Ôn thi chuyên-pt vo ty
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (488.29 KB, 17 trang )
Ta hãy xét qua một số ví dụ nhé!
Bài toán:
a/ Hãy tìm ƯCLN và BCNN của 34 và 56
b/ Hãy tìm các ƯCLN có thể có của của và
Câu a chỉ là câu áp dụng của phép chia Euclid:
Ta có:
Suy ra
Câu b cũng áp dụng phép chia Euclid tuy nhiên hơi phức tạp một chút vì có chứa ẩn số k.
Ta cũng thực hiện phép chia bình thường, giống như chia đa thức.
Vậy khi hoặc khi (với
)
Bài toán này chúng ta còn có thể giải theo cách khác:
Đặt . Ta có hoặc
Lời giải trên thật ngắn gọn, tuy nhiên làm như vậy chúng ta phải xác định các trường hợp
của k khi hoặc . Trong trường hợp này, chúng ta phải giải phương trình
nghiệm nguyên sau: Tìm k sao cho: và cũng đi đến kết quả tương
tự cách 1.
Ta rút ra bài toán tổng quát: Cho là một số nguyên tố. Tìm tất cả các giá trị có
thể có của: .
Bằng một ý tưởng của cách 2. Ta đặt . Ta có:
hoặc . Cả 2 trường hợp đều có
thể xảy ra bởi phương trình cho ta nghiệm duy nhất theo .
Trong trường hợp này , trong các trường hợp còn lại ta đều thu được:
.
Sau đây sẽ là phần bài tập áp dụng của phần này: Tìm tất cả các giá trị có thể có của
với
Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ
A. Lời đầu
Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn một số kĩ năng đặt ẩn
phụ trong giải phương trình vô tỷ. Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp
giải một phương trình vô tỷ mà ta biến đổi tương đương sẽ ra một phương trình
phức tạp , có thể là bậc quá cao ...Có lẽ phương pháp hữu hiệu nhất để giải
quyết vấn đề này chính là đặt ẩn phụ để chuyển về một phương trình đơn giản
và dễ giải quyết hơn .
Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này :
- Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ
- Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ
Tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để
chọn ẩn phụ thích hợp.
Trường Quốc học Huế :
1.
a. Tìm các số thực u, v biết và
b. Giải phương trình :
2. Cho đường tròn (O) có đường kính BD = 2R , dây AC của O vuông góc với
BD tại H . Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB,
AD, CD, CB .
a. Chứng minh :
b. Chứng minh tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp .
c. Chứng minh :
3.
a. Đặt . Chứng tỏ rằng :
b. Chứng tỏ rằng :
với mọi số thực x, y, z . Suy ra a, b, c là các số dương ta luôn có :
c. Phân chia 9 số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thành 3 nhóm tùy ý mỗi nhóm có 3 số .Gọi
là tích của 3 số ở nhóm thứ nhất , lần lượt là tích 3 số ở nhóm thứ hai
thứ ba . Hỏi tổng min = ?
4. Một thùng sắt đậy kín hình lập phương . Biết rằng trong thùng chứa 9 khối
có dạng hình cầu cùng bán kính làm băng chất liệu rắn .
Chứng minh rằng nếu cạnh của thùn hình lập phương là a thì đường kính của
các khối cầu bên trong nó nhỏ hơn hoặc bằng
5. Chứng minh rằng :
- Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm
* Nhận xét :
- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó
quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán .
- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó
là :
+ PP Lượng giác hoá
+ PP dùng ẩn phụ không triệt để
+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệ
Sau đây là bài viết :
B. Nội dung phương pháp
I. Phương pháp lượng giác hoá
1. Nếu thì ta có thể đặt hoặc
Ví dụ 1 :
Lời giải : ĐK : Đặt Phương trình đã cho trở thành :
cos( )( ) = 0
Kết hợp với điều kiện của t suy ra :
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
Ví dụ 2 :
Lời giải : ĐK :
Khi đó VP > 0 .
Nếu
Nếu .
Đặt , với ta có :
( ) ( ) = 0
Vậy nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
phương trình đã cho trở thành :
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 4 (TC THTT):
HD :
Nếu : phương trình không xác định .
Chú ý với ta có :
vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với
Đặt
khi đó phương trình đã cho trở thành :
2. Nếu thì ta có thể đặt :
Ví dụ 5 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
Phương trình đã cho trở thành :
kết hợp với điều kiện của t suy ra
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
TQ :
Ví dụ 6 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
phương trình đã cho trở thành :
(thỏa mãn)
TQ :
với a,b là các hằng số cho trước :
3. Đặt để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 : (1)
Lời giải :
Do không là nghiệm của phương trình nên :
(1) (2)
Đặt .
Khi đó (2) trở thành :
Suy ra (1) có 3 nghiệm :
Ví dụ 8 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
phương trình đã cho trở thành :
Kết hợp với điều kiện su ra :
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
4. Mặc định điều kiện : . sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm
tối đa của phương trình và kết luận :
Ví dụ 9 :
Lời giải :
phương trình đã cho tương đương với :
(1)
Đặt :
(1) trở thành :
Suy ra (1) có tập nghiệm :
Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S
II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của
phương trình đã cho :
Đưa phương trình về dạng sau :
khi đó :
Đặt . Phương trình viết thành :
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình
sau khi đã đơn giản hóa và kết luận :
Ví dụ 10 : (1)
lời giải : ĐK :
Đặt
