Bất đẳng thức dạng hermite hadamard fejér cho hàm p lồi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (327.62 KB, 43 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–
NINH THỊ LƯU
BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG
HERMITE–HADAMARD–FEJÉR CHO HÀM P -LỒI
THÁI NGUYÊN – 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–
NINH THỊ LƯU
BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG
HERMITE–HADAMARD–FEJÉR CHO HÀM P -LỒI
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 8 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY
THÁI NGUYÊN – 2019
i
Mục lục
Bảng ký hiệu
1
Mở đầu
2
1 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi 4
1.1
1.2
Hàm lồi. Hàm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.1
Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.2
Hàm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Féjer . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.1
Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer . . . .
7
1.2.2
Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm
p-lồi
2.1
2.2
19
Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm p-lồi
19
2.1.1
Hàm p-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2
Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer . . . . 21
Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Kết luận
39
Tài liệu tham khảo
40
1
Bảng ký hiệu
R
Rn
I
I◦
L[a, b]
tập số thực
không gian Euclid n-chiều
tập con của tập số thực R
phần trong của tập I
không gian các hàm khả tích trên đoạn [a, b]
2
Mở đầu
Cho f : C ⊂ R → R là một hàm lồi xác định trên tập con C của tập số thực R và
a, b ∈ C với a = b. Bất đẳng thức
a+b
2
f
1
b−a
≤
b
f (x)dx ≤
a
f (a) + f (b)
2
(1)
nổi tiếng được biết dưới tên gọi bất đẳng thức Hermite–Hadamard (xem [4]).
Hầu hết các bất đẳng thức nổi tiếng liên quan đến giá trị trung bình của tích phân
của hàm lồi f đều ở dạng bất đẳng thức Hermite–Hadamard hoặc dạng trọng số của
nó, bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Féjer.
Trong [3], Fejér xây dựng bất đẳng thức, mang tên ông Fejér, mở rộng của bất
đẳng thức Hermite–Hadamard (1):
f
a+b
2
b
b
w(x)dx ≤
a
f (x)w(x)dx ≤
a
f (a) + f (b)
2
b
w(x)dx,
(2)
a
a+b
.
2
Trong trường hợp hàm f : C ⊂ (0; ∞) → R là hàm p-lồi, p ∈ R \ {0}, và a, b ∈ C với
ở đây w : [a, b] → R là một hàm không âm, khả tích và đối xứng ứng với
a < b, bất đẳng thức Hermite–Hadamard được xây dựng ở dạng
f
ap + b p
2
1/p
≤
p
p
b − ap
b
a
f (x)
f (a) + f (b)
dx ≤
,
1−p
x
2
(3)
nếu hàm f khả tích trên đoạn [a, b].
Nhiều tác giả đã xây dựng các bất đẳng thức mới dạng Hermite–Hadamard–Féjer
cho một số lớp hàm lồi khác nhau và đưa ra các ứng dụng đánh giá một số giá trị
trung bình đặc biệt từ các bất đẳng thức này. Mục tiêu của đề tài luận văn là tìm
hiểu và trình bày lại một số bất đẳng thức mới dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho
hàm p-lồi trong [6] và [7] công bố năm 2016 và 2017.
3
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, nội dung chính gồm 2 chương với bố cục
cụ thể như sau:
Chương 1. Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho
hàm lồi
Chương này giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hàm lồi, hàm đối xứng và một
số bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi cùng một số ví dụ áp
dụng. Nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1]–[8].
Chương 2. Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho
hàm p-lồi
Chương này giới thiệu khái niệm hàm p-lồi, trình bày mối liên hệ giữa hàm p-lồi
và hàm lồi và trình bày một số bất đẳng thức mới dạng Hermite–Hadamard–Féjer
cho hàm p-lồi cùng một số áp dụng đánh giá một số bất đẳng thức khác. Nội dung
của chương được tham khảo từ hai bài báo [6] và [7] công bố năm 2016 và 2017.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
Lời đầu tiên tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo PGS.TS. Nguyễn
Thị Thu Thủy. Cô đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc
mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
tới cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến
thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành luận văn.
Cảm ơn sự giúp đỡ của bạn bè, người thân và các đồng nghiệp trong thời gian làm
luận văn.
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2019
Tác giả luận văn
Ninh Thị Lưu
4
Chương 1
Bất đẳng thức tích phân dạng
Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm lồi
Chương này trình bày một số bất đẳng thức cho hàm lồi, hàm đối xứng được kết
nối với bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer. Nội dung của chương
được viết trên cơ sở tổng hợp từ các tài liệu [1]–[8].
1.1
Hàm lồi. Hàm đối xứng
1.1.1
Hàm lồi
Cho hai điểm a, b ∈ Rn . Tập tất cả các điểm x = (1 − λ)a + λb với 0 ≤ λ ≤ 1 gọi là
đoạn thẳng (đóng) nối a và b, và được ký hiệu là [a, b].
Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]). Tập C ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu nó chứa đoạn thẳng
nối hai điểm bất kỳ thuộc nó; nói cách khác, nếu (1 − λ)a + λb ∈ C với mọi a, b ∈ C và
mọi 0 ≤ λ ≤ 1.
Ví dụ 1.1.2. Các tập sau đây đều là các tập lồi:
(a) Các tập afin, các siêu phẳng, các nửa không gian đóng, các nửa không gian mở.
(b) Hình cầu đóng tâm a bán kính r > 0: B(a, r) = x ∈ R : x − a ≤ r , hình cầu
mở tâm a bán kính r > 0: B(a, r) = x ∈ R : x − a > r .
Định nghĩa 1.1.3 (xem [1]). Hàm f : C → R xác định trên một tập hợp lồi C ⊆ Rn
5
gọi là một hàm lồi trên C nếu với mọi x1 , x2 ∈ C và mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta có
f (1 − λ)x1 + λx2 ≤ (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 ).
Hàm f gọi là hàm lồi chặt trên C nếu với mọi x1 , x2 ∈ C , x1 = x2 và mọi λ ∈ (0, 1)
ta có
f (1 − λ)x1 + λx2 < (1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 ).
Hiển nhiên một hàm lồi chặt là hàm lồi, nhưng điều ngược lại nói chung không
đúng.
Định nghĩa 1.1.4 (xem [1]). Hàm f gọi là một hàm lõm (lõm chặt) trên C nếu −f
là hàm lồi (lồi chặt) trên C .
Nếu n = 1, Định nghĩa 1.1.3 cho ta định nghĩa về hàm lồi một biến trên R.
Định nghĩa 1.1.5 (xem [1]). Hàm f : [a, b] ⊂ R → R được gọi là hàm lồi nếu với mọi
x1 , x2 ∈ [a, b] và λ ∈ [0, 1] thì
f λx1 + (1 − λ)x2 ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).
(1.1)
Tính chất 1.1.6. Một số phép toán cơ bản bảo toàn hàm lồi:
(a) Nếu fi : Rn → R, i = 1, . . . , m, là các hàm lồi thì α1 f1 + · · · + αm fm cũng là hàm
lồi với mọi αi ≥ 0 và là hàm lồi chặt nếu ít nhất một trong các hàm fi lồi chặt
với αi > 0, i = 1, . . . , m.
(b) Nếu fi : Rn → R, i ∈ I , là hàm lồi thì f (x) = supi∈I fi (x) cũng là hàm lồi, ở đây I
là tập chỉ số.
(c) Nếu A : Rn → Rm là một ánh xạ tuyến tính và g : Rm → R là một hàm lồi thì
hàm hợp f (x) = g(Ax) cũng là hàm lồi.
Định lý 1.1.7 (xem [1]). Cho C là một tập lồi, khác rỗng trong Rn và f : Rn → R
là một hàm lồi. Khi đó, mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên C đều là cực tiểu
toàn cục.
Chứng minh. Giả sử x0 ∈ C là một điểm cực tiểu địa phương của hàm f trên C và
U (x0 ) là một lân cận của x0 sao cho f (x0 ) ≤ f (x) với mọi x ∈ C ∩ U (x0 ). Khi đó, với
mọi x ∈ C ta có
xλ = λx + (1 − λ)x0 ∈ C ∩ U (x0 )
với mọi λ > 0 đủ bé.
6
Suy ra,
f (x0 ) ≤ f (xλ ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (x0 )
hay f (x0 ) ≤ λf (x). Do λ > 0 nên f (x0 ) ≤ f (x). Vì x ∈ C được chọn tùy ý nên x0 là
điểm cực tiểu toàn cục của f trên C .
Định lý 1.1.8 (xem [1]). Một hàm lồi chặt f trên một tập lồi C có nhiều nhất một
điểm cực tiểu trên C .
Chứng minh. Nếu f có hai điểm cực tiểu khác nhau x1 , x2 ∈ C thì do tính lồi chặt
của f ,
f
1 1 1 2
x + x < f (x1 ) = f (x2 ),
2
2
điều này vô lý.
Ví dụ 1.1.9. Hàm lồi chặt một biến f (x) = x2 có duy nhất một điểm cực tiểu x0 = 0.
Hàm lồi chặt f (x) = ex , x ∈ R không có điểm cực tiểu nào.
1.1.2
Hàm đối xứng
Định nghĩa 1.1.10 (xem [7]). Một hàm w : [a, b] ⊂ R → R được gọi là đối xứng ứng
với
a+b
nếu
2
w(x) = w(a + b − x)
∀x ∈ [a, b].
(1.2)
Ví dụ 1.1.11. Các hàm w1 , w2 : [a, b] ⊂ R → R xác định bởi
w1 (x) = c, c ∈ R,
là các hàm đối xứng ứng với
w2 (x) = x −
a+b
2
2
a+b
.
2
Định nghĩa 1.1.12 (xem [5]). Cho I ⊂ R\{0} là một khoảng thực. Hàm f : I → R
được gọi là hàm lồi điều hòa nếu
f
xy
tx + (1 − t)y
≤ tf (y) + (1 − t)f (x)
(1.3)
với mọi x, y ∈ I và t ∈ [0, 1]. Nếu bất đẳng thức (1.3) đổi chiều thì hàm f được gọi là
hàm lõm điều hòa.
Ví dụ 1.1.13. Cho f : (0, ∞) → R, f (x) = x và g : (−∞, 0) → R, g(x) = x thì f là
hàm lồi điều hòa và g là hàm lõm điều hòa.
7
Định nghĩa 1.1.14 (xem [7]). Hàm w : [a, b] ⊂ R\{0} → R được gọi là hàm đối xứng
điều hòa ứng với
2ab
nếu
a+b
w(x) = w
1
1
a
+
1
b
−
1
x
∀x ∈ [a, b].
,
(1.4)
Ví dụ 1.1.15. Các hàm w1 , w2 : [a, b] ⊂ R → R xác định bởi
w1 (x) = c, c ∈ R,
là các hàm đối xứng đối điều hòa ứng với
1.2
1.2.1
1 a+b
−
x
2ab
w2 (x) =
2
2ab
.
a+b
Bất đẳng thức Hermite–Hadamard–Féjer
Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer
Cho f : C ⊂ R → R là một hàm lồi xác định trên tập con C của tập số thực R và
a, b ∈ C với a < b. Bất đẳng thức
f
a+b
2
≤
1
b−a
b
f (x)dx ≤
a
f (a) + f (b)
2
(1.5)
nổi tiếng được biết dưới tên gọi bất đẳng thức Hermite–Hadamard (xem [4]).
Trong trường hợp hàm f là hàm khả vi lồi, bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard
được xây dựng như sau.
Bổ đề 1.2.1 (xem [6]). Cho f : I ◦ ⊂ R → R là ánh xạ khả vi trên I ◦ và a, b ∈ I ◦ với
a < b. Nếu hàm f khả tích trên [a, b] thì bất đẳng thức sau thỏa mãn
f (a) + f (b)
1
−
2
b−a
b
a
b−a
f (x)dx =
2
1
(1 − 2t)f (ta + (1 − t)b)dt.
(1.6)
0
Sử dụng Bổ đề 1.2.1, Dragomir [6] thu được hai bất đẳng thức Hermite–Hadamard
cho hàm lồi được trình bày trong các định lý dưới đây.
Định lý 1.2.2 (xem [6]). Cho f : I ◦ ⊂ R → R là ánh xạ khả vi trên I ◦ và a, b ∈ I ◦
với a < b. Nếu |f | lồi trên [a, b] thì bất đẳng thức sau thỏa mãn
f (a) + f (b)
1
−
2
b−a
b
f (x)dx ≤
a
(b − a)(|f (a)| + |f (b)|)
.
8
(1.7)
8
Định lý 1.2.3 (xem [6]). Cho f : I ◦ ⊂ R → R là ánh xạ khả vi trên I ◦ và a, b ∈ I ◦
với a < b và p > 1. Nếu hàm |f |q lồi trên [a, b] thì bất đẳng thức sau thỏa mãn
b
f (a) + f (b)
1
−
2
b−a
trong đó
f (x)dx ≤
a
(b − a)
|f (a)|q + |f (b)|q
2
2(p + 1)1/p
1/q
,
(1.8)
1 1
+ = 1.
p q
Hầu hết các bất đẳng thức nổi tiếng liên quan đến giá trị trung bình của tích phân
của hàm lồi f đều ở dạng bất đẳng thức Hermite–Hadamard và biến thể của nó, bất
đẳng thức Hermite–Hadamard–Féjer. Trong [3], Fejér xây dựng bất đẳng thức, mang
tên ông Fejér, mở rộng của bất đẳng thức Hermite–Hadamard (1.5). Bất đẳng thức
này được giới thiệu trong định lý dưới đây.
Định lý 1.2.4 (Fejér [3]). Cho f : [a, b] ⊂ R → R là một hàm lồi. Khi đó bất đẳng
thức sau đây thỏa mãn
a+b
f
2
b
b
w(x)dx ≤
a
a
f (a) + f (b)
f (x)w(x)dx ≤
2
b
w(x)dx,
(1.9)
a
ở đây w : [a, b] → R là một hàm không âm, khả tích và đối xứng ứng với
a+b
.
2
Chứng minh. Từ tính lồi của hàm f ta có
b
b
f (x)w(x)dx =
a
b−x
x−a
·a+
· b w(x)dx
b−a
b−a
f
a
b
≤
a
b−x
x−a
· f (a) +
· f (b) w(x)dx
b−a
b−a
b
f (a)
=
b−a
a
f (b)
(b − x)w(x)dx +
b−a
Đặt x = a + b − t và sử dụng tính đối xứng ứng với
b
(x − a)w(x)dx.
a
a+b
của w(x) ta có tích phân thứ
2
nhất bằng
b
a
(b − x)w(x)dx = −
(t − a)w(a + b − t)dt
a
b
b
b
(t − a)w(t)dt =
=
a
(x − a)w(x)dx
a
9
(vì tích phân không phụ thuộc vào biến). Do đó, ta thu được
b
a
b
f (a) + f (b)
f (x)w(x)dx ≤
b−a
(x − a)w(x)dx
a
b
f (a) + f (b)
=
b−a
b
xw(x)dx − a
a
(1.10)
w(x)dx .
a
Tiếp tục đặt x = a + b − t và theo tính đối xứng của w(x) ta thu được
b
a
xw(x)dx = −
(a + b − t)w(a + b − t)dt
a
b
b
b
(a + b − t)w(t)dt =
=
(a + b − x)w(x)dx
a
a
b
b
w(x)dx −
= (a + b)
xw(x)dx.
a
Do đó
b
a
a
b
a+b
xw(x)dx =
2
w(x)dx.
a
Thay vào (1.10), ta được bất đẳng thức thứ nhất trong (1.9)
b
f (x)w(x)dx ≤
a
=
b
f (a) + f (b) a + b
b−a
2
f (a) + f (b)
2
b
w(x)dx − a
a
w(x)dx
a
b
w(x)dx.
a
Mặt khác, với mọi x ∈ [a, b] ta có
a+b
2
f
=f
x+a+b−x
2
=f
x a+b−x
+
2
2
1
≤ (f (x) + f (a + b − x))
2
1
b−x
x−a
b−x
x−a
≤ f
·a+
·b +f
·b+
·a
2
b−a
b−a
b−a
b−a
.
Nhân cả hai vế với w(x) và lấy tích phân trên [a, b], ta thu được
b
a+b
f
2
w(x)dx
a
b
1
≤
2
a
b
b−x
x−a
f
·a+
· b w(x)dx +
b−a
b−a
f
a
b−x
x−a
·b+
· a w(x)dx .
b−a
b−a
Đặt t = a + b − x trong tích phân thứ hai, ta thu được
b
f
a
b−x
x−a
·b+
· a w(x)dx =
b−a
b−a
b
f
a
x−a
b−x
·b+
· a w(x)dx.
b−a
b−a
10
b
Do đó, nó bằng tích phân thứ nhất và cả hai bằng
f (x)w(x)dx, nên
a
b
a+b
2
f
b
w(x)dx ≤
f (x)w(x)dx.
a
a
Ta được bất đẳng thức thứ hai trong (1.9).
Ký hiệu L[a, b] là tập các hàm khả tích trên đoạn [a, b]. Trong trường hợp hàm f
khả vi ta nhận được bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer sau đây.
Bổ đề 1.2.5 (xem [8]). Cho f : I ◦ ⊂ R → R là ánh xạ khả vi trên I ◦ , a, b ∈ I ◦ với
a < b và w : [a, b] → [0, ∞) là ánh xạ khả vi. Nếu |f | ∈ L[a, b] thì bất đẳng thức sau
thỏa mãn
b
1
b−a
f (x)w(x)dx −
a
a+b
1
f
b−a
2
b
w(x)dx
a
1
= (b − a)
k(t)f (ta + (1 − t)b)dt
0
với mỗi t ∈ [0, 1], trong đó
k(t) =
t
w(as + (1 − s)b)ds,
0
− 1 w(as + (1 − s)b)ds,
t
t ∈ 0, 21
t∈
1
2, 1
.
Chứng minh. Ta có
1
k(t)f (ta + (1 − t)b)dt
I=
0
1
2
t
w(as + (1 − s)b)ds f (ta + (1 − t)b)dt
=
0
0
1
1
−
+
w(as + (1 − s)b)ds f (ta + (1 − t)b)dt
1
2
t
= I1 + I2 ,
trong đó
1
2
t
w(as + (1 − s)b)ds f (ta + (1 − t)b)dt
I1 =
0
và
0
1
1
−
I2 =
1
2
w(as + (1 − s)b)ds f (ta + (1 − t)b)dt.
t
(1.11)
11
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta được
t
I1 =
0
f (ta + (1 − t)b)
w(as + (1 − s)b)ds
a−b
1
2
w(as + (1 − s)b)
−
0
1
2
w(as + (1 − s)b)ds
=
−
w(ta + (1 − t)b)
0
0
f (ta + (1 − t)b)
dt
a−b
a+b
2
f
a−b
0
1
2
1
2
f (ta + (1 − t)b)
dt,
a−b
và tương tự
1
w(as + (1 − s)b)ds
I2 =
a+b
2
f
a−b
1
2
1
−
w(ta + (1 − t)b)
1
2
f (ta + (1 − t)b)
dt.
a−b
Do đó, ta có thể viết
I = I1 + I2
1
w(as + (1 − s)b)ds
=
0
a+b
2
f
a−b
1
−
w(ta + (1 − t)b)
0
f (ta + (1 − t)b)
dt.
a−b
Thực hiện đổi biến x = ta + (1 − t)b với t ∈ [0, 1] rồi nhân cả hai vế với (b − a) ta thu
được (1.11). Điều phải chứng minh.
Bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm khả vi lồi được xây dựng
như sau.
Định lý 1.2.6 (xem [8]). Cho f : I ◦ ⊂ R → R là ánh xạ khả vi trên I ◦ , a, b ∈ I ◦ với
a < b và w : [a, b] → [0, ∞) là ánh xạ khả vi và đối xứng ứng với
a+b
. Nếu hàm |f |
2
lồi trên [a, b] thì bất đẳng thức sau thỏa mãn
1
b−a
≤
b
f (x)w(x)dx −
a
1
(b − a)2
a+b
1
f
b−a
2
b
w(x)dx
a
b
w(x)[(x − a)2 − (b − x)2 ]dx
a+b
2
|f (a)| + |f (b)|
.
2
(1.12)
12
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.2.5 và tính lồi của |f |, ta thu được
1
b−a
b
a
1
a+b
f (x)w(x)dx −
f
b−a
2
1
2
b
w(x)dx
a
t
≤ (b − a)
w(as + (1 − s)b)ds [t|f (a)| + (1 − t)|f (b)|]dt
0
0
1
1
w(as + (1 − s)b)ds [t|f (a)| + (1 − t)|f (b)|]dt
+
1
2
t
(1.13)
= Q1 + Q2 .
Đổi thứ tự lấy tích phân ta được
1
2
t
w(as + (1 − s)b)(t|f (a)| + (1 − t)|f (b)|)dsdt
Q1 =
0
0
1
2
1
2
w(as + (1 − s)b)(t|f (a)| + (1 − t)|f (b)|)dtds
=
0
s
1
2
1 s2
(1 − s)2 1
−
|f (a)| +
−
|f (b)| ds,
8
2
2
8
w(as + (1 − s)b)
=
0
và sử dụng phép đổi biến x = as + (1 − s)b với s ∈ [0, 1], ta được
1
Q1 =
8(b − a)3
b
w(x)
(b − a)2 − 4(b − x)2 |f (a)|
a+b
2
+ 4(x − a)2 − (b − a)2 |f (b)| dx.
(1.14)
Tương tự,
1
s2 1
1 (1 − s)2
−
|f (a)| +
−
|f (b)| ds
2
8
8
2
w(as + (1 − s)b)
Q2 =
1
2
1
=
8(b − a)3
a+b
2
w(x)
4(b − x)2 − (b − a)2 |f (a)|
a
+ (b − a)2 − 4(x − a)2 |f (b)| dx.
Vì w(x) là hàm đối xứng với x =
a+b
với w(x) = (a + b − x), ta được
2
Q2 = Q1 .
Kết hợp (1.13), (1.14) và (1.15) ta thu được (1.12). Điều phải chứng minh.
(1.15)
13
Định lý 1.2.7 (xem [8]). Cho f : I ◦ ⊂ R → R là ánh xạ khả vi trên I ◦ , a, b ∈ I ◦ với
a, b và w : [a, b] → [0, ∞) là ánh xạ khả vi và đối xứng ứng với
a+b
. Nếu |f |q lồi trên
2
[a, b], q > 1 thì bất đẳng thức sau thỏa mãn
b
1
b−a
f (x)w(x)dx −
a
x−
a+b
2
w(x)dx
a
a+b p
w (x)dx
2
1
q
|f (a)|q + 2|f (b)|q
24
×
trong đó
b
1
(b − a)2
≤ (b − a)
b
a+b
1
f
b−a
2
1
p
1
q
2|f (a)|q + |f (b)|q
+
24
(1.16)
1 1
+ = 1.
p q
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.2.5 và sử dụng phép đổi thứ tự tích phân, ta thu được
b
1
b−a
a
b
a+b
1
f
f (x)w(x)dx −
b−a
2
1
2
w(x)dx
a
t
≤ (b − a)
w(as + (1 − s)b)ds |f (ta + (1 − t)b)|dt
0
0
1
1
w(as + (1 − s)b)ds |f (ta + (1 − t)b)|dt
+
1
2
t
1
2
1
2
= (b − a)
w(as + (1 − s)b)|f (ta + (1 − t)b)|dtds
0
1
s
s
w(as + (1 − s)b)|f (ta + (1 − t)b)|dtds
+
1
2
.
1
2
Áp dụng bất đẳng thức H¨older, ta được
1
b−a
b
f (x)w(x)dx −
a
1
2
1
2
= (b − a)
b
1
a+b
f
b−a
2
w(x)dx
a
p
w (as + (1 − s)b)dtds
0
1
p
w (as + (1 − s)b)dtds
1
2
1
1
p
1
2
1
2
q
|f (ta + (1 − t)b)| dtds
s
s
+
1
2
1
p
0
s
s
q
|f (ta + (1 − t)b)| dtds
1
2
1
2
Vì |f |q là hàm lồi trên [a, b] với t ∈ [0, 1] ta có
|f (ta + (1 − t)b)|q ≤ t|f (a)|q + (1 − t)|f (b)|q ,
1
q
.
1
q
14
do đó
b
1
b−a
a
b
1
a+b
f (x)w(x)dx −
f
b−a
2
1
2
1
2
= (b − a)
w(x)dx
a
p
w (as + (1 − s)b)dtds
0
p
w (as + (1 − s)b)dtds
+
1
2
1
1
p
q
q
(t|f (a)| + (1 − t)|f (b)| )dtds
s
s
1
1
2
1
2
1
p
0
s
s
q
q
(t|f (a)| + (1 − t)|f (b)| )dtds
1
2
1
2
1
q
1
2
(1.17)
= R1 + R2
trong đó
1
q
1 1
+ = 1. Tính các tích phân trên, ta lần lượt thu được
p q
R1 =
b
1
2(b − a)2
p
(2x − a − b)w (x)dx
b
1
2(b − a)2
p
1
q
1
p
2|f (a)|q + |f (b)|q
24
1
q
(a + b − 2x)w (x)dx
a+b
2
Vì w(x) là hàm đối xứng ứng với x =
R2 =
|f (a)|q + 2|f (b)|q
24
a+b
2
và
R2 =
1
p
(1.19)
a+b
, ta viết
2
b
1
2(b − a)2
.
(1.18)
p
(a + b − 2x)w (a + b − x)dx
1
p
= R1 .
(1.20)
a+b
2
Sử dụng (1.18), (1.19) và (1.20) ta thu được (1.16). Điều phải chứng minh.
Bây giờ ta sẽ trình bày một số kết quả liên quan tới bất đẳng thức thứ hai trong
(1.9).
Bổ đề 1.2.8 (xem [8]). Cho f : I ◦ ⊂ R → R là ánh xạ khả vi trên I ◦ , a, b ∈ I ◦ với
a < b và w : [a, b] → [0, ∞) là ánh xạ khả vi. Nếu |f | ∈ L[a, b] thì bất đẳng thức sau
thỏa mãn
1 f (a) + f (b)
b−a
2
b
a
b
1
w(x)dx −
b−a
f (x)w(x)dx
a
1
b−a
=
2
p(t)f (ta + (1 − t)b)dt
0
với mỗi t ∈ [0, 1], trong đó
1
t
w(as + (1 − s)b)ds −
p(t) =
t
w(as + (1 − s)b)ds.
0
(1.21)
15
Chứng minh. Ta thấy rằng
1
p(t)f (ta + (1 − t)b)dt
J=
0
1
1
w(as + (1 − s)b)ds f (ta + (1 − t)b)dt
=
0
t
t
1
−
+
w(as + (1 − s)b)ds f (ta + (1 − t)b)dt
0
0
= J1 + J2 .
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta thu được
1
w(as + (1 − s)b)ds
J1 =
t
1
w(ta + (1 − t)b)
+
0
1
w(as + (1 − s)b)ds
=
0
1
w(ta + (1 − t)b)
+
0
f (ta + (1 − t)b)
a−b
1
0
f (ta + (1 − t)b)
dt
a−b
f (b)
a−b
f (ta + (1 − t)b)
dt,
a−b
và tương tự
1
J2 = −
w(as + (1 − s)b)ds
0
f (a)
+
a−b
1
w(ta + (1 − t)b)
0
f (ta + (1 − t)b)
dt.
a−b
Do đó, ta có thể viết
J = J1 = J2
1
w(ta + (1 − t)b)
=2
0
f (ta + (1 − t)b)
dt −
a−b
1
w(as + (1 − s)b)ds
0
Sử dụng phép đổi biến x = ta + (1 − t)b với t ∈ [0, 1], và nhân cả với
f (a) + f (b)
.
a−b
b−a
ta thu được
2
(1.21), điều phải chứng minh.
Định lý 1.2.9 (xem [8]). Cho f : I ◦ ⊂ R → R là ánh xạ khả vi trên I ◦ , a, b ∈ I ◦ với
a < b và w : [a, b] → [0, ∞) là ánh xạ khả vi và đối xứng ứng với
a+b
. Nếu |f |q lồi
2
trên [a, b] thì bất đẳng thức sau thỏa mãn
1 f (a) + f (b)
b−a
2
1
≤
2
1
p
(g(x)) dt
0
b
a
1
p
1
w(x)dx −
b−a
|f (a)|q + |f (b)|q
2
b
f (x)w(x)dx
a
1
q
(1.22)
16
b−(b−a)t
w(x)dx với t ∈ [0, 1].
trong đó g(x) =
a+(b−a)t
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.2.8 ta thu được
b
1 f (a) + f (b)
b−a
2
1
b−a
≤
2
1
≤
2
w(x)dx −
a
1
b−a
b
f (x)w(x)dx
a
1
t
w(as + (1 − s)b)ds |f (ta + (1 − t)b)|dt
w(as + (1 − s)b)ds −
0
t
b−(b−a)t
1
0
b
w(x)dx −
0
a
w(x)dx |f (ta + (1 − t)b)|dt .
(1.23)
b−(b−a)t
Vì w(x) đối xứng ứng với x =
a+b
, ta biến đổi
2
b−(b−a)t
b
b−(b−a)t
w(x)dx −
a
w(x)dx =
b−(b−a)t
w(x)dx,
(1.24)
w(x)dx,
(1.25)
a+(b−a)t
với t ∈ 0, 21 và
b−(b−a)t
b
a+(b−a)t
w(x)dx −
a
với t ∈
1
2, 1
w(x)dx =
b−(b−a)t
b−(b−a)t
. Thay (1.24) và (1.25) vào (1.23) ta được
1 f (a) + f (b)
b−a
2
≤
1
2
b
w(x)dx −
a
1
b−a
b
f (x)w(x)dx
a
1
g(x)|f (ta + (1 − t)b)|dt
0
b−(b−a)t
trong đó g(x) =
w(x)dx . Áp dụng bất đẳng thức H¨
older ta được
a+(b−a)t
1 f (a) + f (b)
b−a
2
1
≤
2
1
p
(g(x)) dt
0
b
a
1
w(x)dx −
b−a
b
f (x)w(x)dx
a
1
1
p
q
|f (ta + (1 − t)b)| dt
1
q
.
0
Vì |f |q là hàm lồi trên [a, b], nên với t ∈ [0, 1] ta có
|f (ta + (1 − t)b)|q ≤ t|f (a)|q + (1 − t)|f (b)|q ,
17
do đó
b
1 f (a) + f (b)
b−a
2
≤
=
1
2
1
2
w(x)dx −
a
1
f (x)w(x)dx
a
1
1
p
(g(x))p dt
b
1
b−a
(t|f (a)|q + (1 − t)|f (b)|q )dt
0
1
q
0
1
1
p
(g(x))p dt
|f (a)|q + |f (b)|q
2
0
1
q
.
Điều phải chứng minh.
1.2.2
Ví dụ áp dụng
Sau đây là một vài ví dụ áp dụng bất đẳng thức Hermite–Hadamard để xây dựng
các bất đẳng thức khác.
1
, x ≥ 0, áp dụng bất đẳng thức Hermite–
1+x
Ví dụ 1.2.10. Với hàm f (x) =
Hadamard trên đoạn [0, n] ta được
1
1+
≤
n
2
1
n
n
0
n+2
1
dx ≤
1+x
2(n + 1)
hay
1
1+
n
2
≤
1
n+2
ln(1 + n) ≤
.
n
2(n + 1)
Áp dụng bất đẳng thức Hermite–Hadamard trên đoạn [n − 1, n] với n ∈ N∗ ta được
1
1 1
1
< ln(n + 1) − ln n <
+
.
n + 1/2
2 n n+1
Ví dụ 1.2.11. Với hàm f (x) = ex , bất đẳng thức (1.5) kéo theo
e(a+b)/2 <
ea + eb
eb − ea
<
b−a
2
với
a=b
trong R.
Đặt x = ea , y = eb thì x = y , x, y ∈ (0, ∞), ta thu được bất đẳng thức
√
xy <
x−y
x+y
<
.
ln x − ln y
2
Đây chính là bất đẳng thức giữa trung bình nhân, trung bình lôgarit và trung bình
cộng.
Ví dụ 1.2.12. Với f (x) = sin x, x ∈ [0, π], ta thu được
sin
a+b
2
<
cos a − cos b
sin a + sin b
<
.
b−a
2
18
Ví dụ 1.2.13. Xét hàm Beta Euler xác định bởi
1
tp−1 (1 − t)q−1 dt, p, q > −1.
β(p, q) :=
0
Ta có với r ≥ 1
1
tp−1 (1 − t)p−1 tr dt.
β(p + r, p) =
(1.26)
0
Định nghĩa hàm w : (0, 1) → R bởi
w(t) :=
1
tp−1 (1 − t)p−1 .
β(p, p)
Rõ ràng
g(t) = g(1 − t) với mọi t ∈ (0, 1)
và
1
g(t)dt = 1.
0
Định nghĩa hàm f : [0, 1] → R xác định bởi f (t) = tr , r ≥ 1. Khi đó, f là hàm lồi và ta
có thể áp dụng Định lý 1.2.4 và thu được
1
≤
2r
1
0
1
f (t)g(t)dt =
β(p, p)
1
0
1
tp−1 (1 − t)p−1 tr dt ≤ .
2
Theo (1.26), ta suy ra
β(p + r, p)
1
1
≤
≤
2r
β(p, p)
2
với mọi
r ≥ 1, p ≥ −1.
19
Chương 2
Bất đẳng thức tích phân dạng
Hermite–Hadamard–Féjer cho hàm
p-lồi
2.1
Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer
cho hàm p-lồi
2.1.1
Hàm p-lồi
Định nghĩa 2.1.1 (xem [6]). Cho I ⊂ (0, ∞) là một khoảng thực và cho p ∈ R \ {0}.
Hàm f : I → R được gọi là hàm p-lồi nếu
f [txp + (1 − t)y p ]1/p ≤ tf (x) + (1 − t)f (y)
(2.1)
với mọi x, y ∈ I và t ∈ [0, 1]. Nếu bất đẳng thức (2.1) đảo chiều thì f được gọi là hàm
p-lõm.
Từ định nghĩa này, ta thấy với p = 1 và p = −1, hàm p-lồi tương ứng trở thành
hàm lồi thông thường và hàm lồi điều hòa xác định trên I ⊂ (0, ∞).
Ví dụ 2.1.2. (a) Hàm f : I ⊂ (0, ∞) → R xác định bởi f (x) = xp + c với p = 0 và
c ∈ (0, ∞) là hàm p-lồi.
(b) Hàm f : I ⊂ (0, ∞) → R xác định bởi f (x) = xp với p = 0 là hàm p-lồi.
(c) Hàm g : (0, ∞) → R xác định bởi g(x) = c, c ∈ R là hàm p-lõm.
20
Với hàm liên tục w : [a, b] → R, ký hiệu w
∞
= supt∈[a,b] |w(t)|.
Định nghĩa 2.1.3 (xem [7]). Cho p ∈ R\{0}. Hàm w : [a, b] ⊂ (0, ∞) → R được gọi là
p-đối xứng ứng với
ap +bp 1/p
2
1
nếu w(x) = w ([ap + bp − xp ]) p với mọi x ∈ [a, b].
Chú ý 2.1.4. Từ Định nghĩa 2.1.3 ta suy ra các trường hợp đặc biệt sau đây:
(1) Nếu cho p = 1 thì ta có Định nghĩa 1.1.10 của hàm đối xứng xác định trên (0, ∞)
(định nghĩa hàm đối xứng ứng với
a+b
2 ).
(2) Nếu cho p = −1 thì ta nhận được Định nghĩa 1.1.14 của hàm đối xứng điều hòa
xác định trên (0, ∞) (định nghĩa hàm đối xứng điều hòa ứng với
2ab
a+b ).
Ví dụ 2.1.5. Cho p ∈ R\{0}. Giả sử w1 , w2 : [a, b] ⊂ (0, ∞) → R, w1 (x) = c với c ∈ R,
w2 (x) = xp −
ap +bp 2
2
thì w1 và w2 là hai hàm p-đối xứng ứng với
ap +bp 1/p
.
2
Mối liên hệ giữa hàm lồi (lõm) và hàm p-lồi (p-lõm) được trình bày trong mệnh đề
dưới đây.
Mệnh đề 2.1.6 (xem [7]). Cho I ⊂ (0, ∞) là khoảng thực, p ∈ R\{0} và f : I → R là
một hàm số xác định trên I . Khi đó,
(1) Nếu p ≤ 1 và f là hàm lồi và không giảm thì f là hàm p-lồi.
(2) Nếu p ≥ 1 và f là hàm p-lồi và không giảm thì f là hàm lồi.
(3) Nếu p ≤ 1 và f là hàm p-lõm và không giảm thì f là hàm lõm.
(4) Nếu p ≥ 1 và f là hàm lõm và không giảm thì f là p-lõm.
(5) Nếu p ≥ 1 và f là hàm lồi và không tăng thì f là hàm p-lồi.
(6) Nếu p ≤ 1 và f làm hàm p-lồi và không tăng thì f là hàm lồi.
(7) Nếu p ≥ 1 và f là hàm p-lõm và không tăng thì f là hàm lõm.
(8) Nếu p ≤ 1 và f là hàm lõm và không tăng thì f là hàm p-lõm.
Chứng minh. Vì hàm g(x) = xp , p ∈ (−∞, 0) ∪ [1, ∞) là hàm lồi trên (0, ∞) và hàm
g(x) = xp , p ∈ (0, 1] là hàm lõm trên (0, ∞), nên việc chứng minh mệnh đề được suy
ra từ các bất đẳng thức trung bình sau
txp + (1 − t)y p
1/p
≥ tx + (1 − t)y,
p ≥ 1,
21
và
txp + (1 − t)y p
1/p
≤ tx + (1 − t)y,
p ≤ 1,
với mọi x, y ∈ (0, ∞) và t ∈ [0, 1].
Từ Mệnh đề 2.1.6 ta có thể tìm được các ví dụ về hàm p-lồi và p-lõm.
Ví dụ 2.1.7. (a) Hàm f : (0, ∞) → R xác định bởi f (x) = x là hàm p-lồi với p ≤ 1
và f là hàm p-lõm với p ≥ 1.
(b) Hàm f : (0, ∞) → R xác định bởi f (x) = x−p , p ≥ 1 là hàm p-lồi.
(c) Hàm f : (0, ∞) → R xác định bởi f (x) = − ln x, p ≥ 1 là hàm p-lồi.
(d) Hàm f : (0, ∞) → R xác định bởi f (x) = ln x, p ≥ 1 là hàm p-lõm.
Mệnh đề 2.1.8 (xem [6]). Cho hàm f : [a, b] ⊂ (0, ∞) → R và hàm g : [ap , bp ] → R
xác định bởi g(t) = f (t1/p ), p ∈ R \ {0}. Khi đó, f là hàm p-lồi trên [a, b] khi và chỉ khi
hàm g lồi trên [ap , bp ], p > 0 (hoặc [bp , ap ], p < 0).
2.1.2
Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard–Féjer
Từ Định nghĩa 2.1.1, với p = 1, hàm p-lồi trở thành hàm lồi thông thường. Với
hàm p-lồi, ta có bất đẳng thức sau đây.
Định lý 2.1.9 (xem [6]). Cho f : I ⊂ (0, ∞) → R là hàm p-lồi, p ∈ R \ {0} và a, b ∈ I
với a < b. Nếu hàm f khả tích trên đoạn [a, b] thì bất đẳng thức sau thỏa mãn
f
ap + b p
2
1/p
b
p
≤ p
b − ap
a
f (a) + f (b)
f (x)
dx ≤
.
1−p
x
2
(2.2)
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.1.8, ta lấy hàm p-lồi f (t) = g(tp ), p ∈ R \ {0}, trong
đó g là hàm lồi bất kỳ trên [ap , bp ]. Từ đó, ta có thể chứng minh được bất đẳng thức
(2.2) như sau:
Nếu f là hàm p-lồi trên [a, b] thì ta viết bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm
lồi g(t) = f (t1/p ) trên đoạn đóng [ap , bp ] ở dạng
ap + b p
g
2
1
≤ p
b − ap
bp
g(t)dt ≤
ap
g(ap ) + b(bp )
.
2
Bất đẳng thức này tương đương với
f
ap + b p
2
1/p
1
≤ p
b − ap
bp
f (t1/p )dt ≤
ap
f (a) + f (b)
.
2
(2.3)
22
Thực hiện phép đổi biến x = t1/p , ta nhận được
bp
b
f (t1/p )dt = p
ap
a
f (x)
dx.
x1−p
Thay biểu thức này vào (2.3) ta thu được (2.2).
Ví dụ 2.1.10. Xét hàm f : (0, ∞) → R xác định bởi f (x) = 1. Khi đó,
1 = f [tap + (1 − t)bp ]1/p = tf (y) + (1 − t)f (x) = 1
với mọi x, y ∈ (0, ∞) và t ∈ [0, 1]. Do đó f là hàm p-lồi trên (0, ∞). Ta cũng có
ap + b p
2
f
1/p
b
p
p
b − ap
= 1,
a
f (x)
dx = 1
x1−p
f (a) + f (b)
= 1.
2
và
Như vậy (2.2) thỏa mãn.
Để trình bày bất đẳng thức Hermite–Hadamard mới cho các hàm có đạo hàm là
hàm p-lồi, ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.11 (xem [6]). Cho f : I ⊂ (0, ∞) → R là hàm khả vi trên I ◦ , phần trong
của I , a, b ∈ I với a < b và p ∈ R\{0}. Nếu f ∈ L[a, b] thì
b
f (a) + f (b)
p
− p
2
b − ap
=
bp
1
− ap
2p
a
f (x)
dx
x1−p
1 − 2t
1− p1
tap + (1 − t)bp
0
1
[tap + (1 − t)bp ] p dt.
f
(2.4)
Chứng minh. Áp dụng công thức tích phân từng phần cho vế phải của (2.4) ta được
1
b p − ap
2p
=
0
b p − ap
2p
=−
=−
1
2
1
2
1 − 2t
tap + (1 − t)bp
1− p1
f
1
(1 − 2t)f
1
[tap + (1 − t)bp ] p
tap + (1 − t)bp
1
−1
p
dt
0
1
1
1
[tap + (1 − t)bp ] p d [tap + (1 − t)bp ] p
(1 − 2t)f
0
1
1
(1 − 2t)df [tap + (1 − t)bp ] p
0
1
1
= − (1 − 2t)f [tap + (1 − t)bp ] p
2
=
1
[tap + (1 − t)bp ] p dt
f (a) + f (b)
−
2
1
1
0
1
f
0
tap + (1 − t)bp
1
f [tap + (1 − t)bp ] p dt
−
0
1
p
dt.
