Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh
Khoa Công nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 09:
CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA TRONG
THIẾT KẾ CƠ KHÍ
Thời lượng: 6 tiết


Thiết kế về hình dạng
x1
x2

Thiết kế hình chữ nhật trong 2 trường
hợp sau:
a) Chu vi của nó bằng C và diện tích
của nó lớn nhất có thể
b) Diện tích của nó bằng S và chu vi
của nó nhỏ nhất có thể

Gọi x1, x2 là độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật, ta có các công thức:
Chu vi hình chữ nhật:
P  2  x1  x2 
Diện tích hình chữ nhật: A  x1 x2
Mô hình toán 1:

Mô hình toán 2:

f  x1 , x2   x1 x2  max

f  x1 , x2   2  x1  x2   min

 g  x1 , x2   2  x1  x2   C  0

 x1 , x2  0

 g  x1 , x2   x1 x2  A  0

 x1 , x2  0

2


3

Ví dụ như một người nông dân có 1 diện tích đất trồng trọt rất lớn.
Tuy nhiên ông ta chỉ có lượng lưới thép dài 200 m dùng để làm hàng
rào. Như vậy ông ta sẽ cần giải bài toán để tìm kích thước thửa đất
trồng trọt sao cho chu vi của nó bằng 200 m, và diện tích bên trong
của nó lớn nhất có thể để năng suất canh tác của ông ta được lớn
nhất

Mảnh cần rào lại để trồng trọt


4

Cũng tương tự như trường hợp 1, nhưng lúc này người nông dân
cần một diện tích trồng trọt là 1 hécta trên tổng diện tích 20 hécta
mà ông ta có. Lúc này ông cũng cần biết nên chọn kích thước thửa
đất như thế nào, để nguyên vật liệu làm hàng rào của ông ta là ít

nhất có thể.

Mảnh cần rào lại để trồng trọt


Quy trình 1 lập mô hình toán tối ưu hóa

5

Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế của bài toán,
nó sẽ bao gồm 2 loại:
- Các tham biến không đổi, còn gọi là hằng số
- Các tham biến có thể thay đổi, còn gọi là tham biến điều khiển
Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài
Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán
Xác định các kiến thức cần thiết để tính được hàm
mục tiêu và các hàm ràng buộc
Xây dựng các công thức, hệ thức, hoặc quy trình tính
toán các hàm mục tiêu và ràng buộc
Xác định khoảng giá trị cho phép của các hàm ràng
buộc và tham biến điều khiển sao cho hợp lý nhất về mặt kỹ
thuật nhưng cũng lỏng nhất có thể để dễ tìm được nghiệm. Các
ràng buộc càng chặt, khoảng tham biến càng hẹp thì càng có ít lời
giải. SAU ĐÓ PHÁT BIỂU MÔ HÌNH TOÁN.


Quy trình 2 lập mô hình toán tối ưu hóa

6


Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài
Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán
Xác định các kiến thức cần thiết để tính được hàm
mục tiêu và các hàm ràng buộc
Xây dựng các công thức, hệ thức, hoặc quy trình tính
toán các hàm mục tiêu và ràng buộc
Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế của bài toán,
nó sẽ bao gồm 2 loại:
- Các tham biến không đổi, còn gọi là hằng số
- Các tham biến có thể thay đổi, còn gọi là tham biến điều khiển
Xác định khoảng giá trị cho phép của các hàm ràng
buộc và tham biến điều khiển sao cho hợp lý nhất về mặt kỹ
thuật nhưng cũng lỏng nhất có thể để dễ tìm được nghiệm. Các
ràng buộc càng chặt, khoảng tham biến càng hẹp thì càng có ít lời
giải. SAU ĐÓ PHÁT BIỂU MÔ HÌNH TOÁN.


Sự khác biệt của quy trình 1 và 2
Chú ý, từ quy trình 1 ta đẩy bước 1 xuống về sau bước 5 thì
sẽ thu được quy trình 2.
- Quy trình 1 ứng dụng cho những mô hình toán không
quá phức tạp, ngay từ đề bài ta đã có thể liệt kê được
toàn bộ các tham biến thiết kế
- Quy trình 2 ứng dụng cho những mô hình toán phức tạp,
mà ở đó phát biểu của bài toán là chưa đủ để biết được
hết tất cả các tham biến thiết kế. Chỉ sau khi xây dựng
được hết tất cả các hệ thức, công thức tính toán thì các
tham biến mới lộ diện cũng như ý nghĩa của chúng được
làm rõ. Khi đó ta mới có thể liệt kê được toàn bộ danh
sách của chúng.


7


Các bài toán thiết kế dầm (Beam)

8

Hãy thiết kế kích thước mặt cắt ngang của một cái dầm công-xon bằng
thép dài L=2m chịu tải P=20 kN ở một đầu như hình vẽ để sao cho nó
đủ bền khi chịu uốn và cắt, độ võng tối đa của đầu chịu lực là 1 cm,
đồng thời ít tốt vật liệu nhất có thể. Cho biết bề rộng 60mm ≤ w ≤
300mm, bề dày 10mm ≤ t ≤ 40mm. Tỉ lệ w/t không vượt quá 8.
Cho E=21e4 N/mm2, G=8e4 N/mm2, [σu]=165 N/mm2, [τc]=90 N/mm2


Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế:
- Các hằng số:
L=2e3 mm – chiều dài dầm
P=2e4 N – tải trọng tác dụng vào đầu dầm
E=21e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi kéo-nén của thép làm dầm
G=8e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi trượt của thép làm dầm

9

[f]=10 mm – độ võng tối đa của đầu dầm chịu tải
[σu]=165 N/mm2 – ứng suất chịu uốn cho phép của dầm
[τc]=90 N/mm2 – ứng suất chịu cắt cho phép của dầm
- Các tham biến điều khiển:
w [mm] – bề rộng mặt cắt

t [mm] – độ dày thành ống mặt cắt
Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài
Khối lượng của dầm phải nhỏ nhất có thể thì sẽ tốn ít vật liệu
nhất. Do dầm đồng chất, chiều dài L đã biết nên khối lượng nhỏ
nhất cũng sẽ tương đương với tiết diện mặt cắt nhỏ nhất.


10

Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán
Có 3 ràng buộc:
- Ứng suất pháp dạng uốn lớn nhất xuất hiện trong dầm không
được vượt quá giới hạn cho phép [σu]
- Ứng suất tiêp dạng cắt lớn nhất xuất hiện trong dầm không
được vượt quá giới hạn cho phép [τc]
- Độ võng (chuyển vị) lớn nhất của dầm không được vượt qua
giới hạn cho phép [f]
Xác định các kiến thức cần thiết
SỨC BỀN VẬT LIỆU
-

Xem lại vẽ biểu đồ để tìm mặt cắt có 2 nội lực Mx lớn nhất và Qy lớn nhất
Xem lại chương các đặc trưng hình học của mặt cắt để tính mômen tĩnh và
mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt
Xem lại chương điều kiện bền ƯS pháp lớn nhất để tính σmax
Xem lại chương các trạng thái ứng suất trong dầm chịu uốn để tính τmax
Xem lại chương chuyển vị của dầm chịu uốn để tính độ võng vmax


Xây dựng các công thức, hệ thức, quy trình tính


11

5.1. Vẽ các biểu đồ Qy và Mx để tìm mặt cắt có các nội lực lớn nhất
20 kN

z

A là mặt cắt có nội
lực Qy và Mx lớn
nhất với:

Qy
z

Q

max
y

 20 kN
= 2e4 N

Mx
z

M xmax  40 kN.m
 4e7 N.mm



5.2. Tính mômen tĩnh của nửa mặt cắt và mômen quán tính chính 12
trung tâm của cả mặt cắt đối với trục x
Các điểm có ứng
suất pháp lớn nhất
a
trong mặt cắt A
b

x

Các điểm có ứng
suất tiếp lớn nhất
trong mặt cắt A
1

Sx

w
1w w 
1  w  w   w  2t 
  w
   t   w  2t     t  
2
22 2 
2 2 
8
3

2


1

Adac2

1 dac
yC 2

1
2
Arong

1 rong
yC 2

w   w  2t 
w  w  w  2t  w  2t 
Ix 


12
12
12
3

3

4

4


3


5.3. Tính ứng suất pháp lớn nhất tại điểm a trong mặt cắt A

 max   a 

M xmax
Ix

 ymax 

4e7
w   w  2t 
12
4

4

24e7  w

w
  4
2 w   w  2t 4

5.4. Tính ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm b trong mặt cắt A

w   w  2t 
 2e4 
8


4
4
w   w  2t 
2t
12
3

1

 max   b 

Qymax  S x 2
b*  I x

3

3e4 w   w  2t 


2 t  w4   w  2t 4 


3

13

3



5.5. Tính chuyển vị của mặt cắt B: Nên dùng phương pháp tích
phân hàm gián đoạn để dễ tìm vị trí chuyển vị đạt cực đại

14

Qymax  2e4

M xmax  4e7

EI x v  z   M x  z    2e4  z   4e7 
z2
EI x v  z   EI x  z    2e4    4e7  z  c1
2
z3
z2
EI x v  z    e4    4e7   c1 z  c2
3
2

Vậy hàm độ võng và góc xoay của
dầm là:
e4 2

 z   4e3 z 

z






EI x


3

e4
z
2
v  z  

2e3
z
  


EI
3

x 


Điều kiện biên: Tại A (z=0) là ngàm nên
góc xoay và độ võng bằng 0, do đó:
c1  0

c2  0

Ta dễ thấy do z thuộc [0..2e3] mm, nên
hàm góc xoay θ(z)<0 tức là hàm đô võng

luôn nghịch biến, do đó tại mặt cắt B có
z=2e3 mm thì hàm độ võng đạt cực tiểu
giá trị âm, tức là cực đại giá trị dương,
hay tại B thì độ võng dầm đạt cực đại.


Vậy độ võng của mặt cắt B của dầm là:

vmax 

e4
w4   w  2t 
 21e4 
12

4

15

16e9
64e9

4
4
3

21 w   w  2t  




5.6. Tính diện tích của mặt cắt (thay vì tính khối lượng của dầm)

A  w   w  2t 
2

2

Phát biểu mô hình toán:
Gọi w=x1, t=x2, ta có:
Đây là bài toán tối ưu hóa phi
tuyến với ràng buộc bất đẳng
thức: 2 tham biến và 8 ràng
buộc bất đẳng thức.

f  x1 , x2   x12   x1  2 x2   min
2

  24e7  x1
 165
 4
4
 x1   x1  2 x2 

3
3
x

x

2

x
1
1
2
 3e4 
 90
 2 x  x4  x  2x 4 
1
2  1
2 


64e9

 10
4
4
 21  x1   x1  2 x2  

 
 x1
 8
 x2
60  x1  300;

10  x2  40


Ứng suất đơn và trượt thuần túy


16

Abh
bh3
Ix 
12
S x  yc  A 

- Điểm b
 b   max 

3 Qy
2bh

  

b  h2  4 y 2 

- Điểm a
 a   max 

6 Mx
  
bh 2

8


Ứng suất đơn và trượt thuần túy


17

bh3
Ix 
;
36
h
2h
  y ;
3
3
2h  3y 
yc* 
;
9
b  2h  3 y 
b* 
;
3h
b  2h  3 y 
A* 
;
18h
2

b  h  3 y  2h  3 y 
S x 
;
81h
2


- Điểm a
 a   max

24 M x

  
2
bh

- Điểm b
Nếu mặt cắt đang
xét ko có Mx
b 

3 Qy
bh

  

- Điểm b
Nếu mặt cắt đang xét có cả Mx
 btd   c2  4 c2 

3  4 M x2  4h 2Qy2
bh 2

  



Ứng suất đơn và trượt thuần túy
Ix 

18

  R4  r 4 
4

;

r  y1  R;
b1  2 R 2  y12 ;
3
2 2
2 2
S   R  y1  ;
3

1x

0  y  r;
b  2

2
S  
3

- Điểm d (y1 = r)
4M x r





 d
  R4  r 4 


4 Qy
 
 d 3  R 2  r 2 

  dtd   d2  4 d2   


x

- Điểm b
 b   max 

3  R  r

R2  y2  r 2  y2 ;



R y
2

2


 
3

r y
2

2

  ;
3

- Điểm a (y1 = R)

4 Qy  R 2  Rr  r 2 
4





4



  


4 Mx R
  
  a 

4
4

R

r




 a  0


19
BH 3  bh3
Ix 
;
12
h
H
 y1  ;
2
2

b1  B;
S1x 

B  H 2  4 y12 
8


;

0 y h ;
2
b   B  b  ;
BH 2  bh 2   B  b  4 y 2
S 
;
8

x

- Điểm a (y1 = H/2)
a 

- Điểm e
- Điểm b

6M x  H
3 Qy  BH 2  bh 2 




 b   max 
  
BH 3  bh3
3
3
2  BH  bh   B  b 


6M x  h




 d
BH 3  bh3


3 Qy  H 2  h 2  B
 d 

3
3

2
BH

bh

 Bb

  dtd   d2  4 d2   


20
bh3  b  t  h1
Ix  Ix 


12
12
1
 I x  I x   bh3  bh13  th13 
12
3

Sx 

b  h 2  h12   t  h12  4 y 2 
8

- Điểm a
 a   max  

6M x h
  
3
3
3
 bh  bh1  th1 

- Điểm b
 b   max 

- Điểm d

3 Qy  bh 2  bh12  th12 
2t  bh  bh  th
3


3
1

3
1



  

6 M x  h1




 d
bh3  bh13  th13 



2
2
  3 Qy b  h  h1 
 d 2t  bh3  bh3  th3 
1
1

  dtd   d2  4 d2



21
h  c1  c2 ;
th12  bh 2  bh12
c2 
;
2  th1  bh  bh1 
b  h  h1   th1  2h  h1 
c1 
;
2  th1  bh  bh1 
2

3
bh3  b  t  h1
I x1 

3
3
I x  I x1  c22 b  h  h1   th1 

h  h1 

 h1  c2  y

S x  y   b  h  h1   c1 

t
h


c

y

y


1
2



2 
2




- Điểm b (y = 0)

h  h1   h1  c2  

b
h

h
c





 t
   Qy
1  1
2
2

 
 

 3
  
 bh  b  t  h13


 c22 b  h  h1   th1    t

3
 3

2

 b   max

- Điểm a (y = - c2)
 keo
Mx
 c2   
  max   a 
Ix



 a  0


Các tình huống
1st
y

Q

D
1st
y

E

Q
Qy

z

Q
M
Mx

Q

1st
x


A

2nd
y

2nd
y

M

2nd
x

z

B
E

M

1st
x―

M

2nd
x

q  3 kN m


22


23

Các tình huống
q  3 kN m

Qy2nd


Q1st
y
Qy

z

D
1st
y

E

Qy2nd


Q
M 1st
x

Mx

A

z

B
E

M 1st
x―



M x2nd

M x2nd



Hàm mômen uốn của 1 số trường hợp
Các loại tải trọng

Hàm mômen uốn
Mx  Mx  z
M x  M0 z  a

Mx  P z  a

Mx 


w0
za
2

Mx 

m
za
6

0

1

2

3

24


25

Các bài toán thiết kế dầm (Beam)

Hãy lập mô hình toán thiết kế tối ưu khối lượng dầm, trong khi thỏa mãn được điều
kiện bền ứng suất pháp lớn nhất, điều kiện bền ứng suất tiếp lớn nhất; điều kiện
bền ứng suất phẳng theo thuyết bền 3. Đồng thời chuyển vị lớn nhất trong dầm
không vượt quá 1 cm. Đối với các mặt cắt thành mỏng thì tỉ lệ các kích thước lớn

trên kích thước thành mỏng không được vượt quá 8 để đảm bảo sự ổn định thành
mỏng. Cho biết:
- Các kích thước lớn nằm trong khoảng [60;300] mm, các kích thước thành mỏng
nằm trong khoảng [10;40] mm
b
- Ứng suất pháp cho phép [σ]=165 N/mm2
- Ứng suất tiếp cho phép [τ]=90 N/mm2
- Môđun đàn hồi E=21E4 N/mm2

t

h

x1  h
w1 = 2 kN/m
P1 = 5 kN
M1 = 5 kN.m

x2  b
x3  t

t