Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

1


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2018 – 2019
MÔN : TOÁN

Câu 1.

a) Rút gọn


x
x − x −1  x + 2
x −5 
P=
−
:
−
÷

÷
 x − 2 x − 2 x   x +1 x − x − 2 

a = 3 7 + 50 , b = 3 7 − 50 .

b) Cho
M = a + b; N = a 7 + b 7

 x ≠ 4
 x > 0÷



Chứng minh rằng các biểu thức

có giá trị đều là số chẵn

Câu 2.
a) Giả sử

x1; x2

x 2 + 2kx + 4 = 0 k
là hai nghiệm của phương trình
( là tham số). Tìm
2

các giá trị của

k


2

 x1   x2 
 ÷ + ÷ ≤3
 x2   x1 

sao cho
 x + x 2 + 1 = 2 y + 1

2
 y + y + 1 = 2 x + 1
b) Giải hệ phương trình:
Câu 3.
x 2 y 2 ( x + y ) + x = 2 + y ( x − 1)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
n ∈ ¥ *.
2n + 1 3n + 1
n
b) Cho
Chứng minh rằng nếu
và
là các số chính phương thì
chia hết cho 40.
Câu 4.
( O; R )
OA = 2 R.
A
Cho đường tròn
và một điểm A cố định ở bên ngoài đường tròn,

Từ kẻ
( O ) B, C
AB, AC
OA
các tiếp tuyến
đến đường tròn
(
là các tiếp điểm). Đường thẳng
cắt

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

2


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành

I.
BC .
M
M
tại Gọi
là điểm di động trên cung nhỏ
Tiếp tuyến tại
của đường tròn
AB, AC
E, F .
OE , OF
BC

P Q
cắt
lần lượt tại
Dây
cắt
lần lượt tại các điểm và
·ABI = 600
OBEQ
a) Chứng minh rằng
và tứ giác
nôi tiếp
EF = 2 PQ
b) Chứng minh rằng
OPQ
BC
M
c) Xác định vị trí điểm
trên cung nhỏ
sao cho tam giác
có diện tích nhỏ
R.
nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó theo
Câu 5.
x3 y 3
P=
2
( x + yz ) ( y + zx ) ( z + xy )
x, y , z > 0
x + y − z + 1 = 0.
GTLN

Cho
thỏa mãn
Tìm
của
dây
( O)

BC

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

3


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành
ĐÁP ÁN
Câu 1.
a) Ta có:
P=

(

):

x − x − x −1
x

(


)(

x −2

2 +1 = 2 +1

b=

x −2

a=3
b) Ta có :

(

) (

x − 4 − ( x − 5)

)

x +1

3

và

=

)

3

x +1
1
:
=
x
x +1

(1− 2 )

3

(

)

x +1
x

=1− 2
. Do đó

a + b = 2
2
⇒ a 2 + b 2 = ( a + b ) − 2ab = 6

ab = −1

Ta lại có:

N = a7 + b7

2

M =2

là số chẵn

, do đó:

= a 7 + a 4b3 + b7 + a 3b 4 − ( a 4b3 + a 3b 4 )
= ( a 3 + b3 ) ( a 4 + b 4 ) − a 3b3 ( a + b )

2
= ( a + b ) ( a 2 + b 2 − ab ) ( a 2 + b 2 ) − 2a 2b 2  + 2 = 478



là số chẵn.

Câu 2.
∆ ' ≥ 0 ⇔ k 2 − 4 ≥ 0 ⇔ k ≥ 2.

a) Để phương trình có nghiệm thì

Ta thấy
2

x=0


không phải là nghiệm, theo Vi-et thì

 x1 + x2 = −2k

 x1 x2 = 4

2

x  x 
⇒  1 ÷ +  2 ÷ ≤ 3 ⇔ x14 + x24 ≤ 48
 x2   x1 
⇔(x +x
2
1

⇒ ( 4k 2

)
− 8)

2 2
2
2

2

2
− 2 x x ≤ 48 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  ≤ 80



2 2
1 2

≤ 80 ⇔ 4 ≤ k 2 ≤ 5 + 2

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

4


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành
− 5 + 2 ≤ k ≤ −2

⇔
2 ≤ k ≤
5+2
2
2
2 y 2 + 2 y − 2 xy − x = 0
 x + 1 = ( 2 y + 1 − x )
x + x +1 = 2y +1 ⇔ 
⇔
2 y + 1 − x ≥ 1
2 y − x ≥ 0
2

b) Ta có:

 y 2 + 1 = ( 2 x + 1 − y ) 2

2 x 2 + 2 y − 2 xy − y = 0
y + y + 1 = 2x + 1 ⇔ 
⇔
2 x + 1 − y ≥ 1
2 x − y ≥ 0
2

Suy ra
Do đó
Câu 3.

2 y 2 + 2 y − 2 xy − x = 0
⇒ ( x − y )  2 ( x + y ) + 3 = 0.
 2
2 x + 2 x − 2 xy − y = 0

x= y⇒x= y=0

Vì

2 x − y ≥ 0
⇔ x+ y≥0

2 y − x ≥ 0

là nghiệm của hệ phương trình

( x + y ) ( x 2 y 2 + 1) = xy + 2 ⇔ x + y =
a) Phương trình tương đương
Suy ra


xy + 2
x2 y2 + 1

( xy + 2 ) M( x 2 y 2 + 1) ⇒ ( x 2 y 2 − 4 ) M( x 2 y 2 + 1) ⇒ ( x 2 y 2 + 1 − 5) M( x 2 y 2 + 1) ⇒ 5M( x 2 y 2 + 1)
⇒ x 2 y 2 + 1∈ { 1;5} ⇒ x 2 y 2 ∈ { 0;4} ⇒ xy ∈ { −2;0;2}

Xét
Xét
Xét
Vậy

xy = 0

x + y = 2 ⇒ ( x; y ) ∈ { ( 0;2 ) ; ( 2;0 ) }

thì
xy = −2 ⇒ x + y = 0 ⇒ y = − x ⇒ x 2 = 2(ktm)
4
xy = 2 ⇒ x + y = (ktm)
5

( x; y ) ∈{ ( 0;2 ) ; ( 2;0 ) }

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

5



Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành
2n + 1 = a 2

2
3n + 1 = b

a, b ∈ ¥ *,

a 2 = 2n + 1

a
b) Đặt
với
suy ra
là số lẻ nên lẻ
2n = ( a − 1) ( a + 1) M4 ⇒ nM
2 ⇒ 3n + 1 = b 2
b
Do đó:
là số lẻ nên lẻ.
b = 2c + 1( c ∈ ¥ *)
Đặt
2
3n = ( 2c + 1) − 1 = 4c ( c + 1) M
8 ⇒ nM
8 (1)
Ta có:
0;1
5
Mặt khác số chính phương chia cho chỉ có thể dư

hoặc 4. Do đó
n
5
2n − 1
5
- Nếu chia cho dư 1 thì
chia cho dư 3, vô lý
n
- Nếu chia cho 5 dư 2 thì 3n+1 chia cho 5 dư 2, vô lý
- Nếu n chia cho 5 dư 3 thì 2n+1 chia cho 5 dư 2, vô lý
- Nếu n chia cho 5 dư 4 thì 3n +1 chia cho 5 dư 3, vô lý
nM
5 (2)
Vậy
n
Từ (1) và (2) suy ra chia hết cho 40
Câu 4.

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

6


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành

OA ⊥ BC
I
a) Ta chứng minh được
tại

OB 1
cos ·ABI = cos ·AOB =
= ⇒ ·ABI = 600
OA 2
Do đó,
·
·
·
COM
+ BOM
BOC
·
·
·
EOF
= FOM
+ EOM
=
=
= ·AOB = 600
2
2
Mặt khác
·
⇒ EOF
= ·ABI ⇒ OBEQ
nội tiếp
PQ OQ
·
·

·
OQP
= OEB
= OEF
⇒ ∆OQP : ∆OEF ⇒
=
(1)
EF OE
b) Ta có
Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

7


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành

Mặt khác

·
·
OBE
+ OQE
= 1800

mà

·
OBE
= 900


1
OQ 1
·
·
·
·
⇒ OQE
= 900 ⇒ OEQ
= 900 − EOF
= 300 ⇒ sin OEQ
= ⇒
= ( 2)
2
OE 2

EF = 2 PQ

Từ (1) và (2) suy ra
O
OA
AB
K
c) Qua kẻ đường thẳng vuông góc với
và cắt
và AC lần lượt tại và H.
2
SOPQ  EF  1
SOEF OM .EF R.EF
=

=
⇒
S
=
=
=
OPQ
SOEF  PQ ÷
4
8
8
∆OQP : ∆OEF
 4
Vì
nên
R
µ = BOI
·
K
= 600 ⇒ HC = KB = OB.cot K = OB.cot 600 =
3
Vì
EF = FM + EM = FC + EB = ( HF − HC ) + ( KE − KB )
Lại có
2R
= ( HF + KE ) − ( HC + KB ) = ( HF + KE ) − 2 HC ≥ 2 HF .KE =
.
3

∆HFO : ∆OFE

∆KOE : ∆OFE
Mặt khác, ta chứng minh được
và
nên
2
HF HO
 R  4R
2
∆HFO : ∆KOE ⇒
=
⇒ HF .KE = OK .OH = OK = 
=
0 ÷
OK KE
3
 sin 60 
SOPQ =
Do đó,

R.EF R 2 3
≥
.
8
12

OPQ
Diện tích tam giác

nhỏ nhất là


R2 3
.
12

Khi đó

M

BC
điểm chính giữa cung
Câu 5.
2
2
1 ( x + yz ) ( y + zx ) ( z + xy )
x + yz y + zx ( z + xy )
=
=
.
.
P
x3 y 3
y
x
x2 y2
Ta có:

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

8


là


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành
2
2
 4z


x
 y
  x x


z
 z
=  + z ÷ + z ÷ + 1÷ = 1 +  + ÷z + z 2   + 1÷ ≥ ( 1 + 2 z + z 2 ) 
+
1

2
y
x
xy
y
y
xy



x
+
y
(
)



  





2

2

 4z
  4 z ( z + 1)
 

12
8
= ( z + 1) 
+
1
=
+
z

+
1
=
6
+
+
+
z
−
1
 
 

2
2
z − 1 ( z − 1) 2
 ( z − 1)
  ( z − 1)
 


12 3( z − 1)
8
z − 1 z − 1
= 6 +
+
+
+
+


2
z
−
1
4
8
8
z
−
1
(
)



2

2

Áp dụng BĐT Cô si ta có:
2

1 
12 3( z − 1)
8
z − 1 z − 1  729
4
 =
≥ 6 + 2
.

+ 33
.
.
⇒P≤
2
P 
z −1
4
4
729
( z − 1) 8 8 


Vậy GTLN của

P

là

4
729

, đạt được khi

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. Cho

x = y = 2, z = 5

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN

a = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

a Chứng minh rằng

b Tính giá trị của

a

là nghiệm của phương trình
a 4 − 4 a 3 + a 2 + 6a + 4
P=
a 2 − 2a + 12

a 2 − 2a − 4 = 0

 x3 + y 3 = 8

 x + y + 2 xy = 2

Câu 2. a) Giải hệ phương trình
2
( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) ( x + 5 ) = 360
b) Giải phương trình
Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:


9

2


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành
Câu 3.

a , b, c

a 2 + b2 + c 2 ≥ ab + bc + ca

a Chứng min rằng
với mọi số thực
a, b, c ≥ 1 ab + ac + bc = 9.
P = a 2 + b2 + c 2
b Cho
và
Tìm GTNN và GTLN của
( AC < AB ) .
∆ABC
A
Câu 4. Cho
vuông tại A
Gọi H là hình chiếu vuông góc của trên
BC, D là điểm nằm trên đoạn thẳng
tâm C bán kính CA tại E và F (
cho

F


AH

A, H ).
(D khác

Đường thẳng

BD

cắt đường tròn

nằm giữa B và D), M là điểm trên đoạn thẳng

AB

·ACF = 2 BFM
·

sao

, MF cắt AH tại N
BH .BC = BE.BF
EFHC
a Chứng minh rằng
và tứ giác
nội tiếp
·
EHF
HD

b Chứng minh rằng
là tia phân giác của
MN
F
c Chứng minh rằng là trung điểm của
a2
c2
2c
+ 2
=
.
2
2
2
a, b, c
a +b
a +c
b+c
Câu 5. Cho các số nguyên
thỏa mãn
Chứng minh rằng

bc

là một số chính phương.

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

10



Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành
ĐÁP ÁN
Câu 1.
a Ta có:
a2 = 8 + 2

(4+

(

5 −1

=8+2

10 + 2 5

)

2

)( 4 −

=6+2 5 =

(

)


10 + 2 5 = 8 + 2 6 − 2 5

)

5 +1

2

⇒ a = 5 + 1 ⇒ 5 = a − 1 ⇒ 5 = a 2 − 2 a + 1 ⇔ a 2 − 2a − 4 = 0

a 2 − 2a − 4 = 0

a

Nên là nghiệm của phương trình
b Ta có:
a 4 − 2a3 − 4a 2 − 2a 3 + 4a 2 + 8a + a 2 − 2a − 4 + 8
P=
a 2 − 2a − 4 + 16
a 2 ( a 2 − 2a − 4 ) − 2a ( a 2 − 2a − 4 ) + a 2 − 2a − 4 + 8 8 1
=
= =
a 2 − 2a − 4 + 16
16 2
Câu 2.
( x + y ) ( x + y ) 2 − 3xy  = 8



 x + y + 2 xy = 2


x + y = a

 xy = b

a 2 ≥ 4b

a Hệ phương trình
.Đặt
với
Ta có:
a ( a 2 − 3b ) = 8 2a 3 − 6ab = 16
⇔
⇒ 2a3 + 3a ( 2 − a ) = 16 ⇔ 2a 3 + 3a 2 − 6a − 16 = 0

2b = 2 − a
a + 2b = 2

⇔ 2a 3 − 4a 2 + 7a 2 − 14a + 8a − 16 = 0
⇔ ( a − 2 ) ( 2a 2 + 7 a + 8 ) = 0
Vì

2a 2 + 7 a + 8 = 0

vô nghiệm, nên

a=2⇒b=0

. Hệ có nghiệm


( x; y ) ∈{ ( 0;2 ) ; ( 2;0 ) }

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

11


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành

(x

2

+ 6 x + 5 ) ( x 2 + 6 x + 8 ) ( x 2 + 6 x + 9 ) = 360

b Phương trình :
x2 + 6x + 5 = t
Đặt
, ta có:
t ( t + 3) ( t + 4 ) − 360 = 0 ⇔ t 3 + 7t 2 + 12t − 360 = 0 ⇔ ( t − 5 ) ( t 2 + 12t + 72 ) = 0

Vì

t 2 + 12t + 72 = 0

Vậy

S = { 0; −6}


vô nghiệm nên

x = 0
t = 5 ⇒ x2 + 6 x = 0 ⇔ 
 x = −6

Câu 3.

2 ( a 2 + b2 + c 2 ) − 2 ( ab + bc + ca ) ≥ 0 ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0
2

a) Ta có :
Dấu

"="

b) Vì

xảy ra khi

a , b, c ≥ 1

2

2

a=b=c

nên


( a − 1) ( b − 1) ≥ 0 a + b ≤ ab + 1


( b − 1) ( c − 1) ≥ 0 ⇔ b + c ≤ bc + 1 ⇔ 2 ( a + b + c ) ≤ ab + bc + ca + 3 = 12

c + a ≤ ca + 1
c
−
1
a
−
1
≥
0
(
)
(
)


⇔ a + b + c ≤ 6 ⇒ ( a + b + c ) ≤ 36 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + 2.9 ≤ 36 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 ≤ 18
2

Vậy GTLN của

P

là 18, đạt được khi

( a; b; c )


là các hoán vị của

( 1;1;4 )

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

12


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành

Mặt khác

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca = 9

nên

GTNN

của P là 9. Đạt được khi

a=b=c= 3

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

13



Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành
Câu 4.

a) Ta có:

BF BA
·
FAB
= ·AEB ⇒ ∆BAF : ∆BEA ⇒
=
⇒ BA2 = BE.BF
BA BE

áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thì
⇒

BH BF
·
·
=
⇒ ∆BHF : ∆BEC ⇒ BHF
= BEC
BE BC

BA2 = BH .BC ⇒ BH .BC = BE.BF

nên tứ giác

EFHC


nội tiếp

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

14


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành

b) Ta có

·
·
·
·
BHF
= BEC
= CFE
= CHE

phân giác của

mà

·AHB = ·AHC = 900

nên


·AHF = ·AHE ⇒ HD

là tia

·
EHF

AH
BK
c) Gọi K là giao điểm của
với (C) , chứng minh được
là tiếp tuyến của đường
·
2 BFM
= ·ACF = 2 ·AEF
tròn (C) , ta có
·
·
·
⇒ BFM
= ·AEF ⇒ MN / / AE ⇒ ANM
= KAE
⇒ ∆AMN : ∆EKA ⇒

MN AN
=
(1)
KA EA

. Do đó


lại có :

·
NAM
= ·AEK

·AFN + FAE
·
= 1800

1·
1·
·
·
·
EKF
+ FAE
= 1800 ⇒ ·AFN = EKF
= ECF
= EHF
= ·AHE
2
2

Hay

AN NF
·AFN = ·AHE ; ·ANM = HAE
·

⇒ ∆AFN : ∆EHA ⇒
=
(2)
EA AH

Từ (1) và (2) ta có:

MN NF 2 NF 2 NF
=
=
=
⇒ MN = 2 NF ⇒ FM = FN
KA AH 2 AH
KA

Câu 5.

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

15


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành

Ta có:
⇔

a2
c2

2c
a2
c
c2
c
+
=
⇔
−
+
−
=0
a2 + b2 a2 + c 2 b + c
a 2 + b2 b + c a 2 + c 2 b + c

a 2 ( b + c ) − c ( a 2 + b2 )

( b + c ) ( a 2 + b2 )

+

c2 ( b + c ) − c ( a2 + c2 )

( b + c ) ( a2 + c2 )

=0⇔

b ( a 2 − bc )

( b + c ) ( a 2 + b2 )


+

−c ( a 2 − bc )

( b + c ) ( a 2 + c2 )

a 2 − bc ) ( b − c )
(
a 2 − bc  b
c 
⇔
−
=0

÷= 0 ⇔
b + c  a 2 + b2 a 2 + c 2 
( b + c ) ( a 2 + b2 ) ( a 2 + c 2 )
⇒ ( a 2 − bc ) ( b − c ) = 0
2

Xét

a 2 − bc = 0 ⇔ bc = a 2

là số chính phương . Xét

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH SƠN LA
ĐỀ THI CHÍNH THỨC


b=c

thì

bc = c 2

là số chính phương.

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 18/03/2019

Câu 1. (3,0 điểm)
A=
Cho biểu thức

6x + 4
3 3x3 − 8

−

3x
3x + 2 3x + 4

x
A
Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
Câu 2. (4,0 điểm)

x 2 − 2 ( m − 1) x + 3m − 3 = 0
(1)
Cho phương trình
( 1)
x1 , x2
m
a Tìm sao cho phương trình
có hai nghiệm phân biệt
thỏa mãn biểu thức
2
2
M = x1 + x2 + 5 x1 x2
đạt giá trị nhỏ nhất
( 1)
m
b Xác định để phương trình
có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Câu 3. (5,0 điểm)
Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

16

=0


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành
2x
13x
+ 2

=6
2 x − 5x + 3 2 x + x + 3
2

a Giải phương trình:

b Giải hệ phương trình:

3
2
 x + 2 xy + 12 y = 0
 3
2
8 y + x = 12

A, B, C

d
Câu 4. (6,0 điểm) Cho 3 điểm
cố định nằm trên đường thẳng (B nằm giữa A và
C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C(O không nằm trên đường
d ).
AM , AN
I
thẳng
Kẻ
là các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại M và N. Gọi là trung
BC ,
MN
P

P
A
điểm của
AO cắt
tại H và cắt đường tròn tại các điểm và Q( nằm giữa và
MN
O), BC cắt
tại K
O, M , N , I
a Chứng minh 4 điểm
cùng nằm trên một đường tròn
O
K
b Chứng minh điểm cố định khi đường tròn tâm thay đổi
HQ, H
D
MD
c Gọi là trung điểm
từ kẻ đường thẳng vuông góc với
cắt đường
ME
.
MP
P
thẳng
tại E. Chứng minh là trung điểm
Câu 5. (2,0 điểm)
ABCD 2019
Cho hình vuông
và

đường thẳng phân biệt thỏa mãn: mỗi đường thẳng đều
1
.
2
cắt hai cạnh đố của hình vuông và chia hình vuông thành 2 phần có tỷ số diện tích là
505
Chứng minh rằng: trong 2019 đường thẳng trên có ít nhất
đường thẳng đồng quy

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

17


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành
ĐÁP ÁN
Câu 1.
3x + 2 3x + 4 =

Ta có:

(

)

A

Nên điều kiện để có nghĩa là
 x ≥ 0

4
⇔
⇔0≤ x≠
3
 3 x − 2 ≠ 0

A=

A=
A=

(

6x + 4
3x

)

3

− 23

−

2

3 x + 1 + 3 > 0; ∀x ≥ 0

(


3x

)

3

−8=

(

)(

)

3 x − 2 3 x + 2 3 x + 4 ≠ 0; ∀x ≥ 0

3x
3x + 2 3x + 4

( 3x − 2 ) 3x
( 3x − 2 ) ( 3x + 2 3x + 4 )
6x + 4 −

(

Với

x

3x + 4 + 2 3 x


)(

3x − 2 3x + 2 3x + 4

)

=

A

nhận giá trị nguyên thì
x = 3
 3 x = 3 3 x = 9
3 x − 2 = ±1 ⇔ 
⇔
⇔
1
x =
3 x = 1
 3 x = 1
3


x

nguyên dương, để biểu thức

1 
4

0 ≤ x ≠ ÷
3
3x − 2 

Vì nguyên dương nên
Câu 2.

x=3

, khi đó

A =1

. Vậy

1
3x − 2

nguyên. Khi đó:

x = 3.

∆ ' = m 2 − 5m + 4 > 0

a PT (1) có hai nghiệm phân biệt khi
x1 , x2 .
Với ĐK (*) phương trình có hai nghiệm
Ta có:

m < 1

(*) ⇔ 
m > 4

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

18


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành
 x1 + x2 = 2 ( m − 1)

 x1 x2 = 3m − 3
M = x12 + x22 + 5 x1 x2 = ( x1 + x2 ) + 3x1 x2 = 4 ( m − 1) + 3 ( 3m − 3 )
2

2

2

1  81
81

⇒ M = 4m + m − 5 =  2 m + ÷ − ≥ −
4  16
16

2

Dấu

Vậy

m=−

"="

1
8

xảy ra khi
(thỏa mãn điều kiện (*))
−81
1
MinM =
⇔m=−
16
8

∆ ' = m 2 − 5m + 4 > 0

(*)

b ĐK:
x −1 = t ⇒ x = t +1
Đặt
thay vào phương trình (1) ta được:
2
( t + 1) − 2 ( m − 1) ( t + 1) = 3m − 3 = 0
⇔ t 2 + 2 ( 2 − m ) t + m = 0 (2)


( 1)

PT (2)

x

Phương trình
có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi
có hai nghiệm phân
t
biệt lớn hơn 0
2
∆ ' > 0 m − 5m + 4 > 0 ( m − 1) ( m − 4 ) > 0 m < 1 ∨ m > 4




⇔  P > 0 ⇔ m > 0
⇔ m > 0
⇔ m > 0
⇔ m > 4(tmdk )
S > 0
 2m − 4 > 0

m > 2



 2m − 4 > 0


m>4

Vậy
Câu 3.

a Với
Vậy

x = 0,
x=0

phương trình (1) có dạng

0=6

(vô lý)

không là nghiệm của phương trình (1)

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

19


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành

( 1) ⇔
x ≠ 0,


Đặt

ta có:
3
2 x + = t,
x

2
3
2x − 5 +
x

+

13
3
2x + 1 +
x

PT (1) trở thành:
t = 1
2
⇔ 6t − 39t + 33 = 0 ⇔  11
t =

2

+)Với

t =1


t=
+)Với

Vậy

2x +
ta có PT

11
2

ta có PT
 3
S = 2; 
 4

=6

2
13
+
=6
t − 5 t +1

3
= 1 ⇔ 2 x2 − x + 3 = 0
x

∆<0


nên phương trình VN
x = 2
3 11
2
2 x + = ⇔ 4 x − 11x + 6 = 0 ⇔ 
x = 3
x 2

4

b Giải hệ phương trình:

, có

3
2
 x + 2 xy + 12 y = 0 (1)
 3
2
(2)
8 y + x = 12

x3 + x 2 y + 2 xy 2 + 8 y 3 = 0

Thế (2) vào PT (1) ta được:
(3)
y=0
x=0
Nếu

thì từ (1) suy ra
không thỏa mãn phương trình (2)
3
2
 x x
x
⇔  ÷ +  ÷ + 2. + 8 = 0
y
y≠0
 y  y
Xét
, PT (3)
x
=t
y
t 3 + t 2 + 2t + 8 = 0
Đặt
ta được:
Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

20


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành
 t = −2
⇔ ( t + 2) ( t 2 − t + 4) = 0 ⇔  2
⇔ t = −2
t − t + 4 = 0(VN )


Với

t = −2 ⇒ x = − 2 y ,

thay vào (2) được

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm
Câu 4.

BC

 y = 1 ⇒ x = −2
y2 = 1 ⇔ 
 y = −1 ⇒ x = 2

( −2;1) ; ( 2; −1)

·
⇒ OI ⊥ BC ⇒ OIA
= 900.

a I là trung điểm của
(dây BC không đi qua O)
·AMO = 900
AM
Ta có:
(do
là tiếp tuyến (O))
·ANO = 900
AN

(do
là tiếp tuyến của (O))
O, M , N , I
OA.
Suy ra 4 điểm
cùng thuộc đường tròn đường kính

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

21


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành

b Ta có
·
MON

AM , AN

là hai tiếp tuyến với (O) cắt nhau tại A nên
∆OMN
O
OA ⊥ MN .
mà
cân tại nên
1 »



·
∆ABN : ∆ANC  ·ANB = ·ACN = sd NB
& CAN
...chung ÷
2



⇒

+)

là tia phân giác

AB AN
=
⇒ AB. AC = AN 2 (1)
AN AC

∆ANO

NH

AH . AO = AN 2 (2)

vuông tại N đường cao
nên ta có
AB. AC = AH . AO (3)
Từ (1) và (2) suy ra
· ...chung

∆AHK : ∆AIO ·AHK = ·AIO = 900 & OAI

(

⇒

OA

)

AH AK
=
⇒ AK . AI = AH . AO (4)
AI
AO

AI . AK = AB. AC ⇒ AK =

AB. AC
AI

Từ (3) và (4) suy ra
A, B, C
BC
I
AK
Mà
cố định nên cố định suy ra
cố định, K là giao điểm của dây
và dây

MN
AB
nên K thuộc tia
suy ra K cố định.
·PMQ = 900
c Ta có
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
·
·
·
MEH
= DMQ
DMP
),
∆MHE ∆QDM
Xét
và
có
(cùng phụ với
·
·
·
EMH
= MQD
MPO
)
(cùng phụ với
ME MH
⇒ ∆MHE : ∆QDM ( g .g ) ⇒
=

( *)
MQ DQ

(

·
·
·
·
∆PMH : ∆MQH MHP
= QHM
= 900 ; PMH
= MQH

)

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

22


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành

⇒

MP MH MH
=
=
(**)

MQ HQ 2 DQ

Từ (*) và (**) suy ra

MP 1 ME
= .
⇒ ME = 2 MP ⇒ P
MQ 2 MQ

là trung điểm

ME

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

23


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành

Câu 5.

Gọi

MN , EF

là đường nối trung điểm hai cạnh đối của hình vuông (hình vẽ)
d1
A1

B1.
Giả sử đường thẳng cắt cạnh AB tại cắt MN tại I và cắt cạnh CD tại
Ta có các tứ
AA1 B1D
BCB1 A1
MI , NI
giác
và
là hình thang và có
lần lượt là các đường trung bình của
hai hình thang đó. Khi đó:
1
SAA1B1D 2 AD ( AA1 + DB1 ) 2 IM IM 1
=
=
=
=
S A1BCB1 1 BC A B + B C
2 IN
IN 2
( 1
1 )
2
MI 1
=
MN 3

1
MI = MN
3


I
, vậy điểm cố định
H,J,K
Lập luận tương tự ta tìm được các điểm
cố định
Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Suy ra

nên

Hotline:037.858.8250 Email:

24


Tuyển tập 77 đề thi Học Sinh Giỏi Toán 9 năm học 2018-2019 các Tỉnh Thành

I, J, H, K

1: 2)

MN , NM , EF , FE

(
chia các đoạn thẳng cố định
theo tỉ số
Có 4 điểm cố định mà có 2019 đường thẳng đi qua nên theo nguyên lý Dirichle ít nhất
505
phải có

đường thẳng đồng quy.
PHÒNG GD-ĐT HỒNG LĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9
NĂM HỌC 2018-2019
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN
I
PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quẩ vào giấy thi)

A = 28 − 10 3 + 4 3 + 7
Câu 1. Tính giá trị biểu thức
Câu 2. Giả sử
toán nhân

( .)

Câu 3. Tìm

( *)

là phép toán thỏa mãn với mọi số nguyên

, phép cộng

( x; y )

( +)

(với phép


x* y =9

thông thường. Tìm các số nguyên không âm

biết

x + y = 2x + 4 y − 5
2

2

biết

Câu 4. Cho các số thực không âm

B=a

ta có

x, y

a, b
biểu thức

x * y = x. y + x + y

x, y ,

2018


+b

thỏa mãn

a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 .

Tính giá trị

2019

2
C = 999.....99
1 4 2 43
2018...cs ..9

Câu 5. Cho

Câu 6. Cho dãy số

. Tính tổng các chữ số của C

1 1 1 1 1
; ; ; ; ;......
2 5 10 17 26

Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 8. Cho

α


là góc nhọn thỏa mãn

Câu 9. Tam giác
ngoài của góc

B

ABC

cắt đường thẳng

Câu 10. Cho tam giác

I

ABC

P = x 2018 − 2018 x + 2018

tan α + cot α = 3.

Giá trị của

D = sin α .cos α

AC = 16cm, AB = 12cm.

A,


vuông tại

Tìm số hạng thứ 12 của dãy

biết

AC

ở

D

và

E.

bằng ?

Các đường phân giác trong và
Tính

DE

vuông tại A, phân giác các góc B và C cắt nhau ở I, gọi H là hình chiếu

BH = 5cm, CH = 7cm.

của trên BC.Giả sử
Tính diện tích tam giác
II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào giấy thi)


ABC

Sưu tầm : Hồ Khắc Vũ _Giáo Viên Toán THCS TP Tam Kỳ_tỉnh Quảng Nam
Hotline:037.858.8250 Email:

25