SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ………….
----------

CHUYÊN ĐỀ: SÓNG DỪNG

Tác giả chuyên đề: ………
Chức vụ: …………..
Đơn vị công tác: ……………
Huyện: ……………………
Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 12
Thời lượng dự kiến: 06 tiết

Năm học ………………

1


ĐẶT VẤN ĐỀ.
Bộ Giáo dục và Đào tạo áp dụng hình thức thi trắc nghiệm khách quan để kiểm tra
đánh giá trong Kỳ thi THPT Quốc gia đối với môn Vật lí cho học sinh lớp 12. Với hình
thức thi trắc nghiệm khách quan thì kiến thức kiểm tra rộng. Để đạt được kết quả tốt, đòi
hỏi học sinh không những phải nắm vững kiến thức, mà còn phải phản ứng nhanh, xử lý tốt
đối với các dạng bài tập của từng chương, từng phần, chuyên đề.
Trong quá trình dạy ôn thi THPT Quốc gia, tôi nhận thấy các dạng bài tập về Sóng
dừng, thuộc chương Sóng cơ của sách giáo khoa Vật lý 12 cơ bản là một phần khó. Nó
thường khiến học sinh lúng túng trong việc vận dụng kiến thức để làm các bài tập. Để giải
quyết được khó khăn đó thì việc hệ thống kiến thức, phân dạng và đưa ra một số phương
pháp giải nhanh các dạng bài tập của phần sóng dừng cho học sinh là hết sức cần thiết.
Từ các vấn đề nêu trên tôi chọn đề tài: “Sóng dừng ” làm nội dung báo cáo chuyên đề
của mình.
Chuyên đề gồm 2 phần:

PHẦN 1: PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP “SÓNG DỪNG”.
PHẦN 2: THỰC NGHIỆM – ĐÁNH GIÁ

2


PHẦN I: PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP “SÓNG DỪNG”.
I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC
1. Sự phản xạ của sóng
* Sóng do nguồn Sóng phát ra lan truyền trong môi trường khi gặp vật cản thì bị phản
xạ và truyền ngược trở lại theo phương cũ. Sóng truyền ngược lại sau khi gặp vật cản gọi là
sóng phản xạ.
* Sóng phản xạ cùng biên độ, tần số và cùng bước sóng với sóng tới.
* Sóng phản xạ ngược pha với sóng tới ở điểm phản xạ nếu đầu phản xạ cố định.
* Sóng phản xạ cùng pha với sóng tới ở điểm phản xạ nếu đầu phản xạ tự do.
2. Sóng dừng
2.1. Định nghĩa : Sóng dừng là sóng có các nút và bụng sóng cố định trong không gian.
* Bụng sóng: là những điểm có biên độ dao động cực đại.
* Nút sóng: là những điểm không dao động.

2.2. Nguyên nhân: Sóng dừng là kết quả của sự giao thoa giữa sóng tới và sóng phản xạ, khi
sóng tới và sóng phản xạ truyền theo cùng một phương
2.3. Phương trình sóng dừng trên sợi dây PQ (đầu P cố định hoặc dao động nhỏ xem như
là nút sóng)
* Đầu Q cố định (nút sóng):
Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại Q
uQ = Acos( 2 π ft) và u’Q = - Acos( 2 π ft ) = Acos( 2 π ft - π ).
Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại M cách Q một khoảng d là:
uQM = Acos( 2 π ft + 2π


d
d
) và u’QM = Acos( 2 π ft - 2π - π )
λ
λ

3


Phương trình sóng dừng tại M: uM = uQM + u’QM
uM = 2Acos( 2π

d π
π
+ )cos(2 π ft - )
λ 2
2

Biên độ dao động của phần tử tại M: AM = 2 A cos(2π

d π
d
+ ) = 2 A sin(2π )
λ 2
λ

* Đầu Q tự do (bụng sóng):
Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại Q

M


P

Q

uQ = u’Q = Acos( 2 π ft)
Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại M cách Q một khoảng d là:
uQM = Acos( 2 π ft + 2π

d
d
) và u’QM = Acos( 2 π ft - 2π )
λ
λ

Phương trình sóng dừng tại M: uM = uQM + u’QM = 2Acos( 2π
Biên độ dao động của phần tử tại M: AM = 2A cos(2π

d
)cos(2 π ft )
λ

d
)
λ

Lưu ý: * Với d là khoảng cách từ M đến đầu nút sóng thì biên độ: AM = 2A sin(2π

d
)

λ

* Với d là khoảng cách từ M đến đầu bụng sóng thì biên độ: AM = 2A cos(2π

d
)
λ

2.4. Điều kiện để có sóng dừng trên sợi dây dài l
* Hai đầu cố định:
+ Chiều dài của sợi dây phải bằng một số nguyên lần nửa bước sóng

l=k

λ
(k ∈ N * )
2

P

Q

Gọi k là số bó sóng
Số bó sóng = số bụng sóng = k

k

Số nút sóng = k + 1
* Một đầu tự do, một đầu cố định:
+ Chiều dài của sợi dây phải bằng một số lẻ lần phần tư bước sóng

l = (2k + 1)

λ
(k ∈ N )
4
4


P

Số bó sóng nguyên = k

Q

Số bụng = số nút = k + 1
Chú ý: Nếu viết dưới dạng
λ
vT
v Soábuïng =k
l = ( 2k −1) = ( 2k −1)
= ( 2k −1)

4
4
4 f Soánuù
t=k

k

2.5. Đặc điểm của sóng dừng

+ Biên độ dao động của phần tử vật chất ở mỗi điểm không đổi theo thời gian.
λ
+ Khoảng cách giữa 2 nút hoặc 2 bụng liền kề là .
2
+ Khoảng cách giữa nút và bụng liền kề là

λ
.
4

+ Khoảng cách giữa 2 nút ( hoặc 2 bụng ) bất kỳ là k

λ
.
2

3. Một số chú ý đặc biệt về sóng dừng
+ Đầu cố định hoặc đầu dao động nhỏ là nút sóng.
+ Đầu tự do là bụng sóng.
+ Hai điểm đối xứng với nhau qua nút sóng luôn dao động ngược pha.
+ Hai điểm đối xứng với nhau qua bụng sóng luôn dao động cùng pha.
+ Các điểm trên dây đều dao động với biên độ không đổi
+ Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp sợi dây căng ngang (các phần tử đi qua
VTCB) là nửa chu kỳ.
+ Trong sóng dừng bề rộng của một bụng là : 2aN = 2.2a = 4a .
+ Phân biệt tốc độ dao động và tốc độ truyền sóng:
* Tốc độ dao động: v=u’
* Tốc độ truyền sóng: v=λ.f
+ Sóng dừng được ứng dụng để đo tốc độ truyền sóng.


II. MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN VỀ SÓNG DỪNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH
Dạng 1: Đại cương về sóng dừng
5


1.1 Xác định tốc độ, tần số và bước sóng
Chú ý: Nếu dùng nam châm điện mà dòng điện
xoay chiều có tần số fđ để kích thích dao động
của sợi dây thép thì trong một chu kì dòng điện
nam châm điện hút mạnh 2 lần và không hút 2
lần nên nó kích thích dây dao động với tần số f = 2fđ. Nếu dùng nam châm vĩnh cửu thì
f = fđ.
Ví dụ 1(VD): Một nam điện có dòng điện xoay chiều tần số 50 Hz đi qua. Đặt nam châm
điện phía trên một dây thép AB căng ngang với hai đầu cố định, chiều dài sợi dây 60cm. Ta
thấy trên dây có sóng dừng với 2 bó sóng. Tốc độ truyền sóng trên dây là
A. 60 m/s

B. 30 m/s

C. 16 m/s

D. 300 cm/s

Hướng dẫn:
Khi có dòng điện xoay chiều chạy qua, nam châm điện sẽ tác dụng lên dây một lực tuần
hoàn làm dây dao động cưỡng bức. Trong một chu kì, dòng điện có độ lớn cực đại 2 lần nên
nó hút dây mạnh 2 lần, vì vậy tần số dao động của dây bằng 2 lần tần số của dòng điện

f’ = 2.f = 2.50 = 100 Hz
λ

Vì có hai bó sóng và hai đầu là nút nên l = 2 ⇒ λ = l = 60( cm)
2
Vậy v = λf = 60( m/s) Chọn đáp án A
Ví dụ 2(VD): Một sợi dây thép dài 1,2 m được căng ngang phía dưới một nam châm điện.
Cho dòng điện xoay chiều chạy qua nam châm điện thì trên dây thép xuất hiện sóng dừng
với 6 bụng sóng với hai đầu là hai nút. Nếu tốc độ truyền sóng trên dây là 20 m/s thì tần số
của dòng điện xoay chiều là
A. 50 Hz

B. 100 Hz

C. 60 Hz

D. 25 Hz

Hướng dẫn:
Trên dây hai đầu cố định có 4 bụng nên

λ
1
v
f
l = 6 ⇒ λ = = 0,4( m) ⇒ f = = 50( Hz) ⇒ fd = = 25( Hz) Chọn đáp án D
2
3
λ
2

6



Ví dụ 3(VD): Trên một sợi dây dài 2 m đang có sóng dừng với tần số 100 Hz, người ta thấy
ngoài 2 đầu dây cố định còn có 3 điểm khác luôn đứng yên. Tốc độ truyền sóng trên dây là
A. 100 m/s

B. 40 m/s

C. 80 m/s

D. 60 m/s

Hướng dẫn:
Trên dây hai đầu cố định có tổng cộng 5 nút, tức là có 4 bụng nên

l = ( 5− 1)

λ
1
⇒ λ = = 1( m) ⇒ v = λ f = 100( m/ s) Chọn đáp án A
2
2

Ví dụ 4(VD): Một sợi dây đàn hồi căng ngang, hai đầu cố định. Trên dây có sóng dừng, tốc
độ truyền sóng không đổi. Khi tần số sóng trên dây là 42 Hz thì trên dây có 4 điểm bụng.
Nếu trên dây có 6 điểm bụng thì tần số sóng trên dây là
A. 252 Hz

B. 126 Hz

C. 28 Hz


D. 63 Hz

Hướng dẫn:

v
l=4

2f
λ
2 f'
l=k 
⇒ 1=
⇒ f ' = 63( Hz) Chọn đáp án D
2
3 f
v
l=6

2f '

1.2. Số lần liên tiếp sợi dây duỗi thẳng
Chú ý:
* Khoảng thời gian 2 lần liên tiếp sợi dây duỗi thẳng bằng khoảng thời gian 2 lần liên tiếp
một điểm dao động trên dây đi qua vị trí cân bằng (tốc độ dao động cực đại) là T/2.

⇒ Khoảng thời gian n lần liên tiếp sợi dây duỗi thẳng là ∆t = ( n – 1) T / 2.
* Khoảng thời gian ngắn nhất một điểm dao động trên dây đi từ vị trí cân bằng (tốc độ dao
động cực đại) đến vị trí biên (tốc độ dao động bằng 0) là T/4.
Ví dụ 5(TH): Hai sóng hình sin cùng bước sóng λ , cùng biên độ a truyền ngược chiều

nhau trên một sợi dây cùng vận tốc 20 cm/s tạo ra sóng dừng . Biết 2 thời điểm gần nhất mà
dây duỗi thẳng là 0,5s. Giá trị bước sóng λ là :
A. 20 cm.

B. 10cm

C. 5cm

D. 15,5cm

Hướng dẫn:
+ Khoảng thời gian sợi dây duỗi thẳng 2 lần là T/2. Vật T = 1s
7


+ Bc súng : = v.T = 20cm/s.

Chn ỏp ỏn A

Vớ d 6(VD): Dõy AB di 90 cm u A gn vi ngun dao ng (xem A l nỳt) v u B t
do. Quan sỏt thy trờn dõy cú 8 nỳt súng dng v khong thi gian 6 ln liờn tip si dõy
dui thng l 0,25 s. Tớnh tc truyn súng trờn dõy. Tớnh khong cỏch t A n nỳt th 7.
A. 10 m/s v 0,72 m.

B. 0,72 m/s v 2,4 m.

C. 2,4 m/s v 0,72 m.

D. 2,4 m/s v 10 cm.
Hng dn:


Thay vo cụng thc t = ( n 1) T / 2. ta c 0,25 = (6 1)T/2 T = 0,1s
Mt u nỳt v mt u bng (trờn dõy cú 8 nỳt nờn k = 8):

l = ( 2k 1)




0,9 = ( 2.8 1) = 0,24( m) v = = 2,4( m/ s)
4
4
T

Khong cỏch t A n nỳt th 7:


l7 = (7 1) = 0,72( m) Chn ỏp ỏn C
2
1.3. Tn s bin thiờn
* Tn s, tc nm trong mt on
Nu cho bit ff1

f2 hoc v1 v v2 thỡ da vo iu kin súng dng tỡm f theo k

hoc v theo k ri thay vo iu kin gii hn núi trờn.



v

u coỏủũnh: l = k = k
Hai ủa
2
2f



v
Moọ
t ủa
u coỏủũnh, moọ
t ủa
u tửùdo : l = ( 2k 1) =( 2k 1)

4
4f
Vớ d 7(VD): Mt si dõy cú chiu di 1,5 m mt u c nh mt u t do. Kớch thớch cho
si dõy dao ng vi tn s 100 Hz thỡ trờn dõy xut hin súng dng. Tc truyn súng
trờn dõy nm trong khong t 150 m/s n 400 m/s. Xỏc nh bc súng.
A. 14 m

B. 2 m

C. 6 m

D. 1 cm

Hng dn:

8




λ
v
4lf
600
=
( m/ s)
l = ( 2n − 1) 4 = ( 2n − 1) 4 f ⇒ v =
( 2n− 1) 2n − 1


150 ≤ 600 ≤ 400 ⇒ 1,25 ≤ n ≤ 2,5 ⇒ n = 2 ⇒ v = 200 m/ s ⇒ λ = v = 2 m
( )
( )

2n − 1
f


Chọn đáp án B
* Hai tần số gần nhau nhất, tần số nhỏ nhất tạo ra sóng dừng
Có nhiều tần số có thể tạo ra sóng dừng, để tìm tần số nhỏ nhất và khoảng cách giữa các
tần số đó, ta dựa vào điều kiện sóng dừng:

v
ffmin = ⇒ k = kfmin

λ

v
v

2l
* Hai đầu cố định: l = k = k ⇒ fk = k. ⇒ 
2
2f
2
 ff − = v = f
min

 k+1 k 2l

(Hiệu hai tần số liền kề bằng tần số nhỏ nhất)
* Một đầu cố định, một đầu tự do:

v
ffmin = ⇒ n = ( 2n + 1) fmin

λ
v
v 
4l
l = ( 2n + 1) = ( 2n + 1)
⇒ fn = ( 2n + 1) ⇒ 
4
4f
4
 ff − = v = 2 f
min

 n+1 n 2l

(Hiệu hai tần số liền kề gấp đôi tần số nhỏ nhất)
Ví dụ 8(TH): Người ta tạo sóng dừng trên một sợi dây căng giữa 2 điểm cố định. Hai tần số
gần nhau nhất cùng tạo ra sóng dừng trên dây là 150 Hz và 200 Hz. Tần số nhỏ nhất tạo ra
sóng dừng trên dây đó là
A. 50 Hz

B. 125 Hz

C. 75 Hz

Hướng dẫn: Vì hai đầu cố định nên ffmin =

k+1

D. 100 Hz

− fk = 200 − 150 = 50( Hz) Chọn đáp án A

Ví dụ 9(TH): Cho ống sáo có một đầu bịt kín và một đầu để hở. Biết rằng ống sáo phát ra
âm to nhất ứng với hai giá trị tần số âm liên tiếp là 30 Hz và 50 Hz. Tần số âm nhỏ nhất khi
ống sáo phát ra âm to nhất bằng
A. 20 Hz

B. 5 Hz

C. 10 Hz

D. 40 Hz


Hướng dẫn:
9


Chú ý: Đây là trường hợp tạo sóng dừng của sóng âm. Trường hợp này giống trường hợp
sóng dừng trên hai đầu của sợi dây có một đầu cố định, một đầu tự do. Tương ứng đầu bịt
kín là nút sóng, đầu để hở là bụng sóng.
Áp dụng công thức tính nhanh ta được: ffmin = 0,5

1

− f2 = 10( Hz)

Chọn đáp án C
Ví dụ 10(VD): Một sợi dây đàn hồi một đầu cố định, một đầu tự do. Tần số dao động bé
nhất để sợi dây có sóng dừng là f 0. Tăng chiều dài thêm 1 m thì tần số dao động bé nhất để
sợi dây có sóng dừng là 5 Hz. Giảm chiều dài bớt 1 m thì tần số dao động bé nhất để sợi dây
có sóng dừng là 20 Hz. Giá trị của f0 là
A. 10 Hz

B. 7 Hz

C. 9 Hz

D. 8 Hz

Hướng dẫn:
Vì sợi dây một đầu cố định và một đầu tự do nên điều kiện sóng dừng là


l = ( 2k − 1)

λ
v
v
v
= ( 2k − 1) ⇒ fk = ( 2k − 1) ⇒ fmin =
4
4l
4l
4l

Áp dụng công thức này cho hai trường hợp:
v

 5
5 = 4 ( l + 1)
l = 3 ( m )


⇒


v
20 =
v = 160 ( m / s )


4 ( l − 1)
3




f 0 = f min

160
v
= = 3 = 8 ( Hz )
4l 4. 5
3

Chọn đáp án D

Chú ý
* Lúc đầu một đầu cố định một đầu tự do thì trên dây có sóng dừng với tần số f:

l = ( 2n − 1)

λ
v
v
2f
= ( 2n − 1)
⇒ =
(số nút = số bụng = n)
4
4 f 2 ( 2n − 1)

* Sau đó, giữ đầu cố định hai đầu thì trên dây có sóng dừng với tần số f’:
l=k


λ
v
v
2f
=k
⇒ f '=k =k
2
2f '
2l
( 2n − 1)

10


Tần số nhỏ nhất: f 'min =

2f
(2n − 1)

Thay đổi tần số nhỏ nhất: ∆f min = f '− f = k

2f
−f
(2n − 1)

Ví dụ 11(VD): Một sợi dây đàn hồi, đầu A gắn với nguồn dao động và đầu B tự do. Khi dây
rung với tần số f = 12 Hz thì trên dây xuất hiện sóng dừng ổn định có 8 điểm nút trên dây
với A là nút và B là bụng. Nếu đầu B được giữ cố định và tốc độ truyền sóng trên dây không
đổi thì phải thay đổi tần số rung của dây một lượng nhỏ nhất bằng bao nhiêu để trên dây tiếp

tục xảy ra hiện tượng sóng dừng ổn định?
A. 4/3 Hz

B. 0,8 Hz

C. 12 Hz

D. 1,6 Hz

Hướng dẫn:
* Lúc đầu một đầu cố định một đầu tự do thì trên dây có sóng dừng với tần số f:

l = ( 2n − 1)

λ
v
v
2f
= ( 2n − 1)
⇒ =
4
4 f 2 ( 2n − 1)

Vì số nút = số bụng = n = 8 nên:
v
2.12
=
= 1, 6 ( Hz )
2l ( 2.8 − 1)


* Sau đó, giữ đầu cố định hai đầu thì trên dây có sóng dừng với tần số f’:

l=k

λ
v
v
=k
⇒ f ' = k = 1, 6k ( Hz )
2
2f '
2l

Tần số nhỏ nhất: f 'min = 1,6 ( Hz )
Độ biến thiên tần số: ∆ f = f '− f = 1,6k − 12 ( Hz )
Để tìm ∆fmin ta cho ∆f = 0 ⇒ k = 7,5. Nhưng vì k nguyên nên k = 7 hoặc k = 8.
Do đó, ∆ f min = 1,6.7 − 12 = 0,8 ( Hz )

Chọn đáp án B
f

f'

min
Chú ý: Đến đây ta rút ra công thức giải nhanh: ∆f min = 2n − 1 = 2 . Từ công thức này ta
(
)

giải quyết các bài toán khó hơn.
Ví dụ 12(VD): Một sợi dây đàn hồi một đầu cố định, một đầu gắn với âm thoa có tần số thay

đổi được. Khi thay đổi tần số âm thoa thấy với 2 giá trị liên tiếp của tần số là 28 Hz và 42 Hz
11


thì trên dây có sóng dừng. Hỏi nếu tăng dần giá trị tần số từ 0 Hz đến 50 Hz sẽ có bao nhiêu
giá trị của tần số để trên dây lại có sóng dừng. Coi vận tốc sóng và chiều dài dây là không
đổi.
A. 7 giá trị

B. 6 giá trị

C. 4 giá trị

D. 3 giá trị

Hướng dẫn:
Vì sợi dây hai đầu cố định nên

ffmin =

k+1

− fk = 42− 28 = 14( Hz) ⇒ fk = 14k ( Hz)

Thay vào điều kiện 0 < f < 50Hz ⇒ 0 < k ≤ 3,5 ⇒ k = 1;2;3 Chọn đáp án D

Dạng 2: Xác định số nút, số bụng và số điểm dao động khác bụng, nút

Chú ý: Để tính số nút và số bụng giữa hai điểm A và B (tính cả A và B) ta làm
như sau:


λ
(k ∈ N * )
2
Số bụng sóng = số bó sóng = k ; Số nút sóng = k + 1

* Hai đầu là nút sóng: l = k

* Một đầu là nút sóng còn một đầu là bụng sóng:

l = (2k + 1)

λ
(k ∈ N )
4

Số bó (bụng) sóng nguyên = k ; Số bụng sóng = số nút sóng = k + 1
* Nếu một đầu dây được gắn với âm thoa để tạo sóng dừng thì đầu dây đó luôn là nút sóng,
việc xác định tính chất của hai đầu dây chủ yếu là xác định được đầu còn lại là nút hay bụng.
Nếu đề bài cho đầu còn lại cố định thì nó là nút, còn nếu đầu còn lại lơ lửng thì đó là bụng
sóng.
Ví dụ 13(TH): Trong thí nghiệm về sóng dừng trên dây có hai đầu cố định, người ta đếm
được có n bó sóng, các vị trí trên dây dao động thì biên độ lớn nhất là A . Số điểm trên dây
dao động với biên độ 0,5 A là
A. n

B. n+1

C. n-1


D. 2n

Hướng dẫn:
12


Mỗi bó sóng có một điểm dao động biên độ A và 2 điểm dao động biên độ 0,5 A
Chọn đáp án D
Ví dụ 14(TH): Trên một sợi dây đàn hồi AB dài 25cm đang có sóng dừng, người ta thấy có
6 điểm nút kể cả hai đầu A và B. Hỏi có bao nhiêu điểm trên dây dao động cùng biên độ,
cùng pha với điểm M cách A 1cm?
A. 10 điểm

B. 9

C. 6 điểm

D. 5 điểm

Hướng dẫn:
Dễ thấy trên dây có 5 bó sóng mà độ dài một bó sóng bằng ½ bước sóng =5 cm.
Trong mỗi bó sóng luôn có 2 điểm cùng biên độ, 2 điểm này đối xứng nhau qua điểm bụng.
Do đó trên dây có 10 điểm cùng biên độ với M (kể cả M).
Mặt khác: 2 điểm đối xứng nhau qua nút thì dao động ngược pha, 2 điểm đối xứng nhau qua
điểm bụng dao động cùng pha. Từ đó suy ra được số điểm dao động cùng biên độ, cùng pha
với M (kể cả M) là 6. Nếu trừ điểm M đi thì trên dây còn 5 điểm thoả mãn.
Chọn đáp án D
Ví dụ 15(VD): Một sợi dây đàn hồi dài 130 cm, có đầu A cố định, đầu B tự do dao động với
tần số 100 Hz, vận tốc truyền sóng trên dây là 40 m/s. Trên dây có số nút sóng và số bụng
sóng là

A. 7 nút và 6 bụng.

B. 7 nút và 7 bụng.

C. 6 nút và 7 bụng.

D. 6 nút và 6 bụng.
Hướng dẫn:

λ=

v
40
=
f
100

= 0,4 (m) = 40 (cm); l = 130 cm = 6.

λ
2

+

λ
4

. Chọn đáp án B

Ví dụ 16(VD): Một sợi dây AB dài 100 cm căng ngang, đầu B cố định, đầu A gắn với một

nhánh của âm thoa dao động điều hòa với tần số 40 Hz. Trên dây AB có một sóng dừng ổn
định, A được coi là nút sóng. Tốc độ truyền sóng trên dây là 20 m/s. Kể cả A và B, trên dây
có
A. 3 nút và 2 bụng.

B. 7 nút và 6 bụng.

C. 9 nút và 8 bụng.

D. 5 nút và 4 bụng.

Hướng dẫn:

λ=

v 20
=
= 0,5 ( m ) = 50 ( cm ) . Vì hai đầu đều là nút nên số nút nhiều hơn số bụng là 1
f 40

13


l= kλ/2 ⇒ k = 4 ⇒ Chọn đáp án D
Chú ý: * Nếu đầu A là nút đầu còn lại không phải nút hoặc bụng thì từ A ta chia ra thành
các đoạn

λ
2


như sau:

AB = k

 sb = k
λ
+ ∆x ⇒ 
2
 sn = k + 1

AB = k

λ λ
+ + ∆ x ⇒ sb = sn = k + 1
2 4

* Nếu đầu A là bụng đầu còn lại không phải nút hoặc bụng thì từ A ta chia ra thành các
đoạn

λ
2

như sau:

14


Ví dụ 17(VD): Trên một sợi dây đàn hồi dài có sóng dừng với bước sóng 1,2 cm. Trên dây
có hai điểm A và B cách nhau 6,1 cm, tại A là một nút sóng. Số nút sóng và bụng sóng trên
đoạn dây AB là

A. 11 bụng, 11 nút.

B. 10 bụng, 11 nút.

C. 10 bụng, 10 nút.

D. 11 bụng, 10 nút.

Hướng dẫn:

 sb = 10
λ
AB = 6,1 ( cm ) = 10 × 0,6 + 0,1 = 10. + 0,1 ( cm ) ⇒ 
2
 sn = 11

Chọn đáp án B

Ví dụ 18(VD): Trên một sợi dây đàn hồi có sóng dừng với bước sóng 1 cm. Trên dây có hai
điểm A và B cách nhau 4,6 cm, tại trung điểm của AB là một nút sóng. Số nút sóng và bụng
sóng trên đoạn dây AB (kể cả A và B) là
A. 9 bụng, 10 nút.

B. 10 bụng, 10 nút.

C. 10 bụng, 9 nút.

D. 9 bụng, 9 nút.

Hướng dẫn:


λ λ
IA = 2,3 = 4 × 0,5 + 0, 25 + 0,05 = 4. + + ∆ x ⇒
2 4

 sb ( IA) = 5  sb ( AB ) = 10
⇒
Chọn đáp án C

sn
IA
=
5
sn
AB
=
9
(
)
(
)



Dạng 3: Li độ, biên độ của các điểm trên sợi dây
Phương pháp:
15


* Nếu chọn điểm M cách nút A một đoạn là MA thì biên độ của M sẽ là


AM = Ab sin

2π AM
λ

* Nếu chọn điểm M cách bụng A một đoạn là MA thì biên độ của M sẽ là

AM = Ab cos

2π AM
λ

Các trường hợp đề thi hay khai thác

B

M(t2)

-Ab

O

Ab
2A

M

M’


b

Ab
M(t1)

Minh họa hai lần liên tiếp A = u

b
Lưu ý: Điểm M trên bó sóng dao động lên xuốngMtại chỗ.
Điểm M’ chỉ là điểm đối xứng

của M (xét trục đi qua của bụng trên và dưới của bó sóng).
3.1. Li độ điểm bụng bằng biên độ điểm trung gian
16


Ví dụ 19(VD): Sóng dừng trên một sợi dây có biên độ ở bụng là 5 cm. Giữa hai điểm M, N
có biên độ 2,5cm cách nhau x = 20cm các điểm luôn dao động với biên độ nhỏ hơn 2,5cm.
Bước sóng là.
A. 60 cm

B. 12 cm

C. 6 cm

D. 120 cm

Hướng dẫn:
Độ lệch pha giữa M, N
5


xác định theo công thức:
M1

2πx
∆ϕ =
λ

∆ϕ

M

2,5

-qo

N

Do các điểm giữa M, N

u(cm)

t
-2,5

đều có biên độ nhỏ hơn

M2

-5


biên độ dao động tại M,
N nên chúng là hai điểm gần nhau nhất đối xứng qua một nút sóng.
+ Độ lệch pha giữa M và N dễ dàng tính được ∆ϕ =

π
2πx π
⇒
= ⇒ λ = 6 x = 120cm
3
λ
3

Chọn đáp án D.
Ví dụ 20(VDC): Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định chu kì T và
bước sóng λ . Trên dây, A là một điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C là điểm thuộc
AB sao cho AB = 3BC. Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động của
phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là
A. T/4.

B. T/6.

C. T/3.

D. T/8.

Hướng dẫn:
Chọn nút A làm gốc. Ab = AB

2 AB 2 λ λ

AB = 3BC ⇒ AC =
= . =
3
3 4 6
2π AC
AC = Ab sin
= AB sin
λ

-Ab

O

Ab 3
2
A
b

λ
6 = AB 3 → u = A = AB 3
B
C
λ
2
2

2π .

17



Từ VTLG suy ra thời gian cần tìm là ∆t = 2.

T T
= ⇒ Chọn đáp án B.
12 6

Ví dụ 21(VDC): Sóng dừng trên dây nằm ngang. Trong cùng bó sóng, A là nút, B là bụng,
C là trung điểm AB. Biết CB = 4 cm. Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao
động của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là 0,13s. Tốc độ truyền
sóng trên dây là
A. 1,23m/s.

B. 2,46m/s.

C. 3,24m/s.

D. 0,62m/s.

Hướng dẫn:

AB = 2CB = 8cm =
AC = Ab sin

u B = AC =

λ
⇒ λ = 32cm . Chọn nút A làm gốc.
4


A
A
2π AC
2π .4
= Ab sin
= b = B
λ
32
2
2

AB
2

→ ∆t =

T
λ 0,32
= 0,13 → T = 0,52s → v = =
≈ 0,62m/s
4
T 0,52

Chọn đáp án D.
Ví dụ 22(VDC): Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đầu A cố định. Trên dây đang có sóng
dừng ổn định. Gọi B là điểm bụng thứ hai tính từ A, C là điểm nằm giữa A và B. Biết AB =
30 cm; AC =20/3 cm tốc độ truyền sóng trên dây là v = 50 cm/s. Khoảng thời gian ngắn
nhất giữa hai lần mà li độ của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là
A. 4/15s.


B. 1/5s.

C. 2/15s.

D. 2/5s.

Hướng dẫn:
Chọn nút A làm gốc.
C

B
-Ab

A

AC =15cm

AC = AB sin

Lần 2
O

Ab 3
2
AB = 3.

Ab
Lần 1

λ

λ
= 30cm → λ = 40cm → T = = 0,8s
4
v

2π . AC
2π .20 / 3 AB 3
= AB sin
=
λ
40
2
18


* Li độ của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là

uB = AC =

AB 3 VTLG
T 0,8 2

→ ∆t = =
= s ⇒ Chọn đáp án C.
2
6
6 15

Ví dụ 23(VDC): Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, A
là một điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C là trung điểm của AB, với AB = 10 cm.

Biết khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động của phần tử tại B bằng biên
độ dao động của phần tử tại C là 0,2 s. Tốc độ truyền sóng trên dây là
A. 2 m/s.

B. 0,5 m/s.

C. 1 m/s.

D. 0,25 m/s.

Hướng dẫn:

AB =

λ
= 10cm ⇒ λ = 40cm
4

*Chọn nút A làm gốc. Điểm B là bụng nên ta có

AC =

A
A
A
AB
2π AC
= 5cm ⇒ AC = Ab sin
= b → u B = AC ⇔ u B = b = B
2

λ
2
2
2

Hai lần liên tiếp để u B =
v=

AB = Ab

AB
2

là

T
= 0, 2 ⇒ T = 0,8s (Suy ra từ VTLG).
4

λ 40
=
= 50cm/s = 0,5m/s ⇒ Chọn đáp án B.
T 0,8

Ví dụ 24(VDC): Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây A
là một điểm nút, B là điểm bụng gần A nhất với AB=18 cm, M là một điểm trên dây cách B
là 12cm. Biết rằng trong một chu kì sóng, khoảng thời gian mà tốc độ dao động của phần tử
B nhỏ hơn tốc độ cực đại của phần tử M là 0,1s. Tốc độ truyền sóng trên dây là
A. 3,2 m/s.


B. 5,6 m/s.

C. 4,8 m/s.

Hướng dẫn:

AM = 18 − 12 = 6cm
λ
AB = = 18cm ⇒ λ = 72cm .
4

D. 2,4 m/s.

-0,5vmax

0,5vmax

v
19


AM = Ab sin

Aω
2π AM
2π .6 AB
= AB sin
=
→ vMmax = B
λ

72
2
2

vB ≤ vMmax =

ABω VTLG
T T
→ ∆t = 4. = = 0,1 ⇒ T = 0,3s
2
12 3

v=

λ 72
=
= 240cm/s = 2,4m/s ⇒ Chọn đáp án D.
T 0,3

3.2. Li độ vận tốc tại một thời điểm
Ví dụ 25(VDC): Trên một sợi dây AB dài 1,2 m với hai đầu cố định đang có sóng dừng với
3 bụng sóng, biên độ bụng sóng là 4 2 cm .Tốc độ truyền sóng trên dây v = 80 cm/s. Ở thời
điểm phần tử tại điểm M trên dây cách A là 30 cm có li độ 2 cm thì phần tử tại điểm N trên
dây cách B là 50 cm có tốc độ là
A. 4π 3 cm/s.

B. 4π cm/s.

C. 4π 2 cm/s.


D. 8π 3 cm/s.

Hướng dẫn:
* Ta có l = k

λ
λ
⇔ 1, 2 = 3. ⇒ λ = 0,8m = 80cm ⇒ f = 1Hz ⇒ ω = 2π rad/s.
2
2

AN = AB sin

2π xN
2π xN
2π .70
= AB sin
= 4 2 sin
= 4cm
λ
λ
80

Chọn điểm A làm gốc ta có xM = 30cm → xN = l − 50 = 70cm

π
 2π xM π 

 2π xN π 
+ ÷cos  ωt − ÷

cos 
+ ÷
uM = Ab cos 
2
2
uN
λ
2

 λ


⇒
=

uM
 2π xM π 
 u = A cos  2π xN + π  cos  ωt − π 
cos 
+ ÷
N
b

÷

÷

λ
2


λ
2
2






 2π .70 π 
cos 
+ ÷
80
2

u N = 2.
= −2cm ⇒ v N = ω AN2 − xN2 = 4π 3cm/s
 2π .30 π 
cos 
+ ÷
2
 80

Chọn đáp án A.

Ví dụ 26(VDC): Một sợi dây đang có sóng dừng ổn định. Sóng truyền trên dây có tần số
10Hz và bước sóng 6cm. Trên dây, hai phần tử M và N có vị trí cân bằng cách nhau 8cm, M

20



thuộc một bụng sóng dao động với biên độ 6 mm. Lấy π 2 = 10 . Tại thời điểm t, phần tử M
đang chuyển động với tốc độ 6π cm/s thì phần tử N chuyển động với gia tốc có độ lớn là
A. 6 3 m/s2.

B. 6 2 m/s2.

C. 6 m/s2.

D. 3 m/s2 .

Hướng dẫn:
Chọn bụng M làm gốc. AN = Ab cos

2π MN
2π .8 AM
= AM cos
=
= 0,3cm
λ
6
2

vNmax = AN .2π f = 0,3.2π .10 = 6π cm/s
vN
vM

AN
AN
vN max

a Nmax 3
1
=
⇒ vN = vM .
= 6π . = 3π cm/s =
→ aN =
AM
AM
2
2
2

a max 3 AN ω 2 . 3 0,3. ( 20π )
Thay số: aN = N
=
=
2
2
2

2

3

= 600 3cm/s = 6 3m/s

Chọn đáp án A.
3.3. Li độ vận tốc tại hai thời điểm
Ví dụ 27(VDC): Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định với khoảng cách
giữa hai vị trí cân bằng của một bụng sóng và một nút sóng cạnh nhau là 6 cm. Tốc độ

truyền sóng trên dây 1,2 m/s và biên độ dao động của bụng sóng là 4 cm. Gọi N là vị trí của
một nút sóng, P và Q là hai phần tử trên dây ở hai bên của N và có vị trí cân bằng cách N
lần lượt là 15 cm và 16 cm. Tại thời điểm t, phần tử P có li độ 2 cm và đang hướng về vị tí
cân bằng. Sau thời điểm đó một khoảng thời gian ngắn nhất là ∆t thì phần tử Q có li độ 3
cm, giá trị của ∆t là
A. 0,05s.

B. 0,02s.

C. 2/15s.

D. 0,15s.

Hướng dẫn:

λ
λ 0, 24
= 6cm → λ = 24cm ⇒ T = =
= 0, 2s ⇒ ω = 10π rad/s.
4
v 1, 2
Chọn nút N làm gốc khi đó NP = −15cm và NQ = 16cm .

π
π
 2π .NP π 


uP = Ab cos  λ + 2 ÷cos  ωt − 2 ÷ = −2 2 cos  ωt − 2 ÷









 u = A cos  2π .NQ + π  cos  ωt − π  = 2 3 cos  ωt − π 
Q
b

÷ 
÷

÷

2
2
2
 λ



21



π
π
2π

 u = 2cm

t → P
→ 2 = −2 2 cos 10π t − ÷⇒ 10π t − = −
2
2
3


u P → 0



uQ = 2 3 cos ( 10π ( t + ∆t ) − 0,5π ) = 3 ⇔ cos 10
π
t
−
0,5
π
+
10
π
∆
t
÷ = 0,5 3
1 4 2 4 3
÷
−2π /3




π
1 k
 2π

−
+
10
π
∆
t
=
+
k
2
π
∆
t
=
+
 3

1
6
12 5
m=0
→
⇒

→ ∆tmin =

= 0,05s
20
 − 2π + 10π∆t = − π + m 2π  ∆t = 1 + m
 3

6
20 5
Chọn đáp án A.
Ví dụ 28(VDC): Trên một sợi dây đàn hồi đàn hổi có sóng dừng ổn định với khoảng cách
giữa hai nút sóng liên tiếp là 6 cm. Trên dây có những phần tử dao động với tần số 5Hz và
biên độ lớn nhất là 3 cm. Gọi N là vị trí của một nút sóng, C và D là hai phần tử trên dây ở
hai bên của N và có vị trí cân bằng cách N lần lượt là 10,5 cm và 7 cm. Tại thời điểm t1 phần
tử C có li độ 1,5 cm và đang hướng về vị trí cân bằng. Vào thời điểm t2 = t1 +

79
s thì phần tử
40

D có li độ là
A. -0,75 cm.

B. 1,5 cm.

C. -1,5 cm.

D. 0,75 cm.

Hướng dẫn:

λ

= 6cm ⇒ λ = 12cm .
2
Chọn nút N làm gốc khi dó xC = −10,5cm và xD = 7cm .

π 3
π
 2π xC π 


t1 → uC = Ab cos 
+ ÷cos  10π t1 − ÷ =
cos  10π t1 − ÷
2
2
2
2


 λ
uC = 1,5 ⇒ 10π t1 −

π π
= + k 2π
2 4


79  π 
 2π xD π 

t2 → uD = Ab cos 

+ ÷cos 10π  t1 + ÷− ÷
2
40  2 

 λ


22





π
79 ÷
uD = −1,5cos 10π t1 − + 10π . ÷ = −1,5cm ⇒ Chọn đáp án C.
40 ÷
 14 2 432
 π /4 + k 2π


Dạng 4. Đồ thị sóng dừng
Phương pháp:
* Phương trình sóng dừng của 1 điểm M cách nút O một đoạn d có dạng
uM = 2Acos( 2π

d π
π
d
π

+ )cos(2 π ft - ) = 2Asin( 2π )cos(2 π ft - )
λ 2
2
λ
2

Biên độ dao động của phần tử tại M: AM = 2 A cos(2π

d π
d
+ ) = 2 A sin(2π )
λ 2
λ

Chọn nút O làm gốc. Để kiểm tra hai điểm M và N trên sợi dây dao động cùng pha hay

 2πON 
sin 
λ ÷


ngược pha ta chỉ cần xét tỉ số δ =
 2πOM 
sin 
÷
 λ 
Nếu δ > 0 thì M và N luôn dao động cùng pha
Nếu δ < 0 thì M và N luôn dao động ngược pha.
Lưu ý: Trong sóng dừng khi nói khoảng cách ON tức là nói đến khoảng cách theo phương
truyền sóng, nói cách khác là đang nói đến khoảng cách hai vị trí cân bằng của hai điểm đó

trên dây.
*Khi sử dụng VTLG trong sóng dừng cần lưu ý những điều sau
+ Chỉ biểu diễn 1 điểm trên sợi dây trên VTLG ở hai thời điểm khác nhau. Nếu đề hỏi tốc độ
(hay li độ) của điểm M ở thời điểm t 2 = t1 + ∆t bắt buộc ta phải tính tốc độ (hay li độ) ở thời
điểm t1. Sau đó dựa vào VTLG để suy ra tốc độ (li độ) của điểm M ở thời điểm t 2.
+ Hai điểm trên sợi dây sẽ dao động một là cùng pha hai là ngược pha, do đó nếu biễu diễn
hai điểm trên VTLG sẽ gây rối và dễ hiểu nhầm là độ lệch pha bất kì của hai điểm đó

23


Ví dụ 29(VDC): Sóng dừng trên một sợi dây với
biên độ điểm bụng là 4 cm. Hình vẽ biểu diễn
hình dạng của sợi dây ở thời điểm t1 (nét liền) và
t2 (nét đứt) . Ở thời điểm t1 điểm bụng M đang di
chuyển với tốc độ bằng tốc độ của điểm N ở thời
điểm t2. Tọa độ của điểm N ở thời điểm t2 là :
A. u N = 2 cm, x N =

40
cm
3

B. u N = 6 cm, x N = 15 cm

C. u N = 2 cm, x N = 15 cm

D. u N = 6 cm, x N =

40

cm
3

Hướng dẫn:
Tại thời điểm t1 tốc độ của M là v M =

ωA M
2

ωA N 2
2
λ
⇒ x N = 15cm
Vậy điểm này cách nút
8

Tốc độ của điểm N tại thời điểm t2 là : v N =
v N = vM ⇒ A N =

2
AM
2

Dựa vào hình vẽ u N = 2 A N = A M = 2cm Chọn đáp án C.
2

2

Ví dụ 31(VDC): Trên một sợi dây OB căng ngang, hai đầu


u(cm)

(1)

cố định đang có sóng dừng với tần số f xác định. Gọi M, N
và P là ba điểm trên dây có vị trí cân bằng cách B lần lượt là
4 cm, 6 cm và 38 cm. Hình vẽ mô tả hình dạng sợi dây tại
thời điểm t1 (đường 1) và t2 = t1 +

(2)
O

12

24

36

x(cm)
B

11
(đường2). Tại thời
22f

điểm t1, li độ của phần tử dây ở N bằng biên độ của phần tử dây ở M và tốc độ của phần tử
dây ở M là 60 cm/s. Tại thời điểm t2, vận tốc của phần tử dây ở P là
A. 20 3 cm/s.

B. 60cm/s.


C. −20 3 cm/s.

D. -60cm/s.

Hướng dẫn:
*Từ đồ thị ta có: λ = 24cm , Biên độ của các điểm cách nút là
 BM = 4cm ⇒ A M = 0,5A b 3

 2πd 
A = A b sin 
→
÷ BN = 6cm ⇒ A N = A b
 λ 

 BP = 38cm ⇒ A P = A b / 2

P(t2)

P(t1)

u
O

v

24


*M và Ncùng pha nên:


vM AM
2v
3
=
=
→ vN = M
vN AN
2
3

AN 3
v max
2v
4v
t1 → u N = A M =
⇒ v N = N = M ⇒ v max
= M = 80 3cm/s
N
2
2
3
3

v max
v max
AP 1
max
P
=

= ⇒ v P = N = 40 3 cm/s.
max
AN 2
2
vN
*N và P ngược pha nhau nên u N ( t1 ) > 0 → u P ( t1 ) < 0

vM
AM
AP
v max
t1 →
=−
⇒ v P ( t1 ) = −
.v M = −20 3cm/s = − P
vP
AP
AM
2
v max
3
11
11T
T VTLG
t 2 = t1 +
= t1 +
= t1 + T − → v P ( t 2 ) = − P
= −60cm/s
12f
12

12
2
Chọn đáp án D.
Ví dụ 32(VDC): Trong thí nghiêm về sóng dừng trên
dây đàn hồi khi tần số có giá trị 10Hz thì sóng dừng

u(cm)

2,5 2

xuất hiện ổn định trên sợi dây với biên độ lớn nhất là

2,5

5cm, bước sóng là 60cm. Vào thời điểm t 1 sợi dây có

O

M

x(m)

dạng như hình vẽ. Li độ dao động của phần tử vật
chất tại N cách M một đoạn 15cm vào thời điểm t2 = t1 + 0,15s có giá trị bằng
A. 2,5cm.

B. -2,5cm.

C. 2,5 2 cm.


D. 2,5 2 cm.

Hướng dẫn:
Dùng VTLG.
Nhận xét: Từ đồ thị ở trên tại một thời điểm t1 ta có uM (t1 ) = −2,5cm và biên độ của M là
AM = −2,5 2cm và vận tốc điểm M là dương.

Như vậy dữ kiện ở đồ thị ta đã khai thác hết, bây giờ chúng ta giải bình thường như các
bài toán sóng dừng khác.
Chọn nút O làm gốc.

25