10/11/2019

NỘI DUNG
o Subspaces of Rn
o Spanning sets

o Independence
o Bases of vector spaces
o Dimensions
o Column space and row space of a matrix

KHÔNG GIAN VECTƠ

CHƯƠNG 3

10/10/2019

1

KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VEC TƠ

2

10/10/2019

TÍNH CHẤT

x
3

10/10/2019

KHÔNG GIAN R3
V1

y

x 1, x 2, x 3

x 1 , x 2 , x 3 | x 1, x 2 , x 3

0
4

10/10/2019

R

y1, y2, y3

x1

y1, x 2

y2 , x 3

y3

Phép nhân vec tơ với một số:
x


.0

VECTOR N CHIỀU

Phép cộng hai vec tơ:
x

1 x

. x 1, x 2, x 3
x

y

x1
x2
x3

// vector in R2

(x1, x2, x3)

// vector in R3

(x1, x2, x3, x4)

// vector in R4

(x1, x2, …, xn) // vector in Rn


x 1, x 2, x 3

Sự bằng nhau của hai vec tơ:

(x1, x2)

A vector (x1, x2, …, xn) in Rn is also called a point in Rn.

y1
y2
y3

(0, 0, …, 0): the zero vector in Rn

 V1 là không gian vec tơ. Ký hiệu: R3
n
Tương
10/10/2019tự ta có không gian R

5

10/10/2019

6

1


10/11/2019


PHÉP CỘNG VÀ NHÂN VÔ HƯỚNG TRONG RN

EXAMPLES

u = u1, u2, …, un)

Given two vectors u = (2, -1, 1, 2), v = (3, 1, 2, -1)
 Find u + v
u + v = (5, 0, 3, 1)
 Find ½u
½u = (1, - ½, ½,1)
 Find -3v
-3v = (-9, -3, -6, 3)
 And find 3u - 2v
3u + 2v = (0, -5, -1, 8)

v = (v1, v2, …, vn)
Vector addition:
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, …, un + vn)
Scalar multiplication:
cv = (cv1, cv2, …, cvn)

7

10/10/2019

KHÔNG GIAN P2[X]
V2

ax2


8

10/10/2019

KHÔNG GIAN M2[R]
bx

c | a, b, c

R

V3

a
c

b
: a, b, c, d
d

R

Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai đa thức.

Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai ma trận.

Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân đa thức với một
số


Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân ma trận với một
số

Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai
đa thức bằng nhau (các hệ số tương ứng bằng nhau)

Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai
ma trận bằng nhau.

 V2 là không gian vec tơ. Ký hiệu: P2[x]

 V3 là không gian vec tơ. Ký hiệu: M2[R]

Tương tự ta có không gian Pn[x]
10/10/2019

Tương tự ta có không gian Mn[R]
9

10/10/2019

KGVT CON

KHÔNG GIAN VECTO CON CỦA RN

 Không gian vecto con

A nonempty subset V is called a subspace of Rn if:

 Biểu thị tuyến tính (tổ hợp tuyến tính)


 0 = 0, 0, … , 0  𝑉
 𝑢, 𝑣  𝑉  𝑢, 𝑣 𝑉 for all 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠 𝑢, 𝑣.
 v 𝑉  𝑘𝑣 𝑉 for any 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣, and any number k

 Độc lập tuyến tính

Example. V = {(a, a, 0) | a  R}

 Phụ thuộc tuyến tính

 (0, 0, 0) is in V
 If (a, a, 0) and (b, b, 0) are in V then (a + b, a + b, 0) is in V
 If v=(a, a, 0) is in V then cv = (ca, ca, 0) is in V

 Không gian sinh bởi một họ vecto

10

V is a subspace of R3.

10/10/2019

11

10/10/2019

12

2



10/11/2019

SOME EXAMPLES OF SETS THAT ARE
NOT SUBSPACES OF R N:

SOME EXAMPLES OF SETS THAT ARE
NOT SUBSPACES OF R N:
 0 = 0, 0, … , 0  𝑉
 𝑢, 𝑣 𝑉  𝑢 + 𝑣 𝑉
 𝑣 𝑉  𝑘𝑣 𝑉

𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = (1,0,0)
U=
V=
W=

 0 = 0, 0, … , 0  𝑉
 𝑢, 𝑣 𝑉  𝑢 + 𝑣 𝑉
 𝑣 𝑉  𝑘𝑣 𝑉

𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = 1,0,0 // in V
𝑢+ 𝑣 = (1, 1, 1)
// not in V

V = {(a, b, c) | a = 0 or b = 0}

V = {(a, b, c) | a = b or a = -b}
𝑢 = 1,1,0 , 𝑣 = (1, −1,0)

but u + v is not in V
13

10/10/2019

// in V
14

10/10/2019

Key = a

VÍ DỤ_BIỂU THỊ TUYẾN TÍNH

SUBSPACE OR NOT?

Cho các vecto u = (1, -1, 2), v = (2, 1, 3), w = (1, -3, 1).
Hãy viết vecto w dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai
vecto u và v (nếu được)
Điều này có nghĩa là tìm các hệ số a, b sao cho:

w = 2u - v

w = au + bv
(1, -3, 1) = a(1, -1, 2) + b(2, 1, 3)
w

u

v


= (a + b, -a + b, 2a + 3b)

10/10/2019

15

TỔ HỢP TUYẾN TÍNH (LINEAR COMBINATION)

a + b =1
-a + b = -3
2a + 3b = 1
 a = 2, b = -1

16

10/10/2019

LINEAR COMBINATION
Given u = (1, -1, 2), v = (-2, 0, 3) and w = (-3, 2, 1)
Write x = (1, 0, 2) as a linear combination of u, v,
and w.
We find numbers a, b, c such that:
x = au + bv + cw
(1, 0, 2) = a(1, -1, 2) + b(-2, 0, 3) + c(3, 2, 1)
(1, 0, 2) = (a -2b + 3c, -a + 2c, 2a + 3b + c)
1a -2b + 3c = 1
-1a + 0b + 2c = 0
2a + 3b + 1c = 2


10/10/2019

17

10/10/2019

a = 2, b = -1, c = 1
 x = 2u –v + w

18

3


10/11/2019

VÍ DỤ

SPANNING SETS
V = span{𝑢, 𝑣} = {a𝑢 + 𝑏𝑣| a, b in R}

1  (1,3, 2);  2  (0,1, 1);  3  (2,0, 3)
  (2,1, 1)

u
v

V

V = span{𝑢, 𝑣, 𝑤} = {a𝑢 + 𝑏𝑣+ c𝑤| a, b, c in R}.

We also say {u, v, w} spans V
a𝑢 + 𝑏𝑣+ c𝑤 is called a linear combination of 𝑢, 𝑣, and 𝑤.

19

10/10/2019

SPANNING SETS - EXAMPLES

20

10/10/2019

KHÔNG GIAN CON SINH BỞI HỌ VECTƠ
Cho tập hợp các vec tơ:

Given V = span{(-1, 2, 1), (3, -5, -1)}
a. (-1, 1, 1) V?

M

v1, v2 ,..., vn

b. Find m such that (-2, 1, m)V.

Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính các vec tơ của M
tạo thành một không gian vec tơ.

Solution.
a. (-1, 1, 1) = a(-1, 2, 1) + b(3, -5, -1)

(-1, 1, 1) = (-a + 3b, 2a – 5b, a –b)
b. (-2, 1, m) = a(-1, 2, 1) + b(3, -5, -1)

-a + 3b = -1
2a – 5b = 1
a– b=1

span M

-a + 3b = -2
2a – 5b = 1
a– b=m

Find m such that (-1, -2, m) lies in the subspace spanned by the
vectors

22

1. Find the values of t for which (2, -1, t) lies in the
subspace spanned by the vectors (-1, 1, 0) and (2, -3, 1).

(1, 2, -3), (-1, -1, 5) and (2, 5, -4).
Solution.

2. For what values of x does the vector (1, 1, x) is a linear
combination of the vectors (1, 0, -3) and (-2, 1, 5)?

We want the system below has solution a, b, c:
(-1, -2, m) = a(1, 2, -3) + b(-1, -1, 5) + c(2, 5, -4)


3. Find the values of m such that (4, -2, -1, m) lies in the
subspace spanned by the vectors (1, 0, -1, 1), (1, 0, 0,
1), and (2, -1, 1, 0).

(-1, -2, m) = (a -2b + 2c, 2a –b +5c, -3a + 5b -4c)
1 −1
2 −1
−3 5
1 −1
0 1
0 0
10/10/2019

10/10/2019

BÀI TẬP

VÍ DỤ

a – b + 2c = -1
2a – b + 5c = -2
-3a + 5b – 4c = m

span v1, v2,..., vn

Span(M) là không gian vecto con, sinh bởi một họ vec
tơ
21

10/10/2019


v1, v2 ,..., vn

2 −1
5 −2
−4 𝑚
2 −1
1 0
0 𝑚 −3

1 −1
0 1
0 2

2 −1
1 0
2 𝑚 −3

m=3
23

10/10/2019

24

4


10/11/2019


Key = d, e, b

Key = e, c, a

SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS.

SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS.

Let X = (-1, -3, 3) and U = span{Y = (1, 0, 3), Z = (1, 1, 1)}. If X is in U, write X =aY + bZ,
then find the sum a+b.
a) X is not in U
b) a+b = -1
c) a+b = 4
d) a+b = 0
e) None of these
25

10/10/2019

SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS.

26

10/10/2019

ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH
Một tập hợp các vecto {v1, v2, …, vn} được gọi là độc
lập tuyến tính (linearly independent) nếu hệ phương
trình:
t1𝑣1+ t2𝑣2+ ... + tn𝑣𝑛= 0

Chỉ có nghiệm tầm thường:
t1 = t 2 = … = tn = 0

Suppose V = span{(1, -1, 0), (2, -1, 1), (-1, 0, 1)}. Find all values of t such that (1,
2, t) V.
a) t is arbitrary b) t = 3/2
c) t = 3
d) t = -1

27

10/10/2019

10/10/2019

28

DO YOURSELF
Độc lập tuyến tính
 số phần tử cơ sở =
Số vecto

10/10/2019

29

10/10/2019

30


5


10/11/2019

VÍ DỤ

VÍ DỤ

Các hệ vec tơ sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc
tuyến tính?

Trong không gian R3 cho hệ vec tơ:

M  1,1,1 ;  2,1,3 ; 1,2,0 

a) 1  (1,2,3); 2  (2,1,0); 3  (0,1, 2)
b) 1  (2,4); 2  (1, 2)

1) Hệ vec tơ M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến
tính?
2) Vec tơ x=(2,-1,3) có biểu thị tuyến tính được qua hệ M
không?

10/10/2019

31

TỔNG HỢP


10/10/2019

32

10/10/2019

XÉT SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH

33

XÉT TỔ HỢP TUYẾN TÍNH

34

10/10/2019

XÉT ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TRONG RN
Trong Rn cho hệ vec tơ

M  1 , 2 ,

1  (a11 , a12 , , a1n ) 
 2  (a21 , a22 , , a2 n ) 

, m 

 a11 a12
a
a22
21

 A 

.............................. 

 m  (am1 , am 2 , , amn ) 
 am1 am 2

a1n 
a2 n 



amn 

• Hệ M độc lập tuyến tính khi và chỉ khi rank A=m (số véc
tơ của hệ)
• Hệ M phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi rank A10/10/2019

35

10/10/2019

36

6


10/11/2019

VÍ DỤ

CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KGVT

Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của
các hệ véc tơ sau đây trong không gian đã chỉ ra

 Tập sinh

a) 1  (1,1,0), 2  (0,1,1), 3  (1,0,1 trong R 3

 Cơ sở

b) 1  (1,1,0,0),  2  (0,1,1,0), 3  (2,3,1,0) trong R

37

10/10/2019

TẬP SINH CỦA KHÔNG GIAN VECTO

4

 Số chiều

38

10/10/2019

VÍ DỤ

x

1

1,1,1

1
1
1

39

10/10/2019

VÍ DỤ

x

2
3

1
1
1

10/10/2019

2
2

1, 2,1

2 3
x1
3 3
x2
x3
3

10/10/2019

3

2, 3,1

Hệ này có nghiệm
với mọi x nên mọi
vec tơ x của không
gian R3 đều là tổ
hợp tuyến tính
của hệ vec tơ M
40

CƠ SỞ - SỐ CHIỀU

1,1, 1

1

2

2

2

2
2
2

2

3
4

3
3

2, 3,1
x1
x2
x3

3

3, 4, 0

Hệ này có thể vô
nghiệm nên vẫn
có vec tơ x của

không gian R3
không là tổ hợp
tuyến tính của hệ
vec tơ M
41

Hệ vec tơ
M gọi là cơ
sở của
không gian
vec tơ V
nếu nó độc
lập tuyến
tính và mọi
vec tơ của
không gian
V đều biểu
thị tuyến
tính được
qua M.
10/10/2019

42

7


10/11/2019

ĐỊNH LÝ

VÍ DỤ

Giả sử V là không gian hữu hạn chiều. Khi đó:
1) Tồn tại vô số cơ sở của không gian vec tơ V

Choose a set of 3 vectors
And this set must be linearly independent

2) Số lượng vec tơ trong mọi cơ sở đều bằng nhau.
Định lý. Trong không gian Rn, một tập hợp gồm đúng

n vecto là cơ sở của Rn khi và chỉ khi các vecto này
độc lập tuyến tính.

43

10/10/2019

SỐ CHIỀU CỦA KGVT

10/10/2019

44

VÍ DỤ

Số chiều = số lượng vecto trong cơ sở

dim(Rn) = n

If U  V then dim(U)  dim(V)
 dim(subspace)  3 = dim(R3)
 Dimension is not 4 or more than 4
Dim( ) = 2 = number of leading ones

1 1 -3 2
2 -2 2 0
-1 1 -1 0
1
0
0

1 -3 2
-4 8 -4
2 -4 2

1
0
0

1 -3 2
1 -2 1
0 0 0
45

10/10/2019

CƠ SỞ CHÍNH TẮC TRONG Rn

Đặt:

1, 0,..., 0 ; 0,1, 0,..., 0 ;...; 0, 0..., 0,1

e1  (1,0,

,0)

e2  (0,1,

,0)

..................
en  (0, 0,1)

46

TÍNH CHẤT

Trong Rn ta dễ dàng chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở.
E

10/10/2019

Cho không gian vec tơ V có số chiều là n, dimV=n

Rn

ta gọi đây là cơ sở chính tắc của R n

dim  R n   n

10/10/2019

47

10/10/2019

48

8


10/11/2019

VÍ DỤ

HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ

A) Kiểm tra tập hợp sau có là cơ sở của R3

Cho hệ vec tơ:

M

M

1,1,1 ; 2, 3,1 ; 3,1, 0

Một tập hợp con các vecto của M được gọi là hệ con độc
lập tuyến tính tối đại nếu:

B) Kiểm tra tập hợp sau có là tập sinh của R3
M

+ Hệ độc lập tuyến tính

1,1,1 ; 2, 0,1 ; 1,1, 0 ; 1, 2,1

10/10/2019

x 1, x 2 ,..., x n

+ Nếu thêm bất kỳ véc tơ khác nào của hệ M vào hệ con
đó ta đều nhận được một hệ một hệ phụ thuộc tuyến
tính

49

10/10/2019

50

TÌM HỆ CON ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TỐI ĐẠI,
HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ TRONG Rn

HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ
+ Một hệ véc tơ có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tính
tối đại khác nhau
+ Số véc tơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì
luôn bằng nhau.
Hạng của hệ vec tơ M là số tối đại các vec tơ độc lập

tuyến tính của M. Ký hiệu là rank(M)

Trong Rn cho hệ gồm m vec tơ sau:
M
x1, x 2,..., x n
Để tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại:
1) Lập ma trận A có các hàng là các vec tơ xi

2) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa A về
dạng ma trận bậc thang A’.
3) Khi đó hạng của hệ M chính bằng hạng của ma trận A
và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của M gồm các véc tơ
ứng với các dòng khác 0 của ma trận bậc thang A’.

10/10/2019

51

VÍ DỤ

10/10/2019

VÍ DỤ
Trong R4 cho các hệ vec tơ sau:

Trong R4 cho hệ vec tơ sau:
M  (1,1,2,2),(2,3,6,6),(3,4,8,8),(5,7,14,14),(8,11,22,22)

a ) M  1  (1, 1,0,1),  2  (1,0, 1, 2), 3  (0,1, 1,2)

M   x1 , x2 , x3 , x4 , x5 

b) N  1,1,1,0  ; 1,2,1,1 ;  2,3,2,1 ; 1,3,1,2 

Tìm hạng của hệ vec tơ và chỉ ra một hệ độc lập tuyến
tính tối đại của nó

Tìm hạng của hệ vec tơ và chỉ ra một hệ độc lập tuyến
tính tối đại của nó

10/10/2019

52

53

10/10/2019

54

9


10/11/2019

TÍNH CHẤT HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ

HỌ VEC TƠ HÀNG – HỌ VEC TƠ CỘT

1) Hạng của họ vec tơ M không đổi nếu ta nhân một vec tơ

của M với một số khác không.

Cho ma trận A:
A

2) Cộng vào một vec tơ của họ M một vec tơ khác đã được
nhân với một số thì hạng không đổi
3) Thêm vào họ M một vec tơ x là tổ hợp tuyến tính của M
thì hạng không thay đổi.

1
1
2
1

1
2
3
3

1
1
2
1

0
1
1
2

Họ vec tơ hàng của A:
M

1,1,1, 0 ; 1, 2,1,1 ; 2, 3, 2,1 ; 1, 3,1, 2

Chú ý. Nếu rank(M)= k0 thì:
+ Tồn tại k0 vec tơ độc lập tuyến tính của M

Họ vec tơ cột của A:

+ Mọi tập hợp chứa nhiều hơn k0 vectơ đều phụ thuộc tuyến
tính.
55

10/10/2019

ĐỊNH LÝ VỀ HẠNG

N

Tìm hạng của hệ vec tơ sau:

Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ vec tơ hàng A.
Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ vec tơ cột của
A.

rank colA

56

10/10/2019

VÍ DỤ

Định lý. Cho A là ma trận cỡ m x n

rank A

rank rowA

M

1,1,1, 0 ; 1,1, 1,1 ; 2, 3,1,1 ; 3, 4, 0, 2

Giải.
M là họ vec tơ hàng của ma trận A nên hạng của M bằng
với hạng của ma trận A.

A

57

10/10/2019

VÍ DỤ

1
1
2
3

1
1
3
4

1
1
1
0

0
1
1
2
58

10/10/2019

KGVT HÀNG – CỘT VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN
A is a mxn matrix  rank(A)  m, rank(A)  n

Tìm tất cả các số thực m để họ vec tơ sau phụ thuộc
tuyến tính
M

10/10/2019

1 1 1 0
1 2 1 1

;
; ;
2 3 2 1
1 3 1 2

Row space
Row space of a matrix
Row(A) = span{row1, row2,
…, rowm}
(rows = vectors)

1,1, 0 ; 1, 2,1 ; m, 0,1

59

10/10/2019

Column space
Column space of a matrix
Col(A) = span{col1, col2, …,
coln}
dim(row(A)) = dim(col(A)) =
rank(A)

60

10


10/11/2019

VÍ DỤ

Dim(col(A)) = rank(A)

61

10/10/2019

62

10/10/2019

KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

Xét hệ thuần nhất

Định lý. L là không gian vec tơ con của Rn và:

dim L  n  r  A 

a11 x1  a12 x2   a1n xn  0
a x  a x   a x  0
 21 1 22 2
2n n
 A. X  0



am1 x1  am 2 x2   amn xn  0



Cơ sở: hệ nghiệm cơ sở của hệ

Ta gọi L là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến
tính thuần nhất.



Đặt: L  x   x1, x2 ,..., xn   R n : A. X  0

Là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất.
10/10/2019

63

VÍ DỤ

64

10/10/2019

KHÔNG GIAN NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT

Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của các hệ
phương trình thuần nhất.

 x1  2 x2  x3  x4  0

a) 2 x1  4 x2  3 x3 =0
 x  2 x  x +5x =0
2
3
4
 1
 x1  2 x2  x3  3x4  4 x5  0

b) 2 x1  4 x2  2 x3  7 x4  5 x5  0
2 x  4 x  2 x  4 x  2 x  0
2
3
4
5
 1
10/10/2019

dim(solution space) = n – r

65

10/10/2019

// n: số biến trong hệ,
r : hạng của ma trận hệ số

66

11


10/11/2019

NULL SPACE AND IMAGE SPACE OF A MATRIX

VÍ DỤ

Null space of a matrix A:
Null(A) = {X :AX = 0}
(solution space of a
homogeneous system)
dim(null(A)) = n – r

Image space:
Im(A) = {all image AX: X in
Rn}
Im(A) = col(A)
dim(im(A)) = dim(col(A))
= rank(A)

Dim(G) = n – r = 3 – 1 = 2  a basis for G contains 2 vectors
 c, e, b impossible
In other hand, (1, 0, 0) is not in G  can not be d, f
a

10/10/2019

67

VÍ DỤ

10/10/2019

68

TỌA ĐỘ CỦA VECTO
 Tọa độ
 Đổi tọa độ
 Ma trận chuyển cơ sở
 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất

10/10/2019

69

TỌA ĐỘ CỦA VEC TƠ

10/10/2019

10/10/2019

70

VÍ DỤ

71

10/10/2019

72

12


10/11/2019

TÍNH CHẤT

10/10/2019

Ý NGHĨA

73

VÍ DỤ

10/10/2019

74

10/10/2019

ĐỔI CƠ SỞ TRONG KGVT

75

ĐỊNH LÝ & VÍ DỤ

76

10/10/2019

VÍ DỤ
Trong kgvt R3 cho 2 cơ sở:
B1

e1

1, 0, 0 ;e2

B2

u1

2, 1, 3 ; u2

0,1, 0 ;e3
1, 0,1 ; u 3

0, 0,1
0, 1, 2

A) Viết ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2
B) Tìm tọa độ của vec tơ x=(3,-1,0) đối với cơ sở B2.
Ghi chú. Cơ sở B1 gọi là cơ sở chính tắc của R3

10/10/2019

77

10/10/2019

78

13


10/11/2019

GIẢI

DOT PRODUCT

A) Ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2:
2
TB

1

B2

1

1
0
1

3

𝑢 = (x1, y1, z1, w1), 𝑣 = (x2, y2, z2, w2)
vector  vector // dot product:

0

𝑢𝑣 = x1x2 + y1y2 + z1z2 + w1w2

1

= a number

2

𝑢𝑣= 0  orthogonal // trực giao
Length of a vector:

B) Tọa độ của vec tơ x=(3,-1,0) đối với cơ sở B2 là:
x

B2

TB

B1

2

x

1
x

B2

TB

B1

1

2
1
1

3

1

1

B2

2
1

1

0

1 3

4
1

2
3

1
0
1

1

0

𝑣 = 𝑣𝑣 = x12 + y12 + z12 + w12

3

1

Distance between 𝑢, 𝑣:

1

2

Dist(𝑢, 𝑣) = 𝑢 − 𝑣

0

5
1

7
4

0

79

10/10/2019

PROPERTIES

80

10/10/2019

KIỂM TRA GIỮA KỲ 60’
1) Cho các ma trận:
A

3
0

4

1
3

6
1
4

1
B

0
3

2
1
7

A) Tìm điều kiện để ma trận A khả nghịch.
B) Giải phương trình sau biết detA=-1.

XA

81

10/10/2019

GIẢI BÀI 1
12

det A

0

det A

1

B
X .A3.3

10/10/2019

0
3

82

10/10/2019

BÀI 2

det A

A

3B

4

0

6

9

0

3

2

Tính các định thức:

3
2
3

3
0
2

4
1
3

1

2
1
7

2

1

6
1
4

A

2
1

1
2
2

2
0
1

2
3
3

3B3.2 vo nghiem

83

2 8
3 9
A
3 0
1 4

6 8
2 8
5 10 
0 9


1 2
3 0
0 6
1 4

0 1
18 9
A
3 0
9 4

0 0
18 6 8
6 6 4
2 6 4
6 8
  3 1 2  6 1 1 1  6 0 1 1  36
1 2

9 0 6
3 0 3
0 0 3
0 6

10/10/2019

6 8
2 1
6 8
0 9



1 2
3 0
0 6
1 4

0 0
6 8
1 2
0 6

84

14


10/11/2019

BÀI 2

BÀI 3
Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau:

Tính các định thức:
x
1
B
1
1

1
x
1
1

1
x3
1  x3


1
x3
x
x3

1
1

x
1

1
x
1
1

1
1
x
1

1
1
1 
1

  x  3
1
1
x
1

1
x
1
1

1

1
x
1

1
1
1
x

x2
 x1 

m
x

2
x2
 1
 x  x
2
 1





mx3 
m
2
m


2
x

4

 3
3x3  2m  3

1
1
1
1
0 x 1 0
0
3
A   x  3
  x  3 x  1
0
0
x 1 0
0
0
0
x 1

85

10/10/2019

GIẢI
1 1
D m 2
1 1

1 1
D m 2
1 1

3

m
4
 2m  3

1 1
D3  m 2
1 1

GIẢI

m

 2m  2   m 2  m  6

m
1
D1 
4
2

 2m  3 1
1
D2  m
1

86

10/10/2019

m
 2m  2   2m2  4m  6
3

m

 2m  2   m 2  m  6  0  m  2

 m  3

3

m  2  D  0, D1  0
m  3  D  0, D1  D2  D3  0

m
 2 m  2   2 m 3  4 m 2  8m  6
3

m
4

 m2  m  6
 2m  3
87

10/10/2019

BÀI 4

10/10/2019

88

BÀI 4

Cho các vec tơ sau:
v1 = (2,3,1,2),

v2 = (1,2,3,−1),

A) Phụ thuộc tuyến tính

v3 = (7,12,11,1),

v4 = (4,m,−3,n).

B) m=5, n=20

A) Hệ vec tơ { v1, v2, v3} là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc
tuyến tính?
B) Tìm m,n để v4 là tổ hợp tuyến tính của { v1, v2, v3 }.

10/10/2019

89

10/10/2019

90

15


10/11/2019

KIỂM TRA GIỮA KỲ 60’_K57

CÂU 1
0
1
4

1) Cho các ma trận:
A

0
1
4

1
0

2
3
8

3

B

2
1
3

A

4
0
6

A) Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có)
B) Giải phương trình sau:

A.X

91

BÀI 2

• Với 1$ giá trị của sản phẩm C công ty tốn 0,40$ nguyên liệu,
0,30$ lương lao động và 0,15$ phụ phí.

B) Nếu công ty sản xuất 100$ sản phẩm B và 200$ sản phẩm C
thì chi phí cụ thể của từng mục như thế nào?
C) Gọi q1, q2, q3, q4 là ma trận cột sản lượng tính theo $ của
các sản phâm B và C trong các quý 1,2,3,4. Hãy tính và giải
thích ý nghĩa ma trận U.Q với Q=[q1 q2 q3 q4]
93

10/10/2019

BÀI 2

10/10/2019

7
4
2

1.5
1
0.5

1.5 2
1 1
0.5 3

7
4
2

4
0
6

6.5
3
2.5

27
14
9

92

10/10/2019

0.45
0.25
0.15
Aproduct
0.45
0.25
0.15

0.40 Nguyen lieu
0.30 Lao dong
0.15 Phu phi
total

C cos t

0.40
100
0.30
200
0.15

Aproduct

total

100
200

total

Product Product
B
C

0.45
0.25
0.15

product

0.40 Nguyen lieu
0.30 Lao dong
0.15 Phu phi

Material

U product

0.45
0.40

cos t

Labor

0.25
0.30

phu phi

0.15 product B
0.15 product C

94

10/10/2019

U cos t

Product Product
B
C

total

4.5
2
1.5

4.5
2
1.5

1

A 1.B

X

BÀI 2

Nếu sản xuất 100$ sản phẩm B và 200$ sản phẩm C

C cos t

X

U cos t

A) Hãy xây dựng ma trận chi phí, ký hiệu U, theo sản phẩm và
loại chi phí của công ty.

product

B

Ma trận chi phí:

• Với 1$ giá trị của sản phẩm B công ty tốn 0,45$ nguyên liệu,
0,25$ lương lao động và 0,15$ phụ phí.

U cos t

3

A.X

A

BÀI 2

Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm B và C.

product

2
3
8

B

10/10/2019

U cos t

1
0

product

Qproduct
U cos t

time

product

Product Product
B
C

0.45
0.25
0.15

0.40 Nguyen lieu
0.30 Lao dong
0.15 Phu phi

q1 q 2 q 3 q 4
Qproduct

time

C cos t

q1B
q1C

q 2B
q2C

q 3B
q 3C

q 4B
q 4C

time

Ma trận tích thể hiện chi phí từng loại theo từng quý.

125 Nguyen lieu
85 Lao dong
45 Phu phi
95

10/10/2019

96

16

10/11/2019

BÀI 3

BÀI 3A

Tính các định thức sau:
A

1

a

a2

1

b

b2

1

c

c2

2
1
1

1

B

1
2
1
1

A

det A

97

1
2
1
1

x
y
z

1

1
0

0

1
x
z

1
1

x
y
z
t

1
1
2
1

1

det B

y
t

2t
t
t

3t

d 1 d 1 2d 4
d2 d2 d 4
d3

d3

d4

0
0
0
1

1
0
1
1

1
d2

4t

d2

z

x

1

1

0
0

d1

x
y
z
t

1

1
0
1

1

x
x
z

2t
t
t

t
y

t

1

b

b2

c

c

2

a

2

2

b

a b

c

a c2

a2

det A

b

h2
h3

c2

h2

h1

h 3 h1

b

1

a

a2

0

b

a b2

a2

c

a c

2

a2

1
1

b
c

0

a c

a c

a

a c

a
a

b

98

mx

y

2x

3t

m

z

1 y

x

99

2z

y

m

m
2

2 z

1

100

10/10/2019

BIỆN LUẬN

Ta có:

Nghiệm duy nhất

m

1

1

m

2
1

1

m

m m
3

D1

m

D2

4 m

1

D3

2 2

m2

2

3m

4m
2

m
2
1

B

2

1

1

2

x , y, z

m

5
2 2

0

4m

5

4m

7

;

4
m2

4m

7

;

2 2
m2

m
4m

7

khi m

1

Ta có hệ
1 m

2

4m

5
A

m

m2
m2

Nếu m=1 thì D=D1=D2=D3=0

7

m

D
10/10/2019

a2

Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính.

CÂU 4

D

b2

c

y

10/10/2019

A

b

1

CÂU 4

2
1
1
1

det B

1

10/10/2019

BÀI 3B

det B

a2

a

det A

10/10/2019

a

1
1

x
y
z
t

1
1
2
1

1

m 1

m

m

1
2
1

1
2
1

1 1
2 1
3 1

1
0
0

1
0
0

1 1
0 0
4 2

1
101

10/10/2019

102

17


10/11/2019

BIỆN LUẬN

CÂU 4
Ta có:

Ta có hệ tương đương:

x

y

z
4z

m

x
z

1
2

A

y 1/ 2
1/ 2

1

1

1

D

m m2

1

4m

1

1
t,
2

1
t,
2

t

D2

D3

10/10/2019

103

m

2

1

1

m

1

1

1

2m

1

2 m

3

m

2

1
m

m

1

m
2 m

1

2

3

2
m
1
2
m

2

m

1

m

2
1

m 1
1

2
1

10/10/2019

1

0

1
1

1

m
2

0
2

m2

m

1
2
7

1

m

2

2

m

1

m
D1

1

m
2
1

B

2
m

m

2
1

Hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số.

1

1

m
D

1

m

2

2
0
0

m
2

2

1

1
2
m

2

104

18