Cho (un) là một cấp số nhân với công bội q. Chứng minh rằng:
b) Sm + qm.Sn = Sn + qn.Sm , với mọi m,n.
a) u1.un = uk .un − k +1 ,1 ≤ k ≤ n ;
2. Cho x, y, z là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh:
a) (x+y+z)(x-y+z)=x2 + y2 + z2;
b) x2 + 4z2 – 4xy + 8yz = (x – 2y – 2z)2;
1 1 1
c) x + y + z = xz  + +  , xyz ≠ 0;
d)
x+ y+ z
x + z − y = x+ y+ z ;
x y z
3. Cho cấp số cộng dương (un) và cấp số nhân dương (vn) thoả mãn: u1 = v1 và u2 = v2.
Chứng minh vn ≥ un , ∀n ∈ * .

(

)(

******************************

WWW.MATHVN.COM

-Trang 5-

)


ĐI TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
DÃY SỐ


2  2  ...  2

lim
x

un  un*  uˆn
2n1  1
un  n1
2
TRẦN DUY SƠN
Xuân kỷ sửu 2009
1


Đi tìm công thức tổng quát dãy số

Trần Duy Sơn

Giới thiệu
Dãy số là một phần của Đại số cũng như Giải tích toán học. Dãy số đóng một vai trò cực kì
quan trọng trong toán học cũng như nhiều lĩnh vực của đời sống. Trong các kì thi HSG quốc gia,
IMO (Olympic toán học quốc tế), hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học các bài
toán về dãy số được xuất hiện khá nhiều và được đánh giá ở mức độ khó. Các bạn học sinh cũng
đã được làm quen với dãy số từ rất sớm, từ hồi tiểu học chúng đã được làm quen với các bài toán
về dãy số như: tìm quy luật của một dãy số đơn giản,…
Đây không phải một giáo trình về lí thuyết dãy số mà chỉ là một chuyên đề nhỏ trình bày một
vấn đề nhỏ trong lĩnh vực dãy số. Tập tài liệu này gần như một bài viết mở, như một cuộc trao
đổi, trò chuyên, trình bày con đường đi tìm công thức tổng quát của một số dạng dãy số cơ bản,
từ đó ứng dụng để giải một số bài toán.

Do đây là chuyên đề đầu tay của tôi, nên nội dung cũng như cách trình bày trong tài liệu này
chắc chắn còn nhiều thiếu xót, rất mong bạn đọc thông cảm và có ý kiến đóng góp để bài viết
được hoàn thiện. Mọi ý kiên đóng góp, phản hồi xin gửi về địa chỉ hòm thư:

Trần Duy Sơn
Xuân kỷ sửu 2009

2
______________________________________________________________________________
The love makes us stronger


Đi tìm công thức tổng quát dãy số

Trần Duy Sơn

Một số kí hiệu dùng trong tập tài liệu




CSN – Cấp số nhân
CSC – Cấp số cộng
CTTQ – Công thức tổng quát

3
______________________________________________________________________________
The love makes us stronger



Đi tìm công thức tổng quát dãy số

Trần Duy Sơn

Mục lục
Trang
Đi tìm công thức tổng quát dãy số………………………………………………………...

5

Phương trình sai phân tuyến tính………………………………………………………….

14

Sử dụng phép thế lượng giác để xác định CTTQ dãy số…………………………………

16

Các bài toán dãy số chọn lọc……………………………………………………………...

18

Bài tập đề nghị…………………………………………………………………………….

20

Tài liệu tham khảo………………………………………………………………………...

21


4
______________________________________________________________________________
The love makes us stronger